Lượng giác 11, Toàn tập của thầy Nguyễn Thành Luân (đã bẻ khóa)

Chương I: PHƯƠNG TR̀NH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ SỞ LƯ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = −
b) Cung bù:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
− = − − =
c) Cung phụ:
cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
π π π π
     
− = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
d) Cung hơn kém
π
:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
+ = − + = −
e) Cung hơn kém
2
π
:

cos sin ; sin cos ;
2 2
x x x x
π π
   
+ = − + =
 ÷  ÷
   
2. Công thức lượng giác
a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

( )
cos cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
cota cot 1
cot( )
cota cot
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
b
a b
b
+ = −
+ = +

+
+ =
−
−
+ =
+

2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a
=
= −
= −
= −
=

−
c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −
= −

2 2
3 3
1 cos2 1 cos2
sin ; cos
2 2
3sin sin3 3cos cos3
sin ; cos
4 4
a a
a a
a a a a
a a
− +
= =
− +
= =
e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành
tích

[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
−
= + − −
= + + −

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b

a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
3. Hằng đẳng thức thường dùng

( )
2 2 4 4 2 6 6 2
2
2 2
2 2
1 3
sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2
2 4
1 1
1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos
cos sin
a a a a a a a
a a a a a

a a
+ = + = − + = −
+ = = ± = ±
4. Phương tŕnh lượng giác cơ bản

khi 1
2
sin ( ) ; sin sin
( ) arcsin 2
2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
π α π
π π
>

= +


= ⇔ = ⇔

= +



= − +
≤



= − +



khi 1
2
cos ( ) ; cos cos
( ) arccos 2
2
khi 1
( ) arccos 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π

α π
π
>

= +


= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +



tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +
5. Phương tŕnh thường gặp
a. Phương tŕnh bậc 2

2 2 2
2 2 2
2
2
.sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( )
.cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( )
cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1
cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( )
.t
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a f x b f x c Thay f x f x
a
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −
+ + = ⇒ = −

cos


1
an ( ) cot ( ) 0 cot ( )
tan ( )
f x b f x c Thay f x
f x
+ + = ⇒ =
b. Phương tŕnh dạng

sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
1 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
2 Chia 2 vế cho
2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ
bản theo sin hoặc cos.
c. Phương tŕnh đẳng cấp
1 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
2 Xét cosx = 0 có thỏa măn phương tŕnh hay không.
3 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương tŕnh bậc 2
theo tanx.
4 Có thể thay v́ xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
5 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
6 Xét cosx = 0 có thỏa măn phương tŕnh hay không.
7 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương tŕnh bậc 3

theo tanx.
8 Có thể thay v́ xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
d. Phương tŕnh đối xứng loại 1:
(sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + =
1 Đặt t = sinx
±
cosx, điều kiện
2t ≤
2 Thay vào phương tŕnh ta được phương tŕnh bậc 2 theo t.
e. Phương tŕnh đối xứng loại 2 :
( )
tan cot ) (tan cot 0
n n
a x x b x x
+ + ± =
1 Đặt t = tanx - cotx th́ t
∈
R ; Đặt t = tanx + cotx th́
2t ≥
.
2 Chuyển về phương tŕnh theo ẩn t.
f. Các phương pháp giải phương tŕnh lượng giác tổng quát
1 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản
2 Phương pháp biến đổi phương tŕnh đă cho về dạng tích.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ.
4 Phương pháp đối lập.
5 Phương pháp tổng b́nh phương.
B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Dạng 1 : Phương tŕnh lượng giác cơ bản.
Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau :

1.
cos sin 2 0
3
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
2.
cos cos 1
3 3
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
3.
tan 2 .tan 1x x = −
4.
2 2 2
sin sin .tan 3x x x+ =
5.
2 2
5cos sin 4x x+ =
3.
1
3sin cos
cos

x x
x
+ =
7.
4 4
cos 2 sin3 sin 2x x x= −
8.
tan 1 tan
4
x x
π
 
− = −
 ÷
 
9.
3 3
1
sin cos cos sin
4
x x x x= +
10.
4 4
sin cos cos4x x x+ =
11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12. sin
+ cos =
13.
2 2
sin 5 cos 3 1x x+ =
14.

2
cos cos2 cos4
16
x x x
−
=
15.
( )
sin sin 1x
π
=
16.
2 2
cos sin
1 sin 1 cos
x x
x x
=
− −
17.
1 1 2
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
18.
3 2
4sin 2 6sin 3x x+ =
Bài 2 : Cho phương tŕnh
( ) ( )
tan cos cot sinx x
π π

=
1. T́m điều kiện xác định của phương tŕnh.
2. T́m tất cả các nghiệm thuộc đoạn
[ ]
3 ;
π π
−
của phương tŕnh.
Bài 3 : Cho phương tŕnh sin
6
x + cos
6
x = m.
1. Xác định m để phương tŕnh có nghiệm.
2. Xác định m để phương tŕnh có đúng 2 nghiệm trong khoảng
( )
0;
π
Bài 4: Giải và biện luận phương tŕnh
( )
2
2 1 cos2 2 sin 3 2 0m x m x m− + + − =
Dạng 2 : Phương tŕnh bậc nhất, bậc hai.
Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau :
1.
2
2cos 5sin 4 0
3 3
x x
π π

   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
2.
5
cos2 4cos 0
2
x x− + =
3.
4 4
sin cos cos2x x x+ =
4.
4 4
1
cos sin sin 2
2
x x x+ = −
5.
( )
2
2 2 cos 3 2 2 cos3 1 0x x− + + =
6.
4 4
cos sin 2sin 1
2 2
x x
x+ + =
7.
( )

6 6
4 sin cos cos 2 0
2
x x x
π
 
+ − − =
 ÷
 
8.
2tan 3cot 4x x+ =
9.
4 2
1
cos sin
4
x x= −
10.
2 2
6 6
cos sin
4cot 2
sin cos
x x
x
x x
−
=
+
11.

1
2tan cot 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +
12.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
13.
4cos cos4 1 2cos2x x x− = +
14.
5 5 2
4sin cos 4cos sin cos 4 1x x x x x− = +
15.
2 2
cos4 cos 3 cos 1x x x= − +
16.
sin3 cos2 1 2sin cos2x x x x+ = +
Bài 2 : Cho phương tŕnh
sin3 cos2 ( 1)sin 0x m x m x m− − + + =
1. Giải phương tŕnh khi m = 2.
2. Xác định m để phương tŕnh có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2
π
Dạng 3 : Phương tŕnh bậc nhất theo sinx, cosx.

Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau :
1.
3sin cos 2 0x x− + =
2.
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x− = +
3.
4 4
sin cos 1
4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
4.
( )
4 4
2 cos sin 3sin 4 2x x x
+ + =
5.
2sin 2 2sin 4 0x x+ =
6.
3sin 2 2cos2 3x x+ =
7.
9
3cos 2 3sin
2
x x+ =

8.
4cos3 3sin3 5 0x x− + =
9.
2
sin cos sin cos2x x x x− =
10.
( )
tan 3cot 4 sin 3cosx x x x− = +