Chuyên đề khoảng cách toán 12

Giáo viên:i ê n :
Thành v

H
N
Í
T
Ngọc
P
Á
H
P
B
G
ê
N
G
L
Ơ
H
N
Ư
m
C
ẩ
Ơ
Á
C
PHNhóm trưởng:
C
c

H
ọ
K
g
G
N
N
C
ị
Ọ
H
L ê TKhễHnOTẢh ainnÌh
g
H
n
ị
T
h
N
N ghuaynOYNếG
n LH
Ý
P TR
ư
h
N
c
ọ
g
N

n
ê n đ ề : o N gâThị
C h u yCô.Nguyễn
ả
n
ễ
y
u
Ng


KHOẢNG CÁCH
THỨ NHẤT
Khoảng cách từ một đường
thẳng đến mặt phẳng song
song với nó

Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng

THỨ HAI
THỨ BA
THỨ TƯ

Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song

Bài toán khoảng cách
1. Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên.
2. Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt
đứng(chứa đường cao).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.


1. Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên
Bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S. Hình chiếu vng góc của S lên
mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên (SAB).

Bước 1: HI  AB ( I �AB)
Bước 2: HK  SI ( K �SI )
Khi đó: d ( H , ( SAB))  HK 

SH .HI
SH 2  HI 2


VD: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B.
SA vng góc với đáy, AB=3, SA=4. Khoảng cách từ A đến
(SBC) bằng?
Giải
Kẻ AH  SB( H �SB )
S

BC  AB
�

�� BC  ( SAB)
SA  ( ABC ) � SA  BC �
� BC  AH �
�� AH  ( SBC )
AB  SB �
� d ( A, ( SBC ))  AH 

SA. AB
SA2  AB 2

H
A

C

 2, 4
B


2. Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt
đứng (chứa đường cao)
Bài tốn: Cho hình chóp có đỉnh S. hình chiếu vng góc
của S lên mặt đáy là H. tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến
mặt bên (SHB)
Bước 1: AK  HB ( K �HB )
Bước 2: AK  HB �
�� AK  ( SHB)
AK  SH �
Khi đó: d ( A, ( SHB))  AK

 Giả sử ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ
điểm A tới mặt phẳng (P) mà không thực hiện
được. Đồng thời từ điểm B ta lại dựng trực tiếp
khoảng cách tới (P) khi đó ta sẽ thực hiện tính
khoảng cách gián tiếp như sau:


Cách 1 (Đổi điểm) Tính thơng qua tỉ số khoảng cách

d,(( A
,))( P))d ( BAI
AB
P
(
P
)
�
d
(
A
P
AB �( P )  I �
 ,( P ))
d ( B, ( P ))

BI


Cách 2 (Đổi đỉnh) Sử dụng phương pháp thể tích để tìm

khoảng cách
 Bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng trong nhiều trường hợp có thể qui về bài tốn thể
tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công
thức:
3V
h
: V , S , h Lần lượt là thể tích, diện tích đáy, chiều cao của hình chóp
S
V
h  : V , S , h Lần lượt là thể tích, diện tích đáy, chiều cao hình lăng trụ
S


3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a) Đoạn vng góc chung
Đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Đường thẳng cắt hai đường thẳng a, b và cùng vng góc với
mỗi đường ấy được gọi là đường vng góc chung của a và
b. đoạn thẳng MN gọi là đoạn vng góc chung của a và b.
M

N

a


a
M
P

b
N


M

a
b

P
M

a

P
P

N

b


Bài tập vận dụng


Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi một vng góc,
AB=a, AC= và diện tích tam giác SBC bằng . Tính khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giải

S

Kẻ AH vng góc với BC tại H. Kẻ AK vng góc với SH tại K.





Khi đó d A,  SBC   AK

K

Ta có

A

C
B

H AH 

BC  AB 2  AC 2  a 3 và
a2

a 11
3
6
AC. AB
a 6
a 5

2
2

, SA  SH  AH 
2
2
3
3
AC  AB
S SBC 

33

nên

SH 


SA. AH a 330
� d ( A, ( SBC ))  AK 

SH
33


Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
AD=2AB=2a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
o
60
và SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc . Khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và SC bằng.
Vì
S
Giải
AB P( SCD)
� d(SAD),
( AB; SCkẻ) AH
d ( ABSD,
; ( SCD
)  d ( A, ( SCD))
Trong
(H SD)

Vì
Vì

CD  AD
�
� CD  ( SAD ) � CD  AH
�
�CD  SA
�AH  SD
� AH  ( SCD) � d ( A, ( SCD))  AH
�
D
�AH  CD

H
B

A
C


o
�
�
�
(
SB
,
(
ABCD
))

(
SB
,
AB
)

SBA

60
Ta có
SA
�
SABvng tại A, ta có: tan SBA 
Xét
AB

S
�
� SA  AB. tan SBA

 a. tan 600  a 3
H
B

A
D

C

Vậy:

SA. AD

2a.a 3

2a 21
d ( AB, SC )  AH 


7
SA2  AD 2
4a 2  3a 2


Bài tập 3: [Đề ĐH 2014-Khối A&A1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vng cạnh a, . Hình chiếu vng góc của S lên

mặtphẳng (ABCD) là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
S

Gọi H là trung điểm AB
� SH  ( ABCD ) � SH  HD
Ta có:

SH  SD 2  DH 2  SD 2  ( AH 2  AD 2 )  a

1
a3
� VS . ABCD  .SH .S ABCD 
3
3

C
B

A

H
D


Gọi K, E lần lượt là hình chiếu hạ từ H lên BD, SK.
BD  HE �
Ta có: BD  HK �
�� BD  ( SHK ) �
�� HE  ( SBD)

BD  SH �
SK  HE �
Ta có:

a 2
�
HK  HB.sin KBH 
4

S

HS .HK

a
� HE 

2
2
3
HS  HK
� d ( A,( SBD))  2d ( H ,( SBD))  2 HE 

E
2a
3

A

C
B

K

H
D


Bài tập 4: Cho hình lăng trụ có mặt đáy là tam giác đều cạnh Hình
chiếu vng góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của
cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách hai
đường chéo nhau BC và AA’ theo a.
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
'
Ta cóAA ' P BB Nên:
d ( AA ', BC ) = d ( AA ',( BCC ' B '))
= d ( A,( BCC ' B '))
Gọi E là điểm đối xứng của H qua
B, ta có A ' H P B ' E , B'E ^ (ABC)
d ( A,( BCC ' B ')) AB
Vì
=
=2
d ( E ,( BCC ' B ')) EB
Nên d ( AA ', BC ) = 2d ( E ,( BCC ' B '))

A’
C’
B’

A

F
K

H

C
B
E


Kẻ EK ^ BC ; EF ^ B ' K . Chứng
minh được: EF ^ ( BCC ' B ')
� d ( E ,( BCC ' B ')) = EF
Xét tam giác BEK vng tại K và
3
ta có:
EK = BE sin 60�=
a
2
Xét tam giác B’EK vng tại E ta có:
EK .B ' E
15
EF =
=
a
2
2
5
EK + B ' E
A

2 15
a
Vậy d ( AA ', BC ) = 2 EF =
F
5
K

A’
C’
B’

H

C
B
E


[Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích
Ta có: d ( AA ', BC ) = d ( AA ',( BCC ' B '))
= d ( A,( BCC ' B ')) = d ( A,( BCB '))
3VABCB ' VABC . A ' B 'C '
=
=
S BCB '
S BCB '
VABC . A ' B 'C ' = A ' H .S ABC = 3a 3
Xét V BCB ' có: BC = 2a;
A
BB ' = AA ' = AH 2 + A ' H 2 = 2a

F
B ' C = B ' E 2 + CE 2 = a 6
15 2
K
� S BCB ' =
a
2
2 15
a
Vậy d ( AA ', BC ) = 2 EF =
5

A’
C’
B’

H

C
B
E


Bài tập 5: Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vng tại
O,. Cạnh vng góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của
BC. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
z
A

A

H
O

N
K

O

C

M

M
B

C

x

B

y


[Cách 1]: Phương pháp dựng hình
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó (tính chất đường trung bình)
Do đó

Dựng

Dựng
A

H
O

N
K

C
M

B


Tam giác ONB vuông tại O , đường
cao OK nên
A

Tam giác AOK vuông tại O, đường
cao OH nên
H

Vậy

O

N
K

C
M

B