HH9 c1 chuyen de he thuc luong trong tam giac vuong nguyen quoc tuan

Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9

***

Quý II2019

Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác
vuông

Chủ đề 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông
Phương pháp:
+Trong một tam giác vuông, bình phương
mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh
huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó
lên cạnh huyền.
2

2

b  ab ' , c  ac '

+ Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh
huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Công thức:

2

h  b '.c '

+ Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của

cạnh huyền với đường cao tương ứng
Công thức:

ah  bc

+ Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao bằng
tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông
Công thức:

1
1 1
 2 2
2
h
b
c

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH.
Biết: BH  9cm, CH  16cm .
a. Tính độ dài các cạnh AB, AC

b. Tính chiều cao AH.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 1


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9
Hướng dẫn

giải

***

Quý II2019

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 2


a.Ta có BC  BH  HC  9 16  25cm
Tam giác ABC vuông ở A, AH ⊥ BC (theo giả thiết). Sử dụng hệ thức về
góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền ta có :
2

AB  BH .BC  9.25  225 ⇒ AB 

 15cm.

2

AC  CH .CB  16.25  400

Từ đây suy ra AC 

 20cm

Chú ý: Sau khi tính được AB (hoặc AC) ta có thể sử dụng định lý Pitago

để tính cạnh còn lại.
b.Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao thuộc cạnh huyền và hai hình
chiếu của hai góc vuông trên cạnh huyền
Ta có: AH 2  BH .HC  9.16  144 ⇒ AH 

 12cm

Cách khác: Trong tam giác vuông ABH, theo Pitago
Ta có AH 2  AB2 − BH 2  152 −9 2  225−81  144 ⇒ AH 
:

 12cm

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .
Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC
Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH,AC,CH

Hướng dẫn giải
a.Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác
vuông AHB vuông tại H
Ta có: AB2 = AH 2 + BH 2 = 62 + 4, 52 = 56, 25


Suy ra: AB =

= 7, 5 (cm )

Á
p
d

ụ
n
g
h
ệ
t
h
ứ
c
lư
ợ
n
g
tr
o
n
g
ta
m
gi
á
c
v
u


ông
ABC
vuôn
g tại

AH
là
chiều
cao ta được: 1 = 1

A
A
H 1 C

1

1
25

−
=

2

=

AB − AH
1

2

2

AC
10

2
Theo hệ thức
AC = HC =
lượng trong
HC.B
tam giác ta có: C ⇒
=
BC

= 8 (cm)
12, 5

b.T

2

r

+
2
AB

Su
y
ra
:

= 12, 5( cm )

2

A,

2

S
BC =
u
y
ra
:

o
2

2

7, 5 − 6
=

20,
=

n
g

=
1
A AB
C

2

2

AB .AH
2025

2

2

2

7, 5 .6
100

t
100

2

A
H

a
m

2

g
V
2
hay nói
ậ AC
cách
=
y:
100 khác:

AC =

= 10 (cm)

Theo định lý Pi-Ta-Go ta có: BC 2 = AB2 +
2

2

2

AC = 7, 5 +10 = 156, 25
156, 25

i
á
c


vuô

S
u
y
r
a

ng
ABH

−

=
1

A AB
C

vuô

108

2

1

1

=
2

AB − AH
1
2

AB .AH
108

2

2

36 − 27
=

=
27.37

2

ng

A
H

tại

2

H.

D AC 2 = 108 ⇒ AC =
o
đ (cm)
ó: 144

Ta
có:
2

AB =
AH

Mặ
2
2
BC = AB +
t
2
kh AC = 36 +108
ác: = 144 ⇒

2

+ BH
2

2

⇔ AH
2

= AB −
2
2
BH = 6
2
− 3 = 27

144

Vậy:

AH =

Trong tam giác vuông ABC
vuông tại A, AH là đường cao
ta có:

≈ 5, 2 (cm)

1 = 1
A
A
H 1 C
2

2

+
2
AB

27

BC =

(cm)

= 10, 39

= 12


Áp dụng hệ thức lượng ta
có:

AC 2 = BC.CH ⇔ CH =

AC

2

BC

=

108

= 9 (cm)

12

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH, tính diện tích tam giác ABC, biết AH = 12cm, BH =

Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác
AHB vuông tại H
Ta có: AB2 = AH 2 + BH 2 = 92 +122 = 225
Vậy:

AB =

225

= 15(cm)

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao
ta có:

1 = 1 + 1
2
2
AH
AB
AC
2

Suy
ra

2

2

1
1 − 1 = AB − AH = 225 −144 = 1
2 =
2
2
2
AC
AH
AB
AB .AH
225.144 400
2

Do
đó:

400
AC 2 = 400 ⇒ AC =

= 20 (cm)

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, AB và AC là hai cạnh góc vuông
của tam
giác
nên:

S=

1
2

AB.AC =

1

15.20 = 150 (cm
2

2

)


400

225

Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm
Tam giác ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của tam giác ABC ;
Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH

Hướng dẫn giải


a.Tam giác ABC là tam giác vuông.
Thật vậy : 7, 52 = 4, 52 + 62 ⇔ 5625 = 5625
Thỏa mãn hệ thức BC 2 = AB2 + AC2

Do đó ∆ ABC là tam giác vuông tại
A Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là đường cao ta có:
2

2

1
1
1 = AB + AC
6 2 + 4, 52 56, 25
1
=
+
=
=
=
2
2
2
2
2
AH
AB
AC
AB .AC
6 .4,
729 12, 96
2
2
5

Vậy

AH =

2

AH = 12, 96
⇒

= 3, 6 (cm) .

12, 96

b.Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam
giác AHB vuông tại H ta được:
2

2

2

2

2

2

2

2

AB = AH + BH ⇒ BH = AB − AH = 6 − 3, 6 = 23, 04

Do
đó:

BH =

23, 04

= 4,8(cm)

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ AHC vuông tại H ta được: AC2 = AH 2 + HC2
2

2

2

2

2

⇒ HC = AC − AH = 4, 5 − 3, 6 = 7, 29
⇒

HC =

7, 29

= 2, 7 (cm)

Bài tập mẫu 5: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là 7 và
24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia

Hướng dẫn giải


Không mất tính tổng quát gọi các cạnh của tam giác vuông có độ dài lần
lượt như hình vẽ.
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC vuông tại B, AH là
đường cao


56, 25

ược
Ta đ:

2

2

AB + AC
1
1
1
2 =
2 +

2 =
2
2
AH
AB
AC
AB .AC

2

4
5,
= ⇒
1 15
A8
H4

2

=
2

2

7 .24
28224
45,1584

Do đó: AH

45,1584

= 6, 72

Đường cao AH
chia cạnh
huyền BC
thành các
đoạn HB, HC.
Áp dụng định
lý Pi-Ta-Go
trong tam
giác vuông
AHC vuông tại
H, ta có:
2
2
2
530,8416
AC = AH + HC
2
2
⇔ HC = AC −
2
2
2
AH = 24 − 6, 72
= 530,8416 ⇒ HC
=
= 23,04 .

Áp dụng định
lý Pi-Ta-Go

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 11


trong tam giác vuông AHB vuông tại
H, ta có:
2

2

2

2

AB = AH + BH ⇔ BH =
2
2
2
2
AB − AH = 7 − 6, 72 =
3,8416 ⇒

3,8416

BH =

= 1, 96 (cm)

Bài tập mẫu 6: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là

5,
12

cạnh huyền là 26cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh
góc vuông trên cạnh huyền.

Hướng
dẫn
giải
Không mất tính tổng quát gọi các
cạnh của tam giác vuông có độ dài
lần lượt như hình vẽ.
Gọi
độ
dài
của

AB = x (cm ),

khi đó độ
dài của

AC x (cm)
5
=
12

Do tam giác ABC là tam giác vuông
tại A nên áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta
được:

2

2

25 2
x
 ⇔

2
676
=
2
⇔x
x +

1+
144
 12 

BC = AB +
2
2
2
AC ⇔ 26 = x
5

+

2

25 

  = 676
x


144 

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 12


2

⇔x .

169
144

2

= 676 ⇔ x = 576 ⇔ x =
576 = 24 (cm)

5

12

Vậy AB= 24(cm) và
AC =

.24 = 10 ( cm ).

Ta l

A
B
2

1
1

+
A
C

1

2

ại có

A
H

A

B
2

.
A
C

2

=

2

A
B
+

2

A
C
=

2

14400
169

2

2

24 + 10
2
2
=
=
24 .10
57600
14400

N
AH =
ê120
(cm)
n
:

=

Đường cao
AH chia cạnh

1
3


82944

huyền BC thành

169 các
đoạn HB, HC.
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go
trong tam giác vuông
AHC vuông tại H ta có:
2

2

AC = AH + HC

2

2
2
⇔ HC = AC − =
 120
2
2
AH = 10 −
 2
5


0

=
2
8
8

≈
22
,1
5
(c
m
)1
3

2



13


AB5

Bài tập mẫu 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết AC  7 , đường cao
AH = 15cm. Tính HB, HC.

0
1
6
9
50

=
≈
D HC =

o 3,85(cm) . 2500
16913
đ
ó
:

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go
trong tam giác vuông
AHB vuông tại H ta có:
2

2

AB = AH + BH

2

2

2
2
⇔ BH = AB − =
 120
2
2
AH = 24 −
 8
2



9

4
4
1
6
9

Do đó:



13




Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình
học 9

***

Quý II2019

Hướng dẫn giải
Ta có: AB



AC

5

⇔ AB 

7

5

AC .

7

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông
ta có :

 + 1 AC2
5
2

25
 7 AC
=


2 + AC
=
 49


=


1

⇒

AH

2

5

25

2

 AC
7



4

.AC

2
2
1
AB + AC

1
1
2
2
2
2
AH = AB + AC2 = AB .AC

74

25AC

AC

2

49


666

Do
đó:

AC =
1
AH

Suy
ra:

=
2

AB 

74
25AC

5
7

AC 

⇔
2

1

=

15

2

2

74
25AC

≈ 25,81(cm)

⇔
2

=
AC

15 .74

2

25

=

⇔
666

5

.25,81  18, 44cm
7

Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành các đoạn HB, HC.
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC vuông tại H
441


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao- Hình

học 9

Ta
có:

***

Quý II2019

Hướng dẫn giải
2
2
2
2
2
2
AC = AH + HC ⇔ HC = AC − AH = 666 − 225 = 441 HC =
⇒

= 21(cm).

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB vuông tại H
Ta có:
2

Do

2

2

2

2

2

2

2

AB = AH + BH ⇔ BH = AB − AH = 18, 44 −15 = 115, 0336
BH = 115, 0336 ≈ 10, 73(cm)

đó:
Bài tập mẫu 8: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD
=10cm và đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Tính diện tích của hình thang ABCD.


Gọi các đỉnh của hình thang cân như
hình vẽ. Hạ chiều cao CH của hình thang
cân ABCD.
Do ABCD là hình thang cân nên: AD = CB = 10

(cm)

Mặt khác: tam giác ACB là tam giác vuông tại C(theo
giả thiết ) Do đó: Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam
giác ACB ta có:
2

2

2

2

2

2

2

2

AB = AC + BC ⇔ AC = AB − BC = 26 −10 = 576 ⇔

AC =

= 24 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB, với CH là đường cao ta
được:
2
1
2
2
AC2 +
24
+10

1
1
676
CB
CH =
2 +
= 242.102 = 57600 ⇒ CH =
=
CB
AC
2
2
2
2
AC .CB
2

57600
676

≈ 9, 23(cm)

2

CB
10
=
= 3,85(cm)
Lại có: CB = HB.AB ⇒ HB =
AB

26
2

Mặt
khác:

DC = AB − 2HB = 26 − 2.2,85 = 20, 3(cm)

Nên diện tích hình thang cân
ABCD là:

S = CH.

DC + AB
2

20,3+ 26
≈ 9, 23.
≈ 213, 67( cm2 )
2


Bài tập mẫu 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 12cm, AC =16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính đ

Hướng dẫn
giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
1
2
2

12 +16
1
1
400
2
AH = AB2 + AC = 122.162 = 36864
2


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9

Vậy:

***

AH 2 =

Quý II2019

36864

⇒ AH = 36864
400
400

= 9, 6 (cm)

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong ∆ ABC , ta
được:
2

2

2

2

2

BC = AB + AC = 12 +16 = 400 ⇒

Ta lại
có:

AB = BH .BC ⇒ BH =

Ngoài
ra:

AC = HC.BC ⇒ HC =

2

AB

2

2

=

12

BC
2

AC

=

20
2

144

BC = 20 (cm)

= 7, 2 (cm)

20
2

=

16

BC

= 12,8 (cm)

20
DB

DC

Theo tính chất của đường phân giác ta
=
AB
được:

(1)

AC

Mà DC = BC − BD (2)
Thay (2) vào (1) ta được hệ
thức:

DB BC
=−
BD ABAC

⇔

DB
12

=

20 − BD

16

⇔ 16BD = (20 − BD )12 ⇔ 16BD = 240 − 12BD ⇔ 28BD = 240 ⇔ BD ≈ 8, 57 (cm)

Nhìn vào hình vẽ ta
được:

HD = BD − BH ≈ 8, 57 − 7, 2 ≈ 1, 37 (cm)

Bài tập mẫu 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD đường cao AH.
Biết BD = 15cm, CD = 20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, HC.

Hướng dẫn giải
Ta có:


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9

BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm)

***

Quý II2019

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có tỉ lệ
thức:
DB
AB

=

DC

4
3
⇔ AB = AC (1)
15 20
3
⇔
=
⇔
=
AC
AB AC
AB AC
4


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9

***

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ ABC vuông tại A ta
được:

Quý II2019

BC 2 = AB2 + AC 2 (2)

Thay

(1)
vào
(2)
ta
được:


AC



2

B
C

2

=

3

4

784

2

AC + AC


2
+ = BC
A
C
2

⇔
9

1
6

 9

2
⇔ 2 +25
1 AC2 AC =
= 352 ⇔ AC
=
2
28(cm
=
3535
.16⇔ AC =
= 784 ⇔ )

16
25
 16
3

3

AB = .AC = .28 =

21(cm)
4
4

Từ
đâ
y
su
y
ra:

Áp dụng hệ thức
lượng trong tam
giác vuông ABC
vuông tại A, đường
cao AH

576

2

2

T c
a ó
:

2


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng cao2
Hình
học 9
1
1

AB 2 + 21 +
AC
=
=
28
=2
AB
A .AC
C 2

=
1
+
2
AH
AB

2

Từ đây

suy ra:

84
=
16,8(=c
m) 5

1225
2

=

***

Quý II2019

25

2

21 .28
3345744

7056

7056
25

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHC
vuông tại H ta có:

2

2

2

2

2

2

2

AC = AH + HC ⇔ HC = AC − AH = 28
2
−16,8 = 501, 76 ⇒

501, 76
HC =

= 22,

4 ( cm ).

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác vuông AHB
vuông tại H ta có:
2

2

2

2

2

2

2

AB = AH + BH ⇔ BH = AB − AH = 21
2
−16,8 = 158, 76 ⇒

158, 76
BH =

=

12, 6 (cm)

Bài tập mẫu 11: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, tính chu vi
HB1

của tam giác ABC. Biết AH = 14 cm, HC  4 .

HC 
4HB
H

B

Ta có: 1
HC



4

⇔

Hướng dẫn giải


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9

***

Quý II2019

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆ ABC, ta có :
2

2

2

2

AH = HB.HC ⇔ 14 = HB.4HB ⇔ HB =

Vậy HB = 7 (cm)
và

BC = 28 + 7 =

Từ đó suy
ra:

35(cm)

14
4

= 49

HC = 28(cm) .

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:
2

2

2

2

2

AB = AH + HB = 14 + 7 = 245 ⇒

AB ≈ 15, 65(cm)

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go trong tam giác AHC vuông tại H, ta có:
2

2

2

2

2

AC = AH + HC = 14 + 28 = 980 ⇒

AC = 31, 3(cm)

Do đó: Chu vi tam giác ABC là: C = AB + BC + AC = 31, 3 +15, 65 + 35 = 81, 95(cm)
Bài tập mẫu 12: Cho hình thang vuông ABCD, A  D  900 , AB = 15cm, AD =
20cm. Các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O
a. Tính độ dài các đoạn thẳng OB, OD

b. Tính độ dài đường chéo AC

c. Tính diện tích hình thang ABCD
Hướng dẫn giải
a.Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ DAB vuông tại A
Ta có: BD2 = AB2 + AD2 = 152 + 202 = 625
Vậy

625


Phương pháp giải toán từ cơ bản đến nâng caoHình học 9

BD =

= 25(cm)

***

Quý II2019

Trong tam giác DAB vuông tại A, AO là đường cao của đường thẳng.


Nên ta
có:

1

=

1

+

1

=

2

AB + AD

2

=

2

2

15 + 20

= 625

2

O
A

AB .
2
AD

A
B

15 .2
2
0

90000

2

A
D

90000
625

Từ
đây
suy OA =
ra: (cm)

=

300

= 12

25

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go
cho tam giác AOD vuông
tại O, ta có:

2562
2
2
AD = AO + OD ⇒
2
2
2
OD = AD − AO =
2
2
20 −12 = 256 ⇒

OD =
= 16 (cm)

Áp dụng định lý Pi-Ta-Go
cho tam giác AOB vuông
tại O, ta có:
2 81
2
2
AB = AO + OB ⇒
2
2
2
OB = AB − AO =
2
2
15 −12 = 81 ⇒

OB =
9 (cm)

b.Ta có: AC = AO + OC
Do ABCD là hình thang
nên: ∆OBA ∽ ∆ODC
Từ đó ta có tỉ lệ
thức:

=