Đề-ĐA Chọn ĐT HSG Toán 8

TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP ĐỀ THI ĐỘI TUYỂN LỚP 8
MÔN TOÁN THỜI GIAN 120 PHÚT
Họ tên học sinh: ………………………………………….Số báo danh…………………….
Đề bài
Bài 1( 4đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a,
54
24
−+=
xxA
b,
333
)()()( accbbaB
−+−+−=
Bài 2(4đ): Cho đường thẳng (d):
1)2()1(2
=−+−
ymxm
(m tham số).
a, Vẽ đường thẳng (d) với
2
1
=
m
b, Tìm m biết (d) song song đường thẳng
12
−=
xy
c, CMR (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định
m
∀

.
d, Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Bài 3(2đ): Giải phương trình nghiệm nguyên.
9715
22
=−
yx
Bài 4(4đ): Giải các phương trình sau:
a,
0122
23
=+−−
xxx
b,
0231632
234
=++−+
xxxx
Bài 5(3đ): Cho hình vuông ABCD; O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G trung điểm
của AB.
CMR a,
OGBHO
∆∆
~ D
b,
GMBAHD
∆∆
~
c, MG // AH
Bài 6(3đ): Cho tam giác ABC. Từ điểm D bất kỳ trên cạnh BC, ta dựng đường thẳng (d) song

song với trung tuyến AM, (d) cắt AB ở E, cắt AC tại F.
MCR a,
AC
AB
A
AE
=
F
b, DE + DF = 2 AM
Bài làm

Đáp án
Bài 1: Bài 1 : (4 điểm)
a) Điều kiện: x
≠
±
y; y
≠
0 (1 điểm)
b) A = 2x(x+y) (2 điểm)
c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của
A
+ Từ (gt): 3x
2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1
⇒
2x
2

+ 2xy + x
2
– 2xy + y
2
+ 2(x – y) = 1
⇒
2x(x + y) + (x – y)
2
+ 2(x – y) + 1 = 2
⇒
A + (x – y + 1)
2
= 2
⇒
A = 2 – (x – y + 1)
2

2
≤
(do (x – y + 1)
0
≥
(với mọi x ; y)
⇒
A
≤
2. (0,5đ)
+ A = 2 khi
( )
x y 1 0

2x x y 2
x y;y 0
− + =


+ =


≠ ± ≠


⇔

1
x
2
3
y
2

=




=



+ A = 1 khi

( )
2
(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0

− + =

+ =


≠ ± ≠

Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y,
chẳng hạn:
2 1
x
2
2 3
y
2

−
=



+

=



+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
a)
x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
+ + + +
+ = +
x 11 x 22 x 33 x 44
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + + + = + +
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + = +
x 126 x 126 x 126 x 126
0
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + − − =
...⇔
x 126 0⇔ + =
x 126⇔ = −
b) x
2
+ y
2

+ z
2
= xy + yz + zx
⇔
2x
2
+2y
2
+ 2z
2
– 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔
(x-y)
2
+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
= 0
x y 0
y z 0
z x 0
− =


⇔ − =


− =


x y z⇔ = =
⇔
x
2009
= y
2009
= z
2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z
2009
= 3
2010

⇔
z
2009
= 3
2009

⇔
z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n
5
– n
M
10
- Chứng minh : n
5

- n
M
2
n
5
– n = n(n
2
– 1)(n
2
+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n
2
+ 1)
M
2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số
nguyên liên tiếp)
- Chứng minh: n
5
– n
M
5
n
5
- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n
2
– 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n
5
– n

M
2.5 tức là n
5
– n
M
10
Suy ra n
5
và n có chữ số tận cũng giống nhau.
Bµi 4: 6 ®iÓm
IP
Q
H
E
D
A
B C
M
C©u a: 2 ®iÓm
* Chøng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iÓm)
- Chøng minh
∆
EBD ®ång d¹ng víi
∆
ECA (gg) 0,5 ®iÓm
- Tõ ®ã suy ra
. .
EB ED
EA EB ED EC
EC EA

= ⇒ =
0,5 ®iÓm
* Chøng minh
·
·
EAD ECB=
(1 ®iÓm)
- Chøng minh
∆
EAD ®ång d¹ng víi
∆
ECB (cgc) 0,75 ®iÓm
- Suy ra
·
·
EAD ECB=
0,25 ®iÓm
C©u b: 1,5 ®iÓm
- Tõ
·
BMC
= 120
o

⇒

·
AMB
= 60
o

⇒

·
ABM
= 30
o
0,5 ®iÓm
- XÐt
∆
EDB vu«ng t¹i D cã
µ
B
= 30
o

ED =
1
2
EB


1
2
ED
EB
=
0,5 điểm
- Lý luận cho
2

EAD
ECB
S ED
S EB

=
ữ

từ đó

S
ECB
= 144 cm
2
0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh

BHD đồng dạng với

DHC (gg) 0,5 điểm
2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
= = =
0,5 điểm
- Chứng minh

DPB đồng dạng với

CQD (cgc)
ã
ã
ã
ã
` 90
o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC

=



+ =


1 điểm
Câu d: 1 điểm
- Chứng minh

BMI đồng dạng với

BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC
2
có giá trị không đổi 0,5 điểm

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB
2
+ AC
2
= BC
2