CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM
MỤC LỤC
Nội dung

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn chuyên đề
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Thực trạng vấn đề và hướng giải quyết
NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
PHẦN I: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN
NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I. Lý thuyết
II. Một số dạng bài tập
III. Một số bài tập tương tự
PHẦN II: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ

Trang
3
3
3
3
3
4
4
4
9

I. Lý thuyết

14

II. Một số dạng bài tập

15

III. Một số bài tập tương tự
PHẦN III: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI VỀ GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

19

I. Lý thuyết

23

II. Một số dạng bài tập

24

III. Một số bài tập tương tự
PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP

28
32


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn chuyên đề

Các bài toán về đồ thị đạo hàm trong các đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017 là một dạng
toán tương đối lạ với học sinh trường THPT. Đây là dạng toán thuộc mức độ vận dụng và vận
dụng cao, yêu cầu học sinh có kĩ năng tổng hợp, đánh giá , phán đoán để tìm ra phương án giải
quyết.
Với mong muốn cải thiện năng lực nhận thức, giúp học sinh dần tự tin, có định hướng
khi đứng trước một bài toán mà các em vẫn nghĩ là khó, tôi đã tập hợp một số dạng bài tập về đồ
thị đạo hàm nhằm làm tư liệu giảng dạy.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm cải thiện kĩ năng giải một số bài toán về đồ thị đạo hàm cho
HS lớp 12A trường THPT.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi của chuyên đề là một số bài toán về đồ thị đạo hàm
b) Đối tượng áp dụng chuyên đề
Tôi đã nghiên cứu và hoàn thiện chuyên đề từ tháng 8 năm 2019 đến tháng 10 năm 2019
và đang áp dụng trong giảng dạy chuyên đề cho học sinh trường Trung học phổ thông Phạm
Công Bình .
4. Thực trạng vấn đề và hướng giải quyết
Đối với HS của chúng tôi, các em thường không có định hướng hoặc không phát hiện ra
ý đồ của đề bài ra trong các bài toán mà đề bài cho đồ thị của đạo hàm chứ không phải là đồ thị
của hàm số như hay gặp, một số khác thương nhầm lẫn đó là đồ thị của hàm số, bên cạnh đó, là
kĩ năng chuyển từ đồ thị đạo hàm sang bảng biến thiên của các em còn lúng túng,
Để phần nào cải thiện kĩ năng làm bài cho HS; tôi đã sưu tầm, biên soạn thành bộ tài liệu
giảng dạy trong 9 tiết với các dạng bài tập từ dễ đến khó, sau các bài tập ví dụ là các bài tập
tương tự để học sinh rèn luyện. Nội dung bao gồm một số dạng bài về đồ thị đạo hàm trong một
số bài về tính đơn điệu, cực trị và giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của hàm số.

-2-

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
PHẦN I: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN
CỦA HÀM SỐ
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng
hoặc một đoạn.
• Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) trên K nếu " x1 , x2 Î K , x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
• Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu " x1 , x2 Î K , x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ¢( x ) ³ 0, " x Î K .
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ¢( x ) £ 0, " x Î K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .
• Nếu f ¢( x ) > 0, " x Î K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
• Nếu f ¢( x ) < 0, " x Î K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
• Nếu f ¢( x ) = 0, " x Î K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
 Chú ý.
 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x )
liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục
trên đoạn [ a; b ] và có đạo hàm f ¢( x ) > 0, " x Î K trên khoảng ( a; b) thì hàm số đồng
biến trên đoạn [ a; b ] .
 Nếu f ¢( x ) ³ 0, " x Î K ( hoặc f ¢( x ) £ 0, " x Î K ) và f ¢( x ) = 0 chỉ tại một số điểm
hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K(hoặc nghịch biến trên khoảng K ).
II. Một số dạng bài tập
Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ¡ . Hàm số y = f ¢( x ) có đồ thị
như hình vẽ dưới đây:

Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) ?

-3-

Bài giải:
Nhận xét:

éx =- 1
ê
x =0
- Từ đồ thị hàm số ta có: f ¢( x ) = 0 Û ê
ê
êx = 2
ë
- Mặt khác: Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) nằm phía trên trục Ox ứng với
x Î ( - 1;0) È ( 1; +¥ ) ; đồ thị hàm số y = f ¢( x ) nằm phía dưới trục Ox ứng với
x Î ( - ¥ ;1) È ( 0;2) . Tức là: f ¢( x) > 0 trên khoảng ( - 1;0) È ( 1; +¥ ) ; f ¢( x) < 0
trên khoảng ( - ¥ ;1) È ( 0;2) .
Vậy bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
+) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên các khoảng ( - 1;0) và ( 2;+¥ ) .
+) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 1) và ( 0;2) .
Bài tập 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như
hình sau:

Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) ?
Bài giải :
Nhận xét:

éx =- 2
ê
ëx =1

+ Từ đồ thị hàm số ta có: f ¢( x ) = 0 Û ê

f ¢( x) > 0 trên khoảng ( - 2;1) và ( 1;+¥ )
f ¢( x) < 0 trên khoảng ( - ¥ ;- 2) .
+Vậy bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau:
+ Mặt khác:

-4-


Tương tự như bài tập 1; từ đồ thị của hàm số y = f ¢( x ) ta có hàm số y = f ( x )
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 2; +¥ ) .
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 2) .
Trong các bài tập trên, để xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = f ( x ) thì học sinh
cần có kĩ năng đánh giá về dấu của f ¢( x ) dựa vào đồ thị của nó. Đối với những bài yêu cầu
xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm y = f ( u ) dựa vào đồ thị của y = f ¢( x ) thì học sinh
cần nhớ đến công thức đạo hàm của hàm hợp. Ta xét các bài tập sau đây.
Bài tập 3: (Trích đề thi thử THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có
đạo hàm liên tục trên ¡ , biết rằng hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình dưới

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( 2 - x ) + 2019 .
Bài giải: Tập xác định: D = ¡
Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( 2 - x ) + 2019 ta hướng dẫn học
sinh như sau:
Đặt g (x) = f ( 2 - x ) + 2019 ; tính g '( x ) , tìm nghiệm phương trình g '( x ) = 0
Ta có: y ' =- f '( 2 - x ) .

éx =- 2
Suy ra

ê
x
=
1
ë

Mặt khác: f ¢( x ) = 0 Û ê

é2 ê
ê2 y ' = 0 Û f '( 2 - x ) = 0 Û ê
ê2 ê
ê2 ë

x =- 2
x =0
Û
x =1
x =2

-5-

éx = 4
ê
êx = 2
ê
êx =1
ê
êx = 0
ë

Bảng xét dấu y ' =- f '( 2 - x ) :

Suy ra hàm số đồng biến trên ( 0;1) ,( 2;4) ; hàm số nghịch biến trên các khoảng

( - ¥ ;0) ,( 1;2) ,( 4; +¥ )
Bài tập 4 : (Trích đề thi thử của trường THPT Lê Quý Đôn-Q.Ngãi 2019) Cho hàm số
y = f ( x ) xác định và liên tục trên ¡ có đồ thị hàm f ¢( x) như hình vẽ bên. Tìm
2
khoảng nghịch biến của hàm số y = f ( x - 1) .

Bài giải: Tập xác định: D = ¡

2
Ta có y ¢= 2 x. f ¢( x - 1) .

éx = 0
ê
2
y ¢= 0 Û 2 x. f ¢( x 2 - 1) = 0 Û ê
êx - 1 =- 2 Û
êx 2 - 1 = 0
ê
ë

éx = 0
ê
êx 2 =- 1 Û
ê
êx 2 =1

ê
ë

éx = 0
ê
Û
êx 2 =1
ë

éx = 0
ê
êx =1
ê
êx =- 1
ë

Ta có bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f ( x 2 - 1) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
Qua các bài tập trên , ta có nhận xét như sau:

-6-


Bài toán đề cập tới chủ đề tính đơn điệu của hàm hợp không chứa tham số. Nội dung
bài toán:“Biết đồ thị hàm số y = f ¢( x)

(

xét tính đơn điệu của hàm số

)

y = g( x) = f u ( x) + h ( x) ”

Hướng giải bài toán: Ta cần sử dụng các tính chất sau:
* Tính chất về điều kiện để một hàm số đơn điệu trên 1 khoảng K
a. Nếu y = g¢( x) = u¢( x) .f ¢( u ( x) ) ³ 0, " x Î K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm) thì hàm số y = g( x) = f ( u ( x) ) đồng biến trên K .
b. Nếu y = g¢( x) = u¢( x) .f ¢( u ( x) ) £ 0, " x Î K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm) thì hàm số y = g( x) = f ( u ( x) ) nghịch biến trên K .
c. Nếu y = g¢( x) = u¢( x) .f ¢( u ( x) ) + h¢( x) ³ 0, " x Î K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số
hữu hạn điểm) thì hàm số y = g( x) = f ( u ( x) ) + h ( x) đồng biến trên K .
d. Nếu y = g¢( x) = u¢( x) .f ¢( u ( x) ) + h¢( x) £ 0, " x Î K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số
hữu hạn điểm) thì hàm số y = g( x) = f ( u ( x) ) + h ( x) nghịch biến trên K .
Ngoài ra, trong một số dạng bài, ta cần sử dụng: Tính chất về sự so sánh giá trị của
hai hàm số trên một khoảng K: Nếu trên khoảng K mà đồ thị hàm số y = f ( x) nằm
phía trên đồ thị y = g( x) thì f ( x) > g( x) , " x Î K .
Ta xét bài tập áp dụng tính chất trên:
Bài tập 5: (Trích đề thi thử ĐH Vinh lần 3- 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục
trên ¡

và đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình bên. Tìm khoảng đồng biến của hàm số

y = f ( x - 1) + x2 - 2x .

2
Bài giải: Ta có y = f ( x - 1) + x - 2x

-7-

Khi đó y¢= f ¢( x - 1) + 2x - 2 . Hàm số đồng biến khi y¢³ 0
Û f ¢( x - 1) + 2( x - 1) ³ 0 ( 1)

Đặt t = x - 1 thì ( 1) trở thành: f ¢( t ) + 2t ³ 0 Û f ¢( t) ³ - 2t .
Quan sát đồ thị hàm số y = f ¢( t ) và y = - 2t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình
vẽ.

Khi đó ta thấy với t Î ( 0;1) thì đồ thị hàm số y = f ¢( t ) luôn nằm trên đường thẳng
y = - 2t .
2
Suy ra f ¢( t ) + 2t > 0, " t Î ( 0;1) . Do đó " x Î ( 1;2) thì hàm số y = f ( x - 1) + x - 2x

đồng biến.

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên ¡ . Biết f ( x ) có đạo hàm f '( x ) và
hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Bài tập 2: Cho hàm số f ( x ) xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số f '( x ) là đường cong trong
hình bên. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số.

-8-


Bài tập 3: (Trích đề thi thử chuyên Hưng Yên Lần 3-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
trên ¡ , thỏa mãn f ( - 1) = f ( 3) = 0 và đồ thị của hàm số y = f ¢( x ) có dạng như
2

hình dưới đây. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = ( f ( x ) ) .
4
3
2
1

f(x)=-X^3+3X^2+X-3
-3

-2

-1

-1
-2
-3
-4

y

x
1

2

3

Bài tập 4: (Trích đề thi thử Sở Bắc Ninh 2019) Cho y = f ( x ) là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị
hàm số

y = f ¢( x ) như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số

y = f ( 5 - 2 x ) + 4 x 2 - 10 x.

Bài tập 5: (Trích đề thi thử lần 5 2019-báo THTT) Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị
2
hàm số y = f ¢( x ) như hình vẽ bên. Hàm số g ( x) = f ( x + x - 1) đồng biến trên

khoảng nào ?

Bài tập 6: (Trích đề thi thử Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ
thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ dưới.

-9-


Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f ( x ) - x 2 + 2 x .
Hướng dẫn giải bài tập tương tự
Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ , thỏa mãn f ( - 1) = f ( 3) = 0 và đồ thị
của hàm số y = f ¢( x ) có dạng như hình dưới đây. Tìm khoảng nghịch biến của hàm
2

số y = ( f ( x ) ) .
4
3
2
1

f(x)=-X^3+3X^2+X-3
-3

-2

-1

y

x
1

-1
-2
-3
-4

2

3

Giải: Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y = f ( x ) :

(

y ¢= ( f ( x ) )

2

)

¢

= 2 f ( x ) . f ¢( x ) .

Ta có bảng xét dấu của y ¢=

¢

( ( f ( x) ) ) :
2

2

Ta được hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến trên ( 1;2) .
Bài tập 4: Cho y = f ( x ) là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như hình vẽ. Tìm
khoảng đồng biến của hàm số y = f ( 5 - 2 x ) + 4 x 2 - 10 x.

- 10 -


Ngoài phương pháp như đã làm ở trên, ta có thể làm theo cách khác như sau:
Từ đồ thị của y = f ¢( x ) ta suy ra y = f ¢( x ) có hai điểm cực trị A( 0;1) , B ( 2;5) .
3

ax
2
Ta có f ¢¢( x ) = ax ( x - 2) = ax - 2ax , do đó y = f ¢( x ) =
- ax 2 + b ( 1) .
3
ïìï b =1
ïì b =1
Û ïí

Thay tọa độ các điểm A, B vào ( 1) ta được hệ: ïí 8a
.
ïï - 4a + b = 5 ïïî a =- 3
ïî 3
3
2
Vậy f ¢( x ) =- x + 3 x +1 .
2
Đặt g ( x ) = f ( 5 - 2 x ) + 4 x - 10 x hàm có TXĐ ¡ .
3
2
ù
¢
Đạo hàm g ¢( x) =- 2 é
ëf ( 5 - 2 x ) - 4 x + 5û=- 4( 4 x - 24 x + 43 x - 22) ,

éx = 2
ê
g ¢( x) = 0 Û ê 4 ± 5
êx =
ê
2
ë
Ta có bảng xét dấu của g ¢( x )

Bài tập 5: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như hình vẽ bên. Hàm
2
số g ( x ) = f ( x + x - 1) đồng biến trên khoảng

Giải: Ngoài cách giải như các BT nêu trên, ta có thể làm theo cách khác như sau:

2

Dựa vào đồ thị ta có: f ¢( x ) = a ( x +1)( x - 1) với a > 0

- 11 -


g ¢( x) = ( 2 x +1) f ¢( x 2 + x - 1) = a ( 2 x +1) ( x 2 + x )( x 2 + x - 2)
2

= ax ( 2 x +1)( x +1)( x - 1) ( x + 2)

2

2

Bảng biến thiên

Bài tập 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ :

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = f ( x ) - x 2 + 2 x .
Giải:

Đặt y = g ( x ) = f ( x ) - x 2 + 2 x .
Ta có: g ¢( x) = ( f ( x ) - x 2 + 2 x )¢= f ¢( x ) - 2 x + 2 .

Þ g ¢( x) = 0 Û f ¢( x) = 2 x - 2 .
Số nghiệm của phương trình g ¢( x) = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
f ¢( x) và đường thẳng (D ) : y = 2 x - 2 (như nhình vẽ dưới).

éx =- 1
ê
êx =1
¢
g
x
=
0
Û
Dựa vào đồ thị ta thấy ( )
ê
êx = 3
ë
Dấu của g ¢( x) trên khoảng (a; b) được xác định như sau:
Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm f ¢( x) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng
(D ) : y = 2 x - 2 thì g ¢( x) ³ 0 " x Î ( a; b) .

- 12 -


Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm f ¢( x) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng

(D ) : y = 2 x - 2 thì g ¢( x) £ 0 " x Î ( a; b) .Dựa vào đồ thị ta thấy trên (- 1;1) đồ thị
hàm f ¢( x) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng (D ) : y = 2 x - 2 nên
g ¢( x) £ 0 " x Î (- 1;1) .Do đó hàm số nghịch biến trên (- 1;1) .

PHẦN II: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. lý thuyết
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 Î K . Ta nói:

• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b) chứa x0 sao cho

( a; b) Ì K và f ( x) > f ( x0 ) , " x Î ( a; b) \ { x0 } . Khi đó f ( x0 )

được gọi là giá trị cực

tiểu của hàm số f .
• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b) chứa x0 sao cho

( a; b) Ì K và f ( x) < f ( x0 ) , " x Î ( a; b) \ { x0 } . Khi đó f ( x0 )

được gọi là giá trị cực

đại của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm
số.
Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) được gọi là điểm cực trị của đồ

•
•
•
•
•

thị hàm số f .
* Nhận xét:

• Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
hàm số f trên tập D; f ( x0 ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một
khoảng ( a; b) nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn
tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f ( x0 ) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên
khoảng ( a; b) .
• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể
không có cực trị trên một tập cho trước.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y = f ( x ) có đạo hàm
tại điểm x0 thì f ¢( x0 ) = 0.
Chú ý:

- 13 -


• Đạo hàm f ¢( x ) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm

x0 .

• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm

x0 thì f '( x0 ) = 0 .

• Nếu trên khoảng ( x0 - h; x0 ) và f ¢( x ) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f ( x ) .
• Nếu f ¢( x ) < 0 trên khoảng ( x0 - h; x0 ) và f ¢( x ) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) .
4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ¢( x ) .
• Bước 2: Tìm các điểm xi ( i =1;2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm
số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ¢( x ) . Nếu f ¢( x ) đổi dấu khi đi qua

xi thì hàm số đạt cực trị tại xi .
Định lí 3:
Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( x0 - h; x0 + h) với h > 0. Khi đó:
• Nếu f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0 .
• Nếu f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ¢( x ) .
• Bước 2: Tìm các nghiệm xi ( i =1;2;...) của phương trình f ¢( x ) = 0.
• Bước 3: Tính f ¢¢( x ) và tính f ¢¢( xi ) .

¢( xi ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi .
∗ Nếu f ¢
¢( xi ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi .
∗ Nếu f ¢
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ¡ có đồ thị của hàm y = f ¢( x )
như hình vẽ đưới đây. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

- 14 -

Bài giải: Từ đồ thị của hàm số đã cho nhận thấy dấu của đạo hàm như bảng biến thiên của hàm
số y = f ( x ) dưới đây:

Vậy hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị.
Bài tập 2: (Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Du-Đ Lăc 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên
tục trên R và có đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm
số y = f ( x ) .

Bài giải: Từ đồ thị hàm số y = f ¢( x ) ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài tập 3: (Trích đề thi thử sở GD-ĐT Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức
'
có f ( - 2) < 0 và đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên dưới.

Số cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x ) là bao nhiêu?

y = ±¥ và lim y =±¥
Bài giải: Vì y = f ( x ) là hàm đa thức nên xlim
®+¥
x®- ¥

- 15 -


'
Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) và f ( - 2) < 0 , ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g ( x ) = f ( x ) có 3 cực trị.
Bài tập 4: (Trích đề thi thử ĐHSP HN 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên

¡ có đồ thị đạo hàm y = f ¢( x ) như hình bên.

2
Tìm điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) - x - x.

Bài giải:

Ta có: y ¢= f ¢( x ) - ( 2 x +1) ⇒ y ¢= 0 Û f ¢( x ) = 2 x +1 .

Từ đồ thị ta thấy x = 0 là nghiệm đơn của phương trình y ¢= 0 .
Ta có bảng biến thiên trên ( - ¥ ;2) :

- 16 -


:

Từ bảng biến thiên ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Bài tập 5: (Trích đề thi thử ĐH Vinh lần 3-2019) Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hàm số

1
y = f '( x ) được cho như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x ) + x 2 - f ( 0) có nhiều nhất bao
2
nhiêu điểm cực trị trong khoảng ( - 2;3) ?

x2
Bài giải: Đặt g ( x ) = f ( x ) + - f ( 0)
2

éx =- 2( L)

ê
Ta có: g '( x ) = f '( x ) + x , g '( x ) = 0 Û êx = 0
ê
êx = 2
ë
( Nhận xét: x = 2 là nghiệm bội lẻ, x = 0 có thể nghiệm bội lẻ hoặc nghiệm bội chẳn
tuy nhiên không ảnh hưởng đáp số bài toán)

Suy ra hàm số y = g ( x ) có nhiều nhất 3 điểm cực trị trong khoảng ( - 2;3) .

- 17 -


Các bài tập tương tự:
Bài tập 1: Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.

Tìm số điểm cự đại, cực tiểu của hàm số y = f ( x )
Bài tập 2: (Trích đề thi thử THPT Ngô Quyền-Hà Nội 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) - 5 x là bao nhiêu
Bài tập 3:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như
hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) + 2 x là bao nhiêu?

Bài tập 4: (Trích đề thi thử THPT Lê Xoay lần 1-2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có
đạo hàm trên [ 0;6] . Đồ thị của hàm số y = f ¢( x ) trên đoạn [ 0;6] được cho bởi hình
2

ù
bên dưới. Hỏi hàm số y = é

ëf ( x ) û có tối đa bao nhiêu cực trị?

- 18 -


Bài tập 5: Cho hàm số y = f ( x ) và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f '( x ) . Hỏi đồ thị
của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) -

( x - 1)

2

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn giải bài tập tương tự
Bài tập 1: Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.Tìm số điểm cực
đại, cực tiểu của hàm số y = f ( x )

Bài giải: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) , ta có bảng xét dấu:

Như vậy: trên K , hàm số y = f ( x ) có điểm cực đại là x2 và điểm cực tiểu là x1 ,
Bài tập 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như
hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) - 5 x là bao nhiêu?
Bài giải: Ta có y = f ( x ) - 5 x . Suy ra y ¢= f ¢( x ) - 5 .

- 19 -

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) - 5 x là số nghiệm bội lẻ của phương trình
y ¢= 0 .
Ta có y ¢= f ¢( x ) - 5 = 0 Û f ¢( x) = 5 .

Dựa vào đồ thị ta có y = f ¢( x) cắt đường thẳng y = 5 tại duy nhất một điểm. Suy ra
số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) - 5 x là 1 .
Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như
hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) + 2 x là bao nhiêu?

Bài giải: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2 x . Ta có g ¢( x ) = f ¢( x ) + 2 . Từ đồ thị hàm số f ¢( x )
Ta thấy:

éx =- 1
ê
¢
¢
g
x
=
0
Û
f
x
=2
Û
( )
+ ( )
êx = a ( a > 0) .
ë
ïì x < a

+ g ¢( x ) > 0 Û f ¢( x ) >- 2 Û ïí
.
ïïî x ¹ - 1
+ g ¢( x ) < 0 Û f ¢( x ) <- 2 Û x > a .
Từ đó suy ra hàm số y = f ( x ) + 2 x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị
x =a .
Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị.

- 20 -


Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên [ 0;6] . Đồ thị của hàm số
2

y = f ¢( x ) trên đoạn [ 0;6] được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số y = éf ( x ) ù có
ë
û

tối đa bao nhiêu cực trị?

2

ù Þ y ¢= 2 f ( x ) . f ¢( x ) .
Bài giải: Ta có y = é
ëf ( x ) û
éf ( x ) = 0
y ¢= 0 Û ê
êf ¢( x) = 0
ê
ë

f ¢( x) = 0 Û x Î {1;3;5} .

Dựa vào đồ thị hàm số của y = f ¢( x ) ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )
trên đoạn [ 0;6] .
Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f ( x ) = 0 có tối đa bốn nghiệm phân biệt với

0 < x1 <1 < x2 < 3 < x3 < 5 < x4 < 6 .
Do đó, phương trình y ¢= 0 có tối đa 7 nghiệm phân biệt và đều là nghiệm đơn.
2
ù có tối đa 7 cực trị.
Vậy hàm số y = é
f
x
(
)
ë
û
Bài tập 5: Cho hàm số y = f ( x ) và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f '( x ) . Hỏi đồ thị
của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) -

Bài giải: Đặt h ( x ) = 2 f ( x ) -

( x - 1)

2

2

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

( x - 1) Þ h '( x) = 2 f '( x) - 2( x - 1) .

Ta vẽ thêm đường thẳng y = x - 1 .

- 21 -


Ta có h '( x ) = 0 Û f '( x ) = x - 1 Û x = 0; x =1; x = 2; x = 3; x = a ( a Î ( 1;2) )
Theo đồ thị h '( x ) > 0 Û f '( x ) > x - 1 Û x Î ( 0;1) È ( a;2) È ( 3; +¥ ) .
Lập bảng biến thiên của hàm số h ( x ) .

Đồ thị hàm số g ( x ) có nhiều điểm cực trị nhất khi h ( x ) có nhiều giao điểm với trục
hoành nhất, vậy đồ thị hàm số h ( x ) cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm
số g ( x ) có tối đa 11 điểm cực trị.

PHẦN III: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.

ìïï f ( x) £ M , " x Î D
y
=
f
x
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
.
( ) trên D nếu: í
ïïî $x0 Î D, f ( x0 ) = M
ìï f ( x) ³ m, " x Î D

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu: ïí
.
ïïî $x0 Î D, f ( x0 ) = m
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
• Bước 1: Tính f ¢( x ) và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn Î D mà tại đó f ¢( x ) = 0 hoặc hàm
số không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
• Bước 1:
∗ Hàm số đã cho y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ].

- 22 -


∗ Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng ( a; b) , tại đó f ¢( x ) = 0 hoặc f ¢( x ) không
xác định.
• Bước 2: Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( b ) .
• Bước 3: Khi đó:

f ( x) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } .
∗ max
[ a ,b]
f ( x) = min { f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } .
∗ min
[ a ,b]

2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
• Bước 1: Tính đạo hàm f ¢( x) .
• Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi Î (a; b) của phương trình f ¢( x) = 0 và tất cả các

điểm ai Î (a; b) làm cho f ¢( x) không xác định.

f ( x) , B = lim- f ( x) , f ( xi ) , f (ai ) .
• Bước 3. Tính A = xlim
® a+
x®b
f ( x) , m = min f ( x ) .
• Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = max
( a ;b )
( a ;b )
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:

ìï min f ( x) = f ( a )
ï [ a ;b]
• Nếu y = f ( x ) đồng biến trên [ a; b ] thì ïí
.
ïï max f ( x) = f ( b)
ïî [ a ;b]
ìï min f ( x) = f ( b)
ï [ a ;b]
.
• Nếu y = f ( x ) nghịch biến trên [ a; b ] thì ïí
ïï max f ( x) = f ( a )
ïî [ a ;b]

• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
khoảng đó.

II. Một số dạng bài tập

Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [- 2;2] , có đồ thị của hàm số
y = f ¢( x ) như hình dưới. Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất
trên [- 2;2] .
y
x
−2 −1 O 1

éx =- 1
.
ê
ëx =1

Bài giải: +Từ đồ thị ta có f ¢( x ) = 0 Û ê
+Bảng biến thiên:

- 23 -

2


+Vậy x0 =1.
Bài tập 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

3
2

æö
x÷

fç
÷
ç
÷trên đoạn [ 0;2] .
ç
è2 ø

Bài giải:
Ta có : g '( x ) =

æö
3 æö
x÷
x÷
ç
f 'ç
g
'
x
=
0
Û
f
'
(
)
,
÷
÷
ç

ç
÷
÷= 0 Û
ç2 ø
è2 ø
è
4 ç

éx = 0
ê
. Từ đó lập bảng biến
ê
x
=
4
ë

thiên của hàm số g ( x ) trên đoạn [ 0;2] ta được GTLN là 3, GTNN là 0.
Bài tập 3:(Trích đề thi thử THPT Thuận Thành 2-Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ
thị f ¢( x ) như hình vẽ

- 24 -


Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = f ( x ) -

1 3
x + x - 1 trên đoạn [- 1;2] bằng
3

5
A. f ( −1) − .
3

5
C. f ( 2 ) − .
3

1
B. f ( 1) − .
3

Bài giải:
2
Ta có: g ¢( x ) = f ¢( x ) - x +1 = f ¢( x ) -

( x 2 - 1) = 0 Û

1
D. − .
3

f ¢( x ) = x 2 - 1 (*)

Từ đồ thị ta cáo bảng xét dấu

Giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) = f ( x ) -

f ( 1) -

1 3
x + x - 1 trên đoạn [- 1;2] bằng
3

1
3

Bài tập 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ¢( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ¢( x ) được cho như
hình vẽ bên.
Biết rằng

f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x)
trên đoạn [ 0;5]?

- 25 -