Bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

BÀI TOÁN TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 Cho điểm M  x; y; z  :
+ Hình chiếu của điểm M trên Ox là M 1  x; 0;0  .
+ Hình chiều của điểm M trên Oy là M 2  0; y; 0  .
+ Hình chiếu của điểm M trên Oz là M 3  0; 0; z  .
+ Hình chiếu của điểm M trên  Oxy  là M 4  x; y; 0  .
+ Hình chiếu của điểm M trên  Oyz  là M 5  0; y; z  .
+ Hình chiếu của điểm M trên  Ozx  là M 6  x; 0; z 
 Tìm hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng  
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với   .
+ Hình chiếu H của điểm A là giao điểm của đường thẳng d và   .
 Tìm hình chiếu d  của đường thẳng d trên mặt phẳng   .
* Cách 1
- Nếu đường thẳng d song song với   thì d //d 
+ Lấy điểm M thuộc đường thẳng d và tìm hình chiếu M  của điểm M trên   .
+ Đường thẳng d  đi qua M  và song song với đường thẳng d .
- Nếu đường thẳng d cắt   tại M
+ Lấy điểm N thuộc đường thẳng d và tìm hình chiếu N  của N trên   .
+ Đường thẳng d  đi qua hai điểm là M và N  .
* Cách 2
+ Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng d và vuông góc với   .
+ Khi đó đường thẳng d  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và    .
 Tìm hình chiếu A của A trên đường thẳng d .
* Cách 1:
+ Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa A và vuông góc với d .

+ Hình chiếu A là giao điểm của d và  P  .
* Cách 2:
Trang 117


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

+ Tìm tọa độ điểm A theo tham số t  A d  .
 
+ Lập phương trình AA.ud  0 . Giải phương trình tìm t suy ra tọa độ điểm A .
 Tìm điểm M  đối xứng với M qua  P  :
+ Tìm hình chiếu H của M trên  P  (khi đó H là trung điểm MM  ).
+ Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm suy ra tọa độ điểm M  .

BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
M  2; 2;1 trên mặt phẳng  Oxy  có tọa độ là

A.  2; 0;1 .

C.  0; 2;1 .

B.  2; 2; 0  .

D.  0; 0;1 .

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định hình chiếu của điểm trong không gian trên mặt phẳng tọa

độ.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định các tọa độ của điểm M .
B2: Viết kết luận.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm M  2; 2;1 trên mặt phẳng  Oxy  có tọa độ là  2; 2; 0 
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 1.1: Hình chiếu vuông góc của điểm A  2;3; 1 trên mặt phẳng  Oyz  là điểm
A. M  2; 0;0  .

B. N  0; 3;1 .

C. P  0;3; 1 .

D. Q  2;3; 1 .

Lời giải
Chọn C
Hình chiếu vuông góc của điểm A  2;3; 1 trên mặt phẳng  Oyz  là điểm P  0;3; 1
Câu 1.2: Hình chiếu vuông góc của điểm A  3;1; 1 trên mặt phẳng  Oxz  là điểm
A. A  3; 0; 1 .

B. A  0;1; 0  .

C. A  3;1;1 .

D. A  0;1; 1 .

Lời giải
Chọn A
Hình chiếu vuông góc của điểm A  3;1; 1 trên mặt phẳng  Oxz  là điểm A  3; 0; 1 .
Câu 1.3: Hình chiếu vuông góc của điểm A  5; 4;3  trên trục Ox là điểm
A. A  5; 4; 0  .

B. A  5;0; 0  .

C. A  5; 4; 3  .

D. A  5; 4; 3 .
Trang 118


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm A  5; 4;3  trên trục Ox là điểm A  5; 0;0 
Câu 1.4: Hình chiếu vuông góc của điểm A  3;5;8  trên trục Oy là điểm
A. A  3; 0;8  .

B. A  3;5; 8  .

C. A  0;5;8  .

D. A  0;5; 0  .

Lời giải
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của điểm A  3;5;8  trên trục Oy là điểm A  0;5; 0  .





Câu 1.5: Hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 5;7 trên trục Oz là điểm





A. A 3; 5; 0 .





C. A  0;0; 7  .

B. A 5; 5; 7 .

D. A  0;0; 7  .

Lời giải
Chọn C





Hình chiếu vuông góc của điểm A 3; 5;7 trên trục Oz là điểm A  0;0; 7  .
Câu 1.6: Hình chiếu của điểm M 1; 2; 4  trên mặt phẳng   : 3 x  2 y  z  11  0 có hoành độ bằng
A. 2.

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn C
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với   : 3 x  2 y  z  11  0 .
 
Vì d    nên ud  n    3;2; 1 .
 x  1  3t

Suy ra phương trình đường thẳng d là  y  2  2t .
z  4  t


Gọi M  là hình chiếu của M trên mặt phẳng   khi đó M   d     tọa độ điểm M 

 x  1  3t
 x  1  3t
 y  2  2t
 y  2  2t




thỏa mãn hệ phương trình 
z  4  t
z  4  t
3x  2 y  z  11  0 3 1  3t   2  2  2t    4  t   11  0

 x  2
y  0


 M   2; 0;5  .
z  5
t  1
Câu 1.7: Tìm hình chiếu của điểm M  2;0;1 trên mặt phẳng   : x  y  z  0 .
A. M  1; 1;0  .

B. M   3;1; 2  .

C. M   2;0;1 .

D. M   4; 2;3  .

Lời giải
Chọn A
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với   : x  y  z  0 .
Trang 119

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

 
Vì d    nên ud  n   1;1;1 .
x  2  t

Suy ra phương trình đường thẳng d là  y  t
.
z  1 t


Gọi M  là hình chiếu của M trên mặt phẳng   khi đó M   d     tọa độ điểm M 
x  2  t
x  2  t
x  1
y  t
y  t
 y  1



thỏa mãn hệ phương trình 
 M  1; 1; 0  .


z  1 t
z  1 t
z  0

 x  y  z  0
 2  t  t  1  t  0
t  1
 x  1  2t

Câu 1.8: Hình chiếu d của đường thẳng d :  y  3  t trên mặt phẳng  Oxy  có phương trình là
 z  1  2t

 x  1  2t

A.  y  3  t .
z  0


 x  1  4t

B.  y  2  2t .
z  0


 x  1  2t

C.  y  3  t .
z  0

Lời giải

 x  3  2t

D.  y  3  t .

z  0


Chọn C
 x  1  2t

Phương trình đường thẳng d là  y  3  t .
z  0


x 1 y  2 z

 trên mặt phẳng  Oyz  .
2
1
2
x  0
x  0


C.  y  1  t .
D.  y  2  t .
 z  2t
 z  2t


Lời giải

Câu 1.9: Tìm phương trình hình chiếu d của đường thẳng d :
x  0


A.  y  2  t .
 z  2t


x  0

B.  y  3  t .
 z  1  2t


Chọn D
 x  1  2t

Phương trình tham số của đường thẳng d là  y  2  t .
 z  2t

x  0

 Phương trình đường thẳng d  là  y  2  t .
 z  2t

x  2  t

Câu 1.10: Hình chiếu d  của đường thẳng d :  y  3  t trên mặt phẳng  Oxz  là
 z  2t


Trang 120

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

x  4  t

A.  y  0
.
 z  3  2t


50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

x  2  t

B.  y  0
.
 z  4  2t


x  4  t

C.  y  0
.
 z  4  2t


x  3  t

D.  y  0
.

 z  4  2t


Lời giải
Chọn C
x  2  t

Phương trình đường thẳng d  là  y  0 .
 z  2t

x  4  t

Chọn t  2  A  4; 0; 4  do đó phương trình đường thẳng d còn có dạng: t  0
.
 z  4  2t


x  3 y 1 z  1


và mặt phẳng
3
1
1
 P  : x  z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d

Câu 1.11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

lên mặt phẳng  P  .
 x  3  3t


A.  y  1  t .
 z  1  t


 x  3t

B.  y  1  t .
 z  1  t


x  3  t

C.  y  1
.
 z  1  t

Lời giải

 x  3t

D.  y  1  2t .
 z  1  t


Chọn C
 x  3  3t

Cách 1 : Ta có phương trình tham số của đường thẳng d :  y  1  t đi qua điểm M  3;1; 1
 z  1  t



và có vectơ chỉ phương ud   3;1; 1 .

Vì điểm M  3;1; 1   P  nên M  d   P  .
Gọi điểm O   0; 0; 0   d và K là hình chiếu của O trên  P  .
Gọi đường thẳng  đi qua O và vuông góc với mặt phẳng  P  suy ra đường thẳng  nhận

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  làm vectơ chỉ phương u  1; 0; 1 .
x  t '

Phương trình đường thẳng  là  y  0 .
 z  t '


Khi đó K     P  .
x  t '
t '  2
y  0
x  2




 K   2; 0; 2  .
 z  t '
y  0
 x  z  4  0
 z  2
Trang 121

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng  P  là đường thẳng MK .

Véctơ chỉ phương MK   1; 1; 1  1 1;1;1 .

 x  3t

Phương trình đường thẳng MK là  y  1  t .
 z  1  t


Cách 2 : Gọi  Q  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với  Q  .


 Q    P 

 
nQ   n P 
 
 nên  Q  có một vectơ pháp tuyến là nQ    n P  , ud    1; 2; 1 .

 Q   d
nQ   ud
Lấy điểm O  0; 0;0   d  O   Q  .


Mặt phẳng  Q  đi qua điểm O và có vectơ pháp tuyến n   1; 2; 1 có phương trình là

x  2 y  z  0 .
Gọi d  là hình chiếu của d trên  P   d    P    Q  nên d  có một vectơ chỉ phương là

 1  
ud   n P , nQ    1;1;1 .

2
 M   P 
 x  zM  4  0
Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng d   
 M
.
 M   Q 
 xM  2 yM  z M  0
 z 1  0
y 1
Chọn x  3 ta được  M
 M  3;1; 1 .
 M
 2 yM  z M  3
 z M  1

Đường thẳng d  đi qua điểm M  3;1; 1 và có vectơ chỉ phương là u  1;1;1 có phương trình

x  3  t

là  y  1  t .

 z  1  t


x  12 y  9 z  1


, và mặt thẳng
4
3
1
 P  : 3 x  5 y  z  2  0 . Gọi d ' là hình chiếu của d lên  P  . Phương trình tham số của d ' là

Câu 1.12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

 x  62t

A.  y  25t .
 z  2  61t


 x  62t

B.  y  25t .
 z  2  61t


 x  62t

C.  y  25t .
 z  2  61t



 x  62t

D.  y  25t .
 z  2  61t


Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Gọi A  d   P 

A  d  A 12  4a ;9  3a ;1  a 
A   P   a  3  A  0;0;  2 

d đi qua điểm B 12;9;1
Trang 122


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Gọi H là hình chiếu của B lên  P 

 P  có vectơ pháp tuyến


nP   3;5; 1

 
BH đi qua B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương aBH  nP   3;5; 1
 x  12  3t

BH :  y  9  5t
z  1 t

H  BH  H 12  3t ;9  5t ;1  t 
H P  t  

78
 186 15 113 
H
; ;

35
7 35 
 35

  186 15 183  3
AH  
; ;
  .  62; 25; 61
7 35  35
 35


d ' đi qua A  0;0; 2  và có vectơ chỉ phương ad '   62; 25;61
 x  62t


Vậy phương trình tham số của d ' là  y  25t
 z  2  61t


Cách 2:
Gọi  Q  chứa d và vuông góc với  P 

d đi qua điểm B 12;9;1 và có vectơ chỉ phương ad   4;3;1

P
Q 


có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1


 
qua B 12;9;1 có vectơ pháp tuyến nQ   ad , nP    8;7;11

 Q  : 8 x  7 y  11z  22  0
d ' là giao tuyến của  Q  và  P 
Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho y  0
3 x  z  2
x  0
Ta có hệ 

 M  0; 0; 2   d '
8 x  11z  22  y  2


 
d ' đi qua điểm M  0; 0; 2  và có vectơ chỉ phương ad   nP ; nQ    62; 25;61

 x  62t

Vậy phương trình tham số của d ' là  y  25t .
 z  2  61t


Trang 123


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

x  1 t

Câu 1.13: Cho đường thẳng  d  :  y  2  2t và mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 . Đường thẳng d  là hình
 z  1  t


chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng  P  có phương trình
x  1 t

A.  y  1  2t .
z  1 t


x  t


B.  y  3  2t .
 z  2  t


x  t

C.  y  3  2t .
 z  2  t


x  1 t

D.  y  2  2t .
z  2  t


Lời giải
Chọn C


Vectơ chỉ phương của d là ud  ( 1; 2;  1) và vectơ pháp tuyến của  P  là n P   (1;  1;1) .

Gọi  Q  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với  P  . Khi đó  Q  có vectơ pháp

 
tuyến nQ   ud , n P   1; 0;  1 .


Lấy A 1; 2; 1  d  A   Q  .


Mặt phẳng  Q  đi qua A 1; 2; 1 và có vectơ pháp tuyến n  1; 0; 1 nên có phương trình là
x z 2 0.

Đường thẳng d  là hình chiếu của d trên  P  nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  và

 
 Q  nên có vectơ chỉ phương là ud   nP , nQ   1; 2;1 .

 x  yM  z M  1  0
 M   P 
Lấy M  d   
 M
.
 M   Q 
 xM  z M  2  0
 y  zM  1  0
 y  3
Chọn x  0 ta có  M
 M  0  3; 2  .
 M
  zM  2  0
 z M  2

Phương trình đường thẳng d  đi qua điểm M  0; 3; 2  và có vectơ chỉ phương u  1; 2;1 là

x  t

t  3  2t .
 z  2  t



x 1 y  1 z

 có hoành độ bằng
2
1 2
C. 5 .
D. 0.
Lời giải

Câu 1.14: Hình chiếu của điểm A  2; 1;8  trên đường thẳng d :
A. 5.

B. 3 .

Chọn A
Cách 1:
 x  1  2t

Phương trình tham số của d :  y  1  t .
 z  2t


Gọi  P  là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d  hình chiếu A của A trên d là giao
của d và  P  .

Trang 124

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020



Vì d   P  nên mặt phẳng  P  có một vectơ pháp tuyến là n P   ud   2; 1;2   phương
tình mặt phẳng  P  là: 2 x  y  2 z  21  0 .
 x  1  2t
x  5
 y  1  t
 y  3


A  d   P   tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 
 A  5; 3; 4  .

2

z
t

z  4
 2 x  y  2 z  21  0
t  2
Cách 2:
 x  1  2t

Phương trình tham số của d :  y  1  t .
 z  2t



Gọi A là hình chiếu của A trên d  A  d  A 1  2t ; 1  t ; 2t  .


ud   2; 1; 2  , AA   2t  1; t ; 2t  8 .
 
AA  d  AA.ud  0  2  2t  1  t  2  2t  8   0  t  2  A  5; 3; 4  .

x 1 y  2 z

 . Gọi H  a; b; c  là hình chiếu của
2
1
2
điểm A  2; 3;1 lên đường thẳng  . Tính a  b  c .

Câu 1.15: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :

A. 0.

B. 1.

C. 1 .
Lời giải

D. 3.

Chọn A
 x  1  2t


Phương trình tham số của  :  y  2  t .
 z  2t

H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng   H    H  1  2t ; 2  t ; 2t  .


u   2; 1; 2  ; AH   2t  3;1  t; 2t  1 .
 
 
Vì H là hình chiếu của A trên  nên AH    AH  ud  AH .ud  0

 2  2t  3   11  t   2  2t  1  0  t  1  H 1; 3; 2  . Suy ra a  1; b  3; c  2 .

Vậy a  b  c  0 .
 x  1  2t

Câu 1.16: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  t
và mặt phẳng  P  : x  2 y  1  0 . Tìm
z  2  t


hình chiếu của đường thẳng d trên  P  .

19

 x  5  2t

2


A.  y    t .
5

z  t



19

 x  5  2t

12

B.  y    t .
5

z  1 t



3

 x  5  2t

4

C.  y    t .
5

z  2  t



Lời giải

1

 x  5  2t

2

D.  y    t .
5

z  1 t


Trang 125


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Chọn C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u   2; 1;1 và mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là

n  1; 2; 0  .
 
 n  u

Ta có: 
 d //  P  .
 M 1;0; 2   d nh­ng M   P 
Do đó, nếu d là hình chiếu của d trên  P  thì d //d .
Gọi M  là hình chiếu của M 1;0; 2  trên  P   M   d  .
Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với  P   M      P  .
 
Vì    P  nên  có một vectơ chỉ phương là u  n P   1; 2;0  .

Phương trình đường thẳng  đi qua M 1; 0; 2  và có vectơ chỉ phương u   1; 2; 0  là :
x  1 t

 :  y  2t .
z  2

M      P   tọa độ điểm M  thỏa mãn hệ :

3

x  5
x  1 t
x  1 t

 y  2t
 y  2t
 y   4


3 4 



5  M  ;  ; 2  .

5 5 
z  2
z  2
z  2
1  t   2.2t  1  0

 x  2 y  1  0

t   2

5

3 4 
Hình chiếu d  song song với d và đi qua M   ;  ; 2 
5 5 

3

 x  5  2t

4

có phương trình là  y    t .
5

z  2  t




x  1 t

Câu 1.17: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  2 và mặt phẳng
z  t


 P  : x  2 y  z  1  0 . Tìm hình chiếu của đường thẳng
1

x  3  t

2

A.  y 
.
3

2

z  3  t


1

x  3  t

2


B.  y 
.
3

2

z  3  t


d trên  P  .

1

x  3  t

2

C.  y 
.
3

2

z  3  t

Lời giải

1

x  3  t


2

D.  y   t .
3

2

z  3  t


Chọn B

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  1; 0;1 và mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là
Trang 126


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020


n  1; 2; 1 .
 
 n  u
Ta có: 
 d //  P  .
 M 1; 2; 0   d nh­ng M   P 

Do đó, nếu d  là hình chiếu của d trên  P  thì d //d .

Gọi M  là hình chiếu của M 1; 2;0  trên  P   M   d  .
Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với  P   M      P  .
 
Vì    P  nên  có một vectơ chỉ phương là u  n P   1; 2; 1 .
x  1  t


Phương trình đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương u   1; 2; 1 là  :  y  2  2t .
 z  t

M      P   tọa độ điểm M  thỏa mãn hệ :

1

x  3

x  1 t
x  1 t
y  2
 y  2  2t
 y  2  2t

1 2 2


3

 M  ; ;  .



3 3 3
z  2
 z  t
 z  t

 x  2 y  z  1  0 1  t  2  2  2t   t  1  0
3


2
t  
3


1

x  3  t

2
1 2 2

Hình chiếu d song song với d và đi qua M   ; ;  có phương trình là  y 
.
3
3 3 3

2

z  3  t


Câu 1.18: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có A 1;0; 0  , B  0;1; 0  , C  0; 0;1 ,
D  2;1; 1 . Gọi H  a; b; c  là chân đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. Tính 2a  b  c .

A. 3.

B. 2.

C. 0.
Lời giải

D. 1.

Chọn C
Phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  z  1  0 .
Gọi  là đường thẳng đi qua D và vuông góc với  ABC    có một vectơ chỉ phương là
 
u  n ABC   1;1;1 .

Đường thẳng  đi qua D  2;1; 1 và có vectơ chỉ phương u  1;1;1 thì  có phương trình
 x  2  t

là:  y  1  t .
 z  1  t


Trang 127


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

H là hình chiếu của D trên  ABC   H     ABC   tọa độ điểm H thỏa mãn hệ

 x  2  t
 x  2  t
 x  1
 y  1 t
 y  1 t
y  2



phương trình: 
 H  1; 2;0 


 z  1  t
 z  1  t
z  0
 x  y  z  1  0
 2  t  1  t  1  t  1  0
t  1
 a  1; b  2; c  0 . Vậy 2 a  b  c  0 .
Câu 1.19: Trong không gian Oxyz , cho A  2;3; 1 , B  0; 1; 2  , C 1;0;3  . Gọi H là chân đường cao hạ
từ đỉnh A của tam giác ABC . Hoành độ điểm H là
A. 1 .
B. 3.
C. 2.
D. 1.

Lời giải
Chọn D
 
Đường thẳng đi qua B; C có vectơ chỉ phương u  BC  1;1;1 .
 
Đường thẳng BC đi qua B  0; 1; 2  và có vectơ chỉ phương u  BC  1;1;1  Phương trình
x  t

đường thẳng BC là  y  1  t .
z  2  t


Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC  H là hình chiếu của A trên

đường thẳng BC  H  t ; 1  t; 2  t   AH   t  2; t  4; t  3 .
 
Vì AH  BC  AH .BC  0  3t  3  0  t  1  H 1;0;3 .
Câu 1.20: Gọi M   a; b; c  là điểm đối xứng của điểm M  2;1;3  qua mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 . Tính

abc.
A. 4 .

B. 3.

C. 4.
Lời giải

D. 1.

Chọn C

Gọi H là hình chiếu của M trên  P   H là trung điểm của MM  .
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với  P   H  d   P  .
x  2  t
 

d   P   ud  n P  1; 1;1  d :  y  1  t .
z  3  t


x  2  t
x  2  t

 y  1 t

 y  1 t
H  d   P   tọa độ điểm H thỏa mãn hệ 

z  3  t
z  3  t
 x  y  z  1  0
2  t  1  t   3  t  1  0

x  1
y  2

 H 1; 2; 2  .

z  2
t  1

Trang 128


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

 2 xH  xM  xM 
 xM   0


Vì H là trung điểm MM    2 yH  yM  yM    yM   3  a  0; b  3; c  1 .
2 z  z  z
z  1
 H
M
M
 M

Vậy a  b  c  4 .

Trang 129