Xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

XÁC ĐỊNH GÓC
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1) Góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.


Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai
đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức

u.v
 
cos   cos u, v    .
u.v

 

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

a

a'
P

Muốn xác định góc của đường thẳng a và  P  ta tìm hình chiếu vuông góc a của a trên  P  .
 a, a '

Khi đó,  a,  P    

3) Góc giữa hai mặt phẳng:
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng   và    .
Khi đó, góc giữa   và    là 
  ,     a
, b . Tính góc a
,b .



  

 

Phương pháp 2:
β

b
φ

c

a
α

 Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng   và    .
 Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó: 
  ,     a

,b .



  

Trang 162


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ    vuông góc với giao tuyến c mà        a ,

  ,       a
,b .
       b . Suy ra  
4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian:
Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.

 
a) Giả sử đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là a, b .

a
.b
a, b      
a, b 
Khi đó: cos
a.b


b) Giả sử đường thẳng a có vectơ chỉ phương là a và

a
.n
Khi đó: sin 
a,  P       
a,  P  
a.n

P


có vectơ pháp tuyến là n .

 
c) Giả sử mặt phẳng   và    lần lượt có vectơ pháp tuyến là a, b .


a
.b


Khi đó: cos   ,            ,    
a.b

BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 3 , SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA  a 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

 ABCD  bằng:

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABCD 
B2: Tính góc giữa SC và hình chiếu của nó.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Trang 163


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Lời giải
Chọn A
S

A

D

B

C

Ta có: SA   ABCD  nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  ABC  .

.
Do đó:  SC ,  ABCD    
SC , AC   SCA
Xét hình vuông ABCD ta có: AC  a 6.

Xét SAC vuông tại A , ta có: tan SCA

SA a 2
1
  30 o.


 SCA
AC a 6
3

Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 17.1: Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho
SA  a và vuông góc với  ABC  . Tính góc giữa SD và BC

A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .

D. 30 .

Lời giải
Chọn C
S

A

B

D

C

  450 .
SD, BC   
SD, AD   ADS
Ta có: AD / / BC  
Câu 17.2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với BC  2a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA  3a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong
khoảng nào?
Trang 164


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

A.  20;30  .

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

B.  30; 40  .

C.  40;50 .

D.  50;60  .

Lời giải
Chọn D

 ( Do SAD vuông tại A nên SDA
  90o )
Ta có: BC / / AD  
SD, BC   
SD, AD   SDA

Xét SAD vuông tại A , ta có: tan SDA

SA 3a 3
  arctan 3  56o.

  SDA
AD 2a 2
2

Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có AC  BD  2 a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm BC , AD . Biết rằng
MN  a 3. Tính góc của AC và BD .

A. 450.

B. 30 0 .

C. 600 .

D. 900 .

Lời giải
Chọn C
A

I

N

a
a 3

a

2a

B

2a

D

M

C

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có IM  IN  a .
Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:


cos MIN

1
IM 2  IN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2
  1200 .

   MIN
2.IM .IN
2.a.a
2
Trang 165


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

AC , BD   
IM , IN   1800  1200  600 .
Vì IM / / AC , IN / / BD  
Câu 17.4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Gọi M là trung
điểm CD . Tính cosin góc của AC và BM .
A.

3
.
4

B.

3
.
6

3
.
2

C.

D.

2
.
2

Lời giải
Chọn B

  
 
AC. CM  CB
AC.BM




cos 
AC , BM   cos AC , BM    
a 3
AC . BM
a.
2



   
AC.CM  AC.CB






a2 3
2



a2 a2
a
a2
 
a. cos1200  a.a.cos1200
4

2
3
2


 24 
.
2
2
6
a 3
a 3
a 3
2
2
2

Câu 17.5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2 a , BC  a . Các cạnh bên
của hình chóp cùng bằng a 2 . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:
A. 45 .

B. 30 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn A
S

A

D
M

B

C


.
Ta có: AB //CD nên 
AB , SC  CD
, SC  SCD



 



Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC  a 2 , CM  a nên
  45 . Vậy 
là tam giác vuông cân tại M nên SCD
AB , SC  45 .





Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , AD và AC . Cho AB  2a ,

CD  2 a 2 và MN  a 5 . Tính góc   
AB, CD



A. 135 .

B. 60 .



C. 90 .

D. 45 .

Lời giải
Trang 166


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Chọn D
A

N

2a

I
a

a 5

D

B
2a 2

M
C

1

 IN / / CD; IN  2 CD  a 2
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác: 
 IM / / AB; IM  1 AB  a

2

   
AB, CD   
IM , IN  . Áp dụng định lý cosin ta có:

cos  

IM 2  IN 2  MN 2
2
2
 

   450 .
2.IM .IN
2
2

Câu 17.7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 3, SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm
trong khoảng nào?

A.  30; 40  .

B.  40;50  .

C.  50; 60  .

D.  60;70  .

Lời giải
Chọn D

Trang 167


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Gọi O  AC  BD và M là trung điểm SA .

BD

Xét hình chữ nhật ABCD , ta có: OB  OA 
2

AB 2  AD 2
a 2  3a 2 2 a


 a.
2
2
2

Xét MAB vuông tại A , ta có: MB  AB 2  MA2  a 2  a 2  a 2.
Xét MAO vuông tại A , ta có: MO 


Xét MBO , ta có: cos MOB

AO 2  MA2  a 2  a 2  a 2.

OB 2  OM 2  BM 2 a 2  2a 2  2a 2
1
  69o.



 MOB
2.OB.OM
2.a.a 2
2 2

  69o ( Do MOB
  90o ).
SC , BD   
MO, BD   MOB
Ta có: SC / / MO  
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ



 



Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a; 0;0  , C a; a 3;0 , D 0; a 3; 0 và
S  0;0; 2a  .



Ta có: SC  a; a 3; 2a  SC có một vectơ chỉ phương là u  1; 3; 2 .



BD   a; a








3; 0  BD có một vectơ chỉ phương là v  1; 3; 0 .








u.v
2
1
SC , BD     

 
SC , BD   69o.
Suy ra: cos 
2
2.2
2
2
u.v
Câu 17.8: Cho hình chóp S . ABC có các ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng
A. 45 .

B. 75 .

C. 60 .

D. 30 .
Trang 168


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Lời giải
Chọn A
S

A

C
H
B

Theo giả thiết ta có  ABC    SBC  .
Trong mặt phẳng  SBC  kẻ SH  BC  SH   ABC  nên AH là hình chiếu của SA trên
.
SA,  ABC    
SA, AH   SAH

 ABC  . Do đó, 
Giả sử AB  a.
Ta có: SBC và ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của BC và AH  SH 

Xét tam giác vuông SHA ta có tan SAH

a 3
.
2

SH
  45 .
 1  SAH
AH


Vậy  SA,  ABC    45 .
Câu 17.9: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,

SA  a 2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SAB  bằng:

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải

Chọn A

Trang 169


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

 BC  SA
Ta có: 
 BC   SAB  nên SB là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  SAB  .
 BC  AB

.
Do đó:  SC ,  SAB    
SC , SB   BSC
Xét SAB vuông tại A , ta có: SB  SA2  AB 2 


Xét SBC vuông tại B , ta có: tan BSC

a 2 

2

 a 2  a 3.

BC
a

1
  30o.


 BSC
SB a 3
3

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ





Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0; 0  , C  a; a;0  và S 0; 0; a 2 .


Ta có:  SAB  : y  0  vectơ pháp tuyến của  SAB  là j   0;1;0  .


SC  a; a; a 2  SC có một vectơ chỉ phương là u  1;1;  2 .










j.u
1

Suy ra: sin  SC ,  SAB        
SC ,  SAB    30 o.
j .u 2
Câu 17.10:Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SAB  bằng:

Trang 170


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

A. 30 .

B. 45 .

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn A

Ta có: AD   SAB  nên SA là hình chiếu của SD trên mặt phẳng  SAB  .


Do đó:  SD,  SAB    
SD, SA   
ASD.
Xét SAD vuông tại A , ta có: tan 
ASD 

AD
a
1



ASD  30o.
SA a 3
3

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ





Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0; 0  , D  0; a; 0  và S 0; 0; a 3 .


Ta có:  SAB  : y  0  vectơ pháp tuyến của  SAB  là j   0;1;0  .


SD  0; a; a 3  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1;  3 .










j.u
1
Suy ra: sin 
SD,  SAB        
SD,  SAB    30 o.
j .u 2
Trang 171


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Câu 17.11:Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC đều cạnh a . Tính góc giữa SB và

 ABC 
A. 30o.

B. 60 .

C. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn C
S

C

A

B

Ta có SA   ABC   AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng

ASB  
SD, AD   450 .
 ABC     
Câu 17.12:Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC đều cạnh a . Gọi  là góc giữa SC
và mặt phẳng  SAB  . Khi đó, tan  bằng
A.

3
.
5

B.

5
.

3

1
.
2

C.

D.

2.

Lời giải
Chọn A
S

a

a

A

C
a

I
B

CI  AB
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: 

 CI   SAB 
CI  SA
Trang 172


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020


 SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng  SAB   
SC ,  SAB    
SC , SI   CSI

  CI 
 tan   tan CSI
SI

CI
2

SA  AI

2

a 3
2



a
a2   
2



2

3
.
5

Câu 17.13:Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với  ABCD  cà
SA  a 6 . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng  SBC  .
A.

1
.
3

B.

1
6

.

C.

1

7

.

D.

3
.
7

Lời giải
Chọn D

Kẻ AH  SB  BC  AH  AH   SBC 

.
AC , HC   ACH
 AH là hình chiếu của AC lên mặt phẳng  SBC    AC ,  SBC    
Tam giác SAB vuông  AH 

SA. AB a 6.a a 6


SB
a 7
7

AH
3
ACH 


Vì AHC vuông tại H  sin 
.
AC
7
Câu 17.14:Cho hình chóp đều S . ABCD có cạnh đá a 2 , cạnh bên 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng:

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .
Trang 173


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Lời giải
Chọn C

Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa SD và  ABCD  .
Gọi O  AC  BD. Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .
 OD là hình chiếu của SD trên  ABCD  .

.

Do đó: 
SD,  ABCD    
SD, OD   SDO
Xét hình vuông ABCD ta có: OD 

BD AB 2 a 2 2


 a.
2
2
2


Xét SOD vuông tại O , ta có: cos SDO

OD a 1
  60o.

  SDO
SD 2a 2

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi O  AC  BD. Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .
Ta có: AC  BD  AB 2  2a và SO  SD 2  OD 2  4 a 2  a 2  a 3.





Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O  0; 0; 0  , C  a;0; 0  , D  0; a; 0  và S 0;0; a 3 .


Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 .


SD  0; a; a 3  SD có một vectơ chỉ phương là u  0;1;  3 .










k .u
3

 
SD,  ABCD    60o.
Suy ra: sin  SD,  ABCD      
2
k .u
Trang 174


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

Câu 17.15:Cho hình chóp S . ABCD

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

với

AD  2 AB  2BC  2a; SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a (minh họa như hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  SAC  bằng:

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn A

Gọi M là trung điểm AD. Ta có: ACM và DCM vuông cân tại M .
  45o  45o  90o  CD  AC mà CD  SA nên CD   SAC  .

ACD  
ACM  DCM
 SC là hình chiếu của SD trên mặt phẳng  SAC  .

.

SD,  SAC    
SD, SC   CSD
Do đó: 
Xét ACD vuông cân tại C , ta có: AC  CD  a 2.
Xét SAC vuông tại A , ta có: SC  SA2  AC 2  4a 2  2a 2  a 6.

Xét SCD vuông tại C , ta có: tan CSD

CD a 2
1
  30o


 CSD
SC a 6
3

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  a;0;0  , C  a; a; 0  , D  0; 2 a; 0  và S  0; 0; 2a  .
Trang 175


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020



Ta có: SD   0; 2a; 2a   SD có một vectơ chỉ phương là u   0;1; 1 .


 
AS   0;0; 2a  
2
2

   AS , AC    2 a ; 2 a ; 0 
AC   a; a; 0  

  SAC  có một vectơ pháp tuyến là n   1;1;0  .

u
.n
1


Suy ra: sin  SD,  SAC         SD,  SAC    30o.
u.n 2

Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh đáy bằng a và SA  SB  SC  SD  a . Khi đó, cosin
góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  bằng
A.

1
.
4

B.

1

.
3

3
.
2

C.

1
D.  .
3

Lời giải
Chọn B
S

I

A

D

B

C

Gọi I là trung điểm SA .
 BI  SA


Do tam giác SAD và SAB đều nên 
 
SAB  ,  SAD   BI
, DI .
DI

SA


 





Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:
2

2

 3   3 
a  
a  a 2

2
2
2
2
2
IB


ID

BD





cos BID

2 IB.ID
3
3
2.
a.
a
2
2





2

1
 .
3

1
Vậy cos 
SAB  ,  SAD   .
3





Câu 17.17:Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB  a , trên đường thẳng d vuông góc với  ABC 
tại điểm A ta lấy một điểm D sao cho DBC đều. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và

 DBC  nằm trong khoảng nào?
Trang 176


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

A.  40o ;50o  .

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

B.  50o ; 60o  .

C.  60o ;70o  .

D.  70 o ;80o  .

Lời giải
Chọn B

D

a

A

C

a
a 2

M

B

Gọi M là trung điểm BC.
 BC  DM
 BC   DMA 
Ta có: 
 BC  DA

 ABD    DBC   BC

 DMA  BC

Mặt khác: 
 
AM , DM   DMA
 ABC  ,  DBC    
 DMA   ABC   AM

 DMA  DBC  DM
 


Ta có: AM 

BC AB 2 a 2
BC 3 a 6


, DM 

2
2
2
2
2

Xét ADM vuông tại A , ta có: cos 
AMD 

AM
3
3


AMD  arccos
 54 o.
DM
3

3

Cách khác:
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  DBC  .
Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác.
Ta có: S ABC  S DBC .cos 
Mà: S DBC 

1
1
3 a2 3
DB.DC .sin 60 0  a 2.a 2.

2
2
2
2

Mặt khác: S ABC 
 cos  

1
1
AB. AC  a 2
2
2

S ABC
3
3


   arccos
 54 o.
S DBC
3
3

Trang 177


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

Câu 17.18:Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh 2a , cạnh bên a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng:

A. 30 .

C. 60 .

B. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn B

Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa  SCD  và  ABCD  .
Gọi O  AC  BD. Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .



Gọi M là trung điểm CD. Ta có: CD  SM  CD   SOM  .
CD  OM

CD   SOM 
 SCD    ABCD   CD
.
Do đó: 
 
SM , OM   SMO
 SCD  ,  ABCD    
SOM    SCD   SM


 SOM    ABCD   OM
Xét hình vuông ABCD ta có: OM  a và OD 

BD AB 2 2a 2


 a 2.
2
2
2

Xét SOD vuông tại O , ta có: SO  SD 2  OD 2 

Xét SOM vuông tại O , ta có: tan SMO

2

a 3   a 2 

2

 a.

SO a
  45o.
  1  SMO
OM a

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ
Gọi O  AC  BD. Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .
Ta có: AC  BD  AB 2  2a 2 và SO  SD 2  OD 2  3a 2  2a 2  a.

Trang 178


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020



 



Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với O  0; 0; 0  , C a 2; 0; 0 , D 0; a 2;0 và S  0; 0; a  .


Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 .
z
 1  x  y  2z  a 2  0
a 2 a 2 a

  SCD  có một vectơ pháp tuyến là n  1;1; 2 .

 SCD  :

x



y








k
.n
2


 
Suy ra: cos   SCD  ,  ABCD      
 SCD  ,  ABCD    45o.
2
k.n
Câu 17.19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  a 3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng:

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn C



Gọi O  AC  BD. Ta có: BD  SA  BD   SAC  .
BD  AC
Trang 179


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

 BD   SAC 
 SBD    ABCD   BD   
Do đó: 
   SBD  ,  ABCD     SO, AC   SOA.
SAC    SBD   SO


 SAC    ABCD   AC
Xét hình vuông ABCD ta có: OA 

AC AB 2 a 2 2


 a.
2
2
2
SA a 3
  60o.

 3  SOA
OA
a


Xét SAO vuông tại A , ta có: tan SOA
Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ



 







Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B a 2; 0; 0 , D 0; a 2; 0 và S 0; 0; a 3 .


Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 .

 SBD  :

x
a 2



y
a 2



z
a 3

 1  3x  3 y  2 z  a 6  0


  SBD  có một vectơ pháp tuyến là n 





3; 3; 2 .


k.n
1


Suy ra: cos   SBD  ,  ABCD          SBD  ,  ABCD    60 o.
k.n 2
Câu 17.20:Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  2a , AD 

2a 3
, SA vuông góc với
3

mặt phẳng đáy, SA  a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD 
bằng:

Trang 180


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

A. 30 .

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020

C. 60 .

B. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn B



Vẽ AM  BD tại M . Ta có: BD  SA  BD   SAM  .
BD  AM

 BD   SAM 
 SBD    ABCD   BD
.
Do đó: 
 
SM , AM   SMA
 SBD  ,  ABCD    
SAM

SBD

SM






 SAM    ABCD   AM
Xét ABD vuông tại A , ta có:

1
1
1
1
3
1


 2  2  2  AM  a.
2
2
2
AM
AB
AD
4a
4a
a


Xét SAM vuông tại A , ta có: tan SMA

SA a
  45o.
  1  SMA
AM a

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

 2a 3 
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với A  0; 0;0  , B  2 a; 0; 0  , D  0;
; 0  và S  0;0; a  .
3



Ta có:  ABCD  : z  0   ABCD  có một vectơ pháp tuyến là k   0; 0;1 .
x
y
z

  1  x  3 y  2 z  2a  0
2 a 2a 3 a
3

  SBD  có một vectơ pháp tuyến là n  1; 3; 2 .

 SBD  :





Trang 181


NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020


k
.n
1
Suy ra: cos 
 SBD  ,  ABCD        
 SBD  ,  ABCD    45o.
2
k .n

Trang 182