Tài liệu tự học giới hạn của hàm số – nguyễn trọng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.65 MB, 87 trang )
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
CHƯƠNG
4
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
GIỚI HẠN
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).
Giả sử ( a ; b ) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp
( a ; b ) \ x0 . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu
với mọi dãy số ( xn ) trong tập hợp ( a ; b ) \ x0 mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0 .
x→ x
0
Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a ; + ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực
L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số
( xn )
trong khoảng
( a ; + )
mà lim xn = + ta đều có
lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → + .
x →+
GIỚI HẠN HỮA HẠN
GIỚI HẠN VÔ CỰC
Giới hạn đặc biệt
Giới hạn đặc biệt
1) lim x = x0 .
1) lim x k = + .
c
=0.
xk
1
1
3) lim− = − .
4) lim+ = + .
x →0 x
x →0 x
+ khi k 2 ( k 0 )
5) lim x k =
x →−
− khi k 2
x → x0
2) lim c = c ( c
x →+
).
x → x0
Định lí
2) lim
x →
Định lí 1
Nếu lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M thì
Nếu lim f ( x ) = L 0 và lim f ( x ) = thì
1) lim f ( x ) g ( x ) = L M .
x → x0
+ khi L. lim g ( x ) 0
x → x0
lim f ( x ) .g ( x ) =
.
x → x0
g ( x) 0
− khi L. xlim
→ x0
x → x0
x → x0
2) lim f ( x ) .g ( x ) = L.M .
x → x0
3) lim
x → x0
x → x0
Nếu f ( x ) 0 và lim f ( x ) = L thì
x → x0
lim f ( x ) = L và lim
f ( x) = L .
lim
x → x0
f ( x)
+ khi L.g ( x ) 0
.
=
g ( x)
− khi L.g ( x ) 0
Page
1
x → x0
x→ x0
Nếu lim g ( x ) = 0 thì
f ( x) L
với M 0 .
=
g ( x) M
x → x0
x → x0
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Giới hạn một bên
lim f ( x ) = L lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L .
x → x0
x → x0
x → x0
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng
0
, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức.
0
Phương pháp giải:
Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng
chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.
VÍ DỤ
2 x 2 + 3x − 14
.
x →2
x2 − 4
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim
Đs: A =
11
.
4
Lời giải
7
2(x − 2)(x + )
2 x 2 + 3x − 14
2 = lim 2 x + 7 = 11
Ta có A = lim
= lim
2
x →2
x →2 (x − 2)(x + 2)
x →2 x + 2
x −4
4
! Cần nhớ: f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
f ( x ) = 0 . Học sinh thường quên nhân thêm a .
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim 3
.
x →2 4 x − 13x 2 + 4 x − 3
Đs: A =
11
.
17
Lời giải
( x − 3) ( 2 x2 + x + 1)
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
2 x 2 + x + 1 11
A = lim 3
= lim
= lim
=
x →3 4 x − 13 x 2 + 4 x − 3
x →3 x − 3 4 x 2 − x + 1
( )(
) x→3 4 x2 − x + 1 17
Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) như sau:
Phân tích 2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 thành tích số:
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3) ( 2 x 2 + x + 1)
Page
2
Phân tích 4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3 thành tích số:
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3 = ( x − 3) ( 4 x 2 − x + 1) .
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim
x →1
x100 − 2 x + 1
.
x50 − 2 x + 1
Đs: A =
49
.
24
Lời giải
x ( x99 − 1) − ( x − 1)
x100 − 2 x + 1
( x100 − x) − ( x − 1)
Ta có A = lim 50
= lim 50
= lim
x →1 x − 2 x + 1
x →1 ( x − x) − ( x − 1)
x →1 x x 49 − 1 − x − 1
(
) ( )
= lim
x →1
x ( x − 1) ( x98 + x97 + x96 + .... + x + 1) − ( x − 1)
x ( x − 1) ( x 48 + x 47 + x 46 + .... + x + 1) − ( x − 1)
( x − 1) ( x99 + x98 + x97 + .... + x 2 + x − 1)
x →1 x − 1 x 49 + x 48 + x 47 + .... + x 2 + x − 1
( )(
)
= lim
= lim
x →1
(x
(x
+ x98 + x97 + .... + x 2 + x − 1)
99
+ x + x + .... + x + x − 1)
49
48
47
2
=
98 49
=
48 24
!Cần nhớ: Hằng đẳng thức x n − 1 = ( x − 1) ( x n −1 + x n − 2 + .... + x 2 + x + 1) .
Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, x, x 2 , x3 ,...., x n−1 có n số hạng và u1 = 1, q = x.
Khi đó
Sn = 1 + x + x 2 + ... + x n−1 = u1
qn −1
xn −1
= 1.
x n − 1 = ( x − 1) (1 + x + x 2 + ... + x n−1 ) .
q −1
x −1
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
x →2
1
x 2 − 3x + 2
. ĐS: A = .
2
4
x −4
x 2 − 7 x + 12
1
3) A = lim
. ĐS: A = − .
2
x →3
x −9
6
x →1
2
x2 −1
. ĐS: A = .
2
5
x + 3x − 4
x 2 − 9 x + 20
1
4) A = lim
. ĐS: A = .
2
x →5
x − 5x
5
3x 2 − 10 x + 3
. ĐS: A = 8 .
x →3 x 2 − 5 x + 6
6) A = lim
4
x2 + 2 x − 3
. ĐS: A = .
2
3
2x − x −1
x 4 − 16
. ĐS: A = −16 .
x →−2 x 2 + 6 x + 8
8) A = lim
x −2 x −3
4
.ĐS: A = − .
3
x −5 x + 4
5) A = lim
7) A = lim
9) A = lim
x →2
x3 − 8
. ĐS: A = 12 .
x 2 − 3x + 2
x →1
x →1
x3 + 8
12
. ĐS: A = .
2
x →−2 x + 11x + 18
7
10) A = lim
3
Tính các giới hạn sau:
Page
Bài 2.
2) A = lim
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
. ĐS: A = −1.
x →1
x2 − 1
2) A = lim
1
x3 − 3x + 2
. ĐS: A = .
4
2
x − 4x + 3
3) A = lim
1
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
. ĐS: A = .
3
2
x →−1
2
x + x − x −1
4) A = lim
x 4 − x3 − x + 1
3
. ĐS: A = − .
3
2
x − 5x + 7 x − 3
2
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3
5) A = lim
.
x →− 3
3 − x2
ĐS: A =
1) A = lim
6) A = lim
x →3
x →1
18 + 19 3
.
6
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
. ĐS: A = 0 .
x4 − 8x2 − 9
3
1 − x3
7) A = lim 4
. ĐS: A = .
x →1 x − 4 x 2 + 3
4
1
12
1
8) A = lim
− 3
. ĐS: A = 2 .
x →2 x − 2
x −8
1
1
9) A = lim 2
+ 2
.
x →2 x − 3x − 2
x − 5x − 6
1
1
10) A = lim 2
− 3 .
x →1 x + x − 2
x −1
Bài 3.
x →1
ĐS: A = −2 .
1
ĐS: A = .
9
Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
x →1
3) A = lim
x 20 − 2 x + 1
8
. ĐS: A = .
30
x − 2x +1
14
x n − nx + n − 1
( x − 1)
x →1
4) A = lim
x n +1 − ( n + 1) x + n
( x − 1)
x →1
5) A = lim
x →1
2
(Với n là số nguyên).
2
.
2) A = lim
x →1
x50 − 1
. ĐS: A = −50 .
x 2 − 3x + 2
ĐS: A =
n2 − n
.
2
ĐS: A =
n ( n + 1)
.
2
n ( n + 1)
x + x 2 + x3 + ... + x n − n
( m, n là số nguyên) . ĐS: A =
.
2
3
m
m ( m + 1)
x + x + x + ... + x − m
n
m
6) A = lim
−
.
m
x →1 1 − x
1 − xn
ĐS: A =
m−n
.
2
LỜI GIẢI
Bài 1.
( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 1 = 1 .
x 2 − 3x + 2
1) Ta có A = lim
= lim
2
x →2
x
→
2
x −4
( x − 2 )( x + 2 ) x→2 x + 2 4
2) Ta có A = lim
x →1
( x − 1)( x + 1) = lim x + 1 = 2 .
x2 − 1
= lim
2
x + 3x − 4 x→1 ( x − 1)( x + 4 ) x→1 x + 4 5
Page
4
( x − 3)( x − 4 ) = lim x − 4 = − 1 .
x 2 − 7 x + 12
3) Ta có A = lim
=
lim
x →3
x →3 ( x − 3)( x + 3)
x →3 x + 3
x2 − 9
6
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
4) Ta có A = lim
x →5
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
( x − 4 )( x − 5) = lim x − 4 = 1 .
x 2 − 9 x + 20
= lim
2
x →5
x →5
x − 5x
x ( x − 5)
x
5
( 3x − 1)( x − 3) = lim 3x − 1 = 8 .
3x 2 − 10 x + 3
= lim
2
x →3 x − 5 x + 6
x →3 ( x − 2 )( x − 3)
x →3 x − 2
5) Ta có A = lim
6) Ta có A = lim
x →1
( x − 1)( x + 3) = lim x + 3 = 4 .
x2 + 2x − 3
= lim
2
2 x − x − 1 x→1 ( x − 1)( 2 x + 1) x→1 2 x + 1 3
( x − 2)( x + 2) ( x 2 + 4 )
( x − 2) ( x2 + 4)
x 4 − 16
=
lim
=
lim
= −16 .
x →−2 x 2 + 6 x + 8
x →−2
x →−2
( x + 2 )( x + 4 )
( x + 4)
7) Ta có A = lim
8) Ta có A = lim
x →1
x −2 x −3
= lim
x − 5 x + 4 x→1
(
(
)(
x − 1)(
x −1
) = lim (
x − 4)
(
x +3
x →1
) =−4.
3
x − 4)
x +3
x2 + 2x + 4)
( x − 2) ( x2 + 2 x + 4)
(
x3 − 8
9) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= 12 .
x →2 x − 3 x + 2
x →2
x →2
( x − 2 )( x − 1)
( x − 1)
! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) và a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) .
( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
( x2 − 2x + 4) = 12 .
x3 + 8
=
lim
=
lim
x →−2 x 2 + 11x + 18
x →−2
x →−2
7
( x + 2 )( x + 9 )
( x + 9)
10) Ta có A = lim
Bài 2.
( x − 1) ( 2 x2 − 3x − 1)
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
2 x 2 − 3x − 1
=
lim
=
lim
= −1 .
x →1
x →1
x →1
x2 − 1
x +1
( x − 1)( x + 1)
1) A = lim
( x − 1) ( x + 2 ) = lim x + 2 = 1 .
x3 − 3x + 2
= lim
2) A = lim 4
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1
( x − 1) ( x 2 + 2 x + 3) x→1 x 2 + 2 x + 3 2
2
( x + 1) ( 2 x + 1) = lim 2 x + 1 = 1 .
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
3) A = lim
=
lim
2
x →−1
x →−1
x3 + x 2 − x − 1
( x + 1) ( x − 1) x→−1 x − 1 2
2
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x 4 − x3 − x + 1
x2 + x + 1
3
= lim
= lim
=− .
4) A = lim 3
2
x →1 x − 5 x 2 + 7 x − 3
x →1
x →1
x −3
2
( x − 1) ( x − 3)
2
)(
(
(
)
)
x + 3 2x2 − 3 + 2 3 x + 7 + 3 3
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3
5) Ta có A = lim
= lim −
2
x →− 3
x
→−
3
3− x
x+ 3
3−x
(
(
)(
)
)
2x2 − 3 + 2 3 x + 7 + 3 3
= 18 + 19 3 .
= lim −
x →− 3
6
3−x
( x − 1)( x − 3)
( x − 1)( x − 3) = 0 .
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
6) Ta có A = lim
= lim
=
lim
4
2
x →3
x →3 x − 3
x − 8x − 9
( )( x + 3) ( x2 + 1) x→3 ( x + 3) ( x2 + 1)
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Page
5
2
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
− x 2 − x − 1)
( x − 1) ( − x2 − x − 1)
(
1 − x3
3
7) Ta có A = lim 4
= lim
= lim 3
= .
2
3
2
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1 x − 1 x + x − 3x − 3
( )(
) x→1 ( x + x − 3x − 3) 4
12
x3 − 12 x + 16
1
8) Ta có A = lim
− 3
=
lim
x →2 x − 2
x − 8 x →2 ( x − 2 ) ( x 3 − 8 )
( x + 4 )( x − 2 ) = lim x + 4 = 1 .
= lim
2
x →2
( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x →2 x 2 + 2 x + 4 2
2
1
1
x 2 − 5 x − 6 + x 2 − 3x − 2
+ 2
=
lim
9) Ta có A = lim 2
x →2 x − 3x − 2
x − 5 x − 6 x→2 ( x 2 − 3x − 2 )( x 2 − 5 x − 6 )
= lim
x →2
2 ( x − 2)
2
( x − 2) ( x − 3)( x − 1)
2
= lim
x →2
2
( x − 3)( x − 1)
= −2 .
1
1
x3 − 1 − x 2 − x + 2
x3 − x 2 − x + 1
− 3 = lim 2
=
lim
10) Ta có A = lim 2
x →1 x + x − 2
x − 1 x→1 ( x + x − 2 )( x3 − 1) x→1 ( x 2 + x − 2 )( x3 − 1)
( x − 1) ( x + 1)
x +1
1
= lim
= lim
= .
2
2
2
x →1
x →1 x + 2
(
) ( x + x + 1) 9
( x − 1) ( x + 2 ) ( x + x + 1)
2
Bài 3.
x ( x19 − 1) − ( x − 1)
x 20 − x − ( x − 1)
x 20 − 2 x + 1
1) Ta có A = lim 30
= lim 30
= lim
x →1 x − 2 x + 1
x →1 x − x − ( x − 1)
x →1 x x 29 − 1 − x − 1
(
) ( )
( x − 1) ( x19 + x18 + ... + x − 1)
x →1 x x − 1 x 28 + x 27 + ... + x + 1 − x − 1
( )(
) ( ) x→1 ( x − 1) ( x29 + x28 + ... + x − 1)
= lim
x ( x − 1) ( x18 + x17 + ... + x + 1) − ( x − 1)
(x
= lim
(x
19
x →1
29
+ x18 + ... + x − 1)
+ x + ... + x − 1)
28
=
= lim
18 9
.
=
28 24
( x − 1) ( x49 + x48 + ... + x + 1)
x50 − 1
x 49 + x 48 + ... + x + 1
2) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= −50
x →1 x − 3x + 2
x →1
x →1
x−2
( x − 1)( x − 2 )
3) Ta có A = lim
x n − nx + n − 1
n
− 1) − n ( x − 1)
( x − 1)
( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n ( x − 1)
= lim
2
x →1
( x − 1)
x →1
( x − 1)
(x
= lim
2
x →1
2
( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 − n )
x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 − n
= lim
= lim
2
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
Page
6
x n−1 − 1 + x n−2 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
= lim
x →1
x −1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
= lim
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x n−3 + x n−4 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
x −1
x →1
= lim ( x n −2 + x n −3 + ... + x + 1) + ( x n −3 + x n −4 + ... + x + 1) + ... + 1 = ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
x →1
4) Ta có A = lim
x n+1 − ( n + 1) x + n
n +1
− x ) − n ( x − 1)
= lim
x ( x n − 1) − n ( x − 1)
x →1
( x − 1)
( x − 1)
x ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n ( x − 1)
( x − 1) ( xn + xn−1 + ... + x− n )
= lim
=
lim
2
2
x →1
x →1
( x − 1)
( x − 1)
x →1
( x − 1)
(x
= lim
n2 − n
.
2
2
2
x →1
2
x n + x n−1 + ... + x 2 + x − n
x n − 1 + x n−1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
= lim
x →1
x →1
x −1
x −1
n −1
n−2
n−2
( x − 1) ( x + x + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x + x n−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
= lim
x →1
x −1
= lim ( x n −1 + x n − 2 + ... + x + 1) + ( x n − 2 + x n −3 + ... + x + 1) + ... + 1
x →1
n ( n + 1)
.
= n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
2
= lim
x + x 2 + x3 + ... + x n − n
x n − 1 + x n−1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
=
lim
x →1 x + x 2 + x3 + ... + x m − m
x →1 x m − 1 + x m −1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
( x − 1) ( xn−1 + xn−2 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
5) Ta có A = lim
= lim
x →1
( x − 1) ( xm−1 + xm−2 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( xm−2 + xm−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
(x
= lim
(x
x →1
n −1
m −1
+ x n−2 + ... + x + 1) + ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ... + 1
+ x m−2 + ... + x + 1) + ( x m−2 + x m−3 + ... + x + 1) + ... + 1
n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1
n ( n + 1)
.
=
x →1 m + ( m − 1) + ( m − 2 ) + ... + 1
m ( m + 1)
= lim
n
m
1 n
1
m
−
= lim
−
−
−
6) Ta có A = lim
m
n
m
n
x →1 1 − x
1 − x x →1 1 − x
1 − x 1 − x 1 − x
1
1
m
n
= lim
−
− lim
−
m
n
x →1 1 − x
1 − x x→1 1 − x 1 − x
m − (1 + x + x 2 + ... + x m −1 )
(1 − x ) + (1 − x 2 ) + ... + (1 − x m−1 )
1
m
−
= lim
Và lim
= lim
x →1 1 − x m
x →1
1 − x x →1
1 − xm
1− xm
(1 − x ) 1 + (1 + x ) + .... + (1 + x + x 2 + ... + x m−2 )
= lim
x →1
(1 − x ) (1 + x + x 2 + ... + x m−1 )
1 + (1 + x ) + .... + (1 + x + x 2 + ... + x m− 2 ) 1 + 2 + 3 + ... + m − 1
= lim
x →1
1 + x + x + ... + x
2
m −1
=
m
=
m −1
2
7
1 n −1
n
Tương tự ta có lim
−
=
n
x →1 1 − x
1− x
2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Page
n m −1 n −1 m − n
m
Vậy lim
.
−
−
=
=
x →1 1 − x m
1 − xn
2
2
2
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
0
, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức.
0
Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng
Phương pháp giải:
Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.
VÍ DỤ
3− x +3
.
x →6
x−6
1
Đs: B = − .
6
Ví dụ 1. Tính giới hạn B = lim
Lời giải
(
)(
3− x +3 3+ x +3
3− x +3
= lim
x →6
x →6
x−6
( x − 6) 3 + x + 3
Ta có: B = lim
= lim
x →6
9 − ( x + 3)
( x − 6) (3 +
x+3
Ví dụ 2. Tính giới hạn E = lim
)
= lim
x →6
(
)
6− x
( x − 6) (3 +
x+3
)
)
= lim
x →6
−1
−1
1
=
=−
6
3+ x +3 3+ 6+3
3x + 2 − 5 x − 6
.
x−2
3
x →2
Đs: E = −1 .
Lời giải
Ta có E
3x
2
2
lim
x
2
5x 6
3
lim
x 2
2
x
2
3x 2 2
x 2
lim
x
2
2
A
3
A
lim
x
2
3x 2 2
x 2
B
2
3
x 2
lim
x
2
2
3x
2
2
2
2
5x 6
x 2
x 2
3
3x
2
lim
x
2
x
2 2
Suy ra E
A
5x 6
B
1
4
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim
x →−1
5
4
3
B
8
2
2. 3 3x
2
4
3
lim
2. 3 3x
5
lim
x
x
2
3 x 2
lim
x
3x
lim
4
2
x
4
5x 6
x 2 2
2 3
3x
x
2
2
2
5 2
lim
5x 6
5x 6
x 2
x 2 2
2. 3 3x
2
4
1
4
x
5x 6
5
4
1.
5x − 3 + 2
.
x +1
Đs: L =
5
.
12
8
3
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Page
Lời giải
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
3
Ta có: L
lim
x
1
5x 3 2
x 1
5x 3
lim
x
1
3
x 1
5 x 1
lim
x
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1
3
x 1
2
5x 3
Ví dụ 4. Tính giới hạn E = lim
5x 3
8
2
2. 3 5 x 3
5
lim
2. 3 5 x 3
x
4
4
1 3
2
5x 3
2. 3 5 x 3
4
5
.
12
3x + 2 − 3x − 2
.
x−2
3
x →2
Đs: E =
−1
.
2
Đs: F =
7
.
3
Lời giải
3
Ta có E
3x
x
x
3
2
3x
2
x
3
2
3x
2 3
3x
2
2
3
2
x
3x 2 2
x 2
2
3x
lim
2. 3 3x
2
x
4
2
2
2
2
8
2
2
2
lim
2
x
2
2. 3 3x
2
lim
2. 3 3x
2
x
4
x
4
2
2
3
3x 2
lim
x
2
2
4
3x
2
2
2
2
x
2
3x
1
4
2
3
4
1
.
2
1 + 2x.3 1 + 4x −1
.
x
Ví dụ 5. Tính giới hạn F = lim
x →0
3x 2 2
x 2
3 x 2
lim
3
lim
x
2
3 x
lim
x
3x
x
3x
2
2
2
lim
x
2
lim
Lời giải
F
x
1 2x. 3 1 4 x 1
1 2x.3 1 4 x 1
x
lim
0
lim
x
lim
x
0
x
3
1 4x
0 3
2
0
3
1 4x
2
3
1 4x
x
1
lim
1 4x
1 2x 1
lim
4. 1 2 x
lim
x
x
1 2x. 1 4x 1
lim
x
1 2x 1
x
lim
x
0
x
0
1 2x. 3 1 4x 1
1
1 2x 1
x
0
0
x
1 2x 1
2
1 2x 1
4
3
1
7
.
3
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tính các giới hạn sau:
Page
9
Bài 1.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
lim
3) B
2 x 2 3x
lim
x 3
2x 6
5) B
lim
7) B
lim
9) B
x
2
3x 2
. Đs: B
x 4
x
2x
2
2x
lim
x
2
1
2 2
. Đs: B
x 10
8
1
2
lim
3
16
6) B
lim
x 3
. Đs: B
9 x x2
8) B
lim
7 2x x
x2 1
2) B
lim
x 3 2
4x 5
3x
4) B
lim
x 1
2x 3
6) B
lim
x
x
2
9
x
. Đs: B
x 2 2
. Đs: B
x2 4
4) B
1
36
2x2 x
3x 2
5
x2
x
x x2
x 1
1
4
. Đs: B
2
2
4
lim
1
2
1
4
1
16
1
54
. Đs: B
1
3
5
2
. Đs: B
Tính các giới hạn sau:
1) B
lim
3x 1
x 3
. Đs: B
x 8 3
3) B
lim
x 2
x 1
5) B
lim
7) B
x 1
x
2
x
x2
x
2x
. Đs: B
3 x
2 x2
1
2x
x2
1
x
2
1
4
x 2
1 x
. Đs: B
4
x
x
1
lim
3
5
. Đs: B
3
x 1
x
3
4
0
x 1
6
. Đs: B
3x 5
. Đs: B
x 6
4x 3 1
. Đs: B
x 1
3
2
3
1
2 5
3
Tính các giới hạn sau:
1) L
lim
2) L
lim
3) L
lim
4) L
lim
5) L
lim
x
x
9
x 16
2
5x
x 1
4
5
2 x
6
2x
x 3
2
8
x
x
3
2x x 1 x2
2
x 2
6
5x 4
8
2x 3
x 6
Đs: B
7
24
.
Đs: B
4
3
.
Đs: L
5
6
.
2x
x 1
x
7
x
0
.
x 84
.
Đs: L
8
Đs: L
74
3
Page
Bài 3.
x
x
2) B
6
10
Bài 2.
x 8
. Đs: B
8 3
x 1
1) B
x
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
6) L
lim
7) L
lim
8) L
lim
9) L
lim
x
x
1 4x 1 6x 1
.
x
Đs: L
4x 3
2 x 1 3x 1
.
2x 1
Đs: L
5
2
4 x 3 2 2x 1
.
x2 2 x 1
Đs: L
17
16
Đs: L
5
12
x
0
3x 7
x
4x
4
9 6x
x
0
6x
lim
5
2
2x2
3
x 1
5x
2
x 1
.
5
11
6
Đs: L
.
Tính các giới hạn sau:
3
1) L
lim
3) L
lim
5) L
lim
7) L
lim
x
2
3
x
3
4x 2
.
x 2
Đs: L
1
3
2) L
lim
x2 1 2
.
x 3
Đs: L
1
2
4) L
lim
Đs: L
5
12
6) L
lim
x 1
. Đs: L
2
3
2
3
x
x
1
3
9) L
x
2x
8
3
lim
lim
x
x3
12) L
lim
x
2 x2
2
x
0
5
.
7
x2
x 1
3
3
8
x
x
3
lim
9
2 1 x
0
11) L
2
10 2 x3
x 2 3x
x 1
10) L
4
x . 3 8 3x
x2 x
8) L
.
Đs: L
11
12
4
.
.
x 1 3
Đs: L
lim
x
2
1 x
.
x
7
2
x 1
3
1
4
7
x
x 1
3
Đs: L
x
0
3
.
4 x 11
x2 4
x
3
1
.
x 1
.
x 2 1
Đs: L
1
3
Đs: L
1
6
Đs: L 1
8 x 11
x 7
. Đs: L
2
x 3x 2
7
54
5
72
Đs: L 1
Tính các giới hạn sau:
n
lim
x
0
1 ax 1
.
x
Đs:
a
n
Page
1) F
11
Bài 5.
2
x 1
10) L
Bài 4.
0
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
n
2) F
lim
3) F
lim m
4) F
lim
x
0
n
x
1 bx
.
Đs:
a
n
0).
Đs:
am
bn
x
0
n
x
m
1 ax
0
1 ax 1
(ab
1 bx 1
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 ax m 1 bx
.
1 x 1
b
m
a
n
Đs: 2
b
m
LỜI GIẢI
x
x 8 3
lim
x
2) B
x
1
3) B
4) B
x
2 x 2 3x
lim
x 3
2x 6
x
x
5) B
x
x 2 x
lim
x
2
2
6) B
x
Fb: ThayTrongDGL
x 1
3
3x
2x
x
x
3
2
2
2x2
2x2
x 1
x2
2
3x
2
2
2
2
2
x
2 2
4 2
3
9
9x
x
2
x
x
2
2
2
3x 2
3x
x
2
2 2
2
3
3
x
2
x
9
4
x2
x 9
x 9
x
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
3x
4 2
2
3x
2
3
.
16
3x 2
lim
x
x
1
.
4
1
.
16
3
x
4
2
x
1
x
1
2
lim
x
3x
1
.
4
x
x
2
x
x
x
lim
2
lim
x2
lim
2
3x
3x
x
2
3x 2
x
2x2
4
2
2
x2
x
x
x
6
2
x
lim
x
x
x
2
x2
2
x
x
4
lim
2 2
x 3
9 9x
x2
lim
1
2
x
4
4
lim
x
2
3 2
x 2 x
9
8
x x 1
2x2
x
2
x 1
x
lim
3x 2
x 4
lim
2
1
2
3x
2
x2
x
lim
x 2 2
x2 4
2
x 1
6.
x 1
lim
x
2 x2
2 x 3
x
x
x 1
lim
x x 3
lim
2
3
8
x
x
4
lim
x
x 1 3
4
2
2
lim
3
x
4
x
x 1
3
lim
x2
4
x 8 3
lim
8
x x2
x 1
1
lim
x
x
x
4
lim
x 1
lim
x 1
8
8
x
x 8 3
x 8
8 3
x 1
lim
1
lim
x
3
x
9
x
x
3
1
.
54
Chúc các em học tốt !
12
1) B
Page
Bài 1.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
x
lim
x
2x
2
2 2
x 10
2
x
1
9) B
x 2 2x
2x
2x2 x
3x 2
1
1
5
x2
2 x2
x2
3x
x
1
1) B
2 2x
x 1
x 1
4x
x 1
3) B
lim
x
4) B
2
lim
x
3
2
lim
x
1
6
x x 1 x
x2
1
x
2
1
7 2x
2
5
3x
2
x
2x
3
7 2x
2
x
1
.
3
x
2 x2
x
5
2 x2
2 2x
2
8
x
8
x 1 2 x 17
1
x 1 x
2 2x
2x2
5
x
8
8
x
8
3
2
lim
x 1
3x 1
x
4x
x 1
3
5
3x
x
8
3
3x 1
x
3
3
6
x 1
x
3
2
3
.
2
x
2
x
x 1
3 x
x
2
2 x 2
lim
x
x 1
lim
lim
2 3 x
x 3
3
x
2
2x
x
2x
3
x
x 1
2
2
x
3 x
2
2x
1
.
4
6
3x 5
6
3.
x 2
1 x
4
x
x
x
x
x
2
5
.
2
x 1
3x 5
2
x
1
.
36
lim
x 1
lim
x 1
8
x 1
3x 5
x 6
5
lim
lim
x
2x
3 x
x2
x
2
2
2
2x
lim
x 1
x 1
2x 3
1
2
x 2
2 x 1
2x
3 x
x2
1
x
lim
x 2
x 1
3
2
7 2x
x
x
2 x2
5
6
2x
lim
1
1
x
2 x2
5
3x
x 3 2
x 1
3
5) B
x
8
5
x 3 2
4x 5
3x
lim
lim
2
3x 1
x 3
x 8 3
lim
2) B
1
2 x 17
x
x
19 x 17
2 2x
lim
5
lim
7 2x
x
x
x
2
1
lim
7 2x
lim
x 1 x 1
lim
lim
x
2
x 1 3 x
lim
x
x
7 2x x 2
lim
x
1
x2 1
8) B
Bài 2.
x 2
lim
2
x
lim
x
1
x2
x x 1 x2
x
x
2
1 x
x2
2
x
2
2
x
2
1 x
1
1 x
x 1
lim
x
2
x x
2
x
2
x2
x
2
1 x
Fb: ThayTrongDGL
Page
0.
13
7) B
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
x 1
4x 3 1
x 1
x 1 4
lim
x
1) L
x
2x
x2
1
x
2x
x
1
2
1
x
lim
lim
3
2x
5
lim
x
x
x 9
2
2 x 1
2x
2
x 1
2
x 6
lim
x
2 x
3
4
4
x
lim
x
5) L
2x 2
x
2
x
lim
x
6
Fb: ThayTrongDGL
5x 4
x
9
1
x 9
2
4x 3 1
x
3
2x
5
2
2
2 x
6
6
4
3
5x
4
2x 2
4
.
3
3
2
x 3
3
x 3
x 3
2
x 6 3
2x 2 2
x 3
lim
3
5
.
6
x2
2x x 1
lim
x
2
2
x
x
2 x
5x
7
.
24
5
2x
2
2
2 x
4
2
lim
x
4
1
x 16
2
lim
x
9
x
lim
2x 3
x 6
1
x
x 1
3
x
3
3
2x
2
2
2 x 1
8
2 x
x
4
1
2x2
2
lim
2
2
x2
2
x
0
6
4 x 4 x2
x
lim 2 x 1 x
x
x 1
2x x 1 x2
lim
x 2
x 2
4) L
x2
lim
5x 4 5
x 1
5 x 1
3
4
0
2x 2 8
x 3
x 3
x 6 9
2x 2 4
2
x 6 3
2x 2 2
lim
x 3
x 3
lim
4x 3
lim
x
2
5x
x 1
2x
x
7
x
2x
2
x
x
x 16
3
4
2 5
.
3
x
x 1
3) L
3
4x 3 1
2x2
5
x 16
0
lim
lim
4x 3
1.
4
3
x
9
0
2) L
4
x 1
2
4x 3
1
x2
lim
4
2 x2
2
2
Bài 3.
3
4x 3
7) B
2
x 1
4
lim
x
4 x 1
lim
2
x 84
2 x2
4
2
x
2
2
2 x 1
2
x
x
2 x
2 x
2
2
8.
5x
4
2x 3 3 5x
lim
x
6
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
4
16 x 96
14
lim
Page
4
6) B
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x 6
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
5x
4
2x 3 3
lim
x
0
7) L
24 x 2
x
x
x 1
2
x 1
x
x 1
16 x
7
4 x
2x
x 1
x 1
9) L
x 1
x
x
lim
3
4
x
2
1
4x
4 x
3
x 7
2 2x 1 2x
lim
x 1
x 1
4 x2
x 1
x
2
7
2
2
4 x 1
4 x
x 1
5
2x
3
4
x
2
2 2x 1
2
9 6x
x 3
x2
0
lim
x
x 3
2
17
.
16
4x
2
9 6x
x 1
lim
1
4
2
2x 1
9 6x x2 6x 9
9 6x x 3
x
2
x 1
2 2x 1
x
4 x2 4x 4
4x 4 x 2
2x 1
5
.
2
2 2x 1
9 6x
4x 3
x
x
0
2
x2
4x
x2
3
9 6x
x
x 3
2
5
.
12
Page
15
0
2x
10 x 1 1
lim
x2
0
2x 1
4
0
lim
x
4x
lim
4x
x
7
1
4 x
10 x 1 1
24 x 2
x
2
x 1
4x 3
4 2x 1
3
lim
lim
2
4 x 3 2 2x 1
x2 2 x 1
x 2 14 x 49
48
x
x 1
0
5.
2x 1
x 1
4
4x 3 2x 1
3x 7
lim
x
x
10 x 1 1
lim
4x 3
2x 1
1
2x 1
lim
24 x 2
24 x 2
lim
24 x 10
2 x 1 3x 1
2x 1
2
10 x 1 1
x
0
0
2x 1 x2
lim
8) L
x
10 x 1 1
x 1
x 1
x
lim
4x 3
lim
24 x 2
lim
x 24 x 10
lim
6
74
.
3
1 4x 1 6x 1
lim
x 0
x
6) L
x
x
16 x 6
2x 3 3
x 6
lim
10 x 8
16
2x 3 3
6
2 x 6
5x 4
16 x 6
x 6
6
lim
x
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
10) L
6x
lim
x 1
x 1
x 1
3
1) L
4x 2
x 2
lim
x
2) L
2
lim
x
3
1
0
3
3) L
3
x
3
x
1 x
x
x2 1
3
3
4) L
2
x
lim
x 1 3
x
2
7
0
3
x1
2
6x 3
2
x 1
x 1
x
lim
2 3 4x
x
2
3
1 x
1 x
x2
3
x 3
3
x2 1
4
2 3
x
4
1 x
lim
16 x 2
2 3 4x
x
0
4
1
lim
2
1
.
3
3
1
3
1 x
1 x
2
1
.
3
9
2
2 3 x2 1
4
23 x
4
1
.
2
4
x 1
lim
x 1
.
x 1
x 1
1
23 x
3
x 1
2
lim
1
2 3 x2 1
7
2 x 1
16 x 2
lim
x 1
x 1
3
x 2
3
2
x
lim
x 1
4x 8
2
x
6x
2
11
.
6
lim
x
lim
2x 1
x 1
2
x2 1 2
x 3
lim
x
1
3 x
6x
x 1
lim
2
2 x2
3 x2 4 x 4
6x 3 x 2
2
x 1
lim
lim 2
5x
6x
2
2 x 1
Bài 4.
2x2
3
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
7
3
x
7
2
7
1
.
6
4
x 8
3
5) L
lim
x
2x
8
x
3
2
9
5
lim
x
x
8
2
23 x 4
2 x 16
2x 9 5
2x
lim
x
8
3
2
x2
9
5
23 x
5
.
12
4
x 1
3
6) L
x 1
lim 3
x 1
x 2 1
3
lim
x 1
3
10 2 x3
lim
x
1
x 2 3x
3
x
2
3
x
x 1
2
3
3
x 1
2
lim
x
1
10
3
1
lim
x 1
x
2
1
2 x3
2
x 1 x
x 2
3
x2
2
3
3
x 2 1
x
1.
1
x 1
2
Page
16
7) L
x
2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
2 x3
10
3
2x
3 2
2
x 1
3
lim
x
1
2 10
2x
x 1 x
2
2 x 1 x2
10
3
2x
3 2
1
10
3
2x
2x
x 1 x
2
3 2
2 10
x
3
lim
x
2
x 1 x
3
x 1
3
9) L
lim
3
2
x3
x 1
x 1
x3
3
x 1
lim
x
2
3 3 8 x 11
3
lim
x 1
x3
lim
x
2
2 3 x3
7
3
2 1 x
41 x
4
x 2 1 x
4
2 1 x
7
lim
2
0
x
3
0 3
x 1
x2
3
2 1 x 2
0
x
8 x 8
x
2
8 x
2
x2
x 1
23 8
23 8 x
1
4
2
3
lim
x
x
1
lim
x
8
3
8
27
7
1
7
3
7
.
54
x2 3 2
x 1
3 4
lim
x 1
x2
7
x
3
2
3
2
x2 1
lim
x
x
x 1
x
x 1
x 1
4
7 9
x 1 x 2
x 1
x2
x 1
4
7
4
x
x
1
2
x3 7 2
x 1
lim
8
2
2
lim
x
0
9
x
9
7
2 3 x3
x 1
x
lim
2 3 x3
x2
x
7 3
3x 2
lim
3 3 8 x 11
2
7
2
x
2
0
x
x
1
.
4
2
4
1
4
8
1
2
1
12
11
.
12
Page
17
0
3
x3
3
lim
x
2
x3 1
x 1
lim
8 x 11 3
x 2 3x 2
lim
2
2
7
lim
0
x
7
x2 3
x 1
x3 7 8
lim
x
3
lim
8 x 11
8 x 11
x 1
lim
3
.
2
8
2
10) L
4
8 x 11 27
2
x 1
3
2
lim
x
2x
8 x 11
x 7
2
x 3x 2
lim
x
4
1
3
1
8) L
3
x 1
lim
x
4
x 1
2 10
2 x2
3
x 1
3
lim
x
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
2 x2
3
11) L
lim
x
4 x 11
x2 4
2
3
lim
2
x2
4
2 x2
3
2 x2
x2
4
2x2
3
x
x
2
1
24
12) L
3
x.
lim
x
0
0
2
4
3
x x 1
1
2
x 1
1
2
1) F
3
lim
x
0
1 ax
n
2) F
lim
x
n
x
0
2
x2
x
4 x 11 9
2
4
x
2
3 3 2x2
4 x 11
9
x
4
7
3
x
7
3
1
lim
x
7 9
x 2
lim
4
x.
8 3x
8 3x
2
x
8 3x
2
0
2
x2
0
x
2
x
7
3
2 4
x
4
x
2 4 x 4
x2 x
2 4
x
4
x x 1
4
x
x
2
lim
2 3 8 3x
x
4)
x .3
2
3
lim
x . 8 3x 8
0
2 3 8 3x
x
4
0
2
2
lim
x 1
4
1 ax 1
lim
x
0
x
n 1
n
1 ax
n
1 ax
m
1 ax
n 2
n 1
n
1 ax
x
0
n
lim
x
0
...
n
1 ax
1
a
.
n
1
m
1 ax 1
n 2
1 bx 1
x
0
a
n
b
.
m
1 ax 1
1
.m
x
1 bx 1
x
Page
x
1 ax 1
1 bx 1
1 ax
lim
m
1 ax 1
1 bx 1
lim
x 0
x
x
lim m
n
...
n
1 bx
x
0
n
3) F
4
a
0 n
lim
x
1 ax 1
x
lim
x
x
4 x 11 9
x
1.
n
Bài 5.
2
lim
4
0
lim
4
2
x
lim
x
4 x 11
8 3x
lim
x
2
3 3 2x2
x . 3 8 3x 4
x2 x
4
0
4
x
4 x 11 3
x 7 3
lim
x 2
x 4
x2 4
5
72
lim
x
2 x2
3
2x2
2
3 3 2 x2
2
2 x
2
1
9
2
4 x 11
lim
lim
4 x 11 27
2 x 2 x
2
3
7
x
4 x 11
lim
x
x
18
x
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
n
Xét A
lim
x
0
1 ax 1
x
a 1
.
n b
m
F
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
m
a
;B
n
lim
x
n
1 ax m 1 bx
lim
x 0
1 x 1
n
lim
x
0
n
0
n
m
lim
x
0
lim
x
0
1 ax 1
x
1 bx 1
x
a
.2
n
F
x
m
1 ax 1
lim
1
0
m
1 ax 1
x
.
x
1 x 1
Ta có A
B
b
m
1 bx 1
x 1
m
1 ax 1
1 bx 1
lim
x
0
1 x 1
1 x 1
lim
x
1 bx 1
x
am
.
bn
n
4) F
0
b
.2
m
b
C
m
2
a
n
lim
x
0
1 bx 1
x
.
x
1 x 1
a
n
lim
x
0
x
1 x 1
x
lim
x
0
1
1
x
1
x 1
lim
x
1
0
x
1
2
b
.
m
Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x → .
Phương pháp giải:
- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → +
1. lim x k = +
x →+
+ khi k = 2l
2. lim x k =
x →−
− khi k = 2l + 1
c
3. lim k = 0 (c hằng số)
x →+ x
- Đối với dạng phân số không căn, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử
và mẫu, sau đó áp dụng công thức trên.
- Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài
căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân
biệt khi x → + hoặc x → −
VÍ DỤ
(
)
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim − x3 − 6 x2 + 9 x + 1 .
x →+
Đs:
.
lim x3
x
1
6
x
9
x2
1
x3
(vì lim x3
x
và lim
x
1
6
x
9
x2
1
x3
1 ).
Page
A
19
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
Ví dụ 2. Tính giới hạn B
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x3
3x 1
.
2 6 x 2 6 x3
lim
x
Đs:
1
.
6
Lời giải
3
x2
x3 1
B
lim
x
x3
2
x3
Ví dụ 2. Tính giới hạn C
1
x3
6
x
3
x2
1
lim
x
6
x2
lim
x
2
x3
1
x3
6
x
6
1 0 0
0 0 6
1
.
6
Đs:
2x .
x 1
.
Lời giải
C = lim
x →−
= lim − x
x →−
1 1
1 1
x 2 1 + + 2 + 2 x = lim x 1 + + 2 + 2 x
x x
x x
x→−
1 1
1 1
x 2 − 1 + + 2
1 + + 2 + 2 x = xlim
→−
x x
x x
(Vì lim x
và lim 2
x
x
1
1
x
1
x2
= −
2 1 1 0 ).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tính các giới hạn sau:
1) A
3) A
5) A
Bài 2.
lim x3
3x 2
2 . Đs:
.
2) A
lim x4
2 x2
1 . Đs:
.
4) A
6 . Đs:
.
x
x
lim
x
x4
x2
lim
x3
3x2 1 . Đs:
lim
x4
2x2
x
x
3 . Đs:
.
.
Tính các giới hạn sau:
1) B
2) B
3) B
1 8x
.
2x 1
Đs: B
lim
x 2
.
x 1
Đs: B 1 .
x
x
lim
x
4) B
lim
x
lim
x
2 x4
7 x3 15
.
x4 1
2 x3 3x 4
.
x3 x 2 1
3x 2 x 7
.
2 x3 1
4.
Đs: B 2 .
Đs: B
2.
Đs: B 0 .
Page
5) B
lim
20
Bài 1.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
6) B
7) B
8) B
9) B
lim
3x
x
2
lim
x2
.
3x 2
4
4x
3
x
3
2
lim
20
lim
x
2
30
3x 2 x 3
.
x 4
lim
2 x3
x
2x
5 x
3
3
2
Đs: B
.
50
1 2x
Đs: B 8 .
.
7
3x
2
.
9
Đs: B
4
2x 1
2x
2x 3
x
10) B
.
30
.
Đs: B
.
Đs: B
.
Tính các giới hạn sau:
1) C
2) C
3) C
4) C
5) C
6) C
7) C
8) C
9) C
10) C
x2
lim
2 x4 x2 1
.
1 2x
lim
4x2
lim
x2
lim
2 x2
1
x .
lim
x2
4x
x
lim
x2
x
x2
x
x
x
x
x
x
x
lim
x
lim
x
3x
x
3
x
4 x4
2 x 13 .
17
.
2
.
Đs: 14.
Đs:
5 .
x
Đs:
Đs:
4x 1
2x
x2
x 10 .
2
9
.
2
Đs:
.
Đs: 2019 .
2021 .
Đs:
1 .
1
.
2
Đs: -2.
.
5
3x 2
1 2 x2
.
Đs:
3
.
4
lim
x2 x 2x
.
2x 3
Đs:
1
.
2
lim
x2
Đs:
3
.
2
x
x
x 1
x 1.
Page
11) C
lim
21
Bài 3.
x3
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
12) C
13) C
14) C
15) C
16) C
17) C
18) C
19) C
x2 x
.
x 10
x
x
4x2
lim
x
lim
Đs:
4x2
9 x 21
4 x2 x
3x 2
7x 1
2
2 x 1 . x2
3x
lim
4x2
2x
lim
x 1
lim
16 x 2
x
x
x
x
lim x
x
4x 1
7 x 13 .
4x
3.
5.
Đs: 4
Đs: -1
Đs:
2 x3 x
.
x5 x 2 3
Đs:
x2
Đs:
lim x 3
x
1
2
Đs: 1.
.
3 x
.
5 3x x3
3x
Đs:
2.
x 1 .
43
8
2
5
2
Tính các giới hạn sau:
2 x3 x
.
x5 x 2 3
1) lim x.
x
2) lim
x
3) lim
2x
x
5
x2
x
2
x
4x2
2 x4
x
5) lim
x
6) lim
x
3x 1
Đs: 4.
.
1 1 x
x2 x x2
x 5 2x
3
2 x 1 3 4 x2
x 5
2 9 x2
x 10
1 3x
2.
Đs: 2.
.
2
x
4) lim
3
Đs:
3 x2 1
6x
.
Đs:
3
1 8 x3
.
9
3
Đs:
Đs:
.
8
.
3
1
.
6
2
.
5
Page
2x 1 x2
7) lim
x
x 5x2
2 1
.
2
Đs:
22
Bài 4.
lim
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
x
8) lim
x
9x
3x 1
x
3 5x 3
2
2x 1
9) lim
x2
x
x
x2
8x
3
10) lim
x
x2
x2
x
x
12) lim
Đs: 1.
.
x
x
Đs: 2.
3
1 7x
3x
2
2
5x
.
Đs:
1.
3
2 1 2x
.
1 x
x
1
4
Đs:
.
.
4x2
6x
11) lim
Đs: 1 .
Tính các giới hạn sau:
Đs:
1) lim
x2
x
2) lim
x2
4x
3) lim
x
4) lim
x2
x
5) lim
x2
4x 1
x 2 .
Đs: 0.
6) lim
x2
3x
x 1 .
Đs:
x
x
x
x
x
x
7) lim
x
3
x .
27 x3
x2
x
9) lim 2 x 3
x
Đs:
1
.
27
2x 1 .
Đs:
1
.
2
Đs:
4.
4 x2
4x
4 x4
3x 2
11) lim
4 x2
3x 1 2 x
12) lim
4 x2
4x 1
x
3 .
Đs:
3
.
4
4 .
Đs:
19
.
4
3 .
Đs: 4 .
1 2 x2 .
2x
Page
x
5
.
2
3x .
x2
10) lim
x
1
.
2
Đs:
1 .
5
2.
Đs: 0.
2 .
x
4 x2
8) lim 2 x
Đs:
x .
2
.
23
Bài 5.
4x2
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
3
x
13) lim
x
2x
14) lim
3
x
4 x2
4x
8 x3
x3
2
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Đs:
.
3x
16
.
9
Đs: 1 .
1 2x 1 .
LỜI GIẢI
2) A
3) A
4) A
5) A
Bài 2.
1) B
2) B
3) B
3
x
lim x3 1
x
lim x3
2
x3
3
x
1
x
x
x
1
x3
2
x2
lim x 4 1
, (vì lim x3
6) B
2
x3
và lim
1
3
x
x
x
1
x4
x
, vì lim x 4
x
0 ).
1
1
x3
và lim 1
2
x2
1
x4
1
x
0 .
1
0 .
lim x 4
1
2
x2
3
x4
, vì lim x 4
và lim
1
2
x2
3
x4
1
0 .
lim x 4
1
1
x2
6
x4
, vì lim x 4
và lim
1
1
x2
6
x4
1
0 .
x
x
lim
x
lim
x
lim
2x
2
x
lim
x
1
x1
x
7x
x
x
x 2
1
x
lim
x
lim
x
lim
4
3
x
15
Fb: ThayTrongDGL
x3
4
7
x
lim
1
x
3x x 7
2 x3 1
3x
2
x
lim
x
1
1
x
1
x4 2
x 1
lim
x
x
3
lim
x
x2
3x 2
3
x2
1
1
x
3
x
x3
3
x 2
lim
x
x
0 8
2 0
1
x2
15
x4
lim
x
lim
x
lim
x
x2 2 x
4
4 3x
15
x4
1
x4
1
2
1
x3
3x 2
7
x
2
4
x3
1
x3
7
x3
4.
1 0
1.
1 0
1
x4
4
x3 2
2 x 3x 4
x3 x 2 1
2
1
8
x
lim
x
1
2
x
x1
x 2
x 1
4
8
lim
x
x
x
1
x
x
1 8x
2x 1
x
2
5) B
3
x
, vì lim x 3
3
4) B
và lim 1
3
x2
1
1
x
3
x
1
x2
2
4
x3
1
x3
7
x3
1
x3
2
0 0
1 0
2.
2 0 0
1 0 0
0 0 0
2 0
2.
0.
24
1) A
Page
Bài 1.
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
4
x
x3 2
lim
x
7) B
8) B
9) B
4x
lim
3
x
lim
x
lim
2
x
3
2
2x 3
x
lim
3x
3
20
2
x
4
3
x
lim
7
2x
4
3
x2
4
2x 1
2 0
3 0 3 0
3
x
3x
2
lim
50
1
x
x2 3
x 3
x 4
lim
3
x2
lim x.
1
x
và lim
x
10) B
lim
2x
3
x
2x
5 x
x
1
2
3
2
x
x3
5
x
1
x
lim
x
vì lim x 2
1) C
10
x2
lim
x
3x
lim
x
3x
x
2
3
10
lim
x
3
x
x 10
2
10
2
2
x
2
x2
x
10
1
10
lim
x
lim
x
3
2
x
2
3x
3x
2
3x
2
0
50
2
30
3
2
30
.
,
2
3
2
x
x3
5
1
x
2
3
2
x
x3
5
1
x
x2
3 0
3 .
4
x
lim x 2 .
x
8.
,
2 .
x
x
17
.
2
Page
25
1
2
3x
3
x2
x
và lim
x
4
7
3
x2
2
2
Bài 3.
1
x
x3 2
3
0
4
1
x
x
3
vì lim x
20
2
3
4
x1
x
x
2
0
2 0
50
1
x
3
30
2
x
3
2
0
2
20
x
2
4
7
3
x
3
x
2
30
2
9
4
1
x
2
2
1 2x
x
4
x
2
4
3
x2
x3 3
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
