PP tính khoảng cách trong không gian

MỤC LỤC
A. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN........3
1. Sự cần thiết.........................................................................................................3
2. Mục đích của đề tài.............................................................................................4
B. PHẠM VI TRIỂN KHAI....................................................................................4
C. NỘI DUNG..........................................................................................................5
1. Tình trạng giải pháp đã biết................................................................................5
2. Nội dung của giải pháp........................................................................................5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN...................................................................5
1. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN.....................................5
1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng....................................................5
1.2. Hai mặt phẳng vuông góc.........................................................................6
1.3. Khoảng cách.............................................................................................6
2. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT. . .8
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC.............................9
2.1. Bài toán gốc..................................................................................................9
2.2. Phân tích bài toán gốc................................................................................10
2.3. Phương pháp hai đường vuông góc............................................................10
2.4. Một số lưu ý khi thực hiện phương pháp hai đường vuông góc................11
2.5. Ví dụ minh họa...........................................................................................11
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG..................................................................12
3.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng...............................................12
3.1.1. Thuật toán rời điểm..............................................................................13
3.1.2. Một số bài tập áp dụng.........................................................................14
3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau..........................................22
3.2.1. Nhận xét:..............................................................................................22
3.2.2. Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.............23
3.2.3. Nhận xét...............................................................................................24
1

3.2.4. Bài toán áp dụng..................................................................................24
CHƯƠNG 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM........................................................37
3. Khả năng áp dụng của giải pháp......................................................................41
4. Hiệu quả, lợi ích thu được.................................................................................41
5. Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp....................................................................41
6. Kiến nghị đề xuất...............................................................................................41

2


A. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
1. Sự cần thiết
Trong cấu trúc của đề thi đại học, cao đẳng từ năm 2007 đến năm 2014,
trong đề thi THPT Quốc gia năm 2015 đến nay và trong đề thi học sinh giỏi cấp
tỉnh trong những năm gần đâybài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một phần không
thể thiếu trong các đề thi. Nội dung tính khoảng cách trong không gian thường
được đưa ra dưới dạng tính trực tiếp hoặc giải các bài toán liên quan. Tuy nhiên
trong quá trình giảng dạy trên lớp và tham gia ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT
Quốc gia tôi nhận ra rằng học sinh có lực học trung bình và khá thường cho rằng
đây là câu khó trong đề, các em thường “bỏ qua” hoặc chỉ tính được thể tích của
khối đa diện mà không biết làm ý về khoảng cách. Tôi đưa ra một số nguyên nhân
như sau:
Thứ nhất, kiến thức khoảng cách được học ở lớp 11, lên lớp 12 các em chỉ
học tính thể tích khối đa diện. Do đó học sinh hay bị quên phương pháp tính
khoảng cách được học ở lớp 11.
Thứ hai, Bài toán tính khoảng cách thường khá đa dạng như khoảng cách từ
1 điểm đến mặt phẳng (điểm đó có thể là chân đường cao hoặc không), phải dùng
thuật toán rời điểm song song hoặc cắt nhau; khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau (hai đường thẳng có thể vuông góc hoặc không). Thêm nữa giáo viên khi

dạy thường chỉ dạy một cách chung chung, từng bài cụ thể không hình thành cho
học sinh một phương pháp cụ thể để áp dụng cho hầu hết các bài nên khi làm học
sinh thường lúng túng có bài thì làm được, có bài thi không.
Trong khi đó, các tài liệu tham khảo thể tích khối đa diện ít đề cập đến
phương pháp mang tính thuật toán để học sinh áp dụng. Có chăng các tác giả chỉ
nói rằng “muốn tính khoảng cách phải tính qua chân đường cao của hình chóp”
nhưng lại không đề cập cụ thể tính như thế nào? Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì?
3


Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi thấy cần phải xây dựng một thuật toán cụ thể
chi tiết cho hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong không gian để trả lời các
câu hỏi như: Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì? Và thuật toán này áp dụng cho hầu hết
các bài tính khoảng cách trong các kỳ thi Đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và
thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Tôi gọi phương pháp này là “Phương pháp hai đường
vuông góc” vì trong phương pháp này phải kẻ 2 đường vuông góc để thu được kết
quả. Đây không phải là phương pháp hoàn toàn mới nhưng chưa ai đặt tên để dễ
nhớ. Trong đề tài tôi trình bày một cách chi tiết các bước áp dụng để học sinh hình
thành thuật toán của dạng bài toán này. Cấu trúc đề tài gồm 4 chương
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến đề tài như: Quan
hệ vuông góc trong không gian, một số tích chất về đường cao của hình chóp.
Chương 2: Tôi trình bài toán gốc và các bước thực hiện của phương pháp hai
đường vuông góc.
Chương 3: Tôi trình bày các ví dụ áp dụng của phương pháp hai đường
vuông góc. Bao gồm tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Mỗi ví dụ đều có sự phân tích hướng giải và
lời giải chi tiết.
Chương 4: Thực nghiệm sư phạm
2. Mục đích của sáng kiến
Nghiên cứu phương pháp hai đường vuông góc từ đó đưa ra quy trình chung

giải các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau.
B. PHẠM VI TRIỂN KHAI
Đề tài nghiên cứu phương pháp hai đường vuông góc và một số ứng dụng
được triển khai trong dạy học môn Hình học lớp 11, 12, ôn thi học sinh giỏi cấp

4


tỉnh, thi Đại học, Cao đẳng, ôn thi THPT Quốc gia tại trường THPT Thị xã Mường
Lay.
C. NỘI DUNG
1. Tình trạng giải pháp đã biết
Hiện nay, các tài liệu tham khảo thể tích khối đa diện ít đề cập đến phương
pháp mang tính thuật toán để học sinh áp dụng. Có chăng các tác giả chỉ nói rằng
“muốn tính khoảng cách phải tính qua chân đường cao của hình chóp” nhưng lại
không đề cập cụ thể tính như thế nào? Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì? Chính vì
vậy trong quá trình dạy tôi thấy cần phải xây dựng một thuật toán cụ thể chi tiết cho
hầu hết các bài toán tính khoảng cách trong không gian để trả lời các câu hỏi như:
Bước 1 làm gì? Bước 2 làm gì? Và thuật toán này áp dụng cho hầu hết các bài tính
khoảng cách trong các kỳ thi Đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và thi học sinh
giỏi cấp tỉnh.Tôi gọi phương pháp này là “Phương pháp hai đường vuông góc” vì
trong phương pháp này phải kẻ 2 đường vuông góc để thu được kết quả. Đây không
phải là phương pháp hoàn toàn mới nhưng chưa ai đặt tên để dễ nhớ.
2. Nội dung của giải pháp
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức có liên quan đến đề tài như:
Quan hệ vuông góc trong không gian, khoảng cách trong không gian, một số vấn đề
về xác định chiều cao của khối đa diện. Các kiến thức này có thể tham khảo trong
các quyển sách chuyên khảo về kình học không gian.

1. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1.1.1. Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng    nếu d
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng    . Kí hiệu d     .
5


1.1.2. Định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng
thuộc một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy.

1.2. Hai mặt phẳng vuông góc
1.2.1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt
phẳng đó là góc vuông.
1.2.2. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này
chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

1.2.3. Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt
phẳng kia.
1.2.4. Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng
thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
1.3. Khoảng cách.
1.3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
6


Cho điểm O và mặt phẳng    . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt
phẳng    . Khi đó khoảng cách OH gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

   . Kí hiệu

d (O, ( ))

1.3.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    . Khoảng cách giữa đường
thẳng a và mặt phẳng    là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc a đến mặt
phẳng    . Kí hiệu d (a, ( ))

1.3.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, đường thẳng c vuông góc và cắt các
đường thẳng a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b)  MN

7


2. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp la
độ dai cạnh bên vuông góc với đáy

2.2. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp
la chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.

2.3. Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp la
giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.

2.4. Hình chóp đều và tứ diện đều: Chiều cao của hình chóp la đoạn thẳng nối
đỉnh va tâm của đáy.
8

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
Trong chương này tôi trình bày bài toán gốc và phương pháp hai đường
vuông góc một cách chi tiết có phân tích các yếu tố trong quá trình thực hiện. Sau
đó tôi trình bày một ví dụ áp dụng đơn giản của phương pháp.
2.1. Bài toán gốc
Cho mặt phẳng    chứa đường thẳng AB. Đường thẳng SH vuông góc với

   tại H ( H �AB ). Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAB).
Lời giải

Kẻ HI  AB( I �AB ) . Khi đó AB  ( SHI ) . Suy ra ( SAB)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  (SAB ) . Do đó d ( H , ( SAB))  HK .

9


Do SHI vuông tại H nên HK 
Vậy d ( H , ( SAB)) 

HS .HI
HS 2  HI 2

HS .HI
HS 2  HI 2

.

2.2. Phân tích bài toán gốc
Bài toán gốc trình bày ở trên là bài toán cơ bản nhất trong bài toán tính

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Hầu hết các bài toán tính khoảng
cách trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi THPT Quốc gia và thi HSG cấp tỉnh
đều được xuất phát và quy về bài toán gốc này. Bài toán gốc và bài toán tính
khoảng cách trong các đề thi thường có mối liên hệ như sau:
- Điểm S ở trong bài toán gốc chính là đỉnh của hình chóp hoặc một đỉnh nào đó
của hình lăng trụ.
- Đường thẳng AB chính là một cạnh đáy của hình chóp hoặc cạnh đáy của hình
lăng trụ.
- Điểm H chính là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ.
- Mặt phẳng (SAB) chính là mặt bên của hình chóp hoặc là mặt bên của hình lăng
trụ.
* Lưu ý: Nhận thấy rằng tất cả các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, hoặc thi THPT Quốc gia, thi HSG cấp
tỉnh đều có dạng “Tính khoảng cách từ 1 điểm nằm trên mặt phẳng đáy (điểm
này có thể không phải chân đường cao) đến một mặt bên nào đó của hình chóp
hoặc hình lăng trụ”. Và mọi bài toán dạng này đều được quy về bài toán gốc trên.
Do đó việc nắm được cách giải bài toán gốc là cơ sở để giải quyết các bài toán tính
khoảng cách trong không gian.
2.3. Phương pháp hai đường vuông góc.

10


Với các dữ liệu cho như trong bài toán gốc, ta có phương pháp tính khoảng
cách từ một điểm đến mặt phẳng như sau:
Bước 1 (kẻ đường vuông góc thứ nhất): Từ chân đường cao (điểm H) kẻ đường
thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt bên đang xét với mặt phẳng đáy (chính là
cạnh AB). Khi đó ta chứng minh được AB  ( SHI ) .
Bước 2 (kẻ đường vuông góc thứ 2). Từ điểm H kẻ đường thẳng HK vuông góc
với giao tuyến SI của hai mặt phẳng (SHI) và (SAB). Khi đó HK chính là khoảng

cách cần tính.
Bước 3. Tính đoạn HK dựa vào tam giác vuông HIK.
2.4. Một số lưu ý khi thực hiện phương pháp hai đường vuông góc.
- Ở Bước 1, khi kẻ HI  AB , ta phải căn cứ vào tính chất của mặt phẳng đáy để xác
định chính xác vị trí điểm I để tính HI trong Bước 3. Trong trường hợp đặc biệt
điểm I có thể trùng với điểm A hoặc điểm B.
- Phương pháp hai đường vuông góc còn được áp dụng để xác định góc giữa hai
� .
mặt phẳng  ( ), ( SAB)   SIH

2.5. Ví dụ minh họa
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=3a.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB tạo với mặt đáy góc 45 0. Tinh
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
11


Lời giải

Kẻ AI  BC ( I �BC ) � BC  ( SAI ) � ( SBC )  ( SAI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SBC ) . Do đó d ( A, ( SBC )  AK
Ta có AC  BC 2  AB 2  9a 2  a 2  2a 2
� AI 

AB. AC
AB  AC
2

2



a.2a 2
a  8a
2

2



2a 2
3

�  450 � SA  AB.tan 450  a .
Do ( SB, ( ABC ))  SBA

Vậy d ( A,( SBC )  AK 

2a 2
2a 2
3


17
AS 2  AI 2
8a 2
a2 
9
AS.AI

a.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG
3.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
Trong mục này tôi trình bày một số bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến
một mặt phẳng bằng phương pháp hai đường vuông góc, có phân tích và hướng
dẫn cụ thể.
Trở lại bài toán gốc, ta thấy rằng điều kiện để áp dụng được phương pháp hai
đường vuông góc là điểm H là chân đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ.
Trong trường hợp H không phải là chân đường cao thì ta xử lý thế nào? Để giải
12


quyết vấn đề này ta sẽ tính gián tiếp thông qua chân đường cao bằng cách áp dụng
thuật toán rời điểm như sau:
3.1.1. Thuật toán rời điểm
3.1.1.1. Rời điểm song song: Cho mặt phẳng    và đường thẳng AB / /    . Khi
đó d ( A, ( ))  d ( B, ( ))

3.1.1.2. Rời điểm cắt nhau: Cho    và đường thẳng AB sao cho AB �    I .
d ( A,( ))

IA

Khi đó d ( B,( ))  IB

3.1.1.3. Nhận xét. Thuật toán rời điểm cho phép ta chuyển việc tính khoảng cách
từ một điểm không phải chân đường cao về tính khoảng từ điểm là chân đường cao.
Trong một số bài toán ta có thể kết hợp hai thuật toán rời điểm song song và rời
điểm cách nhau để tính như sau:

d ( A, ( ))  d ( B, ( ))
�
�
�d ( B, ( )) IB
�d (C , ( ))  IC
�

13


3.1.2. Một số bài tập áp dụng
Bài 1(Đề minh họa năm 2015): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AC = 2a, �
ACB  300 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy
là trung điểm của cạnh AC và SH  a 2 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng (SAB).

Phân tích
- Bài toán có dạng “tính khoảng cách từ điểm C nằm trên mặt đáy đến một mặt
bên”.
- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về
chân đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt bên với mặt đáy
(chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm của AB).
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt đường thẳng SI. Khi đó d ( H , ( SAB))  HK
d ( H , ( SAB)

AH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d (C, ( SAB)  AC . Tính d (C , ( SAB))

Lời giải.
14


* Tính d ( H , ( SAB))
Kẻ HI  AB( I �AB ) � AB  ( SHI ) � ( SAB)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB)  HK
Ta có BC  AC.cos �
ACB  2a.

� HK 

3
1
a 3
 a 3 � HI  BC 
2
2
2

a 3
2  a 66

11
HS 2  HI 2
3a 2
2a 2 
4
a 2.

HS .HI

* Mặt khác ta có

d ( H , ( SAB) AH 1
2a 66

 � d (C , ( SAB)  2d ( H , ( SAB) 
d (C , ( SAB) AC 2
11

Bài 2(Khối A năm 2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a, SD 

3a
. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy (ABCD) là
2

trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi
qua đỉnh S va một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về
chân đường cao H.
15


- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với
1

4

mặt đáy (chính là đường thẳng BD) ta thu được điểm I (trong đó BI  BD ).
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SI tại K. Khi đó

d ( H , ( SAB))  HK
d ( H , ( SBD )

BH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( A, ( SBD)  BA . Tính d ( A, ( SBD))
Lời giải
* Tính d ( H , ( SBD))
Kẻ HI  BD ( I �BD) � BD  ( SHI ) � ( SBD)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SBD) . Do đó d ( H , ( SBD)  HK
+ HD  AH 2  AD 2 
1
4

+ HI  AC 

� HK 

a2
a 5
9a 2 5a 2
 a2 
� SH  SD 2  HD 2 


a
4
2
4
4

a 2
4

a 2
HS .HI
4 a

2
2
HS  HI
a2 3
a2 
8
a.

d ( H , ( SBD)

BH

1

2a

* Mặt khác ta có d ( A, ( SBD))  BA  2 � d ( A, (SBD)  2d ( H , ( SBD)  3

Bài 3(Khối B năm 2014): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.
Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc
giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (ACC’A’).

16


Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một mặt bên
của hình lăng trụ”.
- Điểm A’ đóng vai trò tương tự như điểm S trong bài bài toán gốc. AC là giao
tuyến của mặt phẳng đang cần xét với mặt đáy.
- Do A’B không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về
chân đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với
mặt đáy (chính là đường thẳng AC) ta thu được điểm I.
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng A’I tại K. Khi đó

d ( H , ( ACC ' A '))  HK
d ( H , ( ACC ' A ')

AH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( B,( ACC ' A ')  AB . Tính d ( B, ( ACC ' A '))
Lời giải

* Tính d ( H , ( ACC ' A '))
Kẻ HI  AC ( I �AC ) � AC  ( A ' HI ) � ( ACC ' A ')  ( A ' HI ) theo giao tuyến A’I.
Kẻ HK  A ' I ( K �A ' I ) � HK  ( ACC ' A ') . Do đó d ( H , ( ACC ' A ')  HK
a 3 a 3

2 2
4

�  .
+ HI  AH .sin IAH

17


A ' CH 
+ A ' H  CH .tan �

� HK 

HA '.HI
HA '2  HI 2

* Mặt khác ta có



a 3
3a
. 3
2

2
a 3 3a
.
4 2  3a 13
26
3a 2 9a 2

16
4

d ( H , ( ACC ' A ') AH 1
3a 13

 � d ( B, ( ACC ' A ')  2d ( H ,( ACC ' A ') 
d ( B, ( ACC ' A ')) AB 2
13

Bài 4(Khối A năm 2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
�
ABC  300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính

khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi
qua đỉnh S va một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SC không vuông góc với (ABC) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về
chân đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với
mặt đáy (chính là đường thẳng AB) ta thu được điểm I (I là trung điểm AB ).

- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt
d ( H , ( SAB))  HK
18

đường thẳng SI tại K. Khi đó


d ( H , ( SAB)

BH

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d (C, ( SAB)  BC . Tính d (C , ( SAB))
Lời giải
* Tính d ( H , ( SAB))
Kẻ HI  AB( I �AB ) � AB  ( SHI ) � ( SAB)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SAB) . Do đó d ( H , ( SAB)  HK
+ BC  a � SH 

a 3
2
1
2

a
2

1
2

ABC  a.  � HI  AC 

+ AC  BC.sin �

� HK 

HS .HI
HS 2  HI 2

* Mặt khác ta có



a
4

a 3 a
.
2 4  a 39
26
3a 2 a 2

4 16

d ( H , ( SAB) BH 1
a 39

 � d (C , ( SAB)  2d ( H ,( SAB) 
d (C , ( SAB)) BC 2
13

Bài 5(Khối B năm 2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a. Mặt SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) theo a.

Phân tích

19


- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi
qua đỉnh S va một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SA không vuông góc với (ABCD) nên ta phải sử dụng thuật toán rời điểm về
chân đường cao H.
- Từ H kẻ đường thẳng HI vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với
mặt đáy (chính là đường thẳng CD) ta thu được điểm I
- Từ H kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SI tại K. Khi đó

d ( H , ( SCD))  HK

- Sử dụng thuật toán rời điểm ta suy ra d ( A,( SCD))  d ( H , ( SCD)) . Tính d ( A, ( SCD))
Lời giải
* Tính d ( H , (SCD ))
Kẻ HI  CD ( I �CD) � CD  ( SHI ) � ( SCD)  ( SHI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ HK  SI ( K �SI ) � HK  ( SCD) . Do đó d ( H , ( SCD)  HK
+ HI  a
+ AB  a � HS 

� HK 

a 3
2

a 3
a 21
2


7
HS 2  HI 2
3a 2
a2 
4
HS .HI

a

* Mặt khác ta có AH / /( SCD) � d ( A, SCD)  d ( H , ( SCD)) 

a 21
7

Bài 6( Đề HSG lớp 12, Điện Biên 2014-2015). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a, SD 

3a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
2

(ABCD) là trung điểm I của cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

(SCD).

20


Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “tính khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới một phẳng đi
qua đỉnh S va một đường thẳng nằm trên mặt phẳng đáy”.
- Do SI vuông góc với (ABCD) nên ta tính trực tiếp d ( I , ( SCD))
- Từ I kẻ đường thẳng IH vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng đang xét với
mặt đáy (chính là đường thẳng CD) ta thu được điểm H
- Từ I kẻ đường thẳng vuông góc và cắt

đường thẳng SH tại K. Khi đó

d ( I , ( SCD ))  IK

Lời giải
Kẻ IH  CD( H �CD) � CD  ( SHI ) � ( SCD)  ( SHI ) theo giao tuyến SH.
Kẻ IK  SH ( K �SH ) � IK  ( SCD) . Do đó d ( I , ( SCD)  IK
+ IH  a
+ ID  AD 2  IA2 
+ SI  SD 2  ID 2 

a 5
2
9a 2 5a 2

a
4

4

21


� IK 

IS .IH
IS 2  IH 2



Vậy d ( I , ( SCD)  IK 

a.a
a2  a2



a 2
2

a 2
2

3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3.2.1. Nhận xét:
Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là bài
toán thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đảng, THPT Quốc gia, thi học sinh
giỏi cấp tỉnh. Để giải bài toán này ta thường dùng các phương pháp sau:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng
này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó
d (a, b)  d ( a, ( ))  d ( M , ( ))  MH

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song với nhau và chứa hai đường thẳng đó
22


Tuy nhiên trong thực tế, các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia chủ yếu sử dụng
cách thứ hai để tính. Bài toán được phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho
đường thẳng b �( ) , a �( )  A , a va b chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng a va b. Vấn đề đặt ra là “Hãy trình bày quy trình thực hiện cách
thứ hai để áp dụng chung cho các bài toán” thì hầu như chưa ai đưa ra quy trình
cả. Sau đây tôi trình bày quy trình thực hiện tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau theo cách thứ 2.
3.2.2. Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Với các dữ kiện như trên, ta có quy trình để tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng a và b như sau:
Bước 1: Từ điểm A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng b. Khi đó
b / /(a; Ax ) .

Bước 2: d (a, b)  d (b;(a; Ax))  d ( H ;(a; Ax))
Bước 3: Tính d ( H ;(a; Ax)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

23

3.2.3. Nhận xét
- Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thực chất là bài
toán mở rộng của bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Tuy nhiên
nó cho dưới dạng ẩn mà ta phải đi làm thêm Bước 1 và Bước 2 để đưa về bài toán
tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.
- Mối liên hệ giữa bài toán tổng quát và các bài toán tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau trong đề thi:
+ Đường thẳng b chính là một cạnh nằm trên mặt phẳng đáy.
+ Đường thẳng a chính là một cạnh nào đó của hình chóp hoặc hình lăng trụ.
+ Điểm A chính là giao điểm của cạnh hình chóp và mặt phẳng đáy.
- Ở bước thứ nhất khi kẻ đường thẳng Ax ta cần dựa vào tính chất của mặt
đáy để xác định chính xác vị trí đường thẳng này. Trong trường hợp đặc biệt đường
thẳng Ax có sẵn không cần kẻ thêm.
3.2.4. Bài toán áp dụng
Bài 1(THPT QG năm 2015): Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và (ABCD)
bằng 450. Tính khoảng cách giữa SB và AC.
Phân tích
- Bài toán thuộc dạng “Tính khoảng giữa một đường thẳng nằm trên mặt đáy va
một cạnh bên của hình chóp.”

24


- Từ giao điểm B kẻ đường thẳng Bx song song với đường thẳng nằm trong mặt
đáy. Khi đó AC / /( SB, Bx ) .
- Khi đó ta quy về d ( SB, AC )  d ( AC , (SB, Bx)  d ( A,( SB, Bx)) .
- Tính d ( A, (SB, Bx)) theo phương pháp hai đường vuông góc.

Lời giải

Kẻ Bx / / AC � AC / /( SB, Bx) .
Khi đó d ( SB, AC )  d ( AC , ( SB, Bx))  d ( A, ( SB, Bx))
* Tính d ( A, (SB, Bx))
Kẻ AI  Bx( I �Bx) � Bx  ( SAI ) � ( SB, Bx)  ( SAI ) theo giao tuyến SI.
Kẻ AK  SI ( K �SI ) � AK  ( SB, Bx) . Do đó d ( A, ( SB, Bx))  AK
+ HI  AB.sin 450 

a 2
2

+ AS  AC  a 2

� AK 

a 2
2  a 10

2
2
5
AS  AI
a2
2
2a 
2
AS . AI

a 2

25