DS c3 he phuong trinh

Chng 33

PHNG TRèNH
H PHNG TRèNH

Đ 5. heọ phửụng trỡnh baọc nhaỏt nhieu aồn


H PHNG TRèNH BC NHT HAI N:
nh ngha:
a1x + b1y = c1 (1)
vi
a2x + b2y = c2 (2)


H phng trỡnh bc nht 2 n x v y l h cú dng (I ) :
2
2
a1 + b1 0
ì
2 2
a2 + b2 0

Cp s (xo ; yo ) ng thi tha c 2 phng trỡnh (1) v (2) c gi l nghim ca h.
Cụng thc nghim: Quy tc Crame.
Ký hiu: D =

a1

b1

a2 b2

= a1b2 a2b1 , Dx =

c1 b1
c2 b2

= c1b2 c2b1 , D y =

Xet D

c1

a2 c2

= a1c2 a2c1.

Kờt qua
H cú nghim duy nht

D0

x=
D=0

a1

Dy
Dx
, y=

ì
D
D

H vụ nghim.

Dx 0 hoc Dy 0

H cú vụ s nghim.

Dx = D y = 0

gii h phng trỡnh bc nht hai n ta cú th dựng cỏc cỏch gii ó bit nh: phng
phỏp th, phng phỏp cng i s.
Biu din hỡnh hc ca tp nghim:
Nghim (x; y) ca h (I ) l ta im M (x; y) thuc c 2 ng thng:
(d1): a1x + b1y = c1 v (d2 ) : a2x + b2y = c2.



H (I ) cú nghim duy nht (d1) v (d2 ) ct nhau.
H (I ) vụ nghim (d1) v (d2 ) song song vi nhau.
H (I ) cú vụ s nghim (d1) v (d2 ) trựng nhau.
a1 b1

a2 b2

y

y

(d2 ) (d )
1

yo

M

O xo

O
Nghim duy nht

a1 b1 c1
=
a2 b2 c2

(d1)

(d2 )

x
Vụ nghim

y
(d2 )

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

(d1)

x

O

Vụ s nghim

H BA PHNG TRèNH BC NHT 3 N

Trang
1/15


 a1x + b1y + c1z = d1

Hệ có dạng:  a2x + b2y + c2z = d2 × Một nghiệm của hệ là bộ 3 số (xo; yo ; zo) thỏa cả 3
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3

phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt
ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta
cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.

§ 6. heä phöông trình baäc hai hai aån soá



HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax + by = c
2
2
dx + exy + fy + gx + hy = i

(1)

•

Dạng tổng quát: 

•

Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế vào
phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).

(2)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự
các phương trình cũng không thay đổi.
• Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.
Đặt S = x + y, P = xy.
Giải hệ với ẩn S, P với điều kiện có nghiệm (x; y) là S2 ≥ 4P.
Tìm nghiệm (x; y) bằng cách thế vào phương trình X 2 − SX + P = 0.
 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:
•

o

o

x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = S2 − 2P.

o (x − y)2 = (x + y)2 − 4xy = S2 − 4P.

x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = S3 − 3SP.

o

x + y = (x + y ) − 2x y = S − 4S P + 2P .
4

o

4

2

2 2

2

2

4

2

2

x4 + y4 + x2 y2 = (x2 − xy + y2 )(x2 + xy + y2 ) = ×××××××××

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay
đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
• Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về
dạng (x − y). f (x) = 0, tức luôn có x = y.
 Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.
•

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
•

a1x2 + b1xy + c1y2 = d1
Dạng tổng quát:  2
2
a2x + b2xy + c2y = d2

•

Phương pháp giải: (i) ⇔ 

2
2
d2(a1x + b1xy + c1y ) = d1.d2
2

2
d1(a2x + b2xy + c2y ) = d1.d2

(i )
(1)
(2)

− b2d1) ×xy + (c1d2 − c2d1) ×y2 = 0. Đây là phương trình đẳng
Lấy (1) − (2) ⇒ (a1d2 − a2d1) ×x2 + (bd
1 2
cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x, y.
 fm(x; y) = a
với fm(x; y), fn (x; y), fk (x; y) là các biểu thức đẳng cấp bậc
 fn (x; y) = fk (x; y)

 Lưu ý: Dạng 

Trang
2/15


m, n, k thỏa mãn m+ n = k. Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải. Tức biến đổi hệ
 a = f (x; y)
m

⇔ ↓
⇒ fm(x; y) × fn (x; y) = a. fk(x; y) và đây là phương trình đẳng cấp bậc
a×f (x; y) = a×f (x; y)
k
 n

k.
 2 x + y = 1
Câu 1. Nghiệm của hệ: 
là:
3 x + 2 y = 2

( 2 − 2; 2 2 − 3) .
C. ( 2 − 2;3 − 2 2 ) .

( 2 + 2; 2
D. ( 2 − 2; 2

A.

B.

)
2 − 3) .

2 −3 .

Lời giải
Chọn C.

(

)

Ta có : y = 1 − 2 x ⇒ 3x + 2 1 − 2 x = 2 ⇒ x = 2 − 2 ⇒ y = 3 − 2 2 .

Câu 2. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm
A. 0.

B. 1.

2 x + 3 y = 5
4 x + 6 y = 10

( x; y ) : 

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải
Chọn A.
Ta có : 4 x + 6 y = 10 ⇔ 2 x + 3 y = 5 . Vậy phương trình có vô số nghiệm.
3 x + 4 y = 1
Câu 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình: 
2 x − 5 y = 3
7 
7 
 17 7 
 17
 17
A.  ; − ÷.
B.  − ; ÷.
C.  − ; − ÷.
 23 23 
 23 23 

 23 23 
Lời giải
Chọn A.
1 − 3x
1 − 3x
17
−7
⇒ 2x − 5
=1 ⇒ x =
⇒y=
Ta có : y =
.
4
4
23
23
0,3 x − 0, 2 y − 0,33 = 0
Câu 4. Tìm nghiệm ( x; y ) của hệ : 
1, 2 x + 0, 4 y − 0, 6 = 0
A. ( –0, 7;0, 6 ) .

B. ( 0, 6; –0, 7 ) .

C. ( 0, 7; –0, 6 ) .

 17 7 
D.  ; ÷.
 23 23 

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn C.
Ta có : y =

0,3 x − 0,33
0,3x − 0,33
⇒ 1, 2 x + 0, 4
− 0, 6 = 0 ⇒ x = 0, 7 ⇒ y = −0, 6 .
0, 2
0, 2

x + 2 y = 1
Câu 5. Hệ phương trình: 
có bao nhiêu nghiệm ?
3 x + 6 y = 3
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải
Chọn D.
1 2 1
Ta có : = =
3 6 3
⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

D. Vô số nghiệm.

Trang
3/15

2 x + y = 4

Câu 6. Hệ phương trình :  x + 2 z = 1 + 2 2 có nghiệm là?

y + z = 2+ 2

(

A. 1; 2; 2 2

)

(

B. 2;0; 2

)

(

)

(

C. −1;6; 2 .

)

D. 1; 2; 2 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có : Thế y = 4 − 2 x vào phương trình y + z = 2 + 2 ta được −2 x + z = −2 + 2
 −2 x + z = −2 + 2
Giải hệ 
ta được x = 1; z = 2 ⇒ y = 2 .
 x + 2 z = 1 + 2 2
 x 2 − y 2 = 16
Câu 7. Cho hệ phương trình 
. Để giải hệ phương trình này ta dùng cách
x + y = 8
nào sau đây ?
A. Thay y = 8 − x vào phương trình thứ nhất.
B. Đặt
S = x + y , P = xy .
C. Trừ vế theo vế.

D. Một phương pháp khác.
Lời giải

Chọn A.
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút
một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai.
x − y = 9
Câu 8. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
 x. y = 90
A. ( 15;6 ) , ( 6;15 ) .

B. ( –15; –6 ) , ( –6; –15 ) .

C. ( 15; 6 ) , ( –6; –15 ) .

D. ( 15;6 ) , ( 6;15 ) , ( –15; –6 ) , ( –6; –15 ) .
Lời giải

Chọn C.
Ta có : y = x − 9 ⇒ x ( x − 9 ) = 90 ⇒ x 2 − 9 x − 90 = 0 ⇒ x = 15; x = −6
x = 15 ⇒ y = 6
x = −6 ⇒ y = −15 .

(

)

 2 + 1 x + y = 2 − 1
Câu 9. Nghiệm của hệ phương trình 
là:
 2 x − 2 − 1 y = 2 2
1
1


A.  1; − ÷.
B.  −1; ÷.
C. ( 1; 2 ) .
2
2



Lời giải
Chọn D.
Ta có : y = 2 − 1 −

(

)

2 + 1 x ⇒ 2x −

(

(

)

)(

2 −1

2 −1 −

(

D. ( 1; −2 ) .

) )

2 +1 x = 2 2

⇒ x = 1 ⇒ y = −2 .

Câu 10. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:
3 x − my = 1

 −mx + 3 y = m − 4
A. m ≠ 3 hay m ≠ −3.

B. m ≠ 3 và m ≠ −3.
Trang
4/15


C. m ≠ 3.

D. m ≠ −3.
Lời giải

Chọn B.
Ta có : D =

3 −m
= 9 − m2
−m 3

Phương trình có đúng một nghiệm khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 .
Câu 11. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng

( d1 ) : ( m2 –1) x – y + 2m + 5 = 0

A. m = −2.
giá trị m .

sau

trùng

nhau

và ( d 2 ) : 3 x – y + 1 = 0

B. m = 2.

C. m = 2 hay m = −2.

D. Không có

Lời giải
Chọn A.
Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 trùng nhau khi

m 2 − 1 −1 2m + 5
=
=
3
−1
1

m 2 − 1 = 3
 m = ±2
⇔
⇔
⇔ m = −2 .
 m = −2
 2m + 5 = 1
x + y = S
Câu 12. Để hệ phương trình : 
có nghiệm , điều kiện cần và đủ là :
 x. y = P
A. S 2 – P < 0.
B. S 2 – P ≥ 0.
C. S 2 – 4 P < 0.
D. S 2 – 4 P ≥ 0.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : x, y là nghiệm phương trình X 2 − SX + P = 0
Hệ phương trình có nghiệm khi ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0 .
 x. y + x + y = 11
Câu 13. Hệ phương trình  2
2
 x y + xy = 30

A. có 2 nghiệm ( 2;3) và ( 1;5 ) .

B. có 2 nghiệm ( 2;1) và ( 3;5 ) .

C. có 1 nghiệm là ( 5;6 ) .

D. có 4 nghiệm ( 2;3) , ( 3; 2 ) , ( 1;5 ) , ( 5;1) .
Lời giải

Chọn D.
Đặt S = x + y , P = xy

(S

2

− 4P ≥ 0)

 S + P = 11
⇒ S ( 11 − S ) = 30 ⇒ − S 2 + 11S − 30 = 0
Hệ phương trình tương đương 
SP
=
30

⇒ S = 5; S = 6
Khi S = 5 thì P = 6 suy ra hệ có nghiệm ( 2;3) , ( 3; 2 )
Khi S = 6 thì P = 5 suy ra hệ có nghiệm ( 1;5 ) , ( 5;1) .
 x2 + y2 = 1
Câu 14. Hệ phương trình 
có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :
y = x + m
A. m = 2.
B. m = − 2.
C. m = 2 hoặc m = − 2. D. m tùy ý.
Lời giải

Chọn C.
2
2
2
Ta có : x 2 + ( x + m ) = 1 ⇔ 2 x + 2mx + m − 1 = 0 ( *)

Trang
5/15


Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình ( *) có đúng 1 nghiệm
⇒ ∆ ' = m2 − 2 m2 + 2 = 0 ⇔ m = ± 2.
 2 ( x + y ) + 3 ( x − y ) = 4
Câu 15. Hệ phương trình : 
. Có nghiệm là
( x + y ) + 2 ( x − y ) = 5
 1 13 
A.  ; ÷.
2 2 

 1 13 
 13 1 
B.  − ; − ÷ .
C.  ; ÷.
 2 2
 2 2
Lời giải

 13 1 
D.  − ; − ÷.

 2 2

Chọn B.
Đặt u = x + y, v = x − y
 2u + 3v = 4
⇒ 2 ( 5 − 2v ) + 3v = 4 ⇒ v = 6 ⇒ u = −7
Ta có hệ 
u + 2v = 5
 x + y = −7
1
13
⇒
⇒ x + x − 6 = −7 ⇒ x = − ⇒ y = − .
2
2
x − y = 6
 x − 1 + y = 0
Câu 16. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
 2 x − y = 5
A. x = −3; y = 2.
B. x = 2; y = −1.
C. x = 4; y = −3.

D. x = −4; y = 3.

Lời giải
Chọn B.
 x −1 = 5 − 2x
⇔ x = 2 ⇒ y = −1 .

Ta có : x − 1 + 2 x − 5 = 0 ⇔ 5 − 2 x ≥ 0 ∩ 
 x − 1 = −5 + 2 x
 mx + 3 y = 2m − 1
Câu 17. Phương trình sau có nghiệm duy nhất với giá trị của m là : 
 x + (m + 2) y = m + 3
A. m ≠ 1.
C. m ≠ 1 hoặc m ≠ −3.

B. m ≠ −3.
D. m ≠ 1 và m ≠ −3.
Lời giải

Chọn D.
2
Ta có : D = m ( m + 2 ) − 3 = m + 2m − 3
Phương trình có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 và m ≠ −3.
 mx + ( m + 4 ) y = 2
Câu 18. Cho hệ phương trình : 
. Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích
 m ( x + y ) = 1 − y
hợp cho tham số m là :
A. m = 0
B. m = 1 hay m = 2.
1
1
C. m = −1 hay m = .
D. m = − hay
2
2
m = 3.

Lời giải
Chọn A.
 mx + ( m + 4 ) y = 2
⇒ D = m ( m + 1) − m ( m + 4 ) = −3m
Ta có : Hệ trở thành 
 mx + ( m + 1) y = 1
Hệ vô nghiệm ⇒ D = 0 ⇒ m = 0
Thử lại thấy m = 0 thoả điều kiện.

Trang
6/15


 x2 − y 2 + 6x + 2 y = 0
Câu 19. Cho hệ phương trình 
. Từ hệ phương trình này ta thu được
x + y = 8
phương trình sau đây ?
A. x 2 + 10 x + 24 = 0.
B. x 2 + 16 x + 20 = 0. C. x 2 + x – 4 = 0.
D. Một kết quá
khác.
Lời giải
Chọn D.
2
Ta có : y = 8 − x ⇒ x 2 − ( 8 − x ) + 6 x + 2 ( 8 − x ) = 0 ⇒ 20 x − 48 = 0 .
 x 2 − 3xy + y 2 + 2 x + 3 y − 6 = 0
Câu 20. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
2 x − y = 3

A. ( 2;1) .

B. ( 3;3) .

C. ( 2;1) , ( 3;3) .

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : y = 2 x − 3 ⇒ x 2 − 3x ( 2 x − 3) + ( 2 x − 3) + 2 x + 3 ( 2 x − 3) − 6 = 0
⇒ − x 2 + 5 x − 6 = 0 ⇒ x = 2; x = 3
x = 2 ⇒ y =1
x = 3 ⇒ y = 3.
x + y = 1
Câu 21. Hệ phương trình  2
có bao nhiêu nghiệm ?
2
x + y = 5
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn B.
2
Ta có : y = 1 − x ⇒ x 2 + ( 1 − x ) = 5 ⇒ 2 x 2 − 2 x − 4 = 0 ⇒ x = −1; x = 2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
2 3

 x + y = 13

Câu 22. Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 3 + 2 = 12
 x y
1
1
A. x = ; y = − .
2
3
Chọn B.
2
x +

Ta có : 
3 +
 x

1
1
1
1
B. x = ; y = .
C. x = − ; y = .
2
3
2
3
Lời giải

D. Hệ vô nghiệm.

3
1
= 13
 x = 2
y
1
1
⇔
⇔ x= ,y= .
2
2
3
1 = 3
= 12
 y
y

 x + y = 10
Câu 23. Hệ phương trình  2
có nghiệm là:
2
 x + y = 58
x = 3
x = 7
x = 3 x = 7
.
.

A. 
B. 
C. 
, 
.
y = 7
y = 3
y = 7 y = 3
khác.
Lời giải

D. Một đáp số

Trang
7/15


Chọn C.
2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )
 S = 10
⇒ P = 21 (nhận).
Ta có :  2
 S − 2 P = 58
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 10 X + 21 = 0 ⇔ X = 7; X = 3
Vậy nghiệm của hệ là ( 7;3) , ( 3;7 ) .

 ax + y = a 2
Câu 24. Tìm a để hệ phương trình 
vô nghiệm:

 x + ay = 1
A. a = 1.
B. a = 1 hoặc a = −1 .
Không có a .
Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : D = a 2 − 1 , Dx = a 3 − 1 , Dy = a − a
Hệ phương trình vô nghiệm ⇒ D = 0 ⇔ a = ±1

C. a = −1.

D.

a = 1 ⇒ Dx = Dy = 0 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm.
a = −1 ⇒ Dx = −2 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm.
x + y + z = 9

1 1 1
Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình :  + + = 1
x y z
 xy + yz + zx = 27
A. ( 1;1;1) .

B. ( 1; 2;1) .

C. ( 2; 2;1) .

D. ( 3;3;3) .

Lời giải
Chọn D.
1 1 1
Ta có : + + = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz ⇒ xyz = 27
x y z
⇒ x, y, z là nghiệm của phương trình X 3 − 9 X 2 + 27 X − 27 = 0 ⇔ X = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3;3;3) .

 x + y + xy = 5
Câu 26. Hệ phương trình  2
có nghiệm là :
2
x + y = 5
A. ( 2;1) .

B. ( 1; 2 ) .

C. ( 2;1) , ( 1; 2 ) .

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn C.
2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )
S + P = 5
⇒ S 2 − 2 ( 5 − S ) = 5 ⇒ S 2 + 2S − 15 = 0 ⇒ S = −5; S = 3
Ta có :  2
S − 2P = 5
S = −5 ⇒ P = 10 (loại)

S = 3 ⇒ P = 2 (nhận)
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 3 X + 2 = 0 ⇔ X = 1; X = 2
Vậy hệ có nghiệm

( 2;1) , ( 1; 2 ) .

Trang
8/15


7

 x + y + xy = 2
Câu 27. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
 x 2 y + xy 2 = 5

2
A. ( 3; 2 ) ; ( −2;1) .

B. ( 0;1) , ( 1;0 ) .

C. ( 0; 2 ) , ( 2;0 ) .

 1 1 
D.  2; ÷;  ; 2 ÷.
 2 2 

Lời giải
Chọn D.

2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )
7

 S + P = 2
Ta có : 
 SP = 5

2

⇒ S , P là nghiệm của phương trình

7
5
5
X + = 0 ⇔ X = 1; X =
2
2
2
5
Khi S = 1; P = (loại)
2
5
Khi S = ; P = 1 thì x, y là nghiệm của phương trình
2
X2 −

X2 −

5

1
X + 1 = 0 ⇔ X = 2; X =
2
2

 1 1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm  2; ÷;  ; 2 ÷.
 2 2 
 x + y + xy = 5
Câu 28. Hệ phương trình  2
có nghiệm là :
2
 x + y + xy = 7
A. ( 2;3) hoặc ( 3; 2 ) .

B. ( 1; 2 ) hoặc ( 2;1) .

C. ( −2; −3) hoặc ( −3; −2 ) .

D. ( −1; −2 ) hoặc ( −2; −1) .
Lời giải

Chọn B.
2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )
S + P = 5
⇒ S 2 − ( 5 − S ) = 7 ⇒ S 2 + S − 12 = 0 ⇒ S = 3; S = −4
Ta có :  2
S − P = 7
Khi S = 3 ⇒ P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình

X 2 − 3 X + 2 = 0 ⇔ X = 1; X = 2
Khi S = 2 ⇒ P = 3 (loại)

Vậy hệ có nghiệm là ( 1; 2 ) hoặc ( 2;1) .
 x + y + xy = 11
Câu 29. Hệ phương trình  2
có nghiệm là :
2
 x + y + 3( x + y ) = 28
A. ( 3; 2 ) , ( 2;3) .

B. ( −3; −7 ) , ( −7; −3) .

C. ( 3; 2 ) ; ( −3; −7 ) .

D. ( 3; 2 ) , ( 2;3) , ( −3; −7 ) , ( −7; −3 ) .
Lời giải

Chọn D.
Trang
9/15


2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )

 S + P = 11
⇒ S 2 − 2 ( 11 − S ) + 3S = 28 ⇒ S 2 + 5S − 50 = 0 ⇒ S = 5; S = −10
Ta có :  2
 S − 2 P + 3S = 28

Khi S = 5 ⇒ P = 6 thì x, y là nghiệm của phương trình
X 2 − 5 X + 6 = 0 ⇔ X = 2; X = 3
Khi S = −10 ⇒ P = 21 thì x, y là nghiệm của phương trình
X 2 + 10 X + 21 = 0 ⇔ X = −3; X = −7
Vậy hệ có nghiệm ( 3; 2 ) , ( 2;3) , ( −3; −7 ) , ( −7; −3 ) .
 x 3 = 3 x + 8 y
Câu 30. Hệ phương trình  3
có nghiệm là ( x; y ) với x ≠ 0 và y ≠ 0 là :
 y = 3 y + 8 x

(
C. ( −

)(

A. − 11; − 11 ;

)

)

(
D. (

11; 11 .

)(
11;0 ) .

B. 0; 11 ;

11;0 .

)

11;0 .

Lời giải
Chọn A.
3
 x = 3 x + 8 y
⇒ x 3 − y 3 = −5 x + 5 y ⇒ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 5 ) = 0
Ta có :  3
 y = 3 y + 8 x
x = y
⇒ 2
2
 x + xy + y + 5 = 0
Khi x = y thì x 3 − 11x = 0 ⇔ x = 0; x = ± 11
2

1  3

Khi x 2 + xy + y 2 + 5 = 0 ⇔  x + y ÷ + y 2 + 5 = 0 (phương trình vô nghiệm)
2  4


(

)(

Vậy hệ có nghiệm − 11; − 11 ;

)

11; 11 .

2
 x = 5 x − 2 y
Câu 31. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:  2
 y = 5 y − 2 x

A. ( 3;3) .

B. ( 2; 2 ) ; ( 3;1) ; ( −3;6 ) .

C. ( 1;1) , ( 2; 2 ) , ( 3;3 ) .

D. ( −2; −2 ) , ( 1; −2 ) , ( −6;3 )
Lời giải

Chọn A.
2
 x = 5 x − 2 y
⇒ x2 − y 2 = 7 x − 7 y ⇒ ( x − y ) ( x + y − 7 ) = 0
Ta có :  2
 y = 5 y − 2 x
Khi x = y thì x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0; x = 3
Khi y = 7 − x thì x 2 − 7 x + 14 = 0 (phương trình vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 3;3) .

 x 2 + y = 6
Câu 32. Hệ phương trình  2
có bao nhiêu nghiệm ?
 y + x = 6
A. 6.
B. 4.
C. 2.
Lời giải
Chọn C.

D. 0.

Trang
10/15


 x 2 + y = 6
⇒ x 2 − y 2 + y − x = 0 ⇒ ( x − y ) ( x + y − 1) = 0
Ta có :  2
y
+
x
=
6

Khi x = y thì x 2 + x − 6 = 0 ⇔ x = −3; x = 2
Khi y = 1 − x thì x 2 − x + 7 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( −3; −3) và ( 2; 2 ) .

 x 2 = 3x − y
Câu 33. Hệ phương trình  2
có bao nhiêu cặp nghiệm ( x; y ) ?
 y = 3 y − x
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn B.
 x 2 = 3x − y
⇒ x 2 − y 2 = 4 x − 4 yX ⇒ ( x − y ) ( x + y − 1) = 0
Ta có :  2
 y = 3 y − x
Khi x = y thì x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0; x = 2
Khi y = 4 − x thì x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( 0;0 ) , ( 2; 2 ) .
x + y = 4
Câu 34. Cho hệ phương trình  2
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
2
2
x + y = m
A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m .
B. Hệ phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ 8 .
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ m ≥ 2.
D. Hệ phương trình luôn vô nghiệm.
Lời giải
Chọn B.

x + y = 4
16 − m2
2
2
Ta có :  2
⇒
P
=
⇒
4
−
2
P
=
m
2
2
2
x + y = m

⇒ S 2 − 4 P = 16 − 2 ( 16 − m2 ) = 2m 2 − 16 ≥ 0 ⇔ m ≥ 8 .

2
2
3 x − 4 xy + 2 y = 17
Câu 35. Cho hệ phương trình :  2
. Hệ thức biểu diễn x theo y rút ra
2
 y − x = 16

từ hệ phương trình là ?
y−2
y+2
A. x =
hay x =
.
2
2
y −1
y +1
C. x =
hay x =
.
2
2

y −3
y+3
hay x =
.
2
2
5
3
D. x = y hay x = y
13
5
B. x =

Lời giải

Chọn .
3 x 2 − 4 xy + 2 y 2 = 17
⇒ 16 ( 3 x 2 − 4 xy + 2 y 2 ) = 17 ( y 2 − x 2 ) ⇔ 65 x 2 − 64 xy + 15 y 2 = 0
Ta có :  2
2
 y − x = 16
⇔ ( 13x − 5 y ) ( 5 x − 3 y ) = 0 ⇔ x =

5
3
y hay x = y .
13
5
Trang
11/15


 mx + y = 3
Câu 36. Cho hệ phương trình : 
.Các giá trị thích hợp của tham số m để
 x + my = 2m + 1
hệ phương trình có nghiệm nguyên là :
A. m = 0, m = –2.
B. m = 1, m = 2, m = 3.
C. m = 0, m = 2.
D. m = 1, m = –3, m = 4.
Lời giải
Chọn A.
2
Ta có : D = m 2 − 1 , Dx = m − 1 , Dy = 2m + m − 3

D
Dx
1
2m − 1
=
,y= y =
D m +1
D
m +1
Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m = 0; m = −2 .
Hệ phương trình có nghiệm x =

 x + 2 y = 3
Câu 37. Các cặp nghiệm ( x; y ) của hệ phương trình : 
là :
7 x + 5 y = 2
 11 23 
A. ( 1;1) hay  ; ÷.
 19 19 

B. ( −1; −1) hay

 11 23 
 − ; ÷.
 19 19 
 11 23 
C. ( 1; −1) hay  − ; ÷.
 19 19 

 11 23 

D. ( −1;1) hay  ; ÷.
 19 19 
Lời giải

Chọn C.
x + 2 y = 3
11
19
⇔ x = − ;y =
Khi x, y ≥ 0 thì hệ trở thành 
(loại)
9
9
7 x + 5 y = 2
− x − 2 y = 3
19
−23
⇔ x= ,y=
Khi x, y < 0 thì hệ trở thành 
(loại)
9
9
7 x + 5 y = 2
x − 2 y = 3
⇔ x = 1; y = −1 (nhận)
Khi x ≥ 0, y < 0 thì hệ trở thành 
7 x + 5 y = 2
− x + 2 y = 3
11
23

⇔ x=− ;y=
Khi x < 0, y ≥ 0 thì hệ trở thành 
(nhận)
19
19
7 x + 5 y = 2
 xy + x + y = 5
Câu 38. Nghiệm của hệ phương trình :  2
là:
2
x y + y x = 6
A. ( 1; 2 ) , ( 2;1) .

B. ( 0;1) , ( 1; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) , ( 2;0 ) .

 1 1 
D.  2; ÷,  ; 2 ÷.
 2 2 

Lời giải
Chọn A.
2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )
P + S = 5
Ta có : 
 PS = 6
⇒ S , P là nghiệm của phương trình X 2 − 5 X + 6 = 0 ⇔ X = 2; X = 3
Khi S = 2, P = 3 (loại)

Khi S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm phương trình X 2 − 3 X + 2 = 0 ⇔ X = 1; X = 2
Trang
12/15


Vậy nghiệm của hệ là ( 1; 2 ) , ( 2;1) .
 2 x 2 + y 2 + 3xy = 12
Câu 39. Cho hệ phương trình : 
. Các cặp nghiệm dương của hệ
2
2
 2( x + y ) − y = 14
phương trình là:
A. ( 1; 2 ) ,

(

)

2; 2 .

B. ( 2;1) ,

(

)

3; 3 .



2 
2  
1   2
; 3÷
C.  ;3 ÷,  3,
D.  ;1÷, 
÷
÷.
3
3  
2   3


Lời giải
Chọn A.
2
2
2
2
2
 2 x + y + 3xy = 12
2 x + y + 3 xy = 12
⇔ 2
⇒ xy = 2 ⇒ y =
Ta có : 
2
2
2
x
 2( x + y ) − y = 14

2 x + y + 4 xy = 14
 x2 = 1
4
4
2
⇔
⇒ 2 x + 2 + 6 = 12 ⇔ 2 x − 6 x + 4 = 0
⇔ x = ±1; x = ± 2
 2
x
x = 2
2

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là ( 1; 2 ) ,

(

)

2; 2 .

 x 3 − 3 x = y 3 − 3 y
Câu 40. Hệ phương trình  6
có bao nhiêu nghiệm ?
6
 x + y = 27
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải

Chọn .
3
3
2
2
Ta có : x − 3 x = y − 3 y ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) − 3 ( x − y ) = 0

D. 4.

x = y
⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 − 3) = 0 ⇔  2
2
 x + xy + y − 3 = 0
 27
27 
;±6
Khi x = y thì hệ có nghiệm  ± 6
÷.
2
2 ÷


Khi x 2 + xy + y 2 − 3 = 0 ⇔ x 2 + y 2 = 3 − xy , ta có x 6 + y 6 = 27
⇔ ( x 2 + y 2 ) ( x 4 − x 2 y 2 + y 4 ) = 27 ⇒ ( 3 − xy ) ( 3 − xy ) − 3 x 2 y 2  = 27 ⇔ 3 ( xy ) + 27 xy = 0


2

3

 xy = 0
⇔
(vô lí).
2
( xy ) = −9
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
 2 x + y − 1 = 1
Câu 41. Hệ phương trình 
có bao nhiêu cặp nghiệm ( x; y ) ?
 2 y + x − 1 = 1
A. 1.

B. Vô nghiệm.
C. 2.
Lời giải

D. 3.

Chọn A.
Điều kiện : x, y ≥ 1
 2 x + y − 1 = 1
⇒ 2x − 2 y + y −1 − x −1 = 0 ⇒ 2 ( x − y ) +
Ta có : 
 2 y + x − 1 = 1

⇒ ( x − y)  2 −



y−x

y −1 + x −1 = 0


1
÷= 0
y −1 + x −1 ÷

Trang
13/15


1

1

x≤

x ≤
x
=
y
2
⇔
2
⇔ x=0
Khi
thì 2 x + x − 1 = 1 ⇒ x − 1 = 1 − 2 x ⇔ 
x −1 = ( 1 − 2x ) 2
4 x 2 − 5 x = 0



1
1
3
thì 2 x + 2 y + = 2 ⇒ x + y = (vô nghiệm vì x, y ≥ 1 )
2
2
4
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 0;0 ) .
Khi

y −1 + x −1 =

x + y = m +1
Câu 42. Cho hệ phương trình  2
và các mệnh đề :
2
2
 x y + y x = 2m − m − 3
(I) Hệ có vô số nghiệm khi m = −1 .
3
(II) Hệ có nghiệm khi m > .
2
(III) Hệ có nghiệm với mọi m .
Các mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Chỉ (III) .
D. Chỉ (I) và (III).
Lời giải

Chọn D.
x + y = 0
⇒ hệ có vô số nghiệm ⇒ ( I ) đúng.
Khi m = −1 thì hệ trở thành  2
2
x y + y x = 0
x + y = m +1
⇒ xy ( m + 1) = 2m2 − m − 3 ⇒ xy = 2m − 3
Ta có:  2
2
2
 x y + y x = 2m − m − 3
⇒ S 2 − 4 P = ( m + 1) − 4 ( 2m − 3) = m 2 − 6m + 13 > 0, ∀m đúng.
2

2
 2 xy + y − 4 x − 3 y + 2 = 0
Câu 43. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
2
 xy + 3 y − 2 x − 14 y + 16 = 0

A. x bất kỳ, y = 2 ; x = 1 , y = 3
1
B. x = 3, y = 2; x = 3, y = –1; x = 2, y = – .
2
1
C. x = 5, y = 2; x = 1, y = 3; x = , y = 2.
2
1

D. x = 4, y = 2; x = 3, y = 1; x = 2, y = .
2
Lời giải
Chọn A.
2 xy + y 2 − 4 x − 3 y + 2 = 0
 2 xy + y 2 − 4 x − 3 y + 2 = 0
⇒
⇒ 5 y 2 − 25 y + 30 = 0
Ta có : 

2
2
 xy + 3 y − 2 x − 14 y + 16 = 0 2 xy + 6 y − 4 x − 28 y + 32 = 0
⇒ y = 3; y = 2
Khi y = 3 thì x = 1 .
Khi y = 2 thì x tuỳ ý.
 x + y = 2a + 1
Câu 44. Cho hệ phương trình  2
. Giá trị thích hợp của tham số a sao
2
2
 x + y = a − 2a + 3
cho hệ có nghiệm ( x; y ) và tích x. y nhỏ nhất là :
A. a = 1.

B. a = −1.

C. a = 2.

D. a = −2.

Lời giải
Chọn B.
Trang
14/15


2
Đặt S = x + y , P = xy ( S − 4 P ≥ 0 )

 S = 2a + 1
3a 2 + 6a − 2
⇒P=
Ta có :  2
2
2
 S − 2 P = a − 2a + 3

Hệ phương trình có nghiệm khi S 2 − 4 P ≥ 0 ⇔ ( 2a + 1) − 2 ( 3a 2 + 6a − 2 ) ≥ 0
2

⇔ 5a 2 − 8a − 2 ≥ 0
3
1 3
1
3
2
P =  a 2 + 2a + ÷ =  ( a + 1) − ÷ ≥ −
2
2 2

2
4
Đẳng thức xảy ra khi a = −1 (nhận).
( a + b ) x + ( a − b ) y = 2
Câu 45. Cho hệ phương trình :  3 3
3
3
2
2
( a + b ) x + ( a − b ) y = 2 ( a + b ) )
Với a ≠ ±b , a.b ≠ 0 , hệ có nghiệm duy nhất bằng :
1
1
,y=
.
a+b
a −b
a
b
,y=
.
D. x =
a −b
a −b

A. x = a + b, y = a – b.
C. x =

B. x =

a
b
,y=
.
a+b
a+b
Lời giải

Chọn B.
3
3
3
3
2
2
Ta có : D = ( a + b ) ( a − b ) − ( a + b ) ( a − b ) = 2ab ( a − b )
Dx = 2 ( a 3 − b3 ) − 2 ( a 2 + b 2 ) ( a − b ) = 2ab ( a − b )

Dy = ( a − b ) 2 ( a 2 + b 2 ) − 2 ( a 3 − b3 ) = 2ab ( a + b )
D
Dx
1
1
.
=
;y= y =
D a+b
D a −b
2 x − y = 2 − a
Câu 46. Cho hệ phương trình : 

. Các giá trị thích hợp của tham số a để
x + 2 y = a +1
Hệ có nghiệm x =

tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :
1
1
A. a = 1.
B. a = −1.
C. a = .
D. a = − .
2
2
Lời giải
Chọn C.
5−a

x=

2 x − y = 2 − a
4 x − 2 y = 4 − 2a

5
⇒
⇒
Ta có : 
x + 2 y = a +1
x + 2 y = a +1
 y = 3a


5
2
2
2
10a 2 − 10a + 25 1
1 
1  9 9
 5 − a  9a
2
⇒ x + y =
=
= ( 2a − 2a + 5 ) =   2 a −
÷ +
÷ + ÷ ≥ 10
25
25
5
5  
2  2÷
 5 

1
Đẳng thức xảy ra khi a = .
2
2

2

Trang
15/15

 mx − (m + 1) y = 3m

Câu 47. Cho hệ phương trình :  x − 2my = m + 2 . Để hệ phương trình có nghiệm, giá
x + 2 y = 4

trị thích hợp của tham số m là
5
5
2
A. m = .
B. m = − .
C. m = .
2
2
5
Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : D = −2m 2 + m + 1 , Dx = −5m 2 + 3m + 2 , Dy = m − m
Hệ phương trình có nghiệm khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1; m ≠ −

2
D. m = − .
5

1
2

D
Dx −5m + 2
m
=
;y= y =
D −2 m + 1
D −2 m + 1
−5m + 2
2m
2
+
=4 ⇔m= .
Thế vào phương trình x + 2 y = 4 ta được
−2m + 1 −2m + 1
5
 mx + (m + 2) y = 5
Câu 48. Cho hệ phương trình : 
. Để hệ phương trình có nghiệm âm,
 x + my = 2m + 3
giá trị cần tìm của tham số m là :
5
5
A. m < 2 hay m > .
B. 2 < m < .
2
2
5
5
C. m < − hay m > −2.
D. − < m < −1.

2
2
Lời giải
Chọn D.
2
Ta có : D = m 2 − m − 2 , Dx = −2m 2 − 2m − 6 , Dy = 2m + 3m − 5
Nghiệm của hệ là x =

Hệ phương trình có nghiệm khi D ≠ 0 ⇔ m ≠ −1; m ≠ 2
Hệ có nghiệm x =

−2 m 2 − 2 m − 6
2m 2 + 3m − 5
,
y
=
m2 − m − 2
m2 − m − 2

 m 2 − m − 2 > 0
 m < −1
5
⇔
∩− < m <1
Hệ phương trình có nghiệm âm khi  2
2
 2m + 3m − 5 < 0
m > 2
⇔−

5
< m < −1 .
2

2
2
 2 x + xy − y = 0
Câu 49. Cho hệ phương trình :  2
. Các cặp nghiệm
2
 x − xy − y + 3 x + 7 y + 3 = 0
cho x, y đều là các số nguyên là :

A. ( 2; −2 ) , ( 3; −3) .

B. ( −2; 2 ) , ( −3;3) .

C. ( 1; −1) , ( 3; −3) .

( x; y )

D. ( −1;1) , ( −4; 4 ) .

Lời giải
Chọn C
x = − y
Phương trình ( 1) ⇔ ( x + y ) ( 2 x − y ) = 0 ⇔ 
.
2 x = y

x = 1
2
Trường hợp 1: x = − y thay vào ( 2 ) ta được x − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
. Suy ra hệ
x = 3
phương trình có hai nghiệm là ( 1; −1) , ( 3; −3) .
Trang
16/15

sao


Trường hợp 2: 2x = y thay vào ( 2 ) ta được −5 x 2 + 17 x + 3 = 0 phương trình nay
không có nghiệm nguyên.
Vậy các cặp nghiệm ( x; y ) sao cho x, y đều là các số nguyên là ( 1; −1) và

( 3; −3) .

Câu 50. Nếu

( x; y )

 x 2 − 4 xy + y 2 = 1
là nghiệm của hệ phương trình: 
. Thì xy bằng bao
 y − 4 xy = 2

nhiêu ?
A. 4.
C. 1.

B. −4.
D. Không tồn tại giá trị của xy .
Lời giải

Chọn D.
( x − y ) 2 = 1 + 2 xy
Ta có : ( 1) ⇔ x − 4 xy + y = 1 ⇒ 
.
2
( x + y ) = 1 + 6 xy
2

2

( 2 ) ⇔ y − 3xy = 4 ⇔ ( x + y ) − ( x − y ) − 8 xy − 4 = 0
2

2

2
2
1 
1 3

⇔ ( x + y ) − ( x + y ) − ( x − y ) − ( x − y ) − 2 = 0 ⇔  x + y − ÷ +  x − y + ÷ + = 0 không
2 
2 2

có giá trị của x , y thỏa nên không tồn tại xy .

Trang
17/15