Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo (2019)

10/10/2019

NỘI DUNG
 Ma trận
 Các loại ma trận
 Phép toán ma trận:
 Cộng
 Trừ
 Nhân vô hướng
 Nhân hai ma trận

 Ma trận nghịch đảo

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC &
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

CHƯƠNG 1

10/10/2019

 Ứng dụng ma trận

10/10/2019

1

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

2

VÍ DỤ

Một ma trận cấp
mxn là một bảng số
hình chữ nhật gồm
mxn phần tử, gồm m
hàng và n cột.

Một ma trận cấp 2x3

A=

(m x n): cấp của ma
trận
A = [aij] // aij is called
(i, j)-entry

hay A

a11 a12
a21 a22

a1n
a 2n

am 1 am 2

amn

10/10/2019

3

// 2 dịng, 3 cột

7

-3

1/2

3

-5

0

3 x 3matrix,
a square matrix
10/10/2019

VÍ DỤ

(1,3)-phần tử
a[1,3] = 1/2
a13 = 1/2

3 x 1 matrix
column matrix
4

CÁC LOẠI MA TRẬN

A

Ký hiệu ma trận:

Ví dụ:

A

1
4
0

a ij

2
5
2

 Ma trận vuông
m n

7
7
8

 Ma trận không
 Ma trận hàng - ma trận cột

0
1
9

 Ma trận tam giác trên – dưới
 Ma trận chéo
 Ma trận đơn vị
 Ma trận chuyển vị

Đây là ma trận thực cấp 3x4. Gồm có 3 hàng và 4 cột
Các phần tử
a11 1
a22
5
10/10/2019

 Ma trận bậc thang
 Ma trận đối xứng

a12
a 32

2
?

a13

7

a14

0
5

 Ma trận phản đối xứng
10/10/2019

6

1


10/10/2019

MA TRẬN VNG

MA TRẬN KHƠNG

Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.
Tất cả các phần tử đều bằng 0.

A

a11 a12
a21 a22

a1n
a 2n

an 1 an 2

Ký hiệu: 0 hay 0mxn

a ij

n n

0m

ann

0 0
0 0

0
0

0 0

0

0

n

Đường chéo chính gồm các phần tử:

a11, a22,..., ann

10/10/2019

7

10/10/2019

MA TRẬN HÀNG, CỘT

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

1 2
0 4
0 0

Ma trận hàng: chỉ có một hàng
Ma trận cột: chỉ có một cột

A

1 2 3

8

A
1
2
4
5

B

4 5

A

1
2
0
9

B

3
2
8
0

i

0

j
10

MA TRẬN CHÉO

0
0
6
3

0
0
8
1

0
0
0
4

A

1 0
0 4
0 0

0
0
6

B

1
0
0
0

0
0
0

0

0
0
8
0

0
0
0
4

Ma trận vuông

 Ma trận vuông

Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

 Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

aij
10/10/2019

0

i

4
1
9

4

10/10/2019

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

0
0
6

B

2
0
0
0

Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

9

1 0
3 4
5 0

1
0
0
0

Ma trận vuông

aij
10/10/2019

3
5
6

C

a 0
0 b

 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

j

aij
11

10/10/2019

0

i

j
12

2


10/10/2019

MA TRẬN ĐƠN VỊ

1 0
0 1

I2

I3

MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX

1 0 0
0 1 0
0 0 1

I4

1
0
0
0

0
1
0

0

0
0
1
0

0
0
0
1

Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên của
một hàng kể từ bên trái.

Ma trận bậc thang:
 Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới
cùng.
 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng
cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

Ma trận chéo
Các phần tử chéo đều bằng 1.
Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

10/10/2019

13

10/10/2019

VÍ DỤ 1

VÍ DỤ 2

A

2
0
0
0

1
0
4
0

0
7
8
0

B

3
0
0

1
0

0

0
0
0

0
1
9
9
0
1
9

10/10/2019

Khơng là bậc
thang

3
2
1

Khơng là bậc
thang

15

MA TRẬN CHUYỂN VỊ

10/10/2019

14

C

2
0
0
0

1
4
0
0

0
8
7
0

D

3
0
0

1
0
0

0
3
0

0
9
1
0
0
1
9

bậc thang

3
2 bậc thang
1

10/10/2019

16

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG

17

10/10/2019

18

3


10/10/2019

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG

VÍ DỤ 3
Thực hiện phép biến đổi ma trận sau:

1. Đổi chỗ hai hàng với nhau

hi

hj

2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0

hi

k .hi

k

A

0

3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với

một số.

hi

hi

.h j

h2

h3

??

?
h3

h2
h3

h2 2h1
h3 8h1

h 3 9h2

A'

??

Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A.

Ký hiệu: A’ ~ A

4. Tổng hợp phép 2 và 3.

hi

1 2 3 4
8 7 5 3
2 3 0 1

k .hi

.h j

Tương tự ta có các phép bđsc trên cột.
10/10/2019

19

ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG

10/10/2019

20

VÍ DỤ 4

Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang
bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta

thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau
elementary row operations

A
arbitrary form

10/10/2019

A'
staircase form, not unique

21

VÍ DỤ 4

10/10/2019

22

CÁC PHÉP TỐN TRÊN MA TRẬN
1. Ma trận bằng nhau
2. Cộng hai ma trận cùng cấp
3. Nhân một số với ma trận
4. Nhân hai ma trận
5. Lũy thừa của một ma trận

10/10/2019

23

10/10/2019

24

4


10/10/2019

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

PHÉP TOÁN MA TRẬN

Hai ma trận A và B bằng nhau (ký hiệu A = B) khi và chỉ khi:
1. Chúng có cùng cấp.
2. Các phần tử tương ứng bằng nhau.

Cộng hai ma trận A + B = [aij + bij]

Hai ma trận
phải cùng cấp

Trừ hai ma trận A – B = [aij – bij]
Nhân vô hướng

Example. Given

Nhân hai ma trận

discuss the possibility that A = B, B = C, A = C

10/10/2019

25

CỘNG HAI MA TRẬN

10/10/2019

26

CỘNG HAI MA TRẬN
Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

a 1
b c

A
A

B
a
b

B

2
4

2
4

1
c

1

A

d
5

d
5

2
0

3

a) A

B

b) A

B

c)B

A

4
;
5

3
1

B

2
5

6
7

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp
10/10/2019

27

NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN

10/10/2019

28

TÍNH CHẤT

Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các
phần tử của ma trận.

a) A

B

c) A

0

Ví dụ.

e) k mA

A

a 1
b c

2A

2a
2b

2
2c

2

4

10
5

6
x

B

2

b) A

B

d)k A
km A

f) k

C

A

B

B

kA

kB

m A

kA

mA

1 2 3 4
8 7 5 3
2 3 0 1

B

0
1
2

2
7
3

10
6
2

Compute :
a) A

10/10/2019

A

C

Example. Given that :
A

B

B
A

29

B

10/10/2019

b)2A

3B

1
c) A
3

4
0

4

use your
calculator

2
B
7
30

5


10/10/2019

VÍ DỤ

ADDITION. DIFFERENCE
SCALAR MULTIPLICATION

Rút gọn biểu thức:

day 1

addition

2(A + 3C) - 3(2C-B) - 3[2(2A +B - 4C) - 4(A - 2C)]

difference

Trong đó A, B, C là các ma trận cùng cấp.

day 1 + day 2?
day 1 – day 2?

Đáp án: 2A-3B

day 2

Scalar multiplication

2(day 1)?

110 230 280
300 155 389
35 117 201
10/10/2019

31

10/10/2019

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO
peanuts
8
15

group A
group B

soda
5
7

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

hot dogs
12
13

selling price

store 1

store 2

store 3

store 4

peanuts

2

2.5

2

2.5

soda

2.5

2

2.75

2

hot dogs

3

3

2.5

3

Am  n . Bn  p = Cm  p

store 1
64.5
86.5

store 2
66
87.5

store 3
59.75
81.75

// cấp và thứ tự phải phù hợp

Phần tử cij = (hàng i của A).(cột j của B)
2
 1
1.1+2.1
3 4

 1 0  1 2  
   -1 -2
 0  1  
  2 0  1 2 1 0   -2 0




8x2.5 + 5x2 + 12x3 = 66$

group A
group B

32

1

2

-1

0

2

-4







Q. Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau?

store 4
66
90.5

A.

10/10/2019

33

10/10/2019

VÍ DỤ 5

34

QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN

Các ma trận nào nhân được với nhau?

A

1 2 3 4
8 7 5 3
2 3 0 1

B

C

1
2
0
3

D

10/10/2019

2
4
1
7

0
1
2
1
2

2
7
3
2
4

10
6
2

4
0
4

3
1

Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của
ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau.

cij

hang i cot j

C

A

B

Ví dụ. Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với
cột 3 của B. (giống nhân tích vơ hướng các vecto)

35

10/10/2019

36

6


10/10/2019

VÍ DỤ 6

10/10/2019

VÍ DỤ 7. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

37

TÍNH CHẤT

10/10/2019

38

ỨNG DỤNG
(3, 5)


  (4, 3)
 (5,0)
(0, 0)

(2, 3)

A

Cho A =

2
0

0
,
2

D=

0 5 2 4 3
0 0 3 3 5

𝑇ì𝑚 𝐴𝐷.

0 10 4 8 6
0 0 6 6 10

10/10/2019

39

LŨY THỪA CỦA MA TRẬN

10/10/2019

10/10/2019



A

 
 
40

VÍ DỤ 8

41

10/10/2019

42

7


10/10/2019

VÍ DỤ 9

10/10/2019

VÍ DỤ 10

43

VÍ DỤ 11

10/10/2019

44

HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma
trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số
các hàng khác không của ma trận bậc thang
Ký hiệu: r(A) hay rank(A)
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Ma trận bậc thang của A:

A→..bđsc theo dịng… →A’ (có dạng bậc thang)
10/10/2019

45

VÍ DỤ 12

10/10/2019

46

VÍ DỤ 13
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận
sau.

1 0 3 2 
A   0 1 2 1


 2 0 6 4 
1 2 3 3 
C   2 4 6 9 
 2 6 7 6


10/10/2019

47

10/10/2019

 2 0 1 2 
B  0 1 2 3 


 5 0 6 4 
1 4 
 2 3
D   3 4
2
9 
 2 0  1  3 


48

8


10/10/2019

VÍ DỤ 14

TÍNH CHẤT

Tìm hạng của ma trận

i)

A

3
1
2
6

21
7
14
42

0
1
0
1

9
2
6
13

10/10/2019

0
1
1
0

ii ) A

B thì r A

iii ) A

aij

iv ) r A

49

VÍ DỤ 15

r AT

r A

10/10/2019

m n

0

r B

thì r A
A

min m, n

0

50

VÍ DỤ 16

10/10/2019

51

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

10/10/2019

52

VÍ DỤ

Định nghĩa. Cho A là một ma trận vuông A, ma trận B
được gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận A
nếu:

A.B
B.A

I
I

Ma trận A có ma trận nghịch đảo thì được gọi là ma
trận khả nghịch (invertible matrix)
Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là A-1

Tính chất:

1

I

A .A

I

A.A
1

10/10/2019

53

10/10/2019

54

9


10/10/2019

CHÚ Ý

THE INVERSE OF 2X2 MATRICES

 Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo)
 Khơng phải bất kỳ ma trận vng A nào cũng khả nghịch.
Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

a
c

A

b
d

A

d

1

1

ad

 Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.

bc

b
c

a

determinant of A, denoted
by det(A)

 Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.
Example:
A

10/10/2019

55

MA TRẬN SƠ CẤP

10/10/2019

1
4

2
3

A

1

1
5

3
4

2
1

56

CHÚ Ý

Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép
biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp.
Ví dụ.

 Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A
đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương
ứng.
 Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A
đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương
ứng.

10/10/2019

57

VÍ DỤ 17

10/10/2019

58

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ta có:

10/10/2019

59

10/10/2019

60

10


10/10/2019

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

10/10/2019

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

61

CLASS WORK

10/10/2019

62

TÍNH CHẤT
Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có:

Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có.

i) A

1

1

ii ) A.B
iii ) A

1

iv ) A.B
v ) B.A

10/10/2019

63

SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

A
1

T

B 1.A
AT

AC
.
C .A

B
B

1

1

C
C

10/10/2019

64

VÍ DỤ 19
Tìm m để các ma trận sau khả nghịch.

A

10/10/2019

65

1
2
3

10/10/2019

1
1
2

2
m
1

B

1
2
3

1
3
3

1
1
m

1

4
m

1

66

11


10/10/2019

VÍ DỤ

COROLLARY
If A and C are square matrices such that AC = I, then
also CA = I. In particular, both A and C are invertible:
C = A-1, and A = C-1.
Corollary above is false if A and C are not square matrices

10/10/2019

67

TỔNG HỢP

10/10/2019

68

BÀI 1

Ma trận là gì? Phân loại?
Các phép toán với ma trận?
Hạng của ma trận?
Ma trận khả nghịch?

10/10/2019

69

BÀI 2

10/10/2019

10/10/2019

70

BÀI 3

71

10/10/2019

72

12

10/10/2019

BÀI 4

10/10/2019

BÀI 5

73

10/10/2019

74

BÀI 6

ĐỊNH THỨC
DETERMINANT

10/10/2019

75

10/10/2019

76

NỘI DUNG

ĐỊNH THỨC

 Cách tính định thức của một ma trận vuông

Cho ma trận A vuông, cấp n.

 Biến đổi định thức

Định thức của ma trận A, ký hiệu:

 Ứng dụng định thức

det A hay A
Đây là một số thực, được xác định dựa trên các phần tử
trong ma trận.

10/10/2019

77

10/10/2019

78

13


10/10/2019

ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3
+ - +

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VNG CẤP 1, 2
Ma trận vng cấp 1: A

det A

a11

𝑎 𝑏
𝐴= 𝑑 𝑒
𝑔 ℎ

1 1

a11 hay

A

a11
det(A) =

Ma trận vng cấp 2:

det A
A

a11
a21

a12

a22

a11
a21

2 2

a11.a22
a12
a22

a21.a12

a11.a22

+a.det

a21.a12

10/10/2019

Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus

a11.a22 .a 33

a12 .a23 .a 31

a13 .a 21.a 32

a 31.a22 .a13

a 32 .a23 .a11

a 33.a 21.a12

a11
a21
a 31

a12
a 22
a 32

a13 a11
a 23 a 21
a 33 a 31

A

a12
a 22
a 32

B

10/10/2019

81

ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT

a11
a12 ...... a1n
a21
a 22 ...... a 2n
.............................
an 1
an 2 ...... ann

1
0
1

2
5
2

3
7
8

C

5
1
0

7
2
3

6
5
9

D

10/10/2019

j

det M ij

m

2m

0
1
3

m

1
0
2

1
2
m

2
1
2
3

82

Cho ma trận:

3
1
2
6

A
n n

Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác định
như sau:
i

2
1

10/10/2019

Ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ
đi hàng thứ i và cột thứ j.

1

1
0

VÍ DỤ 1

Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột)

Aij

80

VÍ DỤ

Ta có quy tắc Sarrus.

A

𝑓
𝑑 𝑒
+ c.det
𝑔 ℎ
𝑖

10/10/2019

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

A

𝑑
𝑒 𝑓
- b.det
𝑔
ℎ 𝑖

= aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge

79

det A

𝑐
𝑓
𝑖

1

i

j

M ij
83

21
7
14
42

0
1
0
1

9
2
6
13

4 4

M23=???

Cofactor(a23)= A23=???

Giá trị, số

Ma trận

10/10/2019

84

14


10/10/2019

VÍ DỤ 1

KHAI TRIỂN THEO HÀNG/CỘT

bỏ hàng 2 và cột 3

M 23

3 21
2 14
6 42

M 23

9
6
13

Định thức của ma trận vng cấp n:

det A

a11.A11

a12 .A12

...

a1nA1n

Đây là khai triển theo dịng 1.

A23

Ta có thể khai triển dịng bất kỳ hoặt cột bất kỳ.

???

n

det A

ai 1Ai 1

ai 2Ai 2

ain Ain

j 1
n

detA = a1jA1j + a 2jA 2j + a njA nj =
10/10/2019

85

TỔNG QUÁT
a)k

1: A

a11

b) k

2 :A

a11
a21

a12
a22

a11
a 21
a 31

a12
a 22
a 32

c) k

3 :A

1 1

thì

a11.a 22

a 21.a12

a11.A11

a12 .A12

2 2

a13
a 23
a 33

thì

det A

a11.A11

a12 .A12

a ijA ij
86

1
0
0

A

Tính định thức sau:

a11
det A

i=1

10/10/2019

VÍ DỤ 3

thì det A

a ijAij

2
5
2

3
7
8

Khai triển theo dòng 1:

a13A13

detA=1. -1

1+1

5
2

7
1+2 0
+2. -1
8
0

7
1+3 0
+3. -1
8
0

5
2

detA=1. 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26

Khai triển theo cột 1.
detA=1. -1

10/10/2019

87

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

1+1

5
2

7
+0.A21 +0.A 31
8

1. 5.8-2.7 =26

Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển.
10/10/2019

88

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC
Ví dụ. Tính định thức của hai ma trận sau:

A

1
0
0
0

2
5
0
0

3
7
61
0

4
6
5
2

B

21
2
3
4

0
5
9
8

0
0
6
1

0
0
0

2

DETERMINANT = a 11.a 22…a nn

10/10/2019

89

10/10/2019

90

15


10/10/2019

VÍ DỤ

VÍ DỤ

Tìm det(A), det(B), det(AB), det(A+B) biết rằng:

Tìm det(A), det(3A), det(A2) nếu:

𝐴=

−2 1
3 2

𝑣à

𝐵=

5 −2
1 4

𝐴=

o det(cA) = cndet(A)
o det(Ak) = [det(A)]k

det(A.B) = det(A).det(B)
det(A+B)  det(A) + det(B)

10/10/2019

−2 3
1 5

91

TÍNH CHẤT

10/10/2019

92

VÍ DỤ
o Tính các định thức sau:

Cho A, B là các ma trận vng cấp n. Ta có:
−1 2 3
|𝐴| = 0 3 2 = −1.3. −2 = 6,
0 0 −2

o det(A.B) = det(A).det(B)
o det(kA) = kndet(A)

0 3 2
−1 2 3 = −6 // đổi dòng 1 với dòng 2 từ ma trận A,
0 0 −2

o det(AT) = det(A)
o det(A-1) = 1/det(A)
o det(Ak) = [det(A)]k

10/10/2019

2 −4 −6
0 3
2 = −12 // nhân hàng 1 của ma trận A với số -2
0 0 −2
93

VÍ DỤ

10/10/2019

94

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ GIÁ TRỊ ĐỊNH THỨC

o Tính định thức sau:
−1 2 −2
0
5
1 = −5
2 −4 5

và

−1 2 −2
0 5 1 = −5
0 0 1

Ma trận trong định thức sau có được từ ma trận ban đầu bằng
cách thay dòng 3 bằng (2* dòng2 + dịng 3)
Chúng có cùng định thức
10/10/2019

95

10/10/2019

96

16

10/10/2019

ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS

EXAMPLE

10/10/2019

10/10/2019

97

VÍ DỤ 4

10/10/2019

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC

99

VÍ DỤ 5

10/10/2019

98

10/10/2019

100

VÍ DỤ 5

101

10/10/2019

102

17


10/10/2019

NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC

VÍ DỤ 6 – SINH VIÊN TỰ LÀM
Tính định thức ma trận sau:

1.
2.

A

1
0
1

2
5
2

1
0
C=
1
1

2
6
3
2

1
4
4
4

3
7
8

B

3.

10/10/2019

103

VÍ DỤ

1
0
1
0

2
5
2
0

3
7
8
0

4
6
5
2

5
3
6
5

10/10/2019

104

ĐỊNH THỨC – HẠNG – KHẢ NGHỊCH
Định thức con của ma trận:
Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên
giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận
vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta
gọi là định thức con cấp k của A.
Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A
cấp mxn
- Số cách chọn k dòng
- Số cách chọn k cột
 Số định thức con cấp k???

10/10/2019

105

VÍ DỤ 8
Cho ma trận A.

106

HẠNG CỦA MA TRẬN
Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O. Hạng
của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao
nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A.

 1 0 1 2 
A  0 1 2 1



1 1 3 3

Nếu rank(A)=r thì:

Hãy lập tất cả các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?

a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A .

Định thức con cấp mấy lớn nhất?

10/10/2019

10/10/2019

b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì
phải bằng 0.

107

10/10/2019

108

18


10/10/2019

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX)

Cho ma trận A vng cấp n. Ta có:

i)

A khả nghịch

A

ii) A khả nghịch

r A

iii) A khả nghịch

det A

iv) A không khả nghịch

 Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA

In

 Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đại
số của ma trận A.

n
0
det A

adjA   Aij 

0

Nếu ma trận A khả nghịch thì:

a ) det A

1

1
det A

b) det PA

det A

10/10/2019

n 1

109

VÍ DỤ

 A11
A
PA   21



 An1

An 2

A21
A22
...
A2 n

... An1 
... An 2 
... ... 

... Ann 
110

Định lý. Nếu A là ma trận vng thì:

 

 
 
 
 

 
 
 

 k  det A

A.PA =PA.A=k.I,

B) Tính các ma trận tích sau:
 

 
 
 
 

 
 
 












111

VÍ DỤ

Nếu detA≠0 thì ma trận A khả nghịch và ma trận
nghịch đảo của A cho bởi cơng thức sau:

A

1

1
P
det A A

10/10/2019

112

VÍ DỤ 9

1 1 2 
2 1 3
A  0 2 1  det A  2, PA  0 1 1 
0 0 1 
0 0 2 

A1 

A22

10/10/2019

A) Tìm ma trận phụ hợp của A

10/10/2019

T

A1n 
 A11
A
A2 n 
  12

 ...


Ann 
 A1n

A12

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO – MA TRẬN PHỤ HỢP

Cho ma trận


A.PA  



PA . A  




T

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

A

2 1 3 1 1 / 2 3 / 2 
1
1
PA  0 1 1   0 1 / 2 1 / 2 
det A
2
0 0 2  0 0
1 

3
0
2

det A

4
1
3

6
1

4

???

Chú ý:
10/10/2019

113

10/10/2019

114

19


10/10/2019

VÍ DỤ 9

VÍ DỤ 9
Ta có:

Bước 1. Tính detA
Ta có:
3
0
2

det A

4
1
3

6
1
4

3
0
2

4
1
3

2
0
1

3

2

2

1

1

Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA
115

VÍ DỤ 13

1
4

A21

4
3

6
4

4
1

A31

6
1

1
2
2

2

2

A12
A22
A32

0
2

A12

1

2
0
3

1
4

A22

3
2

A32

3
0

A13
A23
A33

6
4
6
1

0
3

2
1
3

PA

10/10/2019

0
2

A13

2

1
2
2

A23

3
2

A33

3
0

2
0
3

2
1
3

1
3

2

4
3

1

4

1

3

T

116

BÀI 1

Ta có:

Tính định thức của các ma trận sau:
1
2
2

PA

A

1
3

A11
A21
A31

detA≠0 nên ma trận A khả nghịch.

10/10/2019

A11

2
0
3

1
P
det A A

10/10/2019

2
1
3

T

1
1

1
2
2
1
2
2

2
0
1
2
0
1

2
3
3
2
3
3

B
1
2
2

2
0
1

2
3
3

117

BÀI 2

10/10/2019

10/10/2019

118

BÀI 3

119

10/10/2019

120

20


10/10/2019

BÀI 3

10/10/2019

BÀI 4

121

BÀI 5

10/10/2019

10/10/2019

122

BÀI 6

123

BÀI 7

10/10/2019

124

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES
1. Nhập ma trận.
Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix
có số dịng và cột tương ứng cần tính tốn.
Nhập kết quả vào bằng phím =,
Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B
bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim)  2 (MatB)
Lập lại tương tự cho MatC.
Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi

10/10/2019

125

10/10/2019

126

21


10/10/2019

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

KIỂM TRA 20PH
Bài 1. Cho hai ma trận:

2. Tính định thức
Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4
(Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  =

A

3. Tìm ma trận nghịch đảo

3
0
2

Tìm: a ) 3A 2B

Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA:
Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1

6
1
4

I

b) A2

B

1
2
2

2 3
4 9
16 5

2BT c) A.B

Bài 2. Tìm r(A) và ma trận nghịch đảo của A nếu có:

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)
4. Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x-1  x
 MatB để cho kết quả của X.
10/10/2019

4

1
3

127

A
10/10/2019

3
0
2

4
1
3

6
1
4
128

22