Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 Ngô Quang Minh

10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
§1. Khái niệm cơ bản
§2. Đạo hàm riêng – Vi phân
§3. Cực trị của hàm hai biến số
……………………….
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.
Các đ
ịnh nghĩa


a)
Miền phẳng

• Trong mặt phẳng
Oxy
, hình phẳng
D
giới hạn bởi các

đường cong kín được gọi là miền phẳng.
Tập hợp các đường cong kín giới hạn
D
được gọi là
biên của
D
, ký hiệu
D

hay

.
Đặc biệt, mặt phẳng
Oxy
được xem là miền p
hẳng với
biên ở vô cùng.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
• Miền phẳng
D
kể cả biên

D

được gọi là miền đóng
,
miền phẳng
D
không kể biên
D

là miền mở.
• Miền phẳng
D
được gọi là miền liên thông
nếu có 1
đường cong nằm trong
D
nối 2 điểm bất kỳ thuộc
D
.

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi
là miền đơn liên (hình a)
; có biên là nhiều đường cong
kín rời nhau là miền đa liên (hình b).
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi

phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Lân cận của một điểm
• Khoảng cách giữa 2 điểm
111
(,)
Mxy
,
222
(,)
Mxy
là:






22
12121212
,
dMMMMxxyy
 .
• Hình tròn
(,)
SM

mở có tâm

(,)
Mxy
, bán kính
0

được
gọi là một
lân cận
của điểm
M
.
Nghĩa là:
22
00000
(,)(,)()()MxySMxxyy

.
M

•
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến

c) Hàm số hai biến số
• Trong mặt phẳng
Oxy
cho tập
2
D

¡
.
Tương ứng
:
fD

¡
cho tương ứng mỗi
(,)
xyD

với một giá trị
(,)
zfxy

¡
duy nhất
được gọi là
hàm số hai biến số
,
xy
.
• Tập

2
D

¡
được gọi là miền xác định (MXĐ) của h
àm
số, ký hiệu
f
D
. Miền giá trị của hàm số là:


(,)(,)
f
GzfxyxyD
¡ .
VD
• Hàm số
2
(,)3cos
fxyxyxy
 có
2
f
D 
¡
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.

PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
• Hàm số
22
4
zxy

có MXĐ là hình tròn đóng
tâm
(0;0)
O
, bán kính
2
R

.
• Hàm số
22
ln(4)
zxy

có MXĐ là hình tròn mở
tâm
(0;0)
O

, bán kính
2
R

.

Chú ý
• Trong trường hợp xét hàm số
(,)
fxy
mà không nói gì
thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm
2
(,)Mxy
¡
sao cho
(,)
fxy
có nghĩa.
• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.

1.2.
Giới hạn của hàm số hai biến
s
ố
(
xem giáo trình
)

1.3.
Hàm số liên tục
(
xem giáo trình
)

ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG
–
VI PHÂN

2.1. Đạo hàm riêng
a) Đạo hàm riêng cấp 1
• Cho hàm số
(,)
fxy
xác định trên miền mở
2
D

¡

chứa điểm
000
(,)
Mxy
. Cố định
0
y
, nếu hàm số
0
(,)
fxy
có đạo hàm tại
0
x
thì ta gọi đạo hàm đó là
đạo hàm riêng
theo biến
x
của hàm số
(,)
fxy
tại
00
(,)
xy
.
Ký hiệu:
00
(,)
x

fxy
hay
/
00
(,)
x
fxy
hay
00
(,).
f
xy
x



Vậy
0
/
000
00
0
(, )(, )
(,)lim.
x
xx
fxyfxy
fxy
xx






10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Chú ý
• Nếu
()
fx
là hàm số một biến
x
thì
/
x
fdf
f
xdx




.
•
Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa t
ương tự
.

• Tương tự, đạo hàm riêng
theo biến
y
tại
00
(,)
xy
là:
0
/
000
00
0
(, )(, )
(,)lim.
y
yy
fxyfxy
fxy
yy






ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số:
4323
(,)323
fxyxxyyxy
 tại
(1;2)

.
Giải.
/322/
(,)493(1;2)46
xx
fxyxxyyf

.


/32/

(,)663(1;2)39
yy
fxyxyyxf.
VD 2. Tính các đạo hàm riêng của
2
22
1
ln
1
x
z
xy



.
Giải. Ta có
222
ln(1)ln(1)
zxxy

. Suy ra:
/
222
22
11
x
xx
z
xxy



,
/
22
2
1
y
y
z
xy


.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 3. Tính các đạo hàm riêng của
cos
x
z
y
 tại

(; 4)

.
Giải
/
//
12
sinsin(;4)
8
xx
x
xxx
zz
yyyy










,
/
//
2
2
sinsin(;4)

32
yy
y
xxxx
zz
yyy
y











.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 4. Tính các đạo hàm riêng của

2
(,,)sin
xy
fxyzez

.
Giải.
22
/2/
()sin2sin
xyxy
xx
fxyezxyez



22
/2/2
()sinsin
xyxy
yy
fxyezxez



2
/
cos
xy
z

fez

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Đạo hàm riêng cấp cao
• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số
/
(,)
x
fxy
,
/
(,)
y
fxy
được gọi là các
đạo hàm riêng cấp hai
của
(,)
fxy
.

Ký hiệu:
 
2
2
2
x
x
xx
x
f
f ff
x
f
xx


















,

 
2
2
2
y
y
yy
y
f
f ff
y
f
yy


















,

 
2
xyxy
y
x
f
ff
yx
f
f
yx





















,

 
2
yxyx
x
y
f
ff
xy
f
f
xy





















.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
•
Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn
2 có định nghĩa t
ương tự
.

VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:
3234
(,)
y

fxyxexyy

tại
(1; 1)

.
Giải. Ta có
/23
/3223
32
34
y
x
y
y
fxexy
fxexyy












10/13/2012

3
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
 
2
2
//
3
//22//
//
322
62
36
612
y
x
y
xyyx
y
y
fxey
fxexyf

fxexyy
















2
2
//
//
//
(1;1)62
(1;1)36
(1;1)6.
x
xy
y
fe
fe

fe
















ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 6. Cho hàm số
5445
(,)

fxyxyxy
 .
Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm
32
(5)
(1;1)
xy
f

là:
A.
32
(5)
(1;1)480
xy
f 
; B.
32
(5)
(1;1)480
xy
f 
;
C.
32
(5)
(1;1)120
xy
f  ; D.
32

(5)
(1;1)120
xy
f  .
Giải.
/435
54
x
fxxy

2
//
325
2012
x
fxxy


3
///
25
6024
x
fxxy

3
(4)
4
120
xy

fxy


32
(5)
3
480
xy
fxy

32
(5)
(1;1)480.
xy
fA

ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
• Định lý Schwarz
Nếu hàm số
(,)
fxy

có các đạo hàm riêng
xy
f

và
yx
f

liên tục trong miền mở
2
D

¡
thì
xyyx
ff


.
Hermann Amandus Schwarz
(1843 – 1921)
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai

biếnbiến
VD 7. Đạo hàm riêng
22
()
(2)
mn
mn
xyx
zm



của
2
xy
ze


là:

A.
2
(1)2
nmnxy
e


; B.
2
(1)2

mmnxy
e


;
C.
2
(1)2
mmxy
e


; D.
2
(1)2
nmxy
e


.
Giải. Ta có
22
()()
mnmn
mnmn
xyxxy
zz


 .

/2
2
xy
x
ze


2
//
22
2
xy
x
ze


()
2
2
m
m
mxy
x
ze


2
(1)(2)
22
22

mm
mm
mxymxy
xyxy
zeze




()
2
(1)2
mn
mn
nmxy
xy
zeD



.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai

biếnbiến
2.2. V
I PHÂN

2.2.1.
Vi phân cấp 1

a) Số gia của hàm số

• Cho hàm số
(,)
fxy
xác định trong lân cận
0
(,)
SM

của điểm
000
(,)
Mxy
. Cho
x
một số gia
x

và
y
một
số gia

y

, khi đó hàm
(,)
fxy
có tương ứng số gia:
0000
(, )(, ).
ffxxyyfxy


ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Định nghĩa
• Nếu trong lân cận
0
(,)
SM

với số gia
x


,
y

mà số
gia
f

tương ứng có thể viết được dưới dạng


22
()(.
)
.,fAxByOr
rxy
  

trong đó
,
AB
là những số
chỉ phụ thuộc vào điểm
000
(,)
Mxy
và hàm
(,)
fxy
, không phụ thuộc
,

xy

thì đại lượng

AxBy

được gọi là vi phân
của hàm
số
(,)
fxy
tại điểm
000
(,)
Mxy
.
• Khi đó,
(,)
fxy
được gọi là khả vi tại điểm
000
(,)
Mxy
.

Ký hiệu:

dfAxBy


10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Nhận xét

• Xét những điểm
00
(, )
Mxxyy

dịch chuyển
trên đường đi qua
0
M
song song
Ox
. Khi đó
0
y

:

0000
(, )(, ).()
ffxxyfxyAxOx


/
00
0
lim(,)
x
x
f
AAfxy
x




.
Tương tự,
/
00
0
lim(,)
y
y
f
BBfxy
y





.
Suy ra
//
(, )(, ).(, ).
xy
dfxyfxyxfxyy

.
• Xét
(, )(,)
fxyxdfxyxdxx

.
Tương tự,
dyy

.
Vậy
(, )(, )(, ).
xy
dfxyfxydxfxydy



ØØ
ChươngChương
6. 6.

PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
c) Định lý
• Nếu hàm số
(, )
fxy
có các đạo hàm riêng
trong lân cận
nào đó của
00
(,)
xy
và các đạo hàm riêng này
liên tục
tại
00
(,)
xy
thì
(, )
fxy
khả vi tại
00
(,)
xy

.

VD 8. Cho hàm
25
(,)
xy
fxyxey


. Tính
(1;1)
df

.
Giải.
/2/2
/24/2
(2)(1;1)3
5(1;1)5
xy
xx
xy
yy
fxxefe
fxeyfe















.
Vậy
22
(1;1)3(5)
dfedxedy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm
2
2
sin()

xy
zexy


.
Giải.

2
/222
2sin()cos()
xy
x
zxxyyxye





,

2
/22
sin()2cos()
xy
y
zxyxyxye






.
Vậy
2
222
2sin()cos()
xy
dzxxyyxyedx







2
22
sin()2cos()
xy
xyxyxyedy





.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
2.2.2. Vi phân cấp 2
• Giả sử
(,)
fxy
là hàm khả vi với
,
xy
là các biến độc
lập. Các số gia
,
dxxdyy

tùy ý độc lập với
,
xy
nên được xem là hằng số đối với
,
xy
. Vi phân của
(,)
dfxy
được gọi là vi phân cấp 2 của
(,)
fxy

.
Ký hiệu và công thức:


22
222
2.
xy
xy
dfddffdxfdxdyfdy



Chú ý
• Nếu
,
xy
là các biến không độc lập (biến trung gian)
(,)
xx

,
(,)
yy

thì công
thức trên không còn
đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp
,
xy

độc lập.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 10. Cho hàm số
23235
(,)3
fxyxyxyxy
 .
Tính vi phân cấp hai
2
(2;1)
df

.
Giải. Ta có:
/3225
/2234
29
3215
x
y
fxyyxy

fxyxyxy












22
22
////
35
//224//
////
233
218(2;1)34
6+245(2;1)170
6+260(2;1)460.
xx
xyxy
yy
fyxyf
fxyyxyf
fxyxxyf

















Vậy
222
(2;1)34340460
dfdxdxdydy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai

biếnbiến
VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm
2
(,)ln()
fxyxy
 .
Giải. Ta có
2
//
22
122
,
xy
yxy
ff
xy
xyxy


22
////
//
22
12
,0,
xy
xy
fff
xy
 .

Vậy
22222
2
dfxdxydy


.
10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)
• Hàm
(,)
zxy
xác định trên
2
z
D

¡
thỏa

phương trình
(,,(,))0,(,)
z
FxyzxyxyDD

(*) được gọi là
hàm số ẩn
hai biến xác định bởi (*)
.

Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:

.0,.0
xzxyzy
FFzFFz


.
Vậy
 
,0.
y
x
xyz
zz
F
F
zzF
FF







ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Giải.
Ta có
(,,)cos()
Fxyzxyzxyz


/
/
/
sin()
sin()
sin().
x
y
z

Fyzxyz
Fxzxyz
Fxyxyz
















Vậy
/
sin()
sin()
x
yzxyz
z
xyxyz




,

/
sin()
sin()
y
xzxyz
z
xyxyz



.
VD 12. Cho hàm ẩn
(,)
zxy
thỏa phương trình:
cos()
xyzxyz

. Tính
//
,
xy
zz
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Giải. Ta có
222
2462
Fxyzxyz


/
/
/
24
2
3
26
y
y
z
Fy
y
z
z
Fz















.
VD 13. Cho hàm ẩn
(,)
zxy
thỏa phương trình mặt cầu:
222
24620
xyzxyz

. Tính
/
y
z
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính

vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. Định nghĩa
• Hàm số
(,)
zfxy

đạt cực trị thực sự tại
000
(,)
Mxy
nếu với mọi điểm
(,)
Mxy
khá gần nhưng khác
0
M
thì
hiệu
00
(,)(,)
ffxyfxy

có dấu không đổi.
• Nếu
0

f

thì
00
(,)
fxy
là giá trị cực tiểu và
0
M
là
điểm cực tiểu của
(,)
zfxy

.
• Nếu
0
f

thì
00
(,)
fxy
là giá trị cực đại và
0
M
là
điểm cực đại của
(,)
zfxy


.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 1. Hàm số
2
2
22
3
(,)
24
yy
fxyxyxyx












2
(,)0,(,)fxyxy
¡
nên đạt cực tiểu tại
(0;0)
O
.

ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
3.2. Đ
ỊNH LÝ

a) Điều kiện cần


• Nếu hàm số
(,)
zfxy


đạt cực trị tại
000
(,)
Mxy
và
tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:
//
0000
(,)(,)0.
xy
fxyfxy


• Điểm
000
(,)
Mxy
thỏa
//
0000
(,)(,)0
xy
fxyfxy

được
gọi là
điểm dừng
,
0
M

có thể không là điểm cực trị.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Điều kiện đủ

Giả sử
(,)
zfxy

có điểm dừng là
0
M
và có đạo hàm
riêng cấp hai tại lân cận của điểm
0
M
.
Đặt
22
////

//
000
(), (), ()
xy
xy
AfMBfMCfM
.
• Nếu
2
0
()
0
,
A
fy
AB
x
C













đạt cực tiểu tại
0
M
.
• Nếu
2
0
()
0
,
A
fy
AB
x
C












đạt cực đại tại
0
M

.
• Nếu
2
,
0
()
fxy
ACB  không đạt cực trị tại
0
M
.
• Nếu
2
0
ACB

thì ta không thể kết luận.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
3.3. Phân loại cực trị

• Trong không gian

Oxyz
,
xét mặt cong
S
chứa
đường cong
()
C
.
• Chiếu
S
lên mp
Oxy

ta được miền
2
D

¡

và đường cong phẳng

():(,)0
xy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
• Khi đó, điểm
1
PS

là điểm cao nhất (hay thấp nhất)
so
với các điểm ở trong lân cận của nó và hình
chiếu
1
MD

là được gọi là điểm cực trị tự do của h
àm
(,)
fxy
xác định trên
D
(vì không phụ thuộc vào
()

).
• Tương tự, điểm
2
()

PC

là điểm cao nhất
(hay thấp
nhất)
so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình
chiếu
2
()
M

là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc
bởi
():(,)0
xy

của hàm
(,)
fxy
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến

3.4. Cực trị tự do
Cho hàm số
(,)
fxy
xác định trên
D
. Để tìm cực trị (
tự
do) của
(,)
fxy
, ta thực hiện các bước sau:
• Bước 3.
Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.

• Bước 1. Tìm điểm dừng
000
(,)
Mxy
bằng cách giải hệ:
/
00
/
00
(,)0
(,)0.
x
y
fxy
fxy













• Bước 2. Tính
2
//
//
0000
(,), (,)
xy
x
AfxyBfxy
,

2
//
00
2
(,)
y
Cfxy

ACB
 
.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 2.
Tìm điểm dừng của hàm số
(1)
zxyxy

.
Giải. Ta có
/2
/2
020
020
x
y
zyxyy
zxxyx














22
2
()()0
20
xyxy
xxyx












2

()(1)0
20
xyxy
xxyx










.

Vậy hàm số có 4 điểm dừng:
1234
11
(0;0),(0;1),(1;0),;
33
MMMM










.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Giải.
/
/
240
220
x
y
zx
zy












(2; 1)
M

là điểm dừng.
2
2
//
//
//
(2;1)20
(2;1)040
(2;1)2
x
xy
y
Az
Bz
Cz

















.
Vậy
(2; 1)
M

là điểm cực tiểu và
3
CT
z

.
VD 3. Tìm cực trị của hàm
22
428
zxyxy

.
Hình 1
10/13/2012
7
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
12
(0;0),(1;1)
MM

là hai điểm dừng.
Do
22
////
//
6,3,6
xy
xy
zxzzy
 nên:
• Tại
1
M
:
0,30
ACB


1
M


không là điểm cực trị.
• Tại
2
M
:
60,30
ACB


Vậy
2
(1;1)
M
là điểm cực tiểu và
3
CT
z

.
Giải. Ta có
/2/2
330,330
xy
zxyzyx


VD 4. Tìm cực trị của hàm số
33
32

zxyxy

.
Hình 2
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 5. Tìm cực trị của
2322
3332
zxyyxy

.
Giải.
/
22
/22
01
660
3360
3360
x
y

xy
zxyx
xyy
zxyy



















1234
(0;0),(0;2),(1;1),(1;1)
MMMM

là 4 điểm dừng.

Do

22
////
//
66, 6, 66
xy
xy
zyzxzy

nên:
• Hai điểm
34
,
MM
không là điểm cực trị.
• Điểm
1
M
là điểm cực đại và
2
C
z

Đ
.
• Điểm
2
M
là điểm cực tiểu và
2
CT

z

.
Hình 3
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 6. Cho hàm số
5020
(0,0)
zxyxy
xy

.
Khẳng định đúng là:
A.
z
đạt cực tiểu tại
(2;5)
M
và giá trị cực tiểu
39
z


.
B.
z
đạt cực tiểu tại
(5;2)
M
và giá trị cực tiểu
30
z

.
C.
z
đạt cực đại tại
(2;5)
M
và giá trị cực đại
39
z

.
D.
z
đạt cực đại tại
(5;2)
M
và giá trị cực đại
30
z


.
Giải. Ta có
//
22
5020
0,0
xy
zyzx
xy


ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
2
2
50
20
xy
xy













2
5
5
2
(5;2)
2
20
x
x
y
M
y
xy




















.
Vi phân cấp hai:
22
////
/
33
10040
,1,
xy
xy
zzz
xy

2
30
ACBB

.

Hình 4
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số
(,)
fxy
ta dùng
phương pháp khử
hoặc
nhân tử Lagrange
.

3.5
. Cực trị có điều kiện

• Cho hàm số
(,)
fxy
xác định trên lân cận của
điểm
000

(,)
Mxy
thuộc đường cong
():(,)0
xy

.
Nếu tại
0
M
hàm
(,)
fxy
đạt cực trị thì ta nói
0
M
là
điểm cực trị có điều kiện của
(,)
fxy
với điều kiện
(,)0
xy

.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính

vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
a) Phương pháp khử
• Từ phương trình
(,)0
xy

ta rút
x
hoặc
y
thế vào
(,)
fxy
, sau đó tìm cực trị của hàm một biến.
VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm
2
zxy

thỏa điều kiện:

30
xy

.
Giải.
32

3033
xyyxzxx

.
Ta có
2
3602,0
zxxxx


.
•
21
xyz

đạt cực đại tại điểm
1
(2;1)
M

.
•
03
xyz

đạt cực tiểu tại điểm
2
(0;3)
M
.

Hình 5
10/13/2012
8
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
b) Phương pháp nhân tử Lagrange
Tại điểm cực trị
(,)
xy
của
f
, gọi
/
/
//
y
x
xy
f
f



là
nhân tử Lagrange
.

Đ
ể

t
ìm

c
ự
c

t
r
ị

t
a

t
h
ự
c

h
i
ệ
n

c
ác

b
ư
ớ
c
:

• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):
(,,)(,)(,).
Lxyfxyxy


• Bước 2. Giải hệ:
///
0, 0, 0
xy
LLL




điểm dừng
000
(,)
Mxy
ứng với
0


.
• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại
000
(,)
Mxy
ứng với
0

:
22
////
22//2
0
()2.
xy
xy
dLMLdxLdxdyLdy


ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến

Các vi phân
,
dxdy
phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc:
//
00
2
000
2
0
(,)(,)
()()0(2)
(,)0(1)
.
xy
dxyxydxxydy
dxdy
















• Bước 4.

Từ điều kiện
ràng buộc
(1) và (2), ta có:

Ø Nếu
2
0
()0
dLM

thì
(,)
fxy
đạt cực tiểu tại
0
M
.
Ø Nếu
2
0
()0
dLM

thì
(,)
fxy

đạt cực đại tại
0
M
.
Ø Nếu
2
0
()0
dLM

thì
0
M
không là điểm cực trị.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Joseph-Louis Lagrange
(1736 –1813)
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép

tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số
(,)2
fxyxy


với điều kiện
22
5
xy

.
Giải. Lập hàm Lagrange:
2222
5(,)5
xyxyxy


22
(,,)2(5)
Lxyxyxy

.
Tìm điểm dừng:
/

/
/22
0
220
0120
050
x
y
L
x
Ly
Lxy


























ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
11
22
22
1
1
(2; 1),
1
2
1
2
(2;1),
11
2

5
4
x
M
y
M

































.
Vi phân cấp hai
222
(,)2()
dLxydxdy
.
•
222
11
()()0
dLMdxdyM

là điểm cực đại.
•
222
22
()0
dLMdxdyM

là điểm cực tiểu.
Hình 6
ØØ

ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm
zxy

thỏa điều kiện
22
1
82
xy

.
Giải. Ta có
22
(,,)1
82
xy
Lxyxy













.
22
//
0,0,10
482
xy
xxy
LyLxy


10/13/2012
9
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến
Vi phân cấp hai

222
(,)2
4
dLxydxdxdydy

 .
• Tại
1
M
:
222
1
1
()22
2
dLMdxdxdydy
 (*).
Mặt khác, (,)
4
x
dxydxydy


1
()020
dMdxdy

.
2
11

22
33
22
44
(2; 1), 2
4
(2;1), 2
(2; 1), 2
48
(2;1), 2
M
M
xy
M
xy
M



























.
ØØ
ChươngChương
6. 6.
PhépPhép
tínhtính
vi vi
phânphân
hàmhàm
haihai
biếnbiến

22
11
(*)()80
dLMdyM

là điểm cực đại.

• Tại các điểm
234
,,
MMM
ta làm tương tự.
Cách khác (dùng trong trắc nghiệm)

222
1
1
()22
2
dLMdxdxdydy




2
1
1
20
2
dxdyM
 là điểm cực đại.

Hình 7
………………………………………………………