Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

3/11/2019

ƯỚC LƯỢNG

CHƯƠNG 6

• Ước lượng điểm
• Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai
• Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch
hai tỷ lệ
• Ước lượng tỷ số hai phương sai

ƯỚC LƯỢNG
THAM SỐ

nguyenvantien0405.wordpress.com

1

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

Ước lượng

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

• Định nghĩa. Một thống kê mẫu T(X1, X2, ..., Xn) được
sử dụng để ước lượng cho tham số  được gọi là
một ước lượng điểm của  .

3

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

4

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số
 chưa biết của tổng thể.
• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào
đó của mẫu ngẫu nhiên.
• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng
được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .
• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu
quả, vững …

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

2

• Định nghĩa. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn)
của tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên
X1, X2, ..., Xn được gọi là thống kê mẫu (statistic).

6.1 Ước lượng điểm

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

Thống kê mẫu và Ước lượng điểm

• Tổng thể có tham số  chưa biết.
• Ta muốn xác định tham số này.
• Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n.
• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của
tham số  của tổng thể.
• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.
• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.

nguyenvantien0405.wordpress.com

nguyenvantien0405.wordpress.com

5

• Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không
chệch của tham số  nếu:

E(T)  
• Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng
chệch (ƯLC) của tham số .
• Độ chệch của ước lượng:

E(T)  

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

6

1


3/11/2019

Ví dụ 1

Ước lượng KC tốt hơn
• Cho X, Y là hai ULKC của tham số .
• Có nghĩa là: E  X   

• Theo lý thuyết mẫu ta có:

 

E X 
E S

*2

 

 

E S

2

X la ULKC cua 
F la ULKC cua p

2

 n  1  2


E S2    2

2

S la UL chech cua  2

E F   p

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

7

• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ
hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số 
nhiều hơn).

nguyenvantien0405.wordpress.com

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).
a) CMR: các thống kê sau:
Z2 

X1  X2
;
2

Zn 

8

• Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả
của tham số  nếu:

• T là ULKC của 
• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây
dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.

X1  X2  ...  Xn
n

đều là các ước lượng không chệch của .

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để
đánh giá.

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

Ước lượng hiệu quả

Ví dụ 1.

Z1  X1;

V  X   V Y 

• Nếu:

S *2 , S 2 la ULKC cua  2

n

E Y   

9

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

10

BĐT Cramer-Rao

Ví dụ 2.

• Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính
xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.
• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta luôn có:

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì
vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:

V T  

1

  ln  f  X ,    
nE 





• Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ

nguyenvantien0405.wordpress.com

Z1  2

X 1  2 X 2  ...  nX n

X  X 2  ...  X n
;X 1
n  n  1
n

2

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.

11

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

12

2


3/11/2019

Ví dụ 3

Ví dụ 3

Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: 𝑋 là ước
lượng hiệu quả nhất của tham số μ.
Giải.
Dễ thấy, 𝑋 là ước lượng không chệch và:

 

Var X 
Hàm ppxs của tổng thể:





 ln f  x,  

2



 x   2

13

1
2





2

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

14

n

• Ta chứng minh được:

 

 Var X

X la ULHQ cua  .
S 2 , S *2 la ULHQ cua  2 .
F la ULHQ cua p.

• Vậy thống kê 𝑋 là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất
trong các ước lượng không chệch của tham số μ
của tổng thể

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

15

Ước lượng hợp lý tối đa

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

16

6.2 Ước lượng khoảng
Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu
ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:
P(a <  Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số
 với độ tin cậy (1 - ) .
Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Dạng khoảng tin cậy:
• (𝑎; 𝑏) : khoảng tin cậy hai phía
• (−∞; 𝑏) : khoảng tin cậy bên trái (tối đa)
• (𝑎: +∞) : khoảng tin cậy bên phải (tối thiểu)

• Sinh viên tự tham khảo tài liệu

nguyenvantien0405.wordpress.com



Các ULHQ

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

nguyenvantien0405.wordpress.com



2

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

  ln  f  X ,   
nE 












  x
2

1
1
2
X 

E  2   4 EX    2

   

2 2

Ví dụ 3
Var T  



 x 2
   ln  2
 

2 2
 


• Và:

n


1
f  x,    f  x,   
e
 2

nguyenvantien0405.wordpress.com

• Ta có:

17

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

18

3


3/11/2019

Ước lượng khoảng

Nguyên tắc ULK
• Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định
và chứa tham số cần ước lượng.
• Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2 sao
cho:

•
•
•
•
•

(a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
(1 - ): độ tin cậy của ước lượng.
|b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
ε : độ chính xác (sai số).
Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù
hợp.
• a, b là 2 thống kê mẫu

1   2  

• Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α1) và α2
• Ta có:





P T11  T  T 2  1  

• Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số
cần tìm.

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

19

6.2.1. Ước lượng trung bình

n



~ N  0;1

S

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

~ t n

 z /2

• Từ đó:




X 
P   z /2 



21

nguyenvantien0405.wordpress.com

 


 

P  t  n  1;   Z  t  n  1;    1  
2
2 

 



n

0

 /2
z /2


 z /2   1  



  ???

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

22

Khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy cho phân phối Student
• Ta có:

1   

 /2

n

• Chú ý: t(n) hội tụ về N(0;1) khi n>30

nguyenvantien0405.wordpress.com

P   z /2  Z  z /2   1  

• Ta có:

X  
Z

20

Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn

• Tổng thể có phân phối chuẩn
• Ước lượng điểm không chệch: 𝑋
• Độ tin cậy: 1 − 𝛼
• Phân phối thống kê mẫu:

X  

Z

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

nguyenvantien0405.wordpress.com

• Khoảng tin cậy hai phía_ biết σ

 X ; X  

  z



2

 /2

• Từ đó:

1   



t  n  1; 
2





  X 

P  t  n  1;  
 
2
S

nguyenvantien0405.wordpress.com



n

0

 /2

• Khoảng tin cậy hai phía_ chưa biết σ

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

 S

  t  n  1; 
2

 X ; X  




t  n  1; 
2


 

 t  n  1;    1  
2 



n

  ???
23

• Chú ý:



t  n  1;   Z /2
2


nguyenvantien0405.wordpress.com



khi

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

 n

n  30

24

4


3/11/2019

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán
• Sinh viên tự tính toán
• Xét riêng các trường hợp

• Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ chính xác:

  z
2


n

hay

 S

  t  n  1; 
2


 n

• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:
2
 2 
  
 S  t  n  1;   
2
2
  z /2 
2  

n 
1
n
 1
2


2
 






nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

25

6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán
• Trường hợp mẫu cặp
• Paired t-Interval

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

26

6.2.3 Ước lượng phương sai
• Tổng thể có phân phối chuẩn
• Ước lượng điểm không chệch: S*2 hay S2
• Độ tin cậy: 1 − 𝛼
• Phân phối thống kê mẫu:
Z

nS *2

2

~  2 n

Z

 n  1 S 2 ~  2 n  1
 
2


• Chú ý: 𝜒2(n) hội tụ về N(n;2n) khi n>30

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

27

Khoảng tin cậy

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

28

6.2.4. Ước lượng tỷ số hai phương sai

• Khoảng tin cậy hai phía – biết µ


 nS *2


nS *2


;
  2  n;    2  n;1    


  2
2 


 

• Khoảng tin cậy hai phía – chưa biết µ


  n  1 S 2
 n  1 S 2 

;
  2  n  1;    2  n  1;1    



 
2
2  

 

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

29

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

30

5


3/11/2019

6.2.5. Ước lượng xác suất p

Ước lượng hai phía cho p

• Bài toán hai phía. Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về
tính chất A nào đó).
• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).
• Tìm (a,b) sao cho:

• B1. Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2
• B2. KƯL của thống kê Z

P a  p  b  1 

Z

nguyenvantien0405.wordpress.com

 F  p  n ~ N 0;1
 
p 1  p 
Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

 z /2

F ; F  

  z

31

• B3. KƯL của tham số p sau khi
biến đổi và xấp xỉ

z /2

nguyenvantien0405.wordpress.com

P  F    Z  F     1
𝑣ớ𝑖 𝜀 = 𝑧𝛼

2

𝐹 1−𝐹
𝑛

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

32

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu
• Khi ước lượng hai phía, độ dài khoảng ước lượng:

F 1  F 

2

0

P   z /2  Z  z /2   1  

 /2

Z ~ N  0;1

Khoảng tin cậy cho p
• Hai phía:

1   

 /2

2  2 z

n

F 1  F 

F 1  F 

n

2

  z

• Sai số (độ chính xác của ước lượng):

n

2

• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:
 F 1  F  z 2 

2 
n
 1
2


nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

33

nguyenvantien0405.wordpress.com

 z 2 


n   2 2  1
4



Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

6.2.6. Ước lượng hiệu hai xác suất

34

Bài 1
• Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản phẩm.
Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy
Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150
ni

5

10

20

30

5

10

20

a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước lượng
trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin cậy
98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

35

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

36

6

3/11/2019

Bài 2

Bài 1

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản
phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản
phẩm ta có kết quả sau:

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy
98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao
nhiêu sản phẩm nữa.
c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí nghiệp B và
trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí nghiệp B. Hãy ước
lượng số sp của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy
82%.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

37

X 19,5 20 20,5
ni 5 18 2
• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95%
trong 2 trường hợp:
a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

Bài 3

Bài 4

• Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối
chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau:
x  37,9;


100
i 1

xi  x



2

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao
sản xuất ta có:
x  39,8;

 1059

• Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin
cậy 95%
• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương
sai của năng suất.

nguyenvantien0405.wordpress.com

38

39

s 2  0,144

• Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân
phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình
 với độ tin cậy 95%.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

40

Bài 5

Bài 6

• Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400
sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A.
a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với

độ tin cậy 96%?
b) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng
đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì
phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt
2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người
ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu.
Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao
nhiêu con?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

41

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

42

7


3/11/2019

Bài 7

Bài 8

• Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị được thuê để ước
lượng số trung bình lãi suất cho vay cơ bản của các
ngân hàng đặt tại vùng phía tây của Hoa Kỳ.
• Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng được
chọn trong nội bộ vùng này, và lãi suất cơ bản được
ghi nhận cho từng ngân hàng.
• Trung bình và độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất cơ bản
là x = 1.8 % và s = 0.24
• A) Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cơ bản cho
toàn khu vực, và tìm biên sai số đi cùng với ước
lượng đó.
• B) Tìm một khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ
lệ cho vay cơ bản.

• Một sự gia tăng tỷ lệ tiết kiệm của người tiêu dùng
thường được gắn chặt với sự thiếu tin tưởng vào
nền kinh tế và được cho là một chỉ báo về một xu
hướng suy thoái trong nền kinh tế.
• Chọn mẫu ngẫu nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm
tại một cộng đồng địa phương cho thấy một sự gia
tăng trung bình trong tài khoản tiết kiệm là 7.2%
trong vòng 12 tháng qua và một độ lệch chuẩn là
5.65.
• Ước lượng sự gia tăng tỷ lệ phần trăm trung bình
trong các giá trị tài khoản tiết kiệm trong 12 tháng
qua đối với những người gởi tiền trong cộng đồng
này. Hãy tính biên sai số ước lượng.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

43

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

44

Bài tập
• 4.2 – 4.13
• 4.15; 4.19; 4.20

nguyenvantien0405.wordpress.com

Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

45

8