Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

2/15/2019

Chương 3

Chương 3

QUY LUẬT PHÂN
PHỐI XÁC SUẤT
THƯỜNG GẶP

2

1

Phân phối Không – một

3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
•
•
•
•

Luật “không - một” A(p) Bernoulli
Luật nhị thức B(n,p) Binomial
Luật Poisson P() Poisson
Luật siêu bội H(N,M, n) Hypergeometric

• Ký hiệu khác: X~A(p)
• Còn gọi là phân phối Bernoulli.
• Bảng ppxs:
X

P

• Tham số đặc trưng:
EX   p

0
q

1
p

V  X   pq

3

Phân phối Nhị thức (Binomial)

4

Khi nào có phân phối B(n,p)
• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có
phân phối Nhị thức nếu:
• Một thí nghiệm hoặc một phép thử được thực hiện
trong cùng một điều kiện đúng n lần
• Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố. Một biến cố gọi là
“thành công” và một biến cố “thất bại”.
• n phép thử độc lập nhau.
• Xác suất thành công, ký hiệu p, là như nhau trong mỗi
phép thử. Xác suất thất bại là q=1-p.
• Biến ngẫu nhiên X = số lần thành công trong n phép

thử

• Kí hiệu: X~B(n,p)
• Hàm khối xác suất:

p  x   Cnk p x q n x
• x={0,1,2,3…n}
• n,p gọi là các tham số (parameter)

5

6

1


2/15/2019

Ví dụ 1

Ví dụ 2

• Một đồng xu được chế tạo sao cho xác suất xuất
hiện mặt ngửa mỗi lần tung là 70%. Tung đồng xu
100 lần, theo các cách y hệt nhau. Gọi X là số lần
đồng xu xuất hiện mặt ngửa. X có phải là biến
ngẫu nhiên có phân phối Nhị thức?
• Một giảng viên đại học lấy mẫu ngẫu nhiên các sinh
viên cho đến khi anh ta tìm thấy bốn sinh viên tình
nguyện đi mùa hè xanh. Đặt X là số sinh viên được

lấy mẫy. X có phải là biến ngẫu nhiên có phân phối
nhị thức không?

• Một cuộc khảo sát với cỡ mẫu n = 1000 người Mỹ
trưởng thành ngẫu nhiên được tiến hành. Đặt X là
số người sở hữu một chiếc xe thể thao đa dụng
(SUV) trong mẫu. X có phải là biến ngẫu nhiên nhị
thức không?
• Một nhân viên kiểm soát chất lượng điều tra một
lô gồm 15 sản phẩm. Anh ta lấy mẫu ngẫu nhiên
(không thay thế) 5 sản phẩm từ lô. Đặt X bằng số
sản phẩm đạt yêu cầu. X có phải là biến ngẫu nhiên
nhị thức không?

7

8

Effect of n and p on Shape

For small p and small n,
the binomial distribution
is what we call skewed
right

Effect of n and p on Shape

For p = 0.5 and large and
small n, the binomial distribution
is what we call symmetric.

For large p and small n,
the binomial distribution
is what we call skewed
left

9

Tham số đặc trưng

For small p and large n, the
binomial distribution
approaches symmetry.

10

Ví dụ 3
• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khi điều
trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu 15
người đồng ý chữa trị thì xác suất:
• A) Có ít nhất 10 người khỏi
• B) Có từ 3 đến 8 người khỏi
• C) Có đúng 5 người khỏi
Là bao nhiêu?

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:

i ) E  X   np
ii ) VX  npq
iii )  n  1 p  1  ModX   n  1 p

11

12

2


2/15/2019

Ví dụ 4

Ví dụ 5

• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết
bị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị
hư hỏng của loại thiết bị này là 3%.
a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô
hàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bị
hỏng là bao nhiêu?
b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và với
mỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20
thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ít
nhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị được
kiểm tra?

• Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ở vùng
nông thôn có tạp chất. Để có thể tìm hiểu kỹ hơn
người ta đi xét nghiệm một số giếng (vì không đủ
tiền xét nghiệm hết).

• A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất có đúng
3 giếng có tạp chất.
• B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp chất?
• C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6 giếng
có tạp chất. Có thể kết luận gì về giả thiết trên?

13

14

Phân phối siêu bội

Phân phối siêu bội

• Định nghĩa. Nếu ta chọn ngẫu nhiên n phần tử,
không hoàn lại, trong một tập hợp gồm N phần tử
với:
• NA phần tử thuộc một loại, giả sử loại A.
• Và N- NA phần tử còn lại thuộc loại khác.
• Gọi X là số phần tử loại A trong số n phần tử được
chọn. Khi này PDF của X dạng

p  x 

• Các giá trị của bnn X thỏa mãn:
i) x  n
ii ) x  N A

p  x 

iii ) n  x  N  N A

CNx A .CNnxN A
CNn

• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu bội.
• Ký hiệu: X~H(N,NA,n)

CNx A .CNnxN A
CNn
15

16

Các tham số đặc trưng

ModX
• Ta có:

Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có:

E  X   np;

V  X   npq

N n
N 1

k0  ModX  k0  1
• Với

Trong đó:

k0 

p

NA
;
N

q  1 p

 N A  1 n  1  1
N 2

• Công thức trên cho ta khoảng chứa ModX.

17

18

3


2/15/2019

Ví dụ 7

Ví dụ 8

• Một hồ có 600 con cá, 80 con được đánh dấu bởi
các nhà khoa học. Một nhà nghiên cứu chọn ngẫu
nhiên 15 con từ hồ. Hãy tìm công thức cho hàm
P.M.F của biến ngẫu nhiên X, với X là số cá được
đánh dấu có trong mẫu lấy ra.

• Giả sử có 5 người, trong đó có bạn và một người
bạn của bạn, xếp hàng một cách ngẫu nhiên. Gọi X
là biến ngẫu nhiên thể hiện số người ở giữa bạn
và bạn của mình. Hãy xác định PMF của X dưới
dạng bảng. Hãy kiểm ta tính hợp lý của hàm PMF
này.
X

0

1

2

3

P

0,4

0,3

0,2

0,1

19

20

Ví dụ 9

Ví dụ 10

• Kiện hàng chứa 40 sản phẩm. Bên mua sẽ không
mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên.
Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểm
tra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua lô
hàng. Xác suất tìm thấy đúng 1 sản phẩm lỗi biết
lô hàng có 3 sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bóng
hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X
là số bóng hỏng người đó mua phải.
a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?
b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X?
c) Tính ModX?

21

Ví dụ 11

22

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩm
trong 4 sp.
a) Luật phân phối xác suất của X.

X ~ H  N , N A, n

P X  k  

23

X ~ B  n, p 

N>20n

b) Tính E(X), Var(X)?
c) Tìm Mod(X)

n<
CNk A CNnkN A
CNn

 Cnk p k q nk

24

4


2/15/2019

Ví dụ 12

Phân phối Poisson

• Nhà sản xuất thông báo rằng trong số 5000 lốp xe
máy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có 1000
lốp có lỗi nhẹ. Nếu một người mua ngẫu nhiên 10
lốp xe từ nhà phân phối này thì xác suất có 3 lốp
mắc lỗi là bao nhiêu?

• X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng thời gian
(không gian)
• X=0,1,2,…
• X có thể là bnn Poisson
• Ví dụ:
• Số lỗi sai trên 1 trang in
• Số khách hàng vào ATM trong 10 phút
• Số người qua ngã tư trong 2 phút

25

26

Phân phối Poisson P(λ)

Điều kiện để xấp xỉ phân phối Poisson
• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục.
• X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham số λ>0
nếu:
a) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng rời nhau
là độc lập.
b) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1 khoảng ngắn có
độ dài h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n.
c) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự kiện xh
trong một khoảng ngắn là 0 (rất nhỏ).

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật
Poisson P(λ) nếu có PMF dạng:

p  x   e .

x
x!

• x=0,1,2,3… và λ>0
• Kí hiệu: X~ P(λ)

27

Các tham số và tính chất

28

Một số ví dụ
• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi

phút.
• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi
phút.
• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời
gian xác định.
• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.
• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi
đơn vị độ dài của một con đường.
• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừng
hỗn hợp.

• Cho X~ P(λ). Ta có:

i) E  X   
ii ) V  X   
iii )   1  ModX  
• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2).
Ta có:

X 1  X 2 ~ P  1  2 
29

30

5


2/15/2019

Ví dụ 13

Ví dụ 14

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1
giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác
suất trong 1 giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A)
b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc
gọi trong một giờ. Tính xác suất:
a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút.
b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.

31

32

Xấp xỉ B(n,p) bằng P(λ)

Ví dụ 15

• Khi n lớn và p nhỏ thì ta có thể xấp xỉ phân phối
Nhị thức bằng phân phối Poisson
• Nghĩa là:
x

Cnx p x q n x  e  

• Trong đó:   n. p  E  X 

• Điều kiện để xấp xỉ tốt:

n  20

 p  0,05

hay



x!

• Năm phần trăm (5%) bóng đèn cây thông Giáng sinh
do một công ty sản xuất bị lỗi. Giám đốc của bộ phận
kiểm soát chất lượng của công ty khá quan ngại và do
đó lấy mẫu ngẫu nhiên 100 bóng đèn ra khỏi dây
chuyền lắp ráp. Gọi X là số bóng đèn trong mẫu bị lỗi.
Xác suất mà mẫu chứa nhiều nhất là ba bóng đèn bị lỗi
là bao nhiêu?

n  100

 p  0,1
33

Phân phối đều

3.2. Biến ngẫu nhiên liên tục
•
•

•
•
•
•

34

Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
đều U(a,b) nếu hàm mật độ có dạng:

Phân phối đều U(a, b) Uniform
Phân phối lũy thừa Exponential
Phân phối chuẩn Normal
Phân phối Student
Phân phối Khi bình phương Chi-squared,
Phân phối Fisher

f ( x) 

1
ba

Trong đó: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

F ( x) 
35

xa
ba
36

6


2/15/2019

Phân phối đều

Ứng dụng của phân bố đều
• Bài 1. Lớp có 40 sinh viên, giảng viên cần chia
thành 2 nhóm mỗi nhóm 20 sinh viên. Làm cách
nào chia nhóm một cách ngẫu nhiên?
• Bài 2. Làm cách nào chọn được ngẫu nhiên 100
sinh viên trong toàn bộ sinh viên đang học tại
FTU2 (giả sử gồm 4000 sinh viên) để tham gia
khảo sát về chất lượng giảng dạy.

• Các tham số đặc trưng
i) E  X  

ab
2

ii ) ModX  x0   a, b 

b  a 
Var  X  
12
ab
MedX 

2

2

• Xem bài viết gốc tại:
• />414/node/137/
37

38

Biểu đồ Q-Q (quantile-quantile plot)

Ví dụ 17

• Làm thế nào chúng ta có thể đánh giá nếu một tập
hợp dữ liệu cụ thể tuân theo phân phối xác suất
cụ thể?
• Cách 1: so sánh các số đặc trưng  không đủ
• Cách 2: dùng Q-Q plot (biểu đồ so sánh các phân
vị)

• Tập hợp 19 số dưới đây được phát sinh ngẫu
nhiên từ phân phối U(0,1) bằng phần mềm
Minitabs. Hãy xem xét xem các số này có phù hợp
với mô hình xác suất cho bởi f(x)=1 với 0không?

39

40

Phân phối lũy thừa

Phân phối lũy thừa

Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
lũy thừa E(𝜆) nếu hàm mật độ có dạng:

f ( x)   e

 x

• Các tham số đặc trưng
i) E  X  

1

ii ) MedX 

Trong đó: 0≤ 𝑥, 𝜆 > 0

V X  


ln 2

ModX  0



iii ) F  x   1  e

1

2

 x

• Thời gian giữa hai lần xuất hiện trong phân phối
Poisson P(𝜆 ) có phân phối lũy thừa E(1/ 𝜆)

41

42

7


2/15/2019

Ví dụ 18

Ví dụ 19

• Các cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại tuân theo
một quy trình Poisson gần đúng với tốc độ trung bình
30 cuộc gọi mỗi giờ. Xác suất để tổng đài viên phải chờ
hơn 3 phút để có cuộc gọi tiếp theo là bao nhiêu?

• Quãng đường (km) một chiếc xe hơi có thể chạy

trước khi phải thay pin ắc quy có phân phối lũy
thừa với trung bình là 10.000 km. Chủ xe muốn đi
du lịch bụi với quãng đường khoảng 5000km. Xác
suất để anh ta có thể hoàn thành chuyến đi mà
không cần phải thay pin ắc quy là bao nhiêu?

43

44

Phân phối chuẩn N(, 2)

Tính chất
Neáu X ~ N   ,  2  thì:

• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân
phối chuẩn N(, 2) nếu hàm mật độ có dạng:

1
f ( x) 
e
 2

i) E  X   

V X  2

ii ) ModX  

MedX  

 x   2
2 2

Đối xứng
Dạng hình chuông “bell sharped”

• Trong đó:

  x  ,     , 0    
• Ký hiệu: X ~ N(, 2)

 

lim f  x   0

x 






 

45

Chuẩn hóa phân phối chuẩn

Xác suất của phân phối chuẩn

• Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 thì biến ngẫu nhiên
𝑋−𝜇
chuẩn hóa của nó, 𝑍 =
, cũng có phân phối
𝜎
chuẩn. Cụ thể là:
Neáu X ~ N   ,  2  thì: Z 

X 



46

~ N  0,1 .

• Phân phối N(0,1) được gọi là phân phối chuẩn
tắc.
• Standard Normal Distribution
47

Ta có thể tìm xác suất dạng P(anhiên 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 như sau:
• 1) Xác định miền tính xác suất theo X.
• 2) Biến đổi X, a, b theo công thức:
X 
Z

• 3) Sử dụng bảng Phụ lục xác suất N(0,1) để tìm xác

suất mong muốn.
b 
a 
P a  X  b   
  

  
  
48

8


2/15/2019

Tính chất của hàm 𝜑(x)

Bảng phân phối chuẩn tắc
• Đồ thị của N(0,1)
• Bảng phụ lục xác suất N(0,1) thể hiện giá trị xác
suất dạng:
P 0  Z  z     z 

i )    z     z 
ii )      0,5

     0,5

iii )   z   0,5 khi z  5

  z 

z

2
1
  z 
e  x /2 dx
2 0

z

2
1
e  x /2 dx
2 0

z

z
49

Giá trị tới hạn Zα

Quy tắc k-sigma

• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số
thực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:
P  Z  Z   

Z1  

Z 0,5  0

Z1   Z

P  X    k   P  Z  k   2  k 
a ) P  X       0,6826

b) P  X    2   0,9544

c) P  X    3   0,9974

d ) P  X    4   1

• Trong thực nghiệm, nếu một tập số liệu có phân phối
chuẩn thì:
• Khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn so với
trung bình
• Khoảng 95% dữ liệu nằm trong hai độ lệch chuẩn so với
trung bình
• khoảng 99,7% dữ liệu nằm trong ba độ lệch chuẩn so với
trung bình

• Chú ý:
Z 0  

50

Z

51

Nhận biết phân phối chuẩn

52

Ví dụ 20

• Q-Q plot
• />• Ví dụ. Liệu các giá trị sau đây có phải được lấy ra
từ một phân phối chuẩn?
• 7.19; 6.31; 5.89; 4.5; 3.77; 4.25; 5.19; 5.79; 6.79.

1) Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10 và
P(102) Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) là hai biến ngẫu nhiên
độc lập. Tìm xác suất P(X>2Y).

53

54

9


2/15/2019

Ví dụ 21

Ví dụ 22

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại
một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)
a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?
b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là
không quá 5%?

• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân
phối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4 triệu
đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8
triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bán
loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui định
thời gian bảo hành là bao lâu?

55

56

Phân phối Khi bình phương

Khi bình phương và Chuẩn

• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n
bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 thì:

 X  
2
Z 

 ~  1
  
2

2

n
x
1 

1
x2 e 2 , x  0

n
 n
f  x     22
 2
0
,x  0

• Định lý. Cho n biến ngẫu nhiên độc lập cùng có
phân phối chuẩn tắc.

• Ký hiệu: X ~   n 
• Là trường hợp riêng của pp Gamma.

• Khi đó:

2

X i ~ N  0,1
n

X
i 1

2
i

~  2  n

57

Phân phối Khi bình phương

58

Bậc tự do n và dạng đồ thị

• Nếu X~χ2(n) thì

EX   n ;

V  X   2n

• Đồ thị dạng:

F
Neáu X ~  2  n  thì X 
 N  n, 2 n 

n 
59

60

10


2/15/2019

Giá trị tới hạn 𝜒2 (n; α)

Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký
hiệu 𝜒2(n;𝛼) sao cho với Z~ 𝜒2(n) thì:
P  Z   2  n;    

 2  n; 
61

62

Ví dụ 23

Phân phối Student

• Cho 𝑍~𝜒 2 20
• Tìm các xác suất sau:

• Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝑁 0,1 và 𝑌~𝜒 2 𝑛 là hai
biến ngẫu nhiên độc lập thì biến ngẫu nhiên:

a )  2  20;0,95 

T

b) P  Z  8,2604   ?

;

X
Y



X n
Y

n
có phân phối Student hay phân phối t với n bậc tự
do.
• Ký hiệu: T~𝑡 𝑛

c) P 10,8508  Z  31,4104   ?

63

64

Phân phối Student t(n)

Tính chất

• Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

1
f  x 
n

 n 1 
 n 1

  x2  2
2

 1
,   x  


n 
n 
 
2

• Nếu X ~ t(n) thì:

a ) E T   0  n  1 ;

n
 n  2 .
n2
F
c) T 
 N  0,1
n 

b) V T  

• Kí hiệu: X ~ t(n)

65

66

11


2/15/2019

Giá trị tới hạn 𝑡(𝑛, 𝛼)

Bảng giá trị tới hạn Student

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký
hiệu 𝑡(𝑛, 𝛼) sao cho với Z~ 𝑡(n) thì:





P Z  t n;   
t n;0  

t n;1  

t n;0,5  0

t n;1   t n; 

n

t n;  
 Z
67

Ví dụ 24

Phân phối Fisher - Snedecor
• Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝜒 2 𝑛 ; 𝑌~𝜒 2 𝑚 là hai biến
ngẫu nhiên độc lập nhau thì biến ngẫu nhiên:

• Cho 𝑍~𝑡 15 . Tìm các giá trị tới hạn và xác suất
sau:
a)

68

P  Z  a   0,025 hay t15;0,025  ?

b)

P  Z  2,602   ?

c)

P  2,0343  Z  2,9467   ?

d)

P  Z  b   0,975 hay t15;0,975  ?

F

X /n
Y /m

• có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự do.
• Ký hiệu:

F ~ F  n; m 

69

70

Đồ thị hàm mật độ

Tính chất

• Cho X~F 𝑛, 𝑚 thì:
EX  
V X  

m
,  m  2
m2
2
2m  n  m  2 
n  m  2  m  4
2

𝑛, 𝑚

F
F  n, m  
 N 1,0 
m
n

F
F  n, m  
 N 1,0 
m

F
F  n, m  
 N 1,0 
m

n

n

71

72

12


2/15/2019

Giá trị tới hạn phân phối Fisher

Bảng giá trị tới hạn Fisher

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký
hiệu F(n, m, α) hay 𝑓(n, m, α) sao cho với F~
𝐹(n,m) thì:

P  F  f  n, m,    
• Tính chất:
f (n, m,1   ) 

1
f (n, m, )

f  n, m,  
73

Ví dụ 25

74

3.3 Định lý giới hạn trung tâm
• Central Limit Theorem
• Giả sử X1, X2, ... , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và
có cùng phân phối xác suất (bất kỳ dạng nào) với kỳ
vọng μ và phương sai hữu hạn σ2. Khi n đủ lớn thì:
a) Trung bình cộng của Xi, ký hiệu 𝑋, có phân phối xấp xỉ
với phân phối chuẩn.
b) Với kỳ vọng là 𝐸 𝑋 = 𝜇

• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:

a ) P  F  a   0,05

b) P  F  b   0,01
a ) P  F  c   0,95

c) Và phương sai là V 𝑋 =

X

𝜎2
𝑛

 2 
X 1  ...  X n


 N  , 
n
n
 n 

75

76

Ví dụ 28

Xấp xỉ xác suất

• Gọi Xi biểu thị thời gian chờ đợi (tính bằng phút)
của khách hàng thứ i. Một trợ lý quản lý tuyên bố
rằng, thời gian chờ đợi trung bình của toàn bộ
khách hàng, là 2 phút. Người quản lý không tin
vào tuyên bố của trợ lý, vì vậy anh ta quan sát một
mẫu ngẫu nhiên gồm 36 khách hàng. Thời gian
chờ trung bình cho 36 khách hàng được quan sát
là 3,2 phút. Người quản lý có nên bác bỏ tuyên bố
của trợ lý (... và sa thải anh ta) không?

77

X ~ H  N , N A, n

n<

n rất lớn
p rất nhỏ

X ~ P  

  n. p

X ~ B  n, p 
n rất lớn
p rất lớn

Y ~ P  

  n.q
78

13


2/15/2019

Xấp xỉ pp chuẩn

Công thức xấp xỉ
• Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) ≈ 𝑁(𝜇; 𝜎2)

X ~ B  n, p 

n rất lớn
0,1

np  5; nq  5

n  30
0,1  p  0,9


npq  20

X ~ N   , 2 

  E  X   np

 k  np 
1
1  x2 /2
f
e
; f  x 
npq  npq 
2
 k  np  0,5 
 k1  np  0,5 
ii ) P  k1  X  k2     2
   


npq
npq






i) P  X  k  

 2  V  X   npq
79

Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)

Ví dụ 30

• Cho bnn X có phân phối Poisson

X ~ P    E  X   ?

• Ta chứng minh được:

X 



• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình của
một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn 4,2
mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.
• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260
mg.
• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ
hơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung
quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tính tỷ lệ viên
thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

V X  ?

~ N  0,1 khi   

• Trong thực hành, ta xấp xỉ được khi 𝜆 > 20. Nghĩa là:

X 



80

 N  0,1 khi X ~ P    ,   20

81

82

Bài tập chương 3
•
•
•
•

3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16
3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38

3.39; 3.40; 3.42
Tất cả 19 bài

83

14