Đề thi chuyên Toán 2007-2008

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN THI TOÁN (BÀI THI CHO LỚP CHUYÊN TOÁN)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
--------------------------------------------------------------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (2,5 điểm)
Cho phương trình:
4 2
2( 1) 2 0x m x m− − + − =
(1).
a) Giải phương trình (1) khi m = –2.
b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
thoả
4 4 4 4
1 2 3 4
28x x x x+ + + =
.
Bài 2 (3 điểm)
a) Giải phương trình:
4
3 4.
3
x
x x
x
+ + =
+

.
b) Giải bất phương trình:
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
+ + ≤
+
.
Bài 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x

= +


= +


b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
2 2
( 1)( 1) 2( )(1 ) 4(1 )x y x y xy xy+ + + − − = +
.
Bài 4 (1 điểm)

a) Chứng minh rằng vơi mọi số a nguyên dương, biểu thức a
2
+ a + 1 không phải là một số
chính phương (nghóa là không thể là bình phương của một số nguyên).
b) Cho ba số dương a, b, c và thoả abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
.
Bài 5 (1,5 điểm)
a) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c với AD là đường phân giác trong của
góc A. Chứng minh rằng AD
2
= AB.AC – DB.DC.
b) Cho tam giác ABC và AM, BN, CP là các đường phân giác trong của nó. Tính tỉ số
diện tích
MNP
ABC
S
S
theo các cạnh BC = a, CA = b, AB = c (với S
MNP
, S
ABC
lần lượt là diện tích
của tam giác MNP và tam giác ABC).

Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………………… Số báo danh: ……………………………………………
Chữ ký Giám thò 1: ………………………………………………… Chữ ký Giám thò 2: …………………………………………………