Bài tập giới hạn

CHƯƠNG IV. GIớI HạN
GIớI HạN CủA DãY Số
I. Dãy số có giới hạn 0
Bài 1: Chứng minh: limu
n
=0

lim|u
n
|=0.
Bài 2: Vì sao dãy số
( )
n
u
với
( )
n
n
u 1=
không thể có giới hạn 0 khi n
+
.
Bài 3: Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
). Chứng minh rằng nếu |u
n
|

v

n
và limv
n
=0 thì limu
n
=0.
Vận dụng: Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn 0:
( )
( ) ( )
n
2
2
n n
2
n
n
n n
n n 1 n 1 n
3
1
sin n 1 sin n cosn 1 cosn n sin 2n
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
n 5 n! n 5 2n+1 n n
n n n 1
n n
n cos sin
1 sin n cosn 1
5 1
5 5
8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12)u (0,99) ; 13) u .

3 1 2 3 (0,01)
2 n n n n
+ +

+ +
+ + +
+

+
+
= =
+
+
Bài 4: Chứng minh rằng :
3 3 3
1 1 1 1 3 2n 1
a) lim ... ; b) lim . ... 0.
2 4 2n
n 1 n 2 n n



+ + + =
ữ
ữ

+ + +

Bài 5: Cho dãy số (u
n

) với
n
n
n
u .
3
=
CMR:
a)
n 1
n
u 2
, n
u 3
+

. b)
n
n
2
0 u , n
3

<
ữ

. c) Dãy (u
n
) có giới hạn 0.
Bài 6: Cho dãy số (u

n
) xác định bởi
2
n
1 n 1 n
u1
u v u u , n
4 2
+
= = + . CMR:
n 1
n
n
u1 3
a)0 u , n; b) , n.
4 u 4
+
<
Từ đó suy ra limu
n
=0.
Bài 7: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
n
1 n 1
u1
u v u , n
2 n 1
+

= =
+
a) Chứng minh rằng u
n
>0 và
n 1
n
u 1
, n.
u 2
+

b) Từ đó suy ra limu
n
=0.
II. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Bài 8: Các dãy số (u
n
) và (v
n
) với
n n
u cosn , v sin n
2


= = +
ữ

có giới hạn hữu hạn không?

Bài 9: a) Cho biết dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (v
n
) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u
n
+v
n
) có thể có giới
hạn hữu hạn không?
b) Dãy số
( )
n
1
1
n

+
ữ

có giới hạn hữu hạn hay không?
c) Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) không có giới hạn hữu hạn. Có thể kết luận rằng dãy số (u
n
+v
n
) có giới hạn hữu hạn đợc

không?
Bài 10: áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
2 2 2 n
2 2 2 n
2n n 1 2n 1 n n 2n 3 5.2 cos5n
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; 5)lim ; 6) lim .
2n 1 2n 1 n 1 2 3n 2(n 1) 2
+ + +
+ + + + +
Bài 11: Tính các giới hạn sau
2 2 3 2 5
2 2 3 5
3 2 3 2 2 2
2 2 3 4
3 2
4 2
3n 5n 4 6 3n n 2n 4n 3n 7 2n 6n 9
1) lim ; 2) lim ; 3)lim ; 4)lim ;
2 n 3n 5 n 7n 5 1 3n
2n 1 5n n 3n n n 3 2n n 2
5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8)lim ;
2n 3 5n 1 n 1 3n 1 n 3n 3n 5
n n sin n 1
9) lim ; 10)
2n n 7
+ + + + + +
+ +

+ + +
+

ữ ữ
+ + + + + +


+
2 2 4
2
4 2
1 4n 9n 2n n 4 n 2n 3
lim ; 11) lim ; 12) lim ;
1 2n 2n 3
2n n 1
+ + + +
+
+
2 6 2
2 6 5 2
2n 1 n 3n 3 4n 1 n n 1
13) lim ; 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ;
1 3n 2n n 2 n 1 3n 2
+
+ + +
1
2 2
2 3 2
3
3 3 2 2 2 2
2 2
3
3

(2n 1)(n 2) 5n 5n 1 (n n)(2n 1) 2n n 1
17)lim ; 18)lim ; 19)lim ; 20)lim ;
2n 3n 1 (5n 2)(n 4) n 3n 1 n n 3
2 n 3n 5 1 n n 1 3n n n 2 n 3 4n 1
21)lim 22)lim ; 23)lim ; 24)lim .
7n 6n 9 2n 3 n n 1
27n n 3
+ + + +
+ + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
+
Bài 12: Tính các giới hạn sau:
( )
( )
( )
( )
3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
1 2 ... n 2 4 ... 2n n
1) lim ; 2)lim n ; 3) lim ;
n 1 n 2 1 2 3 ... n
1 2 3 4 5 ... 2n 1 2 3 ... n 2 4 6 ... 2n
4) lim ; 5) lim ; 6)lim ;
1 3 5 ... 2n 1
n n n 2
n 1 4n 1

1 1 1 1
7) lim ... ; 8)lim
1.2 2.3 n n 1
+ + + + + +


ữ
+ + + + + +

+ + + + + + + + + +
+ + + + +
+ +
+ + +

+ + +
ữ
ữ
+

( )
3 3 3
3 3 3 2 2 2
1 1 (n 3)!
... ; 9) lim ;
1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2(n 1)! (n 2)!
2 1 3 1 n 1 1 1 1 1 1 1
10)lim . ... ; 11)lim 1 1 ... 1 ; 12) lim 1 1 ... 1 ;
n n 1
2 1 3 1 n 1 3 6 2 3 n
2

13) l

+
+ + +
ữ
+ + + +


ữ




ữ
ữ
ữ ữ ữ ữ ữ
+
+ +

ữ

ữ

( )
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 ... n 1 3 ... (2n 1) 1 1 1
im ; 14) lim ; 15)lim 1 1 .... 1 .
2 4 ... (2n) 2 4 ... (2n) 4 9

n 1

+ + + + + + +


ữ
ữ ữ
ữ
+ + + + + +

+


Bài 13: Tính các giới hạn sau:
( )
n
n n 2 n n n n
n n n n n 1 n 1
n n 1 n n n n n n
2n n n n n n n n
n n
n n
5 2 1 7 7.2 4 5.2 3
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
3 3 7 2.3 4 2 3
3 4 a b 2 3 3.5 2.3
5)lim ; 6)lim a, b 0 ; 7)lim ; 8)lim ;
2 10.3 7 a b 2.3 5.2 5 5.3
7.5 2.7
9)lim ; 10

5 5.7
+
+ +
+


+ +
ữ
+
ữ
ữ
ữ
+ +


+
>
+ + + + +


n n n n n n 1
n n n 1 n 1 n n
n n 2 n n n 1 n 2 n 1 n 2
n 1 n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
7.3 2.6 ( 2) 5 4.3 7
)lim ; 11) lim ; 12)lim ;
5.3 5.6 3 5 2.5 7
( 3) 5 2 3 4 ( 3) 5 5 7 1
13)lim 14)lim ; 15)lim ; 16)lim .
( 3) 5 1 2 3 4 3 5 3 7 3.2

+
+ +
+ + + +
+ + + + + + +
+ +
+ +
+ + + +
+ + + + + + +
Bài 14: Tính các giới hạn sau:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 3
3 2 2 3
3n 1 n 1 2n 1 n 1
1) lim n n n ; 2)lim ; 3) lim ;
n n 1
5)lim n n 1 n 1 ; 6) lim( n n n 1); 7) lim n 1( n 2 n );
1
7) lim ; 8) lim n 2n n ; 9) lim n n n .
n n 1 n 1

+ + +
+
+
+ + + +
+
+
Bài 15: Các dãy số sau có giới hạn không khi n
+
? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.
1) Dãy số (u
n
) xác định bởi
1
n 1 n
u 2
u 2 u , n 1
+

=


= +


; 2) Dãy số (u
n
) xác định bởi
1
n
n 1

u 0
u 3
u , n 1
4
+
=



+
=


;
3) Dãy số
1 1 1
2,2 , 2 , 2 ,...
1 1
2
2 2
1
2
2
2
+ + +
+ +
+
; 4) Dãy số (u
n
) xác định bởi

1 n 1 n
n
1 1
x 0, x x
2 x
+

> = +
ữ

;
5) Dãy số (u
n
) xác định bởi
1
n
n 1
u 2
;
u 1
u , n 1
2
+
=



+
=

6) Dãy số (u
n
) xác định bởi
1
n 1
n
1
u
2
1
u , n 1.
2 u
+

=




=



2
Bài 16: Cho dãy (u
n
) xác định bởi
2
n

n 1 1
u 1
u 1,u .
2 3
+
= =
CMR dãy số (u
n
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 17: Cho dãy số
n
(x )
xác định nh sau
1 n 1
n
1
x 1, x .
1 x
+
= =
+
Tìm
n
1
lim .
1 x+
III. Cấp số nhân lùi vô hạn
Bài 16: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn (u
n
), biết tổng của nó bằng

2 2
2 1+
và u
2
2=
.
Bài 17: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội
2
q
3
=
.
Bài 18: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, hiệu của số hạng
đầu và số hạng thứ hai là
3
4
và số hạng đầu là một số dơng.
Bài 19: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1 n 1 n
2
u 5, u u 6, n 1.
3
+
= = Gọi (v
n
) là dãy số xác định bởi v
n
=u

n
+18.
a)Chứng minh (v
n
) là cấp số nhân lùi vô hạn; b)Tính tổng của cấp số nhân (v
n
) và tìm limu
n
.
Bài 20: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
n 1 n
u 3
2u u 1, n 1.
+
=


= +

Gọi (v
n
) là dãy số xác định bởi v
n
=u
n
-1.
a)Chứng minh (v

n
) là cấp số nhân lùi vô hạn;
b)Gọi S
n
là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số (u
n
). Tìm limS
n
.
Bài 21: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dới dạng phân số:
a)2,131313; b)34,121212; c)0,222; d)0,393939; e)0,27323232
Bài 22: Tính các giới hạn sau
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
n 1
2 3 n
n 1
2 n
2 3 n
2 n
2 n
1
1 1 1
1) lim 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ; 2) lim 1 ... ;
3 9 27 3
1 3 5 2n 1
3) lim sin sin ... sin , k ; 4) lim ... ;

2 2 2 2 2
1 a a ... a
5)lim a 1, b 1 .
1 b b ... b




+ + + + + + + +
ữ
ữ



+ + + + + + + +
ữ ữ

+ + + +
< <
+ + + +
IV. Dãy số có giới hạn vô cực
Bài 23: Tìm giới hạn của dãy (u
n
) với
n
1 1 1
u ... .
1 2 n
= + + +
Bài 24: Tính các giới hạn sau

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 3 4 2
n
3
33 2 3 2 3
3 5 4
n
n 1 n n
3 2
4 2
1) lim 3n 101n 51 ; 2) lim 2n 3n 5 ; 3) lim n 50n 11 ; 4) lim 5n 3n 7;
5)lim 2n n 2; 6) lim 1 2n n ; 7) lim 7n n ; 8)lim 1,001 ;
3n n n n 3n 2
9) lim 2 4.3 ; 10) lim 2.3 4 ; 11) lim ; 12) lim ;
2n 15 4n 6n 9
2n n
13) lim
+
+ + + +
+ +
+

+ + +

( ) ( )
3
2 6 3

32 3 2
n n 1 n
n n n 2 n n
2n 1 1 3n
7 2n 15n 11 n 7n 5n 8
; 14)lim ; 15)lim ; 16) lim ;
3n 5 n 12
3n n 3 n 7n 5
3 11 2 3.5 3 1 101
17) lim ; 18)lim ; 19) lim ; 20)lim ;
1 7.2 3.2 7.4 n n 2 7.2 5
+
+
+ + +
+ +
+ + +
+
+ + +
3
(
)
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 2
3
3 2

4 2 n 1 n
4 3 2 n 2
1
21) lim n n 1 n 1 ; 22) lim 2n 3 n 1 ; 23) lim n 1 n n; 24) lim ;
n 2 n 1
1 n 1 n 1 2n n 2
25)lim ; 26) lim n n n n ; 27) lim ; 28) lim ;
3n 2 3 2n
3n 2 2n 1
2n 11 n 2n n 20 2 3 11
29) lim ; 30) lim ; 31) lim
n 3n n 2 2n n 7 3
+
+
+ + + + + +
+ +
+ + +
+
+
+ +
+ +
+ + + + +
n
n 3 n n
n n 1
4 n
4 2 n 1
13.3 5n
; 32) lim ;
2 4 3.2 5.4

2n 3 3 2
33) lim 2n n 3; 34)lim 3.4 n 2; 35) lim(2n 1) ; 36)lim .
n n 2 5n 3
+
+
+

+
+ +
+ +
+ +

GIớI HạN CủA HàM Số
V. Tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
Bài 25: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
( )
( )
2 2 2
2
x 1 x 1 x 1 x 1
3
2
2
2
x 2 x x x
x 3x 2 x 5x 4 x 3x 4 1
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4)lim ;
x 1 x 3x 2 x 1
5 x
x 1 x 1 3

5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim x x 1 .
x 1 2x 1
x 2

+ +
+ + + +
+ + + +

+ +
+
+ +

VI. Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại
Bài 26: Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại:
x 0 x x x x 0 x 0
1 1 2
1) lim sin ; 2) lim cos x; 3) lim sin 2x; 4) lim cos3x; 5) lim cos ; 6) lim sin .
x 2x x
+ + +
Bài 27: Chứng minh rằng hàm số f(x) không tồn tại giới hạn khi
x 0

:
( ) ( ) ( )
2
2
x, x 0 x , x 0
x 1, x 0
a)f x b)f x c)f x
1 x, x 0.

2x, x 0.
x 1, x 0.




+

= = =

<
<
<





.
VII. Các phơng pháp tìm giới hạn của hàm số
1-Tìm giới hạn dạng xác định
Bài 28: Tính các giới hạn sau:
1)
2
1
lim( 2 1)
x
x x

+ +

2)
1
lim( 2 1)
x
x x

+ +
3)
( )
2
3
lim 3 4


x
x
4)
1
1
lim
2 1
x
x
x

+

; 5)
2
5

1
1
lim ;
2 3

+ +
+
x
x x
x
3 4
2
4 2
x 0 x 0 x 1 x 2
x 3
1
1
1 x x x 3x 1
x
6) lim x 1 ; 7) lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim .
1
x (2x 1)(x 3) 2x 1
1
x



+ +

ữ


+
2-Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số
Bài 29: Tính các giới hạn sau
( )
( ) ( )
2 2 4
2
2 2
x 1 x 3 x 2 x 1
3 3
3
2
3
x 1 x 1 x 0 h 0
2 3 2
3 2 2
x 1 x 2
x 1 x 3 x 3x 2 x 1
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4)lim ;
x 1 x 2x 15 x 2x 3
x 2
x 2 8 2 x h 2x
x x 1 3
5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8)lim ;

1 x 1 x x h
x 1
2x 3x 1 x x 2x 8
9) lim ; 10) lim
x x x 1 x



+
+ +

+ +



ữ



+ +
+
3 2 3
2 2
1
x 3
x
2
x 4x 4x 3 8x 1
; 11) lim ; 12) lim ;
3x 2 x 3x 6x 5x 1

+
+ +
4
( ) ( ) ( )
4 3 2 2 3
4 3 2 2 4
x 1 x 3 x 1
3 100
3 50
x 2 x 0 x 1
2 n
x 1 x 1
2x 5x 3x x 1 x 5x 6 x 3x 2
13) lim ; 14) lim ; 15)lim ;
3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3
1 x 1 2x 1 3x 1
x 3x 9x 2 x 2x 1
16) lim ; 17) lim ; 18) lim ;
x x 6 x x 2x 1
x x ... x n x
19) lim ; 20)lim
x 1



+ + + +
+ + +
+ + +

+ +
+
+ + +

( )
( )
( )
m
n m n
x 1
n n n 1
n n n m
2
2
x a x a x 0
x 4 x 0 x 0
1 m n
; 21) lim ;
x 1 1 x 1 x
x a n.a x a
x a (1 mx) (1 nx)
22) lim ; 23) lim ; 24) lim ;
x a x
x a
3 x 1
1 sin 2x cos2x 2
25)lim ; 26)lim ; 28)lim c otx .
x 2 2 1 sin 2x cos2x sin 2x

ữ



+ +






ữ
+

3-Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
Bài 30: Tính các giới hạn sau
2 2
x 0 x 1 x 7 x 1
2 3
2 2
x 6 x 5 x 2 x 0
2

2
x 1 x 1 x 0
x 4 2 x 3 2 2 x 2 x 2x 1
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
x x 1 x 49 x 12x 11
x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 1 1
5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ;
x 6 x 25 x 2 x x
x 2x 1 2x 1 x 1
9) lim ; 10)lim ; 11) lim 1
x x x 1 x



+ +
+
+ + +
+
+

( )
x 2
2
2 2 2
x 0 x 1 x 2 x a
2
2
x 1 x 3 x 1 x 0
x 2 2
x 1 x ; 12)lim ;

x 7 3
x 1 1 4 x 2 x 2 2x x a x a
13) lim ; 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ;
3 2x 9 x 1 3 x
9 x 3 x a
4x 5 3x 5 x 1 3x 5 x x 1 1 x 1 1
17) lim ; 18)lim ; 19) lim 20) lim
x 3 2 2x 3 x 6
x 1



+
+
+
+ + +
+

+ + + + +
+ + +

2 2
2 2
x 2 x 1 x 1 x 3
;
x
x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x 2x 6 x 2x 6
21) lim ; 22) lim ; 23) lim ; 24)lim .
x 4 x 1 x 4x 3
x 5 2

+ + + + + +
+
+
4-Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao
Bài 31: Tính các giới hạn sau
3 3 3 3
3
x 2 x 0 x 1 x 1
2
3 3 3 3 3
3
x 1 x 0 x 1 x 8
5
4
x 0 x 1
4x 2 1 x 1 2x 1 1 x 1
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
x 2 x x 1
x 2 1
2x 1 x x 1 x 1 x x x 1 9 2x 5
5)lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8)lim ;
x 1
x 1 2x 1 x 1 x 2
5x 1 1 4x 3 1
9) lim ; 10)lim ; 11) li
x x 1

+
+ + + + + +
+
+ +
+

7
4
x 1 x 1
3
n m n
n 1
n
x 0 x 1
4x 3 1 2 x 1
m ; 12)lim ;
x 1 x 1
1 x 1 x 1 (1 x )(1 x )...(1 x )
13) lim ; 14)lim ; 15)lim .
x (1 x)
x 1

+


5-Tính giới hạn dạng
0
0
của hàm số sử dụng phơng pháp gọi hằng số vắng
Bài 32: Tính các giới hạn sau
5
43 3 3
2
x 0 x 1 x 1 x 0
2 1 x 8 x 2x 1 x 2 2x 2 7x 1 1 2x 1 3x
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;
x x 1 x 1 x

+ + + + +

5