TÍNH MẬT ĐỘ PHỔ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG

TÍNH MẬT ĐỘ PHỔ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG. PHỔ SÓNG BIỂN
11.1 XÁC ĐỊNH MẬT ĐỘ PHỔ THEO SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM
Trong chương 3 chúng ta đã thấy mật độ phổ S( ω
)
của quá trình ngẫu nhiên dừng là biến đổi
Fourier hàm tương quan R( τ ) của nó và có thể được xác định theo công thức (3.2.12). Khi đó, cần biết sự
biến đổi của hàm tương quan thực trên toàn khoảng vô hạn của đối số.
Khi xác định những đặc trưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên
X ( t
)
theo số liệu thực nghiệm,
chúng ta sử dụng các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên được ghi trên một khoảng hữu hạn
T
nào đó theo
~
sự biến thiên của đối số t . Khi đó, ta có thể xác định giá trị thống kê của hàm tương quanR( τ ) trên
khoảng τ
ε

∈

[
−
T ,T
]
. Đặc biệt, khi xác định hàm tương quan của quá trình ngẫu nhiên dừng có tính egodic
theo một thể hiện x( t ) có độ dài T , giá trị thống kê của nó được xác định theo công thức (2.6.2).
Như đã thấy trong chương 6, do nhiều nguyên nhân, giá trị thống kê của hàm tương quan là một hàm
~
ngẫu nhiên nào đó, và giá trị tính được của nó, R( τ ) , có thể khác nhiều so với giá trị thực của hàm tương
quan R( τ ) và phương sai sai số tăng đáng kể khi đối số τ tăng.

Vì vậy, việc sử dụng trực tiếp công thức (3.2.12) và thay hàm tương quan thực trong đó bằng giá trị
thống kê của nó, thay khoảng tích phân vô hạn bằng khoảng hữu hạn, tức là công thức
~ 1
T
~
S ( ω )
=
∫

e
−
i
ωτ

R( τ )dτ
,
2
π

−
T
là không hợp lý, vì không tính đến những trị số của hàm tương quan khi
~
τ > T và những khác biệt đáng kể
của hàm R( τ ) so với giá trị thực của hàm tương quan, đặc biệt tại những giá trị τ gần các cận của khoảng
tích phân, có thể dẫn đến giá trị
~
(
ω
)

tìm được sẽ rất khác với giá trị thực của mật độ phổ.
Một vấn đề nảy sinh là, làm thế nào để xác định giá trị phù hợp nhất của mật độ phổ của quá trình ngẫu
nhiên đang xét trong khi không có hàm tương quan thực, mà chỉ sử dụng giá trị thống kê của nó.
~
Ta xét hàm
R( τ ) , bằng giá trị thực của hàm tương quan R( τ ) khi
τ

≤

τ
m
và bằng 0 khi
τ

>

τ
m
.
Hàm này có thể xem như tích của hàm R( τ ) với hàm λ( τ )
~
R
( τ ) = λ( τ )R( τ )
, (11.1.1)
trong đó
~

1
λ( τ ) =



0
khi
khi
τ ≤ τ
m
,
τ > τ
m
.
(11.1.2)
Hàm
R( τ
)
~
được cho trên khắp trục số thực. Ta sẽ tìm biến đổi Fourier của nó và xem đó là giá trị
~
gần đúng S ( ω ) của mật độ phổ S( ω ) , tức là tính S ( ω ) theo công thức
~ 1
∞
i
~

1
i
S ( ω )
=
∫

e
−

ωτ

R(
τ
)d
τ

=
2
π

−∞
∫

e
−

ωτ
λ
(
τ
)R(
τ
)d
τ

. (11.1.3)

2
π

−∞
Ta ký hiệu S( ω ) là mật độ phổ thực của quá trình ngẫu nhiên, tức là biến đổi Fourier của hàm tương

1 1
S
∞
quan thực R( τ ) , ký hiệu Q( ω ) là biến đổi Fourier, tức là phổ, của hàm λ( τ )

2 2
Q(
ω
)
=

1
∞
∫

e
−
i
ωτ
λ
(
τ
)d
τ

. (11.1.4)
2
π

−∞
Theo (11.1.3), tích λ( τ )R( τ ) là
biến đổi Fourier của hàm
~
( ω )
∞
~
Mặt
khá
c, ta
có
λ
τ
∞
∞
∫
e
i
S (
ω
)
d
ω

.

(11.1.5)
−∞
λ
=
∫

e
i
ω
1
τ

S(
ω
1
)d
ω
1
∫

e
i
ω
2
τ
Q(
ω
2
)d
ω

2
=
−
∞


∫
1
∫
i
(

ω
−
∞
+

ω

)
τ

2 2 1
=
S(
2
2

Q(
ω

)
d
ω

d
ω

.
−
∞


−

∞
Khi thay thế ω
1
+ ω
2
= ω ở tích
phân bên trong và đổi thứ tự lấy tích
phân, ta được
∞


∞

λ
∫

e
i
ωτ



∫

S( ω
1
)Q( ω
−

ω
1
)d
ω
1


d
ω

.
(11.1.6)
−∞


−

∞
So sánh (11.1.5) và (11.1.6) ta nhận
được mối liên hệ giữa mật độ phổ thực S( ω
) và giá trị gần đúng của nó (11.1.3)
~
S
~
∞
∫
S(
ω
1
)Q(
ω

−

ω
1
)d
ω
1
.
S
(11.1.7)
−∞
Từ đó
thấy
rằng,
S ( ω ) chính là giá trị

của mật độ phổ thực
S(
ω
)
được lấy trung
bình theo toàn
khoảng tần với hàm trọng lượng Q( ω − ω
1
) .
Đối với hàm λ( τ ) dạng (11.1.2), phổ Q( ω ) của nó
được xác định dưới dạng
τ

m
Q
∫

e
−
i
ωτ
d
τ

=

sin
ωτ
m
.

(11.1.8)
2
π

−
τ
m
πω
Như vậy, bằng cách sử dụng tích (11.1.1) làm giá trị thống
kê của hàm tương quan trong khi xác định mật độ phổ, chúng ta
nhận được không phải mật độ phổ thực S( ω ) , mà giá trị của nó
được làm trơn nhờ hàm trọng lượng là phổ của hàm λ( τ ) . Khi
đó phương pháp làm trơn được xác định bằng cách chọn hàm
λ( τ ) . Từ đó nảy sinh ý tưởng lựa chọn hàm λ( τ ) sao cho
phép làm trơn (11.1.7) là tốt nhất, tức là nó cho giá trị
~
( ω ) gần
nhất với giá trị thực S( ω ) .
Như vậy bài toán xác định mật độ phổ có thể phát biểu
dưới dạng sau: Giả sử có giá trị thống kê của
hàm tương
quan
~
(
τ
)
tại
τ

≤

T
, ta sẽ tìm giá trị thống kê của mật độ phổ
~
(
ω
)
theo công thức
~
1
τ

m
~
S
∫

e
−
i
ωτ
λ( τ )
R( τ )
dτ
2π
−

τ
(
1
1

.
1
.
9
)
với điều kiện phải chọn hàm
λ( τ ) và giá trị τ
m
m
sao cho thoả mãn một chỉ tiêu tối
ưu nào đó. Hàm λ( τ )
được gọi là hàm trọng lượng làm trơn, còn giá trị τ
m
gọi là
điểm cắt của hàm tương quan.
Ý nghĩa của hàm λ( τ ) là nhờ nó, người ta làm trơn giá trị
thống kê của hàm tương quan để từ đó xác
định mật độ phổ. Như ta đã thấy, việc chọn hàm làm trơn
λ( τ
)
tương ứng với sự làm trơn phổ thực của
S
S
R
quá trình ngẫu nhiên dạng (11.1.7) với hàm trọng lượng là phổ của hàm λ( τ ) .
Để làm tiêu chuẩn đánh giá đại lượng
~
( ω ) và chọn hàm làm trơn tối ưu λ( τ ) có thể lấy sai số bình
phương trung bình η
[

S ( ω )
]
, xác định theo công thức
2 S (  )  M
{

S (  )  S(
 )
}
 2
[
S (  )
]
 b2
[
S (
 )
]
(11.1.10)
[
~
] [
~
]
2
~ ~
Trong công thức này đại lượng
σ
2
[

S (  )
]
 M
{
[
S (  )  M
[
S ( 
)
]

]
}
 2
[
S (  )
]
 b2
[
S (
 )
]
(11.1.11)
~ ~ ~
2
~ ~
~
là phương sai của các giá trị S ( ω ) , đặc trưng cho sự tản mạn của các giá trị thống kê của mật độ phổ xung
quanh kỳ vọng toán học của nó.
Đại lượng

b
2
[
S (  )
]
 M
[
S (  )  S(
 )
]
(11.1.12)
~ ~
~
được gọi là độ chệch và đặc trưng cho sự lệch của kỳ vọng toán học của các trị số thống kê S ( ω ) khỏi giá
trị thực S( ω ) . Độ chệch đặc trưng cho sự hiện diện của sai số hệ thống, vì nó mà các giá trị
~
( ω ) sẽ tập
trung không phải gần giá trị thực S( ω ) , mà gần một giá trị M
[
S ( ω )
]
nào đó.
Tiêu chuẩn khác, nhờ đó có thể đánh giá độ chính xác của việc xác định đại lượng
hàm làm trơn tối ưu λ
(
τ
)
, là sai số bình phương trung bình tích phân
~
S

(
ω
)
và chọn
J
[
~
(
ω
)
]
=
M



∫


−∞
~
2


S (
ω
)
−
S(
ω

)
d
ω



. (11.1.13)
Bài toán chọn hàm làm trơn tối ưu là làm sao với giá trị độ dài khoảng
T
đã cho, phải chọn một hàm
λ( τ
)
làm cho độ lớn của tiêu chuẩn đánh giá đã chọn trở thành cực tiểu. Nghiệm của bài toán này phụ
thuộc nhiều vào dạng của hàm tương quan thực R( τ ) .
Trong công trình của E. Parzen [70] đã nhận được nghiệm bài toán này ứng với tiêu chuẩn (11.1.13) cho hai
dạng hàm tương quan R( τ ) .
Dạng thứ nhất gồm lớp các hàm tương quan giảm theo quy luật hàm mũ với hệ số ρ

>
0,
tức những
hàm thoả mãn bất đẳng thức
R(
τ
)
≤
R e
−ρ τ
, trong đó
R

là một hằng số nào đó.
0 0
Người ta đã chứng minh được rằng đối với những hàm tương quan như vậy, các hàm làm trơn sau là
tối ưu:
λ
(
τ
)
=
1

1
−

u
,
λ
(
τ
)
=


khi
u
≤
1
,
λ
(

τ
)
=

sin u
,

τ




u

=


,
1 +
u
và một số hàm khác nữa.


0
khi
u > 1
u

τ
m


Dạng thứ hai các hàm tương quan mà Parzen xét là lớp các hàm giảm theo kiểu đại số, tức những hàm
có dạng
τ
−
r
trong đó
r
<
1
với những giá trị τ

lớn. Đối với các hàm dạng này, những hàm trọng lượng
tối ưu làm cho sai số bình phương trung bình tích phân cực tiểu có thể là những hàm dạng
1
λ( τ )
=
,
1 + Bu
2r
trong đó hằng số B được biểu diễn qua hàm tương quan thực R( τ ) .
S
~
S
~
S

∞

