Luận án tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN
ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN–2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LIÊN QUAN
ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 946 01 02

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN–2020

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Các kết quả
viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa
vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là những kết quả mới và
chưa từng được ai công bố trong các công trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Huyền


ii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi GS.
TSKH. Lê Dũng Mưu. Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi từ khi tôi làm
luận văn thạc sĩ và bây giờ là luận án tiến sĩ. Thầy đã tận tình chỉ dạy
tôi phương pháp nghiên cứu, cách phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng
thời Thầy luôn động viên, khích lệ để tôi hoàn thành luận án này. Từ
tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
Thầy của tôi.
Tôi xin được trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường
Đại học Sư phạm, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, cùng các thầy, các cô
tham gia giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh,
bạn bè đồng nghiệp tại xêmina nghiên cứu sinh khoa Toán Trường Đại
học Sư phạm đã động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu

cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Tôi xin
cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin và các thầy cô Khoa Toán Tin, đã tạo mọi điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho tôi trong suốt
thời gian tôi đi làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, các anh chị và các bạn
trong nhóm xêmina liên cơ quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Bách Khoa Hà Nội, Viện Toán học, Đại học Thăng Long. Xêmina đã
tạo cho tôi động lực trong nghiên cứu khoa học và sự gắn bó với môi
trường nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.
TSKH. Phạm Kỳ Anh. Thầy đã luôn động viên tôi, tạo điều kiện cho
tôi báo cáo và chỉ dạy tôi nhiều kiến thức hữu ích. Tôi cũng xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Hải Yến, người đã luôn quan tâm, chỉ bảo tôi
trên con đường khoa học.
Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân


iii

trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ hai bên, chồng và các con. Những người
đã luôn động viên, chia sẻ mọi khó khăn cùng tôi suốt những năm tháng
qua để tôi có thể hoàn thành luận án này.
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Huyền


iv

Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

iii

Bảng ký hiệu

v

Bảng chữ viết tắt

viii

Mở đầu
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . .
1.2. Bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan . .
1.3. Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Một số phương pháp lặp cơ bản tìm điểm bất động
1.5. Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

12
12
18
21
22
23
25

Chương 2 Thuật toán chiếu kết hợp phép lặp Mann-Krasnoselskii

giải bài toán chấp nhận tách
26
2.1. Mô tả bài toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


v

Chương 3 Thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán chấp nhận
tách phi tuyến và ứng dụng cho mô hình cân bằng Nash
có ràng buộc
44
3.1. Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận

69

Tài liệu tham khảo

72


vi


vii

Bảng ký hiệu

R

tập các số thực

R++

tập các số thực dương

Rn

không gian véctơ Euclid thực n−chiều

x, y

tích vô hướng của hai véctơ x và y

x

chuẩn Euclid của véctơ x trong không gian Rn

xn → x

Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

PC (x)

Phép chiếu của điểm x lên tập C

PC (x) = argminy∈C y − x

NC (x)

Nón pháp tuyến ngoài của tập lồi C tại x

∂f (x)

Dưới vi phân của hàm f tại x

∂ ǫ f (x)

ǫ-dưới vi phân của hàm f tại x

∂2 f (x, x)

Dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f (x, .) tại x

∂2ǫ f (x, x)

ǫ-dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f tại x

argminC f Tập các điểm cực tiểu của hàm f trên tập C
proxλg

Ánh xạ gần kề của hàm lồi g với tham số λ > 0

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

EP (C, f ) Bài toán cân bằng của song hàm f trên tập C
S(C, f )

Tập nghiệm của bài toán cân bằng song hàm f trên tập C

∅

Tập rỗng

✷

Kết thúc chứng minh


viii

Bảng chữ viết tắt

(CFP)

Bài toán chấp nhận lồi

(EP)

Bài toán cân bằng

(SEO)

Bài toán chấp nhận tách với C là tập nghiệm của bài toán EP

và Q là tập nghiệm của bài toán tối ưu

(SFP)

Bài toán chấp nhận tách

(NSEP) Bài toán chấp nhận tách phi tuyến


1

Mở đầu
Một trong những lớp bài toán quan trọng thu hút được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong nước cũng như trên thế giới
đó là bài toán cân bằng. Thuật ngữ cân bằng được sử dụng rộng rãi
trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kĩ thuật. Trong Vật lý, trạng thái
cân bằng của một hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực
tác động lên hệ bằng không và trạng thái này được duy trì trong một
khoảng thời gian dài. Trong Hóa học, vấn đề cân bằng cũng được đề
cập trong các phản ứng hóa học. Trong Sinh học, cân bằng sinh thái là
trạng thái ổn định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi
cao nhất với điều kiện sống, trạng thái này thường xảy ra khi tương
quan lực lượng giữa con mồi và thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ
lệ tương đồng với nhau. Trong kinh tế, sự cân bằng xảy ra, ví dụ như
khi lượng cung bằng lượng cầu. Trạng thái cân bằng là trạng thái mà
con người và vạn vật đều có xu hướng tiến đến.
Bài toán cân bằng, còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, được nghiên
cứu trong luận án này có thể phát biểu một cách đơn giản như sau:
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Rn và f :
C × C → R là một song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, với mọi x ∈ C

(song hàm có tính chất này thường được gọi là song hàm cân bằng).
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.

EP(C, f )

Bất đẳng thức trên được H. Nikaido và K. Isoda [81] sử dụng lần đầu
tiên vào năm 1955 trong khi nghiên cứu trò chơi không hợp tác. Năm
1972, Ky Fan [62] gọi là bất đẳng thức minimax và ông đã đưa ra các


2

kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán này. Thuật ngữ bài toán cân
bằng được sử dụng lần đầu tiên bởi L.D. Muu và W. Oettli [77] năm
1992. Bài toán cân bằng bao hàm nhiều lớp bài toán quen thuộc như
bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất
động Kakutani, bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không
hợp tác, bài toán cân bằng véctơ, bài toán cân bằng tập... Các bài toán
này, một số được trình bày bởi L.D. Muu và W. Oettli [77], sau đó được
E. Blum và W. Oettli giới thiệu thêm trong công trình [21] năm 1994,
gần đây được giới thiệu khá đầy đủ trong cuốn sách chuyên khảo của
G. Bigi và các cộng sự [26]. Ngoài ra, bài toán cân bằng còn được mở
rộng sang các bài toán cân bằng véctơ, bài toán cân bằng tập bởi nhiều
tác giả trong các tài liệu [42, 49, 70, 73, 87] và cuốn chuyên khảo [55].
Trong vài chục năm trở lại đây, bài toán cân bằng được nghiên cứu
cả về tính chất định tính và phương pháp giải.
Về tính chất định tính, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được
khảo sát trong các công trình [23, 24, 25, 41, 52, 53, 57] và các tài liệu
tham khảo trong đó. Sự ổn định nghiệm, cấu trúc của tập nghiệm được
nghiên cứu trong các tài liệu [11, 12, 13, 76].

Hướng nghiên cứu về phương pháp giải có thể nói là được quan tâm
nhiều hơn, chẳng hạn trong [6, 7, 8, 9, 16, 35, 38, 39, 40, 41, 52, 53, 57,
63, 64, 65, 78, 79, 83, 88, 89, 92]. Dễ thấy rằng nếu ta định nghĩa ánh
xạ S bằng cách, với mỗi x ∈ C, đặt
S(x) := argmin{f (x, y) : y ∈ C}
thì từ điều kiện f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C, ta có mọi điểm bất động
của ánh xạ S đều là nghiệm của bài toán cân bằng. Ngược lại với các
giả thiết thông thường là f (x, .) lồi, khả dưới vi phân, thỏa mãn một
tính chất chính quy nào đó, thì mọi điểm bất động của ánh xạ S đều
là nghiệm của bài toán cân bằng. Qua đây ta thấy việc tìm nghiệm của
bài toán cân bằng có thể quy về việc tìm điểm bất động. Tuy nhiên việc
tìm điểm bất động của một ánh xạ, ngay trong trường hợp điểm bất


3

động theo định lý Brouwer đã có từ hơn một thế kỷ, nhưng cho đến nay
vẫn chưa có thuật toán hiệu quả cho bài toán này. Hơn nữa, như đã nêu,
bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng, khó giải như là
những trường hợp riêng, nên không hy vọng có một thuật toán hiệu quả
để giải bài toán cân bằng tổng quát. Vì thế người ta đã nghiên cứu các
phương pháp giải bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định. Các
giả thiết này có thể là một tính chất đơn điệu nào đó như tính giả đơn
điệu, đơn điệu, đơn điệu chặt, đơn điệu mạnh và tính lồi, khả dưới vi
phân theo biến thứ hai của song hàm f .
Một số tiếp cận về phương pháp giải bài toán cân bằng với các giả
thiết nêu trên có thể được kể đến như sau:
• Phương pháp điểm bất động cho ánh xạ co [71, 79], hoặc không
giãn, không giãn suy rộng [10, 15] dựa trên nguyên lý bài toán phụ.
Nguyên lý bài toán phụ cho bài toán cân bằng EP(C,f) liên quan

đến bài toán cân bằng dưới đây, kí hiệu là EP(C, fα )
Tìm x ∈ C : fα (x, y) := f (x, y) + αM (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C,
trong đó α > 0, và M (được gọi là hàm khoảng cách Bregman) có
tính chất
(M1) Xác định trên toàn không gian, hàm M (x, .) lồi mạnh, khả
vi và ∇M (x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
Nguyên lý bài toán phụ được G. Cohen [32, 33] đề xuất lần đầu
tiên cho bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân lần
lượt vào các năm 1980 và 1988. Đến năm 2003, nguyên lý này đã
được mở rộng cho bài toán cân bằng bởi G. Mastroeni [71].
Nếu ký hiệu s(x) là nghiệm duy nhất của bài toán tối ưu lồi
miny∈C fα (x, y), thì với các giả thiết về tính đơn điệu mạnh, hoặc
giả đơn điệu mạnh, cộng thêm tính chất kiểu Lipschitz của song
hàm f , thì s là ánh xạ co, khi tham số α được chọn thích hợp (phụ
thuộc vào hệ số đơn điệu (giả đơn điệu) mạnh và hằng số Lipschitz


4

của f [41, 79]). Trong trường hợp f là đơn điệu mạnh ngược, còn
gọi là tự bức (co-coercive), thì s là ánh xạ không giãn [10], còn khi
f là giả đơn điệu thì trong [15] các tác giả đã xây dựng một s ánh
xạ tựa không giãn (quasinonexpansive) có tập điểm bất động trùng
với tập nghiệm của bài toán cân bằng.
Bên cạnh các ánh xạ nghiệm dựa trên tập nghiệm của các bài toán
quy hoạch lồi đã nêu ở trên, một ánh xạ khác, được gọi là ánh xạ
Combettes, dựa trên phương pháp hiệu chỉnh gần kề, được định
nghĩa bởi
R(x) := {y ∈ C : f (x, y) + r x − x0 , y − x ≥ 0 ∀y ∈ C}.
P.L. Combettes [34] đã chỉ ra, khi f đơn điệu và có thêm một vài

tính chất liên tục thông thường, thì với mọi r > 0, ánh xạ R xác
định khắp nơi, không giãn và tập điểm bất động của ánh xạ này
trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f ). Chú ý rằng
ánh xạ R này được xác định qua việc giải một bài toán cân bằng
đơn điệu mạnh, trong khi ánh xạ nghiệm s nói trên được xác định
bằng việc giải một bài toán quy hoạch lồi mạnh.
• Phương pháp hàm đánh giá (gap function). Ý tưởng chính của
phương pháp hàm đánh giá là chuyển việc giải bài toán cân bằng
về bài toán tối ưu. Hai loại hàm đánh giá cơ bản là hàm đánh giá
Auslender và hàm đánh giá Fukushima được định nghĩa lần lượt
như sau [72]:
gA (x) = − min{f (x, y) : y ∈ C}
gF (x) = − min{f (x, y) + αM (x, y) : y ∈ C},
trong đó α > 0 và song hàm M có tính chất (M1). Như đã biết,
x ∈ C, gA (x) = 0, hoặc gF (x) = 0 khi và chỉ khi x là nghiệm của bài
toán EP(C, f ). Chú ý rằng bài toán quy hoạch lồi xác định gA (x)
có thể không tồn tại nghiệm, và nếu có nghiệm thì nghiệm có thể


5

không duy nhất. Tuy nhiên bài toán xác định gF (x), do M (x, .)
lồi mạnh, nên luôn tồn tại duy nhất nghiệm. Ngoài các hàm đánh
giá ở trên người ta còn dùng hàm đánh giá cho bài toán cân bằng
Minty sau (còn được gọi là bài toán đối ngẫu) [83]:
tìm x∗ ∈ C : f (y, x∗ ) ≤ 0, ∀y ∈ C.

M EP (C, f )

Các hàm đánh giá không ràng buộc (D-gap function) cũng được sử

dụng để thu được các bài toán tối ưu không ràng buộc tương đương
với bài toán cân bằng. Các phương pháp của quy hoạch toán học,
như phương pháp hướng giảm, đã được dùng để cực tiểu hàm đánh
giá, qua đó thu được nghiệm của bài toán cân bằng, xem chẳng
hạn G. Mastroeni [71], và T.D. Quoc [83] và tài liệu trích dẫn ở đó.
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề.
Các phương pháp này nhằm mục đích chuyển việc giải bài toán đặt
không chỉnh, ví dụ các bài toán không duy nhất nghiệm, và/hoặc
nghiệm không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện ban đầu về việc
giải các bài toán đặt chỉnh. Để bảo đảm tính duy nhất nghiệm,
người ta thường dùng một song hàm hiệu chỉnh và một tham số
hiệu chỉnh để xây dựng bài toán phụ có duy nhất nghiệm phụ
thuộc tham số hiệu chỉnh, và nghiệm duy nhất này sẽ hội tụ đến
một nghiệm của bài toán ban đầu, khi tham số hiệu chỉnh tiến tới
giá trị nhất định. Các phương pháp hiệu chỉnh này đã được sử dụng
một cách hiệu quả cho bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân,
phương trình toán tử, bao hàm thức đơn điệu (xem [85, 93]) và gần
đây cho bài toán cân bằng đơn điệu [75], giả đơn điệu [38, 66].
Trong phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bài toán hiệu chỉnh, với
hàm hiệu chỉnh khoảng cách, được cho như sau:
fT (x, y) := f (x, y) + ǫ x − xg , y − x ,
trong đó ǫ > 0 là tham số hiệu chỉnh, còn xg đóng vai trò như lời
giải dự đoán. Trong phương pháp điểm gần kề, điểm dự đoán xg


6

thay đổi ở mỗi bước lặp k và hàm hiệu chỉnh có dạng
fP (x, y) := f (x, y) + c x − xk , y − x ,
với c > 0. Với giả thiết f đơn điệu trên C, thì fT và fP đơn điệu

mạnh trên C. Do đó, với các giả thiết thông thường về tính liên tục
của song hàm, bài toán cân bằng hiệu chỉnh EP(C, fT ) và EP(C, fP )
có duy nhất nghiệm phụ thuộc vào các tham số hiệu chỉnh và hội
tụ đến một nghiệm của bài toán ban đầu khi ǫ tiến dần đến 0, đối
với hiệu chỉnh Tikhonov, còn đối với hiệu chỉnh điểm gần kề thì c
tiến về một số hữu hạn. Chú ý rằng chỉ với giả thiết giả đơn điệu
thì nghiệm của các bài toán hiệu chỉnh có thể không duy nhất. Tuy
nhiên các kết quả trong [38, 66] đã chỉ ra rằng bất kỳ một quỹ đạo
nghiệm nào của các bài toán hiệu chỉnh cũng hội tụ về một nghiệm
của bài toán ban đầu, hơn nữa các tác giả ở đây đã đưa ra các
thuật toán để tìm nghiệm đó dựa trên kỹ thuật của tối ưu hai cấp
(bilevel optimization).
• Phương pháp đạo hàm và đạo hàm tăng cường (extragradient method).
Phương pháp đạo hàm cơ bản cho bài toán cân bằng có thể không
hội tụ, ngay cả khi song hàm f là đơn điệu. Do đó, năm 1997, S.
Flam và A. Antipin [45] đã dùng phương pháp đạo hàm tăng cường
với hàm khoảng cách Bregman cho bài toán cân bằng với tập chấp
nhận được là tập lồi compac trong không gian Rn. Năm 2011, N.
Langenberg [67] mở rộng kết quả của Flam và Antipin, xét tập chấp
nhận được là không bị chặn. Sau đó, nhiều tác giả đã dùng phương
pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng với các giả thiết
khác nhau đặt lên song hàm f . Trong phương pháp đạo hàm tăng
cường [84], ở mỗi bước lặp k, phải giải hai bài toán tối ưu
α
y − xk
2
α
= argmin{f (xk , y) +
y − xk
2

xk = argmin{f (xk , y) +
xk+1

2

: y ∈ C};

2

: y ∈ C}.


7

Với các giả thiết thông thường, dãy điểm lặp xác định như trên
sẽ hội tụ về một nghiệm của bài toán EP(C, f ). Trong trường hợp
bài toán bất đẳng thức biến phân, các bài toán tối ưu này trở về
bài toán tìm hình chiếu. Đối với bài toán cân bằng có tính chất
mạnh hơn đơn điệu, như đơn điệu mạnh, giả đơn điệu mạnh, đơn
điệu mạnh ngược, para-đơn điệu (paramonotone), thì chỉ cần dùng
phương pháp đạo hàm cơ bản [51, 88] là thuật toán hội tụ. Một
số thuật toán dựa trên phương pháp đạo hàm cơ bản và đạo hàm
tăng cường cũng đã được đề xuất để bảo đảm sự hội tụ mạnh và
nâng cao sự hiệu quả của thuật toán, người ta đã thay phép chiếu
thứ hai lên tập ràng buộc bằng việc chiếu lên một siêu phẳng, hoặc
tách riêng song hàm f bằng tổng của hai hoặc nhiều song hàm
v.v... Các thuật toán này có thể xem trong các luận án Tiến sĩ của
Bùi Văn Định [2], Trịnh Ngọc Hải [3], Phạm Gia Hưng [4].
Một bài toán khác liên quan nhiều đến luận án này là bài toán chấp

nhận tách (Split feasibility problem). Bài toán chấp nhận tách được Y.
Censor và T. Elfving [28] giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1994 cho mô
hình bài toán ngược. Sau đó được C. Byrne [27] ứng dụng vào năm 2002
cho bài toán phục hồi và tái tạo hình ảnh y tế. Gần đây, bài toán này
còn được Y. Censor [29] ứng dụng trong mô hình điều khiển cường độ
xạ trị trong điều trị ung thư. Trong không gian hữu hạn chiều, bài toán
chấp nhận tách có thể mô tả như sau:
Cho C và Q là các tập lồi khác rỗng trong không gian Rn và Rm
tương ứng, và A : Rn → Rm là toán tử tuyến tính (được gọi là toán tử
chuyển). Bài toán chấp nhận tách được phát biểu:
Tìm x ∈ C sao cho Ax ∈ Q.

(SFP).

Trong trường hợp hai không gian là trùng nhau và A là toán tử đồng
nhất, thì bài toán chấp nhận tách trở về bài toán chấp nhận lồi (convex
feasibility problem) là tìm x ∈ C ∩ D. Kí hiệu Γ là tập nghiệm của bài


8

toán chấp nhận tách (SFP),
Γ = {x ∈ C : Ax ∈ Q} = C ∩ A−1 Q,
thì do C, Q là các tập lồi đóng, nên Γ là tập lồi, đóng và là giao của hai
tập lồi đóng C và A−1 Q. Như vậy bài toán chấp nhận tách có thể xem
như một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận lồi.
Trong những năm gần đây, việc giải bài toán chấp nhận tách được
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là trong trường hợp C
và/hoặc Q được cho dưới dạng ẩn như là tập nghiệm của các bài toán
nào đó, ví dụ tập điểm bất động của ánh xạ không giãn hoặc ánh xạ

không giãn suy rộng, tập nghiệm của bài toán tối ưu lồi, bài toán bất
đẳng thức biến phân, và tổng quát hơn là tập nghiệm của bài toán
cân bằng. Trong những trường hợp này, bài toán sẽ gọi là bài toán chấp
nhận tách suy rộng (generalized split feasibility problem). Bài toán chấp
nhận tách cũng đã được nhiều người nghiên cứu (xem, chẳng hạn luận
án Tiến sĩ của Trần Việt Anh và tài liệu tham khảo ở đó).
Có hai cách tiếp cận cơ bản để giải bài toán chấp nhận tách. Cách
tiếp cận thứ nhất dựa trên các phương pháp chiếu (lần lượt hoặc song
song). Cách tiếp cận thứ hai là dựa trên ý tưởng chuyển bài toán chấp
nhận tách về bài toán tối ưu.
Các thuật toán chiếu lấy ý tưởng từ các phương pháp chiếu của C.J.
Karzmark và của V. Neumann (xem [27, 28, 97]). Để giải bài toán chấp
nhận tách trong không gian hữu hạn chiều, C. Byrne [27] đề xuất thuật
toán chiếu CQ như sau: với k ≥ 0
xk+1 = PC (xk + γAT (PQ − I)Axk ),
trong đó C, Q lần lượt là hai tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Rn và Rm , A là ma trận thực m × n, L là giá trị riêng lớn nhất của ma
trận AT A và γ ∈ (0, L2 ).
Sau đó, có nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán chấp nhận tách bằng
cách mở rộng bài toán chấp nhận tách trong không gian vô hạn chiều,


9

hoặc cải tiến cho độ dài bước γ hoặc mở rộng tập C và tập Q. Giải bài
toán chấp nhận tách bằng phương pháp chiếu với C và/hoặc Q là tập
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân hay tập điểm bất động
của ánh xạ không giãn có thể xem luận án Tiến sĩ của Trần Việt Anh
[1] và các tài liệu tham khảo ở đó.
Việc giải bài toán chấp nhận tách dựa trên ý tưởng chuyển về bài

toán tối ưu dựa trên ý tưởng của A. Moudafi và B.S. Thakur [74] năm
2013 bằng cách chứng minh bài toán tối ưu lồi
min{
x∈C

1
(I − PQ )(Ax) 2 , ∀λ > 0}
2λ

tương đương với bài toán chấp nhận tách:
Tìm x ∈ C sao cho Ax ∈ Q.
Do đó, các phương pháp của quy hoạch toán học có thể áp dụng để giải
bài toán chấp nhận tách.
Cần phải nói thêm rằng các thuật toán đã có chỉ áp dụng cho trường
hợp A là toán tử tuyến tính, lý do chính là các thuật toán dựa trên
phương pháp chiếu đòi hỏi phải tính được hoặc toán tử chuyển vị A∗
hoặc toán tử nghịch đảo A−1 , trong khi đó với phương pháp dựa trên
1
(I − PQ )(Ax) 2 chỉ lồi và khả vi
bài toán tối ưu, thì hàm mục tiêu 2λ
khi A là tuyến tính. Do tính khả vi của hàm mục tiêu nên bài toán cực
tiểu hàm này tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn
điệu. Trong bài báo [68], Z. Li và các cộng sự đã xét bài toán chấp nhận
tách với toán tử A là phi tuyến với C và Q đều là giao của một số hữu
hạn tập lồi. Tuy nhiên, các tác giả phải giả thiết tính lồi của hàm
p(x) :=

1
PQ (F (x)) − F (x)
2

2

để thuật toán đưa ra hội tụ.
Một vấn đề được đặt ra là nghiên cứu thuật toán giải bài toán chấp
nhận tách với toán tử chuyển không phải là tuyến tính và với C và/hoặc


10

Q không được cho tường minh, mà là tập nghiệm của các bài toán khác,
chẳng hạn là tập nghiệm của bài toán cân bằng, hoặc các trường hợp
riêng của nó.
Trong luận án, chúng tôi xét bài toán chấp nhận tách cho hai trường
hợp:
Trường hợp đầu tiên, chúng tôi xét bài toán chấp nhận tách với C là
tập nghiệm của bài toán cân bằng và Q là tập nghiệm của bài toán quy
hoạch lồi. Đối với bài toán này chúng tôi đề xuất một thuật toán chiếu
một lần giải bài toán cân bằng kết hợp với phương pháp chiếu giải bài
toán quy hoạch lồi bằng cách sử dụng ánh xạ gần kề của hàm mục tiêu.
Sự hội tụ của thuật toán đã được chứng minh khi bài toán cân bằng với
song hàm cân bằng là para-đơn điệu. Một mô hình cân bằng sản xuất
điện với chi phí môi trường thấp nhất được đưa ra minh họa cho thuật
toán chúng tôi đề ra.
Bài toán chấp nhận tách thứ hai được xét trong luận án là bài toán
trong đó toán tử chuyển không nhất thiết là tuyến tính mà là một phép
biến đổi được cho bởi các hàm số tựa tuyến tính. Thuật toán đề xuất
dựa trên phương pháp tối ưu cho bài toán tựa lồi, sử dụng dưới đạo
hàm Clarke và đã chứng minh được sự hội tụ. Mô hình cân bằng Nash
với ràng buộc chung nảy sinh trong thực tế đã được mô tả dưới bài toán

chấp nhận tách xét ở đây và đã thử nghiệm trên máy tính. Các kết quả
tính toán được so sánh với một thuật toán đã có.
Bản luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình
đã công bố của tác giả có liên quan đến luận án và danh mục tài liệu
tham khảo, luận án gồm 3 chương. Các kết quả chính được trình bày
trong các Chương 2 và 3.
Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ, nhắc lại các kết quả về
phép chiếu mêtric, tập lồi, hàm lồi, hàm tựa lồi, song hàm đơn điệu, bài
toán cân bằng và một số bài toán liên quan, bài toán chấp nhận tách,
một số phương pháp lặp cơ bản tìm điểm bất động và các bổ đề dùng
để chứng minh cho các kết quả chính ở các chương sau.


11

Trong Chương 2 chúng tôi trình bày thuật toán chiếu kết hợp phép
lặp Mann-Krasnoselskii giải bài toán chấp nhận tách liên quan đến bài
toán cân bằng và bài toán tối ưu lồi. Một mô hình cân bằng sản xuất
điện với chi phí môi trường thấp nhất đã được trình bày ở cuối chương
cùng với các tính toán thử nghiệm minh họa cho thuật toán đã đề xuất.
Chương 3 trình bày thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán chấp nhận
tách với toán tử chuyển không tuyến tính mà được cho bởi phép biến
đổi tựa tuyến tính. Cuối chương giới thiệu một mô hình cân bằng Nash
có ràng buộc chung và các ví dụ khác.
Các kết quả chính của luận án được công bố trong 2 bài báo đăng
trên các tạp chí thuộc danh mục ISI là: Mathematical Methods of Operations Research và Journal of Global Optimization, ngoài ra còn được
báo cáo tại:
• Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội,
12-13/11/2016;
• 7th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hà Nội, 19-23/3/2018;

• Xêmina liên cơ quan "Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan";
• Xêmina Nghiên cứu sinh, Khoa Toán, trường Đại học sư phạm, Đại
học Thái Nguyên;
• Xêmina Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán - Tin, trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Tác giả
Nguyễn Thị Thanh Huyền


12

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản cần
thiết và một số bổ đề bổ trợ sẽ được dùng ở các chương tiếp theo. Nội
dung của chương được chia thành năm phần. Phần đầu trình bày một
số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi, hai phần tiếp theo
trình bày bài toán cân bằng và một số bài toán liên quan và bài toán
chấp nhận tách. Phần tiếp theo nhắc lại một số phương pháp lặp cơ
bản. Phần cuối của chương trình bày một số kết quả bổ trợ để chứng
minh sự hội tụ của các thuật toán ở các chương sau. Các khái niệm
và kết quả cơ bản của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu
[17, 18, 19, 47, 50, 58, 95].

1.1.

Các khái niệm và kết quả cơ bản

Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số kí hiệu về tích vô hướng và
chuẩn Euclid trong không gian Rn .

Không gian Rn là một không gian vectơ n chiều với phép cộng và
phép nhân vô hướng được định nghĩa như sau
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ),
trong đó (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn và λ ∈ R.


13

Cho x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn và y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn, tích vô hướng của
x và y được định nghĩa bởi
n

x, y =

xi yi .
i=1

Chuẩn Euclid của x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn được định nghĩa là
x =

x21 + . . . + x2n .

Định nghĩa 1.1 Một tập con K ⊂ Rn được gọi là lồi nếu
αx + (1 − α)y ∈ K,

∀x, y ∈ K, ∀α ∈ [0, 1].

Sau đây là phép chiếu mêtric và tính chất của nó.
Định nghĩa 1.2 Cho K là tập con lồi đóng, khác rỗng của Rn . Phép

chiếu mêtric từ x ∈ Rn lên K, kí hiệu là PK (x), được xác định bởi
PK (x) = arg min z − x .
z∈K

Do K là tập con lồi đóng trong không gian Rn nên phép chiếu của
x lên K tồn tại và duy nhất. Các tính chất của phép chiếu hay dùng
được phát biểu trong mệnh đề sau. Chứng minh của mệnh đề này có
thể tham khảo trong các tài liệu [18, 19].
Mệnh đề 1.1 Giả sử K là tập con lồi đóng, khác rỗng của Rn . Khi đó
ta có:
i) z = PK (x) khi và chỉ khi x − z, y − z ≤ 0, ∀x ∈ Rn , ∀y ∈ K, z ∈ K.
ii) x − y, PK (x) − PK (y) ≥ PK (x) − PK (y) 2 , ∀x, y ∈ Rn .
iii) x − PK (x) 2 ≤ x − y 2 − y − PK (x) 2 , ∀x ∈ Rn , y ∈ K.
Cho K là một tập con lồi, đóng khác rỗng của Rn . Tập
NK (x0 ) = {w ∈ Rn : w, y − x0 ≤ 0, ∀y ∈ K}
được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của K tại x0 . Ta có NK (x0 ) là nón
lồi, đóng, khác rỗng.


14

Định nghĩa 1.3 Cho K là một tập con khác rỗng của Rn và một hàm
f : K → [−∞, +∞]. Miền hữu hiệu của f là
domf = {x ∈ K : f (x) < +∞}.
Trên đồ thị của hàm f là
epif = {(x, ξ) ∈ K × R : f (x) ≤ ξ}.
Hàm f được gọi là chính thường nếu dom = ∅ và f (x) > −∞ với mọi
x ∈ K.
Sau đây là định nghĩa hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi.
Định nghĩa 1.4 Cho f : Rn → [−∞, +∞]. Hàm f được gọi là lồi nếu

trên đồ thị của f là tập lồi trong Rn × R. Hàm f được gọi là hàm lõm
nếu −f là hàm lồi.
Định nghĩa 1.5 Cho f : Rn → [−∞, +∞] là một hàm lồi chính thường.
i) Véctơ p ∈ Rn được gọi là dưới đạo hàm của f tại điểm x0 ∈ Rn nếu
p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn .
Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của
f tại x0 và kí hiệu là ∂f (x0 ). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0
nếu ∂f (x0 ) = ∅.
ii) Cho trước ε > 0 tùy ý. Véctơ p ∈ Rn được gọi là ε-dưới đạo hàm của
f tại điểm x0 ∈ Rn nếu
p, x − x0 + f (x0 ) − ε ≤ f (x), ∀x ∈ Rn .
Tập tất cả các ε-dưới đạo hàm của f tại x0 được gọi là ε-dưới vi phân
của f tại x0 và kí hiệu là ∂ ε f (x0 ).
Định nghĩa 1.6 Cho f : Rn → (−∞, +∞] là một hàm chính thường,
x∗ ∈ Rn .


15

Điểm x∗ được gọi là điểm cực tiểu toàn cục của hàm f nếu f (x∗ ) ≤ f (x)
với mọi x ∈ Rn. Khi đó, f (x∗ ) gọi là giá trị cực tiểu toàn cục của f , và
viết f (x∗ ) = minx∈Rn f (x). Tập các điểm cực tiểu của hàm f kí hiệu là
argminf .
Cho K là một tập con của Rn sao cho K ∩ domf = ∅. Điểm x∗ được
gọi là điểm cực tiểu toàn cục của hàm f trên K nếu f (x∗ ) ≤ f (x) với
mọi x ∈ K. Khi đó, f (x∗ ) gọi là giá trị cực tiểu toàn cục của f trên K,
và viết f (x∗ ) = minx∈K f (x).
Hàm tựa lồi được De Finetti [44] giới thiệu lần đầu tiên vào năm
1949. Đây là lớp hàm được ứng dụng rộng rãi trong tối ưu, lý thuyết
trò chơi, kinh tế,. . .

Định nghĩa 1.7 Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và ϕ : X → R.
i) ϕ được gọi là hàm tựa lồi trên X nếu tập mức dưới
Sϕ,α = {x ∈ X : ϕ(x) ≤ α}
là tập lồi với mỗi α ∈ R.
ii) ϕ được gọi là hàm tựa lõm trên X nếu −ϕ là hàm tựa lồi trên X.
iii) ϕ được gọi là hàm tựa tuyến tính trên X nếu nó vừa tựa lồi, vừa tựa
lõm.
Đặc trưng của hàm tựa lồi được cho bởi mệnh đề và định lý dưới đây.
Mệnh đề 1.2 Giả sử X ⊂ Rn là một tập lồi và ϕ : X → R. Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương
(i) ϕ là hàm tựa lồi trên X.
(ii) Với mỗi x, y ∈ X và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max {ϕ(x1 ), ϕ(x2 )} .
Do đó, hàm ϕ là tựa tuyến tính trên X nếu và chỉ nếu với mỗi x, y ∈ X
và λ ∈ [0, 1] ta có
min {ϕ(x1 ), ϕ(x2 )} ≤ ϕ(λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max {ϕ(x1 ), ϕ(x2 )} .