SKKN phát huy tính tích cưc của học sinh khi dạy học một số khái niệm và định lý chương véc tơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian hình học 11 ở trường THPT

MỤC LỤC
1. LỜI GIỚI THIỆU........................................................................................................1
2. TÊN SÁNG KIẾN........................................................................................................1
3. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:........................................................................2
4. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ:........2
5. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:...................................................................2
* VỀ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:............................................................................2
I. TÌNH HÌNH DẠY HỌC CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC .. 2
II. VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC TRONG DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM, ĐỊNH
LÝ TRONG CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC.............................4
1. Phát huy tính tích cực của học sinh khi DH các khái niệm trong chương Vectơ
trong không gian – Quan hệ vuông góc.....................................................................4
1.1. Dạy học khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian............4
1.2. Dạy học khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (mặt
phẳng)........................................................................................................................ 7
1.3. DH khái niệm đường vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau................................................................................................................. 10
2.
Phát huy tính tích cực của học sinh khi DH các định lý trong chương Vectơ
trong không gian – Quan hệ vuông góc .................................................................... 1
5
2.1. Dạy học ĐL về điều kiện để ba vectơ đồng phẳng ............................................. 1
5
2.2. Dạy học ĐL ba đường vuông góc ....................................................................... 1
7
2.3. Dạy học ĐL về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc ...................................... 2
0
* VỀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN: ...................................................... 23

6. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT : ............................................... 24
7. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: .......................... 24

ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC
DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ...................................24
8.

ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC
DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC, CÁ NHÂN:............25
9.

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................... 25
PHỤ LỤC....................................................................................................................... 26
GIÁO ÁN THỬ NGHIỆM........................................................................................... 26
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT............................................................................................ 39


10. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG
THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU....................................................... 40


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
Trong những năm gần đây, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) đã và
đang nhận được sự quan tâm của toàn ngành giáo dục và của cả xã hội. Đã có nhiều
phong trào thi đua về đổi mới PPDH được phát động và được sự tham gia nhiệt tình của
các thầy giáo, cô giáo. Thực tế cho thấy giáo viên gặp nhiều khó khăn khi lựa chọn
PPDH vừa phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh HS vừa
đảm bảo nội dung chương trình, đặc biệt trong điều kiện cơ sở vật chất còn thiếu thốn
như hiện nay ở nhiều trường học. Phân môn hình học ở trường THPT thực sự là thách
thức với một bộ phận không nhỏ (HS). Các em gặp rất nhiều khó khăn khi học hình học
(HH), đặc biệt là hình học không gian (HHKG). Một trong số những nguyên nhân cơ bản

là do các em không hiểu được đúng bản chất của vấn đề, chỉ thụ động ghi nhớ các kiến
thức một cách máy móc và do đó không vận dụng được những kiến thức ấy vào giải toán
cũng như liên hệ với thực tiễn. Trước thực trạng này, giáo viên gặp không ít khó khăn khi
giảng dạy nội dung HHKG nói chung, chương “Vectơ trong không gian – Quan hệ vuông
góc (Hình học 11)” nói riêng.
Với mong muốn góp phần giúp giáo viên có thêm phương pháp (PP) giảng dạy
hiệu quả và HS học tập tốt nội dung HHKG lớp 11, tôi chọn đề tài: “: Phát huy tính tích
cưc của học sinh khi dạy học một số khái niệm và định lý chương véc tơ trong không
gian, quan hệ vuông góc trong không gian - hình học 11 ở trường THPT” làm đề tài
sáng kiến kinh nghiệm của mình

2. TÊN SÁNG KIẾN
Phát huy tính tích cưc của học sinh khi dạy học một số khái niệm và định lý chương
véc tơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian - hình học 11 ở trường
THPT
3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Họ và tên:Trần Thị Xuân
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà - Gia Khánh - Bình Xuyên Vĩnh Phúc
- Số điện thoại:0988013887; Email:
Trang 1


4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN:Trần Thị Xuân
5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:
Sáng kiến được áp dụng khi giảng dạy các khái niệm và định lý ở chương véc tơ trong
không gian, quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 ở trường trung học phổ thông.
6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ:
Ngày 08 tháng 1 năm 2018
7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:
* VỀ NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN:

I. Tình hình dạy học chương Vectơ trong không gian – Quan hệ vuông góc
Qua việc tham khảo ý kiến của các giáo viên cũng như học sinh về việc dạy và học nội
dung Hình học không gian lớp 11 nói chung và chương Vectơ trong không gian – Quan
hệ vuông góc nói riêng tôi nhận thấy:
Về phía HS:
 Đa số HS ngại học phân môn HH, đặc biệt là phần HHKG lớp 11.
 Các tiết học HHKG thường ít gây hứng thú cho HS.
 Một bộ phận HS có cảm giác mình hiểu được lí thuyết của chương song khi vận
dụng vào bài tập lại gặp khó khăn.
 Trong quá trình giải bài toán chương Vectơ trong không gian – Quan hệ vuông góc
(Hình học 11) HS thường gặp trở ngại khi chứng minh và tính toán.
 Một số HS có khả năng vẽ hình tốt dựa vào giả thiết của bài toán. Song đa số HS
lúng túng trong việc thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho qua hình vẽ, góc
độ nhìn hình vẽ chưa thoáng, chưa đẹp. Điều này ảnh hưởng không nhỏ tới khả
năng tìm ra phương án giải quyết bài toán.
Về phía GV:
 Trong quá trình giảng dạy môn Toán, GV thường gặp nhiều khó khăn khi dạy phân
môn HH, đặc biệt là nội dung chương Vectơ trong không gian – Quan hệ
vuông góc (Hình học 11).
Trang 2


 GV chưa chú ý nhiều tới việc rèn luyện tư duy logic cho HS mà thường chú ý hơn
đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, ít quan tâm đến việc rèn luyện khả năng qui
nạp, phân tích (suy ngược, suy xuôi).
 PPDH chủ yếu vẫn là thuyết trình và vấn đáp.
 Một bộ phận GV đã cố gắng đổi mới PPDH như vận dụng PPDH theo nhóm, dạy
tự học… Tuy nhiên việc vận dụng PPDH tích cực chỉ được một số ít GV sử dụng
trong các bài giảng của mình, trong các tiết giảng phần HHKG dường như chưa
có.

Nguyên nhân
Nguyên nhân từ phía HS
 Từ các lớp dưới các em đã sợ học HH dẫn tới hổng nhiều kiến thức HH cơ bản.
Do vậy khi học đến nội dung HHKG thì gặp rất nhiều khó khăn, hình thành tâm lí
ngại học HH, luôn nghĩ rằng bài tập HH là khó và không làm được.
 HS chưa hiểu bản chất các khái niệm, các ĐL và mối liên hệ giữa các khái niệm,
ĐL. Do đó thiếu sự nhanh nhạy, linh hoạt trong việc liên kết các dữ kiện mà đề bài
cho với nhau cũng như trong việc tìm ra mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận để
tìm hướng giải quyết bài toán.
 HS chưa chú trọng việc trình bày bài toán.
 Nhiều HS tưởng tượng không gian kém, chưa có sự liên hệ giữa mô hình Toán học
và các mô hình gặp trong thực tiễn.
 HS quen với cách học thụ động. Một bộ phận không nhỏ HS hiện nay học vẹt, lười
suy nghĩ, khi luyện tập thường chờ đợi bài chữa từ thầy cô hoặc các bạn. Vì vậy
HS không hiểu bản chất tri thức, dẫn tới khó nhớ và khó vận dụng tri thức đó vào
giải quyết bài tập toán học cũng như bài toán trong thực tiễn.
Nguyên nhân từ phía GV:
 Một số GV ngại dạy HH, đặc biệt là HHKG.
 GV còn ngại soạn bài dạy theo PPDH tích cực. Một số GV còn cho rằng khó áp
dụng các PPDH tích cực trong DH môn Toán: khó khăn về mặt nội dung, thời gian
cũng như khả năng đáp ứng của HS.
Trang 3


Nguyên nhân khách quan
 Nội dung HHKG là một trong số những nội dung khó trong chương trình toán
THPT.
 Trình độ HS không đồng đều cũng là một trở ngại lớn đối với các thầy cô trong
giảng dạy cũng như trong việc sử dụng các PPDH tích cực.
II.

Vận dụng phương pháp dạy học tích cực trong dạy học các khái niệm, định
lý trong chương vectơ trong không gian – quan hệ vuông góc

1. Phát huy tính tích cực của học sinh khi DH các khái niệm trong chương Vectơ
trong không gian – Quan hệ vuông góc
1.1. Dạy học khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian là một khái niệm tương tự
như khái niệm hai vectơ cùng phương trong mặt phẳng. Do đó GV có thể lựa chọn khái
niệm hai vectơ cùng phương để tạo tình huống gợi vấn đề nhằm tiếp cận khái niệm về ba
vectơ đồng phẳng trong không gian theo con đường qui nạp.
Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm.
Tạo tình huống gợi vấn đề:
(

Trong mặt phẳng, các em đã biết đến khái niệm hai vectơ cùng phương. Hãy nhắc lại

ĐN hai vectơ cùng phương?
( Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
(

Như vậy có thể hiểu hai vectơ cùng phương có giá cùng song song với một đường

thẳng.
Tương tự khái niệm này trong mặt phẳng, trong không gian chúng ta có khái niệm
về ba vectơ đồng phẳng. Vậy ba vectơ thỏa mãn điều kiện nào sẽ được gọi là ba vectơ
đồng phẳng?
(!)…
-

GV giao nhiệm vụ cho các nhóm thông qua phiếu học tập

-

GV gọi theo nhóm có câu trả lời sớm nhất trình bày.

-

GV sử dụng máy chiếu để chiếu kết quả của các nhóm còn lại và tổng hợp kết
quả làm việc của các nhóm.
Trang 4


Phiếu học tập
Cho ba vectơ a , b, c khác vectơ – không trong không gian. Từ một điểm O tùy ý
dựng các vectơ OA = a, OB = b, OC = c . Hãy xét điều kiện đối với giá của ba vectơ a ,
b, c để
a) Bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng.
b) Bốn điểm O, A, B, C không đồng phẳng.
(!)
a) Nếu bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng thì sẽ tồn tại mp (P) chứa cả bốn điểm O, A,
B, C. Theo cách dựng, giá của các vectơ a , b, c theo thứ tự sẽ song song hoặc trùng với
các đường thẳng OA, OB, OC. Do đó giá của các vectơ a , b, c sẽ song song hoặc chứa
trong mặt phẳng (P).
Như vậy nếu giá của các vectơ a , b, c cùng song song hoặc chứa trong một mặt phẳng
thì bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng.
c

b

b
O

B
c

a

P

C
A

a

b) Nếu bốn điểm O, A, B, C không đồng phẳng thì tồn tại mặt phẳng (P) chứa O, A,
B mà không chứa điểm C. Khi đó OC là đường thẳng cắt mặt phẳng (P) tại O.
Theo cách dựng, giá của các vectơ a , b, c theo thứ tự sẽ song song hoặc trùng với các
đường thẳng OA, OB, OC. Do đó giá của hai vectơ a , b sẽ song song hoặc chứa trong
mặt phẳng (P) và giá của vectơ c cắt mặt phẳng (P).
Trang 5


Như vậy nếu hai trong ba vectơ a , b, c có giá cùng song song hoặc chứa trong một
mặt phẳng, còn vectơ còn lại có giá cắt mặt phẳng đó thì bốn điểm O, A, B, C không
đồng phẳng.
b
C
c

c
b

O

B
a
A

P
a

(?) Ba vectơ a , b, c trong TH1 được gọi là ba vectơ đồng phẳng. Theo em, ba vectơ đồng
phẳng thỏa mãn điều kiện gì?
(!) Giá của ba vectơ đó cùng song song với một mặt phẳng.
Hoạt động 2: ĐN khái niệm
(?) Phát biểu theo ý hiểu của em về khái niệm hai vectơ đồng phẳng.
(!) HS phát biểu ĐN theo ý hiểu của mình, GV chính xác hóa ĐN
Trong hoạt động trên, thông qua phiếu học tập và tổ chức cho HS hợp tác giữa
các thành viên trong theo nhóm học tập, HS đã xét đầy đủ các khả năng xảy ra đối với ba
vectơ trong không gian. Từ đó hình thành khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ.
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm bằng nhận dạng và thể hiện
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy chỉ ra một vài bộ ba vectơ
khác vectơ không nhận điểm đầu và điểm cuối là đỉnh hình lập phương đã cho thỏa mãn:
D

a) Ba vectơ tìm được là đồng phẳng
A

C

B

b) Ba vectơ tìm được là không đồng phẳng
(!) Các bộ ba vectơ đồng phẳng:
AB, AD, AC;

D'

AD, BC ', DD ';

C'

AB ', D 'C, AA';
A'

AB, D 'C ', DC;

AB,CD, DB '
Trang 6

B'


Các bộ ba vectơ không đồng phẳng:
AB, AD, AA';
AB, AD, AC ';
DB',DC ', A'B
Trong hoạt động củng cố, GV cần định hướng để HS nhận thấy được rằng nếu hai
trong số ba vectơ cùng phương với nhau thì chúng luôn đồng phẳng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

A

Ba vectơ BC , MN , AD có đồng phẳng hay không?
P

Hướng dẫn:
Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
Dễ thấy tứ giácMPNQ là hình bình hành.

M

C

B

N

Q

D

Vì BC , AD là các vectơ có giá song song với mp(MPNQ), M là vectơ có giá nằm trên
N
mp(MPNQ) nên ba vectơ BC , MN , AD đồng phẳng.
1.2.

Dạy học khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (mặt
phẳng)

Trong mặt phẳng, HS đã biết đến khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường

thẳng. Do đó GV có thể lựa chọn khái niệm này làm điểm xuất phát để tiếp cận khái niệm
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian theo con đường suy
diễn.
Hoạt động 1. Tiếp cận định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một
điểm đến mặt phẳng.
Tạo tình huống có vấn đề:
Bài toán:
1. Trong không gian cho điểm O và đường thẳng a. M là điểm di chuyển trên
đường thẳng a. Xác định vị trí của M trên đường thẳng a sao cho đoạn thẳng
OM có độ dài nhỏ nhất?
2. Trong không gian cho điểm O và mặt phẳng (P). M là điểm di chuyển trên mặt
phẳng (P). Xác định vị trí của M trên mặt phẳng (P) sao cho đoạn thẳng OM có
độ dài nhỏ nhất?
Trang 7


GV và HS hợp tác giải quyết vấn đề thông qua hệ thống câu hỏi của thầy và câu
trả lời tương ứng của trò.
Với ý 1:
(

Các em đã gặp bài toán tương tự trong mặt phẳng chưa? Cách giải quyết bài toán đó

như thế nào?
(!) Bài toán tương tự trong mặt phẳng là: “Trong mặt phẳng cho điểm O và đường thẳng
a. M là điểm di chuyển trên đường thẳng a. Xác định vị trí của M trên đường thẳng a sao
cho đoạn thẳng OM có độ dài nhỏ nhất?”.
Vị trí điểm M trên đường thẳng a thỏa mãn điều kiện bài toán là M trùng với hình chiếu
vuông góc H của O lên đường thẳng a.
O

a
M
H

(?) Cách giải quyết trên có thể áp dụng cho bài toán này hay không? Vì sao?
(!) Có thể áp dụng vì: nếu gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng a và đi qua điểm O thì
bài toán nêu trên được qui về bài toán trong phẳng.
(

Vậy vị trí điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán được xác định ra sao?

(!) Dựng hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng a
B1. Xác định mặt phẳng (α) qua O và vuông góc với đường thẳng a. Mặt phẳng này xác
định duy nhất.
B2. Xác định giao điểm H của mặt phẳng (α) và đường thẳng a. Khi đó H là hình chiếu
vuông góc của O lên đường thẳng a.
Với ý 2:
(

Theo em cách giải quyết ý 2 của bài toán trên có tương tự như cách ta đã làm ở ý 1

hay không? Vì sao?
( Tương tự ý 1, khi M trùng với hình chiếu vuông góc K của O lên mặt phẳng (P) thì độ
dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất. Thật vậy:
Vì OK vuông góc với mặt phẳng (P) nên OK vuông góc với mọi đường thẳng
Trang 8


trong mặt phẳng (P). Do đó OK⊥MK với mọi điểm M nằm trên (P).Trong tam giác OMK vuông tại K: OM≥OK (Dấu “=” xảy ra khi M≡K).

a
O

K
M
P

(

Theo em vị trí điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán được xác định như thế nào?

(!) Dựng hình chiếu vuông góc K của O lên mp (P)
B1. Từ O dựng đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
B2. Xác định giao điểm K của a và (P). Khi đó K là hình chiếu vuông góc của O lên (P).
Hoạt động 2. Định nghĩa khái niệm
(

Trong bài toán trên, độ dài đoạn OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường

thẳng a; độ dài đoạn OK được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P). Hãy phát
biểu theo ý hiểu của em về ĐN khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ĐN
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng?
(!) Phát biểu ĐN
(

Chính xác hóa ĐN, kí hiệu và yêu cầu HS ghi lại.

(

Từ kết quả bài toán trên hãy so sánh khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

(hay mặt phẳng) với khoảng cách từ điểm đó đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng
(hay mặt phẳng)?
( Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (hay mặt phẳng) là nhỏ nhất so với
khoảng cách từ điểm đó đến điểm bất kì thuộc đường thẳng (hay mặt phẳng).
Hoạt động 3. Củng cố khái niệm bằng hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm

Trang 9


Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA vuông góc
S

với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính
a) Khoảng cách từ C đến SB.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

K

Lời giải mong đợi

D

C

a)
Ta có:

A



BC ⊥ AB

B
⇒ BC ⊥ SB

BC ⊥ SA

Suy ra ∆SBC vuông tại B. Khi đó d(C,SB)=CB=a.
b) Từ a suy ra BC⊥(SAB). Do đó (SAB) vuông góc với (SBC) theo giao tuyến SB. Trong mp (SAB) kẻ đường thẳng vuông góc với
SB cắt SB tại K.

Khi đó d(A, (SBC))=AK
Do tam giác SAB vuông cân tại A có AK là đường cao nên AK = 1 SB
2=

a 2
2

Như vây trong tình huống DH trên, tôi đã chọn điểm xuất phát là mối liên hệ giữa
khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng và khái niệm
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. Hai khái niệm này
được hiểu hoàn toàn tương tự do điều kiện xác định mặt phẳng. Cách làm này hiệu quả
đối với cả đối tượng HS có học lực trung bình.
1.3.

DH khái niệm đường vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau

Hoạt động 1. Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến
a

thiết
P

Tạo tình huống có vấn đề:
Bài toán: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi
(P), (Q) là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai Q đường
thẳng a, b.
(1) Có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng a và
b? Trang 10

b


(2) Có bao nhiêu đường thẳng cắt a và vuông góc với cả a và b? Tập hợp các đường
thẳng đó?
(3) Có bao nhiêu đường thẳng cắt b và vuông góc với cả a và b? Tập hợp các đường
thẳng đó?
(4) Có bao nhiêu đường thẳng cắt và vuông góc với cả a và b?
GV yêu cầu HS hoạt động theo nhóm giải quyết nhiệm vụ nêu trong bài toán trên
Câu trả lời mong đợi:
(1) Có vô số đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng a và b. Các đường thẳng này
cùng vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

a
P

b

Q

a
A

(2) Có vô số đường thẳng cắt a và vuông góc với cả
hai đường thẳng a và b. Tập hợp các đường thẳng
này là mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với hai

P

mặt phẳng (P) và (Q).

b
α

B

β

Q
a
P

b
Q

Trang 11

(3) Có vô số đường thẳng cắt b và vuông góc với cả hai đường thẳng a và b. Tập hợp các
đường thẳng này là mặt phẳng (β) chứa b và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

a
P

b
Q

(4) Do (P), (Q) tồn tại duy nhất nên hai mặt phẳng (α) và (β) cũng tồn tại duy nhất. Vì
vậy có duy nhất một đường thẳng ∆ cắt và vuông góc với cả a và b. Đường thẳng này
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).
Hoạt động 2: Định nghĩa khái niệm
(

Vậy theo em có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau

a và b?
(!) Có vô số.
(

Theo em có bao nhiêu đường thẳng vừa vuông góc và vừa cắt cả hai đường thẳng

chéo nhau a và b?
(!) Có duy nhất đường thẳng ∆.
(

Đường thẳng ∆ trên được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.

Hãy phát biểu theo ý hiểu của em về ĐN đường vuông góc chung của hai đường thẳng

chéo nhau?
(!) Nêu ĐN
GV chính xác hóa ĐN và nêu ĐN đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
Hoạt động 3. Củng cố khái niệm
Trang 12


Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm đường vuông góc chung của các cặp
đường thẳng
D

a) AB và A’D’

C
I

A

b) AA’ và BD

B

Câu trả lời mong đợi

a) Dễ thấy AB và A’D’ cùng cắt và vuông góc
AA’. Vì vậy đường thẳng AA’ là đường vuông

D'
A'

C'
B'

với
góc

chung của hai đường thẳng AB và A’D’.
b)

Gọi I là tâm hình vuông ABCD. Khi đó AI⊥BD.

Do AA’⊥(ABCD) nên AA’⊥AI.

Vậy đường thẳng AI chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA’ và BD.
Sau khi thực hiện ví dụ trên, để khắc sâu ĐN về khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau, thông qua hệ thống câu hỏi vấn đáp GV giúp HS nhận ra tính chất và
các PP tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong SGK cơ bản, mục này
được đưa vào sau phần “Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau”. Tuy nhiên, như đã nêu trên, để khắc sâu ĐN về khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau ta có thể đưa nội dung này vào phần củng cố ĐN.
(?) So sánh khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b với khoảng cách giữa hai
điểm tùy ý nằm trên hai đường thẳng này?
(!) Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là nhỏ nhất so với khoảng cách giữa hai
điểm tùy ý nằm trên hai đường thẳng này. Thật vậy:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng
(P) và (Q). Mặt khác mọi điểm M thuộc a đều nằm trong mặt phẳng (P) và mọi điểm N
thuộc b đều nằm trong mặt phẳng (Q). Vì vậy MN ≥ AB.
(?) Theo em, ngoài cách tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta còn cách nào khác

không?

Trang 13


(

Độ dài đoạn vuông góc chung chính là khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt

phẳng (Q) chứa b và song song với nó. Đây cũng chính là khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng a, b.
GV chính xác hóa câu trả lời đồng thời chú ý HS cần linh hoạt trong quá trình giải toán:
Đôi khi có những bài toán mà việc xác định mặt phẳng (P) hoặc (Q) gặp khó khăn, trong
khi đó có thể xác định một mặt phẳng (R) song song với cả hai đường thẳng a và b dễ
dàng, khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được tính theo PP sau:
d ( a , b ) = d ( a , ( R ) ) + d ( b , ( R trong trường hợp a, b nằm khác phía với (R).

) ) d ( a, b ) = d ( a, ( R ) ) −d ( b,

trong trường hợp a, b nằm cùng phía với (R).

( R) )

B

b

A

a

A
a

a'
K
R

H

H
a'

b'

K
b'

R

B

b

d(a,b)=AH+BK

d(a,b)=|AH-BK|

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và tam giác
SAB đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng

S

vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là hai
điểm nằm trên các đoạn thẳng SA, AC thỏa

I

P

A

Trang 14

D


H

K

M
B

C


mãn

AI

AK
=
SI CK = k (k > 0) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và IK.

Hướng dẫn
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và IK chính là khoảng cách giữa
đường thẳng AB và mặt phẳng chứa IK và song song với AB. Tuy nhiên, nếu tư duy một
chút ta có thể nghĩ đến một phương pháp giải bài toán này nhanh hơn như sau:
Nhận thấy rằng hai đường thẳng AB và IK cùng song song với mặt phẳng (SCD) và nằm
về cùng một phía đối với mặt phẳng này.
Do đó: d ( AB, IK )
=

d ( AB, ( SCD

))

 ( IK,( SCD )
)
d

.

Mặt khác: đường thẳng AK cắt (SCD) tại C. Từ đó suy ra

d ( K,( SC )
D
d)
( A,( SCD )
Như vậy d

AB).

= CK

1 ⇔ k
+1

CA

)

d ( K ,( SCD) )
=

k d ( A,( SCD) )
= k+1 =

)


A
B, IK

1 d ( A,( SCD) )

k1

k
d(
k +1 H

, ( SCD ) ) (với H là trung điểm của

Với mô hình quen thuộc, HS dễ dàng xác định được khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SCD) chính là độ dài đường cao HP của tam giác SHM vuông tại H (ở đó M là
trung điểm của CD)
2. Phát huy tính tích cực của học sinh khi DH các định lý trong chương Vectơ trong
không gian – Quan hệ vuông góc
2.1. Dạy học ĐL về điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Hoạt động 1: Hình thành ĐL theo con đường suy diễn
Hình thức: thầy và trò vấn đáp
Tạo tình huống có vấn đề :
(

Hãy nhắc lại điều kiện để hai vectơ cùng phương trong mặt phẳng?

(

)

( Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b b ≠ 0 cùng phương là có một số k
để
(?) Như vậy hai vectơ a , b cùng phương liên hệ với nhau bởi một hệ thức a = k.b .

a=
kb


Trang 15

Các em đã biết, khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian tương tự
như khái niệm về hai vectơ cùng phương trong mặt phẳng. Liệu có một hệ thức vectơ nào
tương tự liên hệ giữa ba vectơ đồng phẳng trong không gian?
(!)…
(?) Nếu chúng ta có ba vectơ a , b, c đồng phẳng (giả sử hai vectơ a , b không cùng
phương) thì theo ĐN về ba vectơ đồng phẳng chúng có đặc điểm gì?
(!) Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
(?) Gọi (P) là mặt phẳng song song với giá của 3 vectơ a , b, c . Trong phần ĐN về ba
vectơ đồng phẳng các em có thể dựng từ một điểm O tùy ý trong mặt phẳng (P) các vectơ
OA = a, OB = b, OC = c . Vận dụng kiến thức về vectơ trong mặt phẳng, hãy cho biết một
hệ thức liên hệ giữa ba vectơ OA, OB, OC ?
(!) Luôn tồn tại duy nhất cặp số m, n không đồng thời bằng 0 để

OC = mOA + nOB

(?) Có nghĩa là nếu ba vectơ a , b, c đồng phẳng thì tồn tại duy nhất cặp số m, n không
đồng thời bằng 0 để c = ma + nb .
Ngược lại, nếu có cặp số m, n không đồng thời bằng 0 thỏa mãn c = ma + nb thì có thể
khẳng định ba vectơ a , b, c đồng phẳng được hay không? Vì sao?
(!) Khẳng định được vì: Giả sử (R) là mặt

B'

phẳng chứa hai vectơ IA = a , IB = b . Trong

C

B

mặt phẳng (R), dựng hình bình hành IA’CB’
thỏa mãn IA ' = mIA, IB ' = nIB . Theo qui

A'

I

tắc hình bình hành ta có: IC = IA ' + IB ' .

A

Do đó IC = mIA + nIB = ma + nb = c . Suy ra c có giá song song hoặc nằm trên mặt
phẳng (R).
Vậy ba vectơ a , b, c đồng phẳng.
Hoạt động 2: Phát biểu ĐL
(?) Hãy phát biểu điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng?
Trang 16


(!) HS phát biểu theo ý hiểu của mình.
GV chính xác hóa ĐL và nhắc lại sơ đồ chứng minh ĐL.
Hoạt động 3. Củng cố ĐL
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AB và CD. Trên các

cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP =

2AD, BQ
3=

2BC . Chứng minh
3

rằng M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu trả lời mong đợi
A

Ta có MN = MA + AD + DN

M

và MN = MB + BC + CN
P

Suy ra

B

2MN = AD+BC⇔MN =

(

)

1
AD+ BC
2
Theo giả thiết AP = 2 AD, BQ 2 BC ta có:
=

3
3
MN 1 3 AP + 3BQ 
=

2 2
2



(

 MN = 3 AM +MP+BM +MQ
4

(

 MN = 3 MP + MQ
= 04

D

Q

N
C

)

) vì AM + BM

Theo ĐL về điều kiện để ba vectơ đồng phẳng ta suy ra các vectơ MN , MP, MQ đồng
phẳng. Do đó bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Thông qua ví dụ trên, HS không chỉ áp dụng ĐL để chứng ba vectơ đồng phẳng
mà thông qua đó, HS có thêm PP chứng minh bốn điểm đồng phẳng (ngoài PP phản
chứng đã biết).
2.2. Dạy học ĐL ba đường vuông góc
Hoạt động 1. Hình thành ĐL bằng con đường suy diễn
Tạo tình huống có vấn đề:
Trang 17


Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P), a không vuông góc với (P). Đường thẳng b
nằm trong mặt phẳng (P). Tìm điều kiện để b vuông góc với a?
(!) HS hợp tác giải quyết vấn đề (hoạt động theo nhóm).
Trước khi học ĐL ba đường thẳng vuông góc, HS đã ĐN về phép chiếu vuông góc
và biết cách xác định hình chiếu vuông góc của một hình lên một mặt phẳng. Trong hoạt
động củng cố khái niệm về phép chiếu vuông góc, GV đưa ra bài tập:
“Trong không gian, cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Hãy xác định hình chiếu của
đường thẳng a lên mặt phẳng (P)? ”
Thông qua kết quả của hoạt động củng cố nêu trên, HS dễ dàng nhận thấy rằng đường
thẳng b vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với mặt phẳng (a,a’). Do
đó nếu b vuông góc với a’ thì b vuông góc với a và ngược lại.
a

a

A

a'

A' a'
b

I

P

P

b

Hoạt động 2: Phát biểu ĐL
(

Hãy phát biểu một mệnh đề về mối liên hệ giữa ba đường thẳng a, a’, b trong bài toán

trên?
(!) HS phát biểu theo ý hiểu của mình.
GV: Chính xác hóa ĐL ba đường vuông góc, nhắc lại PP chứng minh ĐL và yêu cầu HS
về nhà chứng minh lại ĐL coi như bài tập.
Hoạt động 3: Củng cố ĐL bằng hoạt động thể hiện
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD = a

2,

SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
rằng BM vuông góc với SC.

Trang 18

S

A

M

D

I

A
M

B
I

D

B

C

C

Nhận thấy rằng trong hình chữ nhật ABCD ta có BM và AC vuông góc. Khi đó sử
dụng kiến thức đã học: BM vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng
(SAC) là AC và SA, từ đó suy ra BM vuông góc với (SAC) và do đó BM vuông góc với
AC. Tuy nhiên GV mong đợi HS biết vận dụng ĐL ba đường vuông góc do đó có thể yêu

cầu HS sử dụng ĐL ba đường vuông góc để giải ví dụ trên.
Câu trả lời mong đợi
A

M

D

Gọi I là giao điểm của AC và BM.
Dễ thấy hai tam giác AMI và CBI là hai tam giác

I

đồng dạng. Từ đó ta có AI = AM = MI = 1 .
CI BC
BI 2
B

Suy ra AI =

1

1
3 AC, MI = 3 BM .

(

Ta có
AC

Suy ra AI

=
AD
2
=1
2

9

2

)

+ DC = a 2 2 +
a
2
2
2
= a
= 1

AC

2

3

, MI

9

2

BM

C

= 2.
3a
2
=1


a 2 + a2  = a2

26

9



Dễ thấy AI2+MI2=AM2. Suy ra MB⊥AC.
Vì SA⊥(ABCD) nên A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD). Do đó AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy (ABCD).

Trong mặt phẳng (ABCD): MB vuông góc với hình chiếu AC nên MB vuông góc với
đường thẳng SC (Theo ĐL ba đường vuông góc).
Sau khi DH ĐL ba đường vuông góc,GV cần giúp HS nhận thấy đây là một công
cụ hiệu quả đối với bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Để làm tốt điều
Trang 19

này, các thầy cô nên hệ thống lại một lần nữa các PP chứng minh hai đường thẳng vuông
góc trong không gian.
2.3. Dạy học ĐL về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Hoạt động 1. Hình thành ĐL bằng suy đoán
Tạo tình huống có vấn đề:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Tìm điều kiện để hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc
với nhau?
Trò hợp tác phát hiện vấn đề
Sau ĐN hai mặt phẳng vuông góc, GV yêu cầu HS thực hiện ví dụ củng cố sau:
Quan sát các mô hình hình chóp dưới đây và trả lời các câu hỏi:
S

S
A

A

D

C

O
B
B

C
SO⊥(ABCD)

SA⊥(ABC)

(a)

(b)

S

A

D

B
C
SA⊥(ABCD)

(c)
a) Trong mỗi hình vẽ, tìm những mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy của hình
chóp? Giải thích?
b) Các mặt phẳng tìm được có đặc điểm chung gì?
Trang 20


HS hoạt động theo nhóm tìm phương án trả lời:
- GV chia lớp thành 3 theo nhóm học tập, mỗi nhóm thực hiện yêu cầu đối với
một mô hình.
- Sau 5 phút, GV gọi HS bất kì của mỗi nhóm lên trình bày kết quả, các nhóm
còn lại nêu ý kiến nhận xét hoặc câu hỏi (nếu cần).
Câu trả lời mong đợi
+ Trong hình a, có hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy là (SAB) và (SAC).

Góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (SAB) là góc tạo bởi hai đường thẳng AC và SA.
Hơn nữa SA⊥(ABC) nên SA⊥AC, hay SAC = 900 . Theo ĐN hai mặt phẳng vuông góc ta
có (SAB)⊥(ABC).

Lập luận tương tự ta có (SAC)⊥(ABC).

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) có đặc điểm chung là cùng chứa đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng đáy.
+ Trong hình b, hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy là (SAC) và (SBD).
Góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) là góc tạo bởi hai đường thẳng SO
0

. Theo ĐN hai mặt phẳng

và DO. Hơn nữa SO⊥(ABCD) nên SO⊥DO, hay SOD = 90

vuông góc ta có (SAC)⊥(ABCD).

Lập luận tương tự ta có (SBD)⊥(ABCD).

Hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) cùng chứa đường thẳng SO vuông góc với mặt
S

phẳng đáy.
+ Trong hình c, có ba mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy là: (SAB), (SAC), (SAD).
Trong mặt phẳng (ABCD), từ A kẻ đường
A

thẳng d vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt

D

phẳng (SAB) và (ABCD). Khi đó góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (ABCD) là góc giữa SA và đường

B
d

thẳng d. Do SA⊥(ABC) nên SA⊥d,

(SAB)⊥(ABCD) (Theo ĐN hai mặt

từ đó
phẳng
Trang 21

ta có
vuông

C
SA⊥(ABCD)