SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC
NGHIỆM VỀ CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ


Giáo Viên: Nguyễn Ngọc Quang

THÁNG 1 NĂM 2018
Trang 1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích
thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách
chủ động và đạt được mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định
là đặc biệt quan trọng. Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh. Nó giúp người
học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt
được kết quả cao nhất.
Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm
một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi
nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung
và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận
dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn
Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách
tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải
các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“ Hướng

dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm
số”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách
tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ
đó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với
mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc
nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị
hàm số”.
Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9.

Trang 2


V. Phạm vi nghiên cứu: các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện của
tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị
tại điểm x  x0 .
VI. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra thực tiễn.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
VII. Cấu trúc của SKKN
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu

III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
V. Phạm vi nghiên cứu
VI. Phương pháp nghiên cứu
VII. Cấu trúc của SKKN
B. Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
II. Một số dạng toán
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận
II. Đề xuất
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D  D �� và x0 �D
x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a; b  chứa
�
 a; b  �D
�
điểm x0 sao cho: f �
.
�f ( x)  f ( x0 ), x � a; b  \  x0 
Trang 3


Khi đó f  x0  được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a; b  chứa
�

 a; b  �D
�
điểm x0 sao cho: �
.
�f ( x )  f ( x0 ) x � a; b  \  x0 
Khi đó f  x0  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại
điểm x0 .
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D
y

Điểm cực đại

Điểm cực tiểu

Điểm cực tiểu

x

O

Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay
cực trị ) của hàm số.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm
x0 thì f '  x0   0 .
Chú ý :
� Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm
x0 .

� Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
� Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,
hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó :
�f '  x0   0, x � a; x0 
�
Nếu �
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f
'
x

0,
x
�
x
;
b




� 0
0
x
a
x0
b



f '( x)
0
f (a)
f ( x)
f (b)
f ( x0 )
Trang 4


�
�f '  x0   0, x � a; x0 
Nếu �
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
f
'
x

0,
x
�
x
;
b




� 0

0
x
a
x0
b


f '( x)
0
f ( x0 )
f ( x)
f (a)
f (b)
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 ,
f '  x0   0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f ''  x0   0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
Nếu f ''  x0   0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .

Chú ý :
1. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực
trị của đồ thị hàm số f .
�f '( x0 )  0
2. Trong trường hợp f '( x0 )  0 không tồn tại hoặc �
thì định lý 3 không dùng
�f ''( x0 )  0
được.
4. Tịnh tiến đồ thị
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  . Khi đó, với số a  0 ta có:
a x 1
a) Nếu tịnh tiến  C  theo phương của y 

lên trên a đơn vị ta được đồ thị
xb
hàm số y  f  x   a
b) Nếu tịnh tiến  C  theo phương của y  a  2  xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị
hàm số y  f  x   a
c) Nếu tịnh tiến  C  theo phương của a, b, c qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y  f  x  a
d) Nếu tịnh tiến  C  theo phương của a  2, b  1, c  1; qua phải a đơn vị ta được
đồ thị hàm số y  f  x  a 

e) Đồ thị của hàm số y  f  x  a  có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy
rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
f) Đồ thị của hàm số y  f  x  a  có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục
Oy rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
g) Đồ thị của hàm số y  f  x  a  có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của
Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
h) Đồ thị của hàm số y  f  x  a  có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của
Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
5. Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị
a) Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị
nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số y  f ( x ) có 2n  1 điểm cực trị.

Trang 5


b) Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) có n điểm cực trị và phương trình f  x   0 có m
nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số y  f ( x ) có m  n điểm cực trị.

c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f  ax  b   c bằng số điểm cực trị của đồ
thị hàm số y  f ( x).

d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.
II. Một số dạng toán:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f ( x). Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu
giá trị tuyệt đối liên quan đến f ( x).
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi
hàm số y  f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số y  f ( x) có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số
y  f ( x ) có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau:

1. Hàm số y  f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
2. Hàm số y  f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
3. Hàm số y  f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời gải
1. Đồ thị hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số
y  f ( x ) có 5 điểm cực trị
2. Đồ thị hàm số y  f ( x) có 3 điểm cực trị và phương trình f ( x)  0 có 2 nghiệm
đơn nên hàm số y  f ( x ) có 5 điểm cực trị.
3. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có 5 điểm cực trị và phương trình f ( x )  0 có 2 nghiệm
đơn nên hàm số y  f ( x ) có 7 điểm cực trị.

 x  như hình vẽ bên dưới
Câu 3. Cho hàm số y  f ( x) . Đồ thị hàm số y  f �

Trang 6


 x  m  có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g  x   f  x  m  có 7 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g  x   f  x  m  có 5 điểm cực trị.

1. Tìm m để hàm số g  x   f
2.
3.

Ta có BBT của hàm số f  x  :

Lời giải

1. Đồ thị hàm số g  x   f  x  m  có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f ( x) qua Oy được đồ thị hàm số y  f  x  .

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số g  x   f  x  m  .

Ta thấy: Hàm số y  f ( x) có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương � f  x 
có 5 điểm cực trị
� f  x  m  có 5 điểm cực trị với mọi m.

2. Đồ thị hàm số g  x   f  x  m  có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số y  f  x  m  .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f  x  m  nằm bên phải Oy qua Oy được
đồ thị hàm số g  x   f  x  m  .

Từ đó ta thấy: để hàm số g  x   f  x  m  có 7 điểm cực trị thì hàm số
y  f  x  m  phải có 3 cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo
phương của Ox sang phải lớn hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị � 2 �m  1.
Vậy 2 �m  1 .
3. Để hàm số g  x   f  x  m  có 5 điểm cực trị thì hàm số y  f  x  m  phải có 2
cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo phương của Ox (sang phải
hoặc trái) phải thỏa mãn:
1.
 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị ۳�0 m
 0 m  1.
 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị ۣ
Vậy 1 �m  1.
 x  như hình vẽ bên dưới
Câu 4. Cho hàm số y  f ( x) . Đồ thị hàm số y  f �

Trang 7


 x  m  có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g  x   f  x  m  có 5 điểm cực trị.
Tìm m để hàm số g  x   f  x  m  có 3 điểm cực trị.

1. Tìm m để hàm số g  x   f
2.
3.

Ta có BBT của hàm số f  x  :

Lời giải

1. Đồ thị hàm số g  x   f  x  m  có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y  f ( x) qua Oy được đồ thị hàm số y  f  x  .

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số g  x   f  x  m  .

Ta thấy: Hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương � f  x 
có 3 điểm cực trị
� f  x  m  có 3 điểm cực trị với mọi m. Vậy không có giá trị nào của m để hàm
số g  x   f  x  m  có 5 điểm cực trị.

2. Đồ thị hàm số g  x   f  x  m  có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số y  f  x  m  .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f  x  m  nằm bên phải qua Oy được đồ
thị hàm số g  x   f  x  m  .

Từ đó ta thấy: để hàm số g  x   f  x  m  có 5 điểm cực trị thì hàm số
y  f  x  m  phải có 2 cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo
phương của Ox sang phải lớn hơn 0 đơn vị � m  0. Vậy m  0.
3. Để hàm số g  x   f  x  m  có 3 điểm cực trị thì hàm số y  f  x  m  phải có 1
cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x) theo phương của Ox trái nhỏ
 0 m  3.

hơn 3 đơn vị ۣ
Vậy 0 �m  3.
u  x �
.
Dạng 2: Cho đồ thị f '  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f '  x  hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f '  x  với trục
hoành.
u  x �
.
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x)  f �
�
�
+ Dựa vào đồ thị của f '  x  và biểu thức của g '  x  để xét dấu g '  x  .

Trang 8


 x  . Số điểm cực trị
Câu 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y  f �
của hàm số y  f  x  là

A. 2.

B. 3.

C. 4.
D. 5.

Lời giải.
�
Ta thấy đồ thị hàm số f  x  có 4 điểm chung với trục hoành x1; 0; x2 ; x3 nhưng chỉ cắt
thực sự tại hai điểm là 0 và x3 .
Bảng biến thiên

Vậy hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f '  x  có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt
và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
 x  như hình
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f �
2
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  3 .
A. 2.
B. 3.
4.
C.
D. 5.
Lời giải.
2
 x   2 xf �
Ta có g �
 x  3 ;

x0
�
g�
0����

�
 x =
� 2� �
 x  3  0
�f �

theo do thi f ' x 

�
x0
�2
x 3
2
�
�
x 2  3  1  nghiem kep 
�

�
x0
�
x
1
.
�
�
x  �2  nghiem kep 
�

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
 x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng  2; �
Chú ý: Dấu của g �
 1
 x � 2; � � x  0.
 
� x 2  3  1 �����
�f�
 x � 2; � � x 2  4 ��
 x 2  3  0.
theo do thi f ' x

 x   2 xf �
Từ  1 và  2  , suy ra g �
 x 2  3  0 trên khoảng  2; � nên
.
Trang 9

 2
g�
 x  mang dấu


 x  qua nghiệm đổi
Nhận thấy các nghiệm x  �1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ nên g �
 x  tiếp xúc
dấu; các nghiệm x  �2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f �
với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1) nên qua nghiệm không đổi dấu.
 x  như

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên � và có bảng xét dấu của y  f �
sau
2
Hỏi hàm số g  x   f  x  2 x  có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải.
2
 x    2x  2 f �
Ta có g �
 x  2x  ;

2x  2  0
�
g�
0������
�
 x =
� 2
 x  2x  0
�f �

theo BBT f ' x 

D. 4.

x 1
�
�2

x  2 x  2
�
�
x 2  2 x  1 nghiem kep 
�
�
x2  2x  3
�

x 1
�
�
x  1 � 2  nghiem kep
�
�
x  1
�
x3
�

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
 x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng  3; �
Chú ý: Dấu của g �
 1
 x � 3; � � 2 x  2  0.
 
 x � 3; � � x 2  2 x  3 ������ f �
 x 2  2 x   0.

theo BBT f ' x

 2

 x   2x  2 f �
Từ  1 và  2  , suy ra g �
 x2  2 x   0 trên khoảng  3; � nên g � x 
mang dấu  .
 x  qua nghiệm đổi
Nhận thấy các nghiệm x  �1 và x  3 là các nghiệm bội lẻ nên g �
dấu.
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên � và f  0   0, f  1  0, đồng
 x  như hình vẽ bên dưới
thời đồ thị hàm số y  f �

2
Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải.
x  2
�
.
 x  0 � �
Dựa vào đồ thị, ta có f �
x  1  nghiem kep 
�
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Trang 10

D. 4.


�

�
=
2 f����
 x =
 x f  x ; g�
 x
Xét g �

0

�f �
 x  0
�
�f  x   0

Bảng biến thiên của hàm số g  x 

theo BBT f  x 

x  2
�
�
x  1  nghiem kep 

�
.
�
x  a  a  2 
�
�
x  b  b  0
�

Vậy hàm số g  x  có 3 điểm cực trị. Chọn C.
 x  được xác định như sau: Ví dụ chọn x  0 � 1; b 
Chú ý: Dấu của g �

 1
 2
 Theo giả thiết f  0   0.
 0   0 trên khoảng  1; b  .
Từ  1 và  2  , suy ra g �
theo do thi f ' x 
 x  0 �����
�f�
 0   0.

 x  đổi dấu khi qua các nghiệm
Nhận thấy x  2; x  a; x  b là các nghiệm đơn nên g �
 x  không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong
này. Nghiệm x  1 là nghiệm kép nên g �
bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x  1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của
g�
 x .

u  x �
Dạng 3: Cho đồ thị f '  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
� v  x  .
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f '  x  hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f '  x  với trục
hoành.
u  x �
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x )  f �
�
� v  x  .

+ Dựa vào đồ thị của f '  x  và biểu thức của g '  x  để xét dấu g '  x  .
Chú ý: * Nếu trong khoảng  a; b  đồ thị hàm số f '  x  nằm trên đồ thị hàm số v '( x) thì
g '( x)  f '( x)  v '( x)  0, x � a; b  .

* Nếu trong khoảng  a; b  đồ thị hàm số f '  x  nằm dưới đồ thị hàm số v '( x) thì
g '( x)  f '( x)  v '( x)  0, x � a; b  .

Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ
bên dưới

Trang 11


Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  2017   2018 x  2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

Lời giải.
 x   f '  x  2017   2018; g �
 x   0 � f '  x  2017   2018.
Ta có g �
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  suy ra phương trình f '  x  2017   2018 có 1 nghiệm
đơn duy nhất. Suy ra hàm số g  x  có 1 điểm cực trị. Chọn A.
 x  như hình vẽ
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm số y  f �
bên dưới. Hỏi hàm số g  x   f  x   x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x  0.
C. x  2.

B. x  1.
D. Không có điểm cực tiểu.
Lời giải.
 x  f �
 x   1; g �
 x  0 � f �
 x   1.
Ta có g �
 x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
Suy ra số nghiệm của phương trình g �

 x  và đường thẳng y  1.
số f �

x0
�
�

 x   0 � �x  1 .
Dựa vào đồ thị ta suy ra g �
�
x2
�
Lập bảng biến thiên cho hàm g  x  ta thấy g  x  đạt cực tiểu tại x  1. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  �;0  ta thấy đồ thị
 x  nằm phía dưới đường y  1 nên g �
 x  mang dấu .
hàm f �

 x  như hình vẽ
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm số y  f �
bên dưới.

Trang 12


x3
 x 2  x  2 đạt cực đại tại
3
A. x  1 .
B. x  0 .
C. x  1 .
D. x  2 .
Lời giải.
2
2
Ta có g �
 x  f �

 x   x  2 x  1; g �
 x  0 � f �
 x    x  1 .
 x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
Suy ra số nghiệm của phương trình g �
Hàm số g  x   f  x  

 x  và parapol  P  : y   x  1 2 .
số f �

x0
�
x 1.
 x  0 � �
Dựa vào đồ thị ta suy ra g �
�
�
x2
�
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g  x  đạt cực đại tại x  1. Chọn C.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  �;0  ta thấy đồ thị
 x  nằm phía trên đường y   x  1 2 nên g �
 x  mang dấu .
hàm f �

 x  đổi
Nhận thấy các nghiệm x  0; x  1; x  2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g �
dấu.

 x  như hình vẽ
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên �. Đồ thị hàm số y  f �
2
bên dưới. Hàm số g  x   2 f  x   x đạt cực tiểu tại điểm

A. x  1.

B. x  0.

C. x  1.
D. x  2.
Lời giải.
 x  2 f �
 x   2 x; g �
 x  0 � f �
 x    x.
Ta có g �
 x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
Suy ra số nghiệm của phương trình g �
 x  và đường thẳng y   x.
số f �

Trang 13


x  1
�
�
x0
.

 x  0 � �
Dựa vào đồ thị ta suy ra g �
�
x 1
�
x2
�
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g  x  đạt cực tiểu tại x  0. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  �; 1 ta thấy đồ thị
 x  nằm phía trên đường y   x nên g �
 x  mang dấu .
hàm f �
u  x �
.
Dạng 4: Cho biểu thức f '  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�
Phương pháp:
u  x �
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x)  f �
�
� g '  x   u '( x). f '  u ( x)   .
+Từ biểu thức của f '  x  và u '( x) hãy xét dấu g '  x  rồi suy ra số điểm cực trị của
f�
u  x �
.
�
�

 x    x  1  3  x  với mọi x ��. Hàm số
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
y  f  x  đạt cực đại tại
A. x  0.
B. x  1.
C. x  2.
D. x  3.
Lời giải.
x 1
�
 x   0 �  x  1  3  x   0 � � .
Ta có f �
x3
�
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  đạt cực đại tại x  3. Chọn D.
2
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
 x    x  1  x  1  x  2   1 với mọi

x ��. Hàm số g  x   f  x   x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải.
Trang 14

D. 4.

Ta có g �
 x  f �
 x   1   x  1  x  1

2

 x  2 ;

x  1
�
�
g�
 x   0 �  x  1  x  1  x  2   0 � �x  1 . Ta thấy x  1 và x  2 là các nghiệm
�
x2
�
đơn còn x  1 là nghiệm kép ��
� hàm số g  x  có 2 điểm cực trị. Chọn B.
2

 x    x 2  1  x  4  với mọi x ��. Hàm
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
số g  x   f  3  x  có bao nhiêu điểm cực đại ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải.

2
�
4  3  x �
 x   f �
 3  x  �
 3  x   1�
Ta có g �
�  2  x   4  x   x  1 ;
�
�� 
x  1
�
�
g�
 x   0 �  2  x   4  x   x  1  0 � �x  2 .
�
x4
�
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x  đạt cực đại tại x  2. Chọn B.
2
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
 x   x 2  x  1  x  4  với mọi x ��. Hàm
2
số g  x   f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.

D. 5.

Ta có g �
 x   2 xf �
 x2   2 x5  x2  1  x 2  4 ;
2

�
x0
�
g�
.
 x   0 � 2 x5  x 2  1  x 2  4   0 � �x  �1
�
2
2
 x  2  x  2  0
�
Ta thấy x  �1 và x  0 là các nghiệm bội lẻ ��
� hàm số g  x  có 3 điểm cực trị.
Chọn B.
2

 x   x 2  2 x với mọi x ��. Hàm số
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
g  x   f  x 2  8 x  có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.

2
;
 x  2  x  4 f �
Ta có g �
 x2  8x   2  x  4 �
�x 2  2 x   2  x 2  2 x  �
�
x4
�
x40
�
�
x0
2
�2
2
2
�
�
g�
.
 x   0 � 2  x  4  � x  2 x   2  x  2 x  � 0 � �x  2 x  0 � �
�
x2
�
�
x2  2x  2
�
x  1� 3
�

Ta thấy x  1 � 3, x  0, x  2 và x  4 đều là các nghiệm đơn ��
� hàm số g  x  có
5 điểm cực trị. Chọn C.
Trang 15


u  x �
Dạng 5: Cho biểu thức f '  x, m  . Tìm m để hàm số f �
�
�có n điểm cực trị

 x   x 2  x  1  x 2  2mx  5 với mọi
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
x ��. Có bao nhiêu số nguyên m  10 để hàm số g  x   f  x  có 5 điểm cực trị ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Lời giải.
Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f  x  nên yêu cầu bài
toán � f  x  có 2 điểm cực trị dương.  *

�
�
x2  0
x0
�
�
��
x  1

.
 x   0 � �x  1  0
Xét f �
�
�
x 2  2mx  5  0
x 2  2mx  5  0  1
�
�
�
�
 m2  5  0
�
Do đó  * �  1 có hai nghiệm dương phân biệt � �S  2m  0 � m   5
�P  5  0
�
m 10
���
� m � 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 . Chọn B.
m��

2
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
 x    x  1  x 2  m2  3m  4 

3

 x  3

5

với mọi x ��. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g  x   f  x  có 3 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
x 1  0
�
�
x  1
�
�2
.
 x   0 � �x  m 2  3m  4  0 � �x  3
Xét f �
�
�
x30
x 2  m 2  3m  4  0  1
�
�
Yêu cầu bài toán �  1 có hai nghiệm trái dấu � m 2  3m  4  0 � 1  m  4
m��
���
� m � 0;1;2;3 . Chọn B.

4
5
3

Câu 3. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f �
 x    x  1  x  m   x  3 với mọi x ��.

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  5;5 để hàm số g  x   f  x  có 3 điểm cực
trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
�
x  1  nghiem boi 4 
x 1  0
�
�
xm0� �
x  m  nghiem boi 5  .
 x  0 � �
Xét f �
�
�
�
x30
x  3  nghiem boi 3
�
�
 Nếu m  1 thì hàm số f  x  có hai điểm cực trị âm ( x  3; x  1 ). Khi đó, hàm số
f  x  chỉ có 1 cực trị là x  0. Do đó, m  1 không thỏa yêu cầu đề bài.

 Nếu m  3 thì hàm số f  x  không có cực trị. Khi đó, hàm số f  x  chỉ có 1 cực trị

là x  0. Do đó, m  3 không thỏa yêu cầu đề bài.
m �1
�
 Khi �
thì hàm số f  x  có hai điểm cực trị là x  m và x  3  0.
m �3
�
Trang 16


Để hàm số f  x  có 3 điểm cực trị thì hàm số f  x  phải có hai điểm cực trị trái dấu
m�Z
� m  0 ����
� m � 1; 2; 3; 4; 5 . Chọn C.
m� 5;5

 x   x 2  x  1  x 2  2mx  5 với mọi
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
x ��. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g  x   f  x  có đúng 1 điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải.
�
�
x2  0
x0
�
�

��
x  1
.
 x   0 � �x  1  0
Xét f �
�
�
x 2  2mx  5  0
x 2  2mx  5  0  1
�
�
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
Trường hợp 1. Phương trình  1
có hai nghiệm âm phân biệt
�
�
 m2  5  0
�
� �S  2m  0 � m  5.
�P  5  0
�

Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép � �
 m 2  5 �0
m��
�  5 �m � 5 ���
� m � 2; 1 . Chọn A.


 x    x  1
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �

2

x

2

 2 x  với mọi x ��. Có

2
bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x   f  x  8 x  m  có 5
điểm cực trị ?
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.
Lời giải
�
x  1  nghiem boi 2 
�
2
.
 x   0 �  x  1  x 2  2 x   0 � �x  0
Xét f �
�
x2
�

 x   2  x  4 f �
 x2  8x  m  ;
Ta có g �

x4
�
�2
x  8x  m  1
g�
 x   0 � 2  x  4 f �
 x2  8x  m   0 � �
�
x2  8x  m  0
�
�
x2  8x  m  2
�

 3  nghiem boi 2 
. Yêu
 1
 2
 x   0 có 5 nghiệm bội lẻ � mỗi phương trình  1 ,  2  đều có hai
cầu bài toán � g �
nghiệm phân biệt khác 4. (do (1), (2), (3) không có nghiệm chung)  *
Trang 17


Xét đồ thị  C  của hàm số y  x 2  8 x và hai đường thẳng d1 : y  m, d 2 : y  m  2
(như hình vẽ).

Khi đó  * � d1 , d 2 cắt  C  tại bốn điểm phân biệt � m  16 � m  16.
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. Chọn A.
u  x �
.
Dạng 6: Cho đồ thị f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị như
hình bên. Đồ thị của hàm số g  x   �
�f  x  �
� có bao nhiêu điểm
cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị, ta có
�
x  a  0  a  1
x0
�
�
�
.
f  x  0 � �
x  1 nghiem kep  và f �
 x   0 � �x  1
�
�

x  b  1  b  3
x3
�
�
2

�
x  a  0  a  1
�
x 1
�
�f �
 x   0 �x  b  1  b  3
�
�
�
g
x

2
f
x
.
f
x
;
g
x

0

�
��
.
   
 
Ta có  
�
f
x

0
x

0
�


�
�
x  1  nghiem boi 2 
�
�
x3
�
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g  x  có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C.

Trang 18

Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R vàcó đồ thị
như hình vẽ bên. Hàm số g  x   f �
�f  x  �
�có bao nhiêu điểm
cực trị ?
A. 3.
C. 5.

B. 4.
D. 6.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đạt cực trị tại x  0, x  2.
�
x  0  nghiem don 
.
 x  0 � �
Suy ra f �
x

2
nghiem
don


�
�f �
 x  0
�
�

�
�
f
x
�
;
g
x

0
�
.
�




Ta có g  x   f  x  . f �
�
�
�
f
�
f
x
�

0



�
�
�
�
�
x  0  nghiem don 
.
 x  0 � �
 f�

x  2  nghiem don 
�
�f  x   0  1
f�
�
f
x
�

0
�
.


�
�
�
�f  x   2  2 

Dựa vào đồ thị suy ra:

 Phương trình  1 có hai nghiệm x  0 (nghiệm kép) và x  a  a  2  .
 Phương trình  2  có một nghiệm x  b  b  a  .
 x   0 có 4 nghiệm bội lẻ là x  0, x  2, x  a và x  b. Suy ra
Vậy phương trình g �
hàm số g  x   f �
�f  x  �
�có 4 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên � và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm
số điểm cực trị của hàm số g  x   2

A. 2.

f  x

3

f  x

.

B. 3.

C. 4.
D. 5.
Lời giải.
f  x
f  x
2 .ln 2  3 .ln 3�
;
 x  f �

 x �
Ta có g �
�
�
�f �
 x  0
�f �
 x  0
 1
�f �
 x  0
� f  x
�
g�
��
 x   0 � �f  x
ln 2 � �f  x   log ln 2  1  2  .
�3 �
f x

2 .ln 2  3   .ln 3  0
3
�
��
�
�
ln 3
ln 3
�
2

�2 �
�
Dựa vào đồ thị ta thấy:
  1 có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị).
1, �
x �
 f  x  �
phương trình  2  vô nghiệm.
Trang 19


 
 
Vậy hàm số g  x   2  3
có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ
thị hàm số g  x   f  x   4 có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
f x

A. 2.

f x

B. 3.

C. 4.
D. 5.
Lời giải.
Đồ thị hàm số g  x   f  x   4 có được bằng cách
 Tịnh tiến đề thị hàm số f  x  lên trên 4 đơn vị ta được f  x   4.

 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f  x   4 qua Ox, ta được
f  x  4 .

Dựa vào đồ thị hàm số g  x   f  x   4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là
 1;0  ,  0;4  ,  2;0 
��
� tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0  4  0  4. Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị
hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h  x   2 f  x   3 có bao
nhiêu điểm cực trị ?
A. 4.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Lời giải.
� g�
 x  2 f �
 x ;
Xét g  x   2 f  x   3 ��
x  1
�
�
x0
theo do thi f  x 
g�

. Ta tính được
 x  0 � f �
 x   0 ������ �
�
x  a  1  a  2
�
x2
�
Bảng biến thiên của hàm số g  x 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra
Trang 20

�g  1  1
�
�g  0   7
.
�
g
a

1


�
�g 2  1
� 


 Đồ thị hàm số g  x  có 4 điểm cực trị.

 Đồ thị hàm số g  x  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h  x   2 f  x   3 có 7 điểm cực trị. Chọn C.
u  x �
.
Dạng 7: Cho bảng biến thiên của hàm f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm f �
�
�
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên như sau

Hàm số g  x   3 f  x   1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
A. x  1 .
B. x  1 .
C. x  �1 .
Lời giải.
 x   3 f ' x  .
Ta có g �

D. x  0 .

Do đó điểm cực tiểu của hàm số g  x  trùng với điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
Vậy điểm cực tiểu của hàm số g  x  là x  �1. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

2
Hỏi hàm số g  x   f  x  1 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
2

 x   2 x. f �
Lời giải. Ta có g �
 x  1 ;

x0
�
0���
g�
x
=

�
�
 
� 
2
�
f
x

1

�

theo BBT

D. 3.

x0
�

�
x  0  nghiem don 
�2
x
1
2
�
�
x  0  nghiem kep 
2
�
�
x

1

1
�

x

0  nghiem boi 3

.
 x   0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x  0 nên hàm số g  x  có 1 điểm cực trị.
Vậy g �
Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  3  x  .

A. 2.
B. 3.
C. 5.
Lời giải.
Trang 21

D. 6.


 x   f �
 3  x .
Ta có g �
3 x  0
x3
�
�
theo BBT
��
�� .
 x  0 � f �
 3  x   0 ����
 g�
3 x  2
x 1
�
�
 x  không xác định � 3  x  1 � x  2.
 g�
Bảng biến thiên

Vậy hàm số g  x   f  3  x  có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số g  x   f  x  2017   2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải.
Đồ thị hàm số u  x   f  x  2017   2018 có được từ đồ thị f  x  bằng cách tịnh tiến đồ
thị f  x  sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của u  x 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g  x   u  x  có 3 điểm cực trị. Chọn B.
u  x �
Dạng 8: Cho biểu thức f  x, m  . Tìm m để hàm số f �
�
�có n điểm cực trị
3
2
Câu 1. Cho hàm số f  x   x   2m  1 x   2  m  x  2 với m là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị của m để hàm số g  x   f  x  có 5 điểm cực trị.
5
5
5
5
A. 2  m  .
B.   m  2.
C.  m  2.
D.  m �2.

4
4
4
4
Lời giải.
2
 x   3x  2  2m  1 x  2  m.
Ta có f �

Hàm số g  x   f  x  có 5 điểm cực trị � hàm số f  x  có hai cực trị dương
Trang 22


� f�
 x  0

có

hai

nghiệm

dương

phân

biệt

�
2

 2m  1  3  2  m   0
�
0
�
�
5
�
�2  2m  1
� �S  0 � �
0
�  m  2.
4
�P  0
� 3
�
�2  m
0
�
�3
Chọn C.
3
2
Câu 2. Cho hàm số f  x   mx  3mx   3m  2  x  2  m với m là tham số thực. Có

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m � 10;10 để hàm số g  x   f  x  có 5 điểm
cực trị ?
A. 7.
B. 9.
C. 10.
D. 11.

Lời giải.
Để g  x   f  x  có 5 điểm cực trị � f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt.  *
x 1
�
2
Xét f  x   0 �  x  1  mx  2mx  m  2   0 � � 2
mx  2mx  m  2  0
�
 * � phương trình  1 có hai nghiệm phân
Do đó

 1

.

biệt

khác

�m �0
�
1� �
�
 m2  m  m  2  0
�f  1  2 �0
�

m��
� m  0 ����
� m � 1; 2; 3; ...; 10 . Chọn C.

m� 10;10

3
2
Câu 3. Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị nhận hai điểm A  0;3 và
B  2; 1 làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số

g  x   ax 2 x  bx 2  c x  d .

C. 9.
Lời giải.
2
2
Ta có g  x   ax x  bx  c x  d  f  x  .
A. 5.

B. 7.

D. 11.

Hàm số f  x  có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực
 1
trị dương ��
� hàm số f  x  có 3 điểm cực trị.

Đồ thị hàm số f  x  có điểm cực trị A  0;3 �Oy và điểm cực trị B  2; 1 thuộc góc
phần tư thứ IV nên đồ thị f  x  cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2
điểm có hoành độ dương) ��
� đồ thị hàm số f  x  cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt.  2 

Từ  1 và  2  suy ra đồ thị hàm số g  x   f  x  có 7 điểm cực trị. Chọn B.

Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị f  x  rồi suy ra đồ thị f  x  , tiếp tục suy ra đồ thị f  x  .
3
2
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x  3x  3  m có ba điểm cực trị.
A. m  3 hoặc m  1.
B. m �1 hoặc m �3.
C. 1 �m �3.
D. m �3 hoặc m �1.
Lời giải
3
2
Xét hàm số f ( x)  x  3x  3  m.

Trang 23


x0
�
2
.
Ta có: f '( x)  3 x  6 x; f '( x)  0 � �
x


2
�

3
2
Do số điểm cực trị của hàm số y  x  3x  3  m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số
3
2
f ( x)  x 3  3x 2  3  m và số nghiệm của phương trình f ( x)  x  3 x  3  m  0  *
(không kể nghiệm bội chẵn). Khi đó yêu cầu bài toán trở thành (*) có một nghiệm (không
kể nghiệm 0 và – 2 là các nghiệm bội chẵn và cũng là các điểm cực trị của hàm số f ( x)
).
m  1 �0
m �1
�
�
��
Dựa vào bảng biến thiên ta có: �
. Chọn D.
m  3 �0
m �3
�
�

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m � 9;9 để hàm số

y  mx 3  3mx 2   3m  2  x  2  m có 5 điểm cực trị?
A. 11.
B. 10.
C. 7.
D. 9.
Lời giải
3

2
Xét hàm số f ( x)  mx  3mx   3m  2  x  2  m .
Do hàm số y  f ( x) có tối đa 2 điểm cực trị và phương trình f ( x)  0 có tối đa 3
3
2
nghiệm nên để hàm số y  mx  3mx   3m  2  x  2  m có 5 điểm cực trị thì phương
trình f ( x)  0 có 3 nghiệm phân biệt ( vì khi f ( x)  0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số
y  f ( x) cũng có 2 điểm cực trị).
Ta có:
f ( x)  0 � mx 3  3mx 2   3m  2  x  2  m  0
�  x  1  mx 2  2mx  m  2   0

x 1
�
��
g ( x)  mx 2  2mx  m  2  *
�
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
m �0
�
m0
�
m ��
�
�
�
2m �0    � 1
m  1;2;3;4;5;6;7;8;9 .
� ' ���
m

�

9;9
m
�


�g (1)  4m  2 �0
�
� 2
�
Chọn D.
Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x  x0 .
Bổ đề: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và x0 �D. Giả sử
2 n 1
f '( x)   x  x0 
.h( x) với h  x0  �0, n �N . Đặt g ( x)   x  x0  .h( x). Khi đó:
a) Nếu g '( x0 )  0 thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0.
b) Nếu g '( x0 )  0 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
Trang 24


Chứng minh
a) Vì g '( x) liên tục trên D và g '( x0 )  0 nên  a; b  �D sao cho x0 � a; b  và
g '( x)  0, x � a; b  .
Vì h( x0 ) �0 nên g ( x)  0 có nghiệm đơn x  x0 � g ( x) đổi dấu khi x qua x0. Ta có
BBT:

Suy ra g ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0. Vì f '( x)   x  x0  .g ( x) nên
dấu của f '( x) cùng dấu với dấu của g ( x) � dpcm

b) Chứng minh tương tự.
Áp dụng 2 bổ đề trên vào bài toán cực trị ta có:
KQ1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và x0 �D. Giả sử
2 n 1
f '( x)   x  x0 
.h( x) với h  x0  �0, n �N . Đặt g ( x)   x  x0  .h( x). Khi đó:
2n

a) g '( x0 )  0 � hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b) g '( x0 )  0 � hàm số đạt cực đại tại x0.
Chứng minh

a) Ta có: từ giả thiết  g '( x0 ) 0.
 Nếu g '( x0 )  0 thì theo bổ đề 1 f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
� x  x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
 Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh g '( x0 )  0 . Thật vậy, giả sử
g '( x0 )  0 khi đó, theo bổ đề 1 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
� x  x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) � trái giả thiết. Vậy g '( x0 )  0 .
b) Chứng minh tương tự.
2n
KQ2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên D và x0 �D. Nếu f '( x)   x  x0  .h( x)
thì điều kiện cần để f(x) đạt cực trị tại x = x0 là h(x0) = 0.
Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên m � 2018;2019  để hàm số
y  x 6  2mx5   m  1 x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0.
A. 2018
B. 2019
C. 3016
D. 3015
Lời giải
5

4
3
3
3
y '  6 x  10mx  4  m  1 x  x  6 x  10mx  4m  4 
Đặt h( x)  6 x3  10mx  4m  4

g ( x )  x  6 x3  10mx  4m  4  � g '( x )  24 x 3  20mx 2  4m  4

TH1: Xét h( x)  0 có nghiệm x  0 � m  1.
5
4
4
Với m = -1 � y '  6 x  10 x  x  6 x  10  � x  0 không là cực tiểu.
TH2: h(0) �0. Khi đó
Trang 25