SKKN PHÂN TÍCH một số bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG THỰC tế THƯỜNG sử DỤNG TRONG kì THI THPT QG vào GIẢNG dạy môn TOÁN ở TRƯỜNG THPT

PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI
THPT QG VÀO GIẢNG DẠY MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT
DƯƠNG NGỌC ANH
(Giáo viên trường THPT Bến Tre - TP.Phúc Yên - tỉnh Vĩnh Phúc)

Trong thực tế luôn đặt ra cho chúng ta giải quyết các vấn đề nhằm
đáp ứng nhu cầu cuộc sống của con người. Mỗi vấn đề đó luôn liên quan
và gắn chặt với một hoặc nhiều bài toán của các ngành khoa học, đặc
biệt là toán học. Chính vì lẽ đó, bài toán thực tế mặc nhiên có mặt và
ngày càng xuất hiện với tần xuất nhiều hơn trong các đề thi THPT QG
và đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Học sinh phải đối mặt
với rất nhiều dạng toán của bài toán thực tế mà phương pháp giải chúng
lại chưa được hệ thống đầy đủ trong Sách giáo khoa. Vì vậy, để giải
được dạng toán này, chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như khai thác
phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán.
Bài toán thực tế hình học không gian là bài toán thực tế được bắt
nguồn từ những tình huống trong đời sống hàng ngày, chúng được quy
chiếu về bài toán hình học không gian tương ứng, mà bài toán hình học
không gian lại trở về cách giải quyết bản chất của một bài toán hình học
Trang 1


phẳng nào đó. Hay nói một cách khác “mỗi bài toán hình học không
gian luôn chứa đựng và quy về một bài toán hình phẳng tương ứng”.
Khi đứng trước một bài toán thực tế hình học không gian, học sinh
thường lúng túng và chưa biết định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu.
Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán thực tế
hình học không gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen
xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, phân tích và khai thác các yếu tố
đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải.

Trong bài viết này, chúng tôi phân tích một số bài toán hình học
không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG vào
giảng dạy môn toán ở trường THPT.
Hướng phân tích tìm lời giải bài toán hình học không gian gắn với
bài toán thực tế là chuyển đổi bài toán từ mới lạ về bài toán quen thuộc,
về các bài toán hình học phẳng đã biết kết quả. Trên cơ sở phương pháp
đã được định hướng đối với mỗi bài toán cụ thể, các em có thể hình
thành tổng hợp phương pháp giải và xây dựng các bài toán tương tự.
Phân tích một bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế có
thể được tiến hành như sau:

Trang 2


- Sử dụng các kiến thức và yếu tố của hình học phẳng và hình học
không gian qui bài toán mới lạ - bài toán hình học không gian ứng dụng
thực tế về bài toán hình học phẳng quen thuộc.
- Bằng cách phân tích bản chất của bài toán hình học không gian
ứng dụng thực tế để đưa về bài toán hình phẳng tương ứng với bài toán
hình học không gian. Từ việc phân tích bài toán hình học không gian
chuyển đổi về bài toán hình phẳng tương ứng, một mặt giúp học sinh
hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác cũng giúp học sinh biết cách
định hướng trong việc tìm lời giải bài toán.
1. Bài toán 1. (Câu 32, Đề thi minh họa THPT QG môn Toán năm
2019)
Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1, H2 xếp chồng lên nhau,
lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là
r2 

1

r1 , h2  2h1
2

thỏa mãn (tham khảo hình vẽ).

Trang 3

r1 , h1 , r2 , h2


Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm 3 , thể tích khối trụ
H1) bằng
A. 24cm3

B. 15cm3

C. 20cm3

D. 10cm3

Phân tích:
Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính thể
tích của khối trụ tròn xoay. Để giải quyết bài toán này, học sinh phải
nắm chắc công thức tính thể tích của khối tròn xoay và bài toán này qui
về bài toán hình học phẳng tính diện tích của hình tròn.
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ

V   r 2h

trong đó r là bán

kính của khối trụ; h là chiều cao của khối trụ.
Sử dụng đề bài để tính thể tích toàn bộ khối đồ chơi từ đó tìm được thể
tích của khối trụ (H1).
Cách giải:
Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là:

V   r12 h1   r22 h2   r12 h1  

1 2
3
r1 2h1   r12 h1  30
4
2

�  r12 h1  20

Vậy thể tích khối trụ (H1) là 20 cm3
Chọn đáp án C.
Trang 4


2. Bài toán 2. (Câu 31, mã đề 102, Đề thi THPT QG môn Toán năm
2018)
Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy
3mm

và chiều cao bằng

200 mm .

Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần

lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng
chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính
có giá

a

(triệu đồng) ,

1m3

than chì có giá

6a

1mm .

Giả định

1m3

gỗ

(triệu đồng). Khi đó giá

nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào
dưới đây?

A.

84,5.a

(đồng) .

B.

78, 2.a (đồng)

.

C.

8, 45.a

(đồng) . D.

7,82.a

(đồng) .
Phân tích:
Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính thể
tích của khối trụ tròn xoay và khối lăng trụ, trong đó khối trụ nằm trong
khối lăng trụ có cùng chiều cao. Để giải quyết bài toán này, học sinh
phải nắm chắc công thức tính thể tích của khối tròn xoay và bài toán này
qui về bài toán hình học phẳng tính diện tích của hình tròn.
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ

V   r 2h

trong đó r là bán

kính của khối trụ; h là chiều cao của khối trụ, thể tích khối lăng trụ
Trang 5


V  B.h

trong đó B là diện tích hình lục giác đều, đáy của khối lăng trụ; h

là chiều cao của khối lăng trụ.
Cách giải:
CÁCH 1: 1 triệu đồng /m3 = 103 đồng / mm3
Vlt  200.6.

32. 3
 2700 3(mm3 )
4

; Vc  200 (mm3 ) ; Vg  Vlt  Vc  2700

3  200

T �
Vg .a  Vc .6a �
.103  �
(2700 3  200 ).a  1200 a �
.10 3  (2700 3  1000 ) a.10 3 �7,82a

�
�
�
�

(đồng )
CÁCH 2:

1 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy ra 1mm3 gỗ có giá

a
1000

đồng.

1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1mm3 than chì có giá
Phần chì của cái bút có thể tích bằng

V1  200. .12  200  mm3 

Phần gỗ của bút chì có thể tích bằng

V2  200.6.

32 3
 200  2700 3  200  mm3 
4

Số tiền làm một chiếc bút chì là

.

6a.V1  a.V2
�7,82a
1000
Trang 6

đồng.

.

6a
1000

đồng.


Chọn đáp án D.
3. Bài toán 3. (Câu 26, mã 102, Đề thi THPT QG môn Toán 2018)
Ông

A

dự định sử dụng hết

6,7 m 2

kính để làm một bể cá bằng kính

có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các

mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất
bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?
A. 1,57 m3 .

B. 1,11m3 .

C. 1, 23m3 .

D.

2, 48 m3 .

Phân tích và phương pháp:
Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính thể
tích của khối hộp chữ nhật. Để giải quyết bài toán này, học sinh phải
nắm chắc công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật khi biết 3 kích
thước, trong đó có chiều cao không đổi, chiều dài và chiều rộng của đáy
là biến số, bài toán này qui về bài toán max, min trong hình học phẳng.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối
hộp theo diện tích kính dùng (là một hằng số).
Cách giải : Giả sử kích thước chiều cao và các cạnh đáy lần lượt là
h, x , 2 x

. Ta có

V  2 x2h

Diện tích kính dùng là :
9


ۣۣ
� V2
2

S3
27

V

2S 3
9 3

9
S  2 x 2  6 xh  2 x 2  3xh  3 xh �3 3 18 x 4 h 2  3 3 V 2
2

6S 3
27

1,57m 3

Trang 7


Chọn đáp án A.
4. Bài toán 4. (Câu 46, Đề thi minh họa THPT QG môn Toán năm
2019)
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2
như hình vẽ dưới đây. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000
đồng/m2 và phần còn lại là 100.000 đồng/ m2. Hỏi số tiền để sơn theo

cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1A2  8m, B1B2 = 6m và
tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ  3 m?

A. 7.322.000 đồng B. 7.213.000 đồng C. 5.526.000 đồng D.
5.782.000 đồng
Phân tích
Bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính diện tích của
hình học phẳng hình elip. Thực chất là bài toán hình học ứng dụng của
tích phân. Để giải quyết bài toán này, học sinh phải nắm chắc các định
nghĩa về phương trình chính tắc của elip và công thức tính độ dài trục
Trang 8


lớn, trục bé, tính đối xứng của hình elip từ đó suy ra diện tích của hình
đó dựa và công cụ tích phân.
Phương pháp:
+) Viết phương trình Elip, tính diện tích hình Elip.
+) Tính diện tích phần trắng (phần không được sơn), ứng dụng tích phân
để tính diện tích hình phẳng.
+) Tính diện tích phần xanh sau đó tính chi phí để sơn.
Cách giải:
Elip (E) đã cho có độ dài trục lớn

2a  8 � a  4 ,

độ dài trục bé

2b  6 � b  3 .

Ta có diện tích (E) bằng:

Phương trình  E  : x

2

16

Ta có

M � E  ; yM 



S E    .4.3  12  m2 

y2
16  x 2
3 16  x 2
 1 � y2  9
� y�
9
16
4

1
3
3�
�
MQ  � xM  2 3 � M �
2 3; �
2

2
2�
�

Diện tích phần giới hạn bởi (E), trục hoành Ox, đường thẳng MQ có diện
tích:
S AMQ  2

2 3

3 16  x 2
dx �1, 087
�
4
4

=>

Diện

tích

phần

trắng

Strang  2S AMQ  2,174  m 2 

Khi đó diện tích phần xanh là

S xanh  S E   Strang  12  2,174  6,525  m 2 
Trang 9

là:


Vậy chi phí để sơn biển quảng cáo là 2,174.100  35,525.200  7322
(nghìn đồng)  7322000 đồng.
Chọn đáp án A.
Trên đây là một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế
được phân để tìm hướng giải tối ưu và hiệu quả. Mong rằng cách tiếp
cận và phân tích như trên giúp các bạn làm tốt bài toán loại này trong đề
thi THPT QG. Chúc các bạn thành công!
BÀI TẬP ÁP DỤNG.
1. Bài 1. Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài
2 dm

10, 2 dm ,

chiều rộng

được uốn lại thành mặt xung quanh của một chiếc thùng đựng

nước có chiều cao

2 dm (

như hình vẽ). Biết rằng chỗ ghép mất

2 cm .

Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước?

A.

50

lít.

B. 100 lít.

C.

20, 4 lít.

D.

20 lít.

( Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2018 trường THPT Chuyên Vĩnh
Phúc).
2. Bài 2. Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm.
Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước
trong phễu bằng 10 cm. Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên
Trang 10


thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng nhất với giá trị nào sau
đây.

A. 1,07 cm.

B. 10 cm.

C. 9,35 cm.

D. 0,87

cm.
( Đề thi thử THPT QG năm 2019 trường THPT Chuyên Quang Trung, Bình
Phước).

3. Bài 3. (Đề thi KSCĐ lần 1
– THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh
Phúc năm 2017 - 2018).
Cho một tấm tôn hình chữ
nhật ABCD có

AD  60cm

. Ta

gập tấm tôn theo 2 cạnh MN
và QP vào phía trong sao cho
BA trùng với CD để được
lăng trụ đứng khuyết hai đáy.
Khối lăng trụ có thể tích lớn
nhất khi x bằng bao nhiêu?
A. x  20cm
B. x  22,5cm

C.
Trang 11

x  25cm

D.

x  29cm


4. Bài 4. (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 2018).
Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức
cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp
12A1. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại,
lớp 12A1 đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một
tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng
cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều
rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và
cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong
lều là lớn nhất?

A.

B.

x4

C.

x3 3

x3

D.

x3 2

5. Bài 5. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017 2018).
Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo
yêu cầu là

2000

lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng

lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
Trang 12


A.

1m

và

2m

B.

1dm

và

C.

2dm

2m

và

D.

1m

2dm

và

1dm

6. Bài 6. (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 2018). Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn
định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm
theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc
thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt
là:
A.

35cm;25cm

B.

40cm;20cm

C.

50cm;10cm

D.

30cm;30cm

Phúc Yên, ngày 12 tháng 02 năm
2019
Người viết
Trang 13


Dương Ngọc Anh

Trang 14