Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ là một nội dung hay và khó
trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi HSG, đại học, cao đẳng.
Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải phương trình vô tỷ và bất
phương trình vô tỷ.
Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ có rất nhiều cách giải và
nhiều dạng. Nên tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ
và bất phương trình vô tỷ”. Ở đây tôi đưa ra một số dạng phương trình và bất
phương trình và cách giải của nó với mong muốn củng cố cho các em những
kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi
dạng bài tập.
Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán
này, tránh những sai lầm dễ mắc phải.
2. Tên sáng kiến: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất
phương trình vô tỷ”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Trần Thị Yến
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Triệu Thái – Lập Thạch– Vĩnh
Phúc
- Số điện thoại: 0975638835
- E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Phạm vi: Phương trình và phương trình vô tỷ.

Đối tượng: Học sinh từ lớp 10 đến lớp 12.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 15/10/2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:
1


A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản.
1)

�B �0
AB � �
2
�A  B

2)

�B �0
A B��
�A  B

3)

��A 0
��
�B  0
AB��
�
�B �0
�

�
2
�
�A  B

4)

�B  0
�
A  B ۳ �A 0
�A  B 2
�

5)

�B �0
A B��
�A  B

* Lưu ý
Đối với những phương trình , bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn
như trên , ta thực hiện theo các bước :
Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa
Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm
Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức.
2. Một số phương trình – Bất phương trình vô tỷ cơ bản thường gặp khác.
Dạng 1.

3

A3 B  3C

 1

Ta có  1 �  3 A  3 B   C � A  B  3 3 AB  3 A  3 B   C  2 
3

Thay

3

Dạng 2.

A  3 B  3 C vào (2) ta được A  B  3 3 ABC  C
�f ( x )  h( x )  g ( x)  k ( x )
f  x   g  x   h  x   k  x  với �
� f ( x).h( x )  g ( x ).k ( x )

Biến đổi về dạng :

f  x  h  x  h  x  g  x

2


Bình phương , giải phương trình hệ quả
 Lưu ý:
Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng la đưa về phương trình hệ
quả . Do đó , để đảm bảo rằng không xuất hiện nghiệm ngoại lai của
phương trình , ta nên thay thế kết quả vào phương trình đầu đề bài

nhằm nhận , loại nghiệm chính xác.
II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình :  x 2  4 x  3  2 x  5  *
Trích đề thi Cao đẳng Nhà Trẻ - Mẫu Giáo TW1 năm 2004
Bài giải
2 x  5 �0
�
(*) � � 2
 x  4 x  3  (2 x  5) 2
�

�
� 5
�
�x �2
5
�
�
x�
14
�
� ��x  2 � x 
2
�
5
�
�� 14
5 x 2  24 x  28  0
�
��

x
�� 5
�

Vậy nghiệm của phương trình là x 

14
5

Ví dụ 2. Giải phương trình : 7  x 2  x x  5  3  2 x  x 2  *
Đề thi thử Đại học năm 2010- THPT Thuận Thành- Bắc Ninh
Bài giải
� 3 �x �1
�
3  2 x  x 2 �0
�
�
(*) � � 2
�
x2
�
x5  
7  x  x x  5  3  2 x  x2
�
�
x
�
� 3 �x �1
�
3 �x �1

2 �x  0
�
�
x2
�
�
�
�� 
�0
��
2 �x  0
� � x  1 � x  1
x
3
2
�2
�x  x  16 x  16  0
� x  �4
2
�
�
�
�x ( x  5)  (x  2)

Vậy nghiệm của phương trình là x  1
Ví dụ 3. Giải phương trình : 3x  2  x  7  1 (*)
Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Ninh Bình khối M năm 2004

3

Bài giải
3 x  2 �0
�
۳ x
�x  7 �0

Điều kiện : �

2
3

(*) � 3 x  2  x  7  1 � 3x-2= x+8+ x  7
�

x  5 �0
�
x 7  x 5 � �
2
�x  7  x  10 x  25

� x �5
��
� x9
�x  9 � x=2

Kết hợp điều kiện , nghiệm của phương trình là x=9
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1. Giải phương trình : 2 x  2 x  1  7
Cao đẳng Lương Thực – Thực phẩm năm 2004

ĐS : x=5
Bài 2. Giải phương trình :

x 2  x 2  6  12

Đại học Văn Hóa năm 1998
ĐS : x  � 10
Bài 3.Giải phương trình : x 2  2 x  8  3( x  4)
Đại học Dân Lập Đông Đô khối B năm 2001
ĐS: x  4 �x  7
Bài 4.Giải phương trình : x 2  6 x  6  2 x  1
Đại học Xây Dựng năm 2001
ĐS: x=1
B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA
VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
I- KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Sử dụng biến đổi cơ bản.
Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm , ghép thích hợp
để đưa phương trình về dạng tích đơn giản và biết cách giải.
Một số phép biến đổi thường gặp
4


* f ( x)  ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của f ( x)  0
* Chia Hoocner để đưa về dạng tích số
* Các hằng đẳng thức thường gặp
* u  v  1  u.v � (u  1)(v  1)  0
* a.u  bv  a.b  uv � (u  b)(v a)  0
……………
2/ Tổng các số không âm.

Dùng các biến đổi ( chủ yếu là hằng đẳng thức ) hoặc tách ghép đưa về dạng
�A  0
�B  0
�
2
2
2
A  B  C  ...  0 � �
�C  0
�
.....  0
�

3/Sử dụng nhân liên hợp.
- Dự đoán nghiệm x  x0 bằng MTBT ( SHIFT – SOLOVE hay ALPHA –
CALC )
- Tách ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung
( x  x0 ) hoặc bội của ( x  x0 ) trong phương trình nhằm đưa về phương

trình tích số ( x  x0 ).g ( x)  0
- Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp
Biểu thức

Biểu thức liên hợp

A� B
3

A �3 B

3

Tích

Am B

A B

A2 m3 AB  3 B 2

A �B

4/Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là một hình thức phân tích thành nhân tử . Khi
đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại và ta xem x là tham số . Thông thường thì đó
là phương trình bậc hai theo t ( tham số x ) và giải bằng cách lập 

5


II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.

1/ Sử dụng biến đổi hằng đẳng thức cơ bản để đưa về phương trình tích số
Ví dụ 1. Giải phương trình : x 2  x  5  5 (*)
Cao đẳng Sư Phạm Cần Thơ khối M năm 2005
Bài giải
5 
0
Điều kiện : x �۳

x

5

(*) � x 2  ( x  5)  ( x  x  5)  0
� x 2  ( x  5) 2  ( x  x  5)  0
� ( x  x  5)( x  x  5)  ( x  x  5)  0
� ( x  x  5)(( x  1  x  5)  0
� x  5   x (1)
��
� x  5  x  1 (2)
�
x 0
�
1  21
�  x �0
�
(1) � �
� � 1  21
�x
1

21
2
2
�x 
�x  5  x
�x 
�

2
2
�
�
x
1
�
1  17
� x  1 �0
�
(2) � �
� � 1  17
� x

1

17
2
2
�x 
�x  5  ( x  1)
�x 
�
2
2
�

Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là x 

1  21

1  17
�x 
2
2

Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đặt ẩn phụ y  x  5
�y 2  x  5
để đưa về hệ phương trình gần đối xứng loại II : �2
và lấy vế trừ vế . ta
�x  y  5

sẽ giải ra tìm x. Dạng tổng quát của bài toán là : x 2  x  a  a , a ��
Ví dụ 2. Giải phương trình : ( x  3) 10  x 2  x 2  10 x  12 (*)
Đại học Dược Hà Nội năm 1999
Bài giải
Điều kiện : 10  x 2 �0 �  10 �x � 10
(*) � ( x  3) 10  x 2  ( x  3)( x  4)

6


� ( x  3) �10  x 2  ( x  4) � 0
�
�
x  3
�
��
2
�10  x  x  4 (1)

Ta có  10 �x � 10 � x  4 � 10  4  0 � x  4  0 nên (1) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-3
Ví dụ 3. Giải phương trình : 3 x  1  3 x  2  1  3 x 2  3 x  2 (*)
Bài giải
3
3
�
(*) � ( 3 x  1  1)  �
� x  2  ( x  1)( x  2) � 0

� ( 3 x  1  1)  3 x  2(1  3 x  1)  0
� ( 3 x  1  1)(1  3 x  2)  0
�3 x  1  1
�x  0
��
��
3
x  1
x  2 1 �
�

Vậy phương trình có nghiệm là x=-1 v x=0
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên tôi đã sử dụng phân tích thành tich của tam thức
bậc hai: f ( x)  ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của f ( x)  0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : x 2  x  7  7
Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001
ĐS: x  2 �x 

1  29

2

Bài 2. Giải phương trình : x( x  1)  x( x  2)  2 x 2
Đại học Sư Phạm Hà Nội khối D năm 2000- CĐ Sư Phạm Hà Nội năm 2005
ĐS: x  0 �x 

9
8

Bài 3. Giải phương trình : 4 x 2  14 x  11  4 6 x  10
Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ số 420 tháng 6 năm 2012

7


ĐS: x 

3  13
4

Bài 4. Giải phương trình : x  x  1  x 2  x  1
Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000

2/ Biến đổi về tổng hai số không âm.
Ví dụ 1. Giải phương trình : 4 x  1  x 2  5 x  14 (*)
Bài giải
Điều kiện : x �1
(*) � x 2  5 x  14  4 x  1  0





� x  1  4 x  1  4   x2  6 x  9  0





� � x  1  2.2 x  1  22 �  x  3   0
�
�
�
�
�



2

2



2

x  1  2   x  3  0
2

� x 1  2  0

��
� x3
� x3 0

Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là x=3
Ví dụ 2. Giải phương trình : x  4 x  3  2 3  2 x  11 (*)
Bài giải
�x  3 �0
3
� 3 �x �
3  2 x �0
2
�

Điều kiện: �

(*) � 11  x  4 x  3  2 3  2 x  0



 



� x  3  4 x  3  4  3  2x  2 3  2 x  1  0
�



 

2

x32 



2

3  2x 1  0

�
� x3 2  0
��
� x 1
3

2
x

1

0
�

So với điều kiện , nghiệm của phương trình là x=1
Ví dụ 3. Giải phương trình : 13 x  1  9 x  1  16 x (*)
8


Bài giải

Điều kiện : x �1
(*) � 16 x  13 x  1  9 x  1  0
1� �
9�
�
� 13 �x  1  x  1  � 3 �x  1  3 x  1  � 0
4� �
4�
�
2
2
2
2
�
1 �1 �� �
3 �3 ��
� 13 � x  1  2 x  1.  � �� 3 � x  1  2. x  1.  � �� 0
2 �2 �� �
2 �2 ��
�







2



2

1� �
3�
�
� 13 � x  1  � 3 � x  1  � 0
2� �
2�
�
1
�
x 1   0
�
5
�
2
��
� x
4
� x 1  3  0
�
2

So với điều kiện , phương trình có nghiệm duy nhất x 

5
4

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Giải phương trình : x 2  x  6  4 1  3x
ĐS: x=-1
Bài 2. Giải phương trình : x 4  2 x 2 x 2  2 x  16  2 x 2  6 x  20  0
ĐS: x=2
Bài 3. Giải phương trình : x 2  2( x  1) 3 x  1  2 2 x 2  5 x  2  8 x  5
ĐS: x=1
Bài 4. Giải phương trình : x 4  2006 x3  1006009 x 2  x  2 x  2007  1004  0
Đề thị olympic 30/04 – THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam
ĐS: x=-1003
3/ Sử dụng nhân liên hợp
Ví dụ 1. Giải phương trình :

x  1  1  4 x2  3x

(*)

Đề thi thử Đại học lần 1 khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay

9


Nhận xét: sử dụng máy tính , ta tìm được một nghiệm là x 

1
và ta có
2

�  3 x    x  1  2 x  1
nên ta có lời giải sau:
� 2

4 x  1   2 x  1  2 x  1
�

Bài giải
Điều kiện : x �0
(*) �  4 x 2  1 





3x  x  1  0

�  2 x  1  2 x  1 
�  2 x  1  2 x  1 



3x  x  1



3x  x  1

3x  x  1

 2 x  1
3x  x  1

 0

0

1
�
�
�  2 x  1 �
2x 1 
� 0 (1)
3x  x  1 �
�

Ta có x �0 � 2 x  1 

1
1
 0 nên (1) � 2 x  1  0 � x 
3x  x  1
2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 
Ví dụ 2. Giải phương trình :

1
2

2 x  3  x  2 x  6 (*)

Đề thi Đại học khối A năm 2007
�

 2 x  3  x  x  3

Nhận thấy rằng : �2 x  6  2 x  3


�

nên ta có lời giải sau:

Bài giải
3
2

Điều kiện : x �
(*) �



x3
2x  3  x



 2  x  3  0

1
�
�
�  x  3 �
 2 � 0

� 2x  3  x
�
x3
�
�
��
1
� 2 x  3  x  2 (1)
�

10


3
3
1
1
x � � 2x  3  x �  1 �
1�
 2 (VN)
2
2
2x  3  x
2x  3  x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3
Ví dụ 3. Giải phương trình : x  2  4  x  2 x 2  5 x  1 (*)
Đề thi thử Đại học lần 1 khối A, B năm 2013 _ THPT Hà Trung- Thanh hóa
Nhận xét:
2

Sử dụng ALPHA – CALC cho biểu thức f ( x)  x  2  4  x   2 x  5 x  1

với các giá trị nguyên trong khoảng tập xác định x � 2; 4 , ta nhận được f(x)=0
khi x=3, nghĩa là x=3 là một nghiệm của phương trình .
Một cách tự nhiên , ta suy nghĩ tách ghép phù hợp sao cho khi nhân lượng liên
hợp xuất hiện nhân tử (x-3) hoặc bội của nó.
Ta không nên ghép cặp





x2  4 x 

2( x  3)
với nhau, mặc dù
x2  4x

2
nó xuất hiện nhân tử (x-3) và đặc biệt biểu thức  2 x  5 x  1 không xuất hiện (x-

3). Hơn nữa , sau khi nhân liên hợp nó xuất hiện hạng tử x  2  4  x dưới
mẫu số mà chưa có thể khẳng định được âm hay dương trong tập xác định của x
, điều đó sẽ gây khó khăn cho ta khi giải quyết ( đánh giá ) biểu thức g(x)=0
trong đó  x  3 g  x   0
Do đó ta suy nghĩ đi tìm hai số  ,   0 trong hai biểu thức



 

x  2  ,



4  x   để sau khi nhân lượng liên hợp , cả hai đều xuất hiện

 x  3 . Vì vậy hai số  ,   0 phải thỏa mãn đồng nhất













� x  2 
x  2 
x3
�

�
x  2 
x  2 
�

4 x  
� 4 x 
x3

�
4 x 
4 x 
�

�x  2   2  x  3
�
��
4  x   2  x 3 �    1
� ,   0
�

Nên ta có lời giải sau
Bài giải
11


Điều kiện : 2 �x �4
(*) �
�



 

x  2 1 



4  x  1   2 x 2  5 x  3  0

x 3
3 x

  x  3  2 x  1  0
x  2 1
4  x 1

1
� 1
�
�  x  3 �

 2 x  1� 0
4  x 1
� x  2 1
�
x3
�
�
�
1
� 1

 2 x  1 (1)
� x  2 1

4  x 1

Xét hàm số f ( x)  2 x  1 trên x � 2; 4 thấy f ( x)  2 x  1 �5 (2)
Xét hàm số g (x) 
g '( x)  

2 x2



1
1

trên x � 2; 4
x  2 1
4  x 1

1



x  2 1



2 4 x



1



4  x 1

 0, x � 2; 4

1
2 1

� g ( x ) nghịch biến và maxg(x)=g(x)=1-

 3

Từ (2), (3) � 2 hàm số f(x) và g(x) có đồ thị không thể cắt nhau. Do đó (1) vô
nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình :

3x
 3x  1  1
3 x  10

Đại học Tổng Hợp năm 1992
ĐS: x  0 �x  5
Bài 2. Giải phương trình : x  3  x  x
Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ - Thanh Hóa
ĐS: x=1
Bài 3. Giải phương trình : x 2  15  3x  2  x 2  8

Đại học Ngoại Thương năm 1997- Đề số 3
ĐS x=1
12


4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: x 2  3x  1  ( x  3) x 2  1 (*)
Đại học Quốc Gia hà Nội khối A- Học Viện Ngân Hàng khối A năm 2001
Bài giải
Đặt t  x 2  1 �1 � t 2  x 2  1 lúc đó :
(*) � t 2  3 x  ( x  3)t � t 2  ( x  3)t  3x  0 (1)

Lúc đó ta xem (1) là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số
tx
�
  ( x  3) 2  12 x  x 2  6 x  9  ( x  3) 2 � �
t 3
�
� x �0
vô nghiệm
2
�x  1  x

2
Với t  x � x  1  x � �2

Với t  3 � x 2  1  3 � x 2  1  9 � x  �2 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x  �2 2
Ví dụ 2. Giải phương trình : (4 x  1) x 3  1  2 x 3  2 x  1 (*)
Bài giải

Đặt t  x3  1 � t 2  x3  1 � 2 x3  2t 2  2
(*) � (4 x  1)t  2t 2  2 x  1 � 2t 2  (4 x  1)t  (2 x  1)  0

(1)

Lúc đó ta xem (1) là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số
t  2x 1
�
�
  (4 x  1)  8(2 x  1)  (4 x  3) �
�t  1
�
2
2

2

1
�
x�
�
� x2
2
Với t  2 x  1 � x  1  2 x  1 � �
3
2
�
�x  4 x  4 x  0
3

1
2

1
2

3
4

Với t  � x3  1  � x3   � x   3

3
4

Vậy phương trình có hai nghiệm x  2 �x   3

3
4

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : ( x  1) x 2  2 x  3  x 2  1
13


ĐS: x  1 � 2
Bài 2. Giải phương trình : x 2  (3  x 2  2) x  1  2 x 2  2
ĐS: x  � 14
Bài 3. Giải phương trình : 2(1  x) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1
ĐS: x  1 � 6
3

2

Bài 4. Giải phương trình : (3x  1) 2 x 2  1  5 x 2  x  3
1 x5
ĐS: x  ��

C- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG ĐẶT
ẨN SỐ PHỤ
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/ Đặt một ẩn phụ
Tìm mối liên hệ giữa các biến để đặt ẩn phụ thích hợp. Một số dạng cơ bản
thường gặp:
� t  f ( x)
at 2  bt  c  0
�

�
pp
1) a. f ( x)  b f ( x)  c  0 ��� �

2)

f ( x)  g ( x) 

pp
f ( x ) g ( x)  h( x) ��
�t 

f ( x )  g ( x)

2/ Đặt hai ẩn phụ .
Thông thường , ta tìm mối liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ đưa về phương trình
đẳng cấp ( đồng bậc ) hoặc phương trình đối xứng loại II , đẳng cấp …. Ta
thường gặp một số dạng cơ bản sau:
�
u  n a  f ( x)
�
1)  a  f ( x)   b  f ( x)  c ��� đặt � m
�v  b  f ( x)
n

m

pp

� a n A2  b n AB  c n B 2  0
�
pp
a. A( x)  b.B( x)  c A( x).B( x) ��
� đặt u , v � PT : u 2   uv   v 2  0
2) �
�
2
2
�
�  . A   .B  mA  nB

14

pp
� y  n bx  a đưa về hệ đối xứng loại II :
3) x n  a  b n bx  a ��

�x n  by  a  0
�n
�y  bx  a  0
� ax  b  c.x 2  dx  e
�
pp
4) �
1 ��� đặt
� a �0, c �0, a �
c
�

ax  b  2cy  d đưa về hệ đối xứng loại II

Lưu ý:
 Sau khi đặt ẩn phụ , ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn phụ , tức là đi tìm miền
xác định cho bài toán mới . Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi
tìm điều kiện cho hợp lý ( dễ , không gây sai sót) , chung quy, ta có hai
cách tìm điều kiện : tìm điều kiện đúng và tìm điều kiện thừa .
 Cần lưu ý một số khai triển và biến đổi sau :
3
2
 x �1   x �1  x mx  1 hay tổng quát hơn :

x3 �a 3   x �a   x 2 max+b 

 x 4  x 2  1   x 4  2 x 2  1  x 2   x 2  1  x 2   x 2  x  1  x 2  x  1
2

4
2
2
 x  1   x  2 x  1  x  2 x  1
4
2
2
 4 x  1   2 x  2 x  1  2 x  2 x  1

 u  v  1  uv �  u  1  v  1
 au  bv  ab  uv �  u  b   v  a 
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
1/ Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình : x 2  x 2  11  31 (*)
Đại học Cảnh Sát Nhân Dân năm 1999
Bài giải
15


Đặt t  x 2  11 ,  t �11 � t 2  x 2  11 � x 2  t 2  11
�t  6  N 
(*) �  t 2  11  t  31 � t 2  t  42  0 � �
t  7  L 
�

Với t  6 � x 2  11  6 � x  �5
Vậy phương trình có hai nghiệm x=5 và x=-5

Ví dụ 2. Giải phương trình : 2 x 2  4 x  1  1  x 2  2 x (1)
Cao đẳng Sư Phạm Trung Ương năm 2006
Bài giải
(1) �

1
3
2 x 2  4 x  1  2 x 2  4 x  1   0

2
2

 2

Đặt t  2 x 2  4 x  1 �0 � t 2  2 x 2  4 x  1 lúc đó

 2 �

� t 1
1 2
3
t t  0 � �
t  3  L 
2
2
�

Với t  1 � t 2  2 x 2  4 x  1  1 � x  0 �x  2
Vậy nghiệm của phương trình là x=0 v x=-2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1.Giải phương trình : x  4  x 2  2  3x 4  x 2
Đề thi thử Đại học 2013 lần 1 khối D – THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh
ĐS : x  0 �x  2 �x 

2  14
3

Bài 2.Giải phương trình : x 2  x  1  1
Đại học Xây Dựng Hà Nội khối A năm 1998
ĐS: x  1 �x  0 �x 

1 5
2

Bài 3.Giải phương trình : x 2  2 x  5  x  1  2
Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 1999
ĐS: x=1
2/ Đặt hai ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình : 2 3 3x  2  3 6  5 x  8  0
16

(1)


Đề thi Đại học khối A năm 2009
Bài giải
5 x 0
Điều kiện : 6 �

x

6
5

3
�
�
u 3  3x  2
� u  3x  2
� �2
� 5u 3  3v 2  8 (2)
Đặt �
v  6  5x
v  6  5 x �0
�
�

Lúc đó (1) � 2u  3v  8  0 (3)
u  2
�
5u 3  3v 2  8
�
(2), (3) � �
��
�v  4
�2u  3v  8
�
u  3 3 x  2  2
�
3x  2  8

�x  2
�
��
��
��
� x  2
�x  2
�6  5 x  14
�v  6  5 x  4

So với điều kiện nghiệm của phương trình là x=-2
Ví dụ 2. Giải phương trình : 2 3 3x  2  3 6  5 x  8  0 (1)
Đề thi Đại học khối A năm 2009
Bài giải
5x 0
Điều kiện : 6 ��

x

6
5

3
3
�
�
�5u 3  15 x  10
� u  3x  2
�u  3x  2
� �2

�� 2
� 5u 3  3v 2  8
Đặt �
v  5 x  6
3v  15 x  18
v  6  5 x �0 �
�
�

 2

Lúc đó (1) � 2u  3v  8  0  3
u  2
�
5u 3  3v 2  8
�
��
 2 ,  3 � �
�v  4
�2u  3v  8
�
u  3 3x  2  2
�x  2
�
��
��
� x  2
�x  2
�v  6  5 x  4

So với điều kiện nghiệm của phương trình là x=-2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : 4 56  x  4 x  41  5
Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1996
ĐS: x=40 v x=-25
Bài 2. Giải phương trình : 3 2  x  1  x  1
17


Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 2000
ĐS: x=1 v x=2 v x=10
Bài 3. Giải phương trình : 7 x 2  7 x 

4x  9
,
28

 x  0
Đại học An Ninh năm 2000

ĐS: x 

3  50
7

D- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG
PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lí 1. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình
f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

Định lí 2. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta
có f (u )  f  v  � u  v .
Định lí 3. Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên
khoảng (a;b) thì c   a; b  : F '  c  

F  b  F  a 
. Khi áp dụng giải phương trình:
ba

nếu có F(b) – F(a) = 0 thì c � a; b  : F '  c   0 � F '  x   0 có nghiệm thuộc

 a; b  .
Định lý Rôn: Nếu hàm số y  f  x  lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình
f  x   0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D.
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi
chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy
nhất
18


Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi
dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng
suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn
điệu khi đó ta có: u = v.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
Ví dụ 1. Giải phương trình :

6
8
3
 14
3 x
2 x

(*)

Nhận xét: Vế trái của (*) có dạng tổng, nên có nhiều khả năng là hàm đồng
biến theo x trên miền xác định . khi đó , theo định lí 1, phương trình sẽ có
nghiệm duy nhất và ta dùng máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE ) tìm ra nghiệm
này là x 

3
2

Bài giải
Điều kiện : x  2
Xét hàm số f ( x) 
f '( x) 

6 3  x
2 3  x

2

3

6
8
3
trên khoảng  �; 2  ta có:
3 x
2 x
2 2  x

 2  x

2

 0 , x � �; 2 

� f ( x) đồng biến trên khoảng  �; 2 
� f ( x) 

6
8
3
 14 nếu có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất
3 x
2x

3
�3 �
Nhận thấy f ( x)  14  f � �� x 
�2 �

Thử lại thấy x 

2

3
thỏa mãn phương trình
2

Vậy phương trình có nghiệm là x 
Ví dụ 2. Giải phương trình:

3
2

4 x  1  4 x2  1  1

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D – Đại học Ngân Hàng khối D năm 2001
19


Bài giải.
�4 x  1 �0
۳ x
4 x 2  1 �0
�

1
2

Điều kiện : �
Nhận thấy x 

1
là một nghiệm của phương trình (*)
2
1
�

�

Xét hàm số f ( x )  4 x  1  4 x 2  1 trên nửa khoảng � ; ��
2
�
�
f '( x ) 

2
4x
1
�
�

 0 , x �� ; ��� f ( x) đồng biến trên
2
4x 1
�
�
4x2 1

1
�

�
; ��
�
2
�
�

1
�1 �
Mà f ( x)  f � � 1 � x  là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
�2 �

2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 

1
2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài 1. Giải phương trình : 3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0
Đại học khối B năm 2010
ĐS: x=5
Bài 2. Giải phương trình :
ĐS:

x  1 �x  

3

x  2  3 x  1  3 2x2  1  3 2x2

1
2

Bài 3. Giải phương trình : 4 x3  x   x  1 2 x  1  0
Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012
ĐS: x 

1 5
4

2
Bài 4. Giải phương trình : x  4 x  1   x  3 5  2 x  0

Đề thi thử Đại học 2013 lần 1 khối A _ THPT Tuy Phước
ĐS: x 

1  21
4

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Kết quả đạt được
20


Tôi đã giảng dạy môn Toán tại trường Triệu Thái được gần 9 năm. Năm
học 2017 – 2018, tôi mạnh dạn sử dụng “Một số phương pháp giải phương
trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ” vào giảng dạy ở 2 lớp 11A1, 11A6, thu
được những kết quả đáng khích lệ.

Kết quả đầu tiên là sự chuyển biến về phong cách học tập của học sinh khi
được tiếp nhận một sự trải nghiệm đầy thú vị trong chính lớp học của mình. Các
em học tập tích cực, chủ động hơn, sôi nổi hơn, thảo luận nhiều hơn, hăng hái
phát biểu hơn và chú ý vào bài giảng. Các em học sinh nắm bắt và nhận ra cách
giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ một cách dễ dàng hơn.
Sự hứng thú và ham học hỏi của học sinh giúp giáo viên có thêm động lực
và sự hứng khởi để tiếp tục tìm tòi, sáng tạo, mang đến những bài học bổ ích, lý
thú hơn.
Kết quả học tập môn Toán của 2 lớp 11A2, 11A6 trong năm học 2017 –
2018 rất khả quan với tỉ lệ khá giỏi được nâng lên.
Lớp
Giỏi
Khá
Loại khác
11A1
30%
50%
20%
11A6
15%
40%
45%

8. Những thông tin cần được bảo mật: Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị rất công phu và vất vả
Trình độ nhận thức của học sinh phải từ mức TB trở lên, đồng đều.
Phương trình và bất phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng, đòi
hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo.

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham
gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội
dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả
Đã trang bị một số kiến thức về giải phương trình và bất phương trình vô
tỷ nhằm nâng cao năng lực học môn toán cho học sinh
Gây được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập trong SGK, SBT và sách
tham khảo
21


Giải đáp được nhưng thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm thường gặp
khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ
Giúp học sinh năm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản
về giải phương trình, bất phương trình vô tỷ và áp dụng thành thạo các phương
pháp đó để giải bài tập
Việc triển khai các tiết học theo chủ đề mang lại hiệu quả rất nhiều. Đó
cũng là điều mong mỏi của tôi khi viết sáng kiến này. Mong muốn có những chủ
đề dạy học vừa bám sát chương trình học – thi, vừa có thể cung cấp cho các em
một hệ thống các tri thức phương pháp .
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp d ụng sáng
kiến
Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình và bất phương trình, các
phương pháp giải phù hợp. Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, nên việc
đưa ra các phương pháp đôi khi còn mang tính tương đối. Hi vọng qua bài viết
này phần nào giúp cho học sinh có tư duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng giải toán
và một số các kiến thức liên quan.

Các kiến thức trong sáng kiến cũng đã được tôi áp dụng với học sinh các
lớp tôi dạy và cũng thu được một số kết quả khả quan. Tuy nhiên sáng kiến chưa
được áp dụng nhiều đối với các đối tượng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Hi
vọng sẽ nhận được sự góp ý của các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để sáng kiến
được hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số Tên tổ
TT nhân
1

chức/cá

Lớp 11A1, 11A6

......., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Trường THPT TriệuPhương trình và phương trình
Thái – Vĩnh Phúc
vô tỷ
........, ngày.....tháng......năm......
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)

22

……., ngày.....tháng......năm......
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)


Trần Thị Yến

MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu...........................................................................................................................1
2. Tên sáng kiến: ........................................................................................................................1
3. Tác giả sáng kiến:...................................................................................................................1
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:..................................................................................................1
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:...................................................................................................1
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:................................................................................................1
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN.....................................................................................................2
1.Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản...........................................................2
2. Một số phương trình – Bất phương trình vô tỷ cơ bản thường gặp khác........................2
II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA...............................................................................................3
B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH
SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM..............................................................................4
I- KIẾN THỨC CƠ BẢN...................................................................................................4
1/ Sử dụng biến đổi cơ bản.................................................................................................4
2/ Tổng các số không âm....................................................................................................5
3/Sử dụng nhân liên hợp.....................................................................................................5
4/Đặt ẩn phụ không hoàn toàn............................................................................................5

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA..............................................................................................6
1/ Sử dụng biến đổi hằng đẳng thức cơ bản để đưa về phương trình tích số......................6
2/ Biến đổi về tổng hai số không âm...................................................................................8
3/ Sử dụng nhân liên hợp....................................................................................................9
4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.........................................................................................13
C- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG ĐẶT ẨN SỐ
PHỤ.......................................................................................................................................14
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN...................................................................................................14
1/ Đặt một ẩn phụ..............................................................................................................14
2/ Đặt hai ẩn phụ ..............................................................................................................14
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA............................................................................................15
1/ Đặt ẩn phụ.....................................................................................................................15
2/ Đặt hai ẩn phụ...............................................................................................................16
D- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ
DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ...........................................................................18
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN..................................................................................................18
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA............................................................................................19
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không.........................................................................21
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:.....................................................................21
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến
của tác giả và theo ý kiến của tổ chức......................................................................................21
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả......................................................................................................................21
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến....................................................22
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần
đầu (nếu có):.............................................................................................................................22

23