SKKN ứng dụng hệ thức vi ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Mục lục
PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ.......................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài nghiên cứu.......................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu:..................................................................................3
3. Nội dung nghiên cứu....................................................................................3
4. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu..............................................3
5. Thành phần tham gia nghiên cứu.................................................................4
6. Phương pháp nghiên cứu:............................................................................4
7. Kế hoạch nghiên cứu...................................................................................5
PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN............................6
1. Cơ sở lí luận.................................................................................................6
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn)..........................................6
3. Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới.........................................7
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................................7
B. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN 9.............................................................................................8
C. KẾT QUẢ:..............................................................................................21
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ......................................................23
1. Kết luận:.....................................................................................................23
2. Khuyến nghị:..............................................................................................23

Trang 1


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài nghiên cứu
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản

một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú, say mê
học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. Toán
học nói chung, toán THCS nói riêng có rất nhiều loại, nhiều dạng bài tập nên
học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đứng trước một bài toán mới.
Đối với lứa tuổi học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là
học sinh lớp 9 nói riêng, mặc dù tuổi các em không phải còn nhỏ nhưng khả
năng phân tích, suy luận, tự mình tìm ra lời giải cho một bài toán còn rất
nhiều hạn chế nhất là đối với đối tượng học sinh học yếu và lười học. Mặt
khác trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông, các bài toán về
phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến.
Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất
ít, lượng bài tập chưa đa dạng.
Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học
sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số, thông qua đó học sinh có cách
nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.
Chính vì vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “vận dụng
hệ thức Vi-ét và ứng dụng để giải các bài tập có liên quan” đối với các em là
dạng toán khó. Đối với dạng toán này nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc
chắn nhưng khi áp dụng giải thì còn mắc phải nhiều sai sót.
Thông qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá
sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh. Tôi nhận thấy học sinh
vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiều
hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến
thức đã học để biện luận phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x 1, x2
thoả mãn một điều kiện nào đó…. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với
các em học sinh lớp 9. Bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những
dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những phương trình cho sẵn,
ít gặp phải những bài toán biện luận theo tham số. Mặt khác do khả năng tư
duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề
toán, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán nên không định

hướng được cách giải.
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng để giải toán, ngoài việc
nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả
Trang 2


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao
chất lượng học tập.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho
các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán
về phương trình bậc hai một ẩn, góp phần giúp các em tự tin hơn trong các
kỳ thi. Đó là lý do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng hệ thức Vi-ét
để giải quyết một số dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn cho HS lớp
9”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai
có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể
làm tốt các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn trong các kỳ thi. Giúp
các em hiểu được tầm quan trọng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bài
toán phương trình bậc hai.
Giúp các em có được sự hiểu biết và phương pháp biện luận nghiệm biểu
thức chứa nghiệm của một phương trình bậc hai theo hệ số. Kích thích, giúp
các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà
cả các dạng toán khác. Rèn luyện cho học sinh tính tư duy logic, sự sáng tạo
trong toán; sự say mê và yêu thích học môn toán hơn.
Việc nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tôi có một tài liệu mang
tính hệ thống về định lí Vi-et phục vụ cho công tác giảng dạy của mình. Qua
nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tôi tự tin hơn trong công tác giảng

dạy.
3. Nội dung nghiên cứu
Quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm để bản thân trau dồi kiến
thức chuyên môn và nghiệp vụ. Giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập.
Biết quan tâm tới bản chất toán học trong mỗi phát biểu. Đưa tới cho học
sinh một số dạng bài tập có tính ứng dụng cao trong các kì thi, giúp các em
có kết quả tốt hơn.
Để nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có liên quan đến
hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu
kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức, kĩ năng cho
mình.
- Giúp học sinh nắm vững hơn về các ứng dụng của định lí Vi-ét, làm tốt
hơn các dạng bài tập mà trước còn lúng túng, bế tắc.
4. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu
Trang 3


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

- Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9 ở trường
THCS đang công tác, năm học 2016 - 2017.
- Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu một số dạng bài ứng dụng hệ thức
Viét theo đúng nội dung ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm cả kiến thức cơ
bản và nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh muốn đạt điểm
cao khi thi vào các trường THPT công lập và THPT chuyên trên toàn
quốc.
5. Thành phần tham gia nghiên cứu
- Nghiên cứu 50 học sinh đang học lớp 9 ở trường THCS đang giảng dạy.
- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm

hiểu các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn có ứng dụng hệ thức
Vi-ét.
6. Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp
nghiên cứu sau:
a) Phương pháp nghiên cứu, tham khảo tài liệu.
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hệ thức Vi-ét, sắp xếp
thành 12 nhóm ứng dụng sau:
 Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
 Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một
nghiệm x = x1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai.
 Dạng 3. Lập phương trình bậc hai.
 Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
 Dạng 5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho
hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
 Dạng 6. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm.
 Dạng 7. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
 Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
 Dạng 9. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình
tương đương.
 Dạng 10. Chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm.
 Dạng 11. Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập.
 Dạng 12. Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ 0 quan hệ
với Parabol y = mx2 với m ≠ 0.
b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
c) Phương pháp tìm hiểu tình hình học tập của học sinh.
Kiểm tra 50 học sinh lớp 9 về việc ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán
với nội dung như sau:
Trang 4

Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Câu 1: Em hãy nêu định lý Vi-ét. Áp dụng nhẩm nghiệm của các phương trình
sau:
a/ 2014x2 + 14x – 2028 = 0
b/ x2 + 7x + 12 = 0
Câu 2: Cho phương trình
với m là tham số.
a) CMR: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5,
từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
d) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức:
.
7. Kế hoạch nghiên cứu
Trong năm học 2016 - 2017

Trang 5


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN
1. Cơ sở lí luận.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 9, căn cứ vào thực tế
dạy và học, hệ thống bài tập về ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán của
chương trình đại số lớp 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong SGK, sách bài tập
do Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành ở dạng cơ bản đơn giản, trên thực tế bài tập

về ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán rất đa dạng, phong phú và là một thể
loại toán phổ biến của đại số THCS.
Trong chương trình sách giáo khoa mới toán lớp 9 THCS, học sinh được
làm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phương trình
bậc hai, đặc biệt là định lý Vi-ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán:
- Trong tiết lý thuyết: học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình
bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Trong tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết
vừa học.
Qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS tôi nhận thấy các em vận
dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và
sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét
có ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán.
Đứng trước vấn đề đó, người giáo viên cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn
học sinh tự học thêm kiến thức phần này, vì vậy tôi đi sâu vào nghiên cứu
sáng kiến kinh nghiệm:
“Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về phương trình
bậc hai một ẩn cho HS lớp 9” với mong muốn của tôi giúp cho học sinh nắm
vững và thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học
toán và kích thích năng lực hứng thú học tập môn toán của học sinh. Khi tôi
dạy phần kiến thức này, nhất là đối với học sinh khá, học sinh giỏi đòi hỏi
giáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho mỗi dạng
toán... để bài dạy phong phú và đạt hiệu quả cao nhất.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn)
a) Thuận lợi:
Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học
sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS. Giáo viên dạy
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh đạt giải môn
Toán. Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém.

Trang 6


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi
vào lớp 10 nên tôi mong muốn có thế giúp học sinh giải quyết tốt việc
giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn điển hình nhờ ứng dụng
hệ thức Vi-ét
Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức.
b) Khó khăn:
Thời lượng phân bố tiết cho phần này không nhiều, cụ thể ở chương
trình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa
khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, các em ít được chú trọng
nâng cao kiến thức.
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng
cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn
chế.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với sáng kiến kinh nghiệm này
tôi mong giáo viên sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong
học tập.
3. Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
Phương trình bậc hai đối với ẩn x �R là phương trình có dạng:
ax 2  bx  c  0  1

 a �0 

2. Cách giải.
2
 Tính   b  4ac

Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
x1  x2  

Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép
Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 

b
2a .

b  
b  
, x2 
2a
2a

3. Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
2
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x �R : ax  bx  c  0  1  a �0  có hai

b
c
S  x1  x2 
, P  x1.x2 
x

,
x
a
a.
nghiệm 1 2 thì
Trang 7


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Ngược lại nếu có hai số x1 , x2 thỏa mãn S = x1 + x2 và P = x1x2 thì hai số đó
là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Dấu các nghiệm:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � P  0 .
 �0
�
��
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu �P  0 .

Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương

 �0
�
�
� �P  0
�S  0
�

.

 �0
�
�
� �P  0
�
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm �S  0 .

Điều đáng nói ở định lí này là trong khi giải toán ta có thể không quan tâm tới
giá trị của x1 , x2 mà chỉ cần biết tổng và tích của chúng, từ đó có thể có
những biểu diễn cần thiết thông qua tổng và tích.
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
(1) Giá trị lớn nhất:
Nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số bằng
nhau.
Giả sử x1  x2  S không đổi, còn P = x1.x2 thay đổi.
S2
P�
4 .
Do điều kiện S2 – 4P �0 �
S2
S
x1  x2 
2.
Vậy P đạt GTLN là 4 khi và chỉ khi

(2) Giá trị nhỏ nhất
Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi
hai số bằng nhau.
Giả sử x1 , x2  0 và x1.x2  P không đổi, còn x1  x2  S thay đổi.
Do điều kiện S2 – 4P �0 � ( S - 2 P ) (S + 2 P ) �0 � S - 2 P �0

� S �2 P

Vậy S đạt GTNN là 2 P khi và chỉ khi x1  x2  P
B. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN 9
1. Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
Trang 8


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

 Phương pháp
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 =
 Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 =  Nếu x1 + x2 = m + n, x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm
x1 = m, x2 = n hoặc x1 = n, x2 = m
 Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x2 + 2017x – 2019 = 0
b)
Giải:
a) 2x2 + 2017x – 2019 = 0 có a + b + c = 2 + 2017 +(-2019) = 0
c 2019

2
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = a

b) có a – b + c = 3 3  1  6 3  3 3  1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2= 2. Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một
nghiệm x = x1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai

 Phương pháp
- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có hai nghiệm: (hoặc ) (*)
- Thay x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện (*) để kết
luận
* Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể chọn một trong các cách làm sau:
 Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải
phương trình
 Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng hai
nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ hai
 Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai
nghiệm, từ đó tìm được nghiệm thứ hai
 Ví dụ:
Cho phương trình: mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số.
Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
* Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm
(*)
- Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có:
Trang 9


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn
*Tìm nghiệm thứ hai:
Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm
được x2 =
Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng hai nghiệm:
x1 + x2 =

 x2 = - x1 = =
Cách 3: Thay m = - vào công thức tính tích hai nghiệm
x1x2 = => x2 = : x1 = =
3. Dạng 3. Lập phương trình bậc hai:
3.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
 Phương pháp
- Lập tổng S = x1 + x2
- Lập tích P = x1x2
- Phương trình cần tìm là: x2 – S x + P = 0
 Ví dụ:
Cho x1= 3; x2= 2. Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
�S  x1  x2  5
�
�P  x1.x2  6

3.2.




3.3.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 - 5x +6 = 0
Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Phương pháp
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình: x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy: nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trình cho trước.
Trang 10


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

 Ví dụ:
Cho phương trình 2x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2.
Không giải phương trình để tìm x1; x2. Hãy lập phương trình bậc hai có
hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) và
b) 1+x1 và 1+x2
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
a) +=; .=
Phương trình cần lập là:
b) (1+x1 )+ (1+x2) = 2+ (x1+x2) = 2+=
(1+x1 ).(1+x2) = 1 + (x1+x2) + x1.x2 = =
Phương trình cần lập là:
4. Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
 Phương pháp

Với các bài toán dạng này HS phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã
cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp
dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm:
2. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 +x2 và x1. x2
Một số biểu thức thường gặp và cách biến đổi để đưa về dạng biểu
thức chứa tổng và tích các nghiệm:
* x12+ x22= (x1+ x2)2 – 2x1x2
* (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
* x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
* x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*
*
* (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2
 Ví dụ:

2
Cho pt 3x  5 x  m  0 .

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Giải:
Ta có:   ...  25  12m
Phương trình có hai nghiệm

����
0  25
 12m 0

x12  x22 

m

5
9

25
12 (*)
Trang 11


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

25
m�
12 giả sử pt có hai nghiệm là x 1 ; x2 theo Vi-ét ta có:
Với
5
�
x1  x2 
�
�
3
�
�x .x  m
�1 2 3

Lại có:

x12  x22 

(1)

 2
5
5
5
5
1
�  x1  x2   x1  x2   �  x1  x2   � x1  x2 
9
9
3
9
3 (3)

5
�
x1  x2 
�x1  1
�
�
�
3
�� 2
�
x2 
�x  x  1
�
3
�

1
2
3
Kết hợp (1) và (3) ta có hệ phương trình: �
2 m
1.  � m  2
thay vào (2) ta được 3 3
(thỏa mãn đk (*))

5. Dạng 5: Liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
5.1. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số:
 Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x và x.
- Tính m theo S và P.
- Khử m tìm hệ thức chỉ còn S và P. Thay S = x+ x, P = x. x
 Ví dụ 1:
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có hai nghiệm x 1 và
x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho
chúng không phụ thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
m  1 �0 �
m �1
�
�

�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0 �
m�
�
�
�
� 5
2m
2
�
�
S  x1  x2 
S  x1  x2  2 
(1)
�
�
�
�
m 1
m 1
��
�
�P  x .x  m  4

�P  x .x  1  3 (2)
1 2
1 2
m 1
m 1
�
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
2
2
 x1  x2  2 � m  1 
(3)
x1  x2  2
Rút m từ (1), ta có: m  1

Trang 12


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9
3
3
 1  x1 x2 � m  1 
(4)
m

1
1

x
x
1 2

Rút m từ (2), ta có:

Từ (3) và (4), ta có:
2
3

� 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2  � 3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

5.2. Chứng minh một biểu thức giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai
không phụ thuộc vào giá trị của tham số.
 Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm
- Biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện x1+x2, x1.x2
- Thay giá trị (tính theo m).
- Rút gọn biểu thức có giá trị là một hằng số.
 Ví dụ:
Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0.
Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x 1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc
giá trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
m  1 �0 �
m �1
�
�
�

�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0 �
m�
�
�
�
� 5
2m
�
S  x1  x2 
�
�
m 1
�
m
�P  x .x   4
1 2
m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �

Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =
3.

2m
m4
6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
m 1
4
m�
5.
Vậy A = 0 với mọi m �1 và

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
6. Dạng 6. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm:
 Phương pháp:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
- Tính tổng S và tích P của hai nghiệm x và x.
Trang 13


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình
- Giải tìm tham số.

- Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận.
 Ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham
số m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
x1  x2  x1 x2

Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �0
m �0
�
�
m �0
�
�
�
�
�
2
�
�
�
 '  9 m 2  2m  1  9m 2  27 m �0
 ' �0
'  �
3  m  1 �
�
�
�

� 9  m  3 m �0
�





m �0
�
m �0
�
��
��
 '  9  m  1 �0
m �1
�
�
6(m  1)
�
S  x1  x2 
�
�
m
�
�P  x .x  9(m  3)
1 2
m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �

Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết)

6(m  1) 9(m  3)

� 6( m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7
m
Nên m
(thỏa mãn)

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn
hệ thức: x1  x2  x1 x2
Ví dụ 2:
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m 2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham
số m để hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
�۳
 2m 1

2



4 m2

2



0

m

7
4

�S  x1  x2  2m  1
�
P  x .x  m 2  2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � 1 2

Vì 3x1 x2  5  x1  x2   7  0 (giả thiết)

Trang 14


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

m  2(TM )
�
�
3  m  2   5  2m  1  7  0 �
4
�
m  ( KTM )
� 3
Nên
2

Vậy với m = 2 thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2  5  x1  x2   7  0

Ví dụ 3:
Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
Giải:
16
m �0; m �
15
ĐKXĐ:
�
2  m  4 
S  x1  x2 
�
�
m
 1
�
m

7
�P  x .x 
1 2
m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �

Theo đề bài ta có:
x1  2 x2  0 � x1  2 x2 � x1  x2  3x2 � 2  x1  x2   6 x2 � 2  x1  x2   3x1

�x1  x2  3x2
2
� 2  x1  x2   9 x1 x2  2 

�
2 x  x  3 x1
Suy ra: �  1 2 

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0 � m1 = 1; m2 = -128 ( thỏa mãn ĐK trên)
7. Dạng 7. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Hãy tìm điều kiện để phương
trình có hai nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
 Ví dụ:
Xác định m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0
có hai nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
Vậy với 2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
8. Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:
 Ví dụ:
Ví dụ 1:

Trang 15


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x + m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm
2
2
của phương trình. Tìm m để: A = x1  x2  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:

�S  x1  x2    2m  1
�
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �P  x1.x2  m

Theo đề bài ta có:
x12  x2 2  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2   2m  1  8m  4m 2  12m  1   2m  3   8 �8
2

A=

2

min A  8 � 2m  3  0 � m 

2

3
2

Suy ra:
Ví dụ 2:
Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m = -5
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 phân
biệt với mọi m
c) Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1, x2 là hai nghiệm của phương
trình (1) nói trong phần b.)
Giải
a) Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có hai
nghiệm là x1 = 1, x2 = - 9

b) Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5
= m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
c) Vì phương trình có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]
=> = 2 = khi m + = 0 m = Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = 9. Dạng 9. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương
trình tương đương.
9.1. Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
 Phương pháp:
- Tính
- Chứng minh hoặc để suy ra một biệt số không âm (Chú ý kết hợp giả thiết
nếu có).
 Ví dụ:
Trang 16


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Ví dụ 1:
Cho hai phương trình: x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0
(2)
Chứng minh rằng: Với mọi m, ít nhất một trong hai phương trình trên có
nghiệm.
Hướng dẫn: 26 > 0 có một biệt số không âm.
Ví dụ 2:
Cho hai phương trình bậc hai: x2 + và x2 + có các hệ số thỏa mãn điều
kiện: . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình trên có
nghiệm.

Hướng dẫn: Giả sử hai phương trình vô nghiệm:
<0
0
( mâu thuẫn với giả thiết)
9.2. Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất có một nghiệm chung.
 Phương pháp:
 Cách 1:
- Giả sử x0 là nghiệm chung, lập hệ hai phương trình (ẩn x và tham số).
- Giải hệ phương trình tìm , tìm tham số.
- Thử lại: Thay các giá trị của tham số vào từng phương trình, giải các
phương trình, tìm nghiệm chung.
- Rút kết luận.
 Cách 2: Rút tham số từ một phương trình đã cho.
- Thế giá trị của tham số vào phương trình còn lại, tìm x.
- Thay giá trị của x tìm m.
- Rút kết luận.
 Ví dụ:
Ví dụ 1:
Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm
chung
x2 - (k + 4)x + k + 5 = 0
x2 - (k + 2)x + k +1= 0
Hướng dẫn: x= 2 ; k = 1
Ví dụ 2:

Trang 17


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất một
nghiệm chung
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
Hướng dẫn: (m - 4)x= m - 4:
 m = 4: hai phương trình có dạng: x2 + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm)
 m 4: x= 1 ; m = -2
9.3. Tìm giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai đã cho tương đương với
nhau.
 Phương pháp:
- Chỉ ra một phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Lập hệ phương trình
- Giải hệ phương trình tìm giá trị của tham số.
- Thử lại, rút kết luận.
 Ví dụ:
Cho phương trình bậc hai (1). Tìm m và n để phương trình (1) tương đương
với phương trình (2)
 Phương trình (2) có ac = -5 < 0 (2) có 2 nghiệm phân biệt.
*
* Thử lại, kết luận.
10. Dạng 10. Chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm
 Ví dụ:
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 18x + 1= 0.
Đặt Sn = x1n + x2n ( n �N). Chứng minh:
a) Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn
b) Sn nguyên dương và Sn không chia hết 17 với mọi n là số tự
nhiên.
Giải:
a. Vì x1, x2 là nghiệm phương trình x2 - 18x + 1 = 0 nên theo hệ
thức Viét ta có:

x1 + x2 = 18 và x1x2 = 1
Ta có: Sn+2 = x1n+2 + x2n+2 và Sn+1 = x1n+1 + x2n+1
x1n(x12 - 18x1 + 1) + x2n(x22 - 18x2 + 1) = 0
hay x1n+2+ x2n+2 - 18(x1n+1 + x2n+1) + (x1n + x2n) = 0
 Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn

Trang 18


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

b. Ta có: S1 = 18, S2 = x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 182 - 2 = 322
mà Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn nên Sn nguyên dương với mọi n là số tự
nhiên.
Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1
= 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn mà S1 = 18, S2
=322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4, S5,…. đều không
chia hết cho 17  Sn không chia hết cho 17 với mọi n là số tự
nhiên.
11. Dạng 11. Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập
 Ví dụ:
Tìm hai số x và y biết
�x  y  3
�2
2
a. �x  y  5
�x y 2
�2
2
b. �x  y  34

Giải:
a. Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
� S 3
�2
�S  2 P  5 

�S  3
�
�P  2

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2. Vậy (x ; y) �  2;1 ;  1; 2  
b. Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ
� S 2
�S  2
��
�2
�S  2 P  34
�P  15

Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của
phương trình X2 - 2X - 15 = 0, giải ra ta được x1 = 3; x2 = -5

Vậy (x ; y) �  3;5  ;  5;3 
12. Dạng 12. Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ 0 quan
hệ với Parabol y = mx2 với m ≠ 0
 Phương pháp:
Loại 1:

Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a  0) đi qua 2 điểm A
(xA; yA); B (xB; yB) thuộc Paraboly = mx2 (m  0).
* Cơ sở lý luận:
Trang 19


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao
điểm là nghiệm của phương trình: mx2 = ax + b  mx2 - ax - b = 0.
Từ đó theo Viet ta có:
(*)
Từ (*) tìm a và b  PT (d)
Loại 2:
Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M
(xM; yM)
* Cơ sở lý luận:
Do (d) và (P) có duy nhất một giao điểm nên phương trình:
mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Viet, ta
có:
 a và b
 Phương trình tiếp tuyến
Cho Parabol (P) có phương trình: (P): y = x2. Gọi A và B là 2 điểm
 (P) có hoành độ lần lượt là xA = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình
đường thẳng đi qua A và B.
Bổ sung: Công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và độ
dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A và B (x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó:
Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2

Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức:
xM 

x A  xB
y  yB
; yM  A
2
2

C. KẾT QUẢ:
Kiểm tra 50 học sinh lớp 9 về việc ứng dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán.
Trước và sau khi dạy chuyên đề đã thu được kết quả như sau:
Kết quả thống kê
Câu
Trước khi
Sau khi
Nội dung
hỏi
dạy chuyên đề
dạy chuyên đề
Làm được
Tỉ lệ %
Làm được Tỉ lệ %
Em hãy nêu định lý Vi-ét.
Áp dụng nhẩm nghiệm
1 của các phương trình sau:
a/ 2014x2 + 14x – 2028 = 0
46/50
92

49/50
98
b/ x2 + 7x + 12 = 0
45/50
90
47/50
94
Trang 20


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Cho phương trình
với m là tham số.

2

a)CMR phương trình luôn
có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định giá trị của m
để phương trình có tích
hai nghiệm bằng 5, từ đó
hãy tính tổng hai nghiệm
của phương trình.
c)Tìm một hệ thức liên hệ
giữa hai nghiệm không
phụ thuộc vào m.
d) Tìm m để phương trình
có nghiệm thoả mãn hệ
thức: .

43/50

86

45/50

90

40/50

80

44/50

88

39/50

78

43/50

86

38/50

76

42/50

84

Trang 21


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.
1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy tôi nhận thấy các em học
sinh hứng thú hơn trong học tập, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số
bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là định
lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một
cách đơn giản, dễ hiểu thông qua một định lý quen thuộc là định lý Vi-et.
Nếu trình bày những kiến thức này một cách có hệ thống, gắn kết lại thì học
sinh sẽ nhận ra bản chất của vấn đề nhanh hơn khi để chúng ở dạng riêng lẻ.
Học sinh thấy được lợi ích to lớn khi áp dụng nó trong việc làm bài tập
và bài thi, kết quả các bài kiểm tra, bài thi học kì cao hơn. Đa số các em học
sinh khá, giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao kiến thức nhưng các em
không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách tham khảo rất nhiều
loại. Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự
học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,…Mong rằng sáng kiến kinh nghiệm:
”Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về phương trình bậc
hai một ẩn cho HS lớp 9” góp phần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng
dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán bậc hai để các em thêm tự tin trong
học tập. Sẽ có nhiều mảng nữa trong toán học mà định lí Vi-ét có thể được
sử dụng tới tuy nhiên tôi chưa thể có được hệ thống trọn vẹn.
2. Khuyến nghị:
* Đối với giáo viên

- Phải nỗ lực vượt khó, phải nắm vững kiến thức trọng tâm để có thể tìm
ra cách giải khác cho học sinh dễ hiểu.
- Giáo viên phải nắm bắt kịp thời việc đổi mới phương pháp giảng dạy.
- Đọc sách, nghiên cứu các tài liệu để nâng cao trình độ.
- Khuyến khích động viên học sinh, khen chê kịp thời, phân chia đôi bạn
cùng tiến giúp đỡ nhau học tập.
* Đối với học sinh:
- Học sinh phải nỗ lực, kiên trì, cần cù chịu khó.
- Thường xuyên đọc sách, tìm tòi kiến thức mới.
- Lắng nghe hướng dẫn của giáo viên. Có thể học hỏi các bạn học sinh
khác./.

Trang 22


Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

TÀI LIỆU THAM KHẢO
-

-

Tuyển tập các bài toán hay và khó - Đại số 9 của nhà xuất bản đại học
quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng
Khanh-Lê Văn Thường).
Sách giáo khoa Toán 9 _ Tập 2.
Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2.
Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2.
Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 của nhà xuất bản giáo dục
in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng - Phạm Thị Bạch Ngọc).

Các đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm.
Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào 10 của Thành phố Hà Nội.

Trang 23