SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG phương pháp lượng giác hóa

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Lĩnh vực : Toán
Cấp Trung học Phổ thông

Năm học 2014 - 2015


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG BÁO CÁO

Viết tắt
GV
HS
THPT

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Trung học phổ thông

2/40


MỤC LỤC

1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1.........................................................................11
CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA...................12
Chương này sẽ làm rõ việc rèn luyện hai kỹ năng: Kỹ năng nhận dạng dấu
hiệu lượng giác, kỹ năng vận dụng tri thức lượng giác vào giải bài toán
trung gian thông qua phân tích cụ thể các ví dụ minh họa cho từng kỹ năng.
Cuối cùng, đưa ra một số bài tập giúp các em HS rèn luyện kỹ năng giải bài
toán bằng phương pháp lượng giác hóa......................................................12
2.1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA.................................12
2.1.2. Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp lượng
giác hóa...........................................................................................................13
Trong khuôn khổ báo cáo chỉ tập trung vào 2 kỹ năng là kỹ năng nhận
dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán
về dạng toán lượng giác và kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài
toán trung gian.................................................................................................13
2.1.2.1. Kỹ năng 1: Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương
pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác..................13
2.1.2.2. Kỹ năng 2: Vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung
gian..................................................................................................................24
Sau đây là một số ví dụ minh họa:.........................................................25
2.2.BÀI TẬP RÈN LUYỆN...................................................................30
2.2.1. Bài tập..........................................................................................30
Bài 20: Giải phương trình: ....................................................................32
2.2.2. Hướng dẫn hoặc lời giải...............................................................32
Vậy giá trị lớn nhất là 9, giá trị nhỏ nhất của A là -4.............................37


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Xuất phát từ yêu cầu của xã hội: Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học
công nghệ có những bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo con người không chỉ là
nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với
tiềm lực khoa học kỹ thuật của đất nước. Do đó ngành giáo dục giữ vai trò quan
trọng để đào tạo ra con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết
những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn
của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh.
Xuất phát từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học: Đổi mới phương
pháp giáo dục dạy học sẽ khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho HS. Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở
trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học
tập thụ động.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc
dạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông là
dạy hoạt động toán học. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo.
Thực tiễn dạy học cho thấy: Khi giải một số lớp bài toán quan trọng ở
phổ thông: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tích
phân,… HS thường đi vào bế tắc khi không có định hướng khác để giải bài toán.
Định hướng cho HS nhìn bài toán theo con mắt ‘‘lượng giác’’ là một hướng rất
hay mà có thể giúp HS tư duy đa dạng hơn. Từ những bài toán không chứa
những yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng
giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa. Phương pháp lượng
giác hóa trong giải các bài toán ở phổ thông là một phương pháp rất hay nhưng
rất ít được GV đề cập để giúp các em có cái nhìn theo nhiều khía cạnh khác
nhau khi giải một bài toán. HS có thêm những công cụ mới để diễn đạt, suy

luận. Thế nhưng việc nhận dạng và sử dụng không thành thạo phương pháp trên
đã làm cho HS bế tắc, không hứng thú khi giải toán.
Với những lý do trên, tôi chọn báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là “Rèn
luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác cho học sinh THPT’’.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
a) Mục đích
1/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán
bằng phương pháp lượng giác hóa cho HS THPT.
b) Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học toán.
- Tìm hiểu thực tiễn ở trường THPT về vấn đề dạy học phương pháp lượng
giác hóa.
- Làm rõ những kỹ năng chính để giải toán bằng phương pháp lượng giác
hóa cho HS THPT.
- Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng cho HS thông qua việc lựa chọn và
sử dụng hệ thống bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu lựa chọn xây dựng và sử dụng hợp lý hệ thống bài tập trong dạy
học thì có thể rèn luyện được cho HS những kỹ năng vận dụng phương pháp
lượng giác hóa trong giải một số dạng toán, góp phần nâng cao hiệu quả của
việc dạy học ở phổ thông.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu lý luận.
- Quan sát, điều tra thực tiễn.
5. CẤU TRÚC BÁO CÁO

Ngoài phần mở đầu, kết luận, báo cáo gồm có 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Xây dựng và hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng giải toán bằng
phương pháp lượng giác hóa.

2/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG
1.1.1. Về dạy học giải bài tập toán:
a) Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT
* Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là phát triển ở
HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến tri thức khoa học của
nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân. Hệ thống những kiến thức
và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại và có năng lực vận dụng những
tri thức đó vào những tình huống cụ thể trong đời sống, trong lao động sản xuất.
* Vai trò
Trong mọi lĩnh vực, toán học là công cụ để HS học tốt các môn học
khác, giúp HS hoạt động hiệu quả và rèn luyện những phẩm chất, đức tính của
người lao động: Tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, khoa học sáng tạo.
* Ý nghĩa
Giải bài tập toán là hình thức hiệu quả nhất để có thể kiểm tra năng lực
về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học của HS. Việc giải bài
tập toán có tác dụng lớn trong việc hứng thú học tập nhằm phát triển trí tuệ và
góp phần giáo dục, rèn luyện con người HS về nhiều mặt.

b) Vị trí và chức năng của bài tập toán
* Vị trí
Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Đối với HS có
thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hoạt động giải
bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở phổ thông.
* Các chức năng của bài tập toán
1. Chức năng dạy học.
2. Chức năng giáo dục.
3. Chức năng phát triển.
4. Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho HS
những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán hình thành cho HS thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo.
3/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

- Chức năng phát triển: Phát triển năng lực tư duy cho HS và rèn luyện
những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá
khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ
phát triển của HS.
Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phụ thuộc vào việc
khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của tác giả viết
sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người GV phải có nhiệm vụ
khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
c) Dạy học phương pháp giải bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời
giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải
được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập của HS, phát triển tư duy, GV
phải hình thành cho HS phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến
hành theo 4 bước sau:
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng
thú với bài toán đó. Vì thế người GV phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò
mò, hứng thú cho HS và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quá. Tiếp
theo GV phải giúp HS phân tích bài toán đã cho qua các việc như: Xác định đâu
là ẩn, đâu là dữ kiện? Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần) như thế
nào? Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều
kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?
- Bước 2: Xây dựng chương trình lời giải.
“Phải phân tích bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải huy
động kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến điều
kiện, những quan hệ trong bài toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần
gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả.
- Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một
dạng toán nào đó.
Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể). Khai thác kết quả nếu có thể
có của bài toán.
4/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán.
Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa vô cùng quan
trọng. Cần phải luyện tập cho HS có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem
có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc
bài toán phải biện luận.
1.1.2. Về rèn luyện kỹ năng
a) Kỹ năng
Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó,
khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì.
Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định. Nếu tạm thời
tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức,
thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả
năng “biết làm”.
Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói
quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp.
“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến
thức thuần túy, so với thông tin trơn”.
Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: HS không nắm vững kiến thức
các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình
thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho HS, người thầy giáo cần
phải tổ chức cho HS học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, sáng tạo để HS có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng
vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học

đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với
xã hội”.
b) Đặc điểm của kỹ năng
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.

5/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri
thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì: “Môn toán là môn học
công cụ có đặc diểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển
nhân cách trong trường phổ thông”. Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng
những tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và
phát triển trong hoạt động.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiến
thức, kỹ năng, phương pháp.
c) Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho HS nắm vững một hệ thống phức tạp
các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các
bài tập. Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho HS, chủ yếu là kỹ năng học tập và
kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp HS hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết các
đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.

d) Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh). Để thực hiện tốt môn toán ở trong
trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức và kỹ năng,
cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán
và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: Tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng
cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt
động và tư duy hàm. Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có
những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
1.2. TÌNH HÌNH DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ VIỆC RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Ở PHỔ
THÔNG
Dạy học giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa ở phổ thông còn
gặp nhiều khó khăn, kết quả chưa tốt. Việc dạy phương pháp này vẫn chưa được
chú trọng…
a)Về phía giáo viên

6/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

GV chưa khái quát cho HS mỗi dạng toán cần phải làm như thế nào mà
chỉ quan tâm đưa ra bài tập và trình bày lời giải hoặc hướng dẫn một cách qua
loa cho HS.
Do khi giảng dạy trên lớp, GV cần truyền tải một số lượng lớn kiến
thức nên không có đủ thời gian để chú trọng, khắc sâu kiến thức cho HS. Trong
đó, tri thức về phương pháp lượng giác hóa là một trong những tri thức rất hữu
dụng để giải một số lớp bài tập phổ thông mà GV không thể giới thiệu cho HS
trong một ít tiết học được.

Do các kiến thức về lượng giác của HS còn yếu, do mất gốc từ đầu nên
gây khó khăn cho GV khi dạy học áp dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải
toán.
Hiện nay, GV vẫn dạy theo hướng đọc giải nhiều, đôi khi HS không hiểu
mà làm theo thói quen. Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương
pháp lượng giác hóa cho HS ở phổ thông còn chưa được quan tâm, chú trọng.
b) Về phía học sinh.
Phương pháp lượng giác hóa có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài
toán về giải phương trình, hệ phương trình, tích phân, hình học… Tuy vậy, khi
HS sử dụng phương pháp này không tránh khỏi những khó khăn và sai lầm.
Thứ nhất, HS chưa biết nhận ra dấu hiệu nào để chuyển bài toán ban đầu
sang bài toán lượng giác hóa.
Thứ hai, HS gặp khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến
lượng giác. Hơn nữa phân phối chương trình hàm số lượng giác và phương
trình lượng giác chiếm rất ít thời gian nên việc nắm vững lý thuyết và vận dụng
vào giải bài tập của HS còn chưa được tốt. HS còn lúng túng, gặp nhiều khó
khăn khi làm bài tập.
Thứ ba, do các em chưa có cái nhìn tổng quan nên để phát hiện ra bài
toán sử dụng phương pháp lượng giác hóa cũng không phải là dễ.
Thứ tư, thực tế hiện nay trình độ của HS còn hạn chế, không đồng đều,
khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dạy dành cho toán chưa nhiều. Đây
là lí do gây cản trở cho việc HS tiếp thu tri thức toán nói chung, tri thức về
phương pháp lượng giác trong giải toán nói riêng.
Nếu các giờ dạy vẫn tiến hành đồng loạt, áp dụng như nhau đối với mọi
đối tượng HS, bài tập đưa ra cho HS có chung một mức độ khó, dễ thì không
phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho HS khá giỏi. Còn HS yếu kém thì không
nắm vững được nội dung trên.
1.3. MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG
GIÁC HÓA
7/40

Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Kỹ năng giải bài tập toán, đặc biệt là giải toán bằng phương pháp lượng
giác hóa bao gồm một hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành để vận dụng tri
thức (kiến thức, phương pháp) vào việc giải các bài tập khác nhau.
Kỹ năng giải toán được hình thành qua quá trình giải bài toán bằng
phương pháp lượng giác hóa. Ta có 4 bước giải bài toán bằng phương pháp
lượng giác hóa như sau:
Bước 1: Nhận dạng các dấu hiệu chuyển bài toán sang bài toán lượng
giác.
Bước 2: Chuyển đổi bài toán từ ngôn ngữ không có yếu tố lượng giác
sang bài toán với ngôn ngữ lượng giác (bài toán trung gian).
Bước 3: Giải bài toán trung gian.
Bước 4: Đối chiếu, kết luận và kiểm tra đánh giá.
Trong quá trình giải một bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa,
HS cần có những kỹ năng cơ bản sau:
- Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác
hóa.
- Kỹ năng chuyển bài toán đã cho về ngôn ngữ lượng giác.
- Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian.
- Kỹ năng chuyển kết quả của bài toán trung gian về yêu cầu của bài toán
ban đầu .
Báo cáo này chỉ tập trung vào rèn luyện 2 kỹ năng:
- Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác
hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác.
- Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải các bài toán trung gian.
1.3.1. Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác
hóa

Phương pháp lượng giác hóa là phương pháp rất hữu dụng để giải các
bài toán như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Nhưng không một phương pháp giải toán nào là
toàn năng. Chính vì vậy, vấn đề đặt ra là những bài toán nào sẽ thích hợp cho
việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa. Từ đó, GV cần truyền đạt cho HS các
tri thức về dấu hiệu nhận dạng để HS có thể sử dụng thành thạo phương pháp
này vào giải toán.
Ví dụ 1:
Cho a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện: a 2 + b 2 = 4 . Chứng minh rằng:
2a 2 + 8ab − 3b2 ≤ 20 .

Phân tích:
8/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện. Trong đó a,
b bị ràng buộc bởi mối liên hệ: a 2 + b 2 = 4 .
Nhận xét: Với điều kiện của a, b là a 2 + b 2 = 4 , GV gợi ý cho HS liên
tưởng tới hệ thức cơ bản sin 2 t + cos 2 t = 1 . Từ đó, GV gợi ý cho HS có thể đặt ẩn
phụ để chuyển bài toán ban đầu về ngôn ngữ lượng giác hay không?
( a = 2cos t , b = 2sin t , t ∈ [ 0,2π ] ).
Như vậy, với cách đặt ẩn phụ như trên GVđã chuyển bài toán ban đầu về
bài toán chứng minh bất đẳng thức lương giác tương đương dưới đây:

12cos 2 t + 32sin t.cos t − 9sin 2 t ≤ 20
Đây là bất phương trình lượng giác cơ bản mà HS dễ dàng chứng minh
được.
1.3.2. Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian.

Đây cũng là một kỹ năng mấu chốt trong phương pháp lượng giác hóa.
Trong kỹ năng này, cần rèn luyện cho HS các kỹ năng sau: Kỹ năng giải phương
trình lượng giác (kỹ năng viết đúng các công thức nghiệm của các phương trình
cơ bản, kỹ năng sử dụng đúng các công thức biến đổi lượng giác, kỹ năng đặt
điều kiện xác định của phương trình và biết đối chiếu nghiệm tìm được với điều
kiện xác định), kỹ năng biến đổi tương đương, kỹ năng tìm miền giá trị của hàm
số lượng giác.
Ví dụ 2:
Giải phương trình: 4 x 3 − 3x = 1 − x 2 .
Phân tích:
Khi nhìn thấy phương trình này, HS thường nghĩ đến phương pháp khử
căn, nhưng như vậy ta sẽ đưa về giải phương trình bậc 6, không có phương
pháp giải, cũng có em nghĩ đến phương pháp hàm số (thường cm có nghiệm duy
nhất) nhưng bài toán này cũng không nhẩm ra ngay nghiệm được nên phương
pháp này không khả quan.
Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán −1 ≤ x ≤ 1 , GV đặt ra câu hỏi: các em liên
tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, các
em nghĩ đến hàm cos, sin đã học ( kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu sử dụng
phương pháp lượng giác hóa)… Vậy ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán
lượng giác tương đương không?

9/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Từ đó, GV định hướng cho HS có thể chọn một trong 2 cách đặt ẩn phụ:
 −π π 
x = sin t , t ∈  ,  hoặc x = cos t , t ∈ [ 0, π ] . GV chú ý cho HS về miền giá trị
 2 2

của t với cách đặt ẩn phụ tương ứng.
Giả sử HS chọn x = cos t , t ∈ [ 0, π ] . Khi đó, bài toán giải phương trình vô
tỉ sẽ tương đương với bài giải phương trình lượng giác sau:
4cos3 t − 3cos t = 1 − cos 2 t .
GV định hướng cho HS cách giải phương trình lượng giác này bằng
những gợi ý như sau. GV đưa ra câu hỏi yêu cầu HS rút gọn 2 vế của phương
trình. GV gợi ý cho HS quan sát 2 vế của phương trình và nhận xét. GV có thể
gợi ý sâu hơn bằng cách đặt câu hỏi: ‘‘Vế trái của phương trình giống công thức
biến đổi lượng giác nào đã biết?’’. Đến đây, các em sẽ nghĩ ngay đến công thức
nhân ba:
cos3t = 4cos3 t − 3cos t .
GV đặt ra câu hỏi: ‘‘Để rút gọn vế phải của phương trình, thì các em có
nhớ hệ thức lượng giác nào liên quan đến cos 2 x ’’. HS sẽ liên tưởng ngay đến hệ
thức lượng giác cơ bản: sin 2 x +cos 2 x = 1 . Từ đó, HS có thể rút gọn phương
trình lượng giác về phương trình sau: cos 3t = sin t .
Khi giải phương trình lượng giác, GV gợi ý cho HS quan sát phương trình
và đặt câu hỏi: ‘‘Phương trình lượng giác trên gần giống phương trình lượng
giác cơ bản nào’’. HS sẽ nhận ra gần giống phương trình lượng giác cơ bản
cos x = cos α ,sin x = sin α . Đến đây, HS sẽ tìm cách chuyển đổi phương trình
trên về cùng là hàm sin hoặc cùng là hàm cos .
Giả sử chọn chuyển 2 vế về cùng hàm cos . Lúc này, GV hỏi HS cách
chuyển như thế nào? HS sẽ nhớ ra công thức biến đổi giá trị lượng giác của các

π
hàm đặc biệt sin t = cos( − t ) . Khi đó, HS sẽ chuyển phương trình về phương
2
π

trình sau: cos3t = cos  − t ÷.
2 

GV gọi một em nhắc lại cách giải về phương trình lượng giác cơ bản:
cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π (k ∈ Z ) .
Từ đó, HS áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ
bản để giải bài toán trên.

10/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

π

3
t
=
− t + k 2π

π
π

2
cos3t = cos  − t ÷ ⇔ 3t = ±( − t ) + k 2π ⇔ 
(k ∈ Z ) .
π
2
2 
3t = −( − t ) + k 2π

2
Sau khi giải phương trình tìm được nghiệm t như sau:

 π kπ
t = 8 + 2
(k ∈ Z ) .

−
π
t =
+ kπ

4
GV cần chú ý cho HS về điều kiện t ∈ [0,π ] . GV đặt câu hỏi: ‘‘Với điều
kiện này thì ta được giá trị t nào thỏa mãn?’’. GV định hướng HS tìm t bằng
cách yêu cầu các em thay từng giá trị t vào điều kiện 0 ≤ t ≤ π , để tìm điều kiện
 π 5π 3π 
của k ( k ∈ Z ). Từ đó, HS dễ dàng tìm được t ∈  , ,  .
8 8 4 
Sau khi tìm t , GV yêu cầu HS thay vào phương trình x = cos t , t ∈ [ 0, π ]
5π
3π 
 π
ta thu được: x ∈ cos ,cos ,cos  .
8
8
4 

Qua quá trình giải bài tập HS được rèn luyện kỹ năng giải phương trình
lượng giác một cách kỹ càng hơn.
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Để thực hiện nhiệm vụ của báo cáo, ở chương 1 đã tiến hành: Nghiên
cứu lý luận về dạy học giải bài toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, bốn bước giải

toán của Polya. Đồng thời tìm hiểu thực trạng hiện nay ở THPT về kỹ năng giải
toán bằng phương pháp lượng giác hóa của HS.
Từ đó xác định một số kỹ năng cần thiết để HS giải toán bằng phương
pháp lượng giác hóa.Những việc này sẽ làm cơ sở để xây dựng và sử dụng hệ
thống bài tập ở chương 2 nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng cho HS

11/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN
LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
LƯỢNG GIÁC HÓA
Chương này sẽ làm rõ việc rèn luyện hai kỹ năng: Kỹ năng nhận dạng
dấu hiệu lượng giác, kỹ năng vận dụng tri thức lượng giác vào giải bài toán
trung gian thông qua phân tích cụ thể các ví dụ minh họa cho từng kỹ năng.
Cuối cùng, đưa ra một số bài tập giúp các em HS rèn luyện kỹ năng giải bài toán
bằng phương pháp lượng giác hóa.
2.1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
2.1.1. Căn cứ và định hướng lựa chọn sắp xếp hệ thống bài tập
Khi giải toán cần chú ý tìm kiếm những bài toán có liên quan và đề xuất
ra những bài toán mới. Trong quá trình tiến hành giải một bài toán, HS có thể sử
dụng các phương pháp khác nhau, các suy luận khác nhau và tìm ra các lời giải
khác nhau. Vì vậy, để tìm được lời giải hay cho một bài toán, HS cần phải kiểm
tra và nghiên cứu kỹ lời giải. Đặc biệt đối với những bài toán không có thuật
giải, đòi hỏi HS phải tích cực suy nghĩ tìm tòi lời giải và có phương pháp suy
luận hợp lý đồng thời cần có kinh nghiệm trong việc sử dụng các công cụ để giải
toán.

Để phù hợp với khả năng tiếp thu của HS, hệ thống bài tập sử dụng
phương pháp lượng giác hóa được đưa ra từ dễ đến khó. Có những bài tập cơ
bản có thể dùng các công thức, định lý đã học để chứng minh và kết quả của
những bài tập này có thể vận dụng vào chứng minh các bài toán khác. Có những
bài tập phải sử dụng kiến thức tổng hợp nhằm rèn luyện kỹ năng, khả năng vận
dụng kiến thức, khả năng phát triển tư duy cho HS.
GV có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình
huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hóa, dùng để
bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để làm đề kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm… góp
phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS. Đưa ra hệ thống bài tập đã phân
dạng nhằm giúp HS có định hướng khi giải toán và thành thạo các kỹ năng giải
toán bằng phương pháp lượng giác hóa.

12/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

2.1.2. Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp lượng
giác hóa
Trong khuôn khổ báo cáo chỉ tập trung vào 2 kỹ năng là kỹ năng nhận
dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán
về dạng toán lượng giác và kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài
toán trung gian.
2.1.2.1. Kỹ năng 1: Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương
pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác.
Như đã nói ở mục 1.3, HS cần phải rèn luyện bốn kỹ năng chính khi sử
dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán, trong đó kỹ năng đầu tiên là kỹ
năng nhận dạng dấu hiệu lượng giác. Để rèn luyện kỹ năng này, GV cần trang bị
cho HS nhận dạng một số dấu hiệu sau:

• Dấu hiệu 1: Nếu (ax) 2 + (by ) 2 = r 2 . Đặt ax = r cos α , y = r sin α .
• Dấu hiệu 2: Nếu x ≤ r thì đặt x = r cos α , α ∈ [ 0, π ] hoặc y = r sin α với
 −π π 
α ∈ , .
 2 2
• Dấu hiệu 3: Nếu A ≥ k > 0 thì đặt A =

k
.
cos φ

1
− 1) = k 2 tan 2 φ .
2
cos φ
• Dấu hiệu 4: A bất kì, đặt A = tan α .
Sau đây, tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa thể hiện kỹ năng nhận
dạng dấu hiệu lượng giác hóa:
2
2
2
* Dấu hiệu 1: Nếu (ax) + (by ) = r . Đặt ax = r cos α , y = r sin α .
2
2
2
Khi đó, A − k = k (

Ví dụ 3:
2
2

Cho x + y = 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A = 2( x 3 − y 3 ) − 3( x − y ) .
Phân tích:
Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.
Trong đó x, y lại bị ràng buộc bởi điều kiện x 2 + y 2 = 2 . GV gợi ý đối với bài
toán này nếu ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp đạo hàm hay phương pháp
miền giá trị liệu có khả quan không?
Khi đó HS sẽ thấy lí do không vận dụng phương pháp đạo hàm được vì A
là biểu thức chứa hai biến, hai biến lại bị ràng buộc bởi một phương trình bậc
13/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

hai vì thế không dễ dàng để thiết lập được hàm số để khảo sát. Cũng không
thuận lợi khi ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp miền giá trị vì khi đó bài
toán chuyển về dạng toán biện luận sự có nghiệm của một hệ phương trình bậc
hai hai ẩn. Điều này là không hề dễ dàng!
Đến đây, GV gợi ý HS nhìn vào điều kiện ràng buộc giữa x và y làm ta
“liên tưởng” đến hệ thức lượng giác quen thuộc nào? Từ đó ta có thể nghĩ đến
việc đặt ẩn phụ ra sao để chuyển biểu thức đã cho về dạng lượng giác?
HS: Từ điều kiện x 2 + y 2 = 1 cho ta “liên tưởng” đến hệ thức lượng giác:
2
2
sin 2 α + cos 2 α = 1 . GV gợi ý cho HS chuyển giả thiết x + y = 2 sang đẳng
thức có vế phải bằng 1 hay không? Từ đó, HS có thể dễ dàng nhận ra cần phải
tiến hành chia cả 2 vế cho 2. Tiếp đó, GV yêu cầu HS chuyển vế trái của đẳng

thức đó về tổng bình phương của 2 biểu thức là

2

x y
,
. Như vậy, HS đã
2 2

2

 x   y 
chuyển: x + y = 2 thành 
÷ +
÷ =1.
 2  2
GV yêu cầu HS quan sát hệ thức lượng giác cơ bản: sin 2 α + cos 2 α = 1
2

2

2

2

 x   y 
và 
÷ +
÷ = 1 và cho biết liệu ta có thể chuyển bài toán ban đầu sang
 2  2
bài toán lượng giác không? Từ đó, HS sẽ nghĩ đến kỹ năng đặt ẩn phụ
x

y
= cos α ,
= sin α . hay đặt
2
2

 x = 2 cos α
với α ∈ [ 0,2π ] .

 y = 2 sin α

Thay x, y bởi lần lượt bởi 2 cos α , 2 sin α biến đổi và rút gọn để thu
được dạng lượng giác của biểu thức A .
Như vậy, GV đã giúp HS chuyển việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức đại số A thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
viết dưới dạng lượng giác.
A = 4 2(cos3 α − sin 3 α ) − 3(cos α − sinα ) .

GV gợi ý HS sử dụng các kỹ năng biến đổi công thức lượng giác cùng
với kỹ năng tìm miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Từ đó, HS dễ dàng tìm được kết quả.
VT= 2(4cos3 α − 3cos α ) + (3sin α − 4sin 3 α )
π
= 2(cos3α + sin 3α ) = 2cos(3α − )
4
HS áp dụng miền giá trị của hàm số, ta được −2 ≤ A ≤ 2 .
14/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Kết luận: vậy giá trị lớn nhất của A là 2, giá trị nhỏ nhất của A là -2
Ví dụ 4:
2
2
2
2
Cho 4 số x , y , u , v thỏa : u + v = x + y = 1. Chứng minh rằng :
u ( x − y) + v( x + y) ≤ 2
Phân tích:
Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức 4 ẩn:
u ( x − y ) + v( x + y ) ≤ 2 kèm theo điều kiện u 2 + v 2 = x 2 + y 2 = 1. Đa số
HS chúng ta tỏ ra lúng túng, và không có hứng thú tìm lời giải bài toán.
Phương pháp chứng minh bài toán này, những HS có học lực tốt sẽ nghĩ
ngay đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản: bất đẳng thức
Bunyakovsky. Nhưng mục đích tôi đưa bài toán này, để hầu hết HS có thể nhận
thấy dấu hiệu lượng giác hóa ở ngay giả thiết (nếu HS được trang bị tri thức
lượng giác hóa này). Khi đó, HS có thêm sự hứng thú khi chứng minh bài toán
này .
2
2
2
2
GV gợi ý cho HS quan sát 2 đẳng thức u + v = 1, x + y = 1. GV đặt ra
câu hỏi rằng hai hệ thức trên giống với hệ thức lượng giác nào mà ta đã học? Từ
đó, HS đưa ra được hệ thức sin 2 α + cos 2α = 1 . Như vậy, liệu ta có thể chuyển
bốn đại lượng u, v, x, y sang bốn đại lượng lượng giác được hay không? HS sẽ
nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ u, v, x, y theo hàm sin, cos. GV nhắc nhở HS
việc chọn các cặp (u,v);(x,y) theo từng góc riêng biệt, chẳng hạn theo góc φ ,
góc α .

Từ đó, HS có thể chọn u = cosφ , v = sin φ , x = cosα , y = sin α . GV yêu cầu
HS chuyển bài toán đã cho sang bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác.
HS: Như vậy, bài toán ta cần chứng minh là:
cos φ (cos α − sin α ) + sin φ (cos α + sin α ) ≤ 2 .
Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản, HS có thể chứng
minh được nhờ công thức biến đổi lượng giác và miền giá trị hàm số lượng giác
của một số hàm đặc biệt.
⇔

cos φ (cos α − sin α ) + sin φ (cos α + sin α ) ≤ 2

⇔ (cos φ .cos α + sin φ .sin α ) + (sin φ .cos α − cos φ .sin α ) ≤ 2
⇔ cos(φ − α ) + sin(φ − α ) ≤ 2
⇔

π
2 cos(φ − α − ) ≤ 2
4
15/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

π
⇔ cos(φ − α − ) ≤ 1 ( luôn đúng )
4
* Dấu hiệu 2:

 −π −π 
Nếu x ≤ r thì đặt x = r cos α , α ∈ [ 0, π ] hoặc , α ∈  , 

 2 2 
Ví dụ 5:
Chứng minh rằng:
n
n
n
Nếu −1 ≤ x ≤ 1, với mọi n ≥ 2 thì (1 − x) + (1 + x) ≤ 2 .
Phân tích:
Khi nhìn bài toán này, đa số HS sẽ làm theo phương pháp hàm số để
chứng minh bất đẳng thức. Tức là, HS sẽ chuyển bài toán chứng minh bất đẳng
n
n
n
thức trên (1 − x) + (1 + x) ≤ 2 về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=
(1 − x) n + (1 + x) n với miền giá trị của x là −1 ≤ x ≤ 1 . Lúc này, GV gợi ý cho HS
khảo sát hàm số y trên tập giá trị −1 ≤ x ≤ 1 . HS nhận thấy rằng phương pháp
này làm cho HS lúng túng khi tìm các giá trị của x để y’=0. Do đó, HS không
muốn giải tiếp.
Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán −1 ≤ x ≤ 1, GV đặt ra câu hỏi: Các em
liên tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây,
các em nghĩ đến hàm cos, sin đã học.
Lúc này, ta có thể đặt ẩn phụ như thế nào? HS có thể đặt x = cos α hoặc
x = sin α . Vậy từ đó, ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán lượng giác như
thế nào? Khi đó, HS có thể nghĩ đến việc thay x bởi cos α (giả sử chọn x = cos
α).
Khi đó, ta chuyển bài toán chứng minh sang chứng minh bất đẳng thức
n
n
n
lượng giác (1 − cos α ) + (1 + cos α ) ≤ 2 .

Đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức này, HS tỏ ra lúng túng.
Nhưng trước hêt, GV cần định hướng cho HS là rút gọn bất đẳng thức chứng
minh về đơn giản.
GV đưa ra câu hỏi gợi ý cho HS rút gọn vế trái. HS sẽ sử dụng công
thức hạ bậc để rút gọn bài toán:
1
sin 2 α = (1 − cos2α )
2
1
cos 2α = (1 + cos2α )
2
Khi đó ta được:

16/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

α
2
α
1 + cosα = 2cos 2
2
Như vậy, HS thay vào bất phương trình ta được:
α
α
⇔ (2sin 2 ) n + (2cos 2 ) n ≤ 2 n
2
2
Từ đây, HS dễ dàng rút gọn ta được:

α
α
(sin 2 ) n + (cos 2 ) n ≤ 1 .
2
2
GV gợi ý cho HS: Các em thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương tự
miền giá trị của hàm số của hàm số đã biết chưa? HS đã được trang bị một số tri
thức về miền giá trị của một số hàm đặc biệt. Khi đó, HS nhớ tới ngay miền giá
trị của hàm số y=sin n α + cos nα .
HS: hàm số −1 ≤ sin n α + cos nα ≤ 1
Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 6:
1 − cosα = 2sin 2

2
Chứng minh rằng : 3 9 − a + 4a ≤ 15

Phân tích:
Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức GV đặt các câu hỏi để HS
tự phát huy được tính tự học của HS. Bài toán cần chứng minh:
3 9 − a 2 + 4a ≤ 15 . Đây là bất đẳng thức chứa một ẩn. Các em có định hướng
chứng minh như thế nào? Đa số HS nghĩ đến cách sử dụng phương pháp biến
đổi tương đương:
3 9 − a 2 + 4a ≤ 15
⇔ −15 ≤ 3 9 − a 2 + 4a ≤ 15
Chứng minh:
3 9 − a 2 + 4a ≤ 15
3 9 − a 2 + 4a ≤ 15
⇔ 3 9 − a 2 + 4a − 15 ≤ 0
⇔ 3 9 − a 2 ≤ 15 − 4a

17/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

a ≥ 3
Với điều kiện 
15
 −3 ≤ a ≤

4
⇔ 81 − 9a 2 ≤ 225 − 120a + 16a 2
⇔ −25a 2 + 120a − 144 ≤ 0
⇔ −(5a − 12) 2 ≤ 0
(luôn đúng)
Tương tự: chứng minh với −15 ≤ 3 9 − a 2 + 4a
Như vậy, với cách giải như vậy, mất nhiều thời gian. GV gợi ý cho HS
thông qua việc HS chú ý tới điều kiện xác định: a ≤ 3 .
GV đưa ra quan điểm a ≤ 3 ⇔
−1 ≤

a
≤ 1 . GV đặt câu hỏi: Với miền giá trị của
3

a
≤ 1 thì giống với miền giá trị của hàm số lượng giác nào? Khi đó, HS
3

a
bởi sin α (giả sử lấy
3
theo hàm sin) tức là thay a bởi 3sin α . Khi đó, ta chuyển bài toán sang chứng
nghĩ ngay tới hàm cos và hàm sin. GV yêu cầu HS thay

2
minh bất đẳng thức lượng giác 3 9 − 9sin α + 4.3.sin α ≤ 15 .

GV gợi ý cho HS sử dụng hệ thức lượng giác đơn giản:
sin 2 α + cos 2α = 1 và sử dụng miền giá trị của hàm số thì ta thu được bất
phương trình đơn giản:
9cos α + 12sin α ≤ 15
Nhìn vào biểu thức cần chứng minh, HS sẽ chứng minh được một cách
dễ dàng:
9cos α + 12sin α ≤ 9 2 + 122 = 15 .(đpcm)
Ví dụ 7:
Giải phương trình:
x+

x
1 − x2

=1+

2
2

Phân tích:
Khi nhìn thấy pt này, HS thường nghĩ đến phương pháp khử căn, nhưng

như vậy ta sẽ đưa về pt bậc 4, hệ số lẻ không khả quan. Ngoài ra các em cũng có
thể nghĩ đến phương pháp hàm số. Mà sử dụng tính duy nhất nghiệm của
18/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

phương
x+

trình.

x

=1+

Tuy

nhiên,

phương

pháp

này

đối

với

bài

toán

2
là không hiệu quả.
2

1 − x2
Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán, GV đặt ra câu hỏi: Các em liên tưởng
đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1]. Đến đây, các em nghĩ
đến hàm cos, sin. Từ đó, ta thay x bởi cost, t ∈ [ 0, π ] . Khi đó, phương trình trở
thành:
cos t
2
=1+
sin t
2
Đây là bài toán lượng giác cơ bản, các em có thể giải được tìm ra t
k
*Dấu hiệu 3: Nếu A ≥ k > 0 thì đặt A =
cos φ
cos t +

Ví dụ 8:
a2 − 1 + 3
≤2
a

Cho a ≥ 1 . Chứng minh rằng :

Phân tích:

Bài toán đặt ra vấn đề: Chứng minh

a2 − 1 + 3
≤ 2 , với điều kiện
a

a ≥ 1.
Trước hết, GV nêu nhận xét: Đây là bất đẳng thức 1 ẩn. Phương pháp
mà chúng ta hay sử dụng để chứng minh bài toán này là gì? Đa số HS thường
nghĩ tới phương pháp biến đổi tương đương. Phương pháp này tỏ ra không hiệu
quả, và mất nhiều thời gian và HS dễ biến đổi sai. Từ đó, GV gợi ý HS nghĩ theo
hướng khác.
1
Với điều kiện a ≥ 1 , hay viết cách khác −1 ≤ ≤ 1 . GV gợi ý cho HS
a
1
gần giống với miền giá trị nào của
a
hàm nào mà ta đã biết? HS lập tức nghĩ ngay tới miền giá trị của hàm sin và hàm
cos.
thông qua việc so sánh miền giá trị của

19/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Như vậy, HS có thể chọn một trong 2 cách đặt

1
1
= cost hoặc =sint.
a
a

1
 π  π 
, t ∈  0; ÷∪  ;π  . Từ đó, HS có thể chuyển bài
cos t
 2 2 
toán chứng minh bất đẳng thức đại số sang chứng minh bất đẳng thức lượng
giác:
Giả sử GV chọn a =

1
−1 + 3
cos 2 t
≤2
1
cos t
GV gợi ý cho HS chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng công
thức biến đổi lượng giác và tìm miền giá trị của hàm số. Ta được điều phải
chứng minh:
cos t (tan t + 3) ≤ 2
3 cos t + sin t ≤ 2
Đến đây HS dễ chứng minh bất đẳng thức nhờ miền giá trị của hàm số
lượng giác y = α sin x + β cos x .
Ví dụ 9:

Cho a ≥ 1; b ≥ 1 . Chứng minh rằng :

a 2 − 1 + b 2 − 1 ≤ ab

Phân tích:
Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức kèm theo điều kiện cho
trước. Đa số HS gặp lúng túng khi gặp dạng toán này. HS thường sử dụng
phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản.
Nhưng với bài toán này, phương pháp này không khả quan.
Tuy nhiên từ điều kiện của bài toán a ≥ 1; b ≥ 1 , GV đưa ra gợi ý: với
điều kiệnsin α hay cách viết khác là −1 ≤
miền giá trị của

1
1
≤ 1 , −1 ≤ ≤ 1 . Từ đây, các em thấy
a
b

1 1
, giống với miền giá trị của hàm lượng giác nào mà em đã
a b

1 1
,
theo ẩn là hàm của sin x;cos x .
a b
GV yêu cầu HS sử dụng một trong 2 cách đặt để chuyển bài toán về chứng minh
bất đẳng thức lượng giác. HS có thể chọn:
học? Từ đó, HS nghĩ ngay đến cách đặt

20/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

a=

1
1
 π  π 
;b =
; α ; β ∈ 0; ÷∪  ;π  .
cos α
cos β
 2 2 
GV yêu cầu HS chuyển bài toán sang chứng minh bất đẳng thức sau:

1−

1
1
1
+ 1−
≤
2
2
cos α
cos β cosα .cosβ

GV gợi ý từng bước cho HS rút gọn ta được ngay một bất phương trình
đơn giản:
tan α + tan β ≤

1
hay sin(α + β ) ≤ 1 (luôn đúng).
cosα .cosβ

* Dấu hiệu 4: A bất kì , Đặt A = tant
Với dấu hiệu này, phương pháp lượng giác hóa trở thành một công cụ
khá hiệu quả để chứng minh một số bất đẳng thức, tưởng chừng khó chứng
minh.
Ví dụ 10:
Chứng minh rằng : Với mọi a, b
(a + b)(1 − ab) 1
≤
(1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2
Phân tích:
Đa số HS chúng ta khi nhìn bài toán này, đều nghĩ theo phương pháp
biến đổi tương đương. Nhưng thực sự, phương pháp đó, khá là dài, và cần sự tỉ
mỉ, cẩn thận.
Lời giải:
Ta chia làm 2 trường hợp:
Trường hợp 1:
(a + b)(1 − ab) 1
≤
(1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2
(a + b) 2 + ( (1 − ab) ) = ((1 + a 2 )(1 + b 2 )
2

⇔ 2(a + b)(1 − ab) ≤ (1 + a 2 )(1 + b 2 )
⇔ 2(a + b − a 2b − ab 2 ) ≤ (1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 )
⇔ 1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 − 2(a + b − a 2b − ab 2 ) ≥ 0
⇔ a 2 (1 + b 2 + 2b) + 2a(1 − b 2 ) + 1 − 2b + b 2 ≥ 0
⇔ a 2 (b + 1) 2 − 2a (1 − b)(1 + b) + (1 − b) 2 ≥ 0
⇔ ( a(b + 1) − (1 − b)) 2 ≥ 0
(luôn đúng )
21/40


Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Trường hợp 2: Tương tự
Ta cũng có:
1 (a + b)(1 − ab)
− ≤
2 (1 + a 2 )(1 + b 2 )
⇔ 2(a + b)(1 − ab) ≥ −(1 + a 2 )(1 + b 2 )
⇔ 2(a + b − a 2b − ab 2 ) + (1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 ) ≥ 0
⇔ 1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 + 2(a + b − a 2b − ab 2 ) ≥ 0
⇔ a 2 (1 + b 2 − 2b) + 2a (1 − b 2 ) + 1 + 2b + b 2 ≥ 0
⇔ a 2 (b − 1) 2 − 2a (1 − b)(1 + b) + (1 + b) 2 ≥ 0
⇔ ( a(b − 1) − (1 + b)) 2 ≥ 0
(Luôn đúng )
Với phương pháp biến đổi tương đương HS sẽ thấy rất dài. Vì thế, GV
nên định hướng một cách giải khác để HS có thể rèn luyện thêm tư duy, GV nên
gợi ý để HS rèn luyện kỹ năng nhận ra dấu hiệu lượng giác.
Đối với bài toán này, từ giả thiết bài toán a, b là các giá trị bất kì, tức a, b
miền giá trị là R. Khi đó GV đặt ra câu hỏi rằng trong lượng giác có hàm lượng
giác cơ bản nào mà miền giá trị của nó là R không? Khi đó, HS nghĩ ngay đến

hàm tan;cot . Vậy liệu ta có thể chuyển bài toán chứng minh bất đẳng thức đại
số này về bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác được hay không? Đến
đây, HS nghĩ đến cách đặt ẩn phụ a, b thông qua hàm tan hoặc cot.
Với bài toán này, tương ứng với 2 số thực a, b sẽ ứng với hai hàm lượng
giác. GV đặt ra yêu cầu là hãy chọn cách đặt ẩn phụ như thế nào? Giả sử HS
 −π π 
, ÷.
chọn a = tan u, b = tan v, u , v ∈ 
 2 2
GV yêu cầu HS chuyển bài toán ban đầu sang bài toán lượng giác:
−1 (tan u + tan v)(1 − tan u tan v) 1
≤
≤
2
(1 + tan 2 u )(1 + tan 2 v )
2
Đến đây, GV yêu cầu HS hãy sử dụng tri thức lượng giác đã biết để có
thể rút gọn và chứng minh bất đẳng thức trên. Với các kỹ năng biến đổi các công
thức lượng giác và tìm miền giá trị của hàm số, HS dễ dàng chứng minh được
bất đẳng thức trên:
sin(u + v) cos u cos v − sin u sin v
.
−1 cos u.cos v
1
cos u.cos v
≤
≤
1
2
2

2
2
cos u.cos v

22/40