Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 11 và 12

Bài 03
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC
1. Giới hạn của

sin x
x

Định lý 1

lim
x →0

Nếu lim u ( x ) = 0 thì lim
x → x0

x → x0

sin u ( x )
u (x )

sin x
= 1.
x

=1.

2. Đạo hàm của hàm số y = sin x
Định lý 2
Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và (sin x )′ = cos x .
Nếu y = sin u và u = u ( x ) thì (sin u )′ = u ′.cos u .

3. Đạo hàm của hàm số y = cos x
Định lý 3
Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x ∈ ℝ và (cos x )′ = − sin x .
Nếu y = cos u và u = u ( x ) thì (cos u )′ = −u ′ sin u .

4. Đạo hàm của hàm số y = tan x
Định lý 4
Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠
Nếu y = tan u và u = u ( x ) thì ( tan u )′ =

π
1
+ k π và (tan x )′ =
.
2
cos 2 x

u′
.
cos 2 u

5. Đạo hàm của hàm số y = cot x
Định lý 5
Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ và (cot x )′ = −

1
.
sin 2 x

u′
Nếu y = cot u và u = u ( x ) thì (cot u )′ = − 2 .
sin u

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH ĐẠO HQM

π

Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số y = sin  − 3x  .
 6

π

π

A. y ′ = 3 cos  − 3 x .
B. y ′ = −3 cos  − 3 x .
 6


6

π

π

C. y ′ = cos  − 3 x .
D. y ′ = −3 sin  − 3x .
 6

 6


π
′
π

π

Lời giải. Ta có y ′ =  − 3 x  .cos  − 3 x  = −3.cos  − 3 x  . Chọn B.
 6

 6

 6

π

1
Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y = − sin  − x 2  .

3

2
π

π

1
A. y ′ = x cos  − x 2 .

B. y ′ = x 2 cos  − x .
 3


3

2




1
π
1
π
C. y ′ = x sin  − x .
D. y ′ = x cos  − x 2 .
 3
 3


2
2
′
π

1 π
Lời giải. Ta có y ′ = − . − x 2  .cos  − x 2 




3

2 3
π



1
π
= − .(−2 x ).cos  − x 2  = x .cos  − x 2  . Chọn A.
 3
 3


2
Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y = sin ( x 2 − 3 x + 2) .
A. y ′ = cos ( x 2 − 3 x + 2 ).

B. y ′ = (2 x − 3).sin ( x 2 − 3 x + 2 ).

C. y ′ = (2 x − 3).cos ( x 2 − 3 x + 2 ).

D. y ′ = −(2 x − 3).cos ( x 2 − 3 x + 2 ).

Lời giải. Ta có y ′ = ( x 2 − 3 x + 2 )′ .cos ( x 2 − 3 x + 2 ) = (2 x − 3).cos ( x 2 − 3 x + 2 ) . Chọn C.
Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số y = x 2 tan x + x .

1
.

2 x
x2
1
C. y ′ = 2 x tan x +
+
.
2
cos x 2 x

A. y ′ = 2 x tan x +

B. y ′ = 2 x tan x +

1

.
x
x2
1
D. y ′ = 2 x tan x +
+
.
2
cos x
x
x2
1
′
Lời giải. Ta có y ′ = ( x 2 )′ tan x +(tan x )′ .x 2 + x = 2 x tan x +
+

. Chọn C.
cos 2 x 2 x

( )

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số y = 2 cos x 2 .
A. y ′ = −2 sin x 2 . B. y ′ = −4 x cos x 2 .

C. y ′ = −2 x sin x 2 .

D. y ′ = −4 x sin x 2 .


Lời giải. Ta có y ′ = −2.( x 2 )′ .sin x 2 = −2.2 x .sin x 2 = −4 x sin x 2 . Chọn D.
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y = tan

1

A. y ′ =

x +1
.
2

1
.
x +1
cos 2
2
1

D. y ′ = −
.
x +1
cos 2
2

B. y ′ =

.
x +1
2 cos 2
2
1
C. y ′ = −
.
x +1
2 cos 2
2

 x + 1′


′



+
x
1
1

 =  2  =
Lời giải. Ta có y ′ = tan
. Chọn A.


2 
2 x +1
2 x +1
cos
2 cos
2
2
Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2 + x 2 .
A. y ′ =

2x + 2

C. y ′ =

2+x
x

2

2+ x2

Lời giải. Ta có y ′ =

(

2+x

2+x
x +1

D. y ′ =

cos 2 + x 2 .

2

x

B. y ′ = −

cos 2 + x 2 .

′

) cos

2

2+x =

2+ x2

(2 + x 2 )′
2 2+x

2

2

cos 2 + x 2 .

cos 2 + x 2 .

cos 2 + x 2 =

x
2+ x2

cos 2 + x 2

Chọn C.
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2 x + 1 .
A. y ′ = −

sin 2 x + 1
2x +1

B. y ′ =

.

C. y ′ = − sin 2 x + 1.
Lời giải. Ta có y ′ = −

sin 2 x + 1

D. y ′ = −

2x +1

.

sin 2 x + 1
2 2x +1

.

(2 x + 1)′
sin 2 x + 1
2 x + 1 ′ sin 2 x + 1 =
sin 2 x + 1 = −
.
2 2x +1
2x +1

(

)

Chọn A.
Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y = cot x 2 + 1 .
A. y ′ = −
C. y ′ = −

x

2

x + 1.sin
1

2

sin 2 x 2 + 1

B. y ′ =

.

2

x + 1.sin 2 x 2 + 1
1
D. y ′ =
.
2
sin x 2 + 1
x

x +1
.

(
Lời giải. Ta có y ′ = −
sin

x 2 +1
2

2

)′

x +1

x

x 2 +1

=−
sin

2

2

x +1

=−

2

.

x
2

x + 1.sin 2 x 2 + 1

Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y = sin (sin x ).
A. y ′ = cos (sin x ).

B. y ′ = cos (cos x ).

C. y ′ = cos x .cos (sin x ).

D. y ′ = cos x .cos (cos x ).

. Chọn A.


Lời giải. Ta có: y ′ = sin (sin x ) ′ = (sin x )′ .cos (sin x ) = cos x .cos (sin x ) . Chọn C.
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = cos (tan x ) .
A. y ′ = sin (tan x )⋅

1
⋅
cos 2 x

C. y ′ = sin ( tan x ).
Lời giải. Ta có y ′ = −( tan x )′ sin (tan x ) = −

B. y ′ = − sin (tan x )⋅

1
⋅

cos 2 x

D. y ′ = – sin (tan x ).

1
.sin ( tan x ) . Chọn B.
cos 2 x

Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y = 2 sin 2 x − cos 2 x + x .
A. y ′ = 4 sin x + sin 2 x + 1.

B. y ′ = 4 sin 2 x + 1.

C. y ′ = 4 cos x + 2 sin 2 x + 1.

D. y ′ = 4 sin x − 2 sin 2 x + 1.

Lời giải. Ta có y ′ = 2.2 (sin x )′ .sin x + (2 x )′ sin 2 x + 1 = 4 cos x sin x + 2 sin 2 x + 1

= 2 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 4 sin 2 x + 1 . Chọn B.
π
 π
π
Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 2  − 2 x  + x − .
 2
 2
4
π

π

 π
π
A. y ′ = −2 sin (π − 4 x ) + ⋅
B. y ′ = 2 sin  − x  cos  − x  + .





 2
2
2
2
π

π
 π
C. y ′ = 2 sin  − x  cos  − x  + x .
D. y ′ = −2 sin (π − 4 x ).
 2


2
 2
π
 π
π 1 − cos (π − 4 x ) π
π
Lời giải. Ta có y = sin 2  − 2 x  + x − =
+ x−

 2
 2
4
2
2
4
1 π
1
π
= − cos (π − 4 x ) + x +  − 
 2 4 
2
2

 1
 1 π ′
π
Suy ra y ′ = − cos (π − 4 x ) + x +  − 
 2 4 
2
 2
1
π
π
= (π − 4 x )′ sin (π − 4 x ) + = −2 sin (π − 4 x ) + . Chọn A.
2
2
2
Câu 14. Tính đạo hàm của hàm số y = cos 3 (2 x −1) .
A. y ′ = −3 sin ( 4 x − 2 ) cos (2 x −1).

B. y ′ = 3 cos 2 (2 x −1) sin (2 x −1).

C. y ′ = −3 cos 2 (2 x −1) sin (2 x −1).

D. y ′ = 6 cos 2 (2 x −1) sin (2 x −1).

Lời giải. Ta có y ′ = cos 3 (2 x −1) ′ = 3cos 2 (2 x −1) cos (2 x −1) ′

= −6 sin (2 x −1) cos 2 (2 x −1)
= −3  2 sin (2 x −1) cos (2 x −1) cos (2 x −1) = −3 sin ( 4 x − 2 ) cos (2 x −1). Chọn A.
Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số y = sin 3 (1 − x ) .
A. y ′ = cos 3 (1 − x ).

B. y ′ = − cos3 (1 − x ).

C. y ′ = −3 sin 2 (1 − x ).cos (1 − x ).

D. y ′ = 3 sin 2 (1 − x ).cos (1 − x ).

Lời giải. Ta có y ′ = sin 3 (1 − x ) ′ = 3.  sin (1 − x ) ′ .sin 2 (1 − x ) = −3.cos (1 − x ).sin 2 (1 − x ) .
Chọn C.
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số y = tan 3 x + cot 2 x .


3 tan 2 x
2
.
+
2

cos x
sin 2 2 x
1
3 tan 2 x
2
C. y ′ = 3 tan 2 x − 2
.
D. y ′ =
.
− 2
sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x
2
3 tan 2 x
2
Lời giải. Ta có y ′ = (tan 3 x + cot 2 x )′ = 3 tan 2 x ( tan x )′ − 2
=
− 2
.
sin 2 x
cos 2 x
sin 2 x
A. y ′ = 3 tan 2 x .cot x + 2 tan 2 x .

B. y ′ = −

Chọn D.
Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số y =
A. y ′ =

C. y ′ =

− sin 2 x
2

.

2

.

(sin x − cos x )
2 − 2 sin 2 x

(sin x − cos x )

D. y ′ =

sin x + cos x
Lời giải. Ta có y =
=
sin x − cos x
Suy ra y ′ = −

1


π
cos  x + 


4

sin x + cos x
.
sin x − cos x
sin 2 x − cos 2 x
B. y ′ =
.
2
(sin x − cos x )

=−

2

−2
2

(sin x − cos x )


π
2 sin  x + 

4


π
= − tan  x + .




π
4
− 2 cos  x + 

4

1
2

 cos x − sin x 



2

Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số y = −

=

−2
2

(sin x − cos x )

4x
.
sin (1 − 2 x )

B. y ′ =

−4
.
sin (1 − 2 x )

C. y ′ =

−4 x
.
sin (1 − 2 x )

D. y ′ =

−4
.
sin (1 − 2 x )

2

2

−2 ( tan (1 − 2 x ))′
2

tan (1 − 2 x )

−4.
=

Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số y =
A. y ′ =

−2 (3 x + 1) sin 2 x − 3 cos 2 x
2

(3 x + 1)
−(3 x + 1) sin 2 x − 3 cos 2 x
C. y ′ =
.
2
(3 x + 1)

Lời giải. Ta có y ′ =

.

. Chọn D.

2
.
tan (1 − 2 x )

A. y ′ =

Lời giải. Ta có y ′ = −

.

2

1
cos 2 (1 − 2 x )
2

tan (1 − 2 x )

=

−4
. Chọn D.
sin (1 − 2 x )
2

cos 2 x
.
3x + 1
B. y ′ =

−2 (3 x + 1) sin 2 x − 3 cos 2 x

D. y ′ =

2 (3 x + 1) sin 2 x + 3cos 2 x

3x + 1
2

(3x + 1)

.

.

(cos 2 x )′ (3 x + 1) − (3 x + 1)′ .cos 2 x −2 (3x + 1) sin 2 x − 3 cos 2 x
=
.
2
2
(3 x + 1)
(3 x + 1)

Chọn A.
Câu 20. Cho f ( x ) = 2 x 2 − x + 2 và g ( x ) = f (sin x ) . Tính đạo hàm của hàm số g ( x ) .
A. g ′ ( x ) = 2 cos 2 x − sin x .

B. g ′ ( x ) = 2 sin 2 x + cos x .

C. g ′ ( x ) = 2 sin 2 x − cos x .

D. g / ( x ) = 2 cos 2 x + sin x .


Lời giải. Ta có g ( x ) = f (sin x ) = 2 sin 2 x − sin x + 2


→ g ′ ( x ) = (2 sin 2 x − sin x + 2)′ = 2.2 sin x .cos x − cos x = 2 sin 2 x − cos x . Chọn C.

Vấn đề 2. TÍNH ĐẠO HQM TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = 5 sin x − 3 cos x tại điểm x =

π
A. f ′   = 3.
 2 

π
B. f ′   = −3.
 2 

π
C. f ′   = −5.
 2 

π
.
2
π
D. f ′   = 5.
 2 

Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = (5 sin x − 3cos x )′ = 5 (sin x )′ − 3 (cos x )′ = 5 cos x + 3sin x .

π
π
π
Suy ra f ′   = 5cos + 3 sin = 3 . Chọn A.
 2 
2
2
 3π


π
Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = 2 sin  − 2 x  tại điểm x = − .
 5

5
 π
 π
 π
 π
A. f ′ −  = 4. B. f ′ −  = −4.
C. f ′ −  = 2.
D. f ′ −  = −2.
 5 
 5 
 5 
 5 

 3π
 ′
 3π
′
 3π

 3π

Lời giải. Ta có f ′ ( x ) =  2 sin  − 2 x  = 2  − 2 x  cos  − 2 x  = −4 cos  − 2 x  .
 5
 5
 5


 5




 π
 3π 2 π 
Suy ra f ′ −  = −4 cos  +  = −4 cos π = 4 . Chọn A.
 5 
 5
5
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = 2 tan x tại điểm x =

π
A. f ′   = 1.
 4 

π
.
4

π
B. f ′   = −4.
 4 

π
π
C. f ′   = 2.
D. f ′   = 4.

 4 
 4 
π
2
2
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = (2 tan x )′ =

→ f ′   =
= 4. Chọn D.
2

π
4
cos x
cos 2
4


2π
Câu 24. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = tan  x −  tại điểm x = 0 .

3
A. f ′ (0 ) = − 3. B. f ′ (0 ) = 4.

C. f ′ (0 ) = −3.

D. f ′ (0 ) = 3.


′

 x − 2π 
′
 

2 π 
1
3 
=
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) =  tan  x −  =
.
 




2π
2π 
3 
cos 2  x −  cos 2  x − 


3
3
Suy ra f ′ ( x ) =

1
= 4. Chọn B.

2π 
2

cos 0 − 

3

Câu 25. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = 2 sin 3 x cos 5 x tại điểm x =

π
.
8


π
A. f ′   = −8 − 2.
 8 

 π  −15 2
B. f ′   =
.
 8 
2

π
C. f ′   = −8 + 2.
 8 

π
D. f ′   = 2 + 4 2.
 8 

Lời giải. Ta có f ( x ) = 2 sin 3 x cos 5 x = sin 8 x − sin 2 x .

/

Do đó f ′ ( x ) = (sin 8 x − sin 2 x ) = 8 cos 8 x − 2 cos 2 x .

π
 π
 π
Suy ra f ′   = 8 cos 8.  − 2 cos 2.  = −8 − 2 . Chọn A.
 8 
 8 
 8 
Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x tại điểm x =

π 3
A. f ′   = .
 8  4

π
B. f ′   = 1.
 8 

π
C. f ′   = −1.
 8 

π
.
8
π
D. f ′   = 0.

 8 

2
1
3 1
Lời giải. Ta có f ( x ) = (sin 2 x + cos 2 x ) − 2 sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x
2
4 4

→ f ′ ( x ) = − sin 4 x .

π
 π
π
Suy ra f ′   = − sin 4.  = − sin = −1. Chọn C.
 8 
 8 
2
Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = cos 2 x − sin 2 x tại điểm x =

π
A. f ′   = 2.
 4 

π
B. f ′   = 1.
 4 

π
C. f ′   = −2.

 4 

π
.
4
π
D. f ′   = 0.
 4 

Lời giải. Ta có f ( x ) = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x 
→ f ′ ( x ) = −2 sin 2 x .

π
 π
Suy ra f ′   = −2 sin 2.  = −2. Chọn C.
 4 
 4 
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x − 2 x cos 2 x tại điểm x =

π 1
A. f ′   = .
 4  4

π π
B. f ′   = .
 4  4

π
C. f ′   = 1.
 4 

π
.
4
π
D. f ′   = π.
 4 

Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = (sin 2 x − 2 x cos 2 x )′ = 2 cos 2 x − 2 cos 2 x + 4 x sin 2 x = 4 x sin 2 x .

π
 π
π
Suy ra f ′   = 4. sin 2.  = π . Chọn D.
 4 
 4 
4
Câu 29. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =

π 3 2
π
3 2
A. f ′   =
⋅ B. f ′   = −
⋅
 3 
 3 
2
2
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = − 2.

(cos 3 x )′
cos 2 3 x

=

2
π
tại điểm x = .
cos 3 x
3
π
π
C. f ′   = 1.
D. f ′   = 0.
 3 
 3 

3 2.sin 3 x
.
cos 2 3 x

 π  3 2.sin π
Suy ra f ′   =
= 0. Chọn D.
 3 
cos 2 π
Câu 30. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =

2

1
tại điểm x = .
cos (π x )
3


1
A. f ′   = 8.
 3 

 1  4π 3
B. f ′   =
⋅
 3 
3

1
C. f ′   = 4 π 3.
 3 

1
D. f ′   = 2π 3.
 3 

2 cos (π x ) ′
sin (π x )
= 2π
.
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = −  2
cos (π x )

cos 2 (π x )
1
Suy ra f ′   = 2π.
 3 

π
sin  
 3 
π 
cos 2  
 3 

= 4 π 3 . Chọn C.

Câu 31. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) =

π
A. f ′   = 1.
 2 

π 1
B. f ′   = .
 2  2

Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = −

π
Suy ra f ′   = −
 2 

cos

(

sin x

sin x

tại điểm x =

π
.
2

π
C. f ′   = 0.
 2 

D. Không tồn tại .

(sin x )′

′

)

cos x
= − 2 sin x = −
.
sin x

2 sin x sin x

sin x

π
2

1

= 0 . Chọn C.

π
π
2 sin
sin
2
2

Câu 32. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = tan x + cot x tại điểm x =

π
A. f ′   = 2.
 4 

π
2
C. f ′   =
.
 4 
2

1
1
(tanx + cot x )′ cos2 x − sin 2 x
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) =
=
2 tanx + cot x
2 tanx + cot x

=

π
B. f ′   = 0.
 4 

sin 2 x − cos 2 x
2

2

2 sin x cos x tan x + cot x

π
Suy ra f ′   =
 4 

=

−2 cos 2 x
2

sin 2 x tan x + cot x

π
.
4
π 1
D. f ′   = .
 4  2

.

π
2
= 0 . Chọn B.
π
π
tan + cot
4
4

−2 cos
π 
sin 2  
 2 

Câu 33. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin (π sin x ) tại điểm x =

π π 3
π π
A. f ′   =

⋅ B. f ′   = ⋅
 6 
 6  2
2

π
π
C. f ′   = − ⋅
 6 
2

π
.
6

π
D. f ′   = 0.
 6 

Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = (π sin x )′ .cos (π sin x ) = π cos x .cos (π sin x ).

π

 1
π
π
3
3.π
π
Suy ra f ′   = π.cos .cos π.sin  = π.

.cos π.  =
.cos = 0. Chọn D.
 6 



 2
6
6
2
2
2
π
 π
cos x
Câu 34. Cho hàm số f ( x ) =
. Tính giá trị biểu thức P = f ′   − f ′ − .

6
 6 
1 − sin x
4
4
8
8
A. P = .
B. P = .
C. P = .
D. P = .
3

9
9
3


Lời giải. Ta có f ′ ( x ) =

=

(cos x )′ (1 − sin x ) − (1 − sin x ) ′ cos x
2
(1 − sin x )

− sin x (1 − sin x ) + cos 2 x
2

(1 − sin x )

=

1 − sin x
2

(1 − sin x )

=

1
.
1 − sin x

π
 π
1
1
1
1
4
Suy ra P = f ′   − f ′ −  =
−
=
−
= . Chọn A.
 6 
 6 
 π 
π
1
1 3
1 − sin
1+
1 − sin −  1 −
 6 
6
2
2
x
π
tại điểm x = .
2

3
π
π
π
π
3
3
3
3
A. f ′   = −
⋅ B. f ′   = −
⋅
C. f ′   = −
⋅
D. f ′   = −
⋅
 2 



2
2
2
6
4
3
2
x
2
x

x
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = 3.5.cos 5 x .sin 2 5 x .cos 2 − sin 3 5 x ⋅ ⋅ sin ⋅ cos
3
3
3
3
x 1
2x
= 15.cos 5 x .sin 2 5 x .cos 2 − sin 3 5 x ⋅ sin
.
3 3
3
π
5π
5π
π 1
5π
π
1 3
3
Suy ra f ′   = 15 cos sin 2
cos 2 − sin 3
sin = 0 − .
=−
. Chọn A.
 2 
2
2
6 3
2

3
3 2
6
Câu 35. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 3 5 x .cos 2

π2
.
16
 π2  2
D. f ′   = ⋅
 16  π

Câu 36. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin x + cos x tại điểm x =

 π2 
 π2 
A. f ′   = 2. B. f ′   = 0.
 16 
 16 
Lời giải. Tacó f ′ ( x ) =

 π2 
Suy ra f ′   =
 16 

( x )′ cos

x−

 π2  2 2

C. f ′   =
⋅
 16 
π

( x )′ sin

x=

1
2 x

cos x −

1
2 x

sin x .

1

π
1
π
cos −
sin = 0. Chọn B.
2
4
4
π

π
2
2
16
16
2

Câu 37. Hàm số f ( x ) = x 4 có đạo hàm là f ′ ( x ) , hàm số g ( x ) = 2 x + sin
hàm là g ′ ( x ) . Tính giá trị biểu thức P =

4
A. P = .
3

B. P = 2.

πx
có đạo
2

f ′ (1)
.
g ′ (1)
C. P = −2.

4
D. P = − .
3



π x ′
π
πx
Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = 4 x 3 và g ′ ( x ) = 2 x + sin  = 2 + .cos
.

2 
2
2
f ′ (1)
4
Suy ra P =
=
= 2. Chọn B.
g ′ (1) 2 + π cos π
2
2
Câu 38. Hàm số f ( x ) = 4 x có đạo hàm là f ′ ( x ) , hàm số g ( x ) = 4 x + sin
hàm là g ′ ( x ) . Tính giá trị biểu thức P =
A. P = 1.

B. P =

16
.
16 + π

f ′ (2 )
.
g ′ (2 )

C. P =

16
.
17

D. P =

1
.
16

πx
có đạo
4


Lời giải. Ta có f ′ ( x ) = 4 và g ′ ( x ) = 4 +
Suy ra P =

f ′ (2 )
=
g ′ (2 )

π
πx
cos
.
4
4

4
= 1 . Chọn A.
π
π.2
4 + cos
4
4

Câu 39. Hàm số f ( x ) = a sin x + b cos x + 1 có đạo hàm là f ′ ( x ) . Để f ′ (0 ) =

1
và
2

 π
f −  = 1 thì giá trị của a và b bằng bao nhiêu?
 4 
2
2
;b =−
.
2
2
1
1
1
C. a = ; b = − .
D. a = b = .
2

2
2

 f ′ (0 ) = 1

2
Lời giải. Ta có f / ( x ) = a cos x − b sin x . Khi đó 
 
  π 
 f −  = 1
  4 
A. a = b =

2
.
2

B. a =


1


1
a = 1
b =
a cos 0 − b sin 0 =

2
2


2
. Chọn D.
⇔ 
⇔ 
⇔ 
 π 
 π 



1
2
2




a sin −  + b cos −  + 1 = 1 −
a+
b = 0 a =
 4
 4
2

2
 2

Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) − cos 2 x với f ( x ) là hàm số liên tục trên ℝ . Trong các
biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm số f ( x ) thỏa mãn y ′ ( x ) = 1 với mọi

x∈ℝ?
1
A. f ( x ) = x + cos 2 x .
2
C. f ( x ) = x − sin 2 x .

1
B. f ( x ) = x − cos 2 x .
2
D. f ( x ) = x + sin 2 x .

Lời giải. Ta có y ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 2 sin x cos x = f ′ ( x ) + sin 2 x .
Suy ra y ′ ( x ) = 1 ⇔ f ′ ( x ) + sin 2 x = 1 ⇔ f ′ ( x ) = 1 − sin 2 x .
Đến đây ta lần lượt xét từng đáp án, ví dụ xét đáp án A ta có
/


1
1
/
f ′ ( x ) =  x + cos 2 x  = x / + (cos 2 x ) = 1 − sin 2 x (thỏa mãn).


2
2
Chọn A.


Mời quý thầy cô mua trọn bộ trắc nghiệm 11

BẢN MỚI NHẤT 2017
Liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH 0975.120.189
/>Baøi 02
DAÕY SOÁ
I – ĐỊNH NGHĨA
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ * được gọi là một dãy số
vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

u : ℕ* → ℝ
n ֏ u (n ).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1 , u2 , u3 , ..., un , ...,
trong đó un = u (n ) hoặc viết tắt là (un ), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n
và là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,..., m} với m ∈ ℕ * được gọi là một dãy
số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1 , u2 , u3 , ..., un , trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng
cuối.

II –CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số
hạng) đứng trước nó.

III – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VY DÃY SỐ BỊ CHẶN


1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1
Dãy số (un ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un +1 > un với mọi n ∈ ℕ * .
Dãy số (un ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un +1 < un với mọi n ∈ ℕ * .
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un ) với

un = (−3) tức là dãy −3,9, −27,81,... không tăng cũng không giảm.
n

2. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 2
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
*

un ≤ M , ∀n ∈ ℕ .
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

un ≥ m, ∀n ∈ ℕ * .
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là
tồn tại các số m, M sao cho

m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ℕ * .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Câu 1. Cho dãy số (un ) , biết un =

−n
. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt
n +1

là những số nào dưới đây?
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
A. − ; − ; − ; − ; − .
B. − ; − ; − ; − ; − .
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
C. ; ; ; ; .
D. ; ; ; ; .
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
Lời giải. Ta có u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ; u4 = − ; u5 = − . Chọn A.
2
3
4
5
6
Nhận xét: (i) Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra (tính) nhanh.

(ii) Ta thấy dãy (un ) là dãy số âm nên loại các phương án C, D. Đáp án đúng là A
hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là được.
1
Chẳng hạng kiểm tra u1 thì thấy u1 = − nên chọn A.
2
n
Câu 2. Cho dãy số (un ) , biết un = n
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là
3 −1
những số nào dưới đây?


A.

1 1 1
; ; .
2 4 8

B.

1 1 3
; ; .
2 4 26

C.

1 1 1
; ; .
2 4 16

D.

1 2 3
; ; .
2 3 4

Lời giải. Dùng MTCT chức năng CALC: ta có
1
2
2 1
3
3
u1 = ; u2 = 2
= = ; u3 = 3
= . Chọn B.
2
3 −1 8 4
3 −1 26
u1 = −1
Câu 3. Cho dãy số (un ) , biết 
với n ≥ 0 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số

un +1 = un + 3
đó là lần lượt là những số nào dưới đây?
A. −1;2;5.
B. 1;4;7.

C. 4;7;10.

D.   −1;3;7.

Lời giải. Ta có u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5. Chọn A.
Nhận xét: (i) Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính:
Nhập vào màn hình: X = X + 3.
Bấm CALC và cho X = −1 (ứng với u1 = −1)
Để tính un cần bấm “=” ra kết quả liên tiếp n −1 lần. Ví dụ để tính u2 ta bấm “=”
ra kết quả lần đầu tiên, bấm “=” ra kết quả thứ hai chính là u3 ,...
(ii) Vì u1 = −1 nên loại các đáp án B, C. Còn lại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta
chỉ cần kiểm tra u2 (vì u2 ở hai đáp án là khác nhau): u2 = u1 + 3 = 2 nên chọn A.

2n 2 − 1
. Tìm số hạng u5 .
n2 + 3
1
17
7
71
A. u5 = .
B . u5 = .
C. u5 = .
D. u5 = .
4
12
4
39
2.52 −1 49 7
Lời giải. Thế trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u5 = 2
=
= . Chọn C.
5 +3

28 4
Câu 4. Cho dãy số (un ), biết un =

Câu 5. Cho dãy số (un ), biết un = (−1) .2n. Mệnh đề nào sau đây sai?
n

A. u1 = −2.

B. u2 = 4.

C. u3 = −6.

D. u4 = −8.

Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC:

u1 = −2.1 = −2; u2 = (−1) .2.2 = 4, u3 = (−1) 2.3 = −6; u4 = (−1) 2.4 = 8 . Chọn D.
2

3

4

Nhận xét: Dễ thấy un > 0 khi n chẵn và ngược lại nên đáp án D sai.
Câu 6. Cho dãy số (un ), biết un = (−1) .
n

8
A. u3 = .
3

2n
. Tìm số hạng u3 .
n

8
D. u3 = − .
3
3
8
3 2
Lời giải. Thay trực tiếp hoặc dùng chức năng CALC: u3 = (−1) . = − . Chọn D.
3
3
u1 = 2

Câu 7. Cho dãy số (un ) xác định bởi 
. Tìm số hạng u4 .

un +1 = 1 (un + 1)
3

5
2
14
A. u4 = .
B . u4 = 1.
C. u4 = .
D. u4 = .
9

3
27
B. u3 = 2.

C. u3 = −2.

Lời giải. Ta có
1
1
1
2
1
12  5
u2 = (u1 + 1) = ( 2 + 1) = 1; u3 = (u2 + 1) = ; u4 = (u3 + 1) =  + 1 = . Chọn A.
3
3
3
3
3
3  3  9


Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
u1 = 3
Câu 8. Cho dãy (un ) xác định bởi 
. Mệnh đề nào sau đây sai?

un +1 = un + 2
2


5
15
31
63
A. u2 = .
B. u3 = .
C. u4 = .
D. u5 = .
2
4
8
16
u1
u2
3
7
7
15

u2 = + 2 = + 2 = ; u3 = + 2 = + 2 =
2
2
2
2
4
4
Lời giải. Ta có 
Chọn A.



u
u
15
31
31
63
u4 = 3 + 2 = + 2 = ; u5 = 4 + 2 = + 2 = .
2
8
8
2
16
16

Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
n +1
8
Câu 9. Cho dãy số (un ), biết un =
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
2n + 1
15
A. 8.

B. 6.

C. 5.
D. 7.
n +1
8

Lời giải. Ta cần tìm n sao cho un =
= ⇔ 15n + 15 = 16n + 8 ⇔ n = 7. Chọn D.
2n + 1 15
Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh.
2n + 5
7
Câu 10. Cho dãy số (un ), biết un =
. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số?
12
5n − 4
A. 8.

B. 6.

C. 9.

D. 10.

Lời giải. Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau:
2n + 5
7
un =
= ⇔ 24n + 60 = 35n − 28 ⇔ 11n = 88 ⇔ n = 8. Chọn A.
5n − 4 12
Câu 11. Cho dãy số (un ), biết un = 2 n. Tìm số hạng un +1 .
A. un +1 = 2 n.2.

B. un +1 = 2 n + 1.

C. un +1 = 2 (n + 1).

D. un +1 = 2 n + 2.

Lời giải. Thay n bằng n + 1 trong công thức un ta được: un+1 = 2n +1 = 2.2n . Chọn A.
Câu 12. Cho dãy số (un ) , biết un = 3n. Tìm số hạng u2 n −1.
A. u2 n −1 = 32.3n −1.

B. u2 n −1 = 3n.3n−1.

C. u2 n −1 = 32 n −1.

D. u2 n −1 = 3

Lời giải. Ta có un = 3 
→ u2 n−1 = 3
n ↔ 2 n−1

n

2 n−1

2(n −1)

.

= 3 .3 . Chọn B.
n

n−1

Câu 13. Cho dãy số (un ), với un = 5n +1. Tìm số hạng un−1 .
A. un−1 = 5n −1.

B. un −1 = 5n.

n↔ n−1
Lời giải. un = 5n+1 
→ un−1 = 5(

C. un −1 = 5.5n +1.
n−1)+1

D. un −1 = 5.5n−1.

= 5n. Chọn B.
2 n +3

 n −1 
Câu 14. Cho dãy số (un ), với un = 

 n + 1
 n −1  (
A. un +1 = 
 n + 1

2 n +1)+ 3

 n −1  (
B. un +1 = 


 n + 1

2 n −1)+ 3

.

2 n +3

 n 
C. un +1 = 
 n + 2 

.

2 n +5

 n 
D. un +1 = 
 n + 2 

.
2 n+3

 n −1
Lời giải. un = 

 n + 1

. Tìm số hạng un +1 .

 (n + 1) −1 (

→ un+1 = 
 (n + 1) + 1

2 n +1)+3

n ↔ n +1

.
2 n+5

 n 
= 

 n + 2 

. Chọn D.


1 2 3 4
Câu 15. Dãy số có các số hạng cho bởi: 0; ; ; ; ;⋯. có số hạng tổng quát là công
2 3 4 5
thức nào dưới đây?
n +1
n
n −1
n2 − n
A. un =

.
B. un =
.
C. un =
.
D. un =
.
n
n +1
n
n +1
1
Lời giải. Vì u1 = 0 nên loại các đáp án A và B. Ta kiểm tra u2 = ở các đáp án C, D:
2
n −1
1
Xét đáp án C: un =

→ u2 = 
→ Chọn C.
n
2
n2 − n
2 1
Xét đáp án D: un =

→ u2 = =
/ 
→ loại D.
n +1

3 2
1 −1
1 2 −1
2 3 −1
n −1
Nhận xét: u1 = 0 =
; u2 = =
; u3 = =
,... nên đoán un =
.
1
2
2
3
3
n
Câu 16. Dãy số có các số hạnh cho bởi: −1;1; −1;1; −1;⋯. có số hạng tổng quát là công
thức nào dưới đây?
A. un = 1.

B. un = −1.

C. un = (−1) .
n

D. un = (−1)

n +1

.

Lời giải. Vì dãy số đa cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án A và B. Ta
kiểm tra u1 = −1 ở các đáp án C, D:
Xét đáp án C: un = (−1) 
→ u1 = −1 
→ Chọn C.
n

n +1

Xét đáp án D: un = (−1)

2


→ u1 = (−1) = 1 =
/ −1 
→ loại D.

Câu 17. Cho dãy số có các số hạng đầu là: −2;0;2;4;6;⋯. Số hạng tổng quát của dãy
số này là công thức nào dưới đây?
A. un = −2n.
B. un = n − 2.

C. un = −2 (n + 1).

D. un = 2n − 4.

Lời giải. Kiểm tra u1 = −2 ta loại các đáp án B, C. Ta kiểm tra u2 = 0 ở các đáp án
A, D:

Xét đáp án A: un = 2n ⇒ u2 = 4 =
/ 0 
→ loại A.
Xét đáp án D: un = 2n − 4 = 2.2 − 4 = 0 
→ Chọn D.
Nhận xét: Dãy 2; 4;6;... có công thức là 2n (n ∈ ℕ* ) nên dãy −2;0;2;4;6;⋯. có được
bằng cách “tịnh tiến” 2n sang trái 4 đớn vị, tức là 2n − 4.
u1 = 2
Câu 18. Cho dãy số (un ), được xác định 
. Số hạng tổng quát un của dãy số

un +1 = 2un
là số hạng nào dưới đây?
A. un = n n −1 .
B. un = 2 n.

C. un = 2 n +1.

u1 = 2
u1 = 2


Lời giải. Từ công thức 

→ u2 = 2u1 = 2.2 = 4 .
un +1 = 2un

u3 = 2u2 = 2.4 = 8
1−1
0

Xét đáp án A với n = 1 
→ u1 = 1 = 1 = 1 
→ A loại.
Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B.
Xét đáp án C với n = 1 
→ u1 = 21+1 = 2 2 = 4 
→ C loại.
Dễ thấy đáp án D không thỏa mãn.

D. un = 2.



u1 = 1
Câu 19. Cho dãy số (un ), được xác định 
. Số hạng tổng quát un của dãy
2

un +1 = un − 2
số là số hạng nào dưới đây?
1
1
A. un = + 2 (n −1).
B. un = − 2 (n −1).
2
2
1
1
C. un = − 2 n.
D. un = + 2 n.

2
2

1
u1 =

2

1

u1 =
1
3
Lời giải. Từ công thức 
.

→ u2 = u1 − 2 = − 2 = −
2


2
2
un +1 = un − 2


3
7
u3 = u2 − 2 = − − 2 = −
2
2


1
5
→ u2 = + 2 (2 −1) = 
→ A loại.
Xét đáp án A với n = 2 
2
2
Xét đáp án B, ta thấy đều thỏa mãn. Chọn B.
1
1
7
Xét đáp án C với n = 2 
→ u2 = − 2.2 = − 4 = − 
→ C loại.
2
2
2
1
5
Xét đáp án D với n = 1 
→ u1 = + 2.1 = 
→ D loại.
2
2
u1 = 2
Câu 20. Cho dãy số (un ), được xác định 
. Số hạng tổng quát un của

un +1 − un = 2n −1

dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. un = 2 + (n −1) .

B. un = 2 + n 2 .

C. un = 2 + (n + 1) .

D. un = 2 − (n −1) .

2

2

2

Lời giải. Kiểm tra u1 = 2 ta loại các đáp án B và C. Ta có u2 = u1 + 2.1−1 = 3.
Xét đáp án A: un = 2 + ( n −1) 
→ u2 = 3 
→ Chọn A.
2

2

Hoặc kiểm tra: un+1 − un = n 2 − ( n −1) = 2n −1.
2

Xét đáp án D: un = 2 − ( n −1) 
→ u2 = 1 
→ loại D. Hoặc kiểm tra:
2

un+1 − un = ( n −1) − n 2 = −2n + 1 =
/ 2 n −1 .

u1 = 1
Câu 21. Cho dãy số (un ), được xác định 
. Số hạng tổng quát un của dãy

un +1 = un + n 2

số là số hạng nào dưới đây?
n (n + 1)(2 n + 1)
n (n −1)(2n + 2)
A. un = 1 +
.
B. un = 1 +
.
6
6
n (n −1)(2n −1)
n (n + 1)(2n − 2)
C. un = 1 +
.
D. un = 1 +
.
6
6
Lời giải. Kiểm tra u1 = 1 ta loại đáp án A. Ta có u2 = u1 + 12 = 2.

n(n −1)(2n + 2)

2.1.6

→ u2 = 1 +
=3=
/ 2 
→ B loại.
6
6
n(n −1)(2n −1)
2.1.3
Xét đáp án C: un = un = 1 +

→ u2 = 1 +
= 2 
→ Chọn C.
6
6

Xét đáp án B: un = 1 +


n(n + 1)(2n − 2)
2.3.2
→ u2 = 1 +
=3=
/ 2 
→ D loại.
. 
6
6

u1 = −2

Câu 22. Cho dãy số (un ), được xác định 
1 . Số hạng tổng quát un của
un +1 = −2 −
un

Xét đáp án D: un = 1 +

dãy số là số hạng nào dưới đây?
−n + 1
n +1
A. un =
. B. un =
.
n
n

n +1
.
n

n
.
n +1
1
3
Lời giải. Kiểm tra u1 = −2 ta loại các đáp án A, B. Ta có u2 = −2 − = − .
u1
2

C. un = −

D. un = −

n +1
3

→ u2 = − 
→ Chọn C.
n
2
n
2
Xét đáp án D. un = −

→ u2 = − 
→ D loại.
n +1
3
u1 = 1
Câu 23. Cho dãy số (un ), được xác định 
. Số hạng tổng quát un của

un +1 = un + (−1)2 n

dãy số là số hạng nào dưới đây?
Xét đáp án C: un = −

A. un = 1 + n.

B. un = 1 − n.

C. un = 1 + (−1) .
2n

D. un = n.

Lời giải. Kiểm tra u1 = 1 ta loại đáp án A, B và C nên chọn D.
Câu 24. Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát là un = 2 (3n ) với n ∈ ℕ * . Công thức
truy hồi của dãy số đó là:
u1 = 6
A. 
.

un = 6un−1 , n > 1

u1 = 3
C. 
.

un = 3un−1 , n > 1

u1 = 6
B. 
.

un = 3un−1 , n > 1
u1 = 3
D. 
.


un = 6un−1 , n > 1

Lời giải. Vì u1 = 2.31 = 6 nên ta loại các đáp án C và D. Ta có u2 = 2.32 = 18.

u1 = 6
Xét đáp án A: 

→ u2 = 6u1 = 6.6 = 36 
→ A loại.

un = 6un−1 , n > 1
u1 = 6
Xét đáp án B: 

→ u2 = 3u1 = 3.6 = 18 
→ chọn B.

un = 3un−1 , n > 1
a1 = 3
Câu 25. Cho dãy số (an ), được xác định 
. Mệnh đề nào sau đây sai?

an +1 = 1 an , n ≥ 1
2

93
3
A. a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = .
B. a10 =

.
16
512
9
3
C. an +1 + an = n .
D. an = n .
2
2
u
u
u
u
u
u
3
Lời giải. Ta có a1 = 3; a2 = 1 ; a3 = 2 = 12 ; a4 = 3 = 13 ,... 
→ un = n1−1 = n−1 nên
2
2
2
2
2
2
2
suy ra đáp án D sai. Chọn D.
Xét đáp án A:


Mua trọn bộ 12 – File WORD liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH

0975120189
/>ĐÂY LÀ BẢN DEMO (bản xem thử) bản mới 2017
PHẦN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 65 CÂU

I
CHỦ ĐỀ
1.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Bài 01
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.

1) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K
Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng K thì f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K.
Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng K thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K.
2) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K
Nếu f ′ ( x ) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .
Nếu f ′ ( x ) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .
Nếu f ' ( x ) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) khơng đổi trên K (hàm
số y = f ( x ) còn gọi là hàm hằng trên K ).
3) Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K . Nếu f ' ( x ) ≥ 0 ( f ' ( x ) ≤ 0), ∀x ∈ K và
f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
Chú ý: f ′ ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có f ' ( x ) = 0

tại vơ hạn điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.
Ví dụ: Hàm số y = 2 x − sin 2 x .
Ta có

y ' = 2 − 2 cos 2 x = 2 (1 − cos 2 x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.
y ′ = 0 ⇔ 1 − cos 2 x = 0 ⇔ x = k π    ( k ∈ ℤ ) có vơ hạn điểm làm cho y ' = 0 nhưng

các điểm đó rời rạc nên hàm số y = 2 x − sin 2 x đồng biến trên ℝ.


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên K. Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng K thì f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K.
B. Nếu f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K.
C. Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K.
D. Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
đồng biến trên K.
Lời giải. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f ( x ) xác định trên (a; b ) , với x1 , x 2 bất kỳ thuộc (a; b ) . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) khi và chỉ khi x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên (a; b ) khi và chỉ khi x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) = f ( x 2 ) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) khi và chỉ khi x1 > x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên (a; b ) khi và chỉ khi x1 > x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ).
Lời giải. A sai. Sửa lại cho đúng là '' x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) '' .
B sai: Sửa lại cho đúng là '' x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) '' .
C sai: Sửa lại cho đúng là '' x1 > x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) '' .
D đúng (theo định nghĩa). Chọn D.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) khi và chỉ khi

f ( x 2 ) − f ( x1 )
> 0 với mọi
x1 − x 2

x1 , x 2 ∈ (a; b ) và x1 ≠ x 2 .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) khi và chỉ khi x 2 > x1 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
C. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang
phải trên (a; b ) .
D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải
trên (a; b ) .
Lời giải. A sai: Sửa lại cho đúng là ''

f ( x 2 ) − f ( x1 )
> 0 '' .
x 2 − x1

B sai: Sửa lại cho đúng là '' x 2 > x1 ⇔ f ( x 2 ) > f ( x1 ) '' .
C đúng (theo dáng điệu của đồ thị hàm đồng biến). Chọn C.
D sai (đối nghĩa với đáp án C).
Câu 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên (a; b ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu f ' ( x ) > 0,  ∀x ∈ (a; b ) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (a; b ) .
B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (a; b ) khi và chỉ khi f ' ( x ) ≤ 0,  ∀x ∈ (a; b )
và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một hữu hạn điểm x ∈ (a; b ) .
C. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (a; b ) thì f ' ( x ) > 0,  ∀x ∈ (a; b ) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (a; b ) khi và chỉ khi
với mọi x1 , x 2 ∈ (a; b ) và x1 ≠ x 2 .

f ( x1 ) − f ( x 2 )

<0
x1 − x 2


Lời giải. Chọn C. Sửa lại cho đúng là '' Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì

f ' ( x ) ≥ 0,  ∀x ∈ (a; b ) ''
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) , hàm số g ( x ) nghịch biến trên (a; b )
thì hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến trên (a; b ) .
B. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) , hàm số g ( x ) nghịch biến trên (a; b ) và
đều nhận giá trị dương trên (a; b ) thì hàm số f ( x ). g ( x ) đồng biến trên (a; b ) .
C. Nếu các hàm số f ( x ) , g ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì hàm số f ( x ). g ( x ) đồng
biến trên (a; b ) .
D. Nếu các hàm số f ( x ) , g ( x ) nghịch biến trên (a; b ) và đều nhận giá trị âm trên

(a; b ) thì hàm số f ( x ). g ( x ) đồng biến trên (a; b ) .
Lời giải. A sai: Vì tổng của hàm đồng biến với hàm nghịch biến không kết luận được
điều gì.
B sai: Để cho khẳng định đúng thì g ( x ) đồng biến trên (a; b ) .
C sai: Hàm số f ( x ) , g ( x ) phải là các hàm dương trên (a; b ) mới thoả mãn.
D đúng. Chọn D.
Câu 6. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì hàm số − f ( x ) nghịch biến trên

(a; b ).
B. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì hàm số

1
nghịch biến trên

f (x )

(a; b ).
C. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì hàm số f ( x ) + 2016 đồng biến trên

(a; b ).
D. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên (a; b ) thì hàm số − f ( x ) − 2016 nghịch biến
trên (a; b ).
Lời giải. Ví dụ hàm số f ( x ) = x đồng biến trên (−∞; +∞) , trong khi đó hàm số

1
1
= nghịch biến trên (−∞;0) và (0;+∞) . Do đó B sai. Chọn B.
f (x ) x
Câu 7. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−1;2) thì hàm số y = f ( x + 2)
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (−1;2) .
B. (1;4 ) .
C. (−3;0) .

D. (−2;4 ) .

Lời giải. Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái 2 đơn vị, ta sẽ được đồ thị của
hàm số y = f ( x + 2) . Khi đó, do hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến trên khoảng

(−1;2) nên hàm số y = f ( x + 2) đồng biến trên (−3;0) . Chọn C.
Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp x + 2 ∈ (−1;2) 
→−1 < x + 2 < 2 ↔ −3 < x < 0.
Câu 8. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (0;2) thì hàm số y = f (2 x )
đồng biến trên khoảng nào?

A. (0;2) .
B. (0;4 ) .

C. (0;1) .

D. (−2;0) .


Lời giải. Tổng quát: Hàm số y = f ( x ) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b ) thì

a b 
hàm số y = f (nx ) liên tục và đồng biến trên khoảng  ;  . Chọn C.
 n n 
Cách trắc nghiệm nhanh. Ta ốp 2 x ∈ (0;2) 
→ 0 < 2 x < 2 ↔ 0 < x < 1.
Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (a; b ) . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y = f ( x + 1) đồng biến trên (a; b ) .
B. Hàm số y = − f ( x ) −1 nghịch biến trên (a; b ) .
C. Hàm số y = − f ( x ) nghịch biến trên (a; b ) .
D. Hàm số y = f ( x ) + 1 đồng biến trên (a; b ) .
Lời giải. Chọn A.
x3
− x 2 + x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
3
A. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;1) .

Câu 10. Cho hàm số y =

C. Hàm số đã cho đồng biến trên (1;+∞) và nghịch biến trên (−∞;1) .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞;1) và nghịch biến (1;+∞) .
Lời giải. Đạo hàm: y / = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và y / = 0 ⇔ x = 1 .
2

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên ℝ . Chọn A.
Câu 11. Hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới
đây?
A. (−1;3) .

B. (−∞; −3) hoặc (1;+∞) .

C. ℝ .

D. (−∞; −1) hoặc (3;+∞) .

Lời giải. Ta có: y / = 3 x 2 − 6 x − 9.
Ta có y / ≤ 0 ⇔ 3x 2 − 6 x − 9 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1;3) . Chọn A.
Câu 12. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?
A. y = x 3 − 3 x 2 .
B. y = −x 3 + 3 x 2 − 3 x + 2 .
C. y = −x 3 + 3 x + 1 .

D. y = x 3 .

Lời giải. Để hàm số nghịch biến trên toàn trục số thì hệ số của x 3 phải âm. Do đó A
& D không thỏa mãn.
2

Xét B: Ta có y ' = −3 x 2 + 6 x − 3 = −( x −1) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ và y ' = 0 ⇔ x = 1 .

Suy ra hàm số này luôn nghịch biến trên ℝ . Chọn B.
Câu 13. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Hàm số y = 2 x 4 + 1 đồng biến trên khoảng
nào?


1
A. −∞;−  .

2

B. (0;+∞) .

 1

C. − ; +∞ .
 2


D. (−∞;0) .

Lời giải. Ta có y ' = 8 x 3 > 0 ⇔ x > 0 .
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+∞) . Chọn B.
Câu 14. Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0;1) .
B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1;+∞) .
C. Trên các khoảng (−∞;−1) và (0;1) , y ' < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến.


D. Trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞) , y ' > 0 nên hàm số đã cho đồng biến.

x = 0
Lời giải. Ta có y ' = 8 x 3 − 8 x = 8 x ( x 2 −1); y ' = 0 ⇔ 
.
 x = ±1

Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số
● Đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞) .
● Nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (0;1) . Chọn B.
Câu 15. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ ?
A. y = x 3 + 3 x 2 − 4 .
B. y = −x 3 + x 2 − 2 x −1 .
C. y = −x 4 + 2 x 2 − 2 .

D. y = x 4 − 3 x 2 + 2 .

Lời giải. Hàm trùng phương không thể nghịch biến trên ℝ . Do đó ta loại C & D.
Để hàm số nghịch biến trên ℝ số thì hệ số của x 3 phải âm. Do đó loại A.
Vậy chỉ còn lại đáp án B. Chọn B.
Thật vậy: Với y = −x 3 + x 2 − 2 x −1 
→ y ' = −3 x 2 + 2 x − 2 có ∆ ' = −5 < 0 .
Câu 16. Các khoảng nghịch biến của hàm số y =

2x +1
là:
x −1

A. ℝ \ {1} .

B. (−∞;1) ∪ (1; +∞) .

C. (−∞;1) và (1;+∞) .

D. (−∞; +∞) .

Lời giải. Tập xác định: D = ℝ \ {1} . Đạo hàm: y / =

−3
2

( x −1)

< 0, ∀x ≠ 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞) . Chọn C.
Chú ý: Sai lầm hay gặp là chọn A hoặc B. Lưu ý rằng hàm bậc nhất trên nhất này là
đồng biến trên từng khoảng xác định.
2 x −1
Câu 17. Cho hàm số y =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x −1
A. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.
−1
Lời giải. Tập xác định: D = ℝ \ {1} . Đạo hàm: y / =
< 0, ∀x ≠ 1. .
2
( x −1)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞) . Chọn D.

Câu 18. Cho hàm số y =

2 x −1
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x +2

A. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ.
B. Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ \ {−2}.
C. Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞;0).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞).
Lời giải. Tập xác định: D = ℝ \ {−2}. Đạo hàm y ′ =

5
2

> 0, ∀x ≠ −2.

( x + 2)
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞) .
Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +∞). Chọn D.

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến
của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:
Hàm số đồng biến trên (−2; +∞) ;


(1; +∞) ⊂ (−2; +∞) .
Suy ra hàm số đồng biến trên (1; +∞).
Câu 19. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
x −2

−x + 2
x −2
x +2
A. y =
.
B. y =
.
C. y =
.
D. y =
.
−x + 2
−x + 2
x +2
x +2
Lời giải. Ta có
4
A. y / =
> 0, ∀x ≠ −2.
2
( x + 2)
C. y / = 0, ∀x ≠ 2

B. y / =
D. y / =

−4
2

< 0, ∀x ≠ −2.

2

> 0, ∀x ≠ 2.

( x + 2)
4

( x − 2)

Chọn B.
Câu 20. Cho hàm số y = 1 − x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên [ 0;1]
B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên [ 0;1]
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.
−x
Lời giải. Tập xác định D = [−1;1] . Đạo hàm y ' =
; y'= 0 ⇔ x = 0.
1− x 2
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên [ 0;1] . Chọn C.
Câu 21. Hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên khoảng nào đã cho dưới đây?
A. (0;2) .

B. (0;1) .

C. (1;2) .

Lời giải. Tập xác định D = [0;2 ] . Đạo hàm y ' =

1− x
2x − x 2

D. (−1;1) .

; y ' = 0 ⇔ x = 1.

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) . Chọn C.
Câu 22. Cho hàm số y = x −1 + 4 − x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên (1;4 ).

 5
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 1; .
 2 
5 
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ; 4.
 2 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ.

1
1
−
.
2 x −1 2 4 − x
 x ∈ (1; 4 )
5
Xét phương trình y ' = 0 ⇔ x −1 = 4 − x ⇔ 

→ x = ∈ (1; 4 ) .


 x −1 = 4 − x
2

5 
Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 4. . Chọn C.
 2 
Lời giải. Tập xác định: D = [1; 4 ]. Đạo hàm y ' =

Câu 23. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?
2 x −1
A. y =
.
B. y = 2 x − cos 2 x − 5 .
x +1
C. y = x 3 − 2 x 2 + x + 1 .

D. y = x 2 − x + 1 .

Lời giải. Chọn B. Vì y ' = 2 + 2 sin 2 x = 2 (sin 2 x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và y ' = 0 ⇔ sin 2 x = −1 .
Phương trình sin 2 x = −1 có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng
biến trên ℝ.


Câu 24. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?
A. y = ( x −1) − 3 x + 2 .
C. y =

x

B. y =

2

2

.

x +1

x
.
x +1

D. y = tan x .

x

Lời giải. Xét hàm số y =

2

.

x +1
Ta có y ' =

1

(x

2

+ 1) x 2 + 1

> 0, ∀x ∈ ℝ 
→ hàm số đồng biến trên ℝ . Chọn B.

Câu 25. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = 2 x + cos x đồng biến trên ℝ .
B. Hàm số y = −x 3 − 3 x + 1 nghịch biến trên ℝ .
C. Hàm số y =

2 x −1
đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
x −1

D. Hàm số y = 2 x 4 + x 2 + 1 nghịch biến trên (−∞;0) .
Lời giải. Xét hàm số y =

2 x −1
−1
. Ta có y ' =
< 0, ∀x ≠ 1 .
2
x −1
( x −1)

Suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và (1;+∞) . Chọn C.
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:
x

−∞

y'

+

0

+∞

−2

−3

+

0

−

5
y

0

−∞

−∞

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?
I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;−5) và (−3;−2) .
II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;5) .
III. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−2; +∞) .
IV. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞; −2) .
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng (−∞; −2) ; nghịch biến trên khoảng (−2; +∞) .
Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.
Ta thấy khoảng (−∞; −3) chứa khoảng (−∞; −5) nên I Đúng.
Vậy chỉ có II sai. Chọn A.


Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?

+

+

y'

+∞

2

−1

x −∞

0

−

+∞
y

−2

−2

−∞

−∞

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−2; +∞) và (−∞; −2).
B. Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞;−1) ∪ (−1;2).
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên (−2;2) .
Lời giải. Vì (0;2) ⊂ (−1;2) , mà hàm số đồng biến trên khoảng (−1;2) nên suy ra C
đúng. Chọn C.
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?

−

x −∞

1
2

+

+

y'

+∞

3
−

0

+∞

y

4
−∞

−∞

−∞


1
A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng −∞;−  và (3; +∞).

2
 1

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; +∞.
 2

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +∞).
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;3) .
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

 1 
1
● Đồng biến trên các khoảng −∞;−  và − ;3 .

 2 
2
● Nghịch biến trên khoảng (3; +∞) . Chọn C.
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục trên ℝ \ {− 2} và có bảng biến thiên
như hình dưới đây.
x −∞
y'

−2

−3

+

0

−

−

0

+∞
2

−∞

Khẳng định nào sau đây là đúng?

−∞

+
+∞

y

−2

+∞

−1