Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn toán góc và khoảng cách trong không gian

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vấn đề 7

GÓC - KHOẢNG CÁCH
 

A. GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b
Phương pháp 1. Sử dụng song song, tức dựng đường thẳng c  b và c cắt a.
a;b)  (
a;c)   như hình vẽ.
Khi đó (

a 
 

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc định lí hàm số sin, côsin để tìm góc .

 
a .b
Phương pháp 2. Sử dụng tích vô hướng, nghĩa là cos(a;b)  cos(a ;b )     cos .
a .b

c 
b 

Khi đó, ta cần chèn điểm phù hợp để tính tích vô hướng.
Phương pháp 3. Ghép vào hệ trục tọa độ Oxyz.
Lưu ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn, còn góc giữa hai véctơ là góc nhọn hoặc góc tù. Nghĩa là
nếu tính (

a;b)    90 thì góc giữa a, b là , còn nếu tính (
a;b)    90 thì góc giữa hai
đường thẳng (
a;b)  180  .
 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P )
Cần nhớ: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi nó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng”.
B 
Phương pháp 1. Sử dụng hình học 11.
B. 1. Tìm AB  (P )  {A} (1)
A 
B. 2. Tìm hình chiếu của B lên mặt phẳng (P ).
H 
P 
Đặt câu hỏi và trả lời: “Đường nào qua B và vuông góc với (P ) ? “(có sẵn hoặc dựng thêm)
Trả lời: BH  (P ) tại H (2)
Từ (1),(2), suy ra AH là hình chiếu của AB lên mặt phẳng (P ).

Do đó góc giữa đường thẳng AB và mp (P ) là góc giữa AB và AH , chính là góc BAH
.
B. 3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc định lí hàm số côsin hoặc định lí hàm sin trong tam
.
giác thường để suy ra góc BAH
Phương pháp 2. Ghép vào hệ trục tọa độ Oxyz.
 Góc giữa mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (Q).

(P)

d1

Phương pháp 1. Dựa vào định nghĩa

u
α


(
P
)

(
Q
)

u


 
Ta có: u  d1  (P )  ((
P ),(Q ))  (d1, d2 )  .
d2

(Q)

u  d2  (Q )



Phhương pháp 2. Tìm hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt vuông góc với mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (Q ).
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa d1 và d2 .
Phương pháp 3. Sử dụng công thức hình chiếu S   S . cos .
Phương pháp 4. Trong trường hợp quá khó, nên sử dụng công thức sin  

d A,(Q )


d(A,u )






Trong đó   ((P ),(Q)), A  (P ) và (P )  (Q)  u là giao tuyến của (P ) và (Q ).
Phương pháp 5. Ghép vào hệ trục tọa độ Oxyz.
Facebook Nguyễn Vương 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  3a ,  SA  vuông góc với mặt phẳng đáy và 
SA  2a . Góc giữa  SC  và mặt phẳng  (ABCD )  bằng 
S

A

B

A. 450 . 

Câu 2.

D

C

B. 600 . 

C. 300 . 

 

D. 900 . 

Cho hình chóp  S . ABC  có  SA  vuông góc với mặt phẳng   ABC  ,   SA  a 2,  tam giác  ABC  vuông 
cân tại  B  và  AC  2a (minh họa  nhứ  hình bên). Góc  giữa đường thẳng  SB  và mặt  phẳng   ABC   
bằng 

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

A. 30.
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Cho  hình  chóp  S.ABC   có  SB   vuông  góc  với  mặt  phẳng   ABC  ,  SB  a 3 ,  tam  giác 

ABC vuông tại  A ,  AB  a  và  AC  2a . Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   SAB  bằng 
A. 45 . 
B. 60 . 
C. 30 . 
D. 90 . 
Cho hình chóp đều  S . ABCD  có  AB  a 2 ,  SB  2a . Góc giữa đường thẳng  SA  và mặt phẳng 
 SBD  bằng 
A. 45 . 
B. 60 . 
C. 30 . 
D. 90 . 
Cho  hình  chóp  S . ABC   có  SA   vuông  góc  với  mặt  phẳng   ABC  ,  SB  a 6 ,  tam  giác  ABC  
vuông cân tại  C ,  AB  2a . Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   SAB   bằng 

Câu 6.

A. 30 . 
B. 60 . 
C. 45 . 
D. 90 . 
Cho  hình  chóp  S . ABCD   có  SA   vuông  góc  với  mặt  phẳng   ABCD  ,  ABCD   là  hình  chữ  nhật, 
AB  a 2, BC  2a ,  SA  3a . Gọi  M  là trung điểm của  BC . Tính góc giữa đường thẳng  SM  và 

mặt phẳng   ABCD  . 
A. 30 . 

B. 60 . 

C. 45 . 

D. 120 . 

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

Câu 7.

Cho  tứ  diện đều  ABCD   có  cạnh  bằng  2a .  Gọi     là  góc  giữa  đường  thẳng  AB   và  mặt phẳng 
 BCD . Tính  cos  . 
A. cos 

Câu 8.

3
. 
6

B. cos  

6
. 
3

C. cos 

3
. 
3

D. cos  

2
. 
3

Cho hình chóp  S . ABC  có  SA  vuông góc với mặt phẳng   ABC  , tam giác  ABC  vuông cân tại B  và 

AC  2a (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng  SB  và mặt phẳng   ABC   bằng  60. Tính 
độ dài cạnh bên  SA . 

A.
Câu 9.

a 6
.
3

B. a 6.

C. a 3.

D. 2a 3.  

Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình chữ nhật với  AB  2a , AD  a 2 ,  SA  vuông góc với mặt 
phẳng đáy và  SA  a 2 . Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABCD   bằng 

A. 450 .

B. 300 .

C. 600 .

D. 900 . 

Câu 10. Cho chóp đều  S. ABCD  có cạnh đáy bằng  2a , cạnh bên bằng  3a (minh họa như hình bên). Gọi    
là góc giữa giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

 
14
A. tan  
.
7

3
B. tan   .
2

C.   450.

D. tan  

14
.
2

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 11.

Cho  lăng  trụ  đứng  ABC.A ' B ' C '   có  đáy  là  ABC vuông  cân  tại  B , AC  2 2a (minh  họa  như 
hình bên). Góc giữa đường thẳng  A ' B  và mặt phẳng   ABC   bằng  60  . Tính độ  dài cạnh bên của 
hình lăng trụ. 

 
2a 3
A.
.
3

B. 2a 3.

C. 2a 6.

D. 2a.  

ABC  600 ,  SA  vuông góc với mặt 
Câu 12. Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình thoi cạnh bằng  a ,  
phẳng  đáy  và  SA  a 3 .  Gọi     là  góc  giữa  đường  thẳng  SC   và  mặt  phẳng   ABCD  .  Tính 
tan   

A.

3.

B. 1.

C.

6
.
2

D.

1
. 
3

Câu 13. Cho chóp  S . ABCD  có đáy là hình vuông tâm O  cạnh bằng  2a , cạnh bên  SA  vuông góc với mặt 
phẳng   ABCD  , SA  a 3.  Gọi   góc giữa đường thẳng  SO  và mặt phẳng   ABCD  . Mệnh đề nào 
sau đây đúng? 

 
A. tan   6.

B.   45.

C.   60.

D.   90.

Câu 14. Cho  hình  chóp  S.ABCD   có  đáy  là  hình  vuông  cạnh  a 2 .  Gọi  M  là  trung  điểm  của  AB, 
SM   ABCD    và  SM  a 5 .  Gọi     là  góc  giữa  đường  thẳng  SC   và  mặt  phẳng   ABCD  . 
Tính  tan   
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

A.

30
.
3

B.

2.

C.

22
.
4

D.

5
. 
2

Câu 15. Cho hình chóp  S.ABC  có  SA vuông góc với mặt phẳng   ABC  , SA  a 3,  tam giác  ABC  đều (minh 
họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABC   bằng  30.  Tính thể  tích khối 
chóp  S.ABC . 

A.

9a 3
.
4

B.

27a3
.
4

C.

a3
.
4

D.

81a3
. 
4

Câu 16. Cho hình chóp  S. ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O  cạnh  2a . Cạnh bên  SA  vuông góc 
với đáy và  SA  2a .Góc giữa đường thẳng  SB  và mặt phẳng   SAC  bằng: 

 
A. 45.  
B. 30.  
C. 60.  
D. 90.  

Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. ABC D  có đáy  ABCD  là hình vuông,  AC   a 2 . Gọi   P   là 
mặt phẳng qua  AC   cắt  BB, DD  lần lượt tại  M , N  sao cho tam giác  AMN  cân tại  A  có 
MN  a . Tính  cos   với    
P , ABCD .







1
1
2
3
.
B. .
C. .
D.
.
2
3
2
3
Câu 18. Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. ABC D  có các cạnh  AB  2, AD  3; AA  4 . Góc giữa hai mặt 
phẳng   ABD   và   AC D   là   . Tính giá trị gần đúng của góc   ?
A.

A. 45, 2 .

B. 38,1 .

C. 53, 4 .

D. 61, 6 .

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 19. Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. ABC D  có các cạnh  AB  2, AD  3; AA  4 . Góc giữa hai 
mặt phẳng   BC ' D   và   AC D   là   . Tính giá trị gần đúng của góc   ?
A. 45, 2 .
B. 38,1 .
C. 53, 4 .
D. 61,6 .
Câu 20. Cho tứ diện  ABCD  có  BD  2 . Hai tam giác  ABD  và  BCD  có diện tích lần lượt là  6  và  10 . 
Biết thể tích khối tứ diện  ABCD  bằng  16 . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng   ABD  và  BCD.
 4
A. arccos   .
 15 

4
B. arcsin   .
5

4
C. arccos   .
5

 4
D. arcsin   .
 15 

Câu 21. Cho hình chóp  S . ABCD   đáy  ABCD  là hình thoi,  SA  SC . Góc giữa hai mặt phẳng   SBD   và 

 ABCD   bằng?
A. 90 .

B. 30 .

C. 60 .

D. 45 .

Câu 22. Cho  hình  chóp  S . ABCD   đáy  ABCD   là  hình  chữ  nhật,  tam  giác  SAB   là  tam  giác  đều  và  nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng   SAB   và   SAD   bằng?
A. 30 .

B. 90 .

C. 60 .

D. 45 .

Câu 23. Cho hình vuông  ABCD . Gọi  S  là điểm trong không gian sao cho  SAB  là tam giác đều và nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  H  và  I  lần lượt là trung điểm của  AB  và  BC . Góc 
giữa hai mặt phẳng   SHC   và   SDI   bằng.
A. 30 .

B. 60 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 24. Cho hình chóp  S. ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O , cạnh  a . Đường thẳng  SO  vuông 
a 3
góc  với  mặt  phẳng  đáy   ABCD    và  SO 
.  Tính  góc  giữa  hai  mặt  phẳng   SBC    và 
2
 ABCD  .
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

B. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
 Tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên của hình chóp. 
Tính khoảng cách từ  A  đến mặt bên  (SBC )  của hình chóp  S .ABC  có  SA  (ABC )  
  B1. Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy  (SBC )  (ABC )  BC .  


AH  BC  AI  (SBC ).  
  B2. Dựng hình  

AI  SH


Suy ra  d(A;(SBC ))  AI .  

  B3. Tính  AI .  
Các phương pháp quy về bài toán chân đường cao: 
― Kẻ song song để dời điểm về chân đường vuông góc. 
― Dùng tỉ số khoảng cách để dời về chân đường vuông góc. 
― Tạo chân đường cao giả (   đường cao, khi mặt chứa chân). 
S
 Tính khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh thuộc mặt đáy. 
Cho hình chóp  S .ABCD  có  SA  (ABCD).  Hãy tính khoảng 
cách giữa cạnh bên  SB  và cạnh thuộc mặt đáy  AC .  
  B1. Xác định giao điểm của cạnh bên  SB  và mặt phẳng đáy 
SB  (ABCD)  B.  
K
  B2. Qua giao điểm  B,  dựng đường thẳng  d  song song với 
A
AC .  Khi đó:  d(AC , SB)  d(AC ,(SB, d ))  d(A,(SB, d )).  
Đây là bài toán tìm khoảng cách từ chân đến mặt bên. Cụ thể: 
H
d(AC , SB )  d (AC ,(SB, d ))  d (A,(SB, d ))  AK .  
B
 
 
d
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
 

D

C

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

 
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1.

Cho hình chóp  S . ABC  có đáy là tam giác vuông tại  A ,  AB  2a ,  AC  4a ,  SA  vuông góc với 
mặt phẳng đáy và  SA  a  (hình minh họa). Gọi  M  là trung điểm của  AB . Khoảng cách giữa hai 
đường thẳng  SM  và  BC  bằng 

2a
a
6a
3a
.
B.
.
C.
.
D. .
3
2
3
3
Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình thang,  AB  2a ,  AD  DC  CB  a ,  SA  vuông góc với 
mặt phẳng đáy và  SA  3a  (minh họa như hình bên). Gọi  M  là trung điểm của  AB . Khoảng cách 
giữa hai đường thẳng  SB  và  DM  bằng 
A.

Câu 2.

 
3 13a
6 13a
3a
3a
. 
B.
. 
C.
. 
D.
. 
4
2
13
13
Cho hình lăng trụ đứng  ABC. ABC  có đáy  ABC  là tam giác đều cạnh  a  và cạnh bên có độ dài 
bằng  a . Tính khoảng cách từ  C  đến mặt phẳng   ABC   . 

A.
Câu 3.

a 2
a 3
a 21
a 2
. 
B.
. 

C.
. 
D.
. 
4
7
7
16
Cho hình hộp  ABCD.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a , tâm  O . Hình chiếu vuông 
góc của  A   lên mặt phẳng   ABCD   trùng với  O .  Biết tam giác  AAC   vuông cân  tại  A .  Tính 

A.
Câu 4.

khoảng cách  h từ điểm  D  đến mặt phẳng   ABBA  . 
A. h 
Câu 5.

a 6
. 
6

B. h 

a 2
. 
3

C. h 

a 2
. 
6

D. h 

a 6
. 
3

Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang vuông tại  A  và  D  với  AD  2a ,  DC  a , 
AB  2a . Gọi  I  là trung điểm cạnh  AD , hai mặt phẳng   SIB  ,   SIC   cùng vuông góc với mặt 
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

phẳng  đáy  và  mặt  phẳng   SBC    tạo  với  đáy  một  góc  60 .  Tính  khoảng  cách  h   từ  I   đến  mặt 
phẳng   SBC  . 

3a 15
3a 5
. 
D. h 
. 
10
5
Cho  hình  chóp  S . ABCD  có  đáy  là  nửa  lục  giác  đều  ABCD  nội  tiếp  trong  đường  tròn  đường  kính 
AD  2a  và có cạnh  SA  vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD   với  SA  a 6 . Tính khoảng cách từ 
B  đến mặt phẳng   SCD  . 

A. h 

Câu 6.

a 15
. 
15

a 15
. 
5

C. h 

a 2
a 3
.
D.
.
2
2
Cho  hình  chóp  S . ABC   có  đáy  ABC   là  tam  giác  vuông  tại  A ,  ( SAC )   ABC  ,  AB  3a , 

A. a 2 .

Câu 7.

B. h 

B. a 3 .

C.

  300 . Khoảng cách từ điểm  A  đến mặt phẳng  ( SBC )  
BC  5a . Biết rằng  SA  2a 3  và  SAC
bằng :
3 17
6 7
3 7
12
a.
a.
a.
B.
C.
D.
A.
a . 
4
7
14
5
Câu 8.

Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng  a . Gọi  M  là trung điểm  CD . Khoảng cách giữa  AC  và 
BM  là 
a 154
a 22
a 2
a

A.
. 
B. .
C.
. 
D.
. 
28
11
3
2

Câu 9.

Cho hình chóp  S.ABC , có đáy là tam giác đều cạnh  2a ,  SA  2a ,  SA  vuông góc với mặt phẳng 
đáy ( minh họa như hình vẽ ). Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm của  AB, AC . Khoảng cách giữa 
hai đường thẳng  MN  và  SC  bằng. 
2a 57
a 21
a 21
a 57
A.
. 
B.
. 
C.
. 
D.
. 
7

14
19
19

Câu 10. Cho  hình  chóp  S. ABCD   có  đáy  là  hình  chữ  nhật  ABCD   có  AB  2a , AD  4 a , SA  ( ABCD ) , 
SA  2a 15 . Gọi  M  là trung điểm của  BC ,  N  là điểm nằm trên cạnh  AD  sao cho  AD  4 DN . 
Khoảng cách giữa  MN  và  SB   là 
4a 285
2a 285
2a 285
a 285
A.
 
B.
C.
D.
19
15
19
19
Câu 11. Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  2a ,  SA  vuông góc với mặt phẳng đáy và 
SA  a . Gọi  M  là trung điểm  AB .  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SB  và  DM  bằng 

A.

2 21
a
21

B.

21
a
8

C.

4 21
a
21

D. a

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

a 17
Câu 12. Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh  a, SD 
, hình chiếu vuông góc của  S  lên mặt phẳng 
2
 ABCD   trung điểm  H  của đoạn  AB . Gọi  K  là trung điểm của đoạn  AD . Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng  HK  và  SD  theo  a .
a 3
a 286
A.
B.
5
26

C.

5a 3
3

D.

a 39
3

Câu 13. Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  3a ,  SA  vuông góc với mặt phẳng đáy và 

 
SA  a . Gọi  M  là điểm thào mãn  MB  2MC  0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SC  và 
DM  bằng 
154
3 154a
6 154
2 154
B.
.
C.
D.
A.
a.
a.
a . 
77
154

77
77
Câu 14. Cho hình chóp  S. ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a . Gọi  M  và  N  lần lượt là trung 
điểm của các cạnh  AB  và AD ;  H  là giao điểm của  CN  với  DM . Biết  SH  vuông góc với mặt 
phẳng   ABCD   và  SH  a 3 .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  DM  và  SC  theo  a . 
A.

2 3a
. 
19

B.

21a
. 
7

C.

a 57
. 
6

D.

3 3a
.
19

Câu 15. Cho hình  chóp  S . ABCD   có đáy  ABCD   là  hình  vuông cạnh  2a ,  cạnh bên  SA  a 5 ,  mặt bên 

SAB  là tam giác cân đỉnh  S  và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách gữa 
hai đường thẳng  AD  và  SC  bằng:
S

D

A

B

C

2a 5
4a 5
a 15
2a 15
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
5
5
Câu 16. Cho  lăng  trụ  đứng  ABC. ABC   có  đáy  là  tam  giác  vuông  tại  A ,  AB  a ,  BC  2a .  Gọi 
M , N , P   lầ  lượt  là  trung  điểm  của  AC ,  CC , AB   và  H   là  hình  chiếu  của  A   lên  BC .  Tính 
khoảng cách giữa  MP  và  NH . 

a 3
a 3
a 3
a
. 
B.
. 
C.
. 
D. .
A.
4
8
2
2

A.

Câu 17. Cho  hình  chóp  S.ABC   đều.  Gọi  G   là  trọng  tâm  của  tam  giác  ABC   sao  cho  SG  AB  a . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SA  và  CG  bằng
a 5
a
a 3
A. .
B. a .
C.
.
D.
. 
5

2
3
Câu 18. Cho hình chóp  S. ABCD  có đáy  ABCD  là vuông cạnh  a ,  SA  2a  và vuông góc với   ABCD . 
Gọi  M  là trung điểm của  SD . Tính khoảng cách  d  giữa hai đường thẳng  SB  và  CM .
a
3a
2a
2a 3
A. d 
. 
B. d 
.
C. d 
.
D. d  .
3
3
2
3
Câu 19. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình chữ nhật. Tam giác  SAB  vuông cân tại  A  và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với đáy và  SB  4 2 . Gọi  M  là trung điểm của cạnh  SD . Tính khoảng 
Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

cách  l  từ điểm  M  đến mặt phẳng   SBC 
A. l  2 .

B. l  2 2 .

C. l  2 .

D. l 

2
.
2

  60 , SB  a và mặt phẳng   SBA và 
Câu 20. Cho hình chóp  S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh  a , BAD
mặt phẳng   SBC  cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ  B  đến mặt phẳng   SCD 
 
 
bằng
21a
5a
21a
15a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
3

3

  bằng  120 . 
Câu 21. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình thoi cạnh bằng  2a 3 , góc  BAD
Hai mặt phẳng   SAB  và   SAD   cùng vuông góc với đáy. Góc gữa mặt phẳng   SBC   và 

 ABCD   bằng  45 . Khoảng cách  h  từ  A  đến mặt phẳng  SBC  là
A. h  2a 2.

B. h 

2a 2
.
3

C. h 

3a 2
.
2

D. h  a 3.

Câu 22. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình bình hành,  
ADC  30 , AB  a , AD  2a ,  SA  a  và  SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ  B  đến mặt phẳng   SCD   bằng
A.

a 3
.

2

B.

a 2
.
3

C.

a 2
.
2

D.

a
.
2

Câu 23. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình bình hành, AB  a , AD  a 3 ,  AC  2a ,  SA  2a  và  SA  
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ  B  đến mặt phẳng   SCD   bằng
A. a 3 .

B. a 2 .

C.

a 84
.

7

D.

a 2
.
2

ABC  60 , hình chiếu vuông góc của 
Câu 24. Hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình thoi tâm  O  cạnh  2a ,  
S   lên   ABCD   trùng với trung điểm  I  của  BO ,  SI  a 3 . Khoảng cách từ  B đến mặt phẳng 

 SCD   bằng
A.

3a 3
.
5

B.

2a 3
.
5

C.

a 3
.
5

D.

4a 3
.
5

Câu 25. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy là hình thang cân đáy  AD  có  AD  2 AB  2 BC  2a ,  SA  a  và 
SA  vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ  B  đến mặt phẳng   SCD   bằng
A.

a 3
.
2

B.

a 3
.
3

C.

a 3
.
4

D. 2a .

-------------------- HẾT --------------------

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vấn đề 7

GÓC - KHOẢNG CÁCH
 

A. GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 
 Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b
Phương pháp 1. Sử dụng song song, tức dựng đường thẳng c  b và c cắt a.

a 
 

 
Khi đó (a;b)  (a;c)   như hình vẽ.

c 
b 

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc định lí hàm số sin, côsin để tìm góc .

 
a .b
Phương pháp 2. Sử dụng tích vô hướng, nghĩa là cos(a;b)  cos(a ;b )     cos .
a .b

Khi đó, ta cần chèn điểm phù hợp để tính tích vô hướng.
Phương pháp 3. Ghép vào hệ trục tọa độ Oxyz.
Lưu ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn, còn góc giữa hai véctơ là góc nhọn hoặc góc tù. Nghĩa là
nếu tính (
a;b)    90 thì góc giữa a, b là , còn nếu tính (
a;b)    90 thì góc giữa hai


đường thẳng (a;b)  180  .
 Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P )
Cần nhớ: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi nó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng”.
B 
Phương pháp 1. Sử dụng hình học 11.
B.1. Tìm AB  (P )  {A} (1)

A 
H 
P 
Đặt câu hỏi và trả lời: “Đường nào qua B và vuông góc với (P ) ? “(có sẵn hoặc dựng thêm)

B.2. Tìm hình chiếu của B lên mặt phẳng (P ).
Trả lời: BH  (P ) tại H (2)

Từ (1),(2), suy ra AH là hình chiếu của AB lên mặt phẳng (P ).

Do đó góc giữa đường thẳng AB và mp (P ) là góc giữa AB và AH , chính là góc BAH
.

B.3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc định lí hàm số côsin hoặc định lí hàm sin trong
.

tam giác thường để suy ra góc BAH
Phương pháp 2. Ghép vào hệ trục tọa độ Oxyz.
(P)

 Góc giữa mặt phẳng (P ) và mặt phẳng (Q).

d1

Phương pháp 1. Dựa vào định nghĩa


(P )  (Q )  u




Ta có: u  d1  (P )  ((
P ),(Q ))  (
d1, d2 )  .


u  d2  (Q )




α

(Q)

u

d2

Phhương pháp 2. Tìm hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt vuông góc với mặt phẳng (P ) và mặt phẳng

(Q ). Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa d1 và d2 .
Phương pháp 3. Sử dụng công thức hình chiếu S   S . cos .
Facebook Nguyễn Vương 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Phương pháp 4. Trong trường hợp quá khó, nên sử dụng công thức sin  

d A,(Q )


d(A,u )






Trong đó   ((
P ),(Q)), A  (P ) và (P )  (Q)  u là giao tuyến của (P ) và (Q ).
Phương pháp 5. Ghép vào hệ trục tọa độ Oxyz.
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  3a ,  SA  vuông góc với mặt phẳng đáy 
và  SA  2a . Góc giữa  SC  và mặt phẳng  (ABCD )  bằng 
S

A

B
0

A. 45 . 

D

C
0

B. 60 . 

 
0

C. 30 . 

D. 900 . 

Lời giải 
Chọn C

 

,(ABCD ))  SCA
Ta có  SA  (ABCD )  nên ta có  (SC

 SA
tan SCA 

AC

Câu 2.

2a
3a. 2



1
3


 SCA  300  

Cho  hình  chóp  S . ABC   có  SA   vuông  góc  với  mặt  phẳng   ABC  ,   SA  a 2,   tam  giác  ABC  
vuông cân tại  B  và  AC  2a (minh họa nhứ hình bên). Góc giữa đường thẳng  SB  và mặt phẳng 

 ABC   bằng 

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

Chọn B

SB   ABC   B 
  AB  là hình chiếu của  SB  trên mặt phẳng   ABC   
SA   ABC 

 
 
SB,  ABC    SBA

Ta có 

2

Do tam giác  ABC  vuông cân tại  B AB2  BC2  AC2 2AB2   2a 2AB2  4a2 AB  a 2. 
Xét tam giác vuông  SAB  vuông tại  A,  có  SA  AB  a 2  SAB  vuông cân tại 
  45.  
A  SBA
Câu 3.

Cho  hình  chóp  S.ABC   có  SB   vuông  góc  với  mặt  phẳng   ABC  ,  SB  a 3 ,  tam  giác 

ABC vuông  tại  A ,  AB  a   và  AC  2a .  Góc  giữa  đường  thẳng  SC   và  mặt  phẳng   SAB   
bằng 
A. 45 . 

B. 60 . 

C. 30 . 
Lời giải

D. 90 . 

Chọn A

Ta có 

CA  AB 
  CA   SAB  . 
CA  SB 

 . 
Do đó góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   SAB  là  CSA

  AC  2a  1  CSA
  45 . 
Ta có  SA  SB2  AB2  3a2  a2  2a ;  tan CSA
SA 2a
Câu 4.

Cho  hình  chóp  đều  S . ABCD   có  AB  a 2 ,  SB  2a .  Góc  giữa  đường  thẳng  SA   và  mặt 

phẳng   SBD  bằng 
A. 45 . 

B. 60 . 

C. 30 . 
Lời giải

D. 90 . 

Chọn C

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Gọi  O  AC  BD . Vì  S . ABCD  là hình chóp đều nên  SO   ABCD . 
Do đó  AO   SBD   góc giữa đường thẳng  SA  và mặt phẳng   SBD  là  
ASO . 

ASO 
Ta có  SA  2a; AC  2a  AO  a ;  sin 
Câu 5.

AO a 1 

  ASO  30 . 
SA 2a 2

Cho hình chóp  S. ABC  có  SA  vuông góc với mặt phẳng   ABC  ,  SB  a 6 , tam giác  ABC  
vuông cân tại  C ,  AB  2a . Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   SAB   bằng 
A. 30 . 

B. 60 . 

C. 45 . 
Lời giải

D. 90 . 

Chọn A

Gọi  H  là trung điểm của  AB . Vì  ABC  cân tại  C  CH  AB  CH   SAB  . 
Do đó hình chiếu vuông góc của  C  lên mặt phẳng   SAB   là  H . 
 . 
 góc giữa  SC  và mặt phẳng   SAB   bằng góc  CSH
Ta có  ABC  vuông cân tại  C ,  AB  2 a  CA  CB  a 2 ;  CH  a ; 
SA  SB 2  AB 2  6 a 2  4 a 2  a 2 ;  SC  SA2  AC 2  2 a 2  2 a 2  2 a . 

  30 . 
Xét  SHC  vuông tại  H  có  SC  2CH  CSH
Câu 6.

Cho  hình  chóp  S . ABCD   có  SA   vuông  góc  với  mặt  phẳng   ABCD  ,  ABCD   là  hình  chữ  nhật, 
AB  a 2, BC  2a ,  SA  3a . Gọi  M  là trung điểm của  BC . Tính góc giữa đường thẳng  SM  và 

mặt phẳng   ABCD  . 
A. 30 . 

B. 60 . 

C. 45 . 
Lời giải

D. 120 . 

Chọn B

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

 
 . 
Vì  SA   ABCD   nên góc giữa đường thẳng  SM  và mặt phẳng   ABCD   là góc  SMA
Ta có  BM 

tan SMA

Câu 7.

BC
 a;  AM 
2

AB 2  BM 2  2a 2  a 2  a 3 ; 

SA
3a

  60.  

 3  SMA
AM a 3

Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng  2a . Gọi    là góc giữa đường thẳng  AB  và mặt phẳng 

 BCD . Tính  cos  . 
A. cos 

3
. 
6

B. cos  

6
. 
3

C. cos 

3
. 
3

D. cos  

2
. 

3

Lời giải
Chọn C

 
Gọi  O  là trọng tâm tam giác  BCD . Vì  ABCD  là tứ diện đều nên  AO   BCD . 
Do đó góc giữa đường thẳng  AB  và mặt phẳng   ABC   bằng  
ABO   . 
2a 3
BO
3
3
2
2a 3
Ta có  BM  BC .
;  cos   cos 
. 
 a 3  BO  BM 
ABO 
 3 
2
3
3
AB
2a
3

Câu 8.

Cho hình chóp  S . ABC  có  SA  vuông góc với mặt phẳng   ABC  , tam giác  ABC  vuông cân tại B  và 

AC  2a (minh  họa  như  hình  bên).  Góc  giữa  đường  thẳng  SB   và  mặt  phẳng   ABC    bằng 
60. Tính độ dài cạnh bên  SA . 

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A.

a 6
.
3

B. a 6.

C. a 3.

D. 2a 3.  

Lời giải
Chọn B
Ta có

SB   ABC   B 
  AB là hình chiếu của  SB  trên   ABC  ,  
SA   ABC 




  600  
 SB
,  ABC   SB
, AB  SBA



 



Mà tam giác  ABC  vuông cân tại  B  và  AC  2 a  AB  a 2  
Khi đó xét trong tam giác vuông  SAB  suy ra  SA  AB tan 600  a 6  
Câu 9.

Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình chữ nhật với  AB  2a , AD  a 2 ,  SA  vuông góc với 
mặt phẳng đáy và  SA  a 2 . Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABCD   bằng 

A. 450 .

B. 300 .

C. 600 .

D. 900 . 

Lời giải

Chọn B 
Vì  SA   ABCD   nên  AC  là hình chiếu của  SC  trên mặt phẳng   ABCD   

 
Do đó góc giữa  SC  và mặt phẳng   ABCD   là  SCA
Đáy  ABCD  là hình chữ nhật có  AB  2a , BC  AD  a 2  nên 

AC  AB2  BC 2  4a2  2a2  a 6  

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

  SA  a 2  3    SCA
  30 . 
Trong tam giác vuông  SAC :   tan SCA
AC a 6
3
Vậy góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng  ( ABCD )  bằng  30  . 
Câu 10. Cho chóp đều  S. ABCD  có cạnh đáy bằng  2a , cạnh bên bằng  3a (minh họa như hình bên). Gọi 
  là góc giữa giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

 
A. tan  

14
.
7

3

B. tan   .
2

C.   450.

D. tan  

14
.
2

Lời giải
Chọn D
Gọi  O  AC  BD  SO   ABCD   AO  là hình chiếu của  SA  trên mp   ABCD   


   
 SA
,  ABCD   SA
, AO  SAO



 



Xét trong tam giác vuông  SAO  ta có 
SA  3a, AO 

Câu 11.

1
1
SO
14
AC  2a. 2  a 2  SO  a 7  tan  

. 
2
2
AO
2

Cho lăng trụ đứng  ABC.A ' B ' C '  có đáy là  ABC vuông cân tại  B , AC  2 2a (minh họa như 
hình bên). Góc giữa đường thẳng  A ' B  và mặt phẳng   ABC   bằng  60  . Tính độ dài cạnh bên của 
hình lăng trụ. 

 
A.

2a 3
.
3

B. 2a 3.

C. 2a 6.

D. 2a.  

Lời giải
Chọn B

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta có

A ' B   ABC   B 
  AB là hình chiếu của  A ' B  trên   ABC  .  
A ' A   ABC 


 
A ' B,  ABC   
A ' B, AB  
A ' BA  600  

 





Khi đó xét trong tam giác vuông  A ' BA  ta có: 
AC
A' A

AB 
 2a, tan 
A ' BA 
 A ' A  AB tan 600  2a 3.  
AB
2

ABC  600 ,  SA  vuông góc với mặt 
Câu 12. Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình thoi cạnh bằng  a ,  
phẳng đáy và  SA  a 3 .  Gọi     là góc  giữa  đường thẳng  SC   và  mặt phẳng   ABCD  .  Tính 
tan   

A.

3.

B. 1.

C.

6
.
2

D.

1
. 
3

Lời giải
Chọn A 
Vì  SA   ABCD   nên  AC  là hình chiếu của  SC  trên mặt phẳng   ABCD   

   
Do đó góc giữa  SC  và mặt phẳng   ABCD   là  SCA
  600  nên  ABC  đều   AC  AB  BC  a  
Đáy  ABCD  là hình thoi có  ABC
Xét  SAC  vuông tại A:  tan  

SA a 3

 3 
AC
a

Câu 13. Cho chóp  S . ABCD  có đáy là hình vuông tâm O  cạnh bằng  2a , cạnh bên  SA vuông góc với 
mặt phẳng   ABCD  , SA  a 3.  Gọi   góc giữa đường thẳng  SO  và mặt phẳng   ABCD  . Mệnh 
đề nào sau đây đúng? 

 
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

A. tan   6.

B.   45.

C.   60.

D.   90.

Lời giải
Chọn C
SO   ABCD   O 
  AO là hình chiếu của  SO  trên   ABCD  . 
SA   ABCD 



 . 
 SO
,  ABCD   SO
, AO  SOA

Ta có



 



Khi đó xét trong tam giác vuông  SOA  ta có: 
1
1
  SA  3  SOA
  60 0 . 
AO  AC 

2a. 2  a; SA  a 3  tan SOA
2
2
AO
Câu 14. Cho  hình  chóp  S.ABCD   có  đáy  là  hình  vuông  cạnh  a 2 .  Gọi  M  là  trung  điểm  của  AB, 

SM   ABCD   và  SM  a 5 . Gọi    là góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABCD  . 
Tính  tan   

A.

30
.
3

B.

2.

C.

22
.
4

D.

5
. 
2

Lời giải
Chọn B 
Vì  SM   ABCD   nên  MC  là hình chiếu của  SC  trên mặt phẳng   ABCD   

   
Do đó góc giữa  SC  và mặt phẳng   ABCD   là  SCM
Đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a 2  nên  BM 
Xét  SMC  vuông tại M:  tan  

AB a 2
a 10

   MC  BC 2  BM 2 
 
2
2
2

SM
a 5

 2 . 
MC a 10
2

Câu 15. Cho hình chóp  S.ABC  có  SA vuông góc với mặt phẳng   ABC  , SA  a 3,  tam giác  ABC  đều 
(minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABC   bằng  30.  Tính thể tích 
khối chóp  S.ABC . 

Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A.

9a 3
.
4

B.

27a3
.
4

C.

a3
.
4

D.

81a3
. 
4

Lời giải

Chọn A
SC   ABC   C 
  AB là hình chiếu của  SC  trên   ABC  ,  
SA   ABC 



  300 . 
 SC
,  ABC   SC
, AB  SCA

Ta có



 



Khi đó xét trong tam giác vuông  SAC  ta có  tan 300 
Tam giác  ABC đều nên  S ABC 

 3a 

2

4

3



SA
 AC  3a . 
AC

9a 2 3
1
9 a 2 3 9a 3
. 
 VSABC  a 3.

4
3
4
4

Câu 16. Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O  cạnh  2a . Cạnh bên  SA  vuông 
góc với đáy và  SA  2a .Góc giữa đường thẳng  SB  và mặt phẳng   SAC  bằng: 

 
A. 45.  

B. 30.  

C. 60.  
Lời giải

D. 90.  

Chọn B
SB   SAC   S 
  SO là hình chiếu của  S B  trên   ABCD  ,  
BO   SAC  


 . 
 SB
,  SAC   SB
, SO  BSO

Ta có



 



Khi đó xét trong tam giác vuông  SBO  ta có: 
1
1
BO  BD  2a. 2  a 2; SA  2a  SO  a 6 . 
2
2

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

  BO  1  BSO
  300  
 tan BSO
SO
3
Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. ABC D  có đáy  ABCD  là hình vuông,  AC   a 2 . Gọi   P   là 
mặt phẳng qua  AC   cắt  BB, DD  lần lượt tại  M , N  sao cho tam giác  AMN  cân tại  A  có 

P  ,  ABCD  .
MN  a . Tính  cos   với    



A.

2
.
2

B.



1
.
2

C.

1
.
3

D.

3
.
3

Lời giải
Chọn A

 
Ta có AMC N  là hình bình hành, mà tam giác  AMN  cân tại  A  nên  MN  AC  . 
Ta có   BDD ' B '   cắt ba mặt phẳng   ABCD  ,   A' B 'C ' D '  ,   AMC ' N   lần lượt theo ba giao 
tuyến  BD / / B ' D ' / / MN . 
Hai mặt phẳng   P   và   ABCD   có điểm chung  A  và lần lượt chứa hai đường thẳng song song 
MN ,  BD  nên giao tuyến của chúng là đường thẳng  d  đi qua  A  và song song với  MN , BD . 

Trên hai mặt phẳng   P   và   ABCD  lần lượt có hai đường thẳng  AC   và  AC  cùng vuông góc 
với  d  nên góc giữa hai mặt phẳng   P   và   ABCD   chính là góc giữa  AC   và  AC , bằng góc 
 . Xét tam giác  C 'CA  vuông tại  C  có: 
CAC
cos  

AC BD MN
a
2





 



AC
AC
AC a 2
2

Cách 2:
Theo chứng minh ở trên thì  MN //BD  và  MN  BD  a . 
Đa giác  AMC N  nằm trên mặt phẳng   P   có hình chiếu trên mặt   ABCD   là hình vuông 
ABCD  nên: 
2

cos  

S ABCD
S AMC N

 BD 


2
AB
2
2


 

.
1
1
2


AC .MN
AC .MN
2
2

Câu 18. Cho  hình  hộp  chữ  nhật  ABCD. ABC D   có  các  cạnh  AB  2, AD  3; AA  4 .  Góc  giữa  hai 
mặt phẳng   ABD   và   AC D   là   . Tính giá trị gần đúng của góc   ?
A. 45, 2 .

B. 38,1 .

C. 53, 4 .

D. 61, 6 .

Lời giải
Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Chọn D
Cách 1: Hai mặt phẳng   ABD  và   ACD  có giao tuyến là  EF  như hình vẽ. 
Do  EF //AB  mà  AD   AABB  nên  AD  AB  EF / / A ' D '  
Từ  A  kẻ vuông góc lên giao tuyến  EF tại  H thì  A ' H  EF    

EF   ADH   EF  DH . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai 

  và  DH .
đường thẳng  AH

Tam giác  D' EF  lần lượt có  DE 

DB
13



,  D F  D A  5 ,  EF  B A  5 . 
2
2
2
2
2

61
2S
305
. Suy ra  DH  DEF 
. 
4

EF
10

Theo Hê-rông ta có:  SD' EF 

Dễ thấy   A ' EF   D ' EF    A ' H  D ' H . 

AHD 
Tam giác  DAH  có:  cos 

HA2  HD2  AD2
29
  . 
2HA.HD
61

AH , DH  180118,4  61,6 . 
AHD  118, 4  hay  
Do đó  





Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật  ABCD. ABCD vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó 

A 0;0;0 , B  2;0;0 , D 0;3;0 , C  2;3;0 , A  0;0;4  , B  2;0;4 , D  0;3;4 , C  2;3;4 . 




 





 

Gọi  n1 là véc tơ pháp tuyến của   ABD . Có  n1   AB ; AD      12;  8; 6  . 
Gọi  n2 là véc tơ pháp tuyến của   ACD . Có  n2   A  C ; A  D     12; 8; 6  . 
Gọi   là góc giữa hai mặt phẳng   ABD  và   ACD  

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 


n1 n2
29
cos      . Vậy giá trị gần đúng của góc    là  61, 6 . 
61
n1 n2
Cách 3.

 
Do hai mặt phẳng   ABD  và   ACD  chứa hai đường  AB  và  CD  song song với nhau nên 
giao tuyến của chúng song song hai đường đó. 
Kẻ  AH  AB ,  H  AB , dựng hình bình hành  AHKD có tâm  I như hình vẽ. 
Do  AD   AABB   nên  AD  AB suy ra  AB   AHKD  góc giữa hai mặt phẳng 

  và  DH . 
 ABD  và   ACD  là góc giữa  AK
   có  AH
  là đường cao nên 
Trong tam giác vuông  AAB
Vậy  AH 

1
1
1
1 1
5
. 


 

AH 2 AB  2 AA 2 4 16 16

4
. 
5

 
Xét tam giác  AIH  có  cos I   cos  A  H    cos A cos H  sin A sin H  29 . 
61

Vậy góc giữa hai mặt phẳng   ABD  và   ACD gần đúng bằng  61, 6 .
Câu 19. Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. ABC D  có các cạnh  AB  2, AD  3; AA  4 . Góc giữa hai 

mặt phẳng   BC ' D   và   AC D   là   . Tính giá trị gần đúng của góc   ?
A. 45, 2 .

B. 38,1 .

C. 53, 4 .

D. 61,6 .

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải
Chọn D
z

D'

A'
4

B'

C'

3

A

D y
B
x

2

C

 
Dựng hệ tọa độ  Oxyz  như hình vẽ, ta có  A  0;0;0  , B  2;0;0 , D  0;3;0   và 

A  0;0;4  , C   2;3; 4 . 




BC    0;3; 4  , BD   2;3;0  , AC    2;3;0  , AD   0;3;  4   
 

Véc tơ pháp tuyến của   BC D   là:  n1   BC , BD    12;  8;6   
 

Véc tơ pháp tuyến của   AC D   là:  n2   AC , AD    12;8;6  . 
Ta có: 
29
 
cos   cos  n1 , n2  
   61, 6
61

Câu 20. Cho tứ diện  ABCD  có  BD  2 . Hai tam giác  ABD  và  BCD  có diện tích lần lượt là  6  và  10 . 
Biết  thể  tích  khối  tứ  diện  ABCD   bằng  16 .  Tính  số  đo  góc  giữa  hai  mặt  phẳng   ABD  
và  BCD.
 4
A. arccos   .
 15 

4
B. arcsin   .
5

4
C. arccos   .
5
Lời giải

 4
D. arcsin   .
 15 

Chọn B

Gọi  H  là hình chiếu của  A  xuống   BCD  . Ta có  VABCD

 
1
3V
24
 AH .S BCD  AH 
. 


3
S BCD
5

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 

ABD  ,  BCD   
AKH  
Gọi  K  là hình chiếu của  A  xuống  BD , dễ thấy  HK  BD . Vậy  





1
2S
AK .BD  AK  ABD  6 . 
2
BD
AH
4
Do đó  
ABD  ,  BCD   
AKH  arcsin
 arcsin   . 
AK
5

Cách khác
1
3V
24
Gọi  H  là hình chiếu của  A  xuống   BCD  . Ta có  VABCD  AH .S BCD  AH 
. 

3
S BCD
5
Mặt khác  S ABD 





Ta có:  S ABD  6 . 
Gọi  K  là hình chiếu của  A  xuống  BD . Do  BD  2  nên  SK 

2SABD
 6 . 
BD

18
1
18
 SHBD  HK .BD  . 
5
2
5

Gọi    là góc giữa mặt phẳng   ABD   và   BCD  . 
Có  KH  SK 2  AH 2 

Vì  HBD  là hình chiếu của  ABD  trên   BCD   nên  cos  
Vậy  sin  

S HBD 3
 . 
S ABD 5

4
4
   arcsin   . 
5
5

Câu 21. Cho hình chóp  S . ABCD  đáy  ABCD  là hình thoi,  SA  SC . Góc giữa hai mặt phẳng   SBD   và 

 ABCD   bằng?
A. 90 .

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 45 .

Chọn A
S

D

C
O

A

B

 

Gọi  O  là tâm của hình thoi  ABCD . 
 AC  BD
Ta có  
   AC   SBD    ABCD    SBD  . 
 AC  SO
Vậy góc giữa hai mặt phẳng   SBD   và   ABCD   bằng  90 .
Câu 22. Cho hình chóp  S . ABCD   đáy  ABCD  là hình chữ nhật, tam giác  SAB  là tam giác đều và nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng   SAB   và   SAD   bằng?
A. 30 .

B. 90 .

C. 60 .
Lời giải

D. 45 .

Chọn B

Facebook Nguyễn Vương 15