Bài giảng Giải tích 1 – Chương 2: Hàm số một biến số

Chương 2: Hàm số một biến số


ĐỊNH NGHĨA HÀM HÀM SỐ
Cho , ⊂ ℝ, ≠ ∅. Một ánh xạ
là hàm số của một biến số
: →
↦ =

từ

vào

được gọi

• Tập X gọi là miền xác định.
• Tập Y=f(X) gọi là miền giá trị.
• x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối
số.
• y=f(x) gọi là biến phụ thuộc hay còn
được gọi là hàm số và được gọi là giá trị
của hàm f tại x.


Đơn ánh.

∀ ,

∈ ;

≠

⇒

≠ ( ).


Toàn ánh.

∀ ∈ ,∃ ∈ :

= .


Song ánh (vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh).

∀ , ∈ ; ≠
∀ ∈ ,∃ ∈ :

⇒
=

≠ ( )
.


Hàm số chẵn, hàm số lẻ

∀ ,− ∈ :
=
Hàm chẵn

−

∀ ,− ∈ :

= − (− )
Hàm lẻ


Hàm số tuần hoàn
( ) tuần hoàn trên
chu kỳ nếu:
∀ , + ∈ :
=

với
+


Hàm số đơn điệu
• Ta nói hàm f ( x) là hàm tăng, nếu

 x1, x2  X  ,  x1  x2 

f ( x1 )  f ( x2 ) 

• Ta nói nói hàm f ( x) là hàm giảm, nếu
 x1, x2  X  ,  x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 
• Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là
tăng (giảm) ngặt.

Một hàm tăng hay hàm giảm được gọi chung là hàm
đơn điệu.


Hàm số bị chặn
Ta nói hàm f ( x) bị chặn trên trong
x  X , f ( x)  A
⇒
≤
Ta nói hàm f ( x) bị chặn dưới trong
x  X , f ( x)  B
⇒

bởi

∈ ℝ , nếu

bởi B ∈ ℝ , nếu

≥

Một hàm vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là
hàm bị chặn.


Hàm số hợp
Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z .
Khi đó tồn tại hàm hợp f  g : X  Z .

h  f  g  f ( g ( x))

Hàm số hợp
Cho hai hàm g : X  Y ; f : Y  Z .
Khi đó tồn tại hàm hợp f  g : X  Z .

h  f  g  f ( g ( x))
Ví dụ.

g ( x)  x  3; f ( x)  x 2

 f  g ( x )  f ( g ( x)  f ( x  3)   x  3
 g  f ( x )  g ( f ( x))  g ( x 2 )  x 2  3

2


Ví dụ.
Cho f ( x)  x ; g ( x)  2  x. Tìm các hàm sau và miền
xác định của nó: a ) f  g ;

b) g  f ;

c) f  f ;

d) g  g .


Ví dụ.
Cho f ( x)  x ; g ( x)  2  x. Tìm các hàm sau và miền

xác định của nó: a ) f  g ;

a) f  g ( x) 

2 x  4 2 x

b) g  f ;

c) f  f ;

d) g  g .

 D f  g  ( , 2]

b) g  f ( x )  2  x

 Dg  f   0, 4

c) f  f ( x)  4 x

 D f  f   0,  

d ) g  g ( x)  2  2  x

 Dg  g   2, 2


Hàm số ngược
Nếu f : X  Y
x  y = f(x)

là song ánh

thì  : Y  X
y  x = (y) , với y = f(x)
gọi là hàm ngược của f

Ký hiệu hàm ngược :  = f 1
Cách tìm hàm ngược:
1. Từ pt y = f(x) , giải tìm x = (y).
2. Hàm số y = (x) là hàm ngược cần
tìm.


Ví dụ.
1. Tìm hàm ngược của y = f(x) = 2x + 3 trên R
B1: giải pt y = f(x)

y  2x  3

y 3
x
2

B2: Đổi vai trò của x, y trong biểu thức nghiệm:

x3
1
y
 f ( x)
2

2. Tìm hàm ngược của hàm số y = f(x) = x2

 y  f ( x)  x 2

x  0
Vậy :

1

x

y  f ( x)  x

trên R+
1

y  f ( y)


Các hàm số thông dụng


Hàm lũy thừa

=


Hàm mũ cơ số

∀ ∈ ℝ,

( )=

y  a x ,0  a  1

y  ax, a  1


Hàm logarit cơ số
y  log a ( x), a  1

y  log a ( x), 0
∀ ,

∈ ℝ × ℝ:

= log

⟺

=


Hàm lượng giác :

,

y = sinx, y = cosx  MXĐ: R, MGT:[–1, 1],Tuần hoàn chu kỳ

=2


Hàm lượng giác : tan ,
y = tanx (MXĐ: {R\ /2 + k }), y = cotx (MXĐ: R\{ k}); MGT: R,
Tuần hoàn chu kỳ

=


Hàm biến đổi

Cho hàm y = ( ) và

> 0.


Hàm Hyperbolic
sin hyperbolic
cos hyperbolic
tan hyperbolic
cotan hyperbolic

e x  e x
sinh( x) 
2
e x  e x
cosh( x) 
2

sinh( x)
tanh( x) 
cosh( x)
cosh( x)
coth( x) 
sinh( x )


Hàm y  cosh( x)

Hàm y  sinh( x )