Đề kiểm tra học kỳ I môn Toán 12

Đề thi học kì I năm học 2007- 2008
Môn: toán - khối 12
(Thời gian làm bài 90 phút)
Bài 1: (5 điểm). Cho hàm số:
2
3 3
1
x x
y
x
+
=

có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
2
3 3
1
x x
m
x
+
=

.
c) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết nó song song với đờng thẳng
y =
3
2
4

x +
.
Bài 2: (2 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

3
3sin 2siny x x=
trên
[0; ]

.

Bài 3: (3 điểm). Cho đờng tròn:
2 2
2 4 1 0x y x y+ + + =
và hai đờng thẳng
1 2
,
lần lợt có phơng trình:
2 6 0, 3 9 0x y x y+ = + =
.
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính đờng tròn trên.
b) Tính góc giữa hai đờng thẳng
1

và
2

, tính khoảng cách từ tâm đờng
tròn đến

2

.
c) Giả sử các tiếp tuyến của đờng tròn qua giao điểm của
1

và
2

tiếp
xúc với đờng tròn tại M
1
và M
2
. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M
1
và
M
2
.
..Hết.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Đáp án -thang điểm đề kiểm tra học kì I Môn toán khối 12
năm học 2007 - 2008

Bài ý Nội dung Điểm
1 5
a 3
1. TXĐ:
\{1}Ă

0.25
2. Sự biến thiên
* Chiều biến thiên:
2
, ,
2
2
; 0 0, 2
( 1)
x x
y y x x
x

= = = =

Hàm số đồng biến trên khoảng (
;0
) và
(2; )+
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
0.5
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
CD
= - 3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y
CT
= 1 0.5
* Giới hạn: Ta có
1 1
lim ( ) ; lim ( )

x x
f x f x
+

= = +

x = 1 là tiệm cận đứng

lim ( ) ; lim ( )
x x
f x f x
+
= + =
1
lim[ ( ) ( 2)] lim 0
1
x x
f x x
x

= =


y = x 2 là tiệm cân
xiên của đồ thị hàm số.
0.75
* Bảng biến thiên

x

0 1 2
+
y + 0 - - 0 +
y
+ +
-3



1
0.5
3 Đồ thị: Giao điểm với trụ tung (0;-3). Đồ thị đi qua (-1;
7
2

),
3
(3; )
2
y

2
Nhận xét: Đồ thị nhận 1
Giao điểm của hai -1 O 2 x
đờng tiệm cận làm tâm -1
đối xứng.
-3 y=m
m
0.5
b 1

Số nghiệm của phơng trình
2
3 3
1
x x
m
x
+
=

bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
+
=

và đờng thẳng
y = m.
Dựa vào đồ thị câu a), ta có:
+) m < - 3 phơng trình có hai nghiệm
+) m = - 3 phơng trình có nghiệm kép
+) -3 < m < 1 phơng trình vô nghiệm
+) m = 1 phơng trình có nghiệm kép
+) m > 1 phơng trình có hai nghiệm.
c 1

Đờng thẳng song song với đờng thẳng y =
3
2
4
x +
có hệ số
góc bằng k =
3
4
.
0.25
Xét phơng trình f(x) = k

2
2
2
2 3
2 3 0
( 1) 4
1, 3
x x
x x
x
x x

= =

= =
0.25
Với x=-1: f(-1) =

7
2

;tiếp tuyến tơng ứng:
y =
3
4
(x+1)
7
2

hay y =
3
4
x -
11
4
0.25
Với x= 3: f(-1) =
3
2
;tiếp tuyến tơng ứng:
y =
3
4
(x-3)+
3
2
hay y =
3

4
x -
3
4
0.25
2 2
Ta có : f(x)= 3cosx- 6sin
2
x.cosx = 3cosx(1- 2sin
2
x)
0.5
f(x)= 0
cos 0
2
2
3
sin
;
2
4 4
x
x
x
x x



=

=





=

= =




( vì x
[ ]
0;


).
0.5
Vậy trên
[ ]
0;

hàm số có 3 điểm tới hạn là
3
, ,
4 2 4

0.5

f(
0
) = 0, f(
4

) =
2
, f(
2

) = 1, f(
3
4

) =
2
, f(

) = 0
Vậy :
[0; ]
[0; ]
3
max ( ) 2, ,
4 4
min ( ) 0, 0,
f x khi x x
f x khi x x

= = =
= = =
0.5
3 3
a 1
Ta có A = - 1, B = 2, C = 1 0.25`
2 2 2 2
( 1) 2 1 2A B C+ = + =
2 2
A B C+
=
2 2
( 1) 2 1 +
= 4
0.25
Tâm I(1;-2), bán kính R= 2 0.5
b 1
Ta có: cos(
1 2
;
) =
2 2 2 2
1.1 2.( 3)
2
2
1 2 . 1 ( 3)
+
=

+ +
0
1 2
( ; ) 45 =
0.5
Khoảng cách từ I(1;-2) đến
2


2
2 2
1.1 3.( 2) 9
8 10
( , )
5
1 ( 3)
d I
+
= =
+
0.5
c 1
Gọi M là giao điểm của hai đờng thẳng
1 2
,
, khi đó M(0;3) M
1
M
M
2

0.25
Đờng tròn đờng kính IM có phơng trình

2 2
6x y x y+
= 0
0.25
Đờng thẳng M
1
M
2
chính là trục đẳng phơng của hai đờng
tròn trên nên có phơng trình:
7 0x y =
0.5
Chú ý: Nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng thì cũng chấm theo biểu
điểm trên.

I