Tải bản đầy đủ (.doc) (34 trang)

Bài tập phép biến hình 11NC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (467.24 KB, 34 trang )

CHƯƠN G I : PHÉP BIẾ N HÌNH
CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
′ ′
1 Phép biến hình .
ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất
M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé
′ ′
′ ′ ′
→ →
f
p biến hình đó .
ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay
f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I
⇔ ∀ ∈
o
1 2 2 1
ª
ảnh .
f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H .
Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến .
f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình .
Nếu H l
′ ′


à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là
ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .
′ ′


2 Phép dời hình .
ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với
hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c

′ ′
g
ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) .
3 Tính chất : ( của phép dời hình ) .
ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng


g

thành ba điểm không thẳng hàng .
HQ :Phép dời hình biến :
1. Đường thẳng thành đường thẳng .
2. Tia thành tia .
3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
4. Tam giác thành t
→ →
→
′ ′
am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
6. Góc thành góc
I I
I
bằng nó .
B . BÀI TẬP





→



− −


x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giải :
a) A = f(A) = (1;5)
b) B =
I





− +

→





− −
f(B) = ( 7;6)
c) C = f(C) = (3; 1)
x = 2x y 1
2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .
y = x 2y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2
I


− −

− −

→
;4)
Giải :
a) A = f(A) = (4;3)
b) B = f(B) = ( 4; 4)
c) C = f(C) = ( 7; 7)
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời
hình hay
I
không ?

→

→
1 1 2 2
1 1 1 1

2 2 2 2
Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
I
I
- 1 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
′ ′
− + − − + −
′ ′
≠ ≠
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .
{
{
{
{
′ ′
′ ′
′ ′
→ − →
y x
x y
4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) M = f(M) = ( y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) .

Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình
I I
′ ′
≠ ≠

→ −
1 2
?
HD :
a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I

→ b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?
Giải :
a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình (
I
′ ′
≠ ≠
1 2
vì y y thì M N MN )

→ − +
∆ − −
6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I






− 
=

→ ⇔
 

= +



= −



′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − =
∈ ∆ ≠
g
x
x = 2x
x
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
2
y y 1
y y 1

x
Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0
2
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M
I

∈ ∆ → = = −

∈ ∆ − − → = =g
( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1)
N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0)
I
I




′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =

′ ′

= −

g
uuuuur
g
Qua M ( 4;1)
x+ 4 y 1

( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ):x 6y 2 0
6 1
VTCP : M N (6; 1)

→ + +

− →
2 2
7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I
I − −
2 2
2) + (y 3) = 4

→ − +
∆ −
8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x
I


→ − +
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 1 1

+ 1) + (y 2) = 2 .
x y
d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 .
3 2
Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) .
f : N
I

→ − +
′ ′
− + −
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1
(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1)
Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN
Vậy : f là phép dời hình .
I
- 2 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
′ ′
 
− = +

→ ⇔
 
′ ′
= + = −
 

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈
b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I

∆ + − =) : x 2y 4 0
∈ ∆ ≠

∈ ∆ → = =

∈ ∆ → = =
g
g
Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)
I
I


− −
′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =

′ ′


= −


g
uuuuur
g
Qua M (2;1)
x 2 y 1
( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ): x 2y 4 0
2 1
VTCP : M N ( 2;1)
Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng

∆ ∆

∈ ∆ → = =
′ ′ ′ ′ ′
∆ ∆ ⇒ ∆ + ≠ − ∆ ∋ ⇒ − ⇒ ∆ + − =
g
g
( ) // ( ) .
Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
I
′ ′
 
− = +

→ ⇔

 
′ ′
= + = −
 
′ ′
∈ − ⇔ + + − = ⇔
′ ′ ′

2 2 2 2

x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y
I

∈ + + − =

 
− − = −
′ ′
→ → + + − =
 

+ +
 
2 2
f
2 2

) (C ) : (x 4) (y 3) 2
+ Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3)
Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2
BK : R = 2 BK : R = R = 2
′ ′
 
− = +

→ ⇔
 
′ ′
= + = −
 
d) Dùng biểu thức toạ độ
x = x 3 x x 3
Ta có f : M(x;y) M = f(M) =
y y 1 y y 1
I
′ ′
− −
′ ′ ′ ′
∈ ⇔ ⇔ ∈
2 2 2 2 2 2
x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1)
Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1
3 2 3 2 3 2

→ + −
∆ − +
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .

a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I

− − + −
2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)

→ −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
I

A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
→ ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .
′ ′
→ − → − −

1 1 2 2
1 2
12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :
f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) .
Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì
I I
′ ′′

− → − → −
1 2
2 1
f f
m f [f (A)] .
ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I

→ −

x
11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
2
A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì
I


′ ′
∈ ∈ − −
ảnh A = f(A) Ox .
C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)

− ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)
- 3 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
′ ′
=
uuuuur
r r

1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.
′ ′
= ⇔ =
uuuuur
r
r r
g
Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u
u u
Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó .
Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất .
o o
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T
u
= ∀
r r
g
r
r



′ ′ ′
→ =



r
x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì

u
y = y + b
I
g
g
3 Tính chất :
ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
HQ :
1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .
3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
→ → Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I
′ ′
→
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó .
(Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I

 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM


′ ′ ′
→ =



r
x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì

u
y = y + b
I
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
′ ′
∈ → ∈

≡ → ≡
g
g
Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi )
1. Lấy M (H) M (H )
2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương

I

 
+ +
′ ′ ′
≡ → ≡
 

 
′ ′
Tâm I Tâm I
(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) .
+ bk : R + bk : R = R
Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .
Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3

II
′ ′ ′
∈ → ∈
: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I
B, BÀI TẬP


′ ′
 
− = =
′ ′ ′ ′
⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔
 
′ ′
+ = = −
 
r
uuuuur
r
r
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải
x 3 2 x 5
Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1)
u
y 2 1 y 1


⇒ −


r
r
M (5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)



r
A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2)

⇒ −

− − ⇒
r
B ( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)
- 4 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
′ ′
′ ′
′ ′
= =
r
uuur uuuur
r r
3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dài AB , A B .
Giải

Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)
u u
′ ′ ′ ′
= =
= = =
= ⇔ = = ⇔ =
uuur uuuur
r r r
r r r
uuuuur uuuuuuur
r
r r
1 2
1 2
(4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) .
1 2 1 u 2 u 1 2 v
Giải
Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M
1 u 1 1 2 u 1 1 2
= ⇔ = ⇒ = = + = =
r
uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuuur
r r r r r r r
r
u .
2
Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u
2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2


∆ − ∆
∆ −
r
5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) .
′ ′
= = − = =




= +
′ ′ ′ ′ ′ ′
∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′


r r
g
r
uuuuur
g
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) .
u u
qua A (1; 1)
x 1 t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u

y 1 2t
VTCP : A B = (1;2)

∆ ∆
∆ − −

= = −
r
r
6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .
Giải
Vì : A T (A) (0; 2) ,
u

= = −




= −
′ ′ ′ ′ ′ ′
∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆
 
= − +
′ ′



∆ − −

r
g
r
uuuuur
g
r
B T (B) ( 1;1) .
u
qua A (0; 2)
x t
Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :
u
y 2 3t
VTCP : A B = ( 1;3)
7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)

⇒ ∆ − + =

∆ + − − − ⇒ ∆ + + =
r
: x 2y 2 0
b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0
8 Tìm ảnh c
+ − = −
′ ′
 


 
′ ′


 

r
r
2 2
ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) .
Giải
x = x + 1 x = x 1
Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y = y 3 y = y + 3
Vì : M(x;y) (
′ ′ ′ ′ ′ ′
+ − = ⇔ + + = ⇔ ∈ + + =

+ + =
2 2 2 2 2 2
C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4
2 2
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4

→ + −
∆ − +
9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .
b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I

− − + −

2 2
2
2 2 2
= 0.
c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .
ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x

→ −
1)
10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây
sai ?
A. f là 1 phép dời hình B.
I

Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A
C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t →rục tung C sai .
− + + = −
′ ′
 


 
′ ′
+ −
 
r
r
2 2

9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .
x = x 2 x = x + 2
Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là :
u
y = y 4 y = y 4
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =

− + − =
2 2 2 2 2 2
Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1
2 2
Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1
- 5 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H

− + + = ⇒ − + − =

+ − + − = −
r
r
2 2 2 2
BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1
2 2
b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C )
+ + − − =
− −
g
2 2
: x y 2x 2y 7 0

10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .
Giải
= − − = = −
 
− = =
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
− = =
 
uur uur uur
g
uur uur
uur
g
Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC nên :
x 1 3 x 4
C = T (I) IC AI C(4;4)
AI
y 2 2 y 4
Vì I là trung điểm của AC nên :
D =
 
− = =
 
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
− = =
 

 
− ⇒ −

uur uur
uur
x 1 2 x 3
D D
T (I) ID BI D(3;4)
BI
y 2 2 y 4
D D
Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một

′ ′
∈ ∈
′ ′
∈ ⇔ =
uuuuur uuur
uuur
phép tònh tiến
biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ?
Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d
Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB
AB

′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒

′ ′

uuuur uuuur
uuur
MA M B M B/ /MA M d d = T (d)
AB
Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d .
12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R)
′ ′
′ ′ ′
⇔ =

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒

uuuuur uur
uur
uuur uuuur
uur
thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II
II
IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]
II
13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động
trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.
Giải
Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d =
uuur uur
uur
uur
ễ thấy J cố đònh và IM JB .

Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là
JB
ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB

r
2
14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ − −
′ ′
 
− −

⇔ ⇔
 
′ ′
− −
 
′ ′ ′
∈ = ⇔ − − ⇔
r
uuuuur uuuuur
r
g
uuuuur
r
u
(P ) .

Giải :
T
M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)
x x = m x = x m
Vì MM = u
y y = n y = y n
2 2
Mà : M(x;y) (P) : y ax y n = a(x m) y =
I
′ ′ ′ ′ ′
− + ⇔ ∈ − +

− + ⇔ − + +
∆ − ≠ ∆ ∆
r
r
r
r
2 2
a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n
2 2 2
Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n .
u
15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) .
u
Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = −
⇒ −
− −
r r r r
r

r
ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
u
chọn u = (1; 3) .
16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi
r r
r r
ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v
u v
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?
Giải
- 6 -
T
u+v
r r
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H

− → → −
r r
u v
T T
A( 5;2) B C( 1;0)I I
.
Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
r r r r

− − −
→  →
r r

r r
r r
u v
17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T .
u v
T T
HD : Gỉa sử : A(x;y) BI I
′ ′
 = = ⇒ = + = + =
′ ′
 
− = =
′ ′ ′
⇔ = ⇔ ⇔ ⇒
 
+
′ ′
− = =
 
′ ′
uuur uuur uuur uuur uuur
r r r r
uuuur
r r
C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)
x 1 1 x 2
Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) .
u v
y 2 5 y 7

Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .
18 Trong hệ trụ
∆ − − ∆


′ ′ ′
→ − →
r r
r
r
r
u u
c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép
tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) .
u
Giải
T T
A(3;0) G( 1;3) G (x ;yI I
′ ′
 
+ = − = −
′ ′
= − = = ⇔ ⇔ ⇒ −
 
′ ′
− = =
 

− + + = + − + + =
uuur uuuur

r r
)
x 1 4 x 5
Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).
y 3 3 y 6
2 2 2 2
19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ): x y 10x 4y 25 0.
Có hay không phe

′ ′ ′
− −

r
r
ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .
HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u

− ∈∆ − −
=
uuur
g
= (4;1) biến (C) thành (C ) .
20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?
Giải
Vì OABC là hình bình hành nên : BC
= − ⇒ = −
′ ′
 

− = = −
′ ′
→ = ⇔ ⇔
 
′ ′
− = − = +
 
′ ′ ′ ′ ′
∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈∆ − −

r
uuur
r
r
uuur
r
g
g
u
AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)
u
T
x x 2 x x 2
B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u
y y 1 y y 1
B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C
1 1 1
I
lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I

1 2 3 1 2 3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C ,
1 1
BC A
1
∆ = ∆
→ → →
⇒ ∆ →∆ → →

uuur uuur uuur
uuur
1 1 1
AB AB AB
2 2 2
, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .
1 1 1 1 2 3 1 2 3
HD :
Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A .
1 1 1 1
AB
2
T T T
AB C C BA ;O O ;I I .
1 1 1 1 1 2 1 2

I I I
I I I
w

= ⇒ =

= = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆
uuuuuur uuuur
uuur uuur
uuuuuur uuuur uuuuuur uuuur
O O I I O O I I .
1 2 1 2 1 2 1 2
Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra :
1 1
BC CA
2 2
O O I I và O O I I O O I I ,O O I I O O O I I I (
2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3
w
c.c.c).
µ
µ
µ
·
= = = =
→ ⇔ = =
uuur
o o o
uuuur uuur
BC
22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .
HD :
T
Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw
µ

=
o o
0 (vì B 150 )
- 7 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
·
·
= − + + = ⇒ =

= + − = + − =

⇒ ∆
o o o o o
o
o
Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Đònh lý hàm cos trong MCD :
3
2 2 2 2 2
MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36
2
MD = 6cm .
1
Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác
2
·
·
·
·
·

⇒ ∆ ⇒ = =
= = = ⇒ ∆
o o
o
đều
MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 .
Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .
⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ =
o
6 3
Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm
2
Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm
Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A , KIẾN THỨC CƠ BẢN


1 ĐN1: Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn
MM .
Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứn

g trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường tha
′ ′
= ⇔ = −
uuuuuur uuuuuur
a o o o
úng a .
Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .

Khi đó :

∈ =g
a
Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )

′ ′
∉ = ⇔
g
a
M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM

a a
Đ (M) M thì Đ (M ) M
′ ′
= =g

a a
Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .
′ ′ ′
= =g

⇔ =g
g
d
ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H .
Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó .
Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .
′ ′ ′
→ = =

′ ′
 

≡ ≡
 
′ ′

 
d
2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )
x = x x = x
ª d Ox : ª d Oy :
y = y y = y
I
g
3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình .

1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứ
HQ :

→
ng .
2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .
4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn

I →
′ ′

→
g tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
7. Góc thành góc bằng nó .
I
I
a
PP : Tìm ảnh M = Đ (M)
1. (d) M , d a
2. H = d a
3. H là trung điểm của MM M ?


∋ ⊥

′ ′

- 8 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H

∆ ∆

∈ ∆ ≠

′ ′ ′ ′
∆ ∋ ∆ → ∆
a
a
ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( )
TH1: ( )// (a)

1. Lấy A,B ( ) : A B
2. Tìm ảnh A = Đ (A)
3. A , // (a)
w

∆ ∩
∈∆ ≠

∆ ≡
a
TH2 : // a
1. Tìm K = a
2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P)
3. (KQ)
w

ª
PP :
∈ ∆
min
Tìm M ( ) : (MA + MB) .
∈ ∆



′ ′
∀ ∈ ∆ = ≥
′ ′
⇔ ∩ ∆
min

min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )
2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
w

∀ ∈ ∆ ≥
⇔ ∩ ∆
min
Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
w
B . BÀI TẬP
′ ′′
→ − → − −
Đ
Đ
Oy
Ox
1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)
2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ
I I
′ ′′
→ − → − −
′ ′′
− − → →

′ ′′
− → →
Đ
Đ
Oy
Ox
Đ Đ
a b
Đ Đ
a b
ng qua Ox .
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)
3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M .
HD : M( 1;2) M (5;2)
I I
I I
I I −

′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′
→ →


= −

→


=

Đ Đ

a b
Đ Đ
a b
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).
Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).
x 2m x
HD : M(x;y) M
y y
I I
− −
′′

= −
′′
→

′′
= − −


′ ′
− ∩ → − → − −

2m x; n)
x 2m x
M
y 2n y
5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .

HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H là trung điểm của MM M ( 3; 2)
6 Cho điểm M( 4;

⇒ = −

∆ − − ∆ ∆

≠g
a
a
1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4)
7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
HD :
4 1

1
⇒ ∆ → = ∆ ∩ → −

′ ′
− ∈∆ → ∋ ⊥ → + − = → → = =
′ ′
∆ ≡ −
g
g
a
cắt a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7 / 2): tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)
KM : x 4y + 6 = 0
∩ −


≡ ∈ − −

≡ +
g
g
g
a
a
a
8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .
3 9
M O(0;0) Ox : M = Đ (M) = ( ; ) .
5 5
b KM : 3x + 4y 9 = 0 .
9 Tìm b = Đ (Ox) với đườ −ng thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
- 9 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H

≡ ∈

∆ → ∆ − =



∩ ∆ → →
≡ −
g
g

g
g
g
HD : a Ox = K(3;0) .
P O(0;0) Ox .
+ Qua O(0;0)
:3x y 0
+ a
3 9 3 9
E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .
10 10 5 5
b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .
1

∩ →
∈ ⇒ −
g
g
Ox
Ox
0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)
P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)

≡ − −
g b KQ : x 3y 3 = 0 .

∆ − − − ∆ ∆


′ ′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ≡
′ ′ ′ ′ ′
∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a
Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A

∈∆ → = = −
′ ′ ′ ′
∆ ∋ ∆ ∆ ⇒ ∆ − − =

+ − = −

− + =
g
g
a
2 2
a
2 2
Giải : A(0;1) A Đ (A) (2; 3)
A , / / :x 2y 8 0
12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)]
HD : (C ) : (x 3) y 1 .
∆ −
∆ ∆

∆ = ∆
Ox
13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng đònh nào sau đây sai ?
A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng
C. ABC Đ ( ABC)
Oy
D. Trọng tâm : G = Đ (G)
HD : Chọn D
− ∆ − + + =
∆ −

2 2
14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .
Giải : Gọi M ,
′ ′
∆ ∆






⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ +
g
g
( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)
a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a

+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d): 2x y
+
4 = 0







= +


∩ ⇒ − ⇒ ⇔


= +


− = − +


=−

⇔ ⇔ ⇒ − −
 
=−


= +




≠ ⇒ ∆

g
H M M
H M M
M
M
M
M
1
x (x x )
2
+ H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H
1
y (y y )
2
1
2 ( 3 x )
x 1
2
M ( 1; 2)
1 y 2
0 (2 y )
2
b) Tìm ảnh ( ) :
1 3
Vì ( ) cắt (a

1 2
⇒ ∆ ∩


⇒ ⇔



) K= ( ) (a)
x + 3y 8 = 0
Toạ độ của K là nghiệm của hệ : K(2;2)
x 2y + 2 = 0
≠ ⇒ − −





g
g
g
a
Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) )
Qua P( 1;3)
Gọi đường thẳng (b) :
a
- 10 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
⊥ → + ∋ − ⇒ − ⇒ + −
∩ ⇒ ⇒ ⇔

 
= + = − +
 
 
⇔ ⇔ ⇔
 
 
= + = +
 
 
E P Q Q
E P Q Q
+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b): 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E là trung điểm của P,Q
1 1
x (x x ) 0 ( 1 x )
x
2 2
E
1 1
y (y y ) 1 (3 y )
2 2

=

⇒ −

= −




− −
′ ′
∆ ≡ ⇒ ∆ = ⇔ − − =

= − − = −

g
uuur
g
Q
Q
1
Q(1; 1)
y 1
Qua K(2;2)
x 2 y 2
+ ( ) (KQ) : ( ): 3x y 4 0
1 3
VTCP :KQ ( 1; 3) (1;3)
{ {


′ ′
→ →

= = =

+
g g

g g
Đ Đ
a a
c) + Tìm ảnh của tâm I( 3;2) như câu a) .
Tâm I Tâm I
+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): (C ): .Tìm I I
R 2 R R 2
+ Tâm I( 3;2)
Vậy : (C)
BK :
I I
{



− − = −

→



+


→ + + − =
Đ
a
a
2 2
2 2

+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )
(C )
5 5
R = 2
BK : R = R = 2
2 2
(C ) : (x ) (y ) 4
5 5
I
− ∆ − + − =
∆ −

2 2
15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1) (y 2) 9.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + 1 = 0 .
HD :
a) M(3; 5) I

→ − − + + = − −
∆ ∩ →

∈ ∆ ≠ − ⇒ ∆ ≡ − + =

Đ
a
a
33 1 9 13
M ( ; ),(d): x 2y 7 0,tđiểm H( ; )
5 5 5 5
4 15

b) + K= (a) K( ; )
7 7
+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Đ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 0
c) + I(1; 2)
′ ′ ′
→ − ⇒ + − =
Đ
2 2
a
9 8 9 8
I ( ; ) , R = R = 3 (C ) : (x + ) (y ) 9
5 5 5 5
I
− ∆ − + − + + =



=

→


= −

2 2
Đ
Ox
16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .
x x

HD : Ta có : M(x;y) M (
y y


=



= −


− →
g
Đ
Ox
x x
1) (2)
y y
Thay vào (2) : M(2; 3) M (2;3)
′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −
′ ′ ′ ′
∈ + − + + = ⇔ + − − + =
′ ′ ′ ′ ′ ′
⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =
g
g
2 2 2 2
2 2 2 2
M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .

M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0
(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3

′ ′
 
= =

→ ⇒
 
′ ′
= − = −
 
′ ′ ′ ′ ′
∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔
Ox
Đ
Ox
17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I
′ ′ ′
∈ +

→ +
Đ
Oy
x ;y ) (a ) : 2x y + 3 = 0

Vậy : (a) (a ) : 2x y + 3 = 0 I
+ − −
′ ′
 
= − = −

→ ⇒
 
′ ′
= =
 
′ ′ ′ ′ ′
∈ + − − ⇔ − + − − ⇔ +
2 2
Oy
Đ
Oy
2 2 2 2 2
18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .
x x x x
Giải : Ta có : M(x;y) M
y y y y
Vì M(x;y) (C) : x y 4y 5 = 0 ( x ) y 4(y ) 5 = 0 x
I
− −
′ ′ ′ ′
⇔ ∈ + − −

→ + − −
2

2 2
Đ
Oy
2 2
y 4y 5 = 0
M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0
Vậy : (C) (C ) : x y 4y 5 = 0I
- 11 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
− − ∆ − + + − − +

2 2
a
a
19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .
b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .
′ ′
∆ ∆ =
+ ≠
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = − − ⇒ =


uuuuur uuuuur
r r
a a
2 2
Đ
a

c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải
a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0
Gọi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn
x

I
′ ′
′ + +
 
− = = +

⇒ ∀ ∈ ∈
 
′ ′
− = = +
 
′ ′
+ + + + + +
⇔ + + = ⇔ + + =

⇔ + = − ⇔ =
¡
2 2
x x y y
x At x x At
( t ) . Gọi I là trung điểm của MM nên I( ; ) (a)
y y Bt y y Bt
2 2
x x y y x x At y y Bt

A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0
2 2 2 2
2(Ax + By + C)
(A B )t 2(Ax + By + C) t
A +


′ ′
⇒ = − = −


 + +
 
− −
′ ′
= − = − + +
 
 

 
− −
 
′ ′
= + = + −
 
 

− → −
2 2
2 2 2 2

Đ
a
B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)
x x ;y y
A B A B
4(2x y 3) 3 4 12
x x x x y
5 5 5 5
Áp dụng kết quả trên ta có :
2(2x y 3) 4 3 6
y y y y y
5 5 5 5
4 7
b) M(4; 1) M ( ;
5
I

∆ → ∆ + − =

→ − + − =
Đ
a
Đ
2 2
a
)
5
c) :3x y 17 0
d) (C) (C ) :(x 1) (y 4) 2

I
I
20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y 7 = 0 và ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua
trục biến ( ) thành ( ) .

∆ − + ∆ − −

∆ ∆
Giải
1 5
Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính
5 1
là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .

′ ′
≠ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆


∆ ∆
1
2
1 2
x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|
Từ đó suy ra (a) :
x y 1 0 (a )
1 25 25 + 1
Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ): x y 1 0

+ − =

− + − −
= ⇔

− − =
+

∆ + − = ∆ − − =

a
21 Qua phép đối xứng trục Đ :
1. Những tam giác nào biến thành chính nó ?
2. Những đường tròn nào biến thành chính nó ?
HD :
1. Tam giác có 1 đỉnh trục a , hai đỉnh còn lại đ

− + − =

→ + + −
2 2
2
ối xứng qua trục a .
2. Đường tròn có tâm a .
22 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua phép đối xứng trục Oy.
PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y 2 =
′ ′ ′
∆ ∆
′ ′ ′
− −
2
) 4

23 Hai ABC và A B C cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A , B và C .

′ ′
− ĐS : A (1;5), B (4;6) và C( 3;1)
24 Xét các hình vuông , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .
- 12 -
CHƯƠN G I : PHÉP BI Ế N HÌN H
g
g
ĐS :
Hình vuông có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .
Ngũ giác đều co
g
ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .



d
25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng đònh
nào sau đây sai ?
A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .





′ ′

d

B. B là trung điểm cạnh AC .
C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B = Đ (B) thì B AC .
′ ′ ′

′ ′ ′
⇒ ≡
g
g
g
A đúng . Vì AB < AC mà AB = AB nên AB < AC B ở trên cạnh AC .
1
B sai . Vì giả thiết bài toán không đủ khẳng đònh AB = AC.
2
C đúng . Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC B C .

′ ′ ′
→ →
g
a b
Đ Đ
a b
D đúng . Vì Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB .
26 Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Xét 2 phép đối xứng trục Đ và Đ :
A B CI I




. Khẳng đònh nào sau đây không sai ?
A. A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
B. Tứ giác OABC nội tiếp .
C. ABC cân ở B
D. ABC vuông ở B

⇒ ⇒ ⇒ ∈
g
g
1 2
HD : A. Không sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực
của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
Các câu B,C,D có thể sai .

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .



⇒ ⇒ = = ⇒ ∆


HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC
AB AB BC ABC đều .
BC = BA

µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
∆ = ∆
= = = =
o
o o o o o o o
28 Cho ABC có A 110 . Tính B và C để ABC
có trục đối xứng .
A. B = 50 và C 20 B. B = 45 và C 25 C. B = 40 và C 30 D. B = C 35


µ
µ
µ
µ
o o
o o o
o
HD : Chọn D . Vì : ABC có trục đối xứng khi ABC cân hoặc đều
Vì A 110 90 ABC cân tại A , khi đó :
180 A 180 110

B C 35
2 2
∆ ∆
= > ⇒ ∆
− −
= = = =

29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn B. Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng .
30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?
A. Hình chữ nhật B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .
- 13 -

×