Đề HSG Toán 9.1

PHNG GIẠO DỦC TP. HÚ

K THI CHN HC SINH GII THCS NÀM HC 2006 - 2007
MÄN TOẠN - LÅÏP 9
Thåìi gian: 120 phụt (khäng kãø thåìi gian giao âãư)
Bi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc
xxxyyxyA 31031.3103
23
−+−=
a) Phán têch A thnh nhán tỉí.
b) Tçm càûp säú x, y tho mn âiãưu kiãûn y - x =
4
3
âäưng thåìi A = 0
Bi 2 (2 âiãøm):
Cho biãøu thỉïc M = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
+ 4t
2
våïi x, y, z, t l cạc säú
ngun khäng ám. Tçm cạc giạ trë ca x, y, z, t âãø biãøu thỉïc M cọ giạ
trë nh nháút tho mn âiãưu kiãûn:
2x
2
- 2y
2
+ 5t

2
= 30
x
2
+ 8y
2
+ 9z
2
= 168
Bi 3 (2 âiãøm):
Cho hm säú f(x) =
2x2x
1x2x
2
2
+−
+−
(x ∈ R)
a) Chỉïng minh ràòng våïi hai giạ trë x
1
, x
2
tu ca x sao cho 1≤
x
1
< x
2
thç f(x
1
) < f(x

2
)
b) Våïi giạ trë no ca x thç
4
3
)x(f
2
1
<<
Bi 4 (4 âiãøm):
Cho tam giạc cán ABC (AB = AC), âỉåìng cao AH. Trãn cảnh BC láúy 2
âiãøm M v E sao cho ME =
2
1
BC (BM < BE). Qua M k âỉåìng thàóng
vng gọc våïi BC càõt AB tải D. Qua E k âỉåìng thàóng vng gọc våïi DE
càõt âỉåìng thàóng AH tải N.
a) Chỉïng minh: BM . BH = MD . HN
b) Chỉïng t N l mäüt âiãøm cäú âënh.
c) Biãút AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tênh khong cạch giỉỵa tám âỉåìng
trn näüi tiãúp v tám âỉåìng trn ngoải tiãúp ca tam giạc ABC.
HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HC SINH GII NÀM 2006-
2007
Män: Toạn - Låïp 9
Bi 1(2 âiãøm)
a) (1 âiãøm)
x3x10xy10xy21yx37yx33y3A
223
−++−−=
(0,5 â)

( ) ( )
2
3 . 3 7 3 10y x y x y x
= − − +

( ) ( )
2
3 . 3 2 3 5 3 10 60y x y x y x y x
= − − − +
o
(0,5 â)

( ) ( ) ( )
3 . 3 2 . 3 5y x y x y x
= − − −
b) (1 âiãøm)
x3y0A
==
hoỷc
3
x2
y
=
hoỷc
3
x5
y
=
*

x3y
=

0
4
3
x3x
=+

0
2
3
x
2
=










4
3
x
=

3
4
y x
=

4
3
xy
+=

4
3
xy
+=
2
3
y
=

*
3
x2
y
=

0
4
3
3

x2
x
=+

2
1 5
0
12
3
x

+ =
ữ



3
4
y x
=

4
3
xy
+=

4
3
xy
+=

*
x
3
5
y
=

0
4
3
3
x5
x
=+

0
12
16
32
5
x
2
=

3
4
y x
=

4
3
xy
+=

4
3
xy
+=

32
9
x
=

32
1
x
=

4
27
x

=
12
1
x
=

4
3
xy
+=

4
3
xy
+=

2
15
y
=
6
5
y
=
Vỏỷy coù 3 cỷp sọỳ thoớa maợn õióửu kióỷn A = 0 vaỡ
3
4
y x
=
laỡ:

(
4
3
x
=
;
2
3
y
=
) ; (x =
27
4
; y =
15
2
) vaỡ (
12
1
x
=
;
6
5
y
=
)
Baỡi 2 (2 õióứm)
Tổỡ 2x
2

- 2y
2
+ 5t
2
= 30 vaỡ x
2
+ 8y
2
+ 9z
2
= 168
Suy ra: 3x
2
+ 6y
2
+ 9z
2
+ 5t
2
= 198
3(x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
+ 4t
2
) = 198 + 7t
2

3M = 198 + 7t
2

66t
3
7
66M
2
+=
Giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66 khi t = 0
Do õoù: 2x
2
- 2y
2
= 30 (1) vaỡ x
2
+ 8y
2
+ 9z
2
= 168 (2)
Tổỡ (1) (x + y)(x - y ) = 15
Vỗ x, y laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ỏm, nón x + y = 15 vaỡ x - y =
1 (3)
Hoỷc: x + y = 5 vaỡ x - y = 3 (4)
Tổỡ (3) x = 8, y = 7, caùc giaù trở naỡy khọng thoớa (2)
Tổỡ (4) x = 4, y = 1. Thay vaỡo (2) ta coù:
16 + 8 + 9z
2
= 168

9z
2
= 144
z
2
= 16
z = 4 (z = - 4 loaỷi)
Vỏỷỷy giaù trở nhoớ nhỏỳt cuớa M laỡ 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t
= 0
Baỡi 3 (2 õióứm)
a) 1 õióứm



Hóỷ phổồng trỗnh
vọ nghióỷm


ho ỷc

ho ỷc
( )
( )
( )
11x
1x
xf
2
2
+

=
- Vồùi x
1
= 1, x
2
>1 thỗ f(x
1
) = 0, f(x
2
) > 0 nón f(x
1
) < f(x
2
)
- Nóỳu x 1, ta coù
( )
( )
2
1x
1
1
1
xf

+
=
Vồùi 1 < x
1
< x

2
thỗ 0 < x
1
- 1 < x
2
- 1 nón:
( )
2
1
1x
1

>
( )
2
2
1x
1

Do õoù:
( )
2
1
1x
1
1
1

+
<

( )
2
2
1x
1
1
1

+
hay f(x
1
) < f(x
2
)
Vỏỷy vồùi 1 x
1
< x
2
thỗ f(x
1
) < f(x
2
)
b) 1 õióứm
f(x) >
1
2

2x2x
1x2x

2
2
+
+
>
1
2
2x4x2
2
+
>
x2x2x2x
22
+
> 0
x (x - 2) > 0 x > 2 hoỷc x < 0 (1)
f(x) <
4
3

2x2x
1x2x
2
2
+
+
<
4
3
4x

2
- 8x + 4 < 3x
2
- 6x + 6
x
2
- 2x - 2 < 0 (x - 1)
2
- 3 < 0 (x -1 +
3
) (x - 1 -
3
) < 0
1 -
3
< x < 1 +
3
(2)
Tổỡ (1) vaỡ (2) suy ra
2
1
< f(x) <
4
3
1 -
3
< x < 0 hoỷc 2 <
x < 1 +
3

Baỡi 4 (4 õióứm)
A
D

B M H E
C
N
a) Xeùt MDE vaỡ HEN coù:

ã
DME
=
ã
EHN
= 90
0

ã
MDE
=
ã
HEN
(goùc coù caỷnh tổồng
ổùng vuọng goùc)
nón MDE HEN , suy ra:
HN
ME
HE
MD
=

Hay MD.HN = HE.ME
Do BH = ME (
BC
2
1
=
) nón BM = HE
Do õoù: MD.HN = BM.BH (1)
b) Tổỡ (1)
HN
BH
BM
MD
=
(2)
ABH coù MD//AH nón
BH
AH
BM
MD
=
(3)
Tổỡ (2) vaỡ (3)
BH
AH
HN
BH
=

AH

BH
HN
2
=
N AH cọỳ õởnh vaỡ HN khọng thay õọứi nón N laỡ õióứm cọỳ
õởnh.
c)
A
P
BC = 6cm BH = 3cm
AHB (
0
90H

=
) coù AH
2
= AB
2
- BH
2

= 5
2
- 3
2
= 16
= 4
2
K

I
B H
C
AH = 4cm
Goỹi K laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC,
thỗ BK laỡ phỏn giaùc cuớa
à
B
vaỡ K

AH.
Do õoù:
5
3
BA
BH
KA
KH
==
Suy ra:
5,0
8
4
8
KAKH
5
KA
3
KH
==

+
==
KH = 1,5cm
KA = 2,5cm
Goỹi I laỡ tỏm dổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp ABC thỗ IP laỡ õổồỡng
trung trổỷc cuớa caỷnh AB vaỡ I

AH nón
5
2,5( )
2 2
AB
PA cm= = =
.
ABH (
0
90H

=
) coù cos (
ã
BAH
)
8,0
5
4
AB
AH
===
ã

cos( ) 0,8PAI =
API (
0
90P

=
) coù cos (
ã
PAI
)
AI
AP
=

ã
2,5
3,125
0,8
cos( )
AP
AI
PAI
= = =
Do õoù KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)
Vỏỷy khoaớng caùch giổợa tỏm õổồỡng troỡn ngoỹai tióỳp vaỡ tỏm
õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp cuớa tam giaùc ABC laỡ 0,625cm.