SKKN một số kinh nghiệm khi dạy học sinh giỏi lớp 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI DẠY HỌC SINH GIỎI LỚP 7 GIẢI
CÁC BÀI TOÁN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI”

Quảng Bình, tháng 5 năm 2017

1


PHÇN Më §ÇU
1. Lý do chọn sáng kiến
Ngày nay Đảng và Nhà nước ta luôn xác định mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, coi “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Đặc biệt là
trong giai đoạn hiện nay nhân tài có vai trò quan trọng trong công cuộc xây dựng xã
hội văn minh. Những nước văn minh đều là những nước bồi dưỡng và sử dụng được
nhiều nhân tài. Chính vì thế mà có thể coi công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là công tác
mũi nhọn và trọng tâm, nó có tác dụng thiết thực và mạnh mẽ nâng cao trình độ chuyên
môn nghiệp vụ của đội ngũ các thầy cô giáo, nâng cao chất lượng giáo dục góp phần
khẳng định thương hiệu của nhà trường, của giáo dục các cấp, tạo ra khí thế hăng say
vươn lên học tập giành những đỉnh cao trong học sinh.
Trong các môn học ở nhà trường THCS, Toán học là bộ môn khoa học cơ bản
nhất. Học sinh tham gia thi học sinh giỏi các cấp hiện nay đều yêu cầu môn Toán phải
đạt khá, giỏi trở lên đối với đặc thù từng môn. Giỏi Toán là niềm mơ ước của nhiều bậc
phụ huynh và biết bao thế hệ học sinh.
Trong chương trình toán lớp 7 THCS, dạng toán về biểu thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối là dạng thường xuyên gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện. Đa số
học sinh khi giải còn thiếu lô gíc ,chặt chẽ , thiếu trường hợp . Lí do là các em vận
dụng tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đối chưa chắc. Các em chưa phân biệt được các

dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác. Một số giáo viên bồi dưỡng chưa dạy
chuyên sâu phần này, chưa phân dạng và phương pháp giải cho từng dạng nên học sinh
thường nhầm lẫn giữa các dạng toán hoặc trình bày thiếu sót như tôi đã nêu ở trên.
Sau nhiều năm trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi khối 6,7 tôi có một số kinh
nghiệm nhỏ giúp học sinh học tốt phần này mà bản thân áp dụng vào giảng dạy bước
đầu đã có hiệu quả. Chính vì lý do này nên tôi đã chọn sáng kiến: “Một số kinh
nghiệm khi dạy học sinh giỏi lớp 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

2


2.1. Phạm vi nghiên cứu:
Học sinh Câu lạc bộ Toán 7 của Trường THCS
2.2. Đối tượng nghiên cứu:
Các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao.
3. Mục đích nghiên cứu
Đánh giá thực trạng kỹ năng giải các bài toán có chứa dấu Giá trị tuyệt đối của
học sinh lớp 7 trường THCS.
Đề xuất phương pháp giải các dạng toán có chứa dấu Giá trị tuyệt nhằm nâng cao
chất lượng mũi nhọn cho học sinh lớp 7 ở trường THCS.
4. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
- Điểm mới trong sáng kiến của tôi là đưa ra những kinh nghiệm về phương pháp
giải toán trong một chuyên đề mà học sinh thường lúng túng do không nắm chắc
phương pháp giải toán. Trong sáng kiến này , tôi chú trong phân loại nhiều dạng toán,
mỗi dạng có nhiều cách giải, đặc biệt chú trọng đến dạng toán nâng cao dành cho học
sinh giỏi.
- Giúp cho học sinh xác định đúng các dạng toán, nắm chắc các phương pháp giải
và lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất.

3


PHẦN NỘI DUNG
I. Thực trạng của vấn đề
Khi giải các dạng bài toán bằng có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường
giải tìm điều kiện không chính xác. Khi tìm được giá trị của x thì quên đối chiếu điều
kiện hoặc kết hợp các điều kiện không đúng.
Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để rèn luyện cho học
sinh học sinh các kĩ năng này. Giáo viên nghiên cứu về phương pháp giải các bài toán
chứa dấu giá trị tuyệt đối song mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một
cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từng
loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó. Trong quá trình giảng dạy nhiều
giáo viên trăn trở là làm thế nào để học sinh phân biệt được từng dạng và cách giải
từng dạng đó.
Vào giữa tháng 10 năm 2015, sau hai buổi dạy nội dung này bằng cách củng cố lý
thuyết và làm một số bài tập, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 60 phút với nội dung
như sau:
Bài 1(2điểm): Rút gọn biểu thức: A= x  5  2  3x
Bài 2(6 điểm): Tìm x, biết:
a) 2x  3  x  2
b) |x - 4| + |x - 9| = 5
c) 2x  3  5
d) 3x  1 �7
Bài 3( 2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của : B = x  2011  x  2012  x  2013
Tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưa nắm vững
phương pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp
được kết quả tìm ra với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh,
hợp lí nên đa số làm không kịp thời gian.
Kết quả đạt được như sau:

Xếp loại
Tổng số:20

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

2

10%

4

20%

6

30%

8

40%

Kết quả thấp là do học sinh vướng mắc những điều tôi đã nêu ra (ở phần trên) và
phần lớn các em xét chưa được chặt chẽ ở câu b, trường hợp 4  x < 9 thì đẳng thức trở
thành x- 4 - x + 9 = 5 => 0x = 0(xảy ra với mọi x) => x có thể vô số giá trị.Nhưng thực
4


tế ở đây đang xét trong điều kiện 4  x < 9 nên x có vô số giá trị thoả mãn 4  x < 9.
Trong bài 3 nhiều em còn lúng túng trong việc tìm điều kiện của x để dấu “=” xảy ra.
II. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức khảo sát chất lượng đầu năm
Ngay từ đầu các năm học , sau khi nhận lớp khoảng một tháng, tôi đã tiến hành
khảo sát chất lượng để phân loại đối tượng học sinh. Qua kết quả khảo sát giúp giáo viên
nhận biết được khả năng nhận thức cũng như kĩ năng giải toán của học sinh.
2 . Một số vấn đề về lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối.
Trước khi đưa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phương pháp giải thì
giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ được định nghĩa về giá trị tuyệt đối, từ
định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập.

Từ các khái niệm về giá trị tuyệt đối, các định lí, tính chất, giáo viên củng cố,
khắc sâu kiến thức cho học sinh để từ đó học sinh vận dụng vào giải quyết bài tập.
a) Định nghĩa:
�a neu a �0
�a neu a �0

Với a �Z thì a  �

�A neu A �0
 A neu A<0
�

Với biểu thức A thì A  �
b) Tính chất:

Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau:
* a = 0 � a = 0
* a = - a với  a R.
* a  0 với  a  R. Dấu “=” xảy ra � a = 0.
* a  a với  a  R. Dấu “=” xảy ra � a  0.
* a  - a với  a  R. Dấu “=” xảy ra � a  0.
* a +b  a +b với  a,b  R. Dấu “=” xảy ra � ab  0.
2.2 Phương pháp giải bài toán trong đó có chứa giá trị tuyệt đối.
Trước tiên học sinh cần nắm chắc được định nghĩa và các tính chất của giá trị
tuyệt đối, làm các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên, sau đó làm các bài
tập nâng cao và bài tập đòi hỏi sự tư duy của học sinh.
Cho học sinh vận dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức
để đưa bài toán trên về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể
tiến hành các phép tính đại số quen thuộc.
2.3. Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số.

2.3.1. Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức:

5


Đối với dạng toán này giáo viên phải cho học sinh thấy được sự giống và khác
nhau giữa bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một
biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối.
a. Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức.
A = 5x2 - 2x + 1 với x = 2 thì x = 2 hoặc x = -2 từ đó sẽ có 2 giá trị của biểu
thức A tương ứng.
Bài giải:
Vì x = 2 � x = 2 , x = -2
* Với x = 2 ta có

: A = 5.22 - 2.2 + 1 = 17.

* Với x = -2 ta có : A = 5.(-2)2 - 2.(-2) + 1 = 25.
Vậy với x = 2 thì : A = 17; A = 25.
b. Ví dụ 2: Tìm giá trị của các biểu thức.
B = 2 x - 1 - 3 1- x tại x = 4
Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào biểu thức B sau đó bỏ giá
trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức B.
Bài giải:
Với x = 4 ta có:
B = 2 4 - 1 - 3 1 - 4 = 2.3 - 3.3 = -3 .
2.3.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của
một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối
của nó (nếu biểu thức âm). Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cần xét

giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm. Dấu của các biểu thức thường được
viết trong bảng xét dấu.
a. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - x - 2
x - 2 = x - 2 với x - 2  0 � x  2.
x - 2 = - (x -2) = - x + 2 với x - 2 < 0 � x < 2.
* Với x  2 thì A = 3(2x - 3) - (x - 2)
A = 6x - 9 - x +2.
A = 5x - 7.
* Với x < 2 thì:
A = 3(2x - 3) - (-x + 2) = 6x - 9 + x - 2 = 7x - 11
Vậy A =

5x - 7 nếu x  2 , A= 7x - 11 nếu x < 2.

b. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = 2x - 6 - x - 4

6


Ở đây biểu thức A có chứa tới 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối do đó để đơn
giản trong trình bày, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét
dấu.
x

3

4

2x - 6

-

0

+

+

+

x-4

-

-

-

0

+

2x - 6 = 2x - 6 nếu x  3
2x - 6 = 6 – 2x nếu x < 3
x - 4 = x - 4 nếu x  4
x  4 = 4 - x nếu x < 4

Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x.
* Nếu x < 3 thì A = (6 - 2x) - (4 - x) = 6 - 2x - 4+x = 2- x.
* Nếu 3  x < 4 thì A = (2x - 6) - (4 - x) = 2x - 6 - 4 + x = 3x - 10.

* Nếu x  4 thì A = (2x - 6) - (x - 4) = 2x – 6 - x + 4 = x - 2.
Vậy: A =

2- x

nếu x < 3.

3x - 10

nếu 3  x  4

x-2

nếu x > 4

2.3.3. Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 1: A(x)k (Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của
mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A( x) 0  A( x) 0
 A( x ) k

- Nếu k > 0 thì ta có: A( x) k  
 A( x )  k
Phương pháp giải dạng này là phải dựa vào định nghĩa để xét hai trường hợp xảy
ra.
2x - 1 = 5.

Ví dụ 1: Tìm x biết:

Cách giải:

2x  1  5
2x  6
x3
�
�
�
��
��
2x  1  5
2x  4
x  2
�
�
�

2x - 1 = 5 � �

7


Vậy x 

- 2; 3

Dạng 2: A(x) B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
 a b

 A( x)  B( x )

Vận dụng tính chất: a  b  
ta có: A( x)  B( x)  
 a  b
 A( x)  B( x)
Ví dụ 2: Tìm x biết:

2x +1 = x-5

Cách giải:
x  6
�
2x  1  x  5 �
x  6 �
�
2x 1  x  5 � �
��
�
4
�
2x

1

5

x
3x


4
x
�
�
� 3
� 4�
Vậy x ��6; �
� 3

Dạng 3: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x)  B ( x)  C ( x )  D ( x )

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ 3 : Tìm x biết rằng

x  1  x  3  2x  1 (1)

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế
trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
Xét

x – 1 = 0 � x = 1; x – 1 < 0 � x < 1; x – 1 > 0 � x > 1
x- 3 = 0 � x = 3; x – 3 < 0 � x < 3; x – 3 > 0 � x > 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
x

1

x–1

-

x–3

-

3

0

+

+
-

0

Xét khoảng x < 1 ta có: (1) � (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
� -2x + 4
= 2x – 1

8

+

5
(giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
4
Xét khoảng 1 �x < 3 ta có: (1) � (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
� 2
= 2x – 1
� x=

� x =

3
( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
2

Xét khoảng x � 3 ta có: (1) � (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
� - 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x =

3
.
2
x - 3 + 5 - x = 0

Ví dụ 4: Tìm x biết

Dạng này nên vận dụng tính chất f(x)  0.
Cách giải.
Vì x-3  0 và 5-x  0 với  x  R.
Do đó: x - 3 + 5-x = 0 khi và chỉ khi x = 3 và x = 5. Điều này không thể đồng
thời xảy ra. Vậy không tồn tại x thoả mãn yêu cầu của đề bài.

Ví dụ 5: Tìm x, biết: x  2  x  3  x  5  4x (1)
Dạng này cũng nên vận dụng tính chất f(x)  0 (Nhiều HS sẽ thường quên và
vận dụng cách lập bảng xét dấu hoặc bỏ dấu giá trị tuyệt đối và chia ra ba trường hợp
sẽ mất nhiều thời gian và dễ dẫn tới sai sót trong quá trình giải).
Cách giải.
Vì x+3  0 , x+3  0 và x+5  0 với  x  R nên x  2  x  3  x  5 �0
Do đó 4x 0  x 0
Với x �0 (1) � x  2  x  3  x  5  4x � 3x  4x  10 � x  10
Ta thấy giá trị x=10 thỏa mãn điều kiện x �0 . Vậy x=10
Dạng 4: A  B 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và
chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A  B 0
Bước 1: Đánh giá:

A 0
  A  B 0
B 0

9


 A 0
 B 0

Bước 2: Khẳng định: A  B 0  
Ví dụ 5: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x  4  3 y  5 0

b) x  y  y 

9
0
25

* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A  B 0 (1)
A 0
  A  B 0
B 0

(2)
 A 0
 B 0

Từ (1) và (2)  A  B 0  
Ví dụ 6: Tìm x, y thoả mãn:
5 x  1  6 y  8 0

Hướng dẫn:
Vì

�
5x  1 �0 �
�� 5x  1  6 y  8 �0 (1)
6 y  8 �0 �

Mà theo bài ra 5 x  1  6 y  8 0 (2). Từ (1) và(2) suy ra 5 x  1  6 y  8  0 (3)
1

�
x
�
�
5
Giaỉ (3) ta được �
�y  4
� 3

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không
âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Ví dụ 7: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

 x  y  2006  2007 y  1 0
( Đáp số: x=y=1)
Dạng 5: Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
a)Cách tìm phương pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối, trước hết hướng dẫn học sinh xác
định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách
nào? Phải qua mấy lần? Và áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ
dấu từ ngoài vào trong để đưa bài tập từ phức tạp đến đơn giản.)
b)Phương pháp giải:

10


Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong. Tuỳ theo đặc điểm
của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì ta áp dụng phương
pháp của dạng cơ bản đó.
c)Ví dụ:Tìm x biết:

a) ||x-5| +9|=10
b) ||4-x|+|x-9||=5
Bài giải:
a) ||x-5| +9|=10
=>|x-5| + 9 = 10 hoặc |x-5|+ 9 =-10
+ Xét |x-5| + 9 = 10 � |x-5| = 1 � x - 5 = 1 hoặc x - 5 = -1
=>x= 6 hoặc x = 4
+ Xét |x-5| + 9 = - 10 � |x-5|= - 19( loại vì |x-5| 0)
Vậy x = 6 hoặc x = 4.
b) ||4-x| + |x-9||=5 (dạng |A| =m  0)
=>|4-x| + |x-9| = 5 hoặc |4-x| + |x-9|= -5
*Xét |4-x| + |x-9| = 5(1) ( Dạng chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối không rơi vào dạng đặc
biệt).
Lập bảng xét dấu:
x

4

4-x

+

x-9

-

0

9
-

0

+

Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra:
+ Với x 4 Ta có |4-x|= 4 - x và | x-9| = 9 - x thì (1) trở thành:
4-x + 9 - x = 5
13 -2x

=5
x = 4(TM)

+ Với 4 < x < 9 thì ta có: |4-x| = x- 4 và |x-9|= 9 - x khi đó (1) trở thành:
x- 4 + 9 - x = 5 � 5 = 5 (thoả mãn với mọi x) � 4< x <9
+ Với x �9 ta có: |4-x| = x- 4 và |x-9| = x-9 khi đó (1) trở thành:
x- 4 + x - 9 = 5 � 2x -13 = 5 � x=9(TM)
Vậy 4 � x �9
*Xét |4-x| + |x-9| = -5 . Điều này không xảy ra vì |4-x| + |x - 9| � 0
11


Vậy 4 �x �9
2.3.4. Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối.
Dạng này giáo viên lưu ý học sinh có hai cách giải:
�A neu A �0
để bỏ dấu GTTĐ , rồi chia ra hai trường hợp
 A neu A<0
�

Cách 1: Dùng định nghĩa A  �

để giải, sau đó đối chiếu điều kiện để trả lời.
Cách 2: Xét f(x) < a thì - a < f(x) < a; (f(x) nằm trong khoảng)
* Xét f(x)  > a thì f(x) > a hoặc f(x) < - a (f(x) nằm ngoài khoảng)
3x - 2 < 4 (1).

Ví dụ 1: Tìm x biết:
Cách giải:

Cách 1: 3x - 2 < 4.
� - 4 < 3x - 2 < 4 � - 2 < 3x < 6.

Cách 2: 3x - 2 =

* Nếu x 

3x - 2 nếu x 

2
.
3

-3x + 2 nếu x <

2
3

� -

2
< x < 2.
3

2 (*)
thì (1) trở thành 3x - 2 < 4 � x < 2 (**)
3

Từ (*). (**) �

2
 x < 2 (2)
3

2
3

* Nếu x < (3) thì (1) trở thành - 3x + 2 < 4 � x > Từ (3) và (4) � -

2
2
< x < (5)
3
3

.Từ (2), (5) � -

2
(4)
3

2
< x < 2.
3

* Cách 1 là cách giải ngắn gọn và ít nhầm lẫn nhất:
Ví dụ 2: Tìm x biết

x + 5 > 6.

Với bài toán trên giáo viên hướng dẫn học sinh nêu được các cách giải nhưng
nên làm theo cách sau:
Cách giải.
Áp dụng

�f ( x )  a

f(x)  > a thì �
�f ( x )  a

(f(x) nằm ngoài khoảng).
x5 6
�
x5  6 � �
�
x  5  6
�

x 1
�

�
x  11
�

Vậy x < - 11 hoặc x > 1

12


Giáo viên chốt lại cách giải : Qua 2 ví dụ trên nên vận dụng tính chất: Với a là hằng
số dương:
* Nếu f(x)  < a thì - a < f(x) < a.
* Nếu f(x)  > a thì f(x) > a hoặc f(x) < - a
Hoặc bỏ dấu GTTĐ và chia hai trường hợp để giải.
2.3.5. Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa
dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức: A = 53x - 2 - 1.
Ở đây học sinh phải biết vận dụng được kiến thức  a  0 với  a  R để giải.
Cách giải.
Ta có 3x - 2  0 với  x  R.
= > 53x - 2  0 với  x  R.
= > A = 5 3x - 2 - 1  = - 1 với  x  R.
2
3

Dấu “=” xảy ra � 3x - 2 = 0 � hay x = .
Min A = - 1 � x =

2
3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x - 5 + x - 7
Dạng bài này giáo viên giới thiệu cho học sinh 4 cách giải sau:
Cách 1: Bài toán phụ:
Chứng minh rằng: a+b �a + b
Áp dụng tính chất: a �a, a � a với mọi a , ta có
a �a �
�
�� a  b �a  b(1)
b �b �
a �a �
�
�� a  b �(a  b) �   a  b  �a  b(2)
b �b �

Từ (1) và (2)suy ra   a  b  �a  b �a  b � a  b �a  b
Dấu “=” xảy ra � ab  0
Giải: Áp dụng bài toán phụ và tính chất a  a , ta có:
B =  x - 5  +  x - 7  =  x - 5  +  7 - x  � x - 5 + 7 - x
B >  2  = 2.

13


Dấu “=” xảy ra: � (x - 5) (7 - x) � 0 � 5 �x �7.
(Lập bảng xét dấu).
Vậy Min B = 2 � 5 �x �7.
Cách 2: Ta có 3 trường hợp sau (dựa vào bảng xét dấu).
* Nếu x < 5 thì
B = - x + 5 - x + 7 = - 2x + 12

Vì: x < 5 � -2x > -10 � -2x + 12 > 2
Ta có:  x - 5  +  x - 7  > 2
* Nếu 5 �x �7, ta có:
B=x-5-x+7=2
* Nếu x > 7, ta có:
B = x - 5 + x -7 = 2x - 12.
Vì x > 7 � 2x >14 nên 2x - 12 > 2
Do đó:  x - 5  +  x - 7  > 2
Vậy Min B = 2 � 5 �x �7.
Cách 3:
0

5 7

B =  x - 5  +  x - 7  là tổng các khoảng cách từ điểm x đến điểm 5 và điểm 7.
Tổng này nhỏ nhất khi x ở giữa 5 và 7 hoặc trùng với 5, hoặc trùng với 7.
Khi đó:  x - 5  +  x - 7  = 7 - 5 = 2
Vậy Min B = 2 � 5 �x �7
Cách 4:  x - 5  �x - 5.
Dấu “=” xảy ra � x - 5 �0 � x �5
 x - 7  =  7 - x  �7 -x
Dấu “=” xảy ra � 7 - x �0 � x �7
Do đó: B =  x - 5  +  x - 7  � x - 5 + 7 - x = 2
Dấu “=” xảy ra � x �5 và x �7 � 5 �x �7
Vậy Min B = 2 � 5 �x �7
* Để tránh nhầm lẫn cho HS, GV nên hướng dẫn HS nên làm theo cách 1
Ví dụ 3: Hãy tìm x để C sau đạt giá trị nhỏ nhất.
C  x  5  x  9  x  10  x  13

Cách giải: Áp dụng các tính chất: x   x , x  y �x  y , ta có:

14


C  x  5  x  9  x  10  x  13

=

 5  x  x  17    9  x  x  13  �5  x  x  17  9  x  x  13  14
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
�
 5  x   x  17  �0 �5 �x �17
�
 �
�
�
9 �x �13
(9  x)  x  13 �0
�
�

9

x 13

( Lập bảng xét dấu khi tìm x)
Vậy Min C=14 khi 9 �x �13
 Lưu ý : Không thực hiện được các cách ghép khác, chẳng hạn:
C   5  x  x  9    13  x  x  17  �5  x  x  9  13  x  x  17  8

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
�
 5  x   x  9  �0
5 �x �9
�
�
��
� x ��
�
13 �x �17
(13  x)  x  17  �0
�
�

Vậy C �8 nhưng dấu đẳng thức không xảy ra, do đó không tìm được giá trị nhỏ
nhất của C.
Ví dụ 4: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất.
C  x  5  x  9  x  10  x  13  x  17

Để giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh vận dụng định nghĩa và các
tính chất sau:
*

A nếu A �0

A=

- A nếu A < 0

*  B  �B dấu “=” xảy ra � B �0

*  C  �- C dấu “=” xảy ra � D = 0
Cách giải:
 x + 5 �- ( x + 5) = - x - 5
 x + 9  �- ( x + 9) = - x - 9
 x + 10  �0
 x + 13  �x + 13
 x + 17  �x + 17
Do đó C � - x - 5 - x - 9 + 0 + x + 13 + x + 17 = 16.
Dấu “=” xảy ra � x + 5 �0; x + 9 �0; x + 20 = 0; x + 13 �0; x + 17 �0
Từ đó ta có x = - 10.
Vậy với x = - 10 thì Min C = 16.

15


2.3.6.Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Trong chương trình toán lớp 7, phần hàm số mới là mở đầu cho chương trình
hàm số ở chương trình toán THCS. Đối với đồ thị hàm số học sinh đã biết cách vẽ đồ
thị hàm số y = ax (a � 0). Đó là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm A( 1;a).
Để vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối, cũng như trên ta phải bỏ dấu
GTTĐ , chia ra các trường hợp. Sau đó tiến hành vẽ đồ thị theo cách đã biết
Ví dụ. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
y= x

a)

b) y 

1
 x x 

2

y

c) y 

x
x

1
1

Giải
i x �0
�x v�
a) Ta có y = x  �
 x v�
i x 0
�

O 1

x

y

Hình 1

1

Với x �0 thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác

A

O 1

x’

của góc phần tư thứ I

Hình 2

Với x �0 thì đồ thị hàm số y = - x là tia phân giác
của góc phần tư thứ II

y

Đồ thị của hàm số y = x gồm hai tia phân giác
của các góc I và II như trên hình 1.

1

b) Với x �0 thì y = x

A

z

Với x < 0 thì y = 0
Đồ thị của hàm số gồm hai tia O x’ và OA

như hình 2.

O
t

c)Với x > thì y = 1

x

B -1

Với x < 0 thì y = - 1
Đồ thị hàm số gồm hai tia Az và Bt như trên hình 3.
( ở đây dấu mũi tên nói rằng hai điểm A và B không thuộc đồ thị )

16

Hình 3

x


Qua 3 ví dụ này giáo viên cho học sinh thấy được khi vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu
giá trị tuyệt đối cũng phải khử dấu giá trị tuyệt đối để đưa về dạng đồ thị hàm số đã
học.
2.4. Một số bài toán suy luận liên quan đến giá trị tuyệt đối:
Bài 1: Trong 3 số nguyên a, b, c có 1 số âm, 1 số dương, 1 số bằng 0 ngoài ra
còn có thêm  a  = b2 (b - c).
Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0?
Giải:

+ Nếu b = 0 thì  a = 02 ( 0 - C).
�  a  = 0 � a = 0 tức a = b trái với đề bài.

+ Nếu a = 0 � b2 ( b - c) = 0.
�

b2 = 0 � b = 0 � a = b trái với đề bài
b - c = 0 � b = c trái với đề bài.

Vậy c = 0 �  a  = b2 ( b - 0)
�  a  = b3 mà  a  > 0 a
� b3 > 0 � b > 0 � a < 0

Vậy a < 0; b > 0; c = 0 thì thoả mãn đề bài.
Bài 2: Tìm các số nguyên x, y sao cho  x  +  y  = 2.
Giải:
Ở đây x và y có vai trò bình đẳng.
Ta xét x chẳng hạn ta có: 0 �  x  �2 vì x  Z nên  x   N.
Do đó:  x   {0; 1; 2}
+ Nếu  x  = 0 thì  y  = 2 � x = 0; y = � 2
+ Nếu  x  = 1 thì  y  = 1 � x = � 1; y = � 1
+ Nếu  x  = 2 thì  y  = 0 � x = �2; y = 0
Vậy có tất cả 8 cặp số thoả mãn đề bài là:
( x = 0; y = 2);

( x = 0; y = -2);

( x = 1; y = 1)

( x = 1; y = -1);

( x = -1; y = 1);

( x = -1; y = -1)

( x = 2; y = 0);

( x = -2; y = 0);

Bài 3: Cho đẳng thức  a  - 1 = b2007 (a, b  Z).
a. Xác định dấu của a và b biết rằng chúng là 2 số nguyên khác 0 và trái dấu nhau.
b. Tính a nếu b = 0.

17


c. Tính b nếu a = 0.
Giải:
a. Giả sử a > 0 thì b < 0 (vì a, b trái dấu).
� b2007 < 0 mà  a  - 1 = b2007.
�  a  - 1 < 0 �  a  < 1 � -1 < a < 1 mà a  Z.
� a = 0 trái với đề bài là a, b  0

Vậy a < 0; b > 0
b. Khi b = 0 có  a  - 1 = 02007 �  a  - 1 = 0
� a  1 � a � 1;1

c. Khi a = 0 có  0  - 1 = b200 � 7 b2007 = -1 � b = - 1.
Bài học kinh nghiệm:
Như vậy bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối rất phong phú và đa dạng nó có mối

liên hệ chặt chẽ với nhau. Vì vậy phân loại được các dạng bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối là cơ sở để các em có thể làm tốt các bài toán giải có chứa dấu giá trị tuyệt
đối ở các lớp cao hơn giúp các em thấy tự tin thoải mái hơn trong học tập.
Một số lưu ý cho HS trong quá trình giải bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
- Nắm vững định nghĩa và các tính chất giá trị tuyệt đối của một số.
- Phân biệt được các dạng bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Xét xem có thể vận dụng cách giải của dạng bài nào cho phù hợp.
Thông qua việc nghiên cứu đề tài này và từ những kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy
tôi xin rút ra một số kinh nghiệm sau:
Đối với học sinh khá giỏi thì việc phát huy năng lực sáng tạo của các em là rất
cần thiết, tạo điều kiện để các em phân loại, đánh giá, giúp các em tìm ra phương pháp
giải một cách nhanh chóng, chính xác. Đồng thời giúp các em liên hệ với các bài toán
khác một cách nhanh chóng ,sáng tạo.Khi thực hiện tốt các nghiên cứu trên tôi thấy
chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng lên một cách rõ rệt.
III. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Khi nắm vững “Phương pháp giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” thành
thạo, học sinh không phải tìm hiểu thêm trên tài liệu nên sẽ không mất tiền để mua
thêm tài liệu hoặc không phải tìm kiếm thầy cô học thêm tránh được hiện tượng học
thêm tràn lan. Giúp các em thấy rằng người học sinh muốn học giỏi môn toán trước hết
phải học tốt phần kiến thức đại số đó đó . Đồng thời rèn cho các em tính độc lập chủ
động trong học tập, góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn.
Cụ thể kết quả kiểm tra về “bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” qua hai năm áp
dụng như sau:
1. Đối với 20 học sinh Câu lạc bộ Toán 7 năm học 2015-2016
Dưới điểm 5

Điểm 5 - 7

Điểm 8 - 10
18

Điểm TB trở lên


SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

3

15

7

35

10

50

17

85

2. Đối với 15 học sinh Câu lạc bộ Toán 7 năm học 2016-2017
Dưới điểm 5

Điểm 5 - 7

Điểm 8 - 10

Điểm TB trở lên

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

2

13,3

5

33,3

8

53,3

13

86,7

Bảng so sánh trên đó chứng tỏ việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào giảng
dạy đạt hiệu quả cao. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh tư duy sáng tạo, tính độc
lập tự chủ và kĩ năng giải toán. Những thao tác tư duy và kĩ năng này sẽ ngày càng
được củng cố và phát triển về sau, đặc biệt là những em tham gia vào các đội tuyển cấp
huyện, cấp tỉnh. Kết quả Câu lạc bộ Toán 7 của trường tham gia các kì kiểm tra Học
sinh giỏi cấp huyện đều đạt giải rất cao. Kết quả này đã tạo động lực cho giáo viên và
học sinh, tạo niềm tin cho các bậc phụ huynh khi cho con em tham gia học tập tại các
Câu lạc bộ ở trường.

19


PHẦN KẾT LUẬN

I. Những bài học kinh nghiệm
Sau quá trình nghiên cứu thực trạng, áp dụng kỹ năng giải các bài toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh Câu lạc bộ Toán 7 trường THCS . bản thân tôi tự
đúc rút bài học kinh nghiệm như sau:
Mỗi giáo viên dạy môn toán THCS cần xác định việc nâng cao chất lượng dạy
học , đặc biệt là chất lượng mũi nhọn là một nhiệm vụ quan trọng đòi hỏi phải có sự
quan tâm, đầu tư về trí tuệ và sự hợp lực của giáo viên và học sinh.
Làm tốt công tác xã hội hoá giáo dục, thu hút sự quan tâm của nhà trường, phụ
huynh học sinh cùng tham gia trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
Giáo viên cần sáng tạo trong công tác vận dụng linh hoạt phương pháp và hình
thức dạy học tích cực trong quá trình dạy học, tìm tòi học hỏi để nâng cao nghiệp vụ
chuyên môn.
Song song với việc kiểm tra, đôn đốc cần chú trọng đến công tác thi đua, khen
thưởng cho học sinh. Từ đó giao chỉ tiêu rõ ràng và điều kiện đi kèm với chỉ tiêu đó
để khuyến khích các em học sinh cố gắng đạt được mục tiêu đề ra. Đây là giải pháp
quan trọng mang tính đột phá trong việc thúc đẩy các em học sinh tìm tòi, cố gắng,
quyết tâm dành được thành tích cao trong học tập.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
Việc nghiên cứu thực trạng, áp dụng rèn các kỹ năng giải các bài toán có chứa
dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7 trường THCS góp phần tạo cho bản thân cá
nhân tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng của mình. Đặc biệt kích
thích tinh thần ham học của học sinh và sự quan tâm, đầu tư của phụ huynh và nhà
trường. Từ đó tạo được “đòn bẩy” trong việc nâng cao chất lượng giáo dục của nhà
trường trong các năm học 2015 - 2016 , 2016-2017 và những năm học tiếp theo.
Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm góp phần khẳng định: Nếu giáo viên thực
sự quan tâm và đầu tư đúng hướng về thời gian, công sức và trí tuệ thì dù đối tượng
học sinh ở trường nào cũng sẽ đạt được những thành công nhất định.
III. Khả năng ứng dụng, triển khai
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm khi dạy học sinh giỏi lớp 7 giải các
bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” đã được đưa ra triển khai trong tổ chuyên môn và

20


được đồng nghiệp đánh giá cao. Đồng nghiệp đã đưa vào áp dụng cho lớp 8 và lớp 9
trong phần giải phương trình có chứa dấu GTTĐ có hiệu quả. Sáng kiến này có thể
ứng dụng và triển khai tới các trường THCS trong toàn huyện vào những năm học tiếp
theo. Thông qua việc vận dụng , giáo viên và học sinh phát triển phương pháp giải các
bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối vào lớp 8, lớp 9.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
1. Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo
In ấn và công bố các Sáng kiến kinh nghiệm hay của giáo viên đến các thư
viện trường học để các giáo viện được giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.
2. Đối với ban lãnh đạo nhà trường
Tiếp tục quan tâm tạo điều kiện cho các em được tham gia các Câu lạc bộ Toán
học trong nhà trường. Tiếp tục tham mưu với Chính quyền địa phương và Hội cha mẹ
học sinh làm tốt hơn nữa công tác khuyến học khuyến tài để tạo động lực thúc đẩy
chất lượng mũi nhọn trong những năm tới.

Sáng kiến kinh nghiệm này được viết chủ yếu dựa vào kinh nghiệm giảng dạy
của bản thân tôi trong nhiều năm qua và học hỏi kinh nghiệm từ các thầy cô giáo
khác, cùng với việc tìm tòi các tài liệu tham khảo phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh
giỏi. Trong thời gian tới bản thân tôi sẽ cố gắng thực hiện tốt hơn nữa khi giảng dạy
chuyên đề này nhằm ngày càng nâng cao chất lượng mũi nhọn , tạo hứng thú và đam
mê học tập bộ môn của học sinh. Giúp học sinh phát triểm tư duy, trí tuệ, có tính chịu
khó, cần cù, làm việc đến nơi đến chốn không bỏ lỡ giữa chừng. Tính suy luận chặt
chẽ, lôgic và chính xác là cơ hội để rèn luyện bản thân, rèn luyện nhân cách con
người, giúp các em bước vào tương lai đầy niềm tin và hy vọng.
Tuy nhiên với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, sáng kiến tôi viết không tránh
khỏi những sai sót nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ các thầy cô

giáo cũng như ban giám khảo để tôi hoàn thiện sáng kiến đầy đủ hơn và có thể vận
dụng được tốt, đồng thời áp dụng rộng rãi hơn trong những năm học tới.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

21


22