Sáng kiến kinh nghiệm về đường phụ trong hình học 7

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
MC LC
STT

NI DUNG

PHN I: M U.
1. Lý do chn ti.
2. Mc ớch nghiờn cu.
13. Gii hn ti
4. Nhim v nghiờn cu.
5. Phm vi v i tng nghiờn cu.
6. Phng phỏp nghiờn cu.
7. K hoch nghiờn cu.

2

3

PHN II: NI DUNG.
I. C s lý lun.
II. C s thc tin.
III.Mt s bi toỏn v thờm yu t ph.
Chng I: ng thng vuụng gúc. ng thng song song.
1.
Hai gúc i nh. Hai ng thng vuụng gúc.
2. Tiờn - ctit v ng thng song song. T vuụng gúc n
song song.
3. nh lớ. Chng
II: Tam giỏc.

1. Tng ba gúc ca mt tam giỏc.
2. Cỏc trng hp bng nhau ca tam giỏc.
3. Tam giỏc cõn. Tam giỏc u
4. nh lớ Py - Ta - Go.
PHN IV: KT LUN.
A

4

PHN V: TI LIU THAM KHO

1

2

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

1

1

B

2

C


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

PHN I: M U
1. Lý do chn ti:
Trong khi tỡm phng phỏp bi gii toỏn hỡnh hc, ta gp mt s bi toỏn nu
khụng v thờm ng ph thỡ cú th b tc. Nu v thờm ng ph thớch hp to ra s
liờn h gia cỏc yu t ó cho thỡ vic gii toỏn tr nờn thun li hn, d dng hn.
Thm chớ cú bi phi v thờm yu t ph thỡ mi tỡm ra li gii. Tuy nhiờn v thờm yu
t ph nh th no cú li cho vic gii toỏn l iu khú khn phc tp.
Kinh nghim thc t cho thy rng, khụng cú phng phỏp chung nht cho vic
v thờm cỏc yu t ph, m l s sỏng to trong khi gii toỏn, bi vỡ vic v thờm cỏc
yu t ph nhm mc ớch l to iu kin gii c bi toỏn mt cỏch ngn gn ch
khụng phi l vic tu tin. Hn na, vic v thờm yu t ph phi tuõn theo cỏc phộp
dng hỡnh c bn v cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn, nhiu khi ngi giỏo viờn ó tỡm ra
cỏch v thờm cỏc yu t ph nhng khụng th gii thớch rừ cho hc sinh hiu c vỡ
sao phi lm nh vy, khi hc sinh hi giỏo viờn ti sao thy (cụ) li ngh ra c cỏch
v dng ph nh vy, ngoi cỏch v ny cũn cú cỏch v no na khụng? Hay ti sao
ch v thờm nh vy mi gii c bi toỏn? ...gp phi tỡnh hung nh vy qu tht
ngi giỏo viờn cng phi rt vt vó gii thớch m cú khi hiu qu cng khụng cao,
hc sinh khụng ngh c cỏch lm khi gp bi toỏn tng t vỡ cỏc em cha bit cỏc
cn c cho vic v thờm cỏc yu t ph. T thc t ging dy tụi thy rng: gii
quyt vn ny mt cỏch trit , mt khỏc li nõng cao nng lc gii toỏn v bi
dng kh nng t duy tng quỏt cho hc sinh, tt nht ta nờn trang b cho cỏc em
nhng c s ca vic v thờm cỏc ng ph v mt s phng phỏp thng dựng khi
v thờm yu t ph, cỏch nhn bit mt bi toỏn hỡnh hc cn phi v thờm cỏc yu t
ph, t ú khi cỏc em tip xỳc vi mt bi toỏn, cỏc em cú th ch ng t duy tỡm
hng gii quyt cho bi toỏn, nh vy hiu qu s cao hn.
Nh chỳng ta ó bit hc toỏn m c bit l mụn hỡnh hc, mi hc sinh u
cm thy cú nhng khú khn riờng. Nguyờn nhõn ca nhng khú khn ú l.
1. Nhiu hc sinh cha nm vng cỏc khỏi nim c bn cỏc nh lý tớnh cht ca
cỏc hỡnh ó hc. Mt s ch Hc vt m khụng bit vn dng vo gii cỏc bi tp.

2. Sỏch giỏo khoa cung cp cho hc sinh mt h thng cỏc kin thc c bn
nhng khụng cú y cỏc bi tp mu cho cỏc kin thc ó hc thuc cỏc dng khỏc
nhau. Do vy cng khụng cú iu kin hng dn chi tit cho hc sinh cỏch vn dng
cỏc kin thc ú vo gii cỏc bi tp c th m cỏc em s gp trong quỏ trỡnh hc tp.
3. i vi b mụn hỡnh hc, ngoi cỏc bi toỏn v chớ thụng minh hỡnh hc cũn
cú cỏc bi toỏn v dng hỡnh v qu tớch l nhng dng toỏn c bit khú m thi gian
hc cỏc dng toỏn ny trờn lp li khụng nhiu, hc sinh ớt c luyn tp lp cng
nh nh nờn gp cỏc loi bi tp ny cỏc em thng rt lỳng tỳng. khc phc
nhng nguyờn nhõn trờn v giỳp hc sinh cú c s v gi quyt tt cỏc bi toỏn hỡnh
hc. Tụi xin cp mt s bi toỏn v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc 7
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

2


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
nhm giỳp cỏc em hiu thu ỏo cỏch vn dng kin thc c bn gii quyt cỏc bi
toỏn chng minh hỡnh hc.
2. Mc ớch nghiờn cu:
Nhm giỳp cỏc em nõng cao nng lc gii toỏn v bi dng kh nng t duy
tng quỏt cho hc sinh, trang b cho cỏc em nhng c s ca vic v thờm ng ph,
v mt s phng phỏp thng dựng khi v thờm yu t ph, cỏnh nhn bit mt bi
toỏn hỡnh hc cn phi v thờm yu t ph, t ú khi cỏc em tip xỳc vi mt bi toỏn
cỏc em cú th ch ng t duy tỡm hng gii quyt cho bi toỏn.
3. Gii hn ti:
a ra mt s bi toỏn c bn ca chng I, chng II v thờm yu t ph
trong gii toỏn hỡnh hc 7 trong cỏc bi tp SGK, sỏch BT v mt s bi tp nõng cao.
4. Nhim v nghiờn cu:
Giỏo viờn nghiờn cu a ra cỏc ký nng phõn tớch, suy lun tỡm ra cỏc buc

v ng ph. Thụng thng v thờm cỏc ng ph cn tuõn theo cỏc bc c bn sau
- Tỡm hiu bi toỏn.
- Tỡm hiu cỏc yu t liờn quan bi toỏn.
- To ra cỏc ng ph bng cỏc bc dng hỡnh c bn nh: Tao ra ng
thng, on thng, gúc bng nhau, ng thng song song, vuụng gúc,.....
5. Phm vi v i tng nghiờn cu:
Nghiờn cu v ỏp dng ti trng THCS Sn Thu.
6. Phng phỏp nghiờn cu:
Cỏc phng phỏp c bn l quan sỏt c lng, thc nghim, phõn tớch, kho sỏt,
kt hp vi tham kho ti liu.
7. K hoch nghiờn cu.
- Nghiờn cu cỏch v cỏc yu t ph, cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn, ti liu t ú
phõn loi dng toỏn v ỏp dng ging dy cho hc sinh lp 7A, 7C. Nhn xột, kho sỏt
ỏnh giỏ rỳt kinh nghim v b sung cỏc kin thc cn thit cú liờn quan n phng
phỏp gii toỏn ny.

PHN II: NI DUNG
I - C S Lí LUN CA VIC V THấM YU T PH
Vic v thờm cỏc yu t ph phi tuõn theo cỏc phộp dng hỡnh c bn v mt s
bi toỏn dng hỡnh c bn. Sau õy l mt s bi toỏn dng hỡnh c bn trong chng
trỡnh THCS.
Bi toỏn 1: Dng mt tam giỏc bit di ba cnh ca nú l a; b; c.
Gii:
* Cỏch dng:a
C

b
c

b

a

A

B

c

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

3

x


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
- Dng tia Ax.

- Dng ng trũn(A; c). Gi B l giao im ca ng trũn ( A; c) vi tia Ax.
- Dng ng trũn (A; b) v ng trũn (B; a), gi C l giao im ca chỳng. Tam giỏc
ABC l tam giỏc phi dng vỡ cú AB = c; AC = b v BC = a.
- Chỳ ý: Nu hai ng trũn ( A; b) v ( B; a) khụng ct nhau thỡ khụng dng c tam
giỏc ABC.
Bi toỏn 2: Dng mt gúc bng gúc cho trc.
Cỏch dng:
- Gi l gúc cho trc. Dng ng trũn (O; r) ct Ox A v ct Oy B ta c
OAB.
Dng OAB = OAB ( c.c. c) nh bi toỏn 1, ta c = .

A
O

x

A

B

y

O

B

Bi toỏn 3: Dng tia phõn giỏc ca gúc xAy cho trc.
Cỏch dng:
- Dng ng trũn ( A; r ) ct Ax B v ct Ay C.
- Dng cỏc ng trũn ( B; r) v ( C; r) chỳng ct nnhau D. Tia AD l tia phõn giỏc
ca xAy .

Tht vy: ABD = ACD ( c- c- c)=

B
r

A

x
r

1
2
r

D
r
C

y

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

4

z


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

Bi toỏn 4: Dng trung im ca on thng AB cho trc.
Cỏch dng:
- Dng hai ng trũn ( A; AB ) v ( B; BA )chỳng ct nhau ti C, D. Giao im ca
CD v AB l trung im ca AB.
C

A

B

D

*Chỳ ý: õy cng l cỏch dng ng trung trc ca on thng cho trc.
Bi toỏn 5: Qua im O cho trc, dng ng thng vuụng gúc vi ng thng a
cho trc.
Cỏch dng:
- Dng ng trũn ( O; r) ct a ti A, B.
- Dng ng trung trc ca AB.
- ng trung trc ca AB l ng thng vuụng gúc vi ng thng a
C

a
B

A

D

Trờn õy l cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn, khi cn thỡ s dng m khụng cn nhc li
cỏch dng.
Khi cn v thờm ng ph chng minh thỡ cng phi cn c vo nhng ng c
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

5


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
bn ó dng v thờm khụng nờn v mt cỏch tu tin.

II - C S THC TIN
Ta ó bit nu hai tam giỏc bng nhau thỡ suy ra c cỏc cp cnh tng ng bng
nhau, cỏc cp gúc tng ng bng nhau. ú chớnh l li ớch ca vic chng minh hai
tam giỏc bng nhau.
Vỡ vy mun chng minh hai on thng bng nhau (hay hai gúc bng nhau) ta
thng lm theo mt cỏch gm cỏc bc sau:
Bc 1: Xột xem hai on thng( hay hai gúc) ú l hai cnh (hay hai gúc) thuc
hai tam giỏc no?
Bc 2: Chng minh hai tam giỏc ú bng nhau.
Bc 3: T hai tam giỏc bng nhau, suy ra cp cnh ( hay cp gúc) tng ng bng
nhau.
Tuy nhiờn trong thc t gii toỏn thỡ khụng phi lỳc no hai tam giỏc cn cú cng
c cho ngay bi m nhiu khi phi to thờm cỏc yu t ph mi xut hin c
cỏc tam giỏc cn thit v cú li cho vic gii toỏn. Vỡ vy yờu cu t ra l lm th no
hc sinh cú th nhn bit cỏch v thờm c cỏc yu t ph gii toỏn hỡnh hc núi
chung v toỏn hỡnh hc 7 núi riờng. Qua thc t ging dy tụi ó tớch lu c mt s
cỏch v yu t ph n gin v thit thc, khi hng dn hc sinh thc hin gii toỏn rt
hiu qu.
* Kt qu kho sỏt cht lng nm 2009 2010: Kim tra 15 phỳt lp 7A, 7B, 7C.
Bi toỏn 2 phn chng II. Kt qu cho thy im khỏ gii cha cao(24,8%), vn cũn
hc sinh b im yu, kộm.
im TB tr
im 0 - 2
im <2-<5
im K + G
Lp
S s
lờn
SL
%

SL
%
SL
%
SL
%
7A
32
1
3.1
11
34,4
20
62,5
8
7B5,0
34
1
2,9
12
35,3
21
61,8
9
24,5
7C
35
2
5,7
13

37,1
20
57,1
8
22,9
Kt qu trờn vn cũn thp cho nờn tụi tip tc ỏp dng cỏc phng phỏp v thờm
yờu t ph trong cỏc bi toỏn ó th nghim nm trc v suy ngh thờm cỏc bin phỏp
dy hc phự hp nhm giỳp hc sinh cú hng thỳ trong hc tp v nõng cao cht lng
day hc b mụn.
III. MT S BI TON V THấM Yấ T PH
Bõy gi chỳng ta cựng nghiờn cu mt s cỏch n gin nht, thụng dng nht
v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc 7:
CHNG I: NG THNG VUễNG GểC NG THNG SONG SONG SONG

1. Hai gúc i nh, hai ng thng vuụng gúc:
Bi toỏn 1: Cho hai gúc k bự v . V tia phõn giỏc Oz ca . Trờn na mt
phng b xx cú cha tia Oy v tia Oz Oz.
Chng t rng tia Oz l tia phõn giỏc ca gúc .
1. Hng suy ngh:
- , k bự. Oz l tia phõn giỏc ca v hai tia Oz v Oz vuụng gúc vi nhau. Vy
v thờm ng ph l tia phõn giỏc Ot ca v chng minh c hai tia Ot, Oz trựng
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

6


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
nhau ta s gii c bi toỏn.
2. Li gii:

t

z'

y

z

x'

0

x

V tia Ot l tia phõn giỏc ca . Hai tia Oz v Ot ln lt l hai tia phõn giỏc ca
hai gúc k bự , , do ú Oz Oz. M theo u bi ta cú Oz Oz, nờn hai tia Ot, Oz trựng
nhau. Vy Oz l tia phõn giỏc
Bi toỏn 2: Cho nhn. Trờn na mt phng cha tia Oy cú b l ng thng
cha tia Ox, v tia Oz vuụng gúc vi tia Oy, trờn na mt phng kia v tia Ot vuụng
gúc vi tia Ox. Gi Om l tia phõn giỏc ca , On l tia phõn giỏc ca .
Chng t rng hai tia Om v On l hai tia i nhau.
1. Hng suy ngh: Phng phỏp gii bi toỏn 1 s thớch hp cho vic gii bi
toỏn ny. V ng ph l tia On l tia i ca tia Om v ch cũn chng minh hai tia
y
On, On trựng nhau.
2. Li gii:
m
z
x

O
n'
n
t

V tia On l tia i ca tia Om
Hai tia Om v Ot thuc hai na mt phng i nhau b l ng thng cha tia Ox
nờn tia Ox nm gia hai tia Om v Ot.
Ta cú: = + =
+ 900
+ = 1800 (hai gúc k bự)
= 1800 =1800-( +900)=900- (1)
Chng minh tng t ta cú:
=900(2)
M xOm = mOy (Om l tia phõn giỏc ) (3)
T (1), (2), (3) ta cú =
M tia On nm ga hai tia Ot v Oy nờn On l tia phõn giỏc ca .
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

7


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Vy hai tia On v On trựng nhau.
Hai tia Om v On l hai tia i nhau.
2. Tiờn - clit v ng thng song song. T vuụng gúc n song song:
Bi toỏn 3: Cho hỡnh bờn bit
=
x

= v = +
A
Chng minh: Ax//By.
+

C

1. Hng suy ngh:

- Mun chng minh Ax//By, ta chng minh chỳng cựng song song vi ng
B
y
thng th ba.
= + to ra tia Cz sao cho
- Vỡ = , = v
= . Nh
vy Ax//Cz. Hn
Na, ta cú = , nh vy = Cby By // Cz. Do ú Ax // By
2. Li gii:
V tia Cz sao cho =
Ta cú = = (so le trong).
x
Do ú Ax // Cz. (1)
A
Trờ na mt phng b AC cú <
(vỡ < + )
nờn tia Cz nm gia hai
tia CA v CB.
z
C

Ta cú: + =
=-=(+)- =
Vỡ = = ; BCz v CBy so le trong, do ú: By // Cz (2)
T (1), (2) ta cú Ax // By.
x
B
Bi toỏn 4: Trờn hinh bờn cho bit:
y
A

= +
Chng minh: Ax // By.

B
y
C

1. Hng suy ngh:
T li gii bi 1 ta ngh n ng ph l tia Cz sao cho Cz v trờn hai na
mt phng i nhau b l AC v = cú Ax // Cz. Kt hp vi
=+=+=
cú By // Cz, ta s chng minh c Ax // By.
2. Li gii:
V tia Cz sao cho Cz v Ax trờn hai na mt phng i nhau b l AC v
x
= , do ú Ax // Cz.
(1)
A
Mt khỏc = +
= +

=
y
B
Ta cú =
v so le trong.
By // Cz.
(2)
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

8

C

z


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
T (1), v (2) ta cú Ax // By.
3. nh lớ:
Bi toỏn 5: Chng minh rng: Nu hai gúc nhn xOy v xOy cú Ox // Ox,
Oy // Oy, thỡ =
1. Hng suy ngh:
Vỡ cú nhng cp ng thng song nờn ta vn dng tớnh cht ca hai ng thng
y'
song song, yu t ph cn v l ng thng OO.
y
2. Li gii:
v u nhn
GT

Kl

1

Ox // Ox; Oy // Oy
=

2

y

O
12
O

* Chng Minh:

x

V tia OO ta cú
= ( v ng v Oy // Oy)
= ( v
ng v Ox // Ox)
+
= + hay =
* LU í: Nu thay gi thit hai gúc nhn bi hai gúc tự v gii tng t nh
trờn cng cú = . Hai , gi l hai gúc cú cnh tng ng song song
Tht thỳ v ta cú c tớnh cht v hai gúc cú cnh tng ng song song.
TNH CHT: Nu hai gúc cú cnh tng ng song song thỡ chỳng bng nhau nu
c hai u nhn hoc tự.

Bi toỏn 6: Chng minh rng: Nu nhn v tự cú Ox // Ox,
Oy // Oy, thỡ + = 1800
1. Hng suy ngh:
tự, do vy gúc k bự vi gúc xOy l gúc nhn
T ú ta ngh n v tia Ot l tia ca tia Ox c gúc nhn
y
y'
2. Li gii:
nhn v tự
GT
Kl

Ox // Ox; Oy // Oy
+ = 1800

t
x'
O

O'
x

* Chng minh:
Nh vy v tOy cựng nhon cú Ox // Ot, Oy // Oy. Theo kt qu bi 5 cho ta
xOy = tOy. Ta cng cú tOy + xOy = 1800 (hai gúc k bự).
+ = 1800
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

9

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
LU í: Nu thay nhn v tự bi
tự v nhn ta cng cú kt qu +
= 1800 .
Chung ta li cú tớnh cht v hai gúc cú cnh tng ng song.
TNH CHT: Nu hai gúc cú cnh tng ng song song thỡ chỳng bự nhau nu
mt gúc nhn gúc tự.
T hai tớnh cht cú c t bi 5, bi 6 ta cú c nh lý sau.
NH L: - Nu hai gúc cú cnh tng ng song song thỡ.
+ Chỳng bng nhau nu hai gúc u nhn hoc u tự.
+ Chỳng bự nhau nu mt gúc nhn, mt gúc tự.
CHNG II: TAM GIC
A
1. Tng ba gúc ca mt tam giỏc:
Bi toỏn 7: Trờn hỡnh bờn cho bit
ACB = xAC + CBy
Chng minh rng: Ax // By
1. Hng suy ngh:
õy l bi toỏn 3 Chng I, ta s gii bi toỏn ny bng cỏch
B
vn dng n kin thc Tng ba gúc ca mt tam giỏc
Gi B l giao im ca BC v Ax, ú l yu t ph m ta cn v
2. Li gii:
A
GT
= +
C
KL Ax // By

C
y

B'

x

B

* Chng minh:

Gi B l giao im ng thng BC v Ax.
Ta cú = + ( l gúc ngoi ca ABC).
Mt khỏc = + (gt).
=.M
v so le trong nờn: Ax // By.
* CH í: Ta chng minh c rng Ax // By=
Bi toỏn 8: Trờn hỡnh bờn bit.
+ + = 3600
Chng minh: Ax // Cy.
B
1. Hng suy ngh:
- Gii hon ton tng t bi 7.
- on thng AC l yu t ph cn v.
2. Li gii:
GT
+ + = 3600
KL

x

y

+
A

x

y
C
A

x

B

Ax // Cy.

C

* Chng minh: Ni A v C
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

10

y


Ch©u V¨n Long

Trêng THCS S¬n Thñy
Tia AC nằm giữa hai tia Ax và AB nên = +
Tia CA nằm giữa hai tia Cb và Cy nên = +
Mà + + = 3600 (gt).
++
+ + = 3600
( + + ) + ( + ) = 3600.
1800 + (
+ ) = 3600 nên + = 3600 - 1800 =1800
Mặt khác
và là hai góc trong cùng phía nên Ax // Cy.
Bài toán 9: Cho điểm M nằm trong ABC
Chứng minh: >
1. Hướng suy nghĩ: Yếu tố phụ cần vẽ là điểm D giao điểm của BM và AC.
2. Lời giải:
A
GT Cho ABC, M ở trong ABC
KL

>
D

* Chứng minh:
M

Vẽ tia BM cắt AC tại D.
Ta có >
>
>

( là góc ngoài của MDC).
( là góc ngoài của ABD)

B
C

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác:
Bài toán 10: Trên hình vẽ biết AB = DC, AD = BC
Chứng minh: AB // DC, AD // BC
1. Hướng suy nghĩ: Đoạn thẳng AC là yếu tố phụ cần vẽ.
A
2. Lời giải:
GT AB=DC,AD=BC
KL AB // DC, AD // BC
* Chứng minh:

D

B

C
A

B

Nối A và C.
Xét ABC và CDA có:
AB = CD (gt), AC cạnh chung, BC = AD (gt).
Do đó ABC = CDA (c-c-c).
D

C
= và =
Ta có = mà và so le trong nên AB // DC.
Mặt khác = mà và so le trong nên AD // BC.
Bài toán 11: Cho tam giác ABC có AB = AC
Chứng minh rằng =
1. Hướng suy nghĩ:
- Ta thấy rằng phải tạo ra hai tam giác bằng nhau mà có hai góc tương ứng là
, chọn điểm phụ là trung điểm M của đoạn thẳng BC.
2. Lời giải:

và


GT
KL

AB=AC
=

mét sè bµi to¸n h×nh häc líp 7

11


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

* Chng minh:
Gi M l trung im on thng BC. Ni A v M.

A
Xột MAB v MAC cú AB = AC (gt)
MB=MC
AM (cnh chung),
MAB =
MAC (c-c-c)
= hay ABC = ACB
LU í: MAB = MAC=
M + = 1800 (hai gúc k bự).
C
=
= 900
B
M
Do ú AM l ng trung trc ca on BC
Bi toỏn 12: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, M l trung im cnh BC
Chng minh rng: AM = BC
1. Hng suy ngh:
- AM = BC 2AM = BC.
- Tỡm cỏch to ra on thng bng 2.AM ri tỡm cỏch chng minh BC bng on
thng ú.
Nh vy, d nhn ra rng yu t ph cn v thờm l im D sao cho M l trung
im ca AD.
2. Li gii:
A

GTABC, A =900
M l trung im BC
KLAM= BC

C

Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho
B

M

MD=MA
Xột MAC v MDB cú
MA=MD
AMC = DMB ().
D
MC = MB (gt)
Do ú MAC = MDB (c-g-c)
AC = DB, = = v MDB hai gúc so le trong nờn AC // DB Ta cú
AC // DB, AC AB BD AB = 900 Xột ABC v BAD cú
AC=BD
= =900
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

12


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
AB cnh chung
ABC = BAD (c-g-c)
BC = AD m AM = AD, do ú AM = BC
Bi toỏn 13:Cho tam giỏc ABC. Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh
AB v AC. Chng minh rng MN // BC v MN = .

1. Hng suy ngh:
- chng mi nh BC = 2MN, ta to ra mt on thng bng 2MN, ri chng minh
on thng ú bng BC. Trờn tia i ca tia NM ly im D sao cho ND = MN.
- D dng chng minh c DM = BC.
2. Li gii:
GTABC, M v N ln lt l trung im ca AB, AC
KL

MN // BC, MN =

* Chng minh:
Trờn tia i ca tia MN ly im D sao cho ND = MN.
Xột NMA v NDC cú NM = ND, =
(), AN = NC (gt).
Do ú NMA = NDC (c - g- c).
AM = DC,
=.
Ta cú = , v
(so le trong)
AB//CD=
A
Xột BMC v DCM cú:
MB = DC (= AM)
= (c/m trờn).
MC cnh chung.
M
N
D
Do ú BMC = DCM (c - g - c)
=,BC=DM

= ; v (so le trong)
B
MN // BC, BC = DM, MN = DM.
C
MN =
CH í: T kt qu bi toỏn ny ta chng minh c Nu tam giỏc ABC cú M
l trung im cnh AB, N trờn cnh AC v MN // BC thỡ N l trung im cnh AC
Bi toỏn 14: Trờn cnh BC ca tam giỏc ABC ly cỏc im D, E sao cho BD =
CE. Qua D v E v cỏc ng thng song song vi AB, ct cnh AC F v G
Chng minh rng: DF + EG = AB.
* Cỏch 1:
Chia on thng th ba thnh hai phn mt cỏch hp lớ, ri chng minh mt phn
A
bng on thng th nht v phn cũn li bng on thng th hai.
Vỡ DF // AB cho nờn v thờm DH // AC ( H AB)
F
Giỳp ta cú AH = DF m AB = AH + HB v ch cn
chng minh rng HB = EG l c. iu ny t c vỡ
H
G
BHD = EGC (g-c-g)
B
C

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

13

D

E


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Bng cỏch tng t ta cng cú th v thờm KE // AC
(K AB) cú KA = EG v chng minh rng KB = DF.
* Cỏch 2:
V mt on thng bự thờm mt trong hai on thng mt cỏch thớch hp ri
A
P
chng minh rng on thng mi ny bng on thng th ba
V on thng bự thờm bng on thng kia.
F
Vỡ DF // AB cho nờn v thờm AP // BC (P ng thng DE)
ta chng minh c AB = PD m PD = DF + PF. Do vy ch
H
G
cn chng minh thờm PF = EG. iu ny ta cng cú c
vỡ APF = CEG. V nh vy cng cú th v thờm AQ // BC
B
D
E
C
(Q ng thng EG) tng t nh trờn ta cng
chng minh c AB = DF + EG
* Cỏch 3:
V thờm mt on thng bng tng hai on thng ri chng minh on thng ny
A
bng on thng th ba.

Trờn tia i ca tia DF ly im M sao cho DM = EG
F
Ta ó cú: MF = DF + DM nờn ch cũn chng minh rng
AB=MF
H
G
T MBD = GCE (c-g-c) ta cú
=
BM // , kt hp vi AB // DF ta cú AB = MF.
B
D
E
C
Hon ton tng t cú th v thờm im N trờn
tia i EG sao cho EN = DF.
M
Cỏch 4:
V thờm mt on thng bng hiu ca on thng th ba v mt trong hai on
thng kia ri chng minh on thng mi ny bng on thng cũn li.
A
Trờn cnh AB ly im I sao cho BI = EG v ch cn
Chng minh AI = DF l c
F
T BID = EGC (c-g-c) ta cú IDB = GCE
AF // ID
I
G
Kt hp vi AB // DF ta cú AI = DF
V tng t ta cng cú th v thờm im J trờn cnh AB
B

D
E
C
Sao cho BJ = DF.
Bi toỏn 15:
Chng minh nh lớ: Trong tam giỏc vuụng, trung tuyn thuc cnh huyn bng
na cnh huyn ( Bi 25/ 67- SGK toỏn 7 tp 2)
1. Hng suy ngh:
Ta cn to ra on thng bng 2.AM ri tỡm cỏch chng minh BC bng on
A

thng ú. Nh vy d nhn ra rng, yu t ph cn v thờmA l im D sao cho M l

1

trung im ca AD.
2. Chng minh:
GT
ABC; = 900 ;
AM l trung tuyn
KL
AM= BC

B

2

B
M

M

C

C

1

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

14

D


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho: MD = MA.
Xột MAC v MDB ta cú:
MA = MD ( theo cỏch ly im D)
= ( hai gúc i nh)
MB = MC ( Theo gt)
MAC = MDB ( c - g - c)
AB = CD (2 cnh tng ng)
= (2 gúc tng ng).
(1)
T
=
AB // CD ( vỡ cú cp gúc so le trong bng nhau).
Li cú: AC

AB ( gt)
AC CD (Quan h gia tớnh song song v vuụng gúc)
= 900, = = 900 (2) Xột
ABC v CDA cú:
AB = CD ( Theo (1))
= = 900 (2) ( Theo
(2)) AC l cnh chung
ABC = CDA ( c - g - c)
BC = AD ( 2 cnh tng ng ) M AM = AD nờn AM = BC
4) Nhn xột:
Trong cỏch gii ca bi tp trờn, chng minh AM = BC ta ó v thờm on thng
MD trờn tia AM sao cho MD = MA, do ú AM = AD Nh vy ch cũn phi chng minh
AD = BC v a bi toỏn ó cho tr v bi toỏn chng minh hai on thng bng nhau.
Trờn mt tia cho trc, t mt on thng bng mt on thng khỏc l mt trong
nhng cỏch v ng ph vn dng trng hp bng nhau ca tam giỏc.
Bi toỏn 16:
Cho tam giỏc ABC cú AB < AC. Gi M l trung im ca BC.
So sỏnh So sỏnh v ?( Bi 7/ 24 SBT toỏn 7 tp 2 )
1. Hng suy ngh:
Hai gúc BAM v MAC khụng thuc v mt tam giỏc. Do vy ta tỡm mt tam giỏc cú hai
gúc bng hai gúc BAM v MAC v liờn quan n AB, AC vỡ ó cú AB < AC. T ú dn
n vic ly im D trờn tia i ca tia MA sao cho MD = MA. im D l yu t ph
cn v thờm gii c bi toỏn ny.
2. Chng minh:

A

GT

ABC; AB < AC

M l trung im BC

KL

So sỏnh v

?

C

M

B
A
Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho: MD = MA.
Xột MAB v MDC ta cú:
MA = MD ( theo cỏch ly im D)
= ( vỡ i nh)
B
MB = MC ( Theo gt)

1

2

1

M

C

2

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7
15

D


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
MAB = MDC ( c - g - c)
AB = CD (2 cnh tng ng) (1)
V = (2 gúc tng ng). (2)
Ta cú: AB = CD ( Theo (1)), m AB < AC ( gt) CD < AC.(3)
Xột ACD cú:
CD < AC ( theo (3))
= (Quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc)
M = ( theo (2) nờn < hay
<
4) Nhn xột:
Trong cỏch gii ca bi tp trờn, ta phi so sỏnh hai gúc khụng phi trong cựng
mt tam giỏc nờn khụng vn dng c nh lớ v quan h gia gúc v cnh i din
trong mt tam giỏc. Ta ó chuyn gúc v
v cựng mt tam giỏc bng cỏch v
ng ph nh trong bi gii, lỳc ú v , ta ch cũn phi so sỏnh v trong cựng
mt ADC.
3. Tam giỏc cõn, tam giỏc u:
õy l mt phng phỏp rt c bit, ni dung ca nú l to thờm c vo trong
hỡnh v cỏc cnh bng nhau, cỏc gúc bng nhau giỳp cho vic gii toỏn c thun li.

c bit i vi cỏc bi tp v tớnh s o gúc, trc tiờn ta cn hng dn hc sinh chỳ
ý n nhng tam giỏc cha gúc cú s o xỏc nh nh :
- Tam giỏc cõn cú mt gúc xỏc nh.
- Tam giỏc u.
- Tam giỏc vuụng cõn.
- Tam giỏc vuụng cú mt gúc nhn ó bit hay cnh gúc vuụng bng na cnh
huyn...
Sau ú hng dn hc sinh ngh n vic tỡnh s o ca gúc cn tỡm thụng qua mi
liờn h vi cỏc gúc ca mt trong cỏc hỡnh cha gúc cú s o hon ton xỏc nh nờu
trờn (Thng l i vi mi liờn h bng nhau ca mt tam giỏc ri rỳt ra gúc tng ng
ca chỳng bng nhau).
Bi toỏn 17: Cho tam giỏc ABC cõn ti A,
= 200 . Trờn cnh AB ly im D sao
cho AD = BC. Chng minh rng = .
1 Hng suy ngh: bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 200, suy ra gúc
.
ỏy l 800. Ta thy 800 -200 = 600 l s o mi gúc ca
A
tam giỏc u V tam giỏc u BMC
2. Chng minh:
GT ABC; AB = AC; = 200 AD = BC (D AB)
D
KL

= ..

M

Ta cú: ABC; AB = AC; = 200 ( gt)
=

= =800
V tam giỏc u BCM ( M v A cựng thuc na mt phng b BC),
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học

C


16

B


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
ta c: AD = BC = CM ng thi
= =800-600=200
Ta cú MAB = MAC ( c - c - c) MAB = MAC = 200 : 2 = 100
Xột CAD v ACM cú:
AD = CM ( chng minh trờn)
= (= 200)
AC l cnh chung
Do ú CAD = ACM ( c -g -c )
= = 100. Vy = BAC
4) Nhn xột:
* bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 20 0, suy ra gúc ỏy l 80 0. Ta
thy 800 -200 = 600 l s o mi gúc ca tam giỏc u. Chớnh s liờn h ny gi ý cho ta
v tam giỏc u BCM vo trong tam giỏc ABC. Vi gi thit AD = BC thỡ v tam giỏc
u nh vy giỳp ta cú mi quan h bng nhau gia AD vi cỏc cnh ca tam giỏc u
giỳp cho vic chng minh tam giỏc bng nhau d dng.
* Ta cng cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch v tam giỏc u kiu khỏc:

Cỏch 2:
V EAD u nm ngoi tam giỏc ABC, to ra = 600 + 200 = 800 =
Khi ú EAC = CBA (c.g.c) vỡ:
A
EA=BC
=
E
AC=AB
CE = CA v
=
Mt khỏc CDA = CDE (c.c.c) vỡ:
DA=DE
D
CD chung
CA=CE
====100
?
Vy =
1 2
Sau khi phõn tớch, hng dn hc sinh
A
800
hc sinh lm thờm theo cỏch sau:
B
C
Cỏch 3 :
1
V tam giỏc u EAC nm ngoi
ABC, to ra = 800 =
1

E
Khi ú DAE = CBA (c.g.c) vỡ :
AE=BA (=AC)
D
2
= (= 800)
AD=BC
E1 = A1 =200 , DE = AC.
lm hai cỏch trờn, cú th hng dn

?

DE = AC m AC = CE nờn DE = CE do ú DEC cõn ti nh E, cú gúc nh
= 600- 200 = 400gúc ỏy
= (1800 - 400) : 2 = 0700
B

80

C

Do ú = - = 700 - 600 = 100 . T ú ta cú iu phi chng minh.
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

17


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
Cỏch 4 :

A

V tam giỏ u ABE ( E,C nm cựng phớa i vi AB)
1
to ra = 800 - 600 = 200 =
Khi ú CBE = DAC (c.c.c) vỡ :
CB = AD (gt)
D
BE = AC ( =AB)
= (= 200)
=
2
E
Vy tỡm ta ch cn tớnh
Ta cú AE = AC (=AB) nờn AEC cõn ti A li cú gúc nh =600- 200=1 400
?
Nờn gúc ỏy = (1800 400) : 2 = 700
1
0
80
M gúc = 600 (gúc trong tam giỏc u ABE)
B
= - =700-600=100
C
= 100 Hay = 100 Vy DCA =
vớ d ny bi cho hai cp on thng bng nhau l : AB = AC ;
AD = BC. Nh vy cú th gii bng 4 cỏch : V tam giỏc u cú mt cnh l AC ; v
tam giỏc u cú mt cnh l AB ; v tam giỏc u cú mt cnh l BC ; ri AD. Qua vớ
d bc u cỏc em ó nh hỡnh c phng phỏp v tam giỏc u v cỏc cỏch trin
khai theo phng phỏp ú.

Ngoi ra cũn nhng cỏch v tam giỏc u khỏc cng giỳp ta tớnh c gúc DCA
dn ti iu phi chng minh, cỏc cỏch khỏc cũn tu thuc vo s sỏng to ca mi
ngi v bt ngun t vic yờu thớch mụn Hỡnh hc.
Bi toỏn 16. Cho ABC vuụng, cõn ti A, im E nm trong tam giỏc sao cho
B
= = 150 . Tớnh = ?
1. Hng suy ngh :
iu u tiờn trong bi toỏn ny l HS phi phỏt hin ra
tam giỏc AEC cõn ti E vỡ cú hai gúc bng 150
t ú suy ra EA = EC v = 1800 - 2.150 = 1500.
Cng nh bi toỏn 8, bi toỏn ny cỏc em
E
s sm phỏt hin thy =750 v = 150
A
0
m 75 0
= 60 0 l gúc ca tam giỏc u
( Cng cú em nhn xột: = 450, = 150 v 450 + 150 = 600 ).
Cũn i vi nhng em cha xỏc nh c iu gỡ ta cng gi ý, hng dn cỏc em
tớnh s o cỏc gúc trong bi ri tỡm mi liờn quan gia cỏc gúc ú. T ú cú th hng
dn cỏc em cỏc cỏch v thờm tam giỏc u nh sau :
Cỏch 1 : V tam giỏc u AKE nm trong tam giỏc ABE to ra
= 900 - (600 + 150) = 150= (= 150) .
Khi ú BAK = CAE (c.g.c) vỡ :
AB = AC (gt)
=
AK = AE ( cnh u )
T ú dn n ABK cõn ti K v cú gúc ỏy bng 150 nờn gúc nh l
= 1800 - 2.150 = 1500
0

15

15

0

C

- 15

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

18


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
M = 600 nờn K2 = 3600 - (1500 + 600) = 1500
AKB = EKB (c.g.c) vỡ :
AK = EK ( cnh u AKE )
= (= 1500)
BK chung

B

1

2

K

?

E

nh

T ú suy ra = = 150 v AB = EB dn n ABE cõn ti B cú gúc
0
0
A
15
15
C
= 150+ 150 = 300= = = 750
- Cỏch 2: V tam giỏc u KCE ( nh hỡnh v ) nm phớa ngoi AEC, to ra
=
= 750. Khi ú KCA = EAB (c.g.c) vỡ :
B
KC=AE(=EC)
= =750
AC = AB ( gt )
= (*)
Li cú AEC cõn ti Ecú gúc ỏy
K
= = 150= 1800 - 2.150 = 1500
m = 600 nờn = 3600 - (1500 + 600) = 1500
?
E
Xột AEC v AEK cú :
EC = EK ( Cnh ca u EKC)

0
0
A
15
15
C
= (= 1500)
AE chung
B
Do ú AEC = AEK (c.g.c)
= = 150= 150+ 600 = 700
M = ( theo (*)) nờn = 750
- Cỏch 3:
V tam giỏc u AKB (K, C nm cựng phớa i vi AB)
K
to ra = = 150
Khi ú : EAC = EAK (c.g.c) vỡ :
B
AC=AK(=AB)
?
E
= = 150
0
0
A
15
15
EA chung
C
T ú suy ra EC = EK

Xột ABE v KBE cú :
AB = KB ( Cnh u ABK )
E
AE=EK (=EC)
?
BE chung
12
A

C

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7
19

K


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy

Vy ABE = KBE (c.c.c)
==
= .600=300
Nh vy BEA cú = 300, = 750; , ỏp dng nh lớ tng ba gúc ca tam giỏc ta cú = 750
- Cỏch 4 :
V tam giỏc u ACK ra phớa ngoi ABC
to ra = = 750
Khi ú BAE v KAE cú :
AB = AK (=AC )
AE chung

B
= .
K
Do ú BAE = KAE ( c.g.c)
=
M = do AEK = CEK (c-c-c)
Nờn =
= = =750
M
Vy
= 750
- Cỏch 5:
? E
V tam giỏc u AKC trựm lờn EAC,
A
to ra = =150
T K k tia KM sao cho = 150
Dn n KMC cõn ti M vỡ cú
= (= 15)
MK =MC
Li cú MKC = EAC (g.c.g) MC = EC = EA
MK=AE
Mt khỏc ABK cõn ti A ( vỡ AB = AK ) cú gúc ti nh
= - =900-600=300
gúc ỏy
= = (1800 - 300):2=750 .
Do ú = - = 750 - 450 = 300.
M = 300( Gúc ngoi ti M ca tam giỏc KMC cõn ti M cú gúc ỏy bng 150)
B
Thnh th KMB cõn ti K KB = KM = AE

30
K
Vy ABE = BAK (c.g.c) vỡ:
AB chung
15
AE=BK
30
= (= 750)
0

0

0

M
E

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán? hình học lớp 7

20

150

12

A

C

C

Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
= = 750.
bi toỏn ny u bi cng cho hai cp on thng bng nhau l:

AB = AC; EA = EC. Do vy cng cú th gii bi toỏn ú theo cỏc cỏch: V tam giỏc
u cú mt cnh l AE; hoc EC; hoc AC.
Nh vy vi s gi ý, hng dn ca giỏo viờn, hc sinh ó bit phõn tớch u bi,
tỡm c mi liờn h gia cỏc d kin ca gi thit, t ú nh hng c cỏch gii.
ú chớnh l thnh cụng ca ngi thy. V iu quan trng na l khi hng dn hc
sinh trin khai mt bi toỏn theo nhiu cỏch khỏc nhau, giỏo viờn ó to cho hc sinh úc
quan sỏt nhy bộn, linh hot v cng lm cho t duy hỡnh hc ca cỏc em c phỏt
trin hn.
Bi toỏn 18:
Cho tam giỏc cõn ABC cú ỏy BC, gúc ỏy bng 500. Ly im K trong tam
A
giỏc, sao cho = 100, = 300.
?
Tớnh s o cỏc gúc ca ABK.
* Hng gii quyt:
ABK = 500 -100= 400
? K
Vy ch cũn phi tớnh hai gúc cũn li l: v .
Xem xột u bi ta thy ABC cú cỏc gúc 500, 500, 800
?
30
0
C

= 50 0 , m 50 0 + 10 0 = 60 0 chớnh l gúc ca tam giỏcB u. 10
=10,
T ú cú th gii bi toỏn trờn theo cỏch sau (hc sinh tỡm ra hoc giỏo viờn gi ý):
E
- Cỏch 1:
12
V tam giỏc u BCE trựm lờn ABC, to ra = = 100
A
T ú chng minh EAB = EAC (c.c.c)
?
= =
= .60 0 = 30 0
Khi ú ABE = KBC (g.c.g) vỡ:
10
= = 300
? K
BE=BC
= (=100)
?
30
C
AB = KB. Do ú
ABK cõn ti B cú gúc nh =B400 10
BAK = BKA =
= 700
Vy cỏc gúc ca ABK l 400; 700; 700.
- Cỏch 2:
V tam giỏc u ABE ( E, C nm cựng phớa i vi AB), to ra = = 100v
AEC
A

cõn A vỡ cú AE = AC ( = AB ),
= 800 - 600 = 200
Suy ra gúc ỏy = = = 800
?
= - = 800- 500 = 300
Do vy KBC = EBC (g.c.g) vỡ:
= = 100
? K
BC chung
0

0

0

0

0

?

10

0

300

B

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

21

E

C


Châu Văn Long
Trờng THCS Sơn Thủy
= = 300
BK = BE m BE = BA nờn BK = BA.
Khi ú ABK cõn ti B cú gúc nh l 400 nờn hai gúc cũn li l 700 v 700.
- Cỏch 3:
A
V tam giỏc u AEC ( E, B nm cựng phớa i vi AC )
?
to ra = = 100 v ABE cõn ti A
cú gúc nh bng 800- 600 = 200
gúc ỏy bng 800
? K
= 800 - 500 = 300
Do ú KBC = ECB (g.c.g) vỡ:
?
10
30
C
= = 10 0
B
E

BC chung
= (= 300)
KB = EC m EC = AC = AB nờn KB = ABABK cõn ti B
Vy cỏc gúc cn tớnh l: 400; 700; 700.
Qua vớ d ny, cú th cho hc sinh thy rng cỏch 2 v cỏch 3 l tng ng
nhau: u to ra tam giỏc u cú cnh bng mt trong hai cnh bờn ca tam giỏc cõn ó
cho, t ú dn n cnh BK bng mt cnh no ú ca tam giỏc u va to ra suy ra
tam giỏc ABK cõn. Cũn nu i v tam giỏc u cú mt cnh l KC to ra gúc bng
hoc v tam giỏc u cú mt cnh l BK to ra gúc bng
thỡ s khụng gii quyt
c bi toỏn, vỡ vn khụng d kin, v hc sinh cng cn phi thy c iu ny
cú cỏch v cho thớch hp.
Bi toỏn 19: Cho tam giỏc ABC cú = 750 . ng cao AH cú di bng na
A
BC. Tớnh s o gúc B
Phõn tớch:
AHC vuụng ti H cú = 750= 150
75
B
C
M 750 - 150 = 600 l gúc ca tam giỏc u.
0

0

0

H

T ú hng dn HS v thờm tam giỏc u. Cú cỏc cỏch v nh sau:

- Cỏch 1:
V tam giỏc u AEC nm trong ABC, to ra: = = 150
K EK BC (cú th hng dn v gii thớch cho hc sinh ti sao li k nh vy).
Khi ú vuụng EKC = vuụng CHA (cnh huyn, gúc nhn) vỡ:
EC=AC
= (= 150)
KC = AH, m AH = BC KC = BC.
Vy K l trung im ca BC, li cú KE BC do ú tam giỏc EBC cõn ti E
A
= = 150.
Do ú : BEC = 1800 - 2.150 = 1500
T ú cú = 3600 - (600 + 1500) = 1500
E
BEC = BEA (c.g.c) vỡ:
0
B
75
C
BE chung
K
H
= = 1500
EC=EA
vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

22


Châu Văn Long

Trờng THCS Sơn Thủy
= =150= + =150+150=300
(Hoc t BEC = BEA
AB = BC
ABC cõn ti B cú gúc ỏy bng750
= 300
- Cỏch 2:
V tam giỏc u BEC (E, A nm cựng phớa i vi BC) to ra = 150 =
T A k AK EC ( K EC) thỡ
vuụng AKC = vuụng CHA (c. huyn, g. nhn) vỡ:
Cnh huyn AC chung
=
= 150
KC = AH, m AH = BC KC = BC = EC
M K EC nờn K l trung im ca EC.
Vy EAC cú AK l ng cao ng thi l ng trung tuyn nờn cõn ti A AE = AC.
E
Xột AEB v ACB cú:
A
BE = BC (cnh ca u BCE)
AB chung
AE=AC
K
Do ú AEB = ACB (c.c.c)
C
1 2
= = EBC = .600 = 300. Vy = 300 ( V
B
H
suy ra K l giao im ca AB v EC)

vớ d ny bi cho khụng cú cp on thng no bng nhau thỡ phi v tam giỏc
u sao cho liờn h c cỏc d kin ca gi thit.
Nh vy qua cỏc cỏc bi toỏn trờn, giỏo viờn ó hỡnh thnh cho hc sinh phng
phỏp v thờm tam giỏc u t vic liờn h cỏc d kin ca gi thit.
V sau cỏc vớ d ny, giỏo viờn nờn cho hc sinh t nhn xột, tng kt dng bi tp
v tớnh s o gúc gii bng phng phỏp v tam giỏc u, sau ú cú
th cht li cho cỏc em l :Khi xột mi liờn quan gia cỏc gúc, nu phỏt hin ra gúc ca
tam giỏc u nờn ngh n cỏch v thờm tam giỏc u to ra nhng gúc bng gúc ó
cho.
Hn na vic v thờm tam giỏc u cũn to c cỏc on thng bng nhau, hoc
to c mt ng cú nhiu tớnh cht, t ú d dng phỏt hin c nhng yu t bng
nhau, liờn kt vi nhau tỡm ra li gii.
Cng cn ch ra cho hc sinh thy kinh nghim ca vic v thờm tam giỏc u :
Nu v thờm tam giỏc u m cnh ca nú cú s bng nhau vi cỏc on thng khỏc
trong bi thỡ bao gi cng gii quyt c bi toỏn.
Qua cỏc bi toỏn ny hc sinh cng cn thy rng, cú th cú nhiu cỏch to ra
tam giỏc u, nhng nờn chn cỏch no dn n chng minh bi toỏn n gin hn.
3. nh lớ Py - Ta - Go:
Bi toỏn 20:
Cho tam giỏc ABC cú AB = 10 cm; BC = 12 cm, D l trung im ca cnh AB.
V DH vuụng gúc vi BC ( H BC) thỡ DH = 4cm.
Chng minh rng tam giỏc ABC cõn ti A.
1. Hng suy ngh:

vẽ thêm yếu tố phụ để giảI một số bài toán hình học lớp 7

23