Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập đại số và giải tích ở trường trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 87-96
This paper is available online at

DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0169

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯƠNG TỰ HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Nguyễn Văn Thuận1 , Nguyễn Thị Mỹ Hằng2
1 Trường

Phổ thông trung học Chuyên, Trường Đại học Vinh
Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh

2 Khoa

Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi phân tích thực trạng về việc thực hiện thao tác tương
tự hóa cho học sinh ở trường THPT và xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho học sinh
kĩ năng này (thể hiện thông qua môn Toán THPT).
Từ khóa: Tương tự hóa, học sinh, bài toán.

1.

Mở đầu

Khi nói về vai trò của tương tự, nhà thiên văn học tài ba Kepler, người đã phát minh ra ba
định luật nổi tiếng trong thiên văn học cho rằng: "Tôi vô cùng biết ơn các phép tương tự, những
người thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tương tự đã giúp tôi khám phá ra các bí mật của tự
nhiên, đã giúp tôi vượt qua mọi trở ngại" [8, tr.148]. Có thể thấy rằng, nhận định đó rất ý nghĩa, đã
nói lên tầm quan trọng của tương tự trong cuộc sống cũng như trong khoa học.
D. P. Goocki [4], G. Polya [8, 9], Hoàng Chúng [1], Nguyễn Bá Kim [7], Trần Khánh

Hưng [6], ... đã nghiên cứu về tương tự. Họ đã đưa ra định nghĩa về tương tự và minh họa trong
môn Toán, nhưng chủ yếu ở Trung học cơ sở. Họ đã quan niệm tương tự như là một phép suy luận.
Trong những năm gần đây, có một số tác giả trong các công trình nghiên cứu của mình cũng
đề cập đến tương tự. Họ cũng quan niệm tương tự như là một phép suy luận, mang tính dự đoán.
Chúng tôi nhận thấy rằng chưa có công trình tìm hiểu về thực trạng của việc thực hiện phép tương
tự ở trường phổ thông, thiếu các biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng
này. Trong bài viết này, chúng tôi quan niệm tương tự hóa là một thao tác tư duy, xây dựng quy
trình thực hiện thao tác đó, tìm hiểu về thực trạng thực hiện thao tác tương tự hóa cho học sinh ở
trường THPT và xây dựng một số biện pháp dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng này.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Kĩ năng tương tự hóa

Từ việc nghiên cứu các định nghĩa về tương tự hóa của các nhà khoa học [1, 4, 6 - 9], chúng
tôi thống nhất rằng Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối
tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu,
thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại.
Ngày nhận bài: 15/7/2015. Ngày nhận đăng: 22/10/2015.
Liên hệ: Nguyễn Thị Mỹ Hằng, e-mail:

87


Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng

Thao tác tương tự hóa có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết;

Bước 2: Xác định các dấu hiệu, thuộc tính của vấn đề cần giải quyết;
Bước 3: Xác định các vấn đề có một số dấu hiệu, thuộc tính giống với một số dấu hiệu,
thuộc tính của vấn đề cần giải quyết và cách giải quyết vấn đề đó;
Bước 4: Đối chiếu các dấu hiệu, thuộc tính còn lại của vấn đề cần giải quyết với các dấu
hiệu, thuộc tính còn lại của các đối tượng ở bước 3 và đi đến kết luận.
Có thể cho rằng, học sinh có kĩ năng tương tự hóa chính học sinh biết thực hiện các bước
của quy trình trên.

2.2.

Thực trạng về việc thực hiện tương tự hóa trong dạy học giải bài tập Đại số
và Giải tích của học sinh ở trường Trung học phổ thông

Trong học tập, học sinh (HS) gặp nhiều tình huống sử dụng thao tác tương tự hóa nhưng
không phải em nào cũng biết tương tự hóa chỉ mang tính dự đoán, mọi kết quả của tương tự hóa
đều phải chứng minh mới khẳng định được tính đúng đắn. Chẳng hạn như việc chuyển các phép
biến đổi của phương trình sang phép biến đổi của bất phương trình; chuyển từ việc giải bài tập này
sang giải bài tập kia có cùng dạng; việc chuyển từ các phép biến đổi của dãy số sang phép biến
đổi của hàm số; ..., không phải tất cả các thao tác chuyển đó đều đúng. Tuy nhiên, có nhiều HS đã
công nhận mặc nhiên các kết quả tương tự đó.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện cần và đủ để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0, (a = 0) có nghiệm
thực?
Có HS giải như sau: Điều kiện cần và đủ để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0, (a = 0) có
nghiệm thực là ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
HS đã áp dụng tương tự điều kiện có nghiệm thực của bất phương trình bậc hai như đối với
phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, điều kiện ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 chỉ là điều kiện đủ chứ
không phải là điều kiện cần để bất phương trình ax2 + bx + c ≥ 0 (a = 0) có nghiệm thực.
Chẳng hạn, đối với bất phương trình x2 + x + 1 ≥ 0, có biệt thức ∆ = −3 < 0, nhưng bất phương
trình có nghiệm thực với mọi x. Việc có nghiệm của bất phương trình phụ thuộc vào dấu của hệ
số a và dấu của biệt thức ∆. Với ∆ ≥ 0 thì tam thức ở vế trái có thể nhận giá trị không âm, có thể

nhận giá trị không dương, do đó bất phương trình luôn có nghiệm. Còn nếu ∆ < 0 thì tam thức
vế trái luôn cùng dấu với hệ số a trên tập xác định, tức bất phương trình có thể vô nghiệm cũng có
thể có nghiệm ∀x ∈ R, điều này phụ thuộc vào dấu của hệ số a.
Từ dạy học chủ đề phương trình sang dạy học chủ đề bất phương trình có nhiều nét tương
tự, nhưng không phải suy luận tương tự nào cũng đúng. Chẳng hạn, HS thường ngộ nhận về những
phép biến đổi như sau (chú ý rằng các phép biến đổi sau đối với phương trình là đúng đắn):
f (x) ≥ 0
g(x) = 0;

+)

f (x)
≥0⇔
g(x)

+)

1
1
>
⇔
f (x)
g(x)

+) |f (x)| ≥ g(x) ⇔

88

g(x) > f (x)
f (x) = 0;

g(x) ≥ 0
f (x) ≥ g 2 (x);


Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...

+) |f (x)| ≥ |g(x)| ⇔

f (x) ≥ g(x)
f (x) ≥ −g(x);

+)

g(x) ≥ 0
f (x) ≥ g 2 (x);

f (x) ≥ g(x) ⇔

+) af (x) ≥ ag(x) ⇔ f (x) ≥ g(x);
+) loga f (x) ≥ loga g(x) ⇔

f (x) ≥ g(x)
g(x) ≥ 0; ....

Do đó, khi dạy học chủ đề bất phương trình, giáo viên (GV) phải hình dung trước những sai
lầm có thể xảy ra đối với HS để khắc phục kịp thời.
Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi:
a) và un+1 = 6un + 5, ∀n ≥ 1
b) u1 = 2 và un+1 = 4un + 2n + 3, ∀n ≥ 1

Bài tập này được yêu cầu giải sau khi HS vừa giải xong bài tập số 43 [10, tr. 122], có nội
dung như sau:
Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1 và un+1 = 5un + 8, với mọi n ≥ 1.
a) Chứng minh rằng dãy số , với vn = un + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng
quát của cấp số nhân đó.
b) Dựa vào kết quả phần a), hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (Un ).
Nhiều HS đã giải câu a) của ví dụ 2 tương tự như câu a) của bài tập 43 bằng cách đặt
vn = un + 2 một cách máy móc mà không hiểu tại sao trong bài tập đó người ta lại làm như thế.
Trong khi dạy giải bài tập, nếu GV cứ yêu cầu HS giải hết bài này sang bài khác mà không
có những lí giải xác đáng thì HS sẽ không giải được những bài tập có cấu trúc tương tự. Chẳng
hạn, sau khi HS giải xong bài tập 43 ở trên, nếu GV không giải thích tại sao lại đặt vn = un + 2
thì đa số HS sẽ không giải được bài tập a) của ví dụ 2. G. Polya cho rằng: "Một sự trình bày đúng
trong sách hay trên bảng vẫn có thể khó hiểu và chẳng bổ ích gì, nếu không nêu được mục đích của
các giai đoạn nối tiếp, nếu như người đọc và người nghe không thể hiểu tác giả làm cách nào để
có sự chứng minh như vậy, nếu sự trình bày không gợi cho anh ta tự tìm được một sự chứng minh
tương tự" [8, tr. 53].
Có thể giải thích cho HS số 2 trong phép đặt vn = un +2 được tìm như sau: Đặt vn = un +a,
khi đó công thức truy hồi trở thành: vn+1 = 5vn − 4a + 8. Để vn là cấp số nhân thì −4a + 8 = 0
hay a = 2.
HS tiếp tục giải câu b) của ví dụ 2 như sau: Đặt vn = un + a ⇒ vn+1 = un+1 + a. HS
đã tìm a để vn là một cấp số nhân. Do vn+1 = 4vn − 3a + 2n + 3 nên vn là một cấp số nhân thì
2.1 + 3
11
2n + 3
. Khi đó, vn là một cấp số nhân với v1 = u1 +
= ,
−3a + 2n + 3 = 0 ⇒ a =
3
3
3

11 n−1
công bội q = 4 nên có số hạng tổng quát là vn =
.4
. Suy ra, số hạng tổng quát của un là:
3
11
2n + 3
un = .4n−1 −
.
3
3
Một lần nữa, HS đã sai lầm khi giải tương tự như câu a), đó là tìm hằng số a để vn = un + a
là một cấp số nhân. Tuy nhiên, với bài này, HS không thể tìm được hằng số a để vn là một cấp số
nhân vì trong số hạng tổng quát của un còn có lượng biến thiên 2n.

89


Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng

√
x2 − 2x + 4 + 2x
Ví dụ 3: Tính lim
.
x→−∞
x+1
Rất nhiều học sinh đã giải bài toán này tương tự như tìm giới hạn của dãy số. Các em đã
giải như sau:
2
4

+ 2 +2
1+2
x x
lim
= 3.
=
1
x→−∞
1
1+
x
Sai lầm ở đây là do học sinh đã thực hiện phép biến đổi chia cả tử và mẫu của phân thức
√
x2 − 2x + 4 + 2x
cho x mà không chú ý giả thiết x → −∞. Thật ra, khi x → −∞ thì
x+1
2
4
√
− 1− + 2
x2 − 2x + 4 + 2x
x x
=
.
1
x+1
1+
x
Qua một số ví dụ nêu trên, có thể thấy rằng nếu GV chưa phân tích kĩ từng yếu tố, từng
phép biến đổi và HS chưa có ý thức trong việc tìm hiểu các dụng ý của lời hướng dẫn giải bài toán,

thì rất ít HS làm được các bài toán có cấu trúc tương tự.
√

2.3.

x2 − 2x + 4 + 2x
= lim
x→−∞
x+1

1−

Một số biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh

Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kĩ năng tương tự hóa trong quá trình giải toán bằng cách
liên hệ nó với một bài toán tương tự đơn giản hơn, rồi tìm cách vận dụng kết quả hoặc phương
pháp giải của bài toán tương tự này để giải bài toán đã cho.
Cách thức thực hiện:
- Yêu cầu HS giải những bài toán mà việc giải những bài toán đó có thể nghĩ về những bài
toán tương tự dễ hơn;
- Tìm cách giải bài toán tương tự dễ hơn đó;
- Dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình.
Ví dụ 4: Cho n ∈ N ∗ , hãy tính các tổng sau:
1
1
1
1
+
+ ... +
+

;
S1 =
1.2 2.3
(n − 1) n n (n + 1)
1
1
1
1
S2 =
+
+ ... +
+
;
1.3 3.5
(n − 2) n n (n + 2)
1
1
1
1
+
+ ... +
+
.
S3 =
1.2.3 2.3.4
(n − 1) n (n + 1) n (n + 1) (n + 2)
GV có thể hướng dẫn HS tìm tổng S1 bằng các câu hỏi gợi ý như sau: Tổng S1 được rút gọn
bằng cách nào? Các số hạng trong tổng có mối quan hệ ra sao? Số hạng tổng quát của tổng là gì?
Có thể phân tích số hạng tổng quát đó như thế nào?
Với những câu hỏi dẫn dắt như trên, HS sẽ chỉ ra được số hạng tổng quát của tổng là

1
, số hạng này được phân tích như sau:
k (k + 1)
(k + 1) − k
k+1
k
1
1
1
=
=
−
= −
.
k (k + 1)
k (k + 1)
k (k + 1) k (k + 1)
k k+1
90


Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...

Từ đó, HS có thể tính tổng S1 dễ dàng bằng cách phân tích mỗi số hạng của tổng thành hiệu
của hai số hạng, trong đó số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, do đó
chúng triệt tiêu lẫn nhau.
1
1
1
1

1
n
1 1 1 1
− + −
=1−
=
.
S1 = − + − + ... +
1 2 2 3
n−1 n n n+1
n+1
n+1
Tổng S2 có nét tương tự với tổng S1 và quá trình tương tự hóa bắt đầu xuất hiện.
Hãy tìm cách tách số hạng tổng quát của S2 ? Phải chăng tương tự như phân tích mỗi số
1
1
1
= −
? Thử kiểm tra lại, các em thấy điều gì?
hạng của tổng S1 , tức là
k (k + 2)
k k+2
1
1
k+2−k
2
−
=
=
.

k k+2
k (k + 2)
k (k + 2)
Do đó, số hạng tổng quát của S2 được tách thành như sau:
1 1
1
1
=
−
.
k (k + 2)
2 k k+2
Việc tách như vậy cũng có tính chất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng
thứ k+1, do đó chúng triệt tiêu lẫn nhau.
1
1
1
1
1
1 1
1 1 1 1 1
− + − + ... +
− + −
−
=
S2 =
2 1 3 3 5
n−2 n n n+2
2 1 n+2
n

=
.
n+2
Tổng S3 cũng có nhiều nét giống với tổng S1 . Mỗi số hạng của tổng S3 có dạng
1
, k = 1, 2, ..., n gần giống với mỗi số hạng của tổng S1 .
k (k + 1) (k + 2)
1
1 1
1
, thử suy nghĩ xem nếu ở tổng S1 chúng ta phân tích
= − , thì
Bắt đầu từ số
1.2.3
1.2
1 2
1
1 1 1
có thể ở tổng S3 , chúng ta có thể phân tích
= − − chăng?
1.2.3
1 2 3
(HS dễ dàng kiểm tra được nhận định trên là sai).
Ở bài toán tính tổng S1 ở trên, HS đã tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số, vậy đối với
tổng S3 , để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số, HS thử ghép đôi từ những số ở mẫu. Mẫu số
1
1
1
của số hạng đầu có ba số 1, 2, 3, HS thử ghép thành (1,2) và (2,3), có nghĩa là:
=

−
.
1.2.3
1.2 2.3
1
1
2
1
1
Hãy kiểm tra lại kết quả xem!
−
=
, hay
=
. Như vậy, kết quả gấp đôi
1.2 2.3
6
1.2.3
1.2.3
1
1
1
−
. Hãy thử xét tiếp số hạng thứ hai!
2 1.2 2.3
1
1
2
1
1

1
1
−
= , hay
=
−
.
2.3 3.4
24
2.3.4
2 2.3 3.4
Hãy thử thêm vài trường hợp nữa! Kết quả đã khả quan, từ đó có thể đưa ra giả thuyết:
1
1
1
1
=
−
.
∀n ∈ N ∗ ta có:
n (n + 1) (n + 2)
2 n (n + 1) (n + 1) (n + 2)
Lúc đó ta có:
1
1
1
1
1
1
1

1
1
−
−
−
S3 =
+
+ ... +
2 1.2 2.3
2 2.3 3.4
2 n (n + 1) (n + 1) (n + 2)
91


Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng

n (n + 3)
.
4 (n + 1) (n + 2)
Bây giờ, giả thử có HS lại ghép ba số 1, 2, 3 thành hai bộ số (1,3) và (2,3) thì sẽ như thế

=
nào?

1
1
1
1
1
1

−
= , nên
được tách thành
−
. Tuy nhiên, việc tách này
1.3 2.3
6
1.2.3
1.3 2.3
lại không có tính chất số trừ của số hạng thứ k trùng với số bị trừ của số hạng thứ k+1, nên không
rút gọn được tổng S3 .
GV cũng có thể hướng dẫn HS khai thác bài toán trên theo hướng sau đây:
(k + 1) − k
1
1
1
=
= −
, tức là
Để tính tổng S1 , HS tiến hành phân tích:
k (k + 1)
k (k + 1)
k
k+1
HS đã lấy (k + 1) − k ở tử số, trong đó k + 1 và klà hai thừa số ở mẫu.
Tương tự khi tính tổng S2 , HS cũng sẽ sử dụng phương pháp phân tích như trên, và kết quả
2
1
(k + 2) − k
=

. Từ đó, HS thấy được sự phân tích đúng đắn là
=
có được là:
k (k + 2)
k (k + 2)
k (k + 2)
1
1 1
−
.
2 k k+2
Khi tính tổng S3 , HS cũng liên hệ đến phương pháp trên và các em phân tích như sau:
1
1
(k + 2) − k
1
1
1
=
−
=
.
k (k + 1) (k + 2)
2 k (k + 1) (k + 2)
2 k (k + 1) (k + 1) (k + 2)
Sau khi HS biết cách tính các tổng S1 , S2 , S3 , bằng thao tác tương tự hóa, GV yêu cầu HS
tính các tổng sau:
1
1
1

+
+ ... +
;
S4 =
1.4 4.7
(3n − 2) (3n + 1)
1
1
1
+
+ ... +
∀n ∈ N ∗ , trong đó (un ) là cấp số cộng với công sai
S5 =
u1 u2
u2 u3
un un+1
d = 0 và un = 0 với ∀n ∈ N ∗ .
Bằng cách tương tự, HS có thể tính được tổng S5 ở trên như sau:
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
n
S5 =
−
+

−
+ ... +
−
−
.
=
=
d u1 u2 u2 u3
un un+1
d u1 un+1
u1 un+1
Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho.
GS. Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định: "Học sinh học toán xong rồi làm bài tập. Vậy các bài
tập đó ở đâu mà ra? Ai là người đầu tiên nghĩ ra các bài tập đó, nghĩ như thế nào? Ngay nhiều giáo
viên cũng chỉ biết sưu tầm các bài tập trong các sách giáo khoa khác nhau, chưa biết cách sáng tác
ra các đề bài tập" [11, tr. 93].
G. Polya cho rằng: "Có thể là sẽ không có một phát minh nào trong toán học sơ cấp cũng
như cao cấp, thậm chí trong bất cứ lĩnh vực nào, nếu ta không dùng những thao tác tư duy như
khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, ... Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh, và
trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng hơn cả" [9, tr. 23].
Vấn đề tương tự của hai bài toán có thể được xem xét dưới các khía cạnh sau:
- Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau;
- Nội dung của chúng có những nét giống nhau;
- Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau.
Khi đó

92


Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...

Cần tạo cho HS một thói quen là khi giải một bài toán nên đặt câu hỏi là tại sao lại có bài
toán đó, bài toán đó được giải như thế nào, làm thế nào tạo được bài toán gần giống như vậy (về
đường lối giải hoặc về cấu trúc nội dung). Nhiều khi, phân tích cách giải của bài toán đã cho có
thể tạo được các bài toán khác.
Cách thức thực hiện:
Quy trình tạo ra bài toán mới bằng tương tự hóa có thể theo các bước sau đây:
- Phân tích cấu trúc và cách giải của bài toán đã cho;
- Tạo bài toán mới tương tự với bài toán đã cho;
- Giải bài toán mới vừa tạo được;
- Phát biểu bài toán mới.
Ví dụ 5: Tạo một bài toán tương tự với bài toán sau:
Giải phương trình: 3 (2x + 1) (x2 − x + 2) = 2x2 + 5 (1)
- Phân tích cấu trúc và cách giải của bài toán đã cho
Về mặt cấu trúc, phương trình (1) có vế trái là căn bậc hai của tích một nhị thức bậc nhất
với tam thức bậc hai, vế phải là một tam thức bậc hai. Về cách giải, trước hết là liên tưởng tới dạng
g (x) ≥ 0
cơ bản f (x) = g (x) ⇔
f (x) = g 2 (x) .
Tuy nhiên đối với trường hợp này phương trình có được sau khi bình phương hai vế là
phương trình bậc bốn không có nghiệm hữu tỉ nên việc giải sẽ rất khó khăn. Vì vậy, phải hướng
dẫn học sinh nhìn vế phải của phương trình dưới dạng 2x + 1 + 2 x2 − x + 2 . Khi đó, (1) sẽ là
√
√
phương trình đẳng cấp bậc hai đối với 2x + 1 và x2 − x + 1. Mà phương trình đẳng cấp bậc
hai đã có thuật giải. Lời giải cụ thể như sau:
(1) ⇔ 3 (2x + 1) (x2 − x + 2) = 2x + 1 + 2 x2 − x + 2 .
√
√
Đặt u = 2x + 1, v = x2 − x + 2, (1) trở thành 3uv = u2 + 2v 2 ⇔

Nếu u = v thì:
√
√
2x + 1 = x2 − x + 2 ⇔
√
3− 5
 x=
2√
⇔
3+ 5
x=
2
Nếu u = 2v thì:


√
√
2x + 1 = 2 x2 − x + 2 ⇔
(vô nghiệm).

2x + 1 ≥ 0
2x + 1 = x2 − x + 2

u=v
u = 2v.


x ≥ − 1
⇔
2

x2 − 3x + 1 = 0

2x + 1 ≥ 0
2x + 1 = 4 x2 − x + 2


x ≥ − 1
⇔
2
4x2 − 6x + 7 = 0

√
√
3− 5
3+ 5
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x =
và x =
.
2
2
- Tạo bài toán mới tương tự với bài toán đã cho.
GV yêu cầu HS tìm câu trả lời tại sao lại có thể tạo được phương trình như thế? Có phải mọi
93


Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng

phương trình có cấu trúc tương tự như vậy đều giải được và cách giải tương tự như trên hay không?
Thử xét một phương trình có cấu trúc giống (1) (vế trái là căn bậc hai của tích một nhị thức bậc
nhất với tam thức bậc hai, vế phải là một tam thức bậc hai):

4 (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 8 (2).
HS tìm cách biểu diễn vế phải của phương trình (2) tuyến tính theo (x + 3) và x2 + 2x + 3
nhưng không thể được.
Thật vậy, giả sử có thể phân tích x2 + 5x + 8 = a (x + 3) + b x2 + 2x + 8 . Sử dụng đồng


1 = b
, hệ phương trình này vô nghiệm. Do đó phương trình (2)
nhất thức hai vế ta có 5 = a + 2b


8 = 3a + 8b
không thể giải theo cách của phương trình (1). Mấu chốt của sự không giải được theo cách trên là
do không thể phân tích vế phải theo (x + 3) và x2 + 2x + 3, hay cụ thể hơn, là do hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn nhưng lại ba phương trình nên có thể vô nghiệm. Vậy, để tạo được phương trình
tương tự chỉ cần biểu diễn vế phải của (2) theo (x + 3) và x2 + 2x + 3. Vấn đề đặt ra là vế phải
phải là biểu thức nào để có thể biểu diễn được như vậy? Giả sử vế phải đã biểu thị tuyến tính theo
(x + 3) và x2 + 2x + 3, chẳng hạn vế phải là 3 (x + 3) + 1 x2 + 2x + 3 = x2 + 5x + 12, thì ta
có phương trình:
4 (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 12
2
Việc chọn hệ số 3 đứng trước x + 3 và hệ
√ số 1 đứng√trước x + 2x + 3 cũng có dụng ý là
2
làm cho phương trình đẳng cấp bậc hai đối với x + 3 và x + 2x + 3 có nghiệm hữu tỉ.
- Trình bày lại lời giải phương trình:
4 (x + 3) (x2 + 2x + 3) = x2 + 5x + 12
- Phát biểu bài toán.
Như vậy, bằng cách thay a và b bởi các số cụ thể, HS có một loạt các bài tập tương tự. Và
cũng bằng cách như trên, GV có thể yêu cầu HS đề xuất một số phương trình tương tự như (1) để

có được một hệ thống bài tập phong phú.
Xây dựng một số tình huống có chứa lời giải các bài toán với những sai lầm do tương tự
hóa, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận ra các sai lầm thường gặp và tìm cách khắc
phục.
Cách thức thực hiện:
- GV xây dựng một số tình huống có chứa lời giải sai lầm hoặc yêu cầu HS giải các bài toán
có thể gặp phải sai lầm do tương tự hóa;
- GV hướng dẫn HS phân tích, tìm ra sai lầm từ các ví dụ cụ thể, sau đó tổng hợp lại để khái
quát cho một lớp các bài toán cùng loại;
- GV hướng dẫn HS tìm các biện pháp dạy học thích hợp nhằm giúp HS khắc phục các sai
lầm.
Ví dụ 6: GV có thể cho HS tìm sai lầm trong các lời giải sau của bài toán "Một hộp đựng
"Một hộp đựng 20 viên bi gồm 8 bi xanh, 7 bi đỏ, 5 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 viên bi đó có đủ cả 3 màu?".
Lời giải 1: Công việc chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp có thể thực hiện bởi các trường
hợp (TH) sau:
TH 1: Chỉ có màu xanh có C86 cách; TH 2: Chỉ có vàng, loại này không có cách nào (vì chỉ
có 5 viên bi vàng); TH 3: Chỉ có màu đỏ, loại này có C76 cách; TH4: Có cả xanh, đỏ và vàng: x
94


Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa cho học sinh trong dạy học giải bài tập Đại số và Giải tích...
6 ⇒ x = C 6 - C 6 -C 6 (cách chọn).
cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có: x +C86 +C76 = C20
20
8
7
Lời giải 2: Công việc chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp có thể thực hiện bởi các trường
hợp (TH) sau:
6 cách; TH 2: Chỉ 2 màu xanh và vàng có C 6 cách;

TH 1: Chỉ 2 màu xanh và đỏ có C15
13
6
TH 3: Chỉ 2 màu đỏ và vàng có C12 cách; TH 4: Chỉ màu xanh có C86 cách; TH5: Chỉ màu đỏ có
6 +C 6 +C 6 +
C76 cách; TH 6: Cả xanh, đỏ và vàng có x cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có: x +C15
12
13
6
6
6
6
6
6
6
6
6
C8 +C7 =C20 ⇒ x = C20 - C15 -C13 -C12 - C8 -C7 (cách chọn).
Các lời giải trên đã sai lầm ở chỗ: Các TH đưa ra chưa độc lập, việc thực hiện công việc của
6 cách chọn chỉ có hai màu
TH này bị trùng lặp ở TH kia. Chẳng hạn, đối với lời giải 1, trong C15
6
xanh và đỏ, trường hợp cả 6 bi đều xanh sẽ lặp lại trong C13 cách chọn chỉ có 2 màu xanh và vàng.
6 cách chọn chỉ có hai màu xanh và đỏ, trường hợp cả 6 bi đều xanh sẽ
Đối với lời giải 2, trong C15
6
lặp lại trong C8 cách ở TH 4 chỉ có màu xanh.
Trước khi yêu cầu học sinh tìm sai lầm trong hai lời giải này, giáo viên đã cho HS giải bài
toán sau: ""Một hộp đựng 20 viên bi gồm 8 bi xanh, 12 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong
hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 viên bi đó có đủ cả hai màu?". Có thể giải bài toán

này như sau:
Công việc chọn 6 viên bi trong hộp được thực hiện bởi các trường hợp: TH1: Cả 6 viên bi
6 cách
đều màu xanh, loại này có C86 cách chọn; TH2: Cả 6 viên bi đều màu đỏ, loại này có C12
6 + C6 =
chọn; TH3: Có cả hai màu xanh và đỏ có x cách chọn. Theo quy tắc cộng, ta có: x+C12
8
6
6
6
6
C20 ⇒ x = C20 -C12 - C8 (cách chọn).
HS đã sử dụng thao tác tương tự hóa để làm ví dụ 1, tức là các em cũng đã phân chia các
cách chọn 6 viên bi theo tiêu chí có cả 3 màu giống như có cả 2 màu (lời giải 1). Trong lời giải 2,
tuy không rập khuôn như lời giải 1 nhưng vẫn có cách suy nghĩ giống như thế, dẫn tới đếm lặp.
Từ đó, có thể đưa ra nhận xét tổng quát về nguyên nhân sâu xa của việc thực hiện thao tác
tương tự sai lầm này là do HS không biết phân chia một bài toán đếm thành các trường hợp riêng
đơn giản hơn để đếm, không biết dựa vào tiêu chí nào để phân chia, không biết yêu cầu của việc
phân chia một khái niệm, từ đó dẫn đến sai lầm là phân chia không đầy đủ các trường hợp, hoặc
các trường hợp đưa ra không độc lập (không biết vận dụng quy tắc cộng) .
Sau khi HS đã làm bài toán "Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ, gồm 4 chữ số phân biệt?", GV có
thể yêu cầu HS giải bài toán tương tự "Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm 4 chữ số phân biệt?".
Có một số HS đã giải bài toán này tương tự bài toán đã làm, cụ thể như sau: Giả sử số tự nhiên
cần lập có dạng abcd và công việc lập số tự nhiên này trải qua 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 chọn chữ
số hàng đơn vị d từ tập hợp {0; 2; 4; 6; 8} có 5 cách chọn (tương tự số tự nhiên lẻ, d chọn từ tập
hợp {1; 3; 5; 7; 9}); giai đoạn 2 chọn chữ số hàng nghìn a từ tập E = {0; 1; 2; ...; 9} |{0; d}
có 8 cách chọn; giai đoạn 3 chọn hai chữ b và c từ tập E| {a; d} có A28 cách chọn. Theo quy tắc
nhân có tất cả 5.8.A28 cách chọn. Mỗi cách chọn là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán nên đáp số là
5.8.A28 số. Tuy nhiên, lời giải trên đã phạm phải sai lầm ở chỗ trong giai đoạn 1 nếu d chọn là chữ
số 2 thì trong giai đoạn 2 chữ số a có 8 cách chọn, còn nếu trong giai đoạn 1 chữ số d được chọn là

0 thì ở giai đoạn 2 chữ số a lại có 9 cách chọn. Tức là cách chọn ở giai đoạn 2 phụ thuộc vào cách
chọn ở giai đoạn 1. Nguyên nhân sai lầm ở đây là do HS thực hiện thao tác tương tự hóa xem số
cách đếm số chẵn cũng giống như số cách đếm số lẻ và HS nắm không chính xác về điều kiện để
có thể thực hiện quy tắc nhân.
Từ việc phân tích các sai lầm mà HS thường gặp phải do thực hiện thao tác tương tự hóa
trong các ví dụ nêu trên, trong khi dạy học các quy tắc đếm, GV cần thiết và có thể đưa ra những
lưu ý cơ bản về điều kiện tiến hành các quy tắc nhằm giúp HS khắc phục các sai lầm đó.
Đối với quy tắc nhân, GV cần đưa ra sơ đồ sau:

95


Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng

Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy công việc A muốn hoàn thành buộc phải trải qua
tất cả các giai đoạn từ A1 đến Ak , không bỏ qua giai đoạn nào, không có cách nào ở giai đoạn thứ
Ai+1 lại có thể phụ thuộc vào cách nào đó ở giai đoạn thứ Ai , hay nói cách, khác ứng với mỗi cách
chọn ở giai đoạn A1 thì sẽ có mi+1 cách chọn ở giai đoạn Ai+1 . Và điều trước hết là phải biết chỉ
ra các hành động cần làm khi thực hiện công việc A, sau đó mới tìm số cách thực hiện mỗi hành
động đó.

3.

Kết luận

Thao tác tương tự hóa rất quan trọng trong cuộc sống cũng như trong học tập. Nếu trong
quá trình dạy học, giáo viên có các biện pháp thích hợp thì học sinh sẽ được rèn luyện kĩ năng này.
Cụ thể là học sinh sẽ giải được các bài toán tương tự dễ dàng hơn, học sinh tạo được bài toán mới,
từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

Hoàng Chúng, 1969. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục,
Hà Nội.
[2] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô
Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình. Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao.
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh, 2001. Lôgic Toán. Nxb Thanh Hóa, Thanh Hóa.
[4] D. P. Goocki, 1974., Lôgic học. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[5] Nguyễn Thị Mỹ Hằng, 2013. Thiết lập bài toán mới trên cơ sơ khai thác bài toán đã cho
bằng tương tự hóa. Tạp chí Giáo dục, (318), tr. 43-45.
[6] Trần Khánh Hưng, 2000. Giáo trình phương pháp dạy - học Toán (Phần đại cương). Nxb
Giáo dục, Hà Nội.
[7] Nguyễn Bá Kim, 2002. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[8] G. Polya, 2010. Sáng tạo Toán học. Nxb Giáo dục. Hà Nội.
[9] G. Polya, 2010. Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[10] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng
Thắng, 2007. Đại số và giải tích 11 nâng cao. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[11] Nguyễn Cảnh Toàn, 1997. Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên
cứu toán học, Tập I. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
ABSTRACT
Teaching the use of analogy to mathematics students in secondary schools
In this paper, we look at examples of high school students’ use of the operation of analogy
and ways in which this skill could be taught to students in high school mathematics classrooms.
Keywords: Analogy, student, problem.
96