SKKN: Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1000.58 KB, 40 trang )
MỤC LỤC
MỤC
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
TÊN MỤC
LỜI GIỚI THIỆU
TÊN SÁNG KIẾN
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN
LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ
MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
2. Thực trạng
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
LƯỢNG GIÁC
1. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác
1.1 Lí thuyết về đường tròn lượng giác
1.2 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác
1.3 Bài tập vận dụng
2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác
2.1. Công thức lượng giác
2.2. Kỹ năng dùng công thức lượng giác
2.3. Bài tập vận dụng
3. Kĩ năng dùng hàm số lượng giác
3.1 Hàm số lượng giác
3.2 Kĩ năng dùng hàm số lượng giác
3.3 Bài tập vận dụng
CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH
CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI
TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC”
1. Về phương diện lý luận
2. Về phương diện thực tiễn
3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến
KẾT LUẬN
NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT
CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN
DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ
HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TRANG
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
4
4
5
13
18
18
18
24
26
26
27
31
33
33
33
34
36
36
36
36
37
38
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
Nội dung
GD&ĐT
Giáo dục và đào tạo
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
SGK
Sách giáo khoa
THPT
Trung học phổ thông
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Vai trò
của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã
hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự
động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ
thiết yếu của mọi khoa học. Phương pháp giáo dục là phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động của học sinh, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên. Một trong
những nội dung đổi mới dạy học là đổi mới kiểm tra đánh giá. Năm 2017, lần đầu
tiên Bộ GD&ĐT tổ chức thi môn toán theo hình thức trắc nghiệm. Về kiến thức
hàn lâm thì không thay đổi nhưng cách giải quyết vấn đề hoàn toàn thay đổi. Trong
một bài thi học sinh phải giải quyết một lượng nhiều câu hỏi trải rộng trên nhiều
vấn đề chỉ trong một thời gian ngắn xuất hiện nhiều dạng toán mới lạ đòi hỏi học
sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trọng tâm và phải có kỹ năng làm bài thi trắc
nghiệm. Đặc biệt với các em học sinh lớp 11 có rất nhiều dạng toán mới đòi hỏi
các em đã bắt đầu cần có xu hướng tư duy nghiên cứu và sáng tạo. Lượng giác là
một phần toán rất quan trọng trong chương trình toán 11. Để có kĩ năng cho học
sinh giải bài tập trắc nghiệm phần lượng giác tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là “ Một
số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”.
II. TÊN SÁNG KIẾN
“Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Doãn Hoài Nam.
- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc.
- Số điện thoại: 0987272900.
- Email:
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN
Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm.
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học lượng giác lớp 11 THPT.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ
Ngày 10 tháng 10 năm 2019.
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
1
MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận:
1.1. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan là gì?
Trắc nghiệm khách quan là một phương tiện kiểm tra, đánh giá về kiến thức
hoặc để thu thập thông tin.
1.2. Ưu điểm và nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan
- Ưu điểm:
Khảo sát được số lượng lớn thí sinh.
Kết quả nhanh.
Điểm số đáng tin cậy.
Ngăn ngừa học tủ học lệch vì lượng kiến thức kiểm tra lớn.
- Nhược điểm:
Do có nhiều học sinh lười học nên có khuynh hướng khoanh
bừa vì vậy không thấy rõ diễn biến tư duy của học sinh.
Biên soạn đề tốn công sức.
1.3. Sự khác biệt giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm
Bài toán tự luận yêu cầu thí sinh phải trình bầy lời giải một cách tuần tự với
đầy đủ các bước để giải quyết vấn đề.
Bài toán trắc nghiệm khách quan có nhiều dạng, tuy nhiên trong bài thi
THPT quốc gia sẽ chỉ xuất hiện câu hỏi dạng lựa chọn 1 trong 4 phương án. Tức là
cho trước 4 phương án lựa chọn, đáp số bài toán là một trong bốn phương án A, B,
C, D. Trong đó một phương án đúng các phương án còn lại là các phương án nhiễu.
Lưu ý có hai loại phương án nhiễu.
+) Loại 1: Nhiễu xa tức là phương án này tách biệt hoàn toàn với
phương án đúng, thí sinh dễ dàng tìm được đáp án đúng.
+) Loại 2: Nhiễu gần tức là phương án này gần giống phương án đúng,
có khả năng gây rối cao cho học sinh. Để loại được phương án này thí sinh
cần có kiến thức cơ bản tốt và suy luận tốt.
2. Thực trạng:
+) Khó khăn của học sinh khi làm bài thi bằng hình thức trắc nghiệm.
Khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian bởi thí sinh phải vận dụng cả
kiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian ngắn.
Khó khăn thứ hai là câu hỏi trắc nghiệm đa dạng từ dễ đến khó.
+) Trước kia khi dạy học lượng giác mới chỉ có dạng bài tập giải phương
trình lượng giác. Học sinh chưa biết cách làm bài tập trắc nghiệm dựa vào lí thuyết
lượng giác. Để làm được điều này đòi hỏi học sinh phải rất vững về lí thuyết và
thông qua bài tập trắc nghiệm rèn được học sinh tính sáng tạo, tư duy sâu sắc.
2
Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm,
thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các câu hỏi trắc
nghiệm về lượng giác và kĩ năng giải quyết các câu hỏi đó. Phần tiếp sau sẽ trình
bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của
bản thân tác giả.
3
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC
1. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác:
1.1.
+
Lí thuyết về đường tròn lượng giác
𝐴
−
+) Đường tròn định hướng là một đường tròn
trên đó đã chọn một chiều chuyển động gọi
là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm.
Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay
của kim đồng hồ là chiều dương.
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B.
Điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B
tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng
giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy để được ký hiệu là AB
Nhận xét: Đường tròn lượng giác, cung lượng giác, góc lượng giác là khái
niệm rất khó đối với học sinh phổ thông.
Mỗi điểm trên đường tròn là biểu diễn điểm cuối của vô số cung lượng giác
và góc lượng giác.
+) Góc lượng giác
D
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD .
Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D
tạo nên cung lượng giác nói trên.
Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O
O
từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM
M
tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC,
C
tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (𝑂𝐶, 𝑂𝐷).
+) Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 vẽ đường tròn
định hướng tâm 𝑂 bán kính 𝑅 = 1.
B(0;1)
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại 4
điểm 𝐴(1; 0), 𝐴′ (−1; 0), 𝐵(0; 1), 𝐵′(0; −1).
+
Ta lấy 𝐴(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.
A’(-1;0)
A(1;0)
Đường tròn xác định như trên được gọi là
O
đường tròn lượng giác (gốc A).
B’(0;1)
+) Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác
nhau một bội của 2𝜋 . Ta viết: sđ AM = 𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
4
+) Số đo của góc lượng giác (𝑂𝐴, 𝑂𝐶) là số đo của cung lượng giác AC
tương ứng.
Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại,
đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau nên từ
nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
+) Chọn điểm gốc 𝐴(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trêN
đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo 𝛼 trên đường tròn
lượng giác ta cần chọn điểm cuối M thuộc cung này. Điểm cuối M được xác định
bởi hệ thức: sđ AM = 𝛼.
1.2. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác
1.2.1. Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong các câu hỏi về tính đồng
biến nghịch biến của hàm lượng giác cần nắm rõ tính chất như sau:
Hàm y = sin x đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên phải trục tung,
nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trái trục tung.
Hàm y = cos x đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên dưới trục hoành,
nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trên trục hoành.
Hàm y = tan x đồng biến trên các khoảng không chứa điểm k
( về hình ảnh
2
khoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trái hoặc bên phải trục tung)
Hàm y = cot x nghịch biến trên các khoảng không chứa điểm k ( về hình ảnh
khoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trên hoặc bên dưới trục hoành)
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?
A. y = tan x nghịch biến trong 0; .
2
B. y = cos x đồng biến trong − ; 0 .
C. y = sin x đồng biến trong − ; 0 .
D. y = cot x nghịch biến trong 0; .
2
2
2
Lời giải: Dựa vào nhận xét trên có ngay đáp án là A
Ví dụ 2: Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
5 7
A. ; .
4
9 11
B. ;
.
4
4
7
C. ;3 .
4
4
7 9
D. ;
4
4
Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D
11𝜋
9𝜋
4
4
5𝜋
7𝜋
4
4
5
Ví dụ 3: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = cot x đồng biến trên khoảng ( 0; ) .
B. Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng ( ; 2 ) .
C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng − ; .
2 2
3 5
D. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng ; .
2
2
Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D
5𝜋
2
𝜋
2𝜋
0
3𝜋
−
2
𝜋
2
1.2.2. Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong câu hỏi về phương trình
lượng giác học sinh cần thành thạo kĩ năng biểu diễn góc lượng giác trên đường
tròn.
+) Kĩ năng nhận dạng số điểm biểu diễn:
Luôn viết góc lượng giác dưới dạng + k
Ví dụ 1: x =
4
+k
2
. Khi đó n là số điểm biểu diễn.
n
được biểu diễn 6 điểm trên đường tròn lượng giác. Khi đó ta
3
lấy mốc là điểm
rồi chia đường tròn làm 6 phần.
4
7𝜋
12
𝜋
4
11𝜋
12
−
5𝜋
5𝜋
12
4
−
5𝜋
12
6
+) Kĩ năng xem một khoảng là bao nhiêu vòng quay:
3
Ví dụ 2: Khoảng − ; 10 có điểm xuất phát và điểm cuối là điểm A, B và quay
2
5,75 vòng.
+) Khi đó dựa vào câu hỏi của đề bài để xử lí câu trả lời
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình 2sin x − 3 = 0 trên đoạn 0; 2 .
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 2.
Lời giải: Đoạn 0; 2 được biểu diễn bằng 1 vòng quay vậy số nghiệm của phương
trình trên đoạn đó là 2
Đáp án: D
3
Ví dụ 4 : Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0 trên đoạn − ;10 là:
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
2
D. 21 .
Lời giải :
3
Đoạn − ;10 được biểu diễn bằng 5,75 vòng.
2
Vậy số nghiệm của phương trình là 12.
Đáp án : A
Ví dụ 5: Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x =
A. S =
5
.
6
B. S =
3
.
C. S =
2
.
D. S =
6
1
trên đoạn
2
− 2 ; 2
.
7
𝜋
Lời giải:
Vẽ đường tròn lượng giác
2
Suy ra nghiệm trên đoạn − ; là x =
2 2
𝜋
6
6
Đáp án: D
−
𝜋
2
Ví dụ 6: Phương trình sin 3x + = −
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
3
2
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2
3
Lời giải:
𝜋
𝜋
𝜋 11𝜋
Khi 𝑥 ∈ (0; ) suy ra 3𝑥 + ∈ ( ; ).
2
3
3
6
Dùng đường tròn suy ra số nghiệm của
phương trình là 2.
Đáp án: D
𝐴
0;
2
𝜋
3
−√3
𝐵
2
Ví dụ 7: Cho phương trình 3sin x −1 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc 0; của phương
trình là:
A. .
B.
.
3
C.
2
.
3
D.
4
.
3
Lời giải: Vẽ đường tròn lượng giác ta thấy
1
3
đường thẳng y = cắt đường tròn tại
2 điểm suy ra phương trình có 2 nghiệm
là và − .
Vậy tổng nghiệm là
Đáp án : A
𝑦=
1
3
8
3
có hai công thức nghiệm dạng + k , + k
2
Ví dụ 8: Phương trình sin 2 x = −
( k ) với , thuộc khoảng
A.
2
.
2
− ; . Khi đó, + bằng
2 2
3
C. .
B. − .
D. − .
Lời giải: x = + k 2x = 2 + 2k và x = + k 2 x = 2 + 2k
Do x − ; 2 x ( − ; ) .
2 2
Dùng đường tròn lượng giác suy ra:
2 = −
= −
3
6
2
2 = −
=−
3
3
𝜋
−𝜋
Đáp án : B
−
2𝜋
3
−
𝜋
3
Ví dụ 9: Tổng các nghiệm thuộc khoảng − ; của phương trình 4sin 2 2 x −1 = 0
2 2
bằng:
A. .
B.
.
3
C. 0 .
Lời giải: 4sin 2 2 x − 1 = 0 cos4 x =
D.
.
6
1
2
Do x − ; 4 x ( −2 ; 2 )
2 2
Vẽ đường tròn lượng giác nhận ra ngay
tổng các nghiệm bằng 0.
Đáp án: C
2𝜋
−2𝜋
Nhận xét: Bài toán trên nếu thay phương trình 4sin 2 2 x −1 = 0 bằng phương
trình 6sin 2 2 x − 1 = 0 nếu không dùng đường tròn lượng giác sẽ rất dài dòng và gặp
rất nhiều khó khăn.
Ví dụ 10 : Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
( 0;10 ) ?
A. 5 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
9
Lời giải:
sin x = −1
PT đã cho −2sin 2 x + 4sin x + 6 = 0
sin x = 3 (VN )
x=−
2
+ k 2 , ( k
).
Theo đề: x ( 0;10 ) . Khoảng này được biểu diễn bởi 5 vòng tròn vì vậy phương
trình có 5 nghiệm trên khoảng đó.
Đáp án : A
Ví dụ 11: Tính tổng S các nghiệm của phương trình
( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos4 x ) + 3 = 0 trong khoảng ( 0; 2 ) .
A. S =
11
.
6
B. S = 4 .
D. S =
C. S = 5 .
7
.
6
Lời giải:
Ta có: ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0
− ( 2 cos 2 x + 5 ) cos 2 x + 3 = 0 .
7𝜋
−2cos 2 (2 x) − 5cos 2 x + 3 = 0
⇔ cos𝑥 =
𝜋
1
3
2
0
2𝜋
x ( 0; 2 ) 2 x ( 0; 4 ) .
Dùng đường tròn lượng giác suy ra:
4𝜋
5𝜋
5
7
11
; 2x =
; 2x =
3
3
3
3
5 7 11
= 4 .
Do đó: S = + + +
6 6
6
6
2x =
3
3
; 2x =
11𝜋
3
Đáp án: B
1.2.3. Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong giải phương trình lượng giác
có điều kiện
Ví dụ 1: Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình: tan x = tan3x (1)
A. 55 .
B.
171
.
2
C. 45 .
D.
190
.
2
Lời giải:
Chọn C
x + k
cos
x
0
2
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
(*)
cos 3x 0 x + k
6 3
k
Khi đó, phương trình (1) 3x = x + k x =
(2)
2
Dấu X biểu thị điểm cuối của góc bị loại (*),
10
dấu
.
biểu thị điểm của góc tìm được (2) . Nhìn trên đường tròn ta được nghiệm là
x = k 2
x = + k 2 , x = 0;30 k = 0;...; 4 x 0; ; 2 ;....;9
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình (1) là: 45 .
Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình:
x
=
+ k .
6
A.
, (k Z )
x = + k .
3
2sin 2 x − 3
= 0 (1)
2 cos x − 1
x
=
+ k .
6
B.
, (k Z )
x = − + k .
3
x = 6 + k .
C.
, (k Z )
x = − 2 + k .2
3
x = 6 + k .2
D.
, (k Z )
x = + k .
3
Lời giải:
Chọn C
Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa
cosx
1
x + k 2
2
3
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác
điểm cuối của góc bị loại là dấu X.
x = + k
3
6
Khi đó, phương trình (1) sin 2 x =
(2)
2
x = + k
3
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm cuối của góc (2) là
.
11
So sánh với điều kiện bằng đường tròn lượng giác ta được đáp án C.
2
Ví dụ 3: Cho phương trình cos 4 x − cos 2 x + 2sin x = 0. Tính diện tích đa giác có các
cos x + sin x
đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng
giác.
A. 2.
B. 2 2.
C.
2
.
2
D.
2
.
4
Lời giải:
4
Điều kiện: sin x + cos x 0 x − + k , k .
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc bị loại là 2 điểm
Phương trình tương đương: cos 4 x − cos 2 x + 2sin 2 x = 0
2cos2 2 x − 1 − cos 2 x + 1 − cos 2 x = 0
cos2 2 x − cos 2 x = 0
x = k
cos 2 x = 1
. (*)
x = + k
cos 2 x = 0
4
2
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc nghiệm (*)là 6 điểm.
Trong đó có 2 điểm trùng với góc bị loại.
x = k
Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là
x = + k
4
.
Biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác ta được các điểm
cuối của các cung nghiệm tạo thành một hình chữ nhật. Đó là hình chữ nhật ACA’C’
như hình vẽ, trong đó AOC = .
4
1
2
4
Từ đó ta có, diện tích đa giác cần tính là S ACA 'C' = 4SOAC = 4. .OA.OC.sin = 2.
12
1.3.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x =
A.
S=
5
6 .
B.
S=
3.
C.
S=
1
trên đoạn
2
2.
D.
− 2 ; 2 .
S=
6.
Câu 2. Nghiệm của phương trình 2sin x + 1 = 0 được biểu diễn trên đường tròn
lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
A. Điểm D , điểm C .
C. Điểm C , điểm F .
2.
B. Điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .
Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin x + = 1 thuộc đoạn ; 2 là:
4
A. 3 .
C. 0 .
B. 2 .
D. 1 .
Câu 4. Phương trình 2sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ( 0; 2 ) ?
A. 2 nghiệm.
B. 1 nghiệm.
C. 4 nghiệm.
D. Vô
nghiệm.
Câu 5. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn
−2018 ; 2018 ?
A. 20179 .
B. 20181 .
C. 16144 .
D. 16145 .
5
của phương trình 2sin x 1
2
B. 1 .
C. 4 .
Câu 6. Số nghiệm thuộc đoạn 0;
A. 3 .
số
0 là:
D. 2 .
Câu 7. Cho phương trình 2sin x − 3 = 0 . Tổng các nghiệm thuộc 0; của phương
trình là:
A.
4
3
B. .
.
C.
3.
D.
Câu 8. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x =
A.
S=
6
.
B.
S=
3
.
C.
S=
2
3
− 2 ; 2 .
5
S=
6 .
D.
1
trên đoạn
2
2
.
.
3
Câu 9. Số nghiệm thực của phương trình 2sin x + 1 = 0 trên đoạn − ;10 là:
2
13
A. 12 .
B. 11 .
C. 20 .
D. 21 .
Câu 10. Phương trình: 2sin 2 x − − 3 = 0 có mấy nghiệm thuộc khoảng ( 0;3 ) .
A. 8 .
3
B. 6 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 11. Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x = −
x=−
1
có dạng x = + k và
2
m
+ k , k ; với m, n là các số nguyên dương. Khi đó m + n bằng
n
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Câu 12. Phương trình 2cos x + = 1 có số nghiệm thuộc đoạn 0; 2 là
3
A. 1
B.
2
C. 0
D. 3
k
Câu 13. Nghiệm của phương trình cot x + = 3 có dạng x = − + , k , m ,
n
*
và
A. 5 .
3
m
k
là phân số tối giản. Khi đó m − n bằng
n
B. −3 .
C. −5 .
n
D. 3 .
Câu 14. Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x −1 = 0 trong đoạn 0; là:
A. x = .
B. x =
11
.
12
C. x =
Câu 15. Cho hai phương trình cos3x −1 = 0 (1); cos 2 x = −
2
.
3
D. x =
5
.
6
1
(2). Tập các nghiệm của
2
phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là
A. x =
3
+ k 2 , k . B. x = k 2 , k .
C. x = + k 2 , k
D. x =
3
2
+ k 2 , k .
3
Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là
1
2
nghiệm của phương trình cos 2 x = − .
2
A. , , .
3 6 6
C. , , ;
3 3 3
, , .
4 4 2
2
B. , , ; , , .
3 3 3 3
D. , , .
3 3 3
6 6
5
Câu 17. Số nghiệm của phương trình 2cos x = 3 trên đoạn 0; là
A. 2 .
B. 1 .
Câu 18. Số nghiệm của phương trình cos x =
A. 4 .
B. 2 .
C. 4 .
2
D. 3 .
1
thuộc đoạn −2 ; 2 là?
2
C. 3 .
D. 1 .
Câu 19. Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( − ; ) ?
14
A. 2 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x − cos x = 0 trên khoảng
( 0; 2 ) bằng T . Khi đó T có giá trị là:
A.
T=
7
.
6
B. T = 2 .
C.
T=
4
.
3
D.
T =
.
5
là
2
Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2cos x = 3 trên đoạn 0;
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 22. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10 của phương trình
sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 .
A.
105
.
2
B.
105
.
4
C.
297
.
4
D.
299
.
4
Câu 23. Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
( 0;10 ) ?
A. 5
B. 4
C. 2
D. 3
Câu 24. Phương trình cos 2 x + 2cos x − 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
( 0; 2019 ) ?
A. 320 .
B. 1009 .
C. 1010 .
D. 321.
Câu 25. Phương trình cos 2x + 4sin x + 5 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng
( 0;10 ) ?
B. 4 .
A. 5 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 26. Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( 2 cos 2 x + 5) ( sin 4 x − cos 4 x ) + 3 = 0
trong khoảng ( 0; 2 ) .
A. S =
11
.
6
B. S = 4 .
Câu 27. Số nghiệm thuộc khoảng 0;3
A. 4 .
B. 3 .
D. S =
C. S = 5 .
của phương trình cos 2 x
C. 1 .
7
.
6
5
cos x 1 0 là
2
D. 2 .
Câu 28. Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều
kiện 0 x .
A. x =
2
.
B. x = 0 .
D. x =
C. x = .
4
.
Câu 29. Phương trình cos 2 x + cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( − ; ) ?
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
9
15
Câu 30. Số nghiệm của phương trình sin 2 x + − 3cos x −
= 1 + 2sin x với
2
2
x 0;2 là:
A. 6 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 4 .
15
Câu 31. Phương trình
2017 2017
;
−
2
2
A. m = 2017 .
4 tan 2 x − 5 tan x + 1 = 0
có
nghiệm trong khoảng
m
?
B. 4032 .
C. m = 4034 .
D. m = 2018 .
Câu 32. Trong khoảng ( 0; 2 ) , phương trình cos 2 x + 3cos x + 2 = 0 có tất cả m
nghiệm. Tìm m .
A. m = 1.
B. m = 3 .
C. m = 4 .
D. m = 2 .
Câu 33. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10 của phương trình
sin 2 2 x + 3sin 2 x + 2 = 0 .
A.
105
.
2
B.
105
.
4
C.
297
.
4
D.
299
.
4
Câu 34. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn 0; 200 của phương trình
2cos2 x + 3sin x + 3 = 0
A. T = 10150 .
T=
B. T = 10050 .
C. T =
20301
.
2
10403
.
2
D.
Câu 35. Số nghiệm của phương trình cos 2 x + 3 cos x − 1 = 0 trong đoạn − ; là:
A. 4 .
B. 3 .
2 2
D. 1 .
C. 2 .
x
2
x
2
Câu 36. Tính tổng S các nghiệm của phương trình (2 cos x + 5)(sin 4 − cos 4 ) + 3 = 0
trong khoảng ( 0; 2 )
A. S =
11
.
12
B. S =
5
.
2
C. S = 2 .
D. S =
7
.
12
Câu 37. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos3x = 0 trên đường
tròn lượng giác ta được số điểm cuối là
A. 6 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu38. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 5x cos 7 x = cos 4 x sin8x trên
( 0; 2 ) bằng
A.
19
.
3
B.
9
.
2
C. 5 .
D. 7 .
Câu 39. Phương trình sin 2x + 3cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; )
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 40. Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;13 của phương trình
2cos3 x + cos2 x + cos 2 x = 0 . Tính tổng các phần tử của S .
A.
380
3
B.
420
3
C. 120
D.
400
3
Câu 41. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3x − cos 2 x + 9sin x − 4 = 0 trên
khoảng ( 0;3 ) là
16
A. 5 .
B.
11
.
3
C.
25
.
6
D. 6 .
Câu 42. Cho phương trình ( 2sin x − 1) ( 3 tan x + 2sin x ) = 3 − 4 cos 2 x . Gọi T là tập hợp
các nghiệm thuộc đoạn 0; 20 của phương trình trên. Tính tổng các phần
tử của T .
A.
570
.
3
B.
875
.
3
C.
880
.
3
D.
1150
.
3
Câu 43. Số nghiệm của phương trình 2sin 2 2 x + cos 2 x + 1 = 0 trong 0; 2018 là
A. 1008 .
B. 2018 .
C. 2017 .
D. 1009 .
Câu 44. Số nghiệm của phương trình sin x + 4cos x = 2 + sin 2 x trong khoảng ( 0;5 )
là:
A. 5 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 6 .
Câu 45. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8cot 2 x ( sin 6 x + cos 6 x ) = sin 4 x
1
2
trên đường tròn lượng giác là :
A. 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 0 .
3
3
Câu 46. Số nghiệm thuộc − ; − của phương trình 3 sin x = cos − 2 x là:
A. 3 .
Câu 47. Số
2
B. 1 .
nghiệm
thuộc
2
C. 2 .
khoảng
cos ( + x ) + 3 sin x = sin 3 x − là
2
A. 4 .
B. 3 .
4
− 3 ; 2
C. 6 .
D. 0 .
của
phương
trình
D. 2 .
Câu 48. Với − x số nghiệm của phương trình cos x + cos 2x + cos3x + cos 4 x = 0
là
A. 3 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 0 .
Câu 49. Phương trình (1 + cos 4 x ) sin 2 x = 3cos 2 2 x có tổng các nghiệm trong đoạn
0; là:
A.
.
3
B.
3
2
.
C. .
D.
2
.
3
Câu 50. Tìm số nghiệm của phương trình 3sin 2 2 x + cos 2 x − 1 = 0, x 0; 4 ) .
A. 8
B. 2
C. 4
D. 12
Câu 51. Phương trình sin 3x + 2cos 2 x − 2sin x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc
7
;0 .
−
8
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
17
Câu 52. Tìm nghiệm của phương trình
A. x =
+ k ; k . B. x =
6
7
+ k ; k .
C. x =
6
Câu 53. Số
vị
trí
điểm
cos x − 3 sin x
=0.
2sin x − 1
7
+ k 2 ; k .
6
D. x =
biểu
diễn
các
6
+ k 2 ; k .
nghiệm
của
sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1
= 0 trên đường tròn lượng giác là:
tan x + 3
A. 4 .
B. 1 .
C. 2 .
phương
trình
D. 3 .
2. Kĩ năng dùng công thức lượng giác:
2.1.
Công thức lượng giác:
sin( x + y ) = sin x cos y + cosx sin y
Công thức cộng:
sin( x − y ) = sin x cos y − cosx sin y
cos( x + y ) = cosx cos y − sin x sin y
cos( x − y ) = cosx cos y + sin x sin y
sin 2 x = 2sin x cosx
Công thức nhân đôi, nhân ba:
cos2x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x
cos3x = 4 cos3 x − 3cos x
sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2sin
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x − sin y = 2cos
sin
2
2
Công thức tổng thành tích:
x+ y
x− y
co s x + co s y = 2co s
cos
2
2
x+ y
x− y
co s x − co s y = −2sin
sin
2
2
1
cosx.cosy = [cos( x + y ) + c os( x − y )]
2
1
Công thức tích thành tổng: s inx.sin y = − [cos( x + y ) − c os( x − y )]
2
1
sinx.cosy = [sin( x + y ) + sin( x − y )]
2
2.2.
Kĩ năng dùng công thức lượng giác:
Dùng công thức lượng giác để biến đổi điều kiện phù hợp với bài toán
Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình
cos 2 x + 3sin x − 2
= 0 là:
cos x
18
x = 2 + k 2
A. x = + k ( k
6
x = 5 + k
6
x = 2 + k 2
C. x = + k 2 ( k
6
x = 5 + k 2
6
x = 6 + k
B.
(k
x = 5 + k
6
).
x = 6 + k 2
D.
(k
x = 5 + k 2
6
).
).
).
Lời giải
Điều kiện xác định: cos x 0 sinx 1 .
Khi đó phương trình trở thành:
sin x = 1 (1)
cos 2 x + 3sin x − 2 = 0 −2sin x + 3sin x − 1 = 0
sin x = 1 (2)
2
2
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được
x
=
+ k 2
6
x = 5 + k 2
6
với k .
Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình cot x − tanx+4sin2x=
x = 4 + k
A. x = + k ( k
6
x = − + k
6
x = k
C. x = + k ( k
3
x = − + k
3
2
là:
sin 2 x
).
x = 3 + k
B.
(k
x = − + k
3
).
x = 6 + k 2
D.
(k
x = 5 + k 2
6
).
).
Lời giải
Điều kiện xác định: sin 2 x 0 cos2x 1
Khi đó phương trình trở thành:
cos 2 x = 1 (1)
2cos 2 x − cos 2 x − 1 = 0
cos 2 x = 1 (2)
2
2
19
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được
x
=
+ k
3
x = − + k
3
với k .
Đáp án : B
Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình tan 3x.cot x = −1 là:
A. x = k
4
x = 3 + k
B.
(k
x = − + k
3
(k ) .
).
x = + k 2
C. x = + k ( k ) . D. 6
(k
4
2
x = 5 + k 2
6
).
Lời giải
1
2
Điều kiện xác định: sin x.c os3x 0 ( sin 4 x − sin 2 x ) 0 sin 2 x ( 2 cos 2 x − 1) 0
Khi đó phương trình trở thành:
sin 2 x = 0(1)
sin 3x.c osx+sinx.cos 3 x = 0 sin 4 x = 0
cos 2 x = 0(2)
4
Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) . Giải phương trình (2) được x = + k
2
với k .
Đáp án : C
Ví dụ 4: Nghiệm của phương trình
A. x = k
C. x =
4
cos8 x
= 0 là:
sin 4 x
x = 3 + k
B.
(k
x = − + k
3
(k ) .
+ k (k
16
8
x
=
+ k 2
6
D.
(k
x = 5 + k 2
6
).
).
).
Lời giải
Điều kiện xác định: sin 4 x 0 sin 4 x 0 cos8x 1
Khi đó phương trình trở thành:
2
cos8 x = 0 x =
16
+k
4
(thỏa mãn điều kiên)
Đáp án: C
20
sin 2 x
= 0 là:
sinx + 1
x = 2 + k
B.
(k
x = + k 2
2
Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình
A. x = k
2
(k ) .
).
x = + k 2
C. x = + k ( k ) . D.
(k ) .
2
2
x = k
Lời giải
Điều kiện xác định: sinx −1
Khi đó phương trình trở thành:
sin x=0
s inx = 0
sin 2 x = 0
s inx = 1
cosx = 0
s inx = −1
x = k
s inx = 0
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình tương đương
x = + k 2
s inx = 1
2
Đáp án: D
Ví dụ 6: Nghiệm của phương trình tan 2 x − tanx.tan 3x = 2 là:
A. x = k
2
(k ) .
4
B. x = + k
(k ) .
2
x = + k 2
C. x = + k ( k ) . D. 2
(k ) .
x = k
2
Lời giải
Điều kiện xác định:
cos2 x −1
1
2
cosx.c os3x 0 ( cos 4 x + co s 2 x ) 0 2 cos 2 x + cos2 x − 1 0
1
2
cos 2 x
2
Khi đó phương trình trở thành:
tanx(tanx − tan 3x) = 2 tan x
− s in2x
= 2 sin 2 x = −cosx.c os3x
cosx.c os3x
1
1
(1 − cos 2 x ) = − ( cos 4 x + co s 2 x ) cos 4 x = −1 cos 2 2 x = 0 ( thỏa mãn điều kiện).
2
2
4
Vậy nghiệm của phương trình là x = + k
2
Đáp án: B
Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình sin 4x = cos2x là:
21
x = 12 + k
5
A. x = + k .
12
x = + k
4
2
4
B. x = + k
(k ) .
2
x = + k 2
C. x = + k ( k ) . D.
(k ) .
2
2
x = k
Lời giải
Cách 1: Phương trình tương đương
x = 12 + k
1
sin 2 x =
5
2sin 2 x.c os2 x = co s 2 x
+ k
2 x =
12
cos 2 x = 0
x = + k
4
2
Cách 2: Phương trình tương đương
x = +k
4 x = − 2 x + k 2
12
3
2
sin 4 x = sin( − 2 x)
2
x = + k
4 x = + 2 x + k 2
2
4
Đáp án: A
Nhận xét: Khi biến đổi lượng giác cần phải biết biến đổi theo nhiều hướng phù hợp
với đáp án bài toán nếu không rất khó nhận biết đáp án nào đúng. Từ đây giáo viên
cũng có thể ra đề trắc nghiệm gây nhiễu cho học sinh.
sin 2 x + sin x
= −1 là:
sin 3 x
x = 2 + k
B.
(k ) .
x = + k 2
2
Ví dụ 8: Nghiệm của phương trình
A. x = k
2
(k ) .
x = + k 2
C. x = + k ( k ) . D.
(k ) .
2
2
x = k
Lời giải
Điều kiện xác định:
sinx 0
cos x 1
sin 3 x 0 sin x(3 − 4sin x) = 0
1
3
cos x
sin x
2
2
2
Khi đó phương trình trở thành:
22
sin x=0
sin 2 x + sin x + sin 3 x = 0 sin 2 x + 2sin 2 x.cos x = 0 cosx = 0
1
cosx = −
2
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình tương đương cos x = 0 x = + k
2
Đáp án: C
Nhận xét: Trong ví dụ này có rất nhiều cách biến đổi. Tuy nhiên việc biến đổi như
trên giúp loại nghiệm rất đơn giản. Ngoài ra nếu hs thành thạo đường tròn lượng
giác thì cũng khá nhanh.
Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình 8sin x =
3
1
+
là:
cosx s inx
x = + k
6
A. x = k ( k ) . B.
(k ) .
2
x = − + k
12
2
x
=
+ k 2
C. x = + k ( k ) . D. 2
(k ) .
2
x = k
Lời giải:
cos x 0
Điều kiện xác định:
sin x 0
Khi đó phương trình trở thành:
4sin 2 x s inx = 3 s inx+cosx 2(cosx − cos 3 x) = 3 s inx+cosx
cos 3 x =
1
3
cosx −
s inx
2
2
3x = x + + k 2
x = + k
3
6
cos 3x = cos(x + )
3
3x = − x − + k 2
x = − + k
3
12
2
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình
Đáp án: B
Nhận xét: Nếu bài toán này học sinh làm theo cách biến đổi sau thì khó có thể nhận
ra đáp án vì vậy khi làm bà tập trắc nghiệm kĩ năng biến đổi lượng giác theo nhiều
hướng khác nhau là rất quan trọng.
Phương trình tương đương với phương trình 8s in 2 xcosx = 3 s inx+cosx
23
