10 phương trình bất phương trình minmax logarit đáp án

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - MIN MAX LOGARIT

Vấn đề 10

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT
Thường sử dụng các phương pháp sau:
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
1/ Phương trình – Bất phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ
+ Nếu a  0, a  1 thì a    a
f x

g x 

 f x   g x 

a  1

+ Nếu a chứa ẩn thì a    a    a  1 f x  g x  0  
f x

gx



f  x  g x



.

f x
gx
f x
g x
+ a    b    log a a    log a b    f  x   log a b.g x  (logarit hóa).

Bất phương trình mũ
+ Nếu a  1 thì a    a
f x

g x 

 f  x   g x  . (cùng chiều)

+ Nếu 0  a  1 thì a    a
f x

+ Nếu a chứa ẩn thì a    a
f x

g x 

 f x   g x  . (ngược chiều)

g x 

 a  1  f x   g x   0 .




2/ Phương trình logarit – Bất phương trình logarit cơ bản
Phương trình logarit
+ Nếu a  0, a  1 : log a x  b  x  a b

1

+ Nếu a  0, a  1 : loga f x  loga g x   f x   g x  2
+ Nếu a  0, a  1 : loga f x   g x   f x   a

g x

(mũ hóa) 3 

Bất phương trình logarit
+ Nếu a  1 thì log a f x   log a g x   f x   g x  (cùng chiều)
+ Nếu 0  a  1 thì log a f x   log a g x   f x   g x  (ngược chiều)
 log B  0  a  1B  1  0
 a
+ Nếu a chứa ẩn thì  loga A
.
 0  A  1B  1  0

 loga B

 Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit
Bước 1. Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần chú ý:




log

0a 1

loga b 

và  a


b0



loga


ĐK

f x 


f x 



mũ lẻ

ĐK


 f x   0

mũ chẵn

ĐK

 f x   0

.

Bước 2. Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải.
Bước 3. So với điều kiện và kết luận nghiệm.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
I/ Đặt ẩn phụ cho phương trình mũ

Facebook Nguyễn Vương Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

    0  đặt t  a  , t  0 .

 Loại 1. P a 

f x

 Loại 2. .a

2.f x 

f x

PP

f x

 . a.b

2.f x 

 λ.b

PP

 Chia hai vế cho b
 0  

2.f  x 

f x
 a   

, rồi đặt t     0 (chia cho
 b 

cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất).
1
t

 


PP

 đặt t  a  b  .
 Loại 3. a    b    c với a.b  1 
f x

f x

f x

f x

a f x.a gx
f x 



u  a
f x
g x 
PP
 .a  b  0 
 Loại 4. .a     a f x
.
 đặt 
g x 


va




 a gx

II/ Đặt ẩn phụ cho phương trình logarit
PP
 Loại 1. P loga f x   0 
 đặt t  log a f x  .

 Loại 2. Sử dụng công thức a log c  clog a để đặt t  a log x  t  xlog a .
 Lưu ý
Trên đây là một số dạng cơ bản thường gặp về phương trình mũ và loga, còn bất phương trình ta cũng làm
tương tự nhưng lưu ý về chiều biến thiên. Về phương diện tổng quát, ta đi tìm mối liên hệ giữa biến
để đặt ẩn phụ, đưa về phương trình (bất phương trình) đại số hoặc hệ phương trình đại số mà đã biết
cách giải. Từ đó, tìm ra được nghiệm. Ngoài ra, còn một số trường hợp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ t vẫn còn x. Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số
bằng cách lập biệt thức ∆ hoặc đưa về tích số.
b

b

b

b

3. Phương pháp hàm số.
I/ Cơ sở lý thuyết và vận dụng cơ sở lý thuyết để tìm hướng giải
Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:
 Nếu hàm số y  f x đơn điệu một chiều trên D thì phương trình f x  0 không quá một nghiệm trên

D.
 Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm x  x o của phương trình, rồi chỉ rõ hàm

đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận x  xo là
nghiệm duy nhất.
 Hàm số f t đơn điệu một chiều trên khoảng a; b và tồn tại u; v  a; b thì f u  f v  u  v ".
 Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t .

 Hàm số y  f t xác định và liên tục trên D:
Nếu f t đồng biến trên D và u, v  D thì f u  f v  u  v .
Nếu f t nghịch biến trên D và u, v  D thì f u  f v  u  v .
 Để vận dụng nội dung định lí này trong giải bất phương trình, người ra đề thường cho dưới hai

hình thức và có hai hướng xử lí thường gặp sau:
Nếu đề yêu cầu giải f x  0 :
Nhẩm nghiệm của f x  0 trên miền xác định D, chẳng hạn x  x o .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Xét hàm số y  f  x trên D và chỉ rõ nó đơn điệu tăng một chiều (đơn điệu giảm một chiều). Khi đó:
f  x  0  f  x  f x o   x  x o nếu hàm số đơn điệu tăng trên D và x  xo nếu hàm số đơn điệu

giảm trên D.
Nếu đề bài yêu cầu giải f x  0 mà không nhẩm được nghiệm x  x o của f x  0 thì cần biến đổi
f  x   0  f  g  x   f  h x  với việc xây dựng hàm đặc trưng y  f  t , rồi chỉ ra hàm f  t là đồng





biến (nghịch biến). Khi đó f g x   f h x   g x   f  x  hay g x   f x  .







Ta sẽ làm tương tự nếu đề cho f x  0, f x  0 hoặc f x  0 .
 Nếu hàm số y  f x có đạo hàm f ' x liên tục và thỏa mãn f ' x  0 có một nghiệm trên D thì
phương trình f x  0 không quá 2 nghiệm trên D.
II/ Một số loại toán cơ bản thường gặp khi sử dụng đơn điệu hàm
 Loại 1. loga

f x 
g x

 . g  x   f x 



1

Tìm tập xác định D.
Biến đổi 1  loga f x  loga g x  .g x  .f x
 loga f  x  .f x  loga g x  .g  x  f f x   f  g x  .






Xét hàm số đặc trưng f t  .t  loga t trên miền D và chỉ ra hàm số này luôn đơn điệu một chiều trên
D và f  f x   f  g x   f x   g x  .








 Loại 2. loga f x   log b g x  2
Nếu a  b thì 2  f x  g x : đây là dạng toán khá quen thuộc.
PP

 Dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Nếu a  1b  1  0 
PP
Nếu a  1b  1  0 

 Đặt ẩn phụ kết hợp mũ hóa phương trình.


f x   a t
và biến đổi phương trình về dạng:

g x   bt





Tìm tập xác định D và đặt loga f x  logb g x  t  

f t  At  Bt  1 và giải bằng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm này duy nhất và

tìm x khi biết t.


Dạng

toán:

. loga f  x   . log b g  x 

ta

cũng

làm

tương

tự

bằng

cách

đặt

 loga f x   logb g x  γ.t với γ là bội số chung nhỏ nhất của  và  .

 Loại 3. logf x g x   loga b

3

Đặt điều kiện: f x  0 và 0  g x  1 .

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Sử dụng công thức đổi cơ số thì 3 

logb f  x 

logb g  x 

 loga b

 logb f x  loga b. logb g  x  logb f  x  loga g x (đây là loại 2).

 Loại 4. a x   p loga λx     qx  r

4

PP


 Đặt ẩn phụ loga λx     y để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II hay gần đối xứng và sử

dụng phương pháp hàm để tìm được x  y .
Phương trình dạng log a f  x, y   log b g  x, y  .
t
 f  x, y   a
Phương pháp: đặt t  log a f  x, y   log b g  x, y  và chuyển về hệ 
và đánh giá chặn giá trị
t
 g  x, y   b

t . Từ đó chọn giá trị nguyên của x thích hợp và thử lại xem với giá trị nguyên của x đã chọn thì hệ
phương trình có nghiệm t trong miền đã chặn hay không?
Kiến thức để đánh giá chặn giá trị t :
+ Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2.
+ Bất đẳng thức Cauchy, BCS…
+ Tính chất biến thiên của hàm số.
x
Câu 1. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Giá trị của
bằng
y
A. 2 .

B.

1
.
2

3

C. log 2   .
2
Lời giải

D. log 3 2 .
2

Chọn B
 x  9t

 2.9t  6t  4t
Đặt t  log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Khi đó  y  6t
2 x  y  4t


 3 t
    1
t
t
t
2
9 3
3 1

 2.       1  0 
   .
 3 t 1
4 2
2 2



  
 2  2
t

Do đó:

Câu 2.

Biết

t

x 9 3 1
     .
y 6 2 2

x1 ; x2  x1  x2 



là hai nghiệm của phương trình

 4 x 2  4 x 1
  6 x  4 x 2
log 2 

x




1
a  b với a , b là các số nguyên dương. Giá trị P  a  b là
4
A. P  14 .
B. P  13 .
C. P  15 .
D. P  16 .
Lời giải
x1  2 x2 

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
và


TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Chọn A

2 x 1
4 x 2  4 x 1
1
Điều kiện
0
 0  x  0, x  .
x
x
2
2

log 2

4 x 2  4 x 1
2
2
 6 x  4 x 2  log 2 2 x 1  log 2 x  2 x 1  2 x  1
x

 log 2 2 x 1  2 x 1  log 2 2 x  2 x 1 .
2

2

Xét hàm số f t   log 2 t  t với t  0 .
Ta có f  t  

1
1  0 với t  0 suy ra f t   log3 t  t đồng biến trên 0; .
ln 2.t

 1
Xét x  0;  , từ 1 ta có
 2 

 x  3  5 l 

2
2
4

.
f 2 x 1  f 2 x  2 x 1  2 x  4 x 2  6 x  1  0  

 x  3 5

4





1

Xét x   ;  , từ 1 ta có
 2


 x  3 5

2
2
4
.
f 2 x 1  f 2 x   2 x 1  2 x  4 x 2  6 x  1  0  

3

5
x 
l 


4





 4 x 2  4 x 1
  6 x  4 x 2 có hai nghiệm phân biệt
Do đó, phương trình log 2 


x
3 5
3 5
; x2 
.
4
4
1
Suy ra x1  2 x2  9  5 . Suy ra a  9, b  5  P  a  b  14 .
4
x1 



Câu 3.



Biết a  log 30 10 , b  log 30 150 và log 2000 15000 
nguyên, tính S 
A. S 

x1a  y1b  z1
với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y 2 ; z 2 là các số
x2 a  y2b  z2

x1
.
x2

1
.
2

B. S  2 .

C. S 

2
.
3

D. S  1 .

Lời giải
Chọn A
Ta có log 2000 15000 

log 30 15000 log 30 150  2 log 30 10

1
log30 2000
log 30 2  3log 30 10

Ta có a  log 30 10  log 30 5  log 30 2  log 30 2  a  log 30 5 2
b  log 30 150  1  log 30 5  log 30 5  b 1 thay vào 2 ta được log 30 2  a  b  1
Ta có log 2000 1500 

b  2a
2a  b

a  b  1  3a 4a  b  1
Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Suy ra S 

x1 2 1
  .
x2 4 2

log x y  log y x
Cho các số thực dương x, y khác 1 và thỏa mãn 
.
log x  x  y   log y  x  y 


2
2
Giá trị của x  xy  y bằng

Câu 4.

A. 0.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 2.

Chọn D
ĐK: x  y .



1


y 
1

log x y 
log x y  log y x

x

log x y
 
 
Ta có 
x  y
log x  x  y   log y  x  y  
log  x  y   log  x  y  


y
 x



log x  x  y   log x1  x  y 

1
1

 y 
 xy  1
y

x
x

 
  2
 x 2  xy  y 2  2 .



 x  y 2  1
2
2
log x  x  y   log x  x  y   0 log x  x  y   0

Câu 5.

Cho các số thực dương a , b thỏa mãn

log a  log b  log a  log b  100 và

log a ,

log b ,

log a , log b đều là các số nguyên dương. Tính P  ab .
A. 10164.

B. 10100.

C. 10 200.
Lời giải

D. 10144.

Chọn A
Ta có:

log a  log b  log a  log b  100

 log a  log b  2 log a  2 log b  200   log a  1   log b 1  202  81  121 *
2

Mà

log a ,





*  






2

log b , log a , log b đều là các số nguyên dương nên

a  1064

log a  64



 b  10100


log b  1  11 
log
b

100




 
log a  100 a  10100
log a  1  11 



64

log
b

64



log b  1  9
b  10
log a  1  9

Vậy: P  ab  1064.10100  10164.

Câu 6.

Cho log 9 5  a; log 4 7  b; log 2 3  c .Biết log 24 175 
A. 27

B. 25

C. 23
Lời giải

mb  nac
.Tính A  m  2n  3 p  4q
pc  q

D. 29

Chọn B
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Ta có log 24 175  log 24 7.52  log 24 7  2 log 24 5 

1
2


3
log 7 3  log 7 2
log5 3  log 5 23

1
2


log 7 24 log 5 24

1
2


1
3
1
3


log3 7 log 2 7 log3 5 log 2 5

1
2
1
2




1
3
1

3
1
3
1
3




log 2 7.log3 2 log 2 7 log 3 5 log 2 3.log 3 5 2b. 1 2b 2a c.2a
c
1
2
2b
4ac
2b  4ac
.




c
3
c
3
c

3
c


3
c

3


2b 2b 2ac 2ac
A  m  2n  3 p  4q  2  8  3  12  25.
Câu 7.

Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x 2  6 y 2  xy . Tính M 

1
.
4

A. M 

B. M  1 .

C. M 

1
.
2

1  log12 x  log12 y
.
2 log12  x  3 y 
1

D. M  .
3

Lời giải
Chọn B
Ta có x 2  6 y 2  xy  x 2  xy  6 y 2  0 * .
Do x , y là các số thực dương lớn hơn 1 nên ta chia cả 2 vế của * cho y 2 ta
 x
được  
 y 

2

x
 3
 x  3 y n
y
x
 6  0  
 
x
y
  2  x  2 y l 
 y

Vậy x  3 y (1).
Mặt khác M 

1  log12 x  log12 y
log12 12 xy

(2).

2
2 log12  x  3 y 
log12  x  3 y 

Thay (1) vào (2) ta có M 
Câu 8.

Cho

log12 36 y 2
1.
log12 36 y 2





f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6

với

a,

b.

Biết

f log log e  2 .

Tính

f log ln10 .
B. 10 .

A. 4 .

C. 8 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Đặt x0  log log e





Có: f  x0   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  2

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

  1 

Ta có f log ln10  f log 

  f  log log e  f x0 
  log e 
f  x0   a ln









x02  1  x0  b sin  x0   6  a ln x0  x02  1  b sin x0  6







   a ln x0  x02 1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10 .


Câu 9.

Cho 9 x + 9-x = 14 và
A. P  10.

a
6+3(3x +3-x ) a

là phân số tối giản. Tính P  a.b.
= với
x+1 1-x
2-3 -3
b
b
B. P  45.
C. P  10.
D. P  45.
Lời giải

Chọn B
Ta có

9 x  9 x  14  32 x  2.32 x.32 x  32 x  16
 3x  3 x   16  3x  3 x  4.
2

6  3(3x  3 x ) 6  3(3x  3 x )
6  3(3x  3 x )


2  3x1  31x
2  3.3x  3.3 x 2  3.3x  3 x 


6  3.4
18
a
9

      ab  45.
2  3.4
10
b
5


3
Câu 10. Biết phương trình 27 x  271 x 16 3x  x   6  0 có các nghiệm x  a, x  log 3 b và x  log 3 c

3 
b
thuộc khoảng nào sau đây?
c
3 5
 3
B.  ; 
C. 1; 
 2 2 
 2 

với a  , b  c  0. Tỉ số
A. (3; ).

5 
D.  ;3
 2 

Lời giải
Chọn D

Ta có


3
27 x  271x 16 3x  x   6  0  33 x  27.33 x 16 3x  3.3 x   6  0 1

3 
Đặt t  3x  3.3 x  t 3  33 x  27.33 x  333 x  3.33 x .33 x.3.33 x

 33 x  27.33 x  9 33 x  3.33 x 
3x  3.3 x  1
32 x  3x  3  0
t  1



3
x
x


Khi đó 1  t  7t  6  0  t  3  3  3.3  3  32 x  3.3x  3  0

 x
 2x
x
x
t  2
3  3.3  2
3  2.3  3  0



Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020



3x  13  1
 x  log 3 13  1


2
2




21  3
21  3 b
13  1
 3x 
  x  log 3
 
 2.9.
2
2
c
21  3



3 x  3
x 1







Câu 11. Cho hai số thực dương a, b thỏa log 4 a  log 6 b  log9  a  b  . Tính
A.

1
.
2

B.

1 5
.
2

a
.
b

1  5
.
2

Lờigiải
C.

D.

1  5
.
2

Chọn D
Đặt t  log 4 a  log6 b  log9  a  b  .
t

  2  1  5
a  4t
  
2t
t

2
 3
2
 2
t
t
t
t
 b  6
 4  6  9       1  0  
.

t
 2
3
 3

1

5


a  b  9t
  
( L)

2
 3 
t

a 4 t  2  1  5
.
   
b 6t  3 
2

Câu 12. Gọi a là một nghiệm của phương trình 4.2 2 log x  6log x  18.32 log x  0 . Khẳng định nào sau đây
đúng khi đánh giá về a ?
2

2
B. a  10 .

A.  a  10   1 .

C. a 2  a  1  2 .

D. a 

1
.
100

Lờigiải
Chọn D
Điều kiện x  0 .
2
Chia cả hai vế của phương trình cho 32 log x ta được 4  
3
2
Đặt t   
3

2log x

2
 
3

log x

 18  0 .

log x

, t  0.

 9
t
Ta có 4t  t  18  0   4
.

t  2  L 
2

9
2
 
4
3
1
Vậy a 
.
100
Với t 

log x



1
9

.
 log x  2  x 
100
4

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình sau 7 x 1  6 log 7  6 x  5   1 bằng
A. 2 .

B. 3 .

C. 1.
Lờigiải

D. 10 .

Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Chọn B

5
Điều kiện: x  .
6
Đặt y  1  log 7  6 x  5 thì ta có hệ phương trình
7 x 1  6  y  1  1
7 x 1  6 y  5

 7 x 1  6 x  7 y 1  6 y (2)


 y 1
7  6 x  5
 y  1  log 7  6 x  5 
Xét hàm số f  t   7t 1  6t với t 

 2  f  x   f  y   x  y

5
5
thì f '  t   7t 1 ln 7  6  0, t   f  t  đồng biến nên
6
6

khi đó ta có phương trình 7 x 1  6 x  5  0. (3)

Xét hàm số g  x   7 x 1  6 x  5 với x 

5
5
2
thì g '  x   7 x 1 ln 7  6  g "  x   7 x 1  ln 7   0 x 
6
6

nên suy ra phương trình g  x   0 có không quá hai nghiệm.
Mặt khác g 1  g  2   0 nên x  1 và x  2 là 2 nghiệm của phương trình (3).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x  1 và x  2 .
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 1  2  3 .
Câu 14. Bất phương trình 9 x  2  x  5  3x  9  2 x  1  0 có tập nghiệm là S   a; b    c;   . Tính

tổng a  b  c ?
A. 0 .

B. 1.

D. 3 .

C. 2 .
Lờigiải

Chọn D
Đặt t  3 x , t  0 .
Bất phương trình đã cho trở thành:

t 2  2  x  5 t  9 2 x 1  0   t  9  t  2 x  1  0
3 x  9
t  9  0
t  9
TH1: 

 x
t  2 x  1  0
t  2 x  1  0
3  2 x  1  0

1
2

Xét bất phương trình  2  :
Đặt g  x   3x  2 x  1 trên  .

g   x   3 x ln 3  2 .

Gọi x0 là nghiệm duy nhất của phương trình g   x   0 , x0  0
Khi đó, g  x   0 có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, g  x   0 có hai nghiệm là x  0 và x  1
Ta có bảng biến thiên

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

x  0
Từ bảng biến thiên ta có,  2   
x  1

Ta lại có, 1  x  2 .
Kết hợp 1 và  2  suy ra, x  2 . *
t  9  0
t  9
TH2: 


t  2 x  1  0
t  2 x  1  0

3 x  9
 x
3  2 x  1  0

 3

 4

Xét bất phương trình  4  :
Đặt g  x   3x  2 x  1 trên  .
g   x   3x ln 3  2 .

Gọi x0 là nghiệm duy nhất của phương trình g   x   0 , x0  0
Khi đó, g  x   0 có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, g  x   0 có hai nghiệm là x  0 và x  1
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có,  4   0  x  1
Ta lại có,  3   x  2 .
Kết hợp  3 và  4  suy ra, 0  x  1 . **
Kết hợp * và ** ta được tập nghiệm của BPT đã cho là S   0;1   2;  
2

2

Câu 15. Phương trình 2sin x  3cos x  4.3sin
A. 1284 .

2

x

có bao nhiêu nghiệm thuộc  2017; 2017 .

B. 4034 .

C. 1285 .
Lờigiải

D. 4035 .

Chọn C
2

2

Ta có 2sin x  3cos x  4.3sin

2

x

2

 2sin x  31sin

2

x

 4.3sin

2

x

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Đặt sin 2 x  t với t   0;1 , ta có phương trình
t

t

t

t

3
2
1
2
1
 4.3t     3.    4 . Vì hàm số f  t      3.   nghịch biến với t   0;1
t
3
3
9
3
9
nên phương trình có nghiệm duy nhất t  0 . Do đó sin x  0  x  k , k  .
2017
2017
k

Vì x   2017; 2017  nên ta có 2017  k  2017 
nên có 1285 giá trị
2t 





nguyên của k thỏa mãn. Vậy có 1285 nghiệm.
Câu 16. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y  . Tính tỉ số
A.

x 2
 .
y 3

x

y

B.

2
.
3 1

C.

x


y

2
.
3 1

D.

x
?
y

x 3
 .
y 2

Lờigiải
Chọn B

 x  6t

Giả sử log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y   t . Ta có:  y  9t
 2 x  2 y  4t


(1)
(2) .
(3)

t

x 6t  2 

    0.
y 9t  3 
Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có

Khi đó

  2 t
2
(thoûa)
   1  3 
2t
t
3 1
3
2
2
t
t
t

.
2.6  2.9  4     2.    2  0 
 2 t
3
3



   1  3
(loaïi)
 3 
Câu 17. Số nghiệm của phương trình 2
A. 0 .
B. 1.

log5  x 3

 x là:
C. 3 .
Lờigiải

D. 2 .

Chọn B
Đk: x  3
Đặt t  log 5  x  3  x  5t  3 , phương trình đã cho trở thành
t

t

 2
1
2  5  3  2  3  5     3.    1 (1)
5
5
t

t

t

t

t

t

2
1
Dễ thấy hàm số f  t      3.   nghịch biến trên  và f 1  1 nên phương trình (1) có
5
5
nghiệm duy nhất t  1.
Với t  1, ta có log 5  x  3  1  x  2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 .
Câu 18. Phương trình 33 3 x  333 x  34  x  34  x  103 có tổng các nghiệm là?
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
Lờigiải
Chọn A

D. 4 .

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

33 3 x  333 x  34  x  34 x  103  7 

 7   27.33 x 
Đặt t  3x 

27
81
1

 81.3x  x  103  27.  33 x  3 x
3x
3
3
3



 x 1
3
  81.  3  x   10
3 



 7 '

1 Côsi
1
 2 3x. x  2
x

3
3
3

1
1
1
1
1

 t   3x  x   33 x  3.32 x. x  3.3x. 2 x  3 x  33 x  3 x  t 3  3t
3 
3
3
3
3

3

Khi đó:  7 '  27  t 3  3t   81t  103  t 3 
Với t 

10
1 10
 3x  x 
3
3
3

103

10
t
2
27
3

N 

 7 ''

y  3
1 10
2
Đặt y  3  0 . Khi đó:  7 ''  y    3 y  10 y  3  0  
y  1
y 3

3

N 

x

N

Với y  3  3x  3  x  1 .
Với y 

1
1

 3x   x  1 .
3
3

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là: 1   1  0 .
x

Câu 19. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

3x  1  3 2 

3x  1
B.  0;log 3 2  .

A.  ; 0    log 3 2;   .

 1
C.  0;    2;  .
 2



2

.

D.  0;   .
Lờigiải

Chọn A

x

Ta có bất phương trình:

3x  1  3 2 

2
3x  1

 3 x  1  3x 

2
3x  1

 3x  1 

3x (3x  1)  2
3x  1

 3 x  1  3x (3 x  1)  2 (*)

Đặt t  3 x  1  1  3x  t  1
Từ đó bất phương trình (*)  t  (t  1) t  2  t  2  (t  1) t
Trường hợp 1:

1  t  2
1  t  2

  t  1  1  t  2  1  3 x  1  2  3 x  1  x  0 .


(t  1)t  0
 t  0


Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trường hợp 2:.

t  2
t  2
t  2

x


 4  t  2  3  2  x  log3 2 .

2
2
2
(t  1)t  (t  2)
t  t  t  4t  4
t  3
 x  log 3 2
Kết luận nghiệm của bất phương trình là: 
.
x  0

Câu 20. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 25
các số nguyên dương, tính a  b .
A. a  b  14 .
B. a  b  3 .

x
x y
x a  b
 log15 y  log9
và 
, với a , b là
y
2
2
4

C. a  b  21 .
Lờigiải

D. a  b  34 .

Chọn D
x
log 25

2
y

15


x
x y
x
Ta có log 25  log15 y  log9

log 25
2
2
4
x

15
x
log

log
9
25

4
2
2t

Đặt t  log 25

t

x
5

5
 x  2.25t , ta được 2.25t  15t  4.9t  2       4
2
3
3
t

 t  log 5
3

1  33
x 2.25t
 5  1  33
.
 
 2.   
t
y
15
2
4
3

Do đó a  1 , b  33 nên a  b  34 .
Câu 21. Biết rằng phương trình log 2 1  x1009   2018log3 x có nghiệm duy nhất x0 . Khẳng định nào dưới
đây đúng?
1

1

2

A. 31008  x0  31006 .

B. x0  31009 .

1

1

C. 1  x0  31008 .

D. 31007  x0  1 .

Lờigiải
Chọn C
Điều kiện: x  0 .
Đặt t  log 2 1  x1009   2018log3 x . Khi đó t  0 .
1009
t
2
1  x  2
 2t  1  3t  2t  1 
  2018
t
3
 x





t

 3

t



 3   1 t
3  1  2  
     1 (*).
 2  2

 

t

t

t

 3   1 t
Ta thấy hàm số f  t   
    luôn nghịch biến và liên tục trên  0;   và f  2   1 nên
 2  2
phương trình (*) có duy nhất một nghiệm t  2 .
1

 x1009  3 hay x0  31009 .

Mà 0 

1
1
1

nên 1  x0  31008 .
1009 1008

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Câu 22. Phương trình 2 log 3  cot x   log 2  cos x  có bao nhiêu nghiệm trong khoảng  0; 2018  ?
A. 2018 nghiệm.

B. 1008 nghiệm.

C. 2017 nghiệm.
Lờigiải

D. 1009 nghiệm.

Chọn A
sin x  0
Đk: 
.
cos x>0

2

2 log 3  cot x   log 2  cos x   log 3  cot x   log 2  cos x 
 log 3 cos 2 x  log 3 sin 2 x  log 2  cos x 

 log3 cos2 x  log3 1  co s 2 x   log 2  cos x 
Đặt t  log 2 cosx  cosx=2t .
t

Phương trình trở thành  log 3

2 2t
4
 t  4t  3t  12t hay    4t  1
2t
1 2
3

t

4
Hàm số f  t      4t đồng biến trên 
3

Mặt khác f  1  1 nên x  1 là nghiệm của phương trình.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t  1 .
1

log 2 cosx=-1  cos x   x    k.2 .
2

3
6053
 1
 6  k  6
x   0; 2018   
.
 1  k  6055
 6
6
Vậy trong khoảng  0; 2018  có 1009.2  2018 nghiệm.
Câu 23. Cho dãy số  un  thỏa mãn log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8 , n   * . Đặt
S n  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn
A. 18 .

B. 17 .

C. 16 .
Lờigiải

un .S2n 148

.
u2 n .Sn 75
D. 19 .

Chọn A
Ta có n   * , log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8  log 3  2u5  63  log 2  un  8n  8  .
t
t
 2u  63  3

 2u5  63  3
Đặt t  log 3  2u5  63   5
( với n  5 )


t
t
un  8n  8  2
u5  32  2
 1  3t  2.2t  t  2  un  8n  4 . Khi đó u5  36

Với un  8n  4 và u5  36 , ta có:
log 3  2u5  63   2 log 4  un  8n  8   log 3  2.36  63  2 log 4  8n  4  8n  8 

 log 3 9  2 log 4 4  2  2 đúng n   * .
Ta có: un 1  un  8  n  1  4   8n  4   8 . Vậy  un  là cấp số cộng có số hạng đầu u1  4 , công sai

d  8.
Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 S n  u1  u2  ...  u n 

 u1  un  .n  4n 2 .
2

2

Do đó

un .S 2 n  8n  4  .16n 148


 n  19 .
u2 n .S n 16n  4  .4n 2 75





Câu 24. Số nghiệm của phương trình log 3 x 2  2 x  log 5 x 2  2 x  2 là
A. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

C. 1.
Lờigiải

Chọn B
ĐK: x  0; x  2 .
2
2
Đặt t  x  2x  x  2x  2  t  2

 log 3 t  log 5  t  2  .
Đặt log3 t  log 5  t  2   u

 t  3u
log 3 t  u


u
log 5  t  2   u
t  2  5
 5 u  2  3u

5u  3u  2
(1)
5u  2  3u
5u  3u  2

u
 u
 u
  3  u
1
u
u
5

2


3
3

2


5

2


   1 (2)
 5 
5


.

Xét 1 : 5u  3u  2
Ta thấy u  0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u  0 là
duy nhất.
2
Với u  0  t  1  x  2x 1  0 , phương trình này vô nghiệm.
u

u

3
1
Xét  2  :    2    1
5
5
Ta thấy u  1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u  1
là duy nhất.

Với u  1  t  3  x 2  2 x  3  0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x  0; x  2 .
BÌNH LUẬN
Cho f  x   g  x 1 nếu f  x  , g  x  đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g  x   const và f  x 
tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất.
Câu 25. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:




22
22
2
4
2
6
5
4
3
2
 2 log x 3  2 log x 3  5  13  log 2 x  log x  4   24 x  2 x  27 x  2 x  1997 x  2016   0
22
22


3
3


A. 12,3 .
B. 12 .

C. 12,1.
D. 12, 2 .
Lờigiải
Chọn C
Điều kiện: 0  x  1.
Ta có 24 x 6  2 x 5  27 x 4  2 x 3  1997 x 2  2016
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
2

2

  x3  x 2    x3  1  22 x 6  26 x 4  1997 x 2  2015  0 , x .
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với




22
2
4
2 22
 2 log x 3  2 log x 3  5  13  log 2 x  log x  4   0 .
22
22


3
3



22
Đặt t  log x
, ta có bất phương trình
3
2t 2  2t  5  2t 2  4t  4  13
2

2

13
2
 1 3
.
  t       1  t   12 
2
 2 2
   
  1 3

13
Đặt u   t  ;  và v  1  t ;1 . Ta có u  v  u  v 
.
2
 2 2
1
5
t
3

4
 22  4
2
Dấu bằng xảy ra khi
  2t  1  3  3t  t   x     12, 06  12,1 .
1 t 2
5
 3 
Nghiệm trên thỏa điều kiện.



log 100 x 2

Câu 26. Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình 4.3
A. 100 .

B. 10 .

  9.4log 10 x   13.61 log x .

C. 1.

D.

1
.
10

Lờigiải

Chọn C
ĐK: x  0 .
PT  4.3

2.log 10 x 

3
Đặt t   
2

 9.2

2.log 10 x 

 13.6

log 10 x 

3
 4.  
2

2 log 10 x 

3
 13.  
2

log 10 x 

9 0

log 10 x 

 0 thì phương trình trở thành:

 3 log10 x 
1
 
1

t  1
log 10 x   0
x

2


2



4t  13t  9  0   9 
10 .
log 10 x 


t 
log
10

x

2



3
9



 4  
 x  10

 2 
4
Suy ra tích các nghiệm bằng 1 .
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình 2.7 x  2  7.2 x  2  351. 14 x có dạng là đoạn S   a; b . Giá trị
b  2a thuộc khoảng nào dưới đây?





A. 3; 10 .

B.   4; 2  .

C.





7; 4 10 .

2 49
D.  ;  .
9 5 

Lờigiải
Chọn C
2.7 x  2  7.2 x  2  351. 14 x

Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 49.7 x  28.2 x  351. 14 x

 49.

72 x
22 x

28.
 351
14 x
14 x

 49.

7x
2x

28.
 351 .
2x
7x

Đặt t 

28
7x
 351
, t  0 thì bpt trở thành: 49t 
x
t
2

4
7
4
7x 7
t  

  4  x  2 .
49
2

49
2x 2



Khi đó S   4; 2 .
Giá trị b  2 a  10 





7; 4 10 .



2

Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình  2 x  2    2 x  2  1  2 x  1

là

C. S   0;1 .

B. S  1;   .

A. S   ;0  .



2

D. S   3;   .

Lờigiải
Chọn C
Điều kiện xác định: 2 x  1  0  2 x  1  x  0
2x  1  t, t  0  2x  1  t 2  2x  t 2  1

Đặt

Bất phương trình trở thành:

t

2

2

2

2

 1  2    t 2  1  2  1  t    t 2  1   t 2  3 1  t 

2

 t  12  t 2  3
  t  1  t  1   t  3  t  1  
t  1

t 2  2t  1  t 2  3 t  1


 t  1.
t  1
t  1
2

Do đó

2

2

2

2x  1  1  2x  1  1  2x  2  x  1 .

Kết hợp điều kiện: 0  x  1 .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S   0;1 .
Câu 29. Bất phương trình 2 x

2

 x 1 1

2

 2  2x  2

x 1

B. 3 .

A. 2 .

có tập nghiệm S   a; b  . Khi đó a  b bằng
D. 10 .

C. 1.
Lờigiải

Chọn B
ĐK: x  1.
Bất phương trình đã cho tương đương với
2

 2 x .2

x 1

2

 4  2.2 x  2.2

1 x2
.2 .2
2

x1

2

 2  2x  2

x1

x 1

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
2

u  2 x
Đặt 
, điều kiện
x 1
v  2

u  0
.

v  0

Bất phương trình trở thành
uv  4  2u  2v   uv  2u    4  2v   0  u  v  2   2  v  2   0   u  2  v  2   0 .

 u  2  0  u  2



v  2  0
v  2



.
 u  2  0  u  2


 v  2  0
 v  2
u  0
Kết hợp với điều kiện 
ta được
v  0
2

 2 x  2
  x 2  1
 u  2
  x  1  x  1   x  1  x  1






x 1


2
  x  1  1   x  1  1
 0  v  2   0  2
 x  2




2
2
 0  u  2
  1  x  1
  1  x  1
 0  2 x  2
  x  1




 x 1

x 1  1
 v  2

  x  2


x

1


1

2

2

 x   ; 1  1; 2
Kết hợp điều kiện x  1, ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  1;2 .
x



 

Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 5  21  5  21
B. S   1;1 .

A. S   2;1 .



x

 2 x log 2 5 là

C. S  1;5 .

D. S  1;   .

Lờigiải
Chọn B
Ta có:
x

5 

x

 

21  5  21



x

x

2

x log 2 5



x

 

 5  21  5  21



x

x

 5  21   5  21 
 2 .5  
  
  5
 2   2 
x

x

 5  21 
 5  21  1
Đặt 
  t  
  ,  t  0  , bất phương trình trở thành:
 2 
 2  t

1
5  21
5  21
t   5  t 2  5t  1  0 
t 
.

t
2
2
Do đó ta có:
x

5  21  5  21  5  21
 
 1  x  1.
 
2
2
 2 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S   1;1 .
Câu 31. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn 0  x  2020 và log 3 3 x  3  x  2 y  9 y ?
Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 2019 .

B. 6 .

C. 2020 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn D

Cách 1:
Ta có: log 3 3 x  3  x  2 y  9 y  log 3  x  1  x  1  2 y  32 y . 1
Đặt log 3  x  1  t  x  1  3t .
Phương trình 1 trở thành: t  3t  2 y  32 y 2
Xét hàm số f u   u  3u trên  .
f  u   1  3u ln 3  0 , u   nên hàm số f u  đồng biến trên  .

Do đó 2  f t   f 2 y   t  2 y  log 3  x  1  2 y  x  1  9 y  x  9 y  1
Vì 0  x  2020  0  9 y  1  2020  1  9 y  2021  0  y  log 9 2021

log 3 2021  3, 464
Do y    y  0;1; 2;3 , có 4 giá trị của y nên cũng có 4 giá trị của x
Vậy có 4 cặp số nguyên  x ; y  .
Cách 2:
Ta có: log 3 3 x  3  x  2 y  9 y  log 3  x  1  x  1  2 y  32 y
Xét hàm số f  x   log 3  x  1  x  1 với x   0; 2020 .
Ta có f   x 

1
 1  0, x  x  0;2020  Hàm số f  x  đồng biến trên đoạn
 x  1 ln 3

0 ; 2020  .
Suy ra f 0  f  x   log 3  x  1  x  1  f 2020  1  f  x  log 2 2021  2021
 1  2 y  9 y  log 3 2021  2021  2028

Nếu y  0  2 y  9 y  9 y  90  1  y  0
Khi đó y    2 y  9 y     2 y  9 y  2027  9 y  2027  2 y  2027
 y  log 9 2027  3, 465  y  3  0  y  3
 y  0;1; 2;3 . Do f  x  là hàm số luôn đồng biến nên với mỗi giá trị của y chỉ cho 1 giá trị của

x.
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

+) y  0  log 3  x  1  x  1  1  x  0
+) y  1  log 3  x  1  x  1  11  log 3  x  1  x  10  x  8
+) y  2  log 3  x  1  x  1  85  log 3  x  1  x  84  x  80
+) y  3  log 3  x  1  x  1  735  log 3  x  1  x  734  x  729
Vậy có 4 cặp số nguyên  x ; y  .
Câu 32. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn log 9 x2  y 2  3 x  y  9   1 ?
A. 7 .

B. 6 .

C. 10 .
Lời giải

D. 9 .

Chọn B
 x  , y  
 x  , y  


2
2
Điều kiện: 0  9 x  y  1   x, y    0, 0  ;  0,1 ;  0, 1
3 x  y  9  0



3 x  y  9  0

Khi đó 9 x 2  y 2  1 nên ta có:
log 9 x2  y 2  3 x  y  9   1  3 x  y  9  9 x 2  y 2  9 x 2  3 x  y 2  y  9  0
2

2

1 
1  19

  3x     y   
2 
2
2

2

1  19 1  38
1  38
 3x   
x

2
2


 6

6

Suy ra: 
2
1  19

1  38  y  1  38
 y  2   2
 2
2


 x  0; 1
Do x   , y   nên 
 y  2;  1; 0;1; 2
Kết hợp điều kiện, ta được  x, y    0, 2  ;  0, 2  ; 1; 2  ; 1, 1 , 1, 0  ; 1,1 ; 1, 2 
Thử lại ta thấy cặp  x, y   1, 2  không thỏa yêu cầu đề bài.
Vậy có 6 cặp số nguyên  x, y  thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại duy nhất cặp số thực  x, y  thỏa mãn

x2  y 2  18 và x  y  m  log 3  y  2m   log3  x  m  ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn C
x  m
Điều kiện: 
.
 y  2m
Ta có: x  y  m  log 3  y  2m   log3  x  m 

 log 3  x  m   x  m  log 3  y  2m   y  2m 1
Facebook Nguyễn Vương 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Xét hàm số f  t   log3 t  t với t  0 .
Ta có: f   t  

1
 1  0, t  0 nên hàm số f đồng biến trên khoảng  0;  .
t ln 3

Do đó: 1  x  m  y  2m  y  x  m .
2

Theo giả thiết: x 2  y 2  18  x 2   x  m   18  g  x   2 x 2  2mx  m 2  18  0  2 
Để tồn tại duy nhất cặp số thực  x, y  thỏa yêu cầu bài toán thì phương trình  2  phải có duy nhất
một nghiệm x  m (khi đó y  2m do y  x  m ).
   m 2  36  0
 m  6

Trường hợp 1:  2  có nghiệm kép x  m  


 m  6 .
m
m  0
 y    2m

2

Trường hợp 2:  2  có hai nghiệm phân biệt x1  m  x2
 Nếu x1  m thì thay vào  2  ta được 5m 2  18  0  m  
 Nếu x1  m  x2  a.g  m   0  5m 2  18  0  

3 10
(loại do m  )
5

3 10
3 10
m
5
5

Từ các trường hợp trên và m    m  6;  1; 0;1 .
Câu 34. Biết

 x2  2 x  1  2
  x  2  3x
3x



x1, x2 ( x1  x2 ) là hai nghiệm của phương trình log3 

và

4 x1  2 x2  a  b , với a, b là hai số nguyên dương. Tính a  b
B. a  b  12 .

A. a  b  9 .

C. a  b  7 .

D. a  b  14 .

Lời giải
Chọn D

x  0
Điều kiện: 
x 1
Ta

có:

 x2  2 x  1  2
2
2
log3 
  x  2  3x  log 3  x  1  x  2 x  1  log 3 x  x
3

x


2

2

 log 3  x  1   x  1  log 3 x  x (1)

Xét hàm số f  t   log 3 t  t  f   t  

Phương trình (1) trở thành f

 x  1 
2

1
 1  0, t  0
t.ln 3


3 5
x1 

2
2
 f  x    x  1  x  x 2  3 x  1  0  

3 5
 x2 


2

Vậy 4 x1  2 x2  9  5 . Khi đó a  9, b  5  a  b  14
Câu 35. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 0  x  2020 và log 2  4 x  4   x  y  1  2 y ?
A. 10 .

B. 11 .

C. 2020 .

D. 4 .

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Lời giải
Chọn B
Đặt log 2 4 x  4  t  4 x  4  2t  x  2t 2 1 .
Từ điều kiện 0  x  2020  0  2t 2 1  2020  1  t 1  1  log 2 2021 .
Theo giả thiết ta có: t 1  2t 2  y  1  2 y * .
Xét hàm số f u   u  2u1 với 1  u  1  log 2 2021 .
Có

f 'u   1  2u1.ln 2  0, u  1;1  log 2 2021

nên

hàm

f u 

đồng

biến

trên

đoạn

1;1  log 2 2021 .
Dựa vào *  f t 1  f  y  1  t 1  y  1 .
Mặt khác 1  t 1  1  log 2 2021  1  y  1  1  log 2 2021  0  y  log 2 2021  10, 98 .
Vì y    y  0;1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10 .
Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt.
Câu 36. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log 2  x 2  4 y 2   log 3  x  4 y  .
A. 3 .

C. 2 .
Lời giải

B. Vô số.

D. 4 .

Chọn C

 x2  4 y2  0
Điều kiện: 

x  4 y  0
 x 2  4 y 2  2t
Đặt t  log 2  x  4 y   log 3  x  4 y   
t
 x  4 y  3
Áp dụng bất đẳng thức B.
C. S, ta có:
2

 x  4y

2

2



2

 1. x  2.2 y   12  22  . x 2   2 y 

2

  5 x

2

 4 y2 

 9t  5.2t  t  log 9 5

2

Từ x 2  4 y 2  2t suy ra x 2  2t  2

log 9 5
2

 2,1

Do x  nên x  1;0;1
 2 1 t
4 y 2  2t  1  y  4  2  1 1

 Với x  1  
t
4 y  3  1
 y  1 .  3t  1  2 

4
Thay  2  vào 1 ta được 9t  2.3t  4.2t  5  0
Do 1 nên 2t  1  0  t  0 .
2

Khi đó: 9t  2.3t  4.2t  5  4t  4.2t  4  2.3t  1   2t  2   3.2t  1  0 nên không tồn tại giá trị
của t . Vậy loại x  1 .

t  log 9 4
4 y 2  2t

2


 Với x  0  

log 9 4  nhận x  0 .
t
1
4 y  3
 y  .3 2

4

Facebook Nguyễn Vương 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 2 1 t
y   2  1
2
t
4 y  2  1 
4

.
 Với x  1  
t
1
4
y


3

1

 y  .  3t  1

4
t  0
Dễ thấy 
là một nghiệm của hệ  nhận x  1 .
y  0
Vậy x  0;1 .
Câu 37. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn 0  x  2020 và 2  x  ln  x  1   x 2  1  y  e y ?
A. 0 .

B. 7 .

C. 1 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn C
Ta có: 2  x  ln  x  1   x 2  1  y  e y  2 ln  x  1  e 2ln x 1  y  e y 1 .
Xét hàm số: f  t   t  et , ta có: f   t   1  et  0 nên hàm số f  t  đồng biến trên  .
Do đó: 1  f  2ln  x  1   f  y   y  2 ln  x  1 .
+ Do 0  x  2020 nên 1  x  1  2021  0  y  2 ln 2021  15, 22 .
Do y   nên y  0;1; 2;...;14;15 .
y

Có y  2ln  x  1  x  e 2  1 .
Với y  0;1; 2;...;14;15 thì chỉ có y  0 thì x   .
Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn đề bài.
Câu 38. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3 ( x  y )  log 4  x 2  2 y 2  ?
B. 3

A. 1

C. 2
Phân tích
Lời giải

D. Vô số

Chọn C
Điều kiện: x  y  0 .
Đặt log3 ( x  y )  log 4  x  2 y
2

2



t
 x  3t  y
 x  y  3
 t , suy ra  2
 t
2
2

t
2
t
 x  2 y  4
 3  y   2 y  4

Phương trình 1  3 y 2  2.3t y  9t  4t  0 . Phương trình phải có nghiệm nên:
2t

3
1
3
  9  3  9  4   0      t  .
2
2
2
t

t

t

0  x  y  3
Do đó:  2
 x 2  2  x  0; 1 ( vì x   )
2
x

2
y


2

Thử lại:
t  log 4 2
 y  3t

9
Với x  0   2

t
log 4 2
 2 y  4
y  3 9


Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
1


TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
t
t  0
1  y  3
Với x  1  

2
t
y  0
1  2 y  4

 y  3t  1
Với x  1   2
 2.9t  4.3t  3  4t  0
t
 2 y  1  4

 2

Khi t  0  9t  4t nên  2  vô nghiệm, khi t  0  4t  1  1  4t  0 nên  2  cũng vô nghiệm.
Vậy x  0;1 .

 x; y 

Câu 39. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1  x  10 6 và

2

log 10 x 2  20 x  20   10 y  y 2  x 2  2 x  1 ?
A. 4 .

C. 3 .
Lời giải

B. 2 .

D. 1 .

Chọn D
2
Điều kiện: 10 x  20x  20  0 , đúng x   .
Ta
y2

có

log 10 x  20 x  20   10  y  x  2 x  1   x  2 x  1  log 10  x  2 x  2    10  y
2

2

2

2

y2

2

2

2

  x 2  2 x  1  log10  log  x 2  2 x  2   10 y  y 2
2

  x 2  2 x  2   log  x 2  2 x  2   10 y  y 2

 10



log x2  2 x  2

  log x 2  2 x  2  10 y  y 2
(*).


2

Xét hàm f  t   10t  t trên  .
Ta có f   t   10t.ln10  1  0 ,  t   . Do đó f  t  đồng biến trên  .
Khi

đó

(*)  f  log  x 2  2 x  2    f  y 2   log  x 2  2 x  2   y 2  x2  2 x  2  10 y
2

2

2

  x  1  1  10 y .
2
2
2
Vì 1  x  10 6 nên 1   x  1  1  10 y  10 6  1  1  0  y 2  log 106  1  1 .



2

Vì y    nên y 1;2;3 .

 x  2 (ktm)
2
2
+ Với y  1  x  2x  2  10  x  2x  8  0  
.
 x  4 (tm)
+ Với y  2  x2  2x  2  104  x2  2x  9998  0 (không có giá trị x nguyên nào thỏa mãn).
2
9
2
+ Với y  3  x  2x  2  10  x  2x  999999998  0 (không có giá trị x nguyên nào thỏa

mãn).
Vậy có một cặp nguyên dương  x; y    4;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 40. Có

bao
y

5

2  x 2

A. 10

nhiêu
y

 2  5x

2

số

nguyên

 x 1

  x  1 ?

y  10

sao

cho

tồn

tại

số

nguyên

x

thỏa

mãn

2

B. 1

C. 5
Phân tích

D. Vô số

Facebook Nguyễn Vương 25