Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2020

Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

BLOG TOÁN

Tµi liÖu «n thi
THPT quèc gia
N¨m 2020
Họ và tên học sinh: ………………….
Lớp: ………………………………….

/>
/>

Trang 1
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Lời nói đầu !
Xin lấy một đoạn trích từ tiểu thuyết trinh thám rất nổi tiếng
“ Phía sau nghi can X” của tác giả Higashino Keigo làm lời
nói đầu, đây cũng là suy nghĩ của rất nhiều thầy, cô giáo dạy
toán, chúc các em học sinh tìm được niềm yêu thích học toán,
học toán vui vẻ và thắng lợi trong các kì thi sắp tới !
……
- Thưa thầy, có những trường đại học không thi đầu vào bằng môn toán. Ai
thi vào những trường đó thì điểm môn toán thế nào mà chẳng được hả thầy.
Ishigami nhìn về phía có tiếng nói. Cậu học sinh tên là Morioka. Cậu ta đưa
tay gãi gãi gáy và nói với các bạn xung quanh:”Mọi người nhỉ!”

Tuy không phải là giáo viên chủ nhiệm nhưng Ishigami cũng biết cậu
Morioka nhỏ con này là thủ lĩnh của lớp. cậu ta bị nhắc nhở nhiều lần vì lén
dùng xe máy đi học.
- Em sẽ thi trường như thế hả Morioka? – Ishigami hỏi.
- Nếu thi thì em sẽ chọn trường như thế tuy bây giờ em chưa muốn học lên
đại học. nhưng dù thế nào thì lên lớp mười hai, em sẽ không học môn toán
nữa. Điểm toán sẽ chẳng quan trọng gì đối với em. Ngay cả thầy cũng mệt vì
phải dạy những đứa dốt như bọn em rồi. Thôi thì chúng ta, nói thế nào nhỉ,
hãy cư xử như người lớn với nhau.
Cả lờp cười ồ lên trước câu nói cuối cùng của Morioka. Ishigami mỉm cười.
- Nếu em nghĩ tới các thầy thì hãy đỗ trong kì thi lại lần tới. Phạm vi chỉ có
phần vi phân và tích phân thôi. Chẳng có gì đáng kể cả.
Morioka tặc lưỡi một cái rất to. Cậu ta thu hai chân đang dạng ra hai bên
rồi vắt tréo lên nhau.
- Vi phân với tích phân thì có ích cho việc gì ạ? Có vẻ như chỉ phí thời gian.
Ishigami đang quay lên bảng, định chữa bài thi cuối kì nhưng anh quay lại
khi nghe thấy câu nói của Morioka. Đó là câu hỏi anh không thể bỏ qua.
- Em thích xe máy, đúng không nhỉ? Em đã xem đua xe bao giờ chưa?
Morioka bối rối gật đầu trước câu hỏi bất ngờ của Ishigami.
- Các tay đua không chạy xe với một vận tốc nhất định. Họ luôn luôn thay
đổi vận tốc, không chỉ để thích ứng với địa hình và hướng gió mà còn vì
những lý do mang tính chiến thuật nữa. Việc phán đoán ngay tức thì xem
chỗ nào nên giảm tốc, chỗ nào nên tăng tốc và tăng như thế nào sẽ quyết
định việc thắng hay thua. Em có hiểu không?
- Em hiểu, nhưng việc đó thì có liên quan gì tới toán học?
- Mức tăng tốc này chính là phép vi phân của vận tốc tại thời điểm đó. Còn
cự ly đua chính là phép tích phân của vận tốc liên tục thay đổi. trong một
cuộc đua, tất nhiên xe nào cũng chạy cùng một cự ly nhưng để giành chiến
/>
/>

Trang 2
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

thắng thì việc tính vi phân vận tốc sẽ là yếu tố rất quan trọng. Thế nào, có
phải vi phân và tích phân không có ích cho việc gì không?
Mặt Morioka có vẻ bối rối, có lẽ cậu không hiểu điều Ishigami vừa nói lắm.
- Nhưng mà những tay đua họ có nghĩ đến việc đó không? Tích phân với cả
vi phân ấy. em nghĩ thắng hay thua là bằng kinh nghiệm và cảm giác thôi.
- Tất nhiên. Nhưng những nhân viên hỗ trợ cho các tay đua thì có nghĩ đến
đấy. để lên chiến lược cho tay đua, họ sẽ phải mô phỏng thật chi tiết nhiều
lần xem tăng tốc ở đoạn nào và tăng tốc như thế nào thì có thể giành phần
thắng. khi ấy họ phải dùng đến phép tích phân và vi phân. Có lẽ bản thân họ
cũng không biết là mình đang sử dụng tích phân và vi phân nhưng việc học
sử dụng phần mềm có ứng dụng vi phân và tích phân là sự thật.
- Nếu thế thì chỉ cần người làm ra phần mềm đó học toán thôi phải không ạ?
- Có lẽ vậy, nhưng không hẳn là em sẽ không trở thành người như vậy phải
không Morioka?
Morioka ưỡn người ra đằng sau.
- Em không trở thành người như thế đâu.
- Không phải là em thì sẽ là ai đó đang có mặt ở đây. Giờ toán là để cho một
ai đó như thế. – Ishigami nhìn xuống cả lớp. – Thầy nói cho các em biết,
những điều thầy đang dạy các em mới chỉ là cánh cửa để bước vào thế giới
toán học mà thôi. Nếu các em không biết cánh cửa đó ở đâu thì các em
không thể đi vào bên trong được. tất nhiên, em nào không thích thì không
cần vào. Thầy kiểm tra các em là chỉ muốn xem các em có biết cổng vào ở
chỗ nào hay không thôi.

“Suy nghĩ, suy nghĩ, suy nghĩ nữa”.
“Nghiên cứu khoa học giống như khoan gỗ, có người thích khoan gỗ mỏng,
còn tôi thích khoan gỗ dày”.
Anbe Anhxtanh
/>
/>

Trang 3
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và các vấn
đề liên quan
1.Bảng các đạo hàm
x n   n.x n 1
u n   n.u n 1.u 

 

 

 x  2


 u



1

x

1
 1 
   2
x
x
 x   1 , c  0 ,

u

2 u

tại điểm M  x 0 ; y0  có hệ số góc là

af  x   0



PT 3 với đồ thị hàm số y  f  x 

tại điểm M  x 0 ; y0  có dạng :
M được gọi là tiếp điểm
x 0 được gọi là hoành độ của tiếp điểm
y 0 được gọi là tung độ của tiếp điểm

f '  x 0  được gọi là hệ số góc của tiếp

y  0 vô nghiệm.



/>
f   x0 

y  f   x 0  x  x 0   y 0 , y0  f  x 0 


b
2

  b 2  4ac     b   ac  , b  
4
2

+) Nếu   0    0  phương trình

af  x   0

0

b

 x1  x 2   a
x1; x 2 ta có 
 x .x  c
 1 2 a
3. Phương trình tiếp tuyến ( PT 3 )
 PT 3 với đồ thị hàm số y  f  x 





af  x   0

Định lý vi-et: Khi phương trình
bậc hai
2
ax  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm

 Định lý về dấu của tam thức bậc
hai y  ax 2  bx  c  a  0 

X
Y

0



1
  u
tan
u


cos 2 x
cos 2 u
1

u
 cot x    2
 cot u    2
sin x
sin u
2. Xét dấu biểu thức.
 Định lý về dấu của nhị thức
bậc nhất y  f  x  =ax  b  a  0 

af  x   0

af  x   0

y

 tan x  

Y

af  x   0

 b    b   

, sắp xếp hai
2a
a
nghiệm x1  x 2
x

x1

x2

 cos u   u.sin u

b
a
0

af  x   0



x

 cos x    s inx





y  0 có hai nghiệm phân biệt

 s inx   cos x



x

+) Nếu   0    0  phương trình

u
 1 
   2
u
u
 u  v   u  v
 u  u v  uv
  
v2
v
 sin u   u.cos u

X

b
2a
b

2a
0

có nghiệm kép x1,2  

y

 k.u   k.u
 uv   uv  uv

+) Nếu   0    0  phương trình y=0

tuyến.
 Nếu PT 3 song song với đường
thẳng y  ax  b thì f   x 0   a


Nếu PT 3 vuông góc với đường
1
thẳng y  ax  b thì f   x 0   
a
/>

af  x   0


Trang 4
Lê Trung Kiên
 Nếu PT 3 tạo với trục 0x một góc
 thì f   x 0    tan 
 Nếu PT 3 cắt hai trục tọa độ tạo
thành một tam giác vuông cân thì
f   x 0   1
4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số
 Tính đạo hàn f   x  , tìm các
điểm x i  i  1, 2...n  mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
 Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
 Nêu các kết luận về sự đồng biến
nghịch biến của hàm số

5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số
 Tính f   x  , tìm các
điểm x i  i  1, 2...n  mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
 Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên
 Từ bảng biến thiên suy ra các
điểm cực trị của hàm số.
6. Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
 Tìm tập xác định
 Tính f   x  , giải phương trình

f   x   0 và kí hiệu x i  i  1, 2...n  là các
nghiệm của nó.
 Tính f   x  và f   x i 


Nếu f   x 0   0 thì x 0 là điểm

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm
số liên tục trên một đoạn.
 Tìm các điểm x1 ; x 2 ; ...; x n trên

 a; b  mà tại đó f   x   0 hoặc không

xác định.
 Tính
f  a  ; f  x1  ; f  x 2  ;...; f  x n  ;f  b  .

 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ
nhất m trong các số trên. Khi đó:
M  max f  x  , m  min f  x 
a;b 

a;b 

Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể
lập bảng biến thiên của hàm số trên
khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết
luận. Không phải hàm số nào cũng có
GTLN, GTNN.
8. Đường tiệm cận
 Đường tiệm cân ngang: y  y 0 là
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y  f  x  nếu: lim f  x   y 0
x 

 Đường tiệm cận đứng: x  x 0 là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y  f  x  nếu lim  
x  x0

9. Tương giao của hai đồ thị.
 Xét hai hàm số y  f  x  và

y  g  x  tọa độ giao điểm của đồ thị hai
hàm số là nghiệm của hệ phương trình.

 y  f  x 

 y  g  x 


Đường thẳng y  ax  b là PT 3

cực tiểu.
 Nếu f   x 0   0 thì x 0 là điểm

của đồ thị hàm số y  f  x  , khi và chỉ khi

cực đại.
Chú ý nếu f   x0   0 thì ta không kết

phương trình 

luận được về tính cực trị hàm số tại x 0

/>
f  x   ax  b
có nghiệm.
f   x   a

/>

Trang 5
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

10. Một số hàm số thường gặp:

10.1 Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Các dạng đồ thò:
a>0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
  ’ = b2 – 3ac > 0

a<0

y

y

I
0

x

0

I

x

y’ = 0 có nghiệm kép
  ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
  ’ = b2 – 3ac < 0

y

y
I

0

I

x

0

x

Một số cơng thức cần nhớ:
 y '  3a 2  2bx  c







Hàm số khơng có cực trị: b 2  3ac  0
Hàm số có hai điểm cực trị: b 2  3ac  0

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về
2 phía 0y): ac  0
Hàm số có hai cực trị cùng dấu( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về một phía
 '  0
trục 0y): y '  3a 2  2bx  c có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
 x1.x2  0
Hàm số có hai cực trị cùng dương ( đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên phải
 '  0

2
trục 0y: y '  3a  2bx  c có hai nghiệm dương phân biệt  x1 x2  0
x  x  0
 1 2

/>
/>

Trang 6
Lê Trung Kiên






THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Hàm số có hai cực trị cùng âm (đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên trái trục
 '  0


0y ): y '  3a 2  2bx  c có hai nghiệm âm phân biệt  x1 x2  0
x  x  0
 1 2
Phương trình y  0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng: Phương trình có ba
b
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là: 
3a
Phương trình y  0 có ba nghiệm tạo thành một cấp số nhân: Phương trình có ba
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là:  3



d
a

4e  16e3
a

Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của hàm số:

,e 

b 2  3ac
9a

10.2. Hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c (a  0) :
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thò:
a>0

a<0
y

y

y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
 ab < 0
0

y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
 ab > 0

0

x

0

x

x

y

y

0

x

Một số cơng thức cần nhớ:
x  0
1. y '  4ax  2bx  0   2
b
x  
2a

2. Hàm số có một cực trị  ab  0
3. Hàm số có ba cực trị ab  0
3

/>
/>

Trang 7
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

a  0
4. Hàm số có đúng một cực trị và là cực tiểu: 
b  0
a  0
5. Hàm số có đúng một cực trị và là cực đại: 
b  0
a  0
6. Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại: 

b  0
a  0
7. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu: 
b  0

b   
b  
2
8. Đồ thị hàm số có ba cực trị A  0;c  , B    ;
 ; C   ;
 với   b  4ac
2a 4 a  
2a 4 a 

cần điều kiện  ab  0  và
Tam giác ABC vuông cân:

b3
1  0
8a

b3
Tam giác ABC đều:
3 0
8a
Diện tích tam giác ABC:

b 5
32a 3

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

b 3  8a
8ab

9. Phương trình y  0 có 4 nghiệm tạo thành một cấp số cộng: b 2 

/>
100ac
9

/>

Trang 8
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

ax  b
(c  0, ad  bc  0) :
cx  d
 d
ad  bc
 Tập xác đònh D = R \   , y ' 
2
 c
 cx  d 

10.3. Hàm số y 

d
a
và một tiệm cận ngang là y  . Giao điểm
c
c
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
 Các dạng đồ thò:
 Đồ thò có một tiệm cận đứng là x  

y

y

0

x

0

ad – bc > 0

x

ad – bc < 0

Các cơng thức cần nhớ:
Diện tích hình chữ nhật tạo thành giữa hai tiệm cận và hai trục tọa độ 

d a
.

c c

Điểm thuộc đồ thị thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai cực trị là nhỏ nhất có hồnh
2
độ là nghiệm của phương trình:  cx  d   ad  bc

/>
/>

Trang 9
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Chủ đề 2: Mũ, Lô-ga
1. Bảng các đạo hàm
 x   '  x 1
 u   '  u 1.u '

 x   1

c  0

1
1
 '   2
x
x
1
x '

2 x
 u  v  '  u ' v '

u'
1
 '   2
u
u
u'
u '
2 u
 uv  '  u ' v  v ' u

 u  u ' v  v 'u
 ' 
v2
v
 s inx   cos x

 ku  '  k.  u  '

 cos x    s inx

 cos u    sin u.  u 

1
cos 2 x
1
 cot x    2
sin x

x
x
e  '  e

1
 u 
2
cos u
1
 cot u  '   2  u 
sin u
u
u
 e  '  e .u '

 ln x  '  1x

 ln u  '  uu'

 

 t anx  

 a x  '  a x ln a

 log

a

x ' 

1
x ln a

 sin u   cos u. u 

 tan u  

 a u  '  a u .ln a.u '

a

 ab 



a b



lg b  log b  log10 b

u ' 

b 
log a  1   log a b1  log a b 2
 b2 
log a b    log a b
1
log a n b  log a b

n
log c b
log a b 
;log a b.log b c  log a c ,
log c a
1
log a b 
log b a
1
log a  b  log a b ,

4. Phương trình- Bất phương trình mũ.
a)Phương trình mũ
 Dạng cơ bản:
x
a  b  a  0, a  1
nếu b  0 phương trình vô nghiệm, nếu b>0
phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b


Đưa về cùng cơ số
a
 a g (x )  f (x)  g(x)
 Đặt ẩn phụ
Dạng 1: A.a 2x  B.a x  C  0 đặt
t  a x  t  0  phương trình trở thành
f (x )

u'
u ln a

2. Các công thức lũy thừa
0
a n  a.a...a
 , a  1 a n  1
n
an
m
a  a   a 
n m
n
a  a
 
a

a
 a 



a
a


ln a  log e a;

log a  b1b 2   log a b1  log a b 2

 

 log

log a  a    



a
a

 
b
b
3. Các công thức Loogarít
log a b    a   b ,

log a 1  0

A.t 2  Bt  C  0
Dạng 2:
x
A.a 2x  B  ab   C.b 2x  0
2x

x

a
a
 A.    B    C  0
b
b

x

a
Đặt t     t  0 
b
Dạng 3:
A.a x  B.b x  C  0 với ab  1

hoặc a x .b x  1 ta đặt t  a x  t  0  . Khi đó b x 

a loga b  b
/>
/>
1
t


Trang 10
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

 Loogarít hóa
Với M, N  0 và a  0, a  1
M  N  log a M  log a N
a

f x

t  log a x  log x a 



Mũ hóa
log a b  c  b  a c

 M  f  x   log a M

 Dùng tính đơn điệu:
Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn
điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
b)Bất phương trình mũ
 a  1: a f ( x )  a g(x )  f (x)  g(x)
 0  a 1
a f (x )  a g(x )  f (x)  g(x)


Chú ý b  a loga b

5. Phương trình- Bất phương trình lôgarít
a)Phương trình lôgarit


Dạng cơ bản

log a x  b  x  a b  a  0, a  1
f (x)  0
Chú ý: điều kiện log a f (x) là 
a  0; a  1
 Đưa về cùng cơ số

f (x)  g(x)
log a f (x)  log a g(x)  
f  x   0
f (x)  g(x)

g  x   0



Đặt ẩn phụ

Dạng 1:
A(log a x) 2  B  log a x   C  0
đặt t  log a x  At  Bt  C  0 ,
2

chú ý  log a b   log a2 b
2

Dạng 2:
A log a x  B log x a  C  0 đặt
/>
1
 x  0, x  1
t

 Dùng tính đơn điệu
Dự đoán nghiệm của phương trình, dùng tính đơn
điệu để chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
b)Bất phương trình lôgarit

 a>1
f (x)  g(x)
log a f (x)  log a g(x)  
f (x)  0
 0  a 1
f (x)  g(x)
log a f (x)  log a g(x)  
g(x)  0
6. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT
6.1.LÃI ĐƠN:là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền
gốc mà không tính trên số tiền lãi do gốc sinh ra,
tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính
vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến
kì hạn người gửi không đến rút tiền gửi ra.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng
A đồngới lãi suất đơn r%/kì hạn thì số tiền khách
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn
(0.1)
 n  N *  là: Sn  A 1  nr 
Chú ý trong các bài toán lãi suất cà các bài toán
r
liên quan, r% là
.
100
Ví dụ: Thầy A gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng
với lãi suất đơn 7%/năm thì sau 5 năm số tiền thầy
A nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
A.13,5 triệu B. 16 triệu
C.12 triệu
D. 12,7 triệu

LG :Số tiền cả gốc lẫn lãi của thầy A nhận được
sau 5 năm là : S5  10. 1  5, 7%   13,5(tr )
6.2.LÃI KÉP : là tiền lãi của kì hạn trước nếu
người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để
tính lãi cho kì hạn sau.
Công thức tính : Khách hàng gửi vào ngân hàng
A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn
 n  N *  là : Sn  A. 1  r n (0.2)

/>

Trang 11
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

VD1 :Ông A gửi tiết kiệm 75 triệu vào ngân hàng
theo kỳ hạn 3 tháng và lãi suất 0,59%/tháng. Nếu
Ông A không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3
năm ông A nhận được số tiền là bao nhiêu :
A.92576000
B. 80486000
C. 92690000
D. 90930000
LG : đấy là bài toán lãi kéo, chu kỳ một quý lãi
suất 3.0,59%=1,77%.
Sau 3 năm(12 quý), số tiền thu được cả gốc lẫn lãi
12
là : 75. 1  0, 0177   92576000 (đồng)

VD2 : Anh B gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng
theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi
suất 1,85% một quý. Hỏi thời gian nhanh nhất là
bao lâu để anh B có được ít nhất 36 triệu đồng tính
cả vốn lẫn lãi.\
A.19 quý
B. 15 quý
C. 4 năm
D. 5 năm
LG :Gọi n là số quý cần tìm, từ giả thiết ta có n là
số
tự
nhiên
nhỏ
nhất
thỏa
mãn
n
27 1  0, 0185   36 (dùng Shift Solve để tìm n).
Ta có n=16 quý tức là 4 năm)
6.3.TIỀN GỬI HÀNG THÁNG :Mỗi tháng gửi
đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định.
Công thức tính : Đầu mỗi tháng khách hàng gửi
vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% một
tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn
lãi sau n tháng  n  N *  là :

A
n
Sn  1 r  1 1 r 

(0.3)


r
VD1 :Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân
hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với
lãi suất 0,6% mỗi tháng.Biết sau 15 tháng người
đó có số tiền là 10 triệu đồng.Hỏi số tiền T gần
với số tiền nào nhất trong các số sau ?
A.535.000
B. 635.000
C. 613.000
D. 643.000
LG :
T 
15
10.000.000 
1  0, 6%   1 . 1  0, 6% 


0, 6% 
 T  635.000
VD2 :Đầu mối tháng anh A gửi vào ngân hàng 3
triệu đồng với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Hỏi sau ít
nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi)
/>
thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở
lên. ?
A.30 tháng
B. 31 tháng

C. 40 tháng D. 35 tháng
 100.0, 006 
LG: n  log1,006 
 1  30, 3117 . Vậy
 3.1, 006

chon đáp án B.
VD3: Đầu mỗi tháng chị N gửi vào ngân hàng số
tiền 3 tỷ đồng.Sau 1 năm chị N nhận được số tiền
cả gốc và lãi là 40 tỷ đồng.Hỏi lãi suất ngân hàng
là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?
3
12
Ta có 40  1  r   1 1  r 

r
X=0,016103725.Vậy lãi suất là 1,61% mối tháng.
6.4.GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI
HÀNG THÁNG.
Công thức: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi
suất r% một tháng.Mối tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, rút ra số tiền X đồng. Tính số tiền còn lại
sau n tháng là bao nhiêu?
Công thức số tiền còn lại sau n tháng là:
S n  A 1  r 

n

1  r 
 X.

n

1

(0.4)
r
VD1:Mẹ Lam gửi ngân hàng 20 tỷ với lãi suất
0,75% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng
tính lãi, mẹ Lam đến ngân hàng rút 300 triệu đồng
để chi tiêu.Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong
ngân hàng là bao nhiêu?
A.11 tỷ
B.15 tỷ
C.13 tỷ
D.16 tỷ
LG:
24
1
24
9
6 1, 0075 
S 24  20.10 . 1,0075   300.10 .
0, 0075

 16, 07.109
đồng. Chọn D.
VD2: Bố Lam gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi
suất 0,7% mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân
hàng tính lãi , Bố Lam rút một số tiền như nhau để

chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng Bố Lam rút ra là
bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
A. 300.000đ
B.450.000đ
B. C.402.000đ D.409.000đ

/>

Trang 12
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

LG: 0  20.10 1  0, 7% 
6

5.12

1  0, 7% 
 X.

C. Gần 954 triệu

5.12

1  0, 7%

X = 409367,376. Chọn D
6.5.VAY VỐN TRẢ GÓP: Vay ngân hang số
tiền là A đồng với lãi suấ r%/tháng.Sau đúng một

tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ;hai lần
hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng
hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau
đúng n tháng.
a)Công thức: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng
giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hang và
rút tiền hang tháng: S n  A 1  r 

n

1  r 
 X.

n

1

r
b)VD1: Mẹ Lê vay trả góp ngân hàng số tiền 50
triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong vòng 2
năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao
nhiêu?
A.136.200
B.124.000
C.115.400
D.168.000
5.107. 1, 0115  .0, 0115

D. Gần 700 triệu

1, 07 

12

S36  3.106.12.

0, 07

1, 0115 

48

1

 1361312,802

đồng
VD2: Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500
triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng, mỗi tháng trả
15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả
hết nợ?
A. 40 tháng
B.50 tháng
C.45 tháng
D.48 tháng

500. 1, 009 

n

1, 009 
 15.

n

1

 0 giải
0, 009
được n=39,80862049. Chọn A.
6.6.BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG: Một người
được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ n
tháng thì lương người đó được tăng thêm r%
/tháng. Hỏi sau nk tháng người đó được lĩnh tất cả
bao nhiêu?
LG:

Công thức tính: S kn

1  r 
 Ak .

k

1

(0.6)
r
VD: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3
triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó

được tăng thêm 7%/ tháng. Hỏi sau 36 tháng thì
người đó lính được tất cả bao nhiêu?
A.Gần 644 triệu
B.Gần 623 triệu
/>
 643984245,8

đồng. chọn A.
6.7.BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
Công thức S  A.e n.r . n: sau n thời gian, r: Tỉ lệ
tăng.S: tổng số dân số sau n năm.
VD:Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo
công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân
số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2003 dân số
thế giới vào khoảng 7095 triệu người.Dự đoán dân
số năm 2010?
LG:Theo công thức tang trưởng mũ thì dự đoán
dân số năm 2010 là S  7095.e7.0,0132  7781 triệu.

48

LG: X 

1

/>

Trang 13
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
1

 tan(ax  b)dx   a ln cos(ax  b)  C

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1. Bảng các nguyên hàm- tích phân
 Các nguyên hàm cơ bản

x



dx 

x

 1

 1

1

 co t(ax  b)dx  a ln sin(ax  b)  C

 C,   1,   

e

1

 xdx  ln x  C ,  dx  x  c ,
1

x

2



 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

dx  tan x  C
dx  co t x  C

 tan xdx   ln cos x  C
x




x

dx 

x



x

ln 

 C ,  > 0,  1

Các nguyên hàm thường dùng
1 (ax  b) 1
 (ax  b) dx  a   1  C,  1,  


1

 ax  bdx 

x

2

a

2

ln ax  b
a

C

sin(ax  b)
C
 cos(ax  b)dx 
a
cos(ax  b)
C
 sin(ax  b)dx  
a

1 ax  b
e
C
a

 ax  b
 C ,  > 0,  1
a ln 

2 x C

x
2



C

dx

x



 co t xdx  ln sin x  C
 e dx  e

dx 

ax  b
  dx 

1
C
x

dx  

ax  b

dx
1
x
 arctan  C
2
a
a
a
dx
1
xa

ln
C
2
a
2a
xa
dx
1
ax

ln
C
2
x
2a
ax

dx
x p
2

dx
a x
2

2

 ln x  x 2  p  C

 arcsin

x
C
a

b) Nếu F(x) là một nguyên hàm f(x) thì
b

b

 f  x dx  F  x  a  F(b)  F(a)
a

c) Tính tích phân.
 Phương pháp đổi biến số
dạng 1

b

I   f    x   .  x  dx
b

Đặt t    x  . Khi đó
b

 b 

b

 a 

I   f    x   .  x  dx 

 f  t  dt

t    x   dt    x  dx

1
1
 cos2 (ax  b)dx  a tan(ax  b)  C

Chú ý:

1
1
 sin2 (ax  b)dx   a co t(ax  b)  C

 Phương pháp đổi biến số
dạng 2.

/>
g(t)    x   g  t  dt    x  dx

/>

Trang 14
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

b

b

I   f  x  dx

S   f  x   g  x  dx .

a

a

Đặt x    t  . Với  là hàm số có đạo hàm liên tục
trên  ;  , trong đó a      ; b      .Khi đó
b



a



đổi dấu trên đoạn  a; b  thì :
b

I   f  x  dx   f  (t)    t dt

x a
2


a

x  asint

a2  x2
1
2
a  x2

a=tant

b


a

Chủ đề 4: Số phức
 Số phức Z  a  bi , a là phần
thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số i 2  1
 Mô đun của số phức Z  a  bi



Phương pháp tích phân từng phần
b b
a udv  uv a  a vdu

được tính bởi công thức

Chú ý:

Z  a 2  b2

du  f   x  dx
u  f  x 


dv  g  x  dx  v   g  x  dx

 dx

P(x)sinx

u
dv

P(x)
Sinxdx
x

P(x)cosx



Z
Z1
 1
Z2
Z2
Cho số phức Z  a  bi thì số

Z  a  bi

Cho Z1  a  bi,



P(x)lnx

Z 2  c  di

Z1  Z2   a  c    b  d  i

Z1Z2   ac  bd    ad  bc  i

hoành,x=a; x=b (a

Z2  ac  bd   ad  bc 
 2
 2
i
Z1
a  b2
a  b2


 Z1  0 

Nếu a là một số thực âm thì căn

bậc hai của a là: i a

b

S   f  x  dx



Các nghiệm của phương trình
ax  bx  c  0  a  0  khi   0 là:
2

Cho hai hàm số y  f  x  và

y  g  x  liên tục trên  a; b  . Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng

x=a, x=b. Khi đó diện tích S của D được tính bởi công
thức:

/>
Z1.Z 2  Z1 . Z 2

phức Z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của

 Diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  liên tục và trục







P(x)
Cosxdx

u
P(x)
lnx
x
dv
P(x)dx
e dx
d) Ứng dụng của tích phân.

a

a

quanh trục 0x được tính: V   f 2  x  dx

a
x
sin t

2

P(x) e

b

f  x   g  x  dx   f  x   g  x dx

 Thể tích V của khối tròn xoay
khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f (x) trục 0x và hai đường thẳng x=a, x=b xung

b

 dx

Hàm số y  f  x   g  x  không



x1,2 

b  i 
2a

.

/>

Trang 15
Lê Trung Kiên
Chủ đề 5: Lượng giác
1.Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin 2 x  cos 2 x  1

1
1
,1  cot 2 x 
2
cos x
sin 2 x
sin x
cos x
t anx 
, cot x 
, tan x cot x  1
cos x
s inx
2.Công thức cộng lượng giác
sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b
1  tan 2 x 

cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
t ana  tan b
tan  a  b  
1  tan a tan b
3.Công thức cung nhân đôi
sin 2a  2 sin a cos a
cos2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1
 1  2 sin 2 a
2 tan a
tan 2a 
1  tan 2 a
x
Chú ý: Nếu đặt tan  t thì ta có:
2
2t
1 t2
s inx 
;
cos
x

1 t2
1 t2
2t
1 t2
t anx 
;
cot
x


1 t2
2t
4.Công thức hạ bậc
1  cos2a
1  cos2a
cos 2 a 
; sin 2 a 
2
2
5. Công thức cung nhân ba
sin 3a  3sin a  4sin 3 a;

cos3a  4 cos3 a  3cos a
6.Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
ab
cos a  cos b  2cos 
 cos 

 2 
 2 
ab ab
cosa- cos b  2sin 
 sin 

 2   2 
ab
ab
sin a  sin b  2sin 

 cos 

 2 
 2 

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
7.Công thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos a cos b  cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a cos b  sin  a  b   sin  a  b  
2
8.Giá trị lượng giác của các góc liên quan.



Góc


2
GTLG

cos
 sin 
sin 
Sin

cos
cos sin 
Cos
 tan 
 tan  cot 
Tan
 cot 
 cot  tan 
Cot
9.Phương trình sinx=a
 a  1 phương trình vô nghiệm
sin   a

 a  1 có góc  :  

 2    2
Được gọi là arcsin a
sin f  x   sin g  x 

 f  x   g  x   k2

,k
 f  x     g  x   k2
 Các trường hợp đặc biệt

s inx  1  x   k2, k  
2
s inx  0  x  k, k  



 k2, k  
2
 Bảng sin các góc đặc biệt
Góc








2
3
4
6
0
0
0
90
60
45
300
sin
3
2
1
-1




2
2
2
s inx  1  x  

ab ab
sin a  sin b  2cos 
 sin 

 2   2 
/>
/>
 sin 
cos
tan 
cot 


Trang 16
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội





6
4

3
2
0
0
0
0
0
30
45
60
900
sin
1
2
3
0
1
2
2
2
10.Phương trình cosx=a
 a  1 phương trình vô nghiệm

Góc

0

cos  a
a  1 có góc  : 
0    

Được gọi là arc cosa
 cosf  x   cosg  x 


 f  x   g  x   k2

,k
 f  x   g  x   k2
 Các trường hợp đặc biệt
cosx  1  x  k2, k  


 k, k  
2
cosx  1  x    k2, k  
 Bảng cos các góc đặc biệt
Góc




0
6
4
3
2
0
0
0
0

0
30
45
60
900
cos
3
2
1
1
0
2
2
2
cosx  0  x 

Góc

cos

2
3
1200

3
4
1350

5
6

1500



Góc

tan

1
2
3


1
2
2
2
11.Phương trình tanx=a

 Đk: x   k, k  
2
 tan   a

 Luôn có góc  :  

 2    2
được gọi là arctana

Góc

Bảng tan các góc đặc biệt

3
600



6
300


4
450



1


4
450


6
300
 3
3




3
600

tan

3
1
3
12.Phương trình cotx=a
 Đk: x  k, k  

3

cot   a
Luôn có góc  : 
0    
được gọi là arccota
 cot f  x   cot g  x 


 f  x   g  x   k, k  

Góc

cot



/>
 f  x   g  x   k, k  

 3


1800

tan f  x   tan g  x 

Góc

cot

Bảng cot các góc đặc biệt




6
4
3
2
0
0
0
30
45
60
900
3
3

1
0
3

3
600




3
3


4
450


1


6
300


- 3

/>
0

00

0


Trang 17
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Chủ đề 6: Tổ hợp xác suất
1. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai
hành động. Nếu hành động này có m cách thực
hiện, hành động kia có n cách thực hiện không
trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất
thì công việc đó có m  n cách thực hiện
2. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động
liên tiếp. Nếu có m cách thực thiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành.
3. Hoán vị
Cho tập hợp a gồm n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả
của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ta kí kiệu số các hoán vị của n phần tử là
Pn  n  n  1 ...2.1  n!
4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 . Kết quả

của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp
chúng theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp
chập k của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
n!
là: A kn 
 n  k !
5. Tổ hợp
Giải sử tập hợp A có n phần tử  n  1 . Mỗi tập
con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k
của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là :
n!
C kn 
k! n  k !

0
a n  a.a...a
 , a 1

n

m
n

a  n am
a
 a 
a

 ab 



1
an
a  a   a 
a n 

a 

 

 a 



 a  b

a
a

 
b
b
7. Phép thử và biến cố
Kí hiệu
Ngôn ngữ biến cố
Không gian mẫu


A là biến cố
A
A
A là biến cố không
A là biến cố chắc chắn
A
C  AB
C là biến cố: “A hoặc B”
C  AB
C là biến cố: “A và B”
AB  
A và B xung khắc
B  A   \ A A và B đối nhau
8. Xác suất của biến cố



P A 

n A

n 

P  A  : Xác suất của biến cố A.
n  A  : Số phần tử của A; n    : số các kết quả
xảy ra của một phép thử.
 P     0, P     1


0  P A  1



A, B xung khắc:
P  A  B  P  A   P  B



P A  1 P A



A và B là hai biến cố độc lập:
 P  A.B   P  A  .P  B 

 

Ckn  Cnn  k ; Ckn 11  Ckn 1  Ckn

6. Công thức nhị thức Niu-Tơn
n
 a  b   C0n a n  C1n a n 1b  ...  Ckn a n k bk  ...
n

 Cnn 1ab n 1  Cnn b n   Ckn a n  k b k
k 0



Nhắc lại các công thức lũy thừa

/>
/>

Trang 18
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
d. Tổng n số hạng đầu tiên:
n(u1  un )
Sn  u1  u2  ...  un 
=
2
n 2u1  (n  1)d 

Chủ đề 7 : Dãy số- Cấp số cộng-Cấp số nhân
1. Dãy số
a. Dãy số
u : *  
n  u( n)
Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
b. Dãy số tăng, dãy số giảm
 (un) là dãy số tăng
 un+1 > un với  n  N*.
 un+1 – un > 0 với  n  N*
u
 n1  1 với n  N* ( un > 0).
un

2

3. Cấp số nhân

a. Đònh nghóa:
(un) là cấp số nhân  un+1
= un.q với n  N*
(q: công bội)
với n  2
c. Tính chất các số hạng:

uk2  uk 1.uk 1

 (un) là dãy số giảm
 un+1 < un với n  N*.
 un+1 – un< 0 với  n  N*


un1
un

un  u1.q n1

b. Số hạng tổng quát:

với k  2

d. Tổng n số hạng đầu tiên:
 Sn  nu1
với q  1


n
 S  u1 (1  q )
với q  1
 n
1 q

 1 với n  N* (un > 0).

c. Dãy số bò chặn
 (un) là dãy số bò chặn trên  M  R: un
 M, n  N*.
 (un) là dãy số bò chặn dưới  m  R: un
 m, n  N*.
 (un) là dãy số bò chặn  m, M  R: m 
un  M, n  N*.
2. Cấp số cộng
a. Đònh nghóa: (un) là cấp số cộng
 un+1 = un + d, n  N*
(d: công sai)
b. Số hạng tổng quát:
un  u1  (n  1)d
với n  2
c. Tính chất các số hạng:
u u
uk  k 1 k 1
2

với k  2

/>

/>

Trang 19
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Chủ đề 8 : Giới hạn
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim  0 ;
lim
 0 (k    )
k
n n
n n

lim c  c ;

x 

lim q n  0 ( q  1) ;
lim C  C

n

b. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1
1 q

lim qn   (q  1)
b. Đònh lí:
a

0

a


0
 a.  

xk

0

a0
a0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 
đònh: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử
0 
dạng vô đònh.
5. Hàm số liên tục
a. Hàm số liên tục tại một điểm:
y = f(x) liên tục tại x0

 lim f ( x )  f ( x0 )

2. Giới hạn vô cực của dãy số
a. Giới hạn đặc biệt:

lim n  

c

x 

b. Đònh lí:
a

0

a


0
 a.  

n

lim

lim nk   (k    )

x  x0

b. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0
thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.

a0
a0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 
đònh: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử
0 
dạng vô đònh.
3. Giới hạn hữu hạn của hàm số
a. Giới hạn đặc biệt:
lim x  x0 ; lim c  c (c: hằng số)
x  x0

x  x0

b. Giới hạn một bên:
lim f ( x )  L
x  x0

 lim  f ( x )  lim  f ( x )  L
x  x0

x  x0

4. Giới hạn vô cực của hàm số
a. Giới hạn đặc biệt:
 nếu k chẵn

lim x k   ; lim x k  
x 
x 
 nếu k lẻ
/>
/>

Trang 20
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
S  4r 2 , V 

Chủ đề 9: Hình học không gian

1. Công thức tính thể tích các hình:
 Công thức tính thể tích hình lập phương:
V  a3
 Công thức tính thể tích hình hộp
chữ nhật: V  abc (a,b, c là ba kích thước)
 Công thức tính thể tích khối lăng
trụ : V  Bh (B: là diện tích đáy, h: là độ dài
đường cao)
 Công thức tính thể tích khối chóp
1
V  Bh (B: là diện tích đáy, h: là độ dài đường
3
cao)
 Hình, khối nón tròn xoay

1
Sxq  rl,Stp  rl  r 2 , V  r 2 h
3
2
2
2

Chú ý: l  h  r . Góc ASB được gọi là góc ở
đỉnh của hình chóp.
 Hình, khối trụ tròn xoay

Sxq  2rl;Stp  2rl  2r 2 ; V  r 2 h
Chú ý: l=h
 Hình, khối cầu.
/>
4 3
r
3

Chú ý:
+ Để tính diện tích,thể tích các hình, khối
nhiều khi ta phân chia hoặc thêm các hình, khối
để được hình,khối mới có diện tích, thể tích dễ
tính hơn.
+ Với những bài toán về tính thể tích khối
chóp đôi khi ta sử dụng định lý:
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC ta
lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó:
VS.A 'B'C' SA '.SB'.SC '


(bài tập 4 trang 25 sgk.)
VS.ABC
SA.SB.SC
2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu S(O; r) và mp (P).
Đặt h = d(O, (P)).
 h > r  (P) và (S) không có điểm chung.
 h = r  (P) tiếp xúc với (S).
 h < r  (P) cắt (S) theo đường tròn tâm H, bán
kính r  r 2  h2 .
3. Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp
 Mặt cầu đgl nội tiếp hình đa diện
nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của
hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại tiếp hình đa diện
nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên
mặt cầu.
 Một hình chóp có mặt cầu ngoại
tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn ngoại tiếp,
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của
đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy, vuông góc với mặt phẳng đa giác đáy và
mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
4. Các hình thường gặp:
 Hình chóp được gọi là hình chóp
đều nếu nó có đáy là đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đáy.
 Hình chóp cụt là hình tạo bởi
thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của
hình chóp và đáy.
 Hình chóp cụt đều là hình chóp

cụt hình thành do cắt hình chóp đều.
 Hình tứ diện là hình chóp tam
giác
 Hình tứ diện đều là hình chóp
tam giác có bốn mặt là các tam giác đều.

/>

Trang 21
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

 Hình lăng trụ là hình gồm hai
đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt
phẳng song song, các cạnh bên song song và bằng
nhau. Tùy theo đáy của hình lăng trụ là tam giác,
tứ giác ....ta có hình lăng trụ tam giác, tứ giác…
 Hình lăng trụ có đáy là hình bình
hành được gọi là hình hộp.
 Hình lăng trụ đứng là hình lăng
trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ
dài cạnh bên là chiều cao của hình lăng trụ đứng.
 Tùy theo đáy của hình lăng trụ
đứng là tam giác, tứ giác… ta có hình lăng trụ
đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác…
 Hình lăng trụ đứng có đáy là đa
giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
 Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

 Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật
 Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình vuông các mặt bên đều là hình vuông được
gọi là hình lập phương.
Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các cạnh và các
góc bằng nhau.
5. Các kiến thức về quan hệ vuông góc
 Để chứng minh một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh nó vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
phẳng
 Hai mặt phẳng vuông góc khi
mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng vuông góc thì
đường thẳng nào nằm trong mặt này vuông góc
với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
 Cách xác định khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
+) Để tính khoảng cách từ một điểm M xuống
mặt phẳng (P) ta thực hiện:
B1: Chọn trong (P) một đường thẳng a và
dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với a
B2: Xác định giao tuyến b của (Q) và (P).
B3: Dựng MH vuông góc với b thì MH là
khoảng cách từ M đến (P).
+) Chú ý:

/>
. Trước khi thực hiện chọn a và mặt phẳng (Q)

ta cần xem đường thẳng a và (Q) đã có trong hình
chưa.
. Ta chọn đường thẳng a sao cho mặt phẳng
(Q) dễ dựng nhất.
. Nếu có sẵn đường thẳng vuông góc với (P) thì
ta chỉ cần kẻ đường thẳng qua M và song song với
đường thẳng đó.
6. Một số công thức tính về hình học phẳng
a. Hệ thức hượng trong tam giác vuông

h
a 2  b 2  c2 ; b 2  a.b '; c 2  a.c '
1
1 1
ah  bc; h 2  b '.c '; 2  2  2
h
b c
2
2
b. Định lý cosin a  b  c 2  2bc cos A
c. Công thức tính diện tích tam giác
1
1
1
1
S  ah  ab sin C  bc sin A  sin B
2
2
2
2

abc
S
 pr  p  p  a  p  b  p  c 
4R
d. ABC là tam giác đều cạnh a thì: S 
;Đường cao=

a 3
;
2

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
7. Các loại khối đa diện đều

/>
a 3
3

a2 3
4


Trang 22
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Chủ đề 10: Phương pháp tọa độ trong
khơng gian
1.Các cơng thức véc tơ





 

a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) .





Là véc tơ vng góc với cả hai véc tơ a; b
4. Phương trình mặt cầu
 Phương trình mặt cầu tâm
I  a; b; c  bán kính R là:

a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )



ka  k (a1; a2 ; a3 )  (ka1; ka2 ; ka3 ) (k  R)



a1  b1

 a  b  a2  b2
a  b

 3
3

 x  a    y  b   z  c



x  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 là phươn trình

 Với b  0 : a , b cùng phương

mặt cầu tâm I  a; b; c  , bán kính



2

R  a 2  b 2  c 2  d nếu a 2  b 2  c 2  d  0
5. Phương trình mặt phẳng:
 Phương trình mặt phẳng  qua

Nếu: M là trung điểm AB, G là trọng tâm của tam
giác ABC thì ta có:


AB   x B  x A ; y B  y A ; z B  z A 
xA  xB  xC

xG 
3


y

y

B  yC
;  yG  A
3

zA  z B  zC

z G 
3


2. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng


 a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) .



a.b  a1b1  a2 b2  a3b3
2

2

 AB (xBxA) (yByA) (zBzA)



 cos(a,b) 






M(x 0 ; y0 ; z 0 ) có VTPT n   A; B;C  là

   : A  x  x 0   B  y  y0   C  z  z 0   0
Chú ý:

.VTPT là véc tơ  0 có giá vng góc với mặt phẳng,
. Nếu   : Ax  By  Cz  D  0 thì nó có một



VTPT n   A; B;C 
. Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì VTCP
của đường thẳng là VTPT của mặt phẳng



 



 

. Nếu n  a; b chọn n   a; b 





.Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT
. Phương trình mặt phẳng đặc biệt.

 0xy  : z  0;  0yz  : x  0;  0xz  : y  0

Một số loại viết phương trình thường gặp

 a  a12  a22  a32
2

 R2

Phương trình

a1  kb1

 k  R : a2  kb2
a  kb
 3
3



2

2

  

xA  xB

x

M

2

y

yB

A
 yM 
2

z

zB

A
z M 
2


2

ab
1 1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32. b12 b22 b32

a  b  a1b1  a2 b2  a3b3  0
3. Tích có hướng của hai véc tơ


 Cho a  a1 ; a 2 ; a 3  và b   b1 ; b 2 ; b3  .

  a a a a a a 
a; b    2 3 ; 3 1 ; 1 2 
 
 b 2 b3 b3 b1 b1 b 2 
  a 2 b3  a 3 b 2 ; a 3 b1  a1b3 ; a1b 2  a 2 b1 
/>
Loại 1: () đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTPT

n   A; B;C  :
(): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
Loại 2: () đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có cặp

 

VTCP a , b (hai véc tơ này không cùng
phương và vuông góc với    ):



 

Khi đó một VTPT của () là n   a , b  .
Loại 3:()đi qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  và song
song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
(): A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0
/>

Trang 23
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Loại 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,
B, C:
Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của
  
() là: n   AB, AC 
Loại 5: () đi qua một điểm M và một đường
thẳng (d) không chứa M:

– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .



– Một VTPT của () là: n   AM , u 
Loại 6: () đi qua một điểm M và vuông góc với
một đường thẳng (d):


VTCP u của đường thẳng (d) là một
VTPT của ().
Loại 7: () đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
 
– Xác đònh các VTCP a , b của các đường
thẳng d1, d2.
  
– Một VTPT của () là: n   a , b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M
 ().
Loại 8: () chứa đường thẳng d1 và song song
với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
 
– Xác đònh các VTCP a , b của các đường
thẳng d1, d2.
  
– Một VTPT của () là: n   a , b  .
– Lấy một điểm M thuộc d1  M  ().
Loại 9: () đi qua điểm M và song song với hai
đường thẳng chéo nhau d1, d2:
 
– Xác đònh các VTCP a , b của các đường
thẳng d1, d2.
  
– Một VTPT của () là: n   a , b  .
Loại 10: () đi qua một đường thẳng (d) và
vuông góc với một mặt phẳng ():


– Xác đònh VTCP u của (d) và VTPT n

của ().
  
– Một VTPT của () là: n  u , n  .
– Lấy một điểm M thuộc d  M  ().
Loại 11: () đi qua điểm M và vuông góc với
hai mặt phẳng cắt nhau (), ():
 
– Xác đònh các VTPT n , n của () và
/>
().



 

– Một VTPT của () là: n   n , n  .
Loại 12: () là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm
H:
– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính
R.
 
– Một VTPT của () là: n  IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng
cần nắm vững các cách xác đònh mặt phẳng đã
học ở lớp 11
6. Phương trình đường thẳng
 Phương trình đường thẳng qua

M(x 0 ; y0 ; z 0 ) có VTCP u   u1 ; u 2 ; u 3  là

 x  x 0  u1 t

d:  y  y 0  u 2 t là phương trình tham số
z  x  u t

0
3
x  x 0 y  y0 z  z0
hoặc


là phương trình chính
u1
u2
u3
tắc;  u1 , u 2 , u 3  0  ,

Chú ý:

.VTCP là véc tơ  0 có giá song song hoặc trùng với
đường thẳng.

. Đường thẳng qua A, B thì nó có một VTCP là AB
. Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng thì nó có
VTCP là VTPT của mặt phẳng,
. Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP.



 



 

. Nếu u  a; b chọn u   a; b 





. Phương trình đường thẳng đặc biệt:

x  t
x  0
x  0



0x :  y  0; 0y :  y  t ; 0z :  y  0
z  0
z  0
z  t



Một số loại viết phương trình thường gặp:

Loại 1 : d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có



VTCP u  (u1; u 2 ; u3 ) :
 x  xo  u1t

(d ) :  y  yo  u2t
z  z  u t
o
3


/>
( t  R)


Trang 24
Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Loại 2: d đi qua hai điểm
A,
 B:
Một VTCP của d là AB .
Loại 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song

M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ
đó suy ra phương trình đường thẳng d.
 Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) =

song với đường thẳng  cho trước:
Vì d //  nên VTCP của  cũng là VTCP của
d.
Loại 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông

VTCP của d có thể chọn là u   nP , nQ  .

góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d  (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP
của d.
Loại 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),
(Q):
 Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
– Tìm toạ độ một điểm A  d: bằng cách
( P )
giải hệ phương trình 
(với việc chọn giá
(Q )
trò cho một ẩn)

 
– Tìm một VTCP của d: u   nP , nQ 
 Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Loại 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông
góc với hai đường thẳng d1, d2:
Vì d  d1, d  d2 nên một VTCP của d là:
  
u  u d1 , ud2 
Loại 7: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc

và cắt đường thẳng .
 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của
M0 trên đường thẳng .
H

  
 M0 H  u

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua
M0, H.
 Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A
và chứa d. Khi đó d = (P)  (Q)
Loại 8: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai
đường thẳng d1, d2:
 Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2. Từ điều kiện
/>
( M0 , d2 ) . Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, một



 

Loại 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai
đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2 
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Loại 10: d song song với  và cắt cả hai đường
thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  và

d1, mặt phẳng (Q) chứa  và d2.
Khi đó d = (P)  (Q).
Loại 11: d là đường vuông góc chung của hai
đường thẳng d1, d2 chéo nhau:
 Cách 1: Gọi M  d1, N  d2. Từ điều kiện
 MN  d1
, ta tìm được M, N.

 MN  d2
Khi đó, d là đường thẳng MN.
 Cách 2:
– Vì d  d1 và d  d2 nên một VTCP của d
  
có thể là: u  u d1 , ud2  .
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d
và d1, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
 

nP  u, ud1  .
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng
(Q) chứa d và d2.
Khi đó d = (P)  (Q).
Loại 12: d là hình chiếu của đường thẳng  lên
mặt phẳng (P):
 d qua điểm M là giao của  và (P)
VTCT của d là:

 


ud   u  , nP  , nP  .


Loại 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1
và cắt d2:

/>