Luận văn sư phạm Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

L i nói đ u
L ng giác là m t trong nh ng v n đ r t quan tr ng c a Toán h c,
vi c v n d ng các h th c l ng giác trong tam giác đ đ a ra và ch ng minh
các đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác trong tam giác gi vai trò đ c bi t
trong gi i toán l ng giác. nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác là hai
h th c quan tr ng, là công c r t có hi u l c đ gi i quy t công vi c đó. H c
sinh đ c rèn luy n nhi u v các bài toán ch ng minh các đ ng th c, b t d ng
th c l ng giác không ch giúp cho h hi u rõ h n nh ng ng d ng c a các
đ nh lý này trong tính toán c ng nh trong th c t mà còn giúp h luy n t p
các k n ng gi i toán l ng giác.
góp ph n làm rõ tính u vi t c a hai đ nh lý này trong vi c gi i các
bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác không có đi u ki n
và có đi u ki n c ng nh v i mong mu n c a b n thân đ c n m ch c và sâu
h n v ki n th c l ng giác b c THPT đ sau này ra tr ng d y h c đ c
t t h n. M t khác, v i mong mu n giúp các em h c sinh không ch đào sâu
ki n th c, mà còn th y đ c vai trò h t s c quan tr ng c a ki n th c l ng
giác trong Toán h c. Chính vì nh ng lí do k trên, d i s h ng d n c a
th y giáo Phan H ng Tr ng, em đã nh n đ tài: “ nh lý côsin và đ nh

lý sin trong tam giác” làm khoá lu n t t nghi p cho mình.
Trong khoá lu n này, em xin đ c trình bày m t s v n đ quan tr ng
sau đây:
Ch ng I: M t s ki n th c c n thi t
Ch ng II: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác
không có đi u ki n.

Ch ng III: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác
có đi u ki n.
Khoá lu n t t nghi p đ c hoàn thành trong th i gian ng n nên khó
tránh kh i nh ng khi m khuy t và sai sót. Kính mong đ c s góp ý, trao đ i
c a các th y, cô giáo cùng toàn th các b n sinh viên trong khoa đ khoá lu n
này đ c hoàn thi n h n khi đ n v i b n đ c.
Hà N i, tháng 05 n m 2007
Sinh viên th c hi n
Th Ph ng


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

L i cam đoan
Tôi xin cam đoan Khoá lu n là công trình nghiên c u c a riêng tôi.
Trong quá trình nghiên c u, tôi đã k th a, v n d ng nh ng thành qu
nghiên c u c a các nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s trân tr ng và bi t n.
Nh ng k t qu nêu trong khoá lu n ch a đ

c công b trên b t k công

trình nào khác.

Hà N i, tháng 05 n m 2007
Tác gi

Th Ph

ng


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

Các kí hi u dùng trong khoá lu n

Trong tam giác ABC, ta kí hi u:
a, b, c: đ dài các c nh c a tam giác (a = BC, b = CA, c = AB);
A, B, C: ba góc

đ nh A, B, C c a tam giác;

ha, hb, hc: đ dài các đ

ng ng c a tam giác k t các đ nh A, B,

ng cao t

C;
ma, mb, mc: đ dài các đ

ng trung tuy n c a tam giác l n l

t k t các đ nh

A, B, C;
la, lb, lc: đ dài các đ
R, r: bán kính đ

ng phân giác trong c a các góc A, B, C t

ng ngo i ti p và n i ti p tam giác;

ra, rb, rc: bán kính các bàng ti p các góc A, B, C t
S: di n tích tam giác;
a bc 
p: n a chu vi c a tam giác  p 
.


2



ng ng;

ng ng;


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

M cl c
Trang
1

L i nói đ u
L i cam đoan

2

Các kí hi u dùng trong khoá lu n

3

Ch

ng I: M t s ki n th c c n thi t

4

Ch

ng II: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l
không có đi u ki n
I. Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l

Ch

ng giác

10

ng giác

không có đi u ki n
II. Gi i bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác
không có đi u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin và

10

đ nh lý côsin m r ng trong tam giác.
III. M t s ví d

10
11

IV. Bài t p đ ngh

32

ng III: Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l
có đi u ki n
I. Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l

ng giác
35

ng giác

có đi u ki n

II. Gi i bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác
có đi u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý côsin

35

m r ng trong tam giác.
III. M t s ví d

35
36

IV. Bài t p đ ngh

45

K t lu n

48

Tài li u tham kh o

50


Khoá lu n t t nghi p

Ch
I.

Th Ph

ng – K29B Toán

ng I: M t s ki n th c c n thi t

nh lý côsin trong tam giác:
nh lý: V i m i ฀ ABC, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA;
b2 = a2 + c2 – 2accosB;
c2 = a2 + b2 – 2bccosC;
H qu :

II.

b2  c 2  a 2
;
cos A 
2bc
cos B 

a 2  c 2  b2
;
2ac

cos C 

a 2  b2  c 2
;
2ab

nh lý sin trong tam giác:
V i m i ฀ ABC, ta có:
a
b
c


 2R .
sin A sin B sin C

III.

nh lý côsin m r ng:
Trong ฀ ABC b t kì, ta có:
b2  c 2  a 2
;
cot gA 
4S
cot gB 

a 2  c2  b2
;
4S

cot gC 

a 2  b2  c 2
;
4S

Ch ng minh:
Theo đ nh lý côsin, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA
= b2 + c2 – 2bcsinA.cotgA(*)
1
2

Ta l i có: S  bc sin A  sin A 

2S
thay vào (*) ta đ
bc

c:


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

a 2  b2  c 2  2bc.

Ch ng minh t

b2  c 2  a 2
2S
.cot gA  cot gA 
4S
bc

ng t , ta c ng đ

a 2  c2  b2
c: cot gB 
4S

cot gC 

a 2  b2  c 2
.
4S

IV. M t s ki n th c quan tr ng khác:
1. Công th c v di n tích tam giác:
1
1
1
S  aha  bhb  chc ;
2
2
2
1
1
1
S  ab sin C  acsinB  bc sin A;
2
2
2

abc

;
4R
S  pr ;

S

S

p( p  a )( p  b)( p  c) : Công th c Hê-rông;

S  ( p  a )ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc ;

2. Công th c v bán kính các đ
 Bán kính đ
S



r



ng tròn:

ng tròn ngo i ti p tam giác:

abc
a
b
c




4 R 2sin A 2sin B 2sin C

Bán kính đ

ng tròn n i ti p tam giác:

S
A
B
C
 ( p  a )tg  ( p  b)tg  ( p  c)tg
p
2
2
2

Bán kính đ

ng tròn bàng ti p tam giác:

ra 

S
A
 ptg ;
pa
2

rb 

S
B
 ptg ;
2
p b

rc 

S
C
 ptg ;
2
pc

3. Công th c trung tuy n c a tam giác:
b2  c 2 a 2
ma  2  4 ;
2

ng – K29B Toán


Khoá lu n t t nghi p

mb 
2

Th Ph

ng – K29B Toán

a 2  c2 b2
 ;
2
4

a 2  b2 c 2
mc  2  4 ;
2

4. Công th c phân giác trong c a tam giác:
la 

2bc
A 2 bc
cos =
bc
bc
2

p ( p  a );

lb 

2ac
B 2 ac
cos =

a c
a c
2

p( p  b);

lc 

2ab
C 2 ab
cos =
a b
a b
2

p ( p  c);

5. M t s đ ng th c l

ng giác c b n trong tam giác:

a, sinA + sinB + sinC = 4cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

b, sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA sinB sinC
c, cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

(1)
(2)
(3)

d, cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4 cosA cosB cosC

(4)

e, tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC ( ฀ ABC không vuông)
f, cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA = 1

(5)
(6)

g, cotg
h, tg

A

B
C
A
B
C
+ cotg + cotg = cotg cotg cotg
2
2
2
2
2
2

A
B
B
C
C
A
tg + tg tg + tg tg = 1
2
2
2
2
2
2

(7)
(8)

Ch ng minh:
A B
A B
cos
+ sinC
2
2

a, Ta có: sinA + sinB + sinC = 2sin
= 2cos

C
A B
C
C
cos
+ 2 sin cos
2
2
2
2
C
2

= 2cos ( cos
= 4 cos

A B
A B
+ cos

)
2
2

C
A
B
cos cos
2
2
2

V y công th c (1) đúng.
b, Ta có: sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A+B) cos(A-B) + 2sinC cosC


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

= 2sinC cos(A-B) - 2sinC cos(A+B)
= 2sinC[cos(A-B) - cos(A+B)]
= 4 sinC sinA sinB.
V y công th c (2) đúng.

c, Ta có: cosA + cosB + cosC = 2cos
= 2sin

A B
A B
cos
+ cosC
2
2

C
A B
C
cos
+ 1-2sin2
2
2
2

= 1 + 2sin

C
A B
A B
[cos
- cos
]
2
2
2

= 1 + 4 sin

C
A
B
sin sin .
2
2
2

V y công th c (3) đúng.
d, Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = 2cos(A+B) cos(A-B) + 2cos2C – 1
= -2cosC cos(A-B) – 2 cosC cos(A+B) – 1
= -1 – 2cosC[cos(A-B) + cos(A+B)]
= -1 - 4 cosA cosB cosC.
V y công th c (4) đúng.
e, Ta có: A + B + C =   A + B =  -C  tg(A+B) = tg(  -C)
 tg(A+B) = -tgC



tgA tgB
 tgC
1  tgAtgB

 tgA + tgB = -tgC + tgAtgBtgC
 tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC

V y công th c (5) đúng.
f, Ch ng minh t

ng t

công th c (5).

g, Ta có: A, B, C là 3 góc c a ฀ ABC . Khi đó:
 A  B
 C 3 A B  C
(  )(  )(  ) 

2 2
2 2
2 2
2

Hay


2



2



3 
 
2 2

A  B  C
,  ,  c ng là 3 góc c a ฀ ABC .

2 2 2 2 2

T (5) ta có:
tg(


2



A
 B
 C
 A
 B
 C
) + tg (  ) + tg (  ) = tg(  ) tg (  ) tg (  )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2


Khoá lu n t t nghi p
 cotg

Th Ph

ng – K29B Toán

A
B
C
A
B
C
+ cotg + cotg = cotg cotg cotg
2
2
2
2
2
2

V y công th c (7) đ c ch ng minh.
h, Ch ng minh t ng t công th c (7), t công th c (6) ta suy ra công th c (8).
6. M t s b t đ ng th c l

ng giác c b n trong tam giác:

a, sinA + sinB + sinC 

3 3
2

b, 1< cosA + cosB + cosC 
c, cos

(9)
3
2

(10)

3
A
B
C
+ cos + cos 
2
2
2
2

d, 1 < sin

(11)

3
A
B
C
+ sin + sin 
2
2
2
2

(12)

e, cotgA + cotgB + cotgC  3
f, tg

A
B
C
+ tg + tg  3
2
2
2

(13)
(14)

g, cotg2A + cotg2B + cotg2C  1

(15)

A
B
C
+ tg2 + tg2  1
2
2
2

(16)

h, tg2

Ch ng minh:
a, Ta có:


C
C

A B
A B
3 cos
3
sinA + sinB + sinC + sin = 2sin
cos
+ 2sin
2
2
3
2
2
C 
C 
A B
A B
= 2sin
cos
+2sin (  ) cos (  )
2 6
2 6

2
2
C 
A B
 2sin
+2sin (  )
2 6
2
(vì 0 < cos A B  1và 0 2 6
2

= 4sin (

A B  C 
A B  C 
 ) cos (
 )
4
12
4
12

A B  C 

cos (
 )
3
4
12


 4 sin
3

= 4 sin


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

T đó suy ra: sinA + sinB + sinC  3 sin
V y b t đ ng th c (9) đ

ng – K29B Toán

3 3

=
.
2
3

c ch ng minh.

b, Ta có:
cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin
và cosA + cosB + cosC 

A

B
C
A
B
C
sin sin > 1 ( vì sin , sin , sin >0)
2
2
2
2
2
2

3
3
A B
A B
C

 2cos
cos
+ 1-2sin2
2
2
2
2
2
 4sin2

C

C
A B
-4sin cos
+1 0
2
2
2

 (2sin

C
A B 2
A B
 0 : luôn đúng
-cos
) + sin2
2
2
2

V y b t đ ng th c (10) đúng.
c, B t đ ng th c (11) đ
d, B t đ ng th c (12) đ

c suy ra t (9).
c suy ra t (10).

e, Ta có: cotgA + cotgB + cotgC  3
 (cotgA + cotgB + cotgC)2  3
 cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA)

3
 cotg2A + cotg2B + cotg2C + 2  3
 cotg2A + cotg2B + cotg2C -1  0
 cotg2A + cotg2B + cotg2C -(cotgA cotgB + cotgB cotgC + cotgC cotgA)  0
 (cotgA -cotgB)2 + (cotgB – cotgC)2 + (cotgC – cotgA)2  0: luôn đúng.

V y b t đ ng th c (13) đúng.
Các b t đ ng th c còn l i đ c suy ra t

(13).


Khoá lu n t t nghi p

Ch

Th Ph

ng – K29B Toán

ng II: bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng
Th c l ng giác không có đi u ki n

I. Bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l
có đi u ki n:
1. Bài toán ch ng minh đ ng th c l

ng giác không

ng giác không có đi u ki n:

 Bài toán có d ng: Cho tam giác ABC cùng m t s y u t trong tam giác.
Ch ng minh r ng tam giác ABC tho mãn h th c: X = Y (trong đó X,
Y là các bi u th c l

ng giác trong tam giác).

 Các ph ng pháp ch y u đ ch ng minh:
1) Bi n đ i X thành Y (hay Y thành X): th ng ch n bi u th c ph c t p đ
bi n đ i
2) Bi n đ i X thành Z, Y thành Z.
3) Bi n đ i X = Y t

ng đ

ng v i m t đ ng th c đúng.

2. Bài toán ch ng minh b t đ ng th c l

ng giác không có đi u ki n:

 Bài toán có d ng: Cho tam giác ABC cùng m t s y u t trong tam giác.
Ch ng minh r ng: X  Y (*) (ho c X  Y, ho c X >Y, ho c X Trong đó:
X, Y là các bi u th c l ng giác trong tam giác.

ch ng minh (*) ta c ng s d ng các ph ng pháp ch y u sau đây:
1) Bi n đ i X thành Z sao cho Z  Y (ho c Y thành T sao cho X  T)
2) Bi n đ i X thành Z, Y thành T sao cho Z  T.
3) Bi n đ i X  Y t ng đ ng v i m t b t đ ng th c đúng.

Hoàn toàn t ng t v i các b t đ ng th c: X  Y (ho c X >Y, ho c X .


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

II. Gi i bài toán ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác
không có đi u ki n nh s d ng đ nh lý côsin, đ nh lý sin và đ nh lý
côsin m r ng trong tam giác:
N u trong các đ ng th c, b t đ ng th c l ng giác c n ch ng minh có các
c nh hay các hàm s l ng giác c a các góc thì ta s d ng các đ nh lý đó đ bi n
đ i các bi u th c đã cho thành các bi u th c ch có hàm s l
(hay ch có các c nh) đ vi c ch ng minh đ c d dàng h n.

ng giác c a các góc

Ta ti n hành gi i bài toán này theo các thao tác sau:
1) Xác đ nh đ nh lý c n áp d ng
2) áp d ng đ nh lý đó k t h p v i các phép bi n đ i l

ng giác, các h

th c l ng giác khác trong tam giác đ ch ng minh.
3) K t lu n.
Nh các đ nh lý nêu trên, ta có th ch ng minh đ c r t nhi u đ ng th c, b t
đ ng th c l ng giác quan tr ng bi u th m i liên h gi a các y u t trong m t tam

giác.

III. M t s ví d :
Tr c h t, ta đi ch ng minh các đ ng th c l ng giác bi u th m i liên h
gi a các c nh và các hàm s l ng giác c a các góc trong m t tam giác b ng vi c
s d ng tr c ti p đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác.
Ví d 1: Cho ฀ ABC . Ch ng minh các h th c sau:
a, 2abc(cosA + cosB) = (a + b) (c + b – a) (c + b – a)
b, (a – b) cotg
c,

C
B
A
+ (c – a) cotg + (b – c) cotg = 0
2
2
2

tgA c 2  a 2  b 2

tgB c 2  b 2  a 2

(1)
(2)
(3)

Gi i
a, áp d ng đ nh lý côsin trong ABC , ta có:
VT(1) = a.2bccosA + b.2accosB

= a (b2 + c2 – a2) + b (a2 + c2 – b2)
= ab (a + b) + c2(a + b) – (a3 + b3)
= (a + b) [ab + c2 (a2 – ab + b2)]
= (a + b) [c2 – (a – b)2]


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

= (a + b) (c + b – a) (c + b – a) = VP(1).
V y (1) đúng.
b, áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
(a – b) cotg

C
C
= 2R(sinA – sinB) cotg
2
2
C
c s
A B
A B
2
sin
.
= 4R cos

C
2
2
sin
2
A B
sin
C
A B
2
= 4Rsin sin
.
C
2
2
sin
2

= 4R sin

A B
A B
. sin
2
2

= 2R(cosB – cosA)
Nh v y, ta có:
T

ng t , ta c ng đ

c:

(a – b) cotg

C
= 2R(cosB – cosA)
2

+ (c – a) cotg

B
= 2R(cosA – cosC)
2

(b – c) cotg

A
= 2R(cosC – cos B)
2

(a – b) cotg

C
B
A
+ (c – a) cotg + (b – c) cotg = 0
2
2

2

V y (2) đ

c ch ng minh.
tgA sin Ac
.  sB
c, Ta có: VT(3) =

tgB sin B.c sA
Theo đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có: sin A 

a
b
;sin B 
2R
2R

Theo đ nh lý côsin trong ฀ ABC , ta có:
cos A 

b2  c 2  a 2
a 2  c 2  b2
; cos B 
;
2bc
2ac

Khi đó:
a a 2  c2  b2

.
a 2  c2  b2
2
2ac
R

VT(3) =
= VP(3)
b b2  c 2  a 2 b2  c 2  a 2
.
2R
2bc


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

V y (3) đúng.
Nh n xét: B ng vi c s d ng đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác ta còn có
th ch ng minh các đ ng th c bi u th m i liên h gi a n a chu vi, di n tích tam
giác và các c nh, các hàm s l ng giác c a các góc. Ta xét ví d sau đây:
Ví d 2: Ch ng minh các h th c sau trong ฀ ABC :
a, abc (cosA + cosB + cosC) = a2 (p – a) + b2 (p – b) + c2 (p – c)
b, bc cotg

1 1 1 3
A

B
C
+ ac cotg + ab cotg = 4 Rp 2 (    )
a b c p
2
2
2

1
4

c, S  (a 2 sin 2B  b2 sin 2 A)
a, áp d ng đ nh lý côsin trong ฀ ABC , ta có:
VT (1) = abc (cosA + cosB + cosC)
= a.bccosA + b.accosB + c.abcosC
b2  c 2  a 2
a 2  c 2  b2
a 2  b2  c 2
 b.
 c.
2
2
2

a2
b2
c2
=
(b  c  a )  (a  c  b)  (a  b  c)
2

2
2

= a2(

a bc
a bc
a bc
 a )  b2 (
 b)  c 2 (
 c)
2
2
2

= a2 (p – a) + b2 (p – b) + c2 (p – c) =VP (1)
V y (1) đúng.
1
a

1
b

1
c

p
a

3

p

b, Ta có: VP (2) = 4 Rp 2 (    ) = 4 Rp(  1 
= 4 Rp(

p
p
 1   1)
b
c

p a p b p c


)
a
b
c

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC
Theo công th c tính bán kính đ
p -a = r cotg

ng tròn n i ti p tam giác, ta có:

A
B
C
; p -b = r cotg ; p -c = r cotg ;

2
2
2

A
B
C
r cot g
r cot g
2
2
2)
Do đó: VP (2) = 4 Rp(
2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C
r cot g

(2)
(3)

Gi i

= a.

(1)


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph
rc s

= 4 Rp(

= pr (

A
2

rc s

1

1



A
B
sin
sin 2
2
2
1

sin 2

Ta l i có: VT (2) = bc cotg
=

rc s





1

1
C
sin
2
1



A
B
sin 2
2
2

)

2

sin 2

C
2

)

A
B
C
+ ac cotg + ab cotg
2
2
2

A 2S
B 2S
C
2S
.cot g 
.cot g 
.cot g
sin A
2 sin B
2 sin C
2

= S(

1



1

A
B
sin
sin 2
2
2
2



1
C
sin
2

)

2

Ta th y r ng: VT (2) = VP (2). Nh v y, (2) đúng.
c, Theo đ nh lý côsin trong ฀ ABC , ta có:
cos A 

b2  c 2  a 2
a 2  c 2  b2
; cos B 
;
2bc
2ac

Và theo đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta l i có:
sin A 

Do đó: VP (3) =

a
b
;sin B 
2R
2R

1 2
(a sin 2 B  b2 sin 2 A)
4

=

1
(2a 2 sin Bc sB  2b2 sin Ac sA)
4

1
a 2  c 2  b2
b2  c 2  a 2
2 b
2 a
)
 2b . .
= (2a . .
4

2R
2ac
2R
2bc

=

ab 2 2 2 2 2
(a  c  b  b  c  a 2 )
8Rc

=

abc
= S = VT (3)
4R

V y h th c (3) đúng.
Nh n xét:

C
2



)
A
B
C
2 R sin Asin

2R sin B sin
2R sin C sin
2
2
2
2

= S(

B
2

ng – K29B Toán


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

Qua các ví d trên ta th y đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác là hai
công c r t có hi u qu trong vi c ch ng minh các đ ng th c l ng giác không có
đi u ki n. Tuy nhiên, c n ph i v n d ng linh ho t hai đ nh lý này cùng v i vi c bi n
đ i thành th o các bi u th c l ng giác thì m i có đ c m t l i gi i nhanh, g n và
đúng.
Trong ฀ ABC , n u D là trung đi m c nh BC thì chúng ta có ngay công th c
tính trung tuy n AD quen thu c. N u đi m D thu c c nh BC sao cho AD là đ ng
phân giác thì công th c phân giác trong c ng đ c xác đ nh. V y trong tr ng h p
t ng quát D là đi m b t kì trên c nh BC thì đ dài AD s đ c xác đ nh nh th

nào? Chúng ta s đi ch ng minh đ nh lý sau đây:
Ví d 3: (

nh lý Stewart)

Cho ฀ ABC , D là m t đi m trên c nh BC.
minh r ng:

t AD = d, BD = m, DC = n. Ch ng

ad2 = mb2 + nc2 -amn (*)
Gi i
Qua A k đ

ng cao AH.

áp d ng đ nh lý côsin trong ฀ ABD , ta có:
c 2  m2  d 2  2md .c s ฀
ADB
 m2  d 2  2m.HD (vì ฀ AHD vuông t i H có: HD=d.cos ฀
ADB )

A

 c 2  m2  d 2  2m.HD (1)

L i áp d ng đ nh lý côsin trong ฀ ACD , ta có:
b 2  n 2  d 2  2nd .c s ฀
ADC

 n2  d 2  2nd .c s(1800  ฀
ADC )
 n2  d 2  2nd .c s ฀
ADB

d

c

b

 n2  d 2  2n.HD
 b2  n2  d 2  2n.HD (2)

B
H

L y (1) nhân v i n và (2) nhân v i m r i c ng l i, ta đ
nc 2  mb2  d 2 (n  m)  mn(m  n)

Mà m + n = a.
Do đó: mb2 + nc2 = ad2 + amn
hay ad2 = mb2 + nc2 -amn
V y đ nh lý Stewart đ c ch ng minh.

n

m
c:

D

C


Khoá lu n t t nghi p
Nh n xét:

Th Ph

ây là m t đ nh lý r t quan tr ng, mà trong m t s tr

ng – K29B Toán
ng h p c th nó

cho ta nh ng công th c quen thu c th ng hay s d ng trong tính toán c ng nh
trong ch ng minh các đ ng th c và b t đ ng th c l ng giác. C th :
 Khi D là trung đi m c a BC thì (*) cho ta công th c trung tuy n quen thu c:

ma 
2

b2  c 2 a 2
(d = ma)

2
4

 Khi AD là đ ng phân giác trong c a ฀ ABC , thì (*) cho ta công th c phân
giác trong c a tam giác đã bi t:

la 

2 bc
bc

p( p  a )

Ví d 4: Cho ฀ ABC và I là tâm đ
A
2

B
2

ng tròn n i ti p tam giác. Ch ng minh r ng:

a, r  4R sin sin sin

C
2

(1)

b, IA.IB.IC = 4Rr2

(2)
Gi i

G i J = BC  (I)
a, Xét

Xét

฀ v BIJ có:

BJ  IJ cot g

B
B
 r cot g
2
2

฀ v CIJ có: CJ  IJ cot g C  r cot g C
2

2

Do đó:
a = BJ + CJ = r (cotg

B
C
+ cotg )
2
2

B
C
B
C

.sin  sin .c s
2
2
2
2
B
C
sin .sin
2
2

c s

= r.

BC
2
= r.
B
C
sin .sin
2
2

A

sin

c s

= r.
sin

I

A
2

B
C
.sin
2
2

B

J

C


Khoá lu n t t nghi p

T đó suy ra:

r

Th Ph
B
C

.sin
2
2
A
c s
2

ng – K29B Toán

asin

(3)

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
a = 2RsinA = 4 R sin

r

4 R sin

V y (1) đ
b, Xét

T

A
A
c s thay vào (3) ta đ
2
2

c:

A
A B
C
c s sin sin
2
2
2
2 hay r  4 R sin Asin B sin C
A
2
2
2
c s
2

c ch ng minh.

฀ v BIJ có: sin B  IJ
2

IB

ng t , ta c ng có:

IJ

 IB 

sin
r

IA 

sin

A
2

B
2



r
sin

; IC 

B
2

r
sin

C
2

T các h th c trên suy ra:
. .IC 
IAIB

r3
A
B
C
sin .sin .sin
2
2
2
A
2

B
2

Theo h th c (1), ta có: r  4R sin sin sin

. .IC 
IAIB

(4)

C
thay vào (4) ta đ
2

c:

A B
C
sin sin
2
2
2  4 Rr 2
A B
C
sin sin sin
2
2
2

r 2 .4 R sin

V y IA.IB.IC = 4Rr2 (đpcm).
Nh n xét: Công th c (1) và (2) bi u th m i liên h gi a bán kính đ

ng tròn ngo i

ti p và bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác.
Ngoài ra, v i vi c s d ng đ nh lý sin trong tam giác, ta d dàng ch ng minh
đ

c công th c bi u di n kho ng cách gi a hai tâm đ

ti p m t tam giác theo bán kính c a hai đ
Ví d 5 (Công th c Euler):
Cho ฀ ABC . G i O và I l n l

giác, đ t l = OI. Ch ng minh r ng:

ng tròn ngo i ti p và n i

ng tròn đó. C th , ta xét ví d sau đây:

t là tâm đ

ng tròn ngo i ti p và n i ti p tam

A

E
I


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph
l 2  R2  2 Rr

Gi i
G i D = AI  (O),
E = AB  (I).
฀  CAD
฀  CBD
฀ A
Ta có: BAD
2

฀
฀ B
ABI  CBI
2
฀  IBC
฀  CBD
฀  A B (1)
Do đó: IBD
2

ADB  ฀
ACB  C
Mà ฀

฀  1800  ( A B  C )
Trong ฀ IBD có: BID
2

A B
2
A B
 A B 
2
A B

2
 (1800  C ) 

฀ 
 BID

A B
2

(2)

฀  BID
฀  A B hay ฀ IBD cân đ nh D.
T (1) và (2) suy ra: IBD
2

Suy ra: DB = DI (3)
Ta l i có: I/(O ) = IA.ID = R2  l 2
.
 R l
T (3) và (4) suy ra: IADB
2

Xét ฀ v IAE có: sin

(4)
2

A IE
IE
r

 IA 

A

A
2 IA
sin
sin
2
2

(5)
(6)

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABD , ta có:
฀  2 R sin A
BD  2 R sin BAD
2

Thay (6), (7) vào (5) ta đ

c:

(7)

ng – K29B Toán


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph
r

.2 R sin

ng – K29B Toán

A
 R2  l 2
2

A
2
 2 Rl  R2  l 2
sin

 l 2  R2  2 Rr

V y công th c Euler đ c ch ng minh.
Nh n xét: Nh có đ nh lí sin trong tam giác cùng v i vi c k t h p khéo léo các ki n
th c c a hình h c ph ng giúp ta ch ng minh công th c Euler m t cách nhanh
chóng.
Ví d 6: Cho

฀ ABC và H là tr

bán kính các đ

c tâm c a tam giác. Gi s R1, R2, R3 t

ng ng là

ng tròn ngo i ti p các tam giác HBC, HCA, HAB. Ch ng minh

r ng:
R1 = R2 = R3 = R.
Gi i
áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
a
R
2sin A

A

(1)

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ HBC , ta có:
R1 

BC
฀
2sin BHC

H

฀
 A  1800
Mà BHC

 R1 

a
a


0
2sin(180  A) 2sin A

(2)

T

(1) và (2) suy ra: R  R1

T

ng t , ta c ng có: R  R2 ; R  R3

B

C

Do v y: R1  R2  R3  R (đpcm).
Nh n xét: Ta thay vi c xét tr c tâm H b i tâm I c a đ
đ c bài toán sau đây:

ng tròn n i ti p

฀ ABC, ta

Ví d 7: Cho ฀ ABC và I là tâm đ ng tròn n i ti p tam giác. Gi s R1, R2, R3 l n
l t là bán kính các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác IBC, ICA, IAB. Ch ng
minh r ng:
R1R2 R3  2R2r

Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

Gi i
áp d ng đ nh lý sin trong ฀ IBC , ta có:

A

BC
a
R1 

฀
฀
2sin BIC 2sin BIC

฀  1800  B  C  900  A
Mà BIC
2

2

T đó suy ra:
R1 

Hay R1 

T

a
A
2sin(900  )
2



I

a
2c s

A
2

B

a
2c s

C

A
2

ng t , ta có:
R2 

b
2c s

Do đó: R1R2 R3 

B
2

; R3 

c
2c s

C
2

abc
A
B
C
8c s c s c s
2
2
2

(*)

L i áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC
K t h p v i (*) ta đ

R1R2 R3 

c:
A B
C
8R3 sin Asin B sin C
 8R3 sin sin sin
A
B
C
2
2
2
8c s c s c s
2
2
2
A
2

B
2

Theo ví d 4, ta có: r  4R sin sin sin

C
.
2

Vì v y: R1R2 R3  2R2r (đpcm).

Nh n xét: N u ta chuy n vi c xét tam giác ABC sang xét t giác ABCD n i ti p
m t đ ng tròn v i M là giao đi m c a hai đ ng chéo. V y thì bán kính c a
đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD s đ c xác đ nh nh th nào n u bi t bán
kính các đ

ng tròn ngo i ti p các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA?

quy t đ c bài toán đó thì ta c n ph i ch ng minh đ nh lý quan tr ng sau đây:
Ví d 8 ( nh lý Ptôlêmê):
Cho t giác ABCD n i ti p m t đ

ng tròn. Ch ng minh r ng:

gi i


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

AC.BD = AB.CD + AD.BC
G i R là bán kính đ

t

Gi i
ng tròn ngo i ti p t giác ABCD.

฀
฀
CAD
 CBD

฀
฀
BAC
 BDC


B


฀
ABD  ฀
ACD  
฀
ACB  ฀
ADB  

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABD , ta có:
AB  2 R sin  ; AD  2 R sin 

A




C

ng t trong ฀ ACD có: CD  2R sin 

T



Và trong ฀ ABC có: BC  2 R sin 
Khi đó, ta có:

D

AB.CD  AD.BC  4 R sin  sin   4 R sin  sin 
2

2

 2 R2 (2sin  sin   2sin  sin  )
 2 R2 [c s (   )  c s (   )  c s (   )  c s (   )](1)

Mà         180o      180o  (    )
Nên c s(   )  c s(   )
T

(2)

(1) và (2) suy ra:
AB.CD  AD.BC  2 R2 [c s(   )  c s(    )
 2 R2 [c s(   )  c s(    )]

(3)

L i áp d ng đ nh lý sin trong các tam giác ACD và BCD, ta có:
AC  2 R sin(    )
BD  2 R sin(   )
 AC.BD  4 R2 sin(    )sin(   )

 2 R2 [c s(    )  c s(     2 )]

(4)

Mà (     2 )  (   )          1800
 c s(     2 )  c s[(1800  (   )]  c s(   ) thay vào (4) ta đ
AC.BD  2 R2 [c s(    )  c s(   )]

T (3) và (5) suy ra:
AC.BD = AB.CD + AD.BC
V y đ nh lý Ptôlêmê đ

c ch ng minh.

(5)

c:


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

Ví d 9: Cho t giác ABCD n i ti p m t đ

ng – K29B Toán

ng tròn và M là giao đi m c a hai

đ ng chéo AC, BD. Gi s R1, R2, R3, R4 l n l t là bán kính các đ
ngo i ti p các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA và R là bán kính đ
ngo i ti p t giác ABCD. Ch ng minh r ng:
R2 

( R1 R4  R2 R3 )( R1 R2  R3 R4 )
R1 R3  R2 R4

A

Gi i
t AB = a, BC = b, CD = c, DA = d
฀
AMB   , ฀
ABM  

a

áp d ng đ nh lý sin trong ฀ MAB , ta có:
a  2 R1 sin 

B

d




b

฀
b  2R2 sin BMC
 2R2 sin(1800   )  2R2 sin 

ng t , ta c ng có:

c
C

c  2 R3 sin  ; d  2 R4 sin 

L i áp d ng đ nh lý sin trong ฀ MAB , ta có:
R1 

MA
MA
 sin  
2sin 
2 R1

và trong ฀ BAD ,ta có:
R

d
d

 sin  
2sin 
2R

T hai h th c trên ta suy ra:
Rd
MA d

 MA  1
R
2 R1 2 R

(1)

Theo đ nh lý sin trong ฀ MDA, có: d  2 R4 sin  thay vào (1) ta đ
MA 

T

ng t nh trên, ta có:

2 R1R4 sin 
R

(2)

2 R2 R3 sin 
R

(3)

2sin  ( R1R4  R2 R3 )
R

(4)

MC 

T (2) và (3) suy ra:
AC  MA MC 

Ch ng minh t

ng t , ta đ

c:

D

M

và trong ฀ MBC , ta có:

T

ng tròn
ng tròn

c:

Khoá lu n t t nghi p
BD 

Th Ph

2sin  ( R1R2  R3 R4 )
R

ng – K29B Toán

(5)

Theo đ nh lý Ptôlêmê v i t giác n i ti p ABCD, ta có:
AC.BD = AB.CD + AD.BC
Hay AC.BD = ac+bd
T (4), (5) và (6) suy ra:
4sin 2  ( R1R4  R2 R3 )( R1R2  R3 R4 )
 4sin 2  ( R1R3  R2 R4 )
2
R
 R2 

( R1 R4  R2 R3 )( R1 R2  R3 R4 )
(đpcm).
R1 R3  R2 R4

Nh n xét: Các ví d đã xét trên đ u đ c gi i quy t m t cách d dàng nh s
d ng đ nh lý côsin và đ nh lý sin trong tam giác k t h p v i vi c bi n đ i linh ho t,
sáng t o các bi u th c l ng giác hay các ki n th c c a hình h c ph ng. Sau đây,

chúng ta s chuy n sang nghiên c u m t s ví d minh ho cho vi c ch ng minh
các h th c l

ng giác trong tam giác nh s d ng đ nh lý côsin m r ng.

Ví d 10: Ch ng minh các h th c sau trong ฀ ABC :
a,

c sA
c sB
c sC
a 2  b2  c 2
(1)



cc sB  bc sC cc sA ac sC ac sB  bc sA
2abc

b,

a (a  bc sC ) a 2  c 2  b 2

b(b  ac sC ) b 2  c 2  a 2

(2)
Gi i

a, áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
a  2 RsinA; b  2 R sin B; c  2 R sin C

VT(1) =

c sA
c sB
c sC


cc sB  bc sC cc sA ac sC ac sB  bc sA


Khoá lu n t t nghi p

Th Ph

ng – K29B Toán

c sA
c sB
c sC


2 R(sin Cc sB  sin Bc sC ) 2 R(sin Cc sA  sin Ac sC ) 2 R(sin Ac sB  sin Bc sA)
c sA
c sB
c sC



2 R sin( B  C ) 2 R sin( A C ) 2 R sin( A  B)

1
c sA
c sB
c sC



[
]
o
o
2 R sin(180  A) sin(180  B) sin(180o  C )
1 c sA c sB c sC



(
)
2 R sin A sin B sin C
1

(cot gA cot gB  cot gC )
2R


áp d ng đ nh lý côsin m r ng cho ฀ ABC , ta có:
VT (1) 

1 b2  c 2  a 2 a 2  c 2  b2 a 2  b2  c 2
(



)
2R
4S
4S
4S

1 a 2  b2  c2
.
2R
4S
2
1 a  b2  c2

.
abc
2R
4.
4R
2
2
a  b  c2

2abc
 VP (1)


V y h th c (1) đ

c ch ng minh.

b, áp d ng đ nh lý sin trong ฀ ABC , ta có:
Khi đó:
VT (2) =


a (a  bc sC )
b(b  ac sC )
2 R sin A(2 R sin A 2 Rsin Bc sC )
2 R sin B(2 R sin B  2 R sin Ac sC )

sin A[sin( B  C )  sin Bc sC ]
sin B[sin( A C )  sin Ac sC ]
sin Asin Cc sB

sin B sin Cc sA
cot gB

cot gA


áp d ng đ nh lý côsin m r ng cho ฀ ABC , ta có: