LT Tổng hợp về Giới Hạn Hàm Số

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc LT Tng hp Gii hn ca Hm s
CHUYấN
GII HN CA HM S HM S LIấN TC
A. TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON
I. GII HN CA HM S
1. nh ngha
nh ngha 1
Xột hm s y = f(x) xỏc nh trong khong (a; b) cha x
0
(cú th khụng xỏc nh ti x
0
).
Trong khong (a; b) ta cú th ly dóy
{ }
n n 0
x , x x ( n , n 1)ạ " ẻ Z
sao cho
n 0
n
lim x x
đƠ
=
. S L c gi l gii hn ca f(x) khi x tin dn v x
0
nu
n 0
n
lim x x
đƠ
=
thỡ

n
n
lim f(x ) L
đƠ
=
. Ký hiu
0
x x
lim f(x) L
đ
=
.
nh ngha 2
S L c gi l gii hn ca f(x) khi x tin dn v x
0
nu
0
0, 0 : 0 x x f(x) L"e> $d> < - < d ị - < e
.
Vớ d 1. Xột hm s
f(x) 3x 2= -
khi x dn n 2, ta cú
f(x) 4 3 x 2 x 2
3
e
- < e - < e - <
.
Ngha l vi
0"e>
, chn

3
e
d =
thỡ
0 x 2 f(x) 4< - < dị - < e
.
Vy
x 2
lim(3x 2) 4
đ
- =
.
Vớ d 2. Xột hm s
2
x 1
y
x 1
-
=
-
khi
x 1đ
.
Hm s khụng xỏc nh ti x = 1, nhng khi
x 1ạ
ta cú:
2
x 1
y 2 2 x 1
x 1

-
- = - = -
-
.
Ngha l vi
0"e>
, chn
: 0 x 1 y 2$d= e < - < dị - < e
.
Vy
2
x 1
x 1
lim 2
x 1
đ
-
=
-
.
2. Cỏc nh lý c bn
nh lý 1
Nu hm s f(x) cú gii hn khi x tin dn v x
0
thỡ gii hn ú l duy nht.
nh lý 2
Nu cỏc hm s f(x), g(x) cú gii hn khi x tin dn v x
0
thỡ
i)

[ ]
0 0 0
x x x x x x
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
đ đ đ
=
ii)
[ ]
0 0 0
x x x x x x
lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)
đ đ đ
=
iii)
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x x
lim f(x)
f(x)
lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
đ
đ đ
đ
ộ ự
= ạ

ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
4i)
0 0
x x x x
lim f(x) lim f(x) (f(x) 0)
đ đ
=
Trang - 1 -
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc LT Tng hp Gii hn ca Hm s
nh lý 3
Mi hm s s cp f(x) xỏc nh trong khong cha x
0
thỡ
0
0
x x
lim f(x) f(x )
đ
=
.
nh lý 4 (gii hn kp gia)
Nu
0 0
x x x x
lim h(x) lim g(x) L
đ đ
= =
v

h(x) f(x) g(x)Ê Ê
vi mi x thuc khong cha x
0

thỡ
0
x x
lim f(x) L
đ
=
.
3. M rng khỏi nim gii hn ca hm s
nh lý 5
i) Nu
0
x x
lim f(x) 0
đ
=
v
f(x) 0>
khi x gn x
0
thỡ
0
x x
1
lim
f(x)
đ

= +Ơ
ii) Nu
0
x x
lim f(x) 0
đ
=
v
f(x) 0<
khi x gn x
0
thỡ
0
x x
1
lim
f(x)
đ
= - Ơ
.
nh ngha 3
S L c gi l gii hn ca f(x) khi x tin dn v vụ cc nu:
0, M 0 : x M f(x) L"e> " > > ị - < e
. Ký hiu
x
lim f(x) L
đƠ
=
.
nh ngha 4

i) S L c gi l gii hn bờn phi ca f(x) khi x tin dn v x
0
(x > x
0
) nu
0
0, 0 : 0 x x f(x) L"e> $d> < - < d ị - < e
. Ký hiu
0
x x
lim f(x) L
+
đ
=
.
ii) S L c gi l gii hn bờn trỏi ca f(x) khi x tin dn v x
0
(x < x
0
) nu
0
0, 0 : x x 0 f(x) L"e> $d> - d< - < ị - < e
. Ký hiu
0
x x
lim f(x) L
-
đ
=
.

nh lý 6
0 0
0
x x x x
x x
lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L
-
+
đ đ
đ
= = =
.
Vớ d 3. Cho hm s
sin2x
, x 0
x
f(x)
x m, x 0
ỡ
ù
<
ù
ù
=
ớ
ù
ù
+
ù
ợ

neỏu
neỏu
.
Tỡm m f(x) cú gii hn khi
x 0đ
.
Gii
( )
x 0 x 0 x 0
sin2x sin2x
lim f(x) lim 2. 2 lim 2
2x 2x
- - -
đ đ đ
= = =
( )
x 0 x 0
lim f(x) lim x m m
+ +
đ đ
= + =
.
Vy m = 2.
4. Phng phỏp gii toỏn (cỏc quy tc kh dng vụ nh)
4.1. Dng
0
0
i) Phõn tớch t v mu (chia cho x x

0
)
( )
( )
0 0 0
n
0 0
0
n
x x x x x x
0 0
P(x) x x K(x) K(x) K(x )
lim lim lim , R(x ) 0
Q(x) x x R(x) R(x) R(x )
đ đ đ
-
= = = ạ
-
.
Trang - 2 -
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc LT Tng hp Gii hn ca Hm s
Vớ d 4.
( )
( )
2
3 2
3 2 2
x 1 x 1 x 1
x 1 (x 1)
x x x 1 x 1

lim lim lim 2
x
x 2x x
x 1 x
đ đ đ
- +
- - + +
= = =
- +
-
.
Vy
3 2
3 2
x 1
x x x 1
lim 2
x 2x x
đ
- - +
=
- +
.
ii) Dựng lng liờn hp
Vớ d 5.
( ) ( )
3
3
2 2
x 2 x 2

x 6 2 2 x 2
x 6 x 2
lim lim
x 4 x 4
đ đ
+ - + - +
+ - +
=
- -
3
2 2
x 2
x 6 2 2 x 2
lim
x 4 x 4
đ
ổ ử
+ - - +
ữ
ỗ
= +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- -
ố ứ
( ) ( )
( )
2

3 3 3
2
2
x 2
3 3
x 6 2 x 6 2 x 6 4
lim
(x 4) x 6 2 x 6 4
đ
ỡ ộ ự
ù
+ - + + + +
ờ ỳ
ù
ở ỷ
ù
= +
ớ
ộ ự
ù
- + + + +
ù
ờ ỳ
ù
ợ ở ỷ
( ) ( )
( )
2
2 x 2 2 x 2
(x 4) 2 x 2

ỹ
- + + +
ù
ù
ý
ù
- + +
ù
ỵ
( )
( )
2
2
2
x 2
3 3
x 2 2 x
lim
(x 4) 2 x 2
(x 4) x 6 2 x 6 4
đ
ộ ự
- -
ờ ỳ
= +
ờ ỳ
ộ ự
- + +
- + + + +
ờ ỳ

ờ ỳ
ở ở ỷ ỷ
( )
( )
2
x 2
3 3
1 1
lim
(x 2) 2 x 2
(x 2) x 6 2 x 6 4
đ
ộ ự
ờ ỳ
= -
ờ ỳ
ộ ự
+ + +
+ + + + +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ở ỷ ỷ
1 1 1
4(4 4 4) 4(2 2) 24
= - = -
+ + +
.
Vy
3
2

x 2
x 6 x 2 1
lim
24
x 4
đ
+ - +
= -
-
.
4.2. Dng
Ơ
Ơ
Ta chia t v mu cho x
n
(n l bc cao nht ca t v mu).
Vớ d 6.
( )
( )
4
4
2 4
4 2
4 4
x x
4
2 2 1
x 3 1
x
x x

3(x 2) 2x 1
lim lim
2(2x 1)
1
2x 2
x
đƠ đƠ
ộ ự
- + +ờ ỳ
- + +
ờ ỳ
ở ỷ
=
+
+

( )
( )
4
2 4
4
x
2 2 1
3 1
3
x
x x
lim
32
1

2 2
x
đƠ
- + +
= =
+
.
Vy
4 2
4
x
3(x 2) 2x 1
3
lim
32
2(2x 1)
đƠ
- + +
=
+
.
Vớ d 7.
( )
( )
4
4 2
2 4
3
x x
4

4
2 5
x 1
x 2x 5
x x
lim lim
2 1
2x 1
x
x
x
đƠ đƠ
+ -
+ -
= = Ơ
+
+
.
Vy
4 2
3
x
x 2x 5
lim
2x 1
đƠ
+ -
= Ơ
+
.

Vớ d 8.
( )
( )
5
4 2
5
3
5
x x
5
5
3 1 6
x
3x x 6
x x
x
lim lim 0
5
2x 5
x 2
x
đƠ đƠ
- +
- +
= =
-
-
.
Trang - 3 -
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm số

Vậy
4 2
5
x
3x x 6
lim 0
2x 5
®¥
- +
=
-
.
Ví dụ 9.
( )
2
4 3
4
2
x x
2
2
2 3
x 1
x 2x 3
x
x
lim lim
1
2x 1
x 2

x
®¥ ®¥
- +
- +
=
+
+

4
x
2
2 3
1
1
x
x
lim
1
2
2
x
®¥
- +
= =
+
.
Vậy
4 3
2
x

x 2x 3 1
lim
2
2x 1
®¥
- +
=
+
.
Ví dụ 10.
( )
2
2
x x
2 3
x 1
x 2x 3
x
x
lim lim
1
2x 1
x 2
x
®- ¥ ®- ¥
- +
- +
=
+
+

2
x
2 3
1
1
x
x
lim
1
2
2
x
®- ¥
- - +
= = -
+
.
Vậy
2
x
x 2x 3 1
lim
2x 1 2
®- ¥
- +
= -
+
.
4.3. Dạng

¥ - ¥
. Ta dùng lượng liên hợp.
Ví dụ 11.
( )
4 2 4
x
lim x 3x x 1
®+¥
+ - -

( ) ( )
4 2 4 4 2 4
4 2 4
x
x 3x x 1 x 3x x 1
lim
x 3x x 1
®+¥
+ - - + + -
=
+ + -

2
2
4 2 4
x x
2 2
1
3
3x 1 3

x
lim lim
2
3 1
x 3x x 1
1 1
x x
®+¥ ® +¥
+
+
= = =
+ + -
+ + -
.
Vậy
( )
4 2 4
x
3
lim x 3x x 1
2
®+¥
+ - - =
.
Ví dụ 12.
( )
( ) ( )
2 2
2
2

x x
x 1 x x 1 x
lim x 1 x lim
x 1 x
®+¥ ®+¥
+ - + +
+ - =
+ +

2
x
1
lim 0
x 1 x
®+¥
= =
+ +
.
Vậy
( )
2
x
lim x 1 x 0
®+¥
+ - =
.
Chú ý:
( )
2
x

lim x 1 x
®- ¥
+ -
không phải dạng vô định vì
( )
2 2
x x x
lim x 1 , lim ( x) lim x 1 x
®- ¥ ®- ¥ ®- ¥
+ = +¥ - = +¥ Þ + - = +¥
.
Trang - 4 -
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc LT Tổng hợp Giới hạn của Hàm số
4.4. Dạng
0.¥
. Ta biến đổi
1
0. .
¥
¥ = ¥ =
¥ ¥
.
Ví dụ 13.
( )
( ) ( )
2 2
2
2
x x
x x 1 x x 1 x

lim x x 1 x lim
x 1 x
®+¥ ®+¥
+ - + +
+ - =
+ +

2
x x
2
x 1 1
lim lim
2
1
x 1 x
1 1
x
®+¥ ® +¥
= = =
+ +
+ +
.
Vậy
( )
2
x
1
lim x x 1 x
2
®+¥

+ - =
.
4.5. Các quy tắc đặc biệt khử dạng vô định
0 0
0
, , , 0. , 0 , , 1
0
¥
¥
¥ - ¥ ¥ ¥
¥
Kết quả cần nhớ:
1
x
x 0
lim(1 x) e
®
+ =
,
( )
x
x
1
lim 1 e
x
®¥
+ =
.
Định lý 7 (quy tắc L’Hopital) (chỉ dùng trong trắc nghiệm)
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng chứa x

0
thỏa các điều kiện:
i)
0 0
x x x x
lim f(x) lim g(x) 0
® ®
= =
hoặc
0 0
x x x x
lim f(x) lim g(x)
® ®
= = ¥
ii)
/
g (x) 0¹
với mọi x thuộc khoảng chứa x
0
iii)
0
/
/
x x
f (x)
lim L (L L )
g (x)
®
= Î = ¥¡ hoaëc
thì

0 0
/
/
x x x x
f(x) f (x)
lim lim L
g(x)
g (x)
® ®
= =
.
Chú ý:
i) Định lý vẫn đúng cho các trường hợp
0
x x
±
®
,
x ® ±¥
ii) Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần.
Ví dụ 14 (dạng
0
0
).
( )
2
3
3
2
x 2 x 2

1 1
2 x 2
3 x 6
x 6 x 2 1
lim lim
2x 24
x 4
® ®
-
+
+
+ - +
= = -
-
.
Vậy
3
2
x 2
x 6 x 2 1
lim
24
x 4
®
+ - +
= -
-
.
Ví dụ 15 (dạng
0

0
).
( )
2
x 0 x 0
2 1 tg 2x
tg2x
lim lim 2
x 1
® ®
+
= =
.
Vậy
x 0
tg2x
lim 2
x
®
=
.
Ví dụ 16 (dạng
0
0
).
3 2
x 0 x 0 x 0 x 0
x 3x 6x 6
lim lim lim lim 6
x sin x 1 cosx sinx cosx

® ® ® ®
= = = =
- -
.
Vậy
3
x 0
x
lim 6
x sin x
®
=
-
.
Ví dụ 17 (dạng
¥
¥
).
2 2
x x
lnx 1
lim lim 0
x 2x
®+¥ ®+¥
= =
.
Vậy
2
x
lnx

lim 0
x
®+¥
=
.
Trang - 5 -