Bồi dưỡng HSG- biến đổi căn thức

Bồi dỡng học sinh giỏi 9
Biến đổi các biểu thức có chứa căn thức
I. Một số phép biến đổi căn thức cơ bản
1. Biến đổi căn thức bậc lẻ

AA
k
k
=
+
+
12
12

121212
..
+++
=
kkk
BABA
12
12
12
+
+
+
=
k
k
k
B

A
B
A
(Với B 0)
12
12
12
.
+
+
+
=
k
k
k
BABA
2. Biến đổi căn bậc chẵn
AA
k
=
21
2

2122
.. BABA
kk
=
(Với A, B 0)
k
k

B
A
B
A
2
2
21
=
(Với A 0 và B > 0)
k
k
k
BABA
2
2
2
.
=
(Với B 0)
3. Lu ý:
nm
m
n
AA
.
=
với A 0)
II. Một số phép biến đổi căn thức khác
1. Biến đổi biểu thức dới dấu căn thành bình phơng để giải phóng đợc một dấu căn
Ví dụ 1: Rút gon biểu thức sau

A =
15281528
++
Giải
A =
( ) ( )
22
3535
++
=
3535
++
=
523535
=++
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
B =
1212
++
xxxx
Giải
Điều kiện xác định của B là :
1
012
01

x
xx
x
Ta có :
B =
( ) ( )
22
111111211121
++=++++
xxxxxx
B=
1111
++
xx
+ Nếu
2
011
1






x
x
x
Thì B =
121111

=++
xxx
1
+ Nếu
21
011
1




<

x
x
x
thì B =
( )
21111
=+
xx
2 Phơng pháp bình phơng
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau
A =
15281528
++
Giải
Cách giải : Trớc hết ta tính A
2
.

+ Nếu ta có A > 0 thì A =
2
A
+ Nếu ta có A < 0 thì A =
2
A

Xét A
2
= 16 + 2
6064

= 16 +2
4
= 20
Vì A > 0 nên A =
5220
2
==
A
Ví dụ 2: Cho biểu thức B =
1212
+
xxxx
Giải
Điều kiện xác định của B là :
2
1
012
012

x
xx
x
Ta có B
2
= 2x - 2
1

x
+ Nếu
1
2
1
01








x
x

x
thì B
2
= 2
Vì B > 0 nên B =
2
2
=
B
+ Nếu
1
2
1
2
1
01
<






<
x
x
x
thì B
2
= 4x-2

Vì B > 0 nên B =
24
2
= xB
Lu ý: Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi biểu thức là tổng hoặc của hai căn thức bậc
hai và các biểu thức dới dấu căn có dạng A + B và A - B.
3. Phơng pháp hữu tỷ hóa ( dùng phong pháp lũy thừa)
Để rút gọn các biểu thức vô tỷ ta đặt căn thức bậc n của một số nào đó bằng ẩn phụ để
chuyển về một biểu thức hữu tỉ
Ví dụ 1 : Tính
2
A =
33
5252
++
Giải
Ta áp dụng hằng đẳng thức (a + b)
3
= a
3
+ b
3
+3ab(a + b)
Ta có A
3
=
3
33
5252

++
=
35252
3
3
3
3
+






+






+
33
5252
+

++
33
5252
= 4 + 3
3
1

A
A
3
= 4 - 3A A
3
+ 3A - 4 = 0 A
3
- A
2
+ A
2
- A + 4A - 4 = 0
(A - 1)(A
2
+ A + 4) = 0 A - 1 = 0 (vì A
2
+ A + 4 > 0) A = 1

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A =
( ) ( )
3
223
3
223
2
413
2
413

+
+
xxxxxxxx
tại x =
3
2007
Giải
Đạt
( )
3
223
2
413
+
xxxx
= a và
( )
=

3
223
2
413 xxxx
b ta có
A
3
= a
3
+ b
3
+3ab(a + b) = x
3
- 3x + 3
A
3
4
4
A
3
- 3A -x
3
+ 3x = 0
(A - x)(A
2
+ Ax + x
2
- 3(A - x) = 0
(A - x)( A

2
+ Ax + x
2
- x) = 0
A - x = 0 vì A
2
+ Ax + x
2
- x > 0 với x =
3
2007
A = x =
3
2007
Dạng bài tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Chứng minh rằng nếu x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz thì x + y + z = 0 hoặc x = y = z
Môt số bài tập áp dụng đẳng thức trên:
Bài 1.2: Cho biết
abcccbbaa 3
=++
. Tính giá trị của biểu thức
P =

+








+








+
a
c
c
b
b

a
111
Giải
Từ giả thiết của bài toán và điều kiện để có P ta suy ra a, b, c > 0
033
333
=++=++
abccbaabcccbbaa
Đặt
zyxa
===
c , b ,
với x , y , z > 0
Ta có x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = 0 (x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - yz - zx) = 0
Vì x, y , z > 0 x + y + z > 0
x
2
+ y

2
+ z
2
- xy - yz - zx = 0 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2zx = 0
(x - y)
2
+ ( y + z)
2
+ (z - x)
2
= 0 x = y = z
Vậy P =








+

+








+
a
c
c
b
b
a
111
=
8111
=

+






+






+
x
z
z
y
y
x
Dạng bài rút gọn biểu thức
Bài: Cho a < b < 0 và
b
ba
a
x

=

21
.
3
Rút gọn biểu thức: A =
bx
bx
ax
ax

+
+

1
1
1
1

b) a < b < 0 2a < 2b 2a - b < b
b
b
b
ba
>

2
( Vì b < 0)

1
2
>

b
ba
0
2
11
221
>

+=+

=

=
b
ba
ax
b
ba
ax
b
ba
a
x
và
b
ba
ax

=

2
11
< 0 vậy
0
1
1
<
+

ax
ax
Nên A =
bx
bx
ax
ax
bx
bx
ax
ax

+







+

=

+
+

1
1
1
1
1
1
1
1
2
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
bxaxax
bxaxax
++
++

121
121
2

2

=
11
21
1
2
2
2
1
21
1
2
2
2
1
==

+

+









+

+

b
ba
a
b
b
ba
b
ba
b
ba
a
b
b
ba
b
ba
.
.
Dạng bài chứng minh đẳng thức

Bài 2: Chứng minh rằng:
Nếu a , b , c 0 và thỏa mãn
2
ca
b
+
=
thì ta có :

accbba
+
=
+
+
+
211
Giải
Ta có
accbba
+
=
+
+
+
211

baacaccb
+

+
=
+

+
1111

( )( ) ( )( )
baac
cb

accb
ba
++

=
++


( )( )( ) ( )( )( )
cbbaac
cb
baaccb
ba
+++

=
+++


a - b = b - c
2
ca
b
+
=
Nhận xét: ta sử dụng phép biến đổi tơng đơng
Bài: Chứng minh rằng:
a) Nếu:
yx

thì
2222
yxxyxxyxyx
++=++
Giải
Ta có
( )
( ) ( )
22
22
2
2 yxyxyxyxyx
++++=++
=
( )
22222
4)(22 xyxyx
=++
(1)
Vì
22
yxyx


Ta lại có
( )
2
2
2222
4xyxxyxx

=++
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2222
yxxyxxyxyx
++=++
với
yx

b) Nếu xy 0 thì
yxxy
yx
xy
yx
+=+
+
+
+
22
Hớng dẫn: Làm tơng tự nh (a)
Bài 2: Cho ax
3
= bx
3
= cx
3
và
1
111
=++

zyx
. Chứng minh rằng
333
3
222
cbaczbyax
++=++
4
Giải
Từ
1
111
=++
zyx
ta suy ra x , y , z 0
Đặt: ax
3
= bx
3
= cx
3
= m
33
z
m
c ;
y
m
b ;
===

3
x
m
a

33
333
333
111
m
zyx
m
z
m
y
m
x
m
cba
=






++=++=++
(1)
Ta lại có
3

3
3
3
222
111
m
zyx
m
z
m
y
m
x
m
czbyax
=






++=++=++
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Nhận xét: Ta biến đổi cả hai vế về biểu thức thứ ba
Bài :
a) Cho c 0 và
cbcaba
+++=+

Chứng minh rằng:
a, b > 0 và
0
111
=++
cba
Giải
Ta có
( )( )
cbcacbabacbcaba
+++++=++++=+
22

( )( )
0
++=
cbcac
c < 0 (Vì theo giả thiết c 0)
Ta lại có
Ta có
( )( )
0))((
2
=++++=++=
bcacabcbcaccbcac

0
=
++
abc

acbcab
( Vì abc 0)
0
111
=++
cba
b) Cho a , b > 0 và
0
111
=++
cba
. Chứng minh rằng:
c 0 và
cbcaba
+++=+
Giải
00
1
0
111
<>=
+
=++
c
cab
ba
cba
Ta lại có

>+
>+








<=
+
<=
+
=++
0
0
0
1
0
1
0
111
cb
ca
abc
cb
bac
ca

cba

Vậy
cbcaba
+++
;;
xác định
Mặt khác
22
00
111
cccabcabcabcab
cba
=+++=++=++

( )( )
2
ccbca
=++

( )( )
ccbca
=++

( )( )
ccbca
=++

( )( )
ccbca 22

=++
5



>
>




+
+
0
0
0
0
b
a
cb
ca