Luận văn sư phạm Toán tử tích phân và ứng dụng

Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

L IC M N
hoàn thành khóa lu n này tr

c h t em xin bày t lòng bi t n sâu

s c đ n các th y cô giáo trong t Gi i tích - khoa Toán - tr

ng HSP Hà N i

2 đã đ ng viên giúp đ em trong su t quá trình làm khóa lu n.
c bi t, em xin chân thành c m n th y giáo h

ng d n Ts.Nguy n

V n Hùng đã t o đi u ki n t t nh t và ch b o t n tình đ em có th hoàn
thành khóa lu n t t nghi p này.
Do th i gian và ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày trong khóa
lu n không tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y, em r t mong nh n đ

c nh ng

ý ki n đóng góp quý báu c a các th y cô và các b n sinh viên.
M t l n n a em xin chân thành c m n!

HƠ N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

Nguy n Th H ng Nhung

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 1


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

L I CAM OAN
Khóa lu n t t nghi p c a em đ

c hoàn thành d

is h

ng d n t n

tình c a th y giáo Ts.Nguy n V n Hùng cùng v i s c g ng c a b n thân.
Trong quá trình nghiên c u, em đã k th a nh ng thành qu nghiên c u c a
các nhà khoa h c, các nhà nghiên c u v i s trân tr ng và bi t n.
Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khóa lu n là k t qu nghiên c u
c a b n thân, không trùng v i k t qu c a các tác gi khác.
N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m.

HƠ N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

Nguy n Th H ng Nhung

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 2


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

M CL C
L ic m n

1

L i cam đoan

2

L im đ u

3

Ch

7

ng 1:

M t s ki n th c c s

Ch

7

1.1 Không gian metric

7

1.2 Không gian đ nh chu n

9

1.3 Không gian Hilbert

16

1.4 Không gian Ca ;b 

22

1.5 Không gian Lp a ; b 

25

ng 2:

30

Toán t tích phân

30

2.1 Toán t tích phân v i h ch liên t c
2.2 Toán T tích phân v i h ch bình ph

Ch

30
ng kh tích

32

2.3 Toán t tích phân trong không gian Ca ;b 

33

2.4 Toán t tích phân trong không gian Lp a ; b 

35

2.5 Toán t tích phân Fredholm

43

ng 3:

45

ng d ng gi i ph

ng trình tích phân

3.1 Khái ni m v ph
3.2 Gi i ph

ng trình tích phân tuy n tình

ng trình tích phân tuy n tính

45
45
47

3.2.1 Ph

ng pháp x p x d n. H ch l p

47

3.2.2 Ph

ng pháp nhân suy bi n

57

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 3

Tr

ng HSP Hà N i 2

3.2.3 Ph

Khóa lu n t t nghi p

ng trình tích phân v i nhân không suy bi n

65

K t lu n

76

TƠi li u tham kh o

77

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 4


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

L IM
1.

U

Lý do ch n đ tƠi.
Lý thuy t hàm và Gi i tích hàm là m t b môn lý thuy t đ

phát tri n t nh ng n m đ u c a th k XX đã tích l y đ
h t s c phong phú, nh ng ph

c ra đ i và

c nh ng n i dung

ng pháp và k t qu h t s c m u m c, Gi i tích

hàm đã xâm nh p vào t t c các ngành toán h c có liên quan và s d ng đ n
nh ng công c gi i tích. Vì l đó Gi i tích hàm tr thành n i g p g c a nhi u
ngành khoa h c lý thuy t và

ng d ng nh : lý thuy t ph

ng trình vi

phân_tích phân, đi u khi n t i u, lý thuy t các bài toán c c tr .
Ph

ng pháp c a Gi i tích hàm là ti n đ hóa nh ng tính ch t đ c tr ng

c a t p h p s th c thành các không gian t

ng ng và m r ng các v n đ

c b n c a gi i tích c đi n vào nh ng không gian đó.
Vì v y, vi c h c và n m v ng môn h c này là r t c n thi t đ i v i m i
sinh viên khoa toán. Tuy nhiên ki n th c trên l p v i th i l

ng eo h p, cùng

v i s m i m và cái khó c a môn h c này đã làm cho vi c ti p thu nh ng
ki n th c c a Gi i tích hàm tr nên không d dàng v i m i sinh viên khoa
toán. Do đó đ n m v ng các ki n th c c b n c a Gi i tích hàm, đ ng th i
quy t tâm đi vào nghiên c u khoa h c, đ

cs h

ng d n t n tình c a th y

giáo Ts.Nguy n V n Hùng, em đã ch n đ tài: “ Toán t tích phơn vƠ ng
d ng gi i ph
2.

ng trình tích phơn ” đ làm khóa lu n t t nghi p.

M c đích nghiên c u.
B

c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c và tìm hi u sâu

h n v Gi i tích hàm, đ c bi t là lý thuy t toán t .
3.

Nhi m v nghiên c u.
Nghiên c u m t s c s lý thuy t liên quan đ n toán t tích phân, tính

ch t c a toán t tích phân, ng d ng c a toán t tích phân vào gi i ph

ng

trình tích phân.

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 5


Tr

4.

5.

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Ph

ng pháp nghiên c u.

Ph

ng pháp đ c sách.

Ph

ng pháp t ng k t kinh nghi m.

Ph

ng pháp phân tích s n ph m.

C u trúc khóa lu n.
Ngoài ph n m đ u, k t lu n, danh m c tài li u tham kh o, khóa lu n

g m 3 ch

ng:
Ch

ng 1: M t s ki n th c c s .

Ch

ng 2: Toán t tích phân.

Ch

ng 3:

ng d ng gi i ph

ng trình tích phân.

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 6


Tr

Ch

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

ng 1
M TS

1.1

KI N TH C C

S

Không gian metric
nh ngh a 1.1.1
Không gian metric là m t t p h p  khác r ng cùng v i m t ánh x

dt

tích Descartes    vào t p h p s th c

฀ , th a mãn các tiên đ sau:

1)  x, y    d  x, y  0, d  x, y  0  x  y (tiên đ đ ng nh t)
2)  x, y   d  x, y   d  y, x  x  y

(tiên đ đ i x ng)

3)  x, y, z    d  x, y  d  x, z  d  z, y (tiên đ tam giác)
Ánh x
hai ph n t

d g i là metric trên  , s d  x, y g i là kho ng cách gi a
x và y . Các ph n t c a  g i là đi m, các tiên đ 1), 2), 3)

g i là tiên đ metric.
Không gian metric đ

c kí hi u    , d  .

 S h i t trong không gian metric.
nh ngh a 1.1.2
Cho không gian metric   , d  , dãy đi m

x0   . Dãy đi m

 xn 

 xn    ,

đi m

g i là h i t t i đi m x0 trong không gian 

khi n   , n u:

   0   n0  *   n  n0  d  xn , x0   
Kí hi u: lim xn  x0 hay xn  x0  n    .
n

i m x0 còn g i là gi i h n c a dãy

 xn 

trong không gian  .

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 7


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Nh n xét: N u hai dãy đi m

 xn  ,  yn 

h it t

ng ng t i x và

y khi n   thì :
lim d  xn , yn   d  x, y

n 

 Không gian metric đ y.
nh ngh a 1.1.3
Cho không gian metric   , d  . Dãy đi m

 xn    g

i là dãy

c b n trong  , n u:

   0   n0  ฀ *   n, m  n0  d  xn , xm   
hay

lim d  xn , xm   0 .

m,n

D th y m i dãy đi m xn    h i t trong  đ u là dãy c b n.
i u kh ng đ nh ng

c lai không đúng.

nh ngh a 1.1.4
Không gian metric   , d  g i là không gian đ y n u m i dãy c
b n trong không gian này đ u h i t .
 Nguyên lý Banach v ánh x co.
nh ngh a 1.1.5
Cho hai không gian metric 1   , d1  , 2   , d2  . Ánh x

At

không gian 1 vào không gian  2 g i là ánh x co, n u:

  0,1 x, x '    d  Ax, Ax'   d  x, x ' .
2

1

nh lý 1.1.1(nguyên lý Banach v ánh x co).

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 8


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

M i ánh x co A ánh x t không gian metric đ y   , d  vào
_

_

chính nó đ u có đi m b t đ ng x duy nh t, ngh a là x   th a mãn h
th c:
_

_

Ax  x .
nh lý Axcoli



Gi s

 là không gian metric compact. G i C là t p h p t t c

các hàm liên t c trên  (v i giá tr th c hay ph c). N u h

A C    th a

mãn các đi u ki n:
a) A là b ch n t i t ng đi m trên 
b) A là đ ng liên t c trên 
thì A là m t t p h p compact t
1.2

ng đ i trong

C   .

Không gian đ nh chu n.
nh ngh a 1.2.1
Không gian đ nh chu n (hay không gian tuy n tính đ nh chu n) là m t

không gian tuy n tính  trên tr

ng

ánh x t t p  vào ฀ , kí hi u là

 (   ฀ ho c   ฀ ) cùng v i m t
 và đ c là chu n, th a mãn các tiên đ

sau:
1)  x   

x  0, x  0  x   (kí hi u ph n t không là  );

2)  x       
3)  x, y   
S

x    x ;

x y  x  y ;

x g i là chu n c a vect

x . Ta c ng kí hi u không gian đ nh

chu n là  . Các tiên đ 1), 2), 3) g i l h tiên đ chu n.

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 9


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

 Liên h gi a không gian đ nh chu n vƠ không gian metric.
nh lý 1.2.1
Cho không gian đ nh chu n  .

i v i hai vect b t k

x, y  ,

ta đ t:

d x, y  x  y

(1.2.1)

Khi đó d là m t metric trên  .
Vì v y, m i không gian đ nh chu n đ u là không gian metric.
 Không gian con.

Cho không gian đ nh chu n  và t p h p 0   ,  0   .
N u  0 là m t không gian tuy n tính con c a  và chu n xác đ nh
trên  0 là chu n xác đ nh trên  , thì  0 đ

c g i là không gian đ nh

chu n con c a không gian đ nh chu n  .
 Không gian Banach.
nh ngh a 1.2.2
Dãy đi m

 xn 

trong không gian đ nh chu n  g i là dãy c b n,

n u:

lim xn  xm  0

n , m

nh ngh a 1.2.3
Không gian đ nh chu n  g i là không gian Banach, n u m i dãy c
b n trong  đ u h i t .
 S h i t trong không gian đ nh chu n.
nh ngh a 1.2.4
Cho không gian đinh chu n  , x   .

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 10

Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p



T p U  y   : f  x  f  y   ,   0 cho tr

c , f   g i

là lân c n y u c a đi m x .
nh ngh a 1.2.5
Cho không gian đ nh chu n  . Dãy

 xn    g

i là h i t y u t i

x   , n u v i m i lân c n y u U c a x , tìm đ c s n0  ฀ 

ph n t

sao cho n  n0 thì xn  U .
yêu

Kí hi u : xn  x  n   
nh ngh a 1.2.6

 xn 

Dãy

trong không gian đ nh chu n  g i là h i t m nh t i

x0   n u:

   0  n0  *   n  n0 

xn  x0   .

 Toán t tuy n tính b ch n.
nh ngh a 1.2.7
Cho các không gian tuy n tính  và  trên tr

ng  (   ฀ ho c

  ฀ ). Ánh x A t không gian  vào không gian  g i là tuy n tính,
n u ánh x A th a mãn đi u ki n:
1)

 x, x '   

2)

 x        

Ta th

A x  x '  Ax  Ax '
A x   Ax

ng g i ánh x tuy n tính là toán t tuy n tính. Khi toán t

A

ch th a mãn đi u ki n 1) thì A g i là toán t c ng tính còn khi toán t

A

ch th a mãn đi u ki n 2) thì toán t

A g i là toán t thu n nh t.

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 11


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Khi  =  thì toán t tuy n tính A th

ng g i là phi m hàm tuy n

tính.

nh ngh a 1.2.8
Cho hai không gian đ nh chu n  và  . Toán t tuy n tính A t
không gian  vào không gian  g i là b ch n (gi i n i), n u t n t i h ng
s C  0 , sao cho:

Ax  C x , x  
Khi đó
toán t

A  inf C  0 : x   : Ax  C x  g i là chu n c a

A.
T đ nh ngh a ta d dàng có các tính ch t sau:
1)

x  

2)

   0  x    

Ax  A x ;

A    x  A ;

nh lý 1.2.2 (đ nh lý ba m nh đ t

ng đ

ng).

Cho A là toán t tuy n tính t không gian đ nh chu n  vào không
gian đ nh chu n  . Ba m nh đ sau t

ng đ

ng:

1)

A liên t c.

2)

A liên t c t i đi m x0 nào đó thu c  .

3)

A b ch n.

 Không gian các toán t tuy n tính b ch n.
Cho hai không gian đ nh chu n  và  . Kí hi u L  ,   là t p
h p t t c các toán t tuy n tính b ch n t không gian đ nh chu n  vào
không gian đ nh chu n  . Ta đ a vào L,   hai phép toán:

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 12


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

A, B L ,   là toán t , kí hi u AB ,

+) T ng c a hai toán t
xác đ nh b ng h th c:

 A Bx  Ax  Bx ,
+) Tích vô h

ng c a

x  

  (   ฀

ho c   ฀ ) v i toán t

A L,   là toán t , kí hi u là A, xác đ nh b ng h th c:

 A x    Ax
D dàng ki m tra A B  L,   ,  A L  ,   v i hai phép
toán trên th a mãn h tiên đ không gian tuy n tính. Do đó t p h p L,  
cùng v i hai phép toán trên tr thành không gian tuy n tính trên tr

ng

.

A L,   , ta đ t:

V i m i toán t b t k

A  sup Ax

(1.2.2)

x 1

D th y (1.2.2) th a mãn h tiên đ chu n và không gian tuy n tính

L ,   trên tr ng  tr thành không gian đ nh chu n.
nh lý 1.2.3
N u  là không gian Banach thì L,   là không gian Banach.
 Không gian liên h p vƠ ph n x
nh ngh a 1.2.9
Cho không gian đ nh chu n  trên tr

ng

 (   ฀ ho c   ฀ ).

Ta g i không gian L,  các phi m hàm tuy n tính liên t c trên không
gian  là không gian liên h p(hay không gian đ i ng u) c a không gian

 và kí hi u là  ( thay cho kí hi u L,  ).

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 13

Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p



Không gian liên h p c a không gian  g i là không gian liên h p th


hai c a không gian  và kí hi u là  .
nh lý 1.2.4


N u không gian liên h p  c a không gian đ nh chu n  là tách
đ

c thì không gian  là tách đ

c.

nh lý 1.2.5
T n t i m t phép đ ng c tuy n tính t không gian đ nh chu n  vào


không gian liên h p th hai  c a không gian  .
nh ngh a 1.2.10

Không gian đ nh chu n  g i là không gian ph n x n u    .


nh lý 1.2.6
Không gian con đóng c a m t không gian ph n x là không gian ph n
x .
 Toán t compact

 ,  là hai không gian Banach

Gi s

Toán t tuy n tính:

A:   
g i là compact, n u ánh x
h p compact t

A hình c u đ n v đóng c a  thành m t t p

ng đ i trong  .

T các tính ch t c a các t p h p b ch n và các t p h p t

ng đ i, ta

suy ra:
o

Toán t compact A ánh x m i t p h p b ch n trong

 thành m t t p compact t ng đ i trong  .
o

Toán t compact là liên t c.

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 14


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Nh v y tính compact c a m t toán t tuy n tính m nh h n tính liên
t c, do đó ng

i ta còn g i m t toán t compact là m t toán t hoàn toàn liên

t c.
nh lý 1.2.7
N u A:    là m t toán t compact c a không gian đ nh chu n

 vào không gian đ nh chu n  , thì ánh x A ánh x m i dãy h i t y u
trong  thành dãy h i t (m nh) trong  .
nh lý 1.2.8
Gi s

 là không gian Banach ph n x và  là m t không gian đ nh

chu n tùy ý. N u toán t tuy n tính:

A:   
ánh x m i dãy h i t y u trong  thành dãy h i t (m nh) trong  thì A
là m t toán t compact.
nh lý 1.2.9
Gi s

 là m t không gian đ nh chu n tùy ý và  là m t không gian

Banach. N u An  L ,  
trong L,   đ n toán t

n  1,2... là m

t dãy toán t compact, h i t

A L,   , t c là:
lim An  A  0
n

thì A là m t toán t compact.
nh lý 1.2.10
a) N u  và  là hai không gian đ nh chu n và A:    là m t
toán t compact, thì toán t liên h p A :     c ng là compact.
b) Ng

c l i, n u toán t

A là compact và gi thi t thêm r ng  là

m t không gian Banach, thì A là m t toán t compact.

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 15


Tr

1.3

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Không gian Hilbert.
 Tích vô h

ng.

nh ngh a 1.3.1
Cho không gian tuy n tính  trên tr
Ta g i là tích vô h

ng

 (   ฀ ho c   ฀ ).

ng trên không gian  m i ánh x t tích Descartes

   vào tr ng  , kí hi u  ,   th a mãn các tiên đ :

 y, x  x, y
x  y, z  x, z   y, z

1)

 x, y   

2)

x, y, z   

3)

x, y        x, y    x, y

4)

 x     x, x  0 , n u x   
x, x  0 , n u x  

x, y, z g i là các ph n t c a tích vô h ng. S

Các ph n t
g i là tích vô h

kí hi u là ph n t không

ng c a hai nhân t

h tiên đ tích vô h



 x, y

x và y , các tiên đ 1), 2), 3), 4) g i là

ng.

 B t đ ng th c Schwarz.
nh lí 1.3.1

x, y   , ta có  x, y   x, x .  y, y
i v i m i x  , ta đ t:

x 

x, x

nh ngh a 1.3.2 (đ nh ngh a không gian Hilbert)
Ta g i m t t p h p    g m các ph n t

x, y, z,... nào đ y là

không Gian Hilbert, n u t p h p  th a mãn các đi u ki n:

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 16

Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

.

1)  là không gian tuy n tính trên tr

ng

2)  đ

, .

c trang b m t tích vô h

ng

3)  là không gian Banach v i chu n x 

 x, x ,

x  .

Ta g i m i không gian tuy n tính con đóng c a không gian Hilbert 
là không gian Hilbert con c a không gian  .
 Ph n bù tr c giao, t p con tr c giao.

nh ngh a 1.3.3
Cho không gian Hilbert  , hai ph n t

x, y  g i là tr c giao, kí

hi u x  y , n u x, y  0 .
nh ngh a 1.3.4
Cho không gian Hilbert  và t p h p A  , A   . Ph n t

x 

g i là tr c giao v i t p h p A , n u x  y y  A  , kí hi u x  A.
 Ph n bù tr c giao.
nh ngh a 1.3.5
Cho không gian Hilbert  và không gian con  c a  . T p con

F   g m các ph n t c a không gian  tr c giao v i t p  g i là ph n
bù tr c giao c a t p  trên không gian  và kí hi u: F     .
D th y F c ng là không gian con c a  khi đó ta có bi u di n:

    F  x  x1  x2 , x1  , x2  F 
nh lí 1.3.2 (đ nh lí v hình chi u lên không gian con)
Cho không gian Hilbert  và  0 là không gian con c a  . Khi đó
ph n t b t k x   bi u di n m t cách duy nh t d

i d ng:

x  y  z, y   0 , z   0

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 17

Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

 H tr c chu n.
nh ngh a 1.3.6
Cho không gian Hilbert  . M t t p h p (còn g i là h th ng) g m h u
h n hay đ m đ

 en n1   g

c các ph n t

e , e   
i

j

i là m t h tr c chu n n u:

0, nêu i  j

1, nêu i  j

ij

 ij _là kí hi u Kroneckes i, j  1,2...
 C s tr c chu n ậ

ng th c Paseval.

nh ngh a 1.3.7
H tr c chu n

en n1 trong không gian Hilbert 

g i là c s tr c

chu n c a không gian  , n u trong không gian  không t n t i vect khác
không nào tr c giao v i h đó.
nh lí 1.3.3
Cho

en n1 là m

m nh đ sau t

ng đ

1) H
2)

t h tr c chu n trong không gian Hilbert  . N m

ng:

en n1 là c

x   

s tr c chu n c a không gian  ;

x   x, en en ;
n1

3)

 x, y    x, y    x, en  en , y ; (

ng th c Paseval)

n 1

4)

x   

x    x, en  ;
2

2

(Ph

ng trình đóng)

n1

5) Bao tuy n tính c a h

en n1 trù m t kh p n

i trong không

gian  (ngh a là t p t t c các t h p tuy n tính c a m t s h u h n b t k
các ph n t thu c h

en n1 trù m t kh p n

i trong không gian  ).

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 18


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

 D ng t ng quát c a phi m hƠm tuy n tính liên t c.
nh lí 1.3.4 (F. Riesz)
M i phi m hàm tuy n tính liên t c trong không gian Hilbert  đ u có
th bi u di n duy nh t d

i d ng:

f ( x)  x, a , x  
trong đó ph n t a   đ

c xác đ nh duy nh t b i phi m hàm f và

f  a
 Toán t liên h p.
nh ngh a 1.3.8
Cho A là toán t tuy n tính b ch n ánh x không gian Hilbert  vào
không gian Hilbert  . Toán t

B ánh x không gian  vào không gian 

g i là toán t liên h p v i toán t

A , n u:

 Ax, y  x, By,
Toán t liên h p B th

ng đ

x  , y   .
c kí hi u là A .

 Toán t t liên h p.
nh ngh a 1.3.9
Toán t tuy n tính b ch n A ánh x không gian Hilbert  vào chính
nó đ

c g i là t liên h p, n u:

 Ax, y  x, Ay,
Toán t liên h p còn đ

x, , y   .

c g i là toán t đ i x ng.

nh lí 1.3.5
Toán t tuy n tính b ch n A ánh x không gian Hilbert  vào chính
nó là t liên h p khi và ch khi tích vô h

ng  Ax, x là m t s th c đ i v i

m i x  .

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 19


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

 S h i t y u.
nh ngh a 1.3.10
Cho không gian Hilbert  . Dãy đi m xn    g i là h i t y u t i

đi m x   , kí hi u xn  x , n u v i m i đi m y   ta có:
yêu

lim  xn , y    x, y 
n 

 Toán t compact.
nh lí 1.3.6
Cho A là toán t tuy n tính b ch n ánh x không gian Hilbert  vào
không gian Hilbert  . A là toán t compact khi và ch khi toán t

A bi n

m i dãy h i t y u trong không gian  thành dãy h i t m nh (còn g i là h i
t theo chu n) trong không gian  .
nh lí 1.3.7
N u  là m t không gian Hilbert, thì liên h p c a m i toán t
compact trong  đ u là m t toán t compact.
i u ki n Lípchitz.



Ta nói r ng trên a ; b  ánh x A th a mãn đi u ki n Lípchitz theo bi n

y , n u t n t i s L  0 sao cho v i m i y, y '  a ;b  ta có b t đ ng th c:
Ay  Ay'  L y  y' .
S

L đ c g i là h ng s Lípchitz.

 Toán t d

ng.

Toán t tuy n tính liên t c A trong không gian Hilbert  g i là
d

ng n u v i m i x   ta đ u có:

 Ax, x  0 .
Khi đó ng

i ta kí hi u: A 0 .

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 20


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

 Toán t đ ng c b ph n.
Gi s và  là hai không gian Hilbert. M t toán t tuy n tính

V :    c a  vào  đ c g i là đ ng c b ph n, n u:

v i  và  là nh ng không gian con đóng c a  , tr c giao v i nhau sao
cho:

a) Vx  0 khi x   , t c là thu h p c a V lên  là toán t không.
b) Vx  x khi x   , t c là thu h p V lên  là toán t đ ng c
(c a  vào  ).
nh lí 1.3.8
M i toán t tuy n tính b ch n:

A:   
c a không gian Hilbert  vào không gian Hilbert  đ u có th bi u di n
d

i d ng:

A  VT
trong đó:

:   

là m t toán t d

ng b ch n trong  , và

V:

 


là m t toán t đ ng c b ph n v i mi n g c  A     và mi n

nh  A   .
 Toán t Hilbert-Smith.

Gi s
t

 và  là hai không gian Hilbert và A :    là m t toán

Compact c a không gian  vào không gian  . Nh đã bi t, toán t

có th bi u di n d

A

i d ng:

A  VT
GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 21


Tr

ng HSP Hà N i 2

v i  là m t toán t d

Khóa lu n t t nghi p

ng, compact trong  , và V là toán t đ ng c b

 



ph n, v i mi n g c  A     và mi n nh  A   .

Vì  là compact và d

ng, nên ta có th xét dãy các giá tr riêng khác

0 c a  là: 1 , 2 ,..., n ,... trong đó m i giá tr riêng đ

ck v im ts l n

b ng s b i c a nó, và ta có n  0, lim n  0 .
n

N u





n

n 1

2

  thì A đ

c g i là m t toán t Hilbert-Smith.

nh lí 1.3.9

A :    là m t toán t tuy n tính liên t c c a không gian

Gi s

Hilbert  vào không gian Hilbert  .

A là m t toán t Hilbert-Smith,

đi u ki n c n và đ là chu i:



n1

Afn

2

h i t , trong đó  fn : n  1,2... là c s tr c chu n nào đó c a  .
1.4

Không gian Ca ;b  .
nh ngh a 1.4.1
Không gian Ca ;b  là t p h p t t c các hàm s th c xác đ nh và liên t c

trên Ca ;b  .
Kí hi u:

 C

a ;b

 x(t ) : x(t )  ฀ , xác đ nh và liên t c trên a ;b  , v i

   a  b  .
a vào không gian Ca ;b  hai phép toán đó là c ng hai hàm s và
phép nhân s th c v i hàm s nh thông th
+)

ng:

x  y(t )  x(t )  y(t )

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 22


Tr

ng HSP Hà N i 2

+)

Khóa lu n t t nghi p

 x (t )   x(t ),  ฀

nh lí 1.4.1
Không gian Ca ;b  cùng v i hai phép toán trên l p thành m t không
gian tuy n tính th c.

Khi đó x(t )  Ca ;b  thì ánh x :

 : Ca ;b  ฀
x(t )  x  max x(t )
ta ;b 

(1.4.1)

xác đ nh m t chu n trên Ca ;b  .
Ch ng minh
- Ca ;b  là không gian tuy n tính th c.
- x(t )  x  max x(t ) xác đ nh m t chu n trên Ca ;b  .
ta ;b 
Th t v y:
o

x(t )  C a ;b , suy ra x(t ) liên t c trên a ;b  , nên x(t ) đ t

GTLN trên a ;b  .
V y x xác đ nh.
o Ki m tra các tiên đ v chu n:
1. x(t )  C a ;b , ta có x(t )  0, t  a ; b , do đó:
+) max x(t )  0 khi và ch khi x  0
t a ;b

+)

x  0 khi và ch khi max x(t )  0 t  a ;b

Suy ra

t a ;b

x(t )  0 t  a ;b 

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 23


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Suy ra x(t )  0 t a ;b 
Tiên đ 1 đ

c th a mãn.

2. x(t )  C a ;b ,
 

  ฀ , ta có:

 x  max  x(t )  max  x(t )   max x(t )   . x
t a ;b

ta ;b

ta ;b 

Tiên đ 2 đ

c th a mãn.

3. x(t ), y(t )  Ca ;b , ta có:

x(t )  y(t )  x(t )  y(t )  max x(t )  max y(t )
ta ;b 

ta ;b 

Suy ra max x(t )  y(t )  max x(t )  max y(t )
t a ;b 

Do đó

ta ;b 

ta ;b 

x y  x  y

Tiên đ 3 đ

c th a mãn.

V y Ca ;b  cùng v i chu n (1.4.1) l p thành m t không gian đ nh
chu n.
nh lí 1.4.2

Không gian Ca ;b  là không gian Banach v i chu n (1.4.1).
Ch ng minh.
Gi s

xn (t )n1

là dãy c b n b t k trong Ca ;b  , theo đ nh ngh a

dãy c b n, ta có:

  0  n0  ฀ *  n, m  n0 
Suy ra: max xn (t )  xm (t )  
t a ;b 

Suy ra: xn (t )  xm (t )  

xn  xm  

m, n  n0

(1.4.2)

m, n  n0,t a ; b

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 24


Tr

ng HSP Hà N i 2

Khóa lu n t t nghi p


i u này ch ng t t a ;b thì dãy xn (t )n1 là dãy s c b n trong

฀ 1 . Vì ฀ 1 là không gian đ y nên xn (t )n1 h i t trong ฀ 1 .
T (1.4.2) cho m   ta có:

max xn (t )  x(t )  

(1.4.3)

ta ;b 

Suy ra

xn  x  

Suy ra xn  x
T (1.4.3) ta có xn (t )  x(t ) .
Mà xn (t ) liên t c trên a ;b  , nên x(t ) liên t c trên a ;b  .
Suy ra

x(t )  C a ;b .

Ta có s h i t trong không gian Ca ;b  t

ng đ

ng v i s h i t đ u

c a dãy hàm liên t c trong không gian Ca ;b  .
Do đó xn (t )n1  x(t )  Ca ;b  .


V y Ca ;b  là không gian Banach.
1.5

Không gian Lp a ; b .
nh ngh a 1.5.1
Cho không gian đ đo

 , v i đ đo  . Ta kí hi u Lp a ;b   p  1 là

t p h p t t c các hàm s x(t ) đo đ



c theo đ đo



trên

 , sao cho:

x(t ) d  
p



Ta đ a vào Lp a ;b  hai phép toán: c ng hai hàm s và nhân m t s
th c v i hàm s nh thông th

ng:

GVHD: Ts. Nguy n V n Hùng - SVTH: Nguy n T. H ng Nhung K32E 25