Các chuyên đề về định nghĩa và khái niệm toán

1-12Những tình huống điển hình trong dạy học toán
Biên soạn:
I. Một số khái niệm thờng gặp
Nội dung môn toán ở trờng phổ thông liên hệ mật thiết trớc hết với
những hoạt động toán học sau đây:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động trái ngợc nhau liên hệ với
một định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp .
Tuy hai hoạt động trái ngợc nhau nhng lại liên quan mật thiết với nhau và
đan kết vào nhau.
- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tợng cho trớc có
thoả mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tợng
thoả mãn định nghĩa đó.
- Nhận dạng một định lý là xét xem một tình huống cho trớc có ăn khớp
với định lý đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống
ăn khớp với định lí cho trớc.
- Nhận dạng một phơng pháp là phát hiện xem một loạt tình huống có phù
hợp với các bớc thực hiện phơng pháp đó hay không, thể hiện một phơng pháp
là tạo ra một dãy tình huống phù hợp với các bớc của một phơng pháp đã biết.
+ Những hoạt động toán học phức hợp: nh chứng minh, định nghĩa, giải
toán dựng hình, quỹ tích
Những hoạt động này xuất hiện lặp đi lặp lại trong sách giáo khoa toán
phổ thông. Học sinh luyện tập những hoạt động này làm cho họ nắm vững
những nội dung toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực toán học tơng
ứng.
- Suy luận: Là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp xuất phát từ một
hay nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới.
- Suy đoán: Trên cơ sở thực nghiệm, thấy có một số dấu hiệu giống nhau
nào đó đề ra giả thuyết theo hình thức quy nạp không hoàn toàn.
- Phán đoán: Là một hình thức t duy trong đó khẳng định một dấu hiệu
nào đó thuộc hay không thuộc một đối tợng nào đó xác định.

Phán đoán trong logic hình thức có tính chất đúng hoặc sai và nhất thiết
chỉ xảy ra một trong hai trờng hợp đó.
Phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu: Trực tiếp và gián
tiếp. Nếu hình thành trực tiếp, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của một
quá trình tri giác một đối tợng. Hình thành gián tiếp thờng thông qua một hoạt
động trí tuệ đặc biệt nào đó gọi là suy luận.
- Chứng minh: Là quá trình xác nhận tính đúng đắn hoặc bác bỏ một phán
đoán nào đó dựa vào các phán đoán đã biết từ trớc.
Nh vậy chứng minh (chẳng hạn một BTT) là tìm một dãy hữu hạn các
phán đoán thoả mãn:
* Mỗi phán đoán của dãy hoặc là tiên đề hoặc là định nghĩa hoặc định lí
hoặc là giả thiết đã cho hoặc là những phán đoán đi trớc của dãy nhờ các quy
tắc suy luận.
*Phán đoán A
n
của dãy là điều cần chứng minh của BTT.
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc,
phân chia trờng hợp
+ Những hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng
tự, đặc biệt hoá, trừu tợng hoá, khái quát hoá
- Phép phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha biết đến cái đã biết.
- Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái cha biết.
Nếu A là phán đoán cần chứng minh và A
i
(i = 1, 2, 3 , n) hoặc là tiên đề
hoặc định lí hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp nh sau: A
1
=>
A
2

=> => A
n
= A.
- So sánh: Phát hiện những điểm chung và những điểm khác nhau của một
số đối tợng.
- Tơng tự: Là thao tác t duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
giữa các đối tợng toán học khác nhau.
Sự tơng tự do tính trực quan và dễ phát hiện ra nó, thờng đợc áp dụng
trong giải BTT. Tuy nhiên cần lu ý cũng giống nh phơng pháp quy nạp không
hoàn toàn, tơng tự cũng dễ dẫn đến kết quả sai.
- Khái quát hoá: Là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
nào đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng
hơn bao gồm tập hợp các đối tợng ban đầu. (khái quát hoá ngoại diên).
Khái quát hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất
nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng hơn, bao gồm cả khái niệm hay tính
chất ban đầu (khái quát hoá nội hàm).
Hoạt động khái quát hoá có liên quan mật thiết đến đặc biệt hoá, phân
tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự, trừu tợng hoá và hệ thống hoá.
- Đặc biệt hoá: Là thao tác t duy ngợc với khái quát hoá. Đặc biệt hoá là
thao tác t duy chuyển từ một khái niệm hay một tính chất nào đó từ ngoại
diên rộng sang tập các đối tợng có ngoại diên hẹp hơn, chứa trong tập ban đầu
(đặc biệt hoá ngoại diên). Đặc biệt hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái
niệm hay tính chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hoá
nội hàm)
- Trừu tợng hoá: Là thao tác tách ra từ một đối tợng toán học một tính chất
(về quan hệ số lợng hoặc hình dạng logic của thế giới khách quan) để nghiên
cứu riêng tính chất đó. Trừu tợng hoá thoát ra khỏi mọi nội dung có tính chất
liệu.
+ Những hoạt động ngôn ngữ
Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những điều

đáng bàn. chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữ hay. Đó
là công cụ của ngời viết văn chẳng hạn. Nhng khi nói đến rèn luyện ngôn ngữ
thì ngời ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng, ngôn ngữ chuẩn mực.
Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, về nguyên tắc phải đợc hình
thành ở bậc phổ thông. Nhng trên thực tế, ở nớc ta học sinh tốt nghiệp phổ
thông, viết nói tiếng mẹ đẻ cha tốt lắm. Cho nên, muốn giữ gìn sự trong sáng
của tiếng Việt, chúng ta phải tốn nhiều công sức cho việc rèn luyện ngôn ngữ,
trớc hết, tập trung vào luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, chuẩn xác .
Trecnsepxki cho rằng Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt không
sáng, diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình rối rắm,
phức tạp mà thôi
- Ngôn ngữ toán học
Toán học theo nghĩa nào đó là một thứ ngôn ngữ để mô tả một tình huống
cụ thể nảy sinh trong nghiên cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của
loài ngời. Bởi vậy: "Dạy toán, xét về mặt nào đó là dạy học một ngôn ngữ, một
ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện, các phơng
pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn .
Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo các
khuynh hớng sau:
- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên.
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó.
- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên.
Nhà vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ
chung, sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối
quan hệ phụ thuộc mà nếu biểu diễn bằng ngôn ngữ thông thờng thì không
chính xác .
Học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ trong học toán khi phát
biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề, khi biến đổi chúng từ dạng này
sang dạng khác (chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang ngôn ngữ tự nhiên
hoặc ngợc lại), trình bày lời giải của bài tập toán

II. Dạy học khái niệm toán học
1, Khái niệm toán học
KháI niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối tợng.
- Do đó khái niệm có thể đợc xem xét theo hai phơng diện:
- Lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên.
- Các thuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của khái
niệm.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ có tính quy luật: Nội hàm
càng mở rộng thì ngoại diên càng hẹp và ngợc lại.
Ví dụ: Mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, bổ sung có một
góc vuông ta đợc một lớp là hinh chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp hình
bình hành.
2, Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt một lớp
dối tợng, thờng bằng cách chỉ ra nội hàm của khái niệm đó.
- Có những khái niệm không định nghĩa:
- Để định nghĩa một khái niệm mới dựa vào khái niệm đã biết mà quá
trình đĩnh nghĩa cứ tiếp tục đến một khái niệm không thể dựa và khái niệm khác
để định nghĩa vậy khái niệm đó đợc thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là những
khái niệm nguyên thủy.
Ví dụ: Khái niệm điểm, đờng thẳng, mặt phẳng.
3, Yêu cầu của dạy khái niệm:
Trong việc dạy toán ở phổ thông ,điều quan trọng bậc nhất là hình
thành một cách vững chắc cho hs một hẹ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ
kiến thứcToán học của hs, là tiền đề quan trọng cho hs khả năng vận dụng các
kiến thức đ ã học.
Việc dạy kn toán cần làm cho hs dần dần đạt đợc các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm
- Biết phát biểu rõ ràng chính xácđịnh nghĩa khái niệm.

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt
động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phân loại kn, nắm đợc mối quan hệ của một khái niệm với một
khái niệm khác trong cùng một hệ thống.
4, Các hoạt động trình tự trong quá trình dạy học khái niệm
- HĐ1: Tiếp cận khái niệm
- HĐ2: Định nghĩa khái niệm
- HĐ3: Cũng cố khái niệm (nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động
ngôn ngữ, vận dụng khái niệm vào giải bài tập ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và
hệ thống hóa những khái niệm đã học)
5, Các con đờng tiếp cận khái niệm:
- Con đờng suy diễn;
- Con đờng quy nạp;
- Con đờng kiến thiết;
a, Con đờng suy diễn
- Các kn Toán học đợc đn nh là một trờng hợp riêng của một khái niệm
đã biết.
- Xuất phát từ một kn đã biết thêm vào nội hàm của kn đó một số đặc
điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu đn bằng một cái tên mới và đn nó nhờ một kn tổng quát hơn
cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong kn tổng quát ó.
- Đa ra ví dụ minh họa
Ví dụ: Đn hình chữ nhật, hình thoi nh là trờng hợp riêng của hình bình
hành.
b, Con đờng quy nạp
Xuất phát từ đối tợng riêng lẻ, mô hình, hình vẽ phân tích, so sánh,
trừu tợng hóa, khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đăc trng của khái niệm ở các trờng
hợp cụ thể đó đi đến định nghĩa từ đó đi đến đĩnh nghĩa tờng minh hay một sự
hiểu biết trực giác khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chơng trình.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng quy nạp

- Gv đa ra một số ví dụ cụ thể để hs thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của
một loạt đối tợng nào đó.
- Dẫn dắt hs phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các
đối tợng đang xem xét.
- Gợi mở cho hs phát biểu đn bằng cách nêu tên và đặc trng của kn.
Ví dụ: Đn tứ giác( ở lớp 8), hàm số ( ở lớp 9)
c, Con đờng kiến thiết
Kết hợp những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng kiến thiết.
- Xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần đợc hình
thành hớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ môn
toán.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trng cho kn cần hình thành.
- Phát biểu biểu đn theo gợi ý kết quả bớc 2.
(Con đờng kiến thiết không thấy xuất hiện ở Toán THCS)
Ví dụ: Kn lũy thừa số mũ âm, Vận tốc tức thời của chuyển động.
6, Dạy học phân chia khái niệm
Đn một khái niệm (ở dạng tờng minh hoặc không tờng minh), thì nội
hàm và ngoại diên của nó đợc xác định. Ngoại diên của khái niệm đợc sáng tỏ
hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm. Biết phân chia khái niệm là một trong
những biểu hiện của việc nắm vững những khái niệm toán học
Để học sinh biết phân chia khái niệm, trớc hết cần cho họ hiểu đúng thế
nào là phân chia khái niệm. Một khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A đợc
phân chia thành các khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A
1
, A
2
, A
n

có nghĩa
là các điều kiện sau đây thõa mãn:
i) A
1
với i = 1, 2, n;
ii) A
1
A
j
= với i j
iii)
n
i
i 1
A A
U
=
=
Ví du: Số phức phân thành số thực và số ảo, số thực phân thành số vô tỉ và số
hửu tỉ
III. Dạy học định lý toán học:
Việc dạy học các định lý Toán học nhằm đạt đợc các yêu cầu sau đây:
- Học sinh nắm đợc hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ
đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng nh giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn;
- Học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy đợc chứng
minh định lý là một yếu tố quan trọng trong phơng pháp làm việc trên lĩnh vực
Toán học;