Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi THPTQG môn Toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.15 MB, 182 trang )

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn
T.T HOÀNG GIA – 56 PHỐ CHỢ – P. TÂN THÀNH – Q. TÂN PHÚ

Họ và tên học sinh: ..........................................................
Lớp: .............................. ĐT: ..............................................

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong Oxyz

MỤC LỤC
Trang

§ 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ................................................................................... 1
 Dạng tốn 1. Bài tốn liên quan đến véctơ và độ dài đoạn thẳng ........................................ 3
 Dạng tốn 2. Bài tốn liên quan đến trung điểm và trọng tâm ............................................ 4
 Dạng tốn 3. Bài tốn liên quan đến hai véctơ bằng nhau .................................................... 5
 Dạng tốn 4. Hai véctơ cùng phương và ba điểm thẳng hàng ............................................. 8
 Dạng tốn 5. Nhóm bài tốn liên quan đến hình chiếu và điểm đối xứng ........................ 9
 Bài tập về nhà 1 ........................................................................................................................ 12
 Bài tập về nhà 2 ........................................................................................................................ 14
 Dạng tốn 6. Bài tốn liên quan đến tích vơ hướng .............................................................. 17
 Dạng tốn 7. Bài tốn liên quan đến tích có hướng................................................................. 19
 Dạng tốn 8. Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu ............................................................ 23
 Dạng tốn 8. Viết phương trình mặt cầu dạng cơ bản ........................................................... 25
 Bài tập về nhà 1 ........................................................................................................................ 35
 Bài tập về nhà 2 ........................................................................................................................ 38

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ...................................................................................................... 41
 Dạng tốn 1. Xác định các yếu tố cơ bản của mặt phẳng ...................................................... 44

 Dạng tốn 2. Khoảng cách, góc và vị trí tương đối ................................................................ 45
 Bài tập về nhà 1 ........................................................................................................................ 50
 Bài tập về nhà 2 ........................................................................................................................ 52
 Dạng tốn 2. Viết phương trình mặt phẳng ............................................................................ 55
 Bài tập về nhà 1 ........................................................................................................................ 73
 Bài tập về nhà 2 ........................................................................................................................ 76

§ 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................. 79
 Dạng tốn 1. Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng .................................................. 81
 Dạng tốn 2. Góc ......................................................................................................................... 83
 Dạng tốn 3. Khoảng cách .......................................................................................................... 86
 Dạng tốn 4. Vị trí tương đối .................................................................................................... 88
 Bài tập về nhà 1 ........................................................................................................................ 98
 Bài tập về nhà 2 ........................................................................................................................ 101
 Dạng tốn 5. Viết phương trình đường thẳng ....................................................................... 105
 Bài tập về nhà 1 ........................................................................................................................ 124
 Bài tập về nhà 2 ........................................................................................................................ 129
 Bài tập về nhà 3 ........................................................................................................................ 133
 Dạng tốn 6. Hình chiếu, điểm đối xứng và bài tốn liên quan .......................................... 139
 Bài tập về nhà ........................................................................................................................... 150
 Dạng tốn 7. Bài tốn cực trị và một số bài tốn khác .......................................................... 155

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyên đề

7

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

PHƯƠNG PHÁP TỌ A ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
§ 1. HỆ TỌ A ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


1. Định nghĩa hệ trục tọa độ
Hệ gồm 3 trục Ox , Oy, Oz vng góc với nhau từng đơi một và



chung điểm gốc O. Gọi i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0) và k  (0; 0;1)
là các véctơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox , Oy, Oz . Hệ ba
trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian hay
gọi là hệ trục Oxyz .




 
Lưu ý: i 2  j 2  k 2  1 và i .j  i .k  k .j  0.
2. Tọa độ véctơ





Định nghĩa: a  (x ; y; z )  a  x .i  y.j  z .k .



Tính chất: Cho a  (a1 ; a 2 ; a 3 ), b  (b1;b2 ;b3 ), k  .

 
 a  b  (a1  b1 ; a 2  b2 ; a 3  b3 ).
 k .a  (ka1; ka2 ; ka 3 ).

a  b
 1
1



a
a
a




 Hai véctơ bằng nhau a  b  a 2  b2 
 a  b  a  k .b  1  2  3 

b1
b2
b3
a 3  b3

2


 Mơđun (độ dài) véctơ: a  a12  a 22  a 32  a  a12  a 22  a 32 .

 
 
 Tích vơ hướng: a .b  a . b .cos(a ,b )  a1b1  a2b2  a 3b3 .

 a  b  a b  a b  a b  0.

1 1
2 2
3 3


a1b1  a 2b2  a 3b3
 
a .b
Suy ra: 

 cos(a ;b )    

a .b
a12  a 22  a 32 . b12  b22  b32

3. Tọa độ điểm




Định nghĩa: M (a ;b; c)  OM  a.i  b.j  c.k  (a;b; c).
M  (Oxy )  z  0, M  (Oyz )  x  0, M  (Oxz )  y  0

Cần nhớ: 


M  Ox  y  z  0, M  Oy  x  z  0, M  Oz  x  y  0

Tính chất: cho hai điểm A(x A ; yA; z A ), B(x B ; y B ; z B ).

 AB  (x B  x A ; yB  yA ; z B  z A )  AB  (x B  x A )2  (yB  y A )2  (z B  z A )2 .

 x  x y  y z  z 
B
B
B
 Gọi M là trung điểm AB  M  A
; A
; A

 2
2
2 
 x  x  x y  y  y z  z  z 
B
C
B
C
B
C 
 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  G  A
; A
; A


3
3
3


 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, khi đó tọa độ điểm G là
 x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  z 
B
C
D
B
C
D
B
C
D
G  A
; A
; A


4
4
4


Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 1 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

4. Tớch cú hng ca hai vộct
a (a ;a ; a )
1
2
3
nh ngha: Trong h trc ta Oxyz , cho 2 vộct
Tớch cú hng ca hai

b (b1 ;b2 ;b3 )

vộct a , b l mt vộct, ký hiu l [a , b ] (hoc a b ) v c xỏc nh bi cụng thc:

a a a a a a

[a , b ] 2 3 ; 3 1 ; 1 2 a 2b3 a 3b2 ; a 3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
b2 b3 b3 b1 b1 b2

Lu ý: Nu c [a , b ] thỡ ta luụn cú c a v c b .
Tớnh cht:

[i , j ] k , [ j , k ] i , [k , i ] j .

[a , b ] a . b .sin(a ;b ).

[a , b ] a , [a ,b ] b .

a b [a ,b ] 0.

ng dng ca tớch cú hng:

a , b , c ng phng [a , b ].c 0. Ngc li, a , b , c khụng ng phng thỡ

[a , b ].c 0 (thng gi l tớch hn tp).
Do ú chng minh 4 im A, B, C , D l bn im ca mt t din, ta cn chng minh

AB, AC , AD khụng ng phng, ngha l AB, AC .AD 0.

Ngc li, chng minh 4 im A, B, C , D ng phng, ta cn chng minh

AB, AC , AD cựng thuc mt mt phng AB, AC .AD 0.

D
C

Din tớch ca hỡnh bỡnh hnh ABCD l S ABCD AB, AD

1

A
Din tớch ABC l S ABC AB, AC
B
2

A

Th tớch khi hp ABCD .A B C D l V AB, AD .AA .

C
B
1

Th tớch khi t din ABCD l VABCD AB, AC .AD .
6

5. Phng trỡnh mt cu
Phng trỡnh mt cu (S) dng 1:
vit phng trỡnh mt cu (S ), ta cn tỡm tõm I (a;b; c) v bỏn kớnh R. Khi ú:

Tõm: I (a;b; c)
(S ) :
(S ) : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R 2 .
Bỏn kớnh: R

Phng trỡnh mt cu (S) dng 2:
Khai trin dng 1, ta c x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cx a 2 b 2 c 2 R 2 0 v t

d a 2 b 2 c 2 R thỡ c phng trỡnh mt cu dng 2 l
(S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 .
Vi a 2 b 2 c 2 d 0 l phng trỡnh mt cu dng 2 cú tõm I (a;b; c), bỏn kớnh l

R a 2 b2 c 2 d .
Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 2 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 1: Bài toán liên quan đến véctơ và độ dài đoạn thẳng
 Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(x A ; yA; z A ), B(x B ; y B ; z B ).


 AB  (x B  x A; yB  y A; zB  z A ).






 a  (x ; y; z )  a  x .i  y.j  z .k .




 M (a;b; c)  OM  a .i  b.j  c.k .

 AB  (x B  x A )2  (y B  yA )2  (z B  z A )2 .

 


Ví dụ: a  2i  3 j  k  a  (......;.......;.......).



Ví dụ: OM  2.i  3.k  M (........;........;........).

 Điểm thuộc trục và mặt phẳng tọa độ (thiếu cài nào, cho cái đó bằng 0) :
z 0
 M  (Oxy ) 
 M (x M ; yM ;0).

x 0
 M  (Oyz ) 

 M (... ; ... ; ...).

y 0
y z 0
 M  (Oxz ) 

 M (... ; ... ; ...).  M  Ox 

 M (... ; ... ; ...).
x z 0
 M  Oy 

 M (... ; ... ; ...).

x y 0
 M  Oz 

 M (... ; ... ; ...).


 
1;2; 3) và B(2; 1; 0).
1. Cho điểm M thỏa OM  2i  j . Tìm tọa 2. Cho hai điểm A(

độ của điểm M .
Tìm tọa độ véctơ AB.
A. M (0;2;1).

B. M (1;2;0).

A. (1; 1;1).

B. (3; 3; 3).

C. M (2;0;1).

D. M (2;1;0).

C. (1;1; 3).

D. (3; 3; 3).

...................................................................................
...................................................................................


3. Cho hai điểm A, B thỏa OA  (2; 1; 3) và 4. Cho hai điểm M , N thỏa OM  (4; 2;1),




OB  (5;2; 1). Tìm tọa độ véctơ AB.
ON  (2; 1;1). Tìm tọa độ véctơ MN .




A. AB  (3; 3; 4). B. AB  (2; 1; 3).
A. MN  (2; 1; 0). B. MN  (6; 3;2).





C. AB  (7;1;2).
D. AB  (3; 3; 4).
C. MN  (2;1; 0). D. MN  (6; 3; 2).
...................................................................................

...................................................................................

5. Cho hai điểm A(2;3;1), B (3;1;5). Tính độ 6. Cho hai điểm M (3; 0;0), N (0; 0;4). Tính độ
dài đoạn thẳng AB.

dài đoạn thẳng MN .

A. AB  21.

B. AB  13.

C. AB  2 3.

D. AB  2 5.

A. MN  10.

B. MN  5.

C. MN  1.

D. MN  7.

 2
2
2 
2
x  x  x y  y  y z  z  z 
A  B C
B
C
B
C
B
C

 G là trọng tâm ABC  G  A
; A
; A
  Nhớ G 

3
3
3
3

 Gọi G1 là trọng tâm của tứ diện ABCD, khi đó tọa độ điểm G1 là

 x  x  x  x y  y  y  y z  z  z  z 
A  B C  D
B
C
D

B
C
D
B
C
D

G1  A
; A
; A
  Nhớ: G1 

4
4
4
4

1. Cho hai điểm A(3; 2; 3) và B(1;2;5). Tìm 2. Cho hai điểm M (1; 2; 3) và N (3;0; 1). Tìm
tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

tọa độ trung điểm I của đoạn MN .

A. I (2;2;1).

B. I (1; 0;4).

A. I (4; 2;2).

B. I (2; 1;2).

C. I (2;0;8).

D. I (2; 2; 1).

C. I (4; 2;1).

D. I (2; 1;1).

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

3. Cho hai điểm M (3; 2; 3) và I (1; 0;4). Tìm 4. Cho hai điểm A(2;1; 4) và I (2;2;1). Tìm điểm
điểm N để I là trung điểm của đoạn MN .

B để I là trung điểm của đoạn AB.

A. N (5; 4;2).

B. N (0;1;2).

A. B(2; 5;2).

B. B(2; 3; 2).

C. N (2; 1;2).

D. N (1;2;5).

C. B(2; 1;2).

D. B (2;5;2).

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

5. Cho ba điểm A(1;3;5), B (2; 0;1), C (0;9; 0).

6. Cho 4 điểm A(2;1; 3), B(4;2;1), C (3;0;5)
và G(a;b; c) là trọng tâm ABC . Tìm abc.

Tìm trọng tâm G của tam giác ABC .
A. G(3;12;6).

B. G(1;5;2).

A. abc  3.

B. abc  4.

C. G (1; 0;5).

D. G (1; 4;2).

C. abc  5.

D. abc  0.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

7. Cho tứ diện ABCD có A(1;0;2), B(2;1;3), 8. Cho tứ diện ABCD có A(1; 1;1), B (0;1;2),
C (3;2;4), D(6;9; 5). Tìm tọa độ trọng tâm
C (1;0;1), D(a;b; c) và G(3/2; 0;1) là trọng
tâm của tứ diện. Tính S  a  b  c.

G của tứ diện ABCD.
A. G(8;12; 4).

B. G(9;18; 30).

A. S  6.

B. S  6.

C. G (3;3;1).

D. G (2; 3;1).

C. S  4.

D. S  4.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 4 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 3: Bài toán liên quan đến hai véctơ bằng nhau



 Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , cho hai véctơ a  (a1 ; a 2 ; a 3 ), b  (b1;b2 ;b3 ), k  .
 
 a  b  (a1  b1 ; a 2  b2 ; a 3  b3 ).


 k .a  (ka1; ka2 ; ka 3 ).

 Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi hồnh  hồnh, tung  tung, cao  cao, nghĩa là:

a  b
 1
1
 



a  b  a2  b2  Để ABCD là hình bình hành thì AB  DC .

a 3  b3

1. Cho A(1;2; 1), B(2; 1; 3), C (3;5;1). Tìm 2. Cho A(1;1; 3), B(2;6;5), C (6; 1;7). Tìm
điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

điểm D để ABCD là hình bình hành.

A. D(4;8; 3).

B. D(2;2;5).

A. D(7; 6;5).

B. D(7; 6; 5).

C. D(2;8; 3).

D. D(4;8; 5).

C. D(7;6;5).

D. D(7; 6; 5).

Giải. Gọi D(x ; y; z ) là đỉnh của hình bình hành.



AB  (1; 3; 4)
Ta có:  
.
DC  (3  x ;5  y ;1  z )
D
D
D

 
Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC
1  3  x
x  4



 3  5  y  y  8  D(4; 8; 3).


4  1  z
z  3


3. Cho A(1;1;1), B(2;3; 4), C (6;5;2). Tìm tọa

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
4.

A(1;2; 1), B(2; 1; 3), C (2;3; 3), M (a;b; c).
Tìm P  a 2  b 2  c 2 để ABCM là hbh.

độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
A. D(7;7;5).

B. D(5; 3; 1).

A. P  42.

B. P  43.

C. D(7; 6;5).

D. D(7;6; 5).

C. P  44.

D. P  45.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 5 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

5. Cho hai im A(1;2; 3) v B (1; 0;2). Tỡm 6. Cho hai im B(1;2; 3), C (7;4; 2). Tỡm

ta im M tha món AB 2MA.

ta im M , bit rng CM 2MB.

7
A. M 2; 3;

2

7
B. M 2; 3;

2

8 8
A. M 3; ;
3 3

8 8
B. M 3; ;
3 3

C. M (2;3;7).

D. M (4;6;7).

C. M (3; 3;7).

D. M (4;6;2).

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

7. Cho A(2; 0; 0), B (0;3;1), C (3;6; 4). Gi M

8. Cho A(0;1;2), B (1;2; 3), C (1; 2; 5). im

l im nm trờn on BC sao cho
MC 2MB. Tớnh di on AM .

M nm trong on thng BC sao cho
MB 3MC . Tớnh di on AM .

A. AM 2 7.

B. AM 29.

A. AM 11.

B. AM 7 3.

C. AM 3 3.

D. AM

C. AM 7 2.

D. AM

30.

30.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

9. Cho u (2; 5; 3), v (0;2; 1), w (1; 7;2). 10. Biu din vộct a (3; 7; 7) theo cỏc vộct

u (2;1; 0), v (1; 1;2), w (2;2; 1) l
Tỡm vộct a u 4v 2w .

A. a (7;2; 3).
B. a (0;27; 3).
A. u 3v 2w.
B. a 2u 3v w.

C. a (0; 27; 3).
D. a (7; 2; 3).
C. 2u 3v w.
D. a u 2v 3w.
...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 6 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

11. Cho tam giỏc ABC cú A(1;1;1), B(5;1; 2) 12. Cho ABC cú A(1;2; 4), B(3;0; 2) v
v C (7;9;1). Tớnh di ng phõn giỏc
C (1; 3;7). Gi D l chõn ng phõn giỏc
trong ca gúc A. Tớnh di on OD,
trong AD ca gúc A.
A. AD

5 74

3

B. AD

3 74

2

A. OD

C. AD

2 74

3

D. AD

74

2

C. OD

AB
5
1

Ta cú:
AC
10 2

9

2
205

3

B. OD 5.
D. OD 4.

...................................................................................

A(1;1;1)

...................................................................................
...................................................................................

Theo tớnh cht phõn giỏc:
B(5;1;-2)

D(x;y;z)

C(7;9;1)

DB
AB
1

2BD DC .
DC
AC
2

2BD 2(x 5; y 1; z 2)
Gi D(x ; y; z ) thỡ

DC (7 x ;9 y;1 z )

2x 10 7 x

17 11

2y 2 9 y D ; ; 1.

3 3

2z 4 1 z

2 74
Do ú di on AD

3

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

Nhn xột. Nu t s bng 1 thỡ tam giỏc ABC l tam giỏc cõn ti A hoc u. Khi ú chõn ng phõn
giỏc trong D ca gúc A chớnh l trung im ca cnh BC .
13. Cho ABC cú A(1;2; 1), B(2; 1; 3) v 14. Cho ABC cú A(1;2; 1), B(2; 1; 3) v
C (2;3; 3). Tỡm ta im D l chõn
C (4;7;5). Tỡm ta im D l chõn

ng phõn giỏc trong gúc A ca tam giỏc.

ng phõn giỏc trong ca gúc B .

A. D(0;3; 1).

B. D(0; 3;1).

A. D(2;2; 1).

B. D(2/3; 11/3; 1).

C. D(0; 3;1).

D. D(0;1;3).

C. D(2;3; 1).

D. D(3; 11;1).

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 7 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 4: Hai véctơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng


 Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , cho hai véctơ a  (a1 ; a 2 ; a 3 ), b  (b1;b2 ;b3 ), k  .
 Hai véctơ cùng phương 

Hoµnh
Tung Cao


 Nghĩa là:
Hoµnh
Tung Cao




a
a
a



a  b  a  k .b  1  2  3  k. Khi k  0 thì a và b cùng phương và chiều.
b1
b2
b3



 Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB  AC .


 A, B, C là ba đỉnh tam giác  A, B, C khơng thẳng hàng  AB  AC .








1. Cho u  (2; m  1;4) và v  (1; 3; 2n ). Biết 2. Cho hai véctơ u  (1; 3;4), v  (2; y; z )


u cùng phương v , thì m  n bằng
cùng phương. Tổng y  z bằng
A. 6.

B. 8.

C. 1.

A. 6.

D. 2.

m  1  6



2 m 1
4
Vì u  v  

 

4n  4
1
3
2n


B. 6.

C. 2.

D. 8.

...................................................................................
...................................................................................

m  7
...................................................................................
 
 m  n  6. Chọn đáp án A.
n  1
...................................................................................





3. Cho hai vécơ u  (1; a;2), v (3;9;b) cùng 4. Cho véctơ a  (10  m; m  2; m 2  10) và

phương. Giá trị của tổng a 2  b bằng
b  (7; 1; 3) cùng phương. Giá trị m bằng
A. 15.

B. 3.

C. 0.

D. 3.

A. 4.

B. 4.

C. 2.

D. 2.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 8 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 5: Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng của điểm
lên trục, lên mặt phẳng tọa độ
 Hình chiếu: “Thiếu cái nào, cho cái đó bằng 0”. Nghĩa là hình chiếu của M (a;b;c ) lên:

 Ox là M 1 (a; 0; 0).

 Oy là M 2 (0;b; 0).

 Oz là M 3 (0; 0;c ).

 (Oxy ) là M 4 (a ;b; 0).

 (Oxz ) là M 5 (a ; 0; c).

 (Oyz ) là M 6 (0;b;c).

 Đối xứng: “Thiếu cái nào, đổi dấu cái đó”. Nghĩa là điểm đối xứng của N (a;b;c) qua:

 Ox là N 1 (a; b; c ).

 Oy là N 2 (a ;b; c).

 Oz là N 3 (a; b; c).

 (Oxy ) là N 4 (a;b; c).

 (Oxz ) là N 5 (a ; b;c).

 (Oyz ) là N 6 (a;b;c).

 Khoảng cách: Để tìm khoảng cách từ M đến trục (hoặc mp tọa độ), ta tìm hình chiếu H
của M lên trục (hoặc mp tọa độ), từ đó suy ra khoảng cách cần tìm là d  MH .
1. Cho điểm A(3; 1;1). Hình chiếu vng góc 2. Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H
của A trên mặt phẳng (Oyz ) là điểm
là hình chiếu của M (1;2; 4) lên (Oxy ).
A. M (3;0; 0).

B. N (0; 1;1).

A. H (1;2; 4).

B. H (0;2; 4).

C. P (0; 1;0).

D. Q(0; 0;1).

C. H (1;0; 4).

D. H (1;2; 0).

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ...........................................

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ............................................

...................................................................................

...................................................................................

3. Hình chiếu vng góc của A(3; 1;1) trên 4. Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H
là hình chiếu của M (4;5;6) lên trục Ox .
(Oxz ) là A(x ; y; z ). Khi đó x  y  z bằng
A. 4.

B. 2.

A. H (0;5;6).

B. H (4;5;0).

C. 4.

D. 3.

C. H (4; 0; 0).

D. H (0; 0;6).

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ...........................................

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ............................................

...................................................................................

...................................................................................

5. Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H
là hình chiếu của M (1; 1;2) lên trục Oy.

6. Trong khơng gian Oxyz , tìm tọa độ điểm H
là hình chiếu của M (1;2; 4) lên trục Oz .

A. H (0; 1;0).

B. H (1;0;0).

A. H (0;2; 0).

B. H (1;0;0).

C. H (0; 0;2).

D. H (0;1;0).

C. H (0; 0; 4).

D. H (1;2; 4).

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ...........................................

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ............................................

...................................................................................

...................................................................................

7. Tìm tọa độ M  là điểm đối xứng của điểm 8. Tìm M  là điểm đối xứng của M (1; 2; 0)
M (1;2; 3) qua gốc tọa độ O .
qua điểm A(2;1; 1).
A. M (1;2;3).

B. M (1; 2;3).

A. M (1; 3; 1).

B. M (3; 3;1).

C. M (1; 2; 3).

D. M (1;2; 3).

C. M (0; 5;1).

D. M (3; 4; 2).

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ...........................................

Ghi lại 2 câu cần nhớ: ............................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 9 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

9. Tỡm ta im M l im i xng ca 10. Tỡm ta M l im i xng ca im
im M (3;2;1) qua trc Ox .
M (2; 3;4) qua trc Oz .
A. M (3; 2; 1).

B. M (3;2;1).

A. M (2; 3; 4).

B. M (2; 3; 4).

C. M (3; 2; 1).

D. M (3; 2;1).

C. M (2; 3; 4).

D. M (2; 3; 4).

Ghi li 2 cõu cn nh: ...........................................

Ghi li 2 cõu cn nh: ............................................

...................................................................................

...................................................................................

11. Tỡm im M l im i xng ca im 12. Tỡm im M l im i xng ca im
M (1;2;5) qua mt phng (Oxy ).
M (1; 2; 3) qua mt phng (Oyz ).
A. M (1; 2;5).

B. M (1;2; 0).

A. M (1; 2;3).

B. M (1;2; 3).

C. M (1; 2;5).

D. M (1;2; 5).

C. M (1;2; 3).

D. M (0; 2; 3).

Ghi li 2 cõu cn nh: ...........................................

Ghi li 2 cõu cn nh: ............................................

...................................................................................

...................................................................................

13. Trong khụng gian Oxyz , khong cỏch t 14. Trong khụng gian Oxyz , hóy tớnh khong
im M (a;b;c ) n mt phng (Oxy ) bng
cỏch t im M (a;b;c ) n trc honh Ox .
A.

a2 b2 .

C. b .

B. a .

A.

a 2 b2 .

B.

b 2 c2 .

D. c .

C.

a 2 c2 .

D. a .

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

15. Tớnh khong cỏch d t im M (1; 2; 3)
n mt phng (Oxz ).

16. Trong khụng gian Oxyz , hóy tớnh khong
cỏch d t im M (3;2; 4) n Oy.

A. d 1.

B. d 2.

A. d 2.

B. d 3.

C. d 3.

D. d 4.

C. d 4.

D. d 5.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

17. Cho hỡnh hp ABCD.A B C D cú A(0;0; 0), 18. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.A B C D cú
A(0;0; 0), B(3; 0;0), D(0; 3; 0), D (0;3; 3).
C (3;4;5) v im B thuc trc honh. Tỡm
ta tõm I ca hỡnh ch nht CDD C .

Tỡm ta trng tõm G ca A B C .

A. I (3/2; 2; 5/2).

B. I (3/2; 4; 5/2).

A. G(2;1; 1).

B. G(1;1; 2).

C. I (3/2; 2; 5).

D. I (3;2;5).

C. G(2;1; 3).

D. G(1;2; 1).

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 10 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Tõm t c: Cho ba im A, B, C .

x .x A .x B .xC

I

.
y
.yB .yC
A
Tỡm im I tha món .IA .IB .IC 0
yI

.
z
.z B .zC
A
z
I

Cụng thc (1) tng t i vi 2 im hoc 4 im.

(1)

Vi mi im M , ta u cú:

.MA .MB .MC ( ).MI

(2)

.MA2 .MB 2 .MC 2 ( ).MI 2 const

(3)

Nu 1 thỡ I l trng tõm ABC .
chng minh (1),(2), ta s dng quy tc chốn im I v s dng (1).
19. Cho tam giỏc ABC vi A(1; 0;0), B(3;2;4), C (0;5; 4). Tỡm ta im M thuc mt phng

(Oxy ) sao cho T MA MB 2MC nh nht.
A. M (1;3; 0).
B. M (1; 3;0).
C. M (3;1; 0).
D. M (2;6; 0).

Gii. Gi I tha IA IB 2IC 0 v theo cụng thc (1) cú I (1; 3;3).

Theo cụng thc (2) T MA MB 2MC 4MI 4MI .
I(1;3;3)

Tmin 4MI min

M l hỡnh chiu ca I (1;3; 3) lờn (Oxy ).
Suy ra M (1;3; 0). Chn ỏp ỏn A.

M'
Oxy

M(1;3;0)

20. Cho ba im A(2; 3;7), B(0;4; 3),C (4;2; 3). Bit im M (x ; y ; z ) (Oxy ) thỡ biu thc

T MA MB MC t giỏ tr nh nht. Giỏ tr ca biu thc P x y z bng
A. P 3.

............................................................................................................................................

B. P 3.

............................................................................................................................................

C. P 6.

............................................................................................................................................

D. P 0.

............................................................................................................................................

21. Cho ba im A(1;1;1), B(1;2;1), C (3;6; 5). Tỡm ta im M (Oxy ) sao cho biu thc

T MA2 MB 2 MC 2 t giỏ tr nh nht ?
A. M (1;2;0).

............................................................................................................................................

B. M (0; 0; 1).

............................................................................................................................................

C. M (1; 3; 1).
D. M (1;3; 0).

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 11 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
BI TP V NH 1

Cõu 1.

Cõu 2.

Trong khụng gian vi h ta Oxyz , vộct no l vộct n v ca trc Ox ?

A. i (0;1;1).
B. i (1; 0; 0).
C. j (0;1; 0).
D. k (0; 0;1).

Trong khụng gian Oxyz , cho im M tha OM 2i j . Ta ca im M .
A. M (0;2;1).

Cõu 3.

Cõu 4.

Cõu 5.

A. (3; 3; 1).

B. (1; 1; 3).

A. A(1;0;3).

B. A(1;0; 5).

D. A(1;0;5).

B. OA 9.

C. OA 5.

D. OA 5.

( th nghim B GD & T nm 2017) Trong khụng gian Oxyz , cho hai im A(3; 2; 3)
v B(1;2;5). Tỡm ta trung im I ca on thng AB.
B. I (1; 0;4).

C. I (2;0; 8).

D. I (2; 2; 1).

Cho ba im A(1;3;5), B (2; 0;1), C (0;9; 0). Tỡm trng tõm G ca tam giỏc ABC .
B. G(1;5;2).

C. G (1; 0;5).

D. G (1; 4;2).

Cho hai im A(1;2;3) v M (0; 0; m ). Tỡm m, bit AM 5.
A. m 3.

Cõu 9.

C. A(3;2;5).

( thi THPT QG nm hc 2017 Mó 110) Trong khụng gian Oxyz , cho im A(2;2;1).
Tớnh di on thng OA.

A. G(3;12;6).
Cõu 8.

D. M (2;1;0).

C. (3;1;1).
D. (1;1;3).

Trong khụng gian Oxyz , cho im B (2;1; 4) v vộct AB (1;1;1). Tỡm ta ca im A.

A. I (2;2;1).
Cõu 7.

C. M (2;0;1).

( thi THPT QG nm hc 2018 Mó 102) Trong khụng gian Oxyz , cho hai im

A(1;1; 2) v B(2;2;1). Vộct AB cú ta l

A. OA 3.
Cõu 6.

B. M (1;2;0).

B. m 2.

C. m 3.

D. m 2.

( tham kho B GD & T nm 2018) Trong khụng gian Oxyz , cho im A(3; 1;1). Hỡnh
chiu vuụng gúc ca im A trờn mt phng (Oyz ) l im
A. M (3;0; 0).

B. N (0; 1;1).

C. P (0; 1;0).

D. Q(0;0;1).

Cõu 10. Tỡm ta im M l im i xng ca im M (3;2;1) qua trc Ox .
A. M (3; 2; 1).

B. M (3;2;1).

C. M (3; 2; 1). D. M (3; 2;1).

Cõu 11. Cho t din ABCD cú A(1;0;2), B(2;1;3), C (3;2;4), D(6;9; 5). Tỡm ta trng tõm
G ca t din ABCD.
A. G(9;18; 30).

B. G (8;12; 4).

C. G (3;3;1).

D. G (2; 3;1).

Cõu 12. (THPT Yờn nh Thanh Húa nm 2018) Cho ba im A(0; 1;1), B(2;1; 1) v
C (1; 3;2). Tỡm ta im D ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
A. D(1;1;4).

B. D(1;3;4).

C. D(1;1;4).

D. D(1; 3; 2).

1

A. b ; 2; 1
2

1

B. b ;2;1
2

Cõu 13. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho hai vộct a (3; 0;2), c (1; 1; 0). Tỡm

ta ca vộct b tha món ng thc vộct 2b a 4c 0.

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 12 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia
1

C. b ; 2;1
2

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
1

D. b ;2; 1
2

Cõu 14. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.A B C D . Bit A(1;0;1),
B (2;1;2), D(1; 1;1), C (4;5; 5). Tỡm ta nh A.
A. A(3; 5; 6).

B. A(5; 5; 6).

C. A(5;5; 6).

D. A(5; 5; 6).

Cõu 15. (S GD & T B Ra Vng Tu nm 2018) Trong khụng gian Oxyz , im M thuc trc
honh Ox v cỏch u hai im A(4;2; 1), B(2;1; 0) l
A. M (4; 0; 0).

B. M (5;0; 0).

C. M (4;0; 0).

D. M (5;0;0).

Cõu 16. Cho A(2;5; 3), B(3;7; 4), C (x ; y;6). Tỡm x y ba im A, B, C thng hng.
A. x y 14.

B. x y 6.

C. x y 7.

D. x y 16.

Cõu 17. ( th nghim B GD & T nm hc 2017) Trong khụng gian Oxyz , cho hai im

A(2; 3;1) v B(5;6;2). ng thng AB ct mt (Oxz ) ti M . Tớnh t s
A.

AM
1

BM
2

B.

AM
2.
BM

C.

AM
1

BM
3

D.

AM
3.
BM

AM

BM

Cõu 18. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im A(0;1;2), B (1;2; 3), C (1; 2; 5). im
M nm trong on thng BC sao cho MB 3MC . Tớnh di on AM .

A. AM 11.

B. AM 7 3.

C. AM 7 2.

D. AM 30.

Cõu 19. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho tam giỏc ABC cú A(1;2; 4), B(3;0; 2) v

C (1;3;7). Gi D l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A. Tớnh OD .

A. OD

207

3

B. OD

205

3

C. OD

201
203

D. OD

3
3
Cõu 20. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho ba im A(1; 0;0), B(2; 3; 1), C (0;6;7) v gi

M l im di ng trờn trc Oy. Tỡm ta im M P = MA MB MC t giỏ
tr nh nht.
A. M (0;3; 0).

B. M (0; 3;0).

C. M (0;9; 0).

D. M (0; 9;0).
P N BI TP V NH 1

1.B

2.B

3.D

4.A

5.A

6.B

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

7.D

8.C

9.B

10.A

Trang - 13 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia
11.D

12.C

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

13.B

14.A

15.C

16.D

17.A

18.D

19.B

20.A

BI TP V NH 2
Cõu 1.

( tham kho B GD & T nm hc 2019) Trong khụng gian Oxyz , cho hai im A(1;1; 1)

v B (2; 3;2). Vộct AB cú ta l

Cõu 2.

Cõu 3.

Cõu 4.

Cõu 5.

Cõu 6.

A. (1;2; 3).

B. (1; 2; 3).

C. (3;5;1).

D. (3; 4;1).

Trong khụng gian Oxyz , cho hai im M , N tha món OM (4; 2;1), ON (2; 1;1).

Tỡm ta vộct MN .

A. MN (2; 1; 0). B. MN (6; 3;2).

C. MN (2;1; 0). D. MN (6;3; 2).
( thi THPT QG nm hc 2018 Mó 101) Trong khụng gian Oxyz , cho hai im
A(2; 4;3) v B(2;2;7). Trung im ca on thng AB cú ta l
A. (1; 3;2).

B. (2;6;4).

C. (2; 1;5).

D. (4; 2;10).

Cho tam giỏc ABC cú A(1;2;3), B(2;1; 0) v trng tõm G (2;1; 3). Tỡm ta nh C ca
tam giỏc ABC .
A. C (1;2; 0).

B. C (3;0;6).

C. C (3; 0; 6).

D. C (3;2;1).

Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho t din ABCD cú A(1; 1;1), B(0;1;2) v
3

C (1;0;1). Bit nh D(a;b; c) v G ; 0;1 l trng tõm t din. Tớnh S a b c.
2

A. S 6.

B. S 6.

C. S 4.

D. S 4.

Cho tam giỏc ABC bit A(2; 4; 3) v trng tõm G ca tam giỏc cú to l G (2;1; 0). Tỡm

ta ca vộct u AB AC .

A. u (0; 9;9).

C. u (0; 4; 4).
Cõu 7.

B. u (0; 4;4).

D. u (0; 9; 9).

Cho ba im A(1;2; 1), B(2; 1;3) v C (2;3; 3). Bit M (a;b;c ) l nh th t ca hỡnh
bỡnh hnh ABCM , hóy tớnh giỏ tr ca biu thc P a 2 b 2 c 2 .
A. P 42.
B. P 43.
C. P 44.
D. P 45.

Cõu 8.

Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho hai vộct m (5; 4; 1), n (2; 5; 3). Tỡm

ta vộct x tha món m 2x n.

3 9
3 9
A. x ; ; 2 B. x ; ;2
2 2
2 2

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 14 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

3 9
3 9
C. x ; ; 2 D. x ; ;2
2 2
2 2

Cõu 9.

Trong khụng gian Oxyz, cho hỡnh hp ABCD.A B C D cú A(2; 1; 3), B(0;1; 1),
C (1;2; 0), D (3;2; 1). Tỡm ta nh B .
A. B (1; 0; 4).

B. B (2; 3; 6).

C. B (1; 0; 4).

D. B (2; 3; 6).

7

A. M 2; 3;

2

B. M (2; 3;7).

7
C. M 2; 3;

2

D. M (4;6;7).

Cõu 10. Cho hai im A(1;2;3) v B(1;0;2). Tỡm ta im M tha món AB 2MA.

Cõu 11. Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(0; 2; 1) v B(1; 1;2). Hóy tỡm ta im M
thuc on AB sao cho MA 2MB .

2 4
A. M ; ;1
3 3

1 3 1
B. M ; ;
2 2 2

C. M (2;0;5).

D. M (1; 3; 4).

Cõu 12. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho ABC cú A(3;1; 0), B(0; 1;0), C (0;0; 6).

Gi s tam giỏc A B C tha A A B B C C 0. Tỡm trng tõm G ca A B C .
A. G (1; 0; 2).
B. G (2; 3; 0).
C. G (3; 2; 0).

D. G (3; 2;1).

Cõu 13. ( tham kho B GD & T nm hc 2017) Trong khụng gian Oxyz , cho cỏc im
A(3; 4;0), B(1;1;3), C (3;1; 0). Tỡm im D trờn trc honh sao cho AD BC .
A. D(2;1; 0), D(4;0;0).
B. D(0; 0; 0), D(6;0;0).
C. D(6; 0;0), D(12; 0;0).
D. D(0; 0; 0), D(6; 0;0).
Cõu 14. Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A(4;2; 3). Tỡm mnh sai ?
A. Hỡnh chiu ca im A lờn mt phng (Oxy ) l im M 1 (4;2; 0).
B. Hỡnh chiu ca im A lờn trc Oy l im M 2 (0;2; 0).
C. Hỡnh chiu ca im A lờn mt phng (Oyz ) l im M 3 (0;2; 3).
D. Hỡnh chiu ca im A lờn trc Oz l im M 4 (4;2; 0).
Cõu 15. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(1;2;1) v B(3; 1;2). Tỡm ta im
M trờn trc Oz sao cho nú cỏch u hai im A v B .

3
A. M 0; 0;

2

B. M (1;0;0).

C. M (0; 0; 4).

D. M (0;0; 4).

Cõu 16. Trong khụng gian Oxyz, cho hai vộct a (10 m; m 2; m 2 10) v b (7; 1; 3). Tỡm

tt c cỏc tham s thc m a cựng phng vi b .

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 15 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

A. m 4.

B. m 4.

C. m 2.

D. m 2.

Cõu 17. Trong khụng gian Oxyz, cho A(1; 3; 2), B(3;5; 12). ng thng AB ct mt phng

(Oyz ) ti N . Tớnh t s
A.

BN
4.
AN

BN

AN

B.

BN
2.
AN

BN
BN
5.
D.
3.
AN
AN
Cõu 18. Trong khụng gian Oxyz , cho tam giỏc ABC cú A(1;1;1), B(5;1; 2) v C (7;9;1). Tớnh
di ng phõn giỏc trong AD ca gúc A.

C.

A. AD 3 74.
C. AD

2 74

3

B. AD

3 74

2

D. AD 2 74.

Cõu 19. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho bn im A(1; 3; 3), B(2; 6;7),
C (6; 4; 3), D(0; 1; 4). Tỡm ta im M thuc mt phng (Oxy ) sao cho biu thc

P MA MB MC MD t giỏ tr nh nht ?
A. M (1; 2;3).
B. M (0; 2; 3).
C. M (1;0; 3).
D. M (1; 2;0).
Cõu 20. Trong khụng gian Oxyz , cho ba im A(2; 3;1), B(1;1;0) v M (a;b;0), vi a, b thay i sao

cho biu thc P = MA 2MB t giỏ tr nh nht. Tớnh S a 2b.
A. S 1.

B. S 2.
C. S 2.
D. S 1.
P N BI TP V NH 02
1.A

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A

11.A

12.A

13.D

14.D

15.A

16.B

17.D

18.C

19.D

20.B

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 16 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 6: Nhóm bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai véctơ


 Cần nhớ: Trong khơng gian Oxyz , cho a  (a1 ; a2 ; a 3 ), b  (b1;b2 ;b3 ), k  .

 
 

Tích vơ hướng: a .b  a . b . cos(a ,b )  a1b1  a 2b2  a 3b3 .
(hồnh  hồnh, cộng tung  tung, cộng cao  cao)


a1b1  a 2b2  a 3b3
 
a .b
cos(a ;b )    
(góc giữa 2 véctơ có thể nhọn hoặc tù).
a .b
a12  a22  a32 . b12  b22  b32







Và a  b  a .b  0  a1b1  a2b2  a 3b3  0 (2 véctơ vng góc thì nhân nhau  0)



 a 2  a12  a 22  a 32  a  a12  a 22  a 32 .

 2
 
2
2
 2
2


2
 

2
 a 2  a hay AB  AB 2 và a  b  a  b  2a .b  a  b  2 a b cos(a , b ).
1. Cho A(2; 1;1), B(1; 3; 1), C (5; 3; 4).
 
Tính tích vơ hướng AB.BC .
 
 
A. AB.BC  48.
B. AB.BC  48.
 
 
C. AB.BC  52.
D. AB.BC  52.

2. Cho A(2;1;4), B(2;2; 6), C (6;0; 1).
 
Tính tích vơ hướng AB.AC .
 
 
A. AB.AC  67. B. AB.AC  65.
 
 
C. AB.AC  67.
D. AB.AC  33.

...................................................................................

A. 2.

B. 1.

C. 1.

D. 2.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................





5. Cho hai véctơ a  (2;1;0), b  (1; 0; 2).

 

Tính cos(a , b ).
A.

2

25

2
B.  
5

C. 





6. Cho hai véctơ u  (1; 0; 3), v  (1; 2; 0).
 
Tính cos(u, v ).

2
2
 D. 
25
5

A.

2

10

B. 

10
10
2
 C.
 D. 

10
10
10

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

3

6

C.

D.

2

3

A.

6

B.

3

C.

2

3

D.

2

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

9. Cho hai vộct u (1;1;1) v v (0;1; m).

Tỡm m gúc gia u v v bng 45.

10. Cho u (1; log 3 5; m), v (3; log5 3; 4).

Tỡm m u v .

A. m 3.

B. m 2 3.

A. m 2.

B. m 1.

C. m 1 3.

D. m 2.

C. m 2.

D. m 1.

...................................................................................

...................................................................................

B. 2 3.

C. 2 7.

D. 7 2.

C. 2 5.

D. 7.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

13. ( thi THPT QG nm 2017 Mó 104 cõu 12) Trong khụng gian Oxyz , cho ba im
M (2;3; 1), N (1;1;1) v P (1; m 1;2). Tỡm m tam giỏc MNP vuụng ti N .
A. m 6.

B. m 0.

C. m 4.

D. m 2.

....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

14. Cho tam giỏc ABC cú cỏc nh A(4;1; 5), B(2;12; 2) v C (m 2; 1 m; m 5). Tỡm
tham s thc m tam giỏc ABC vuụng ti C .
A. m

3 39
15 39
B. m

2
2

....................................................................................

C. m

1 5

2

....................................................................................

D. m

15 39

3

....................................................................................

....................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 18 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 7: Nhóm bài toán liên quan đến tích có hướng của hai véctơ
a  (a ; a ; a )
1
2
3
 Cần nhớ: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véctơ 


b  (b1;b2 ;b3 )


 a a a a a a 
 

Tích có hướng [a , b ]   2 3 ; 3 1 ; 1 2   a 2b3  a 3b2 ; a 3b1  a1b3 ; a1b2  a 2b1 .
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
(Hồnh che hồnh, tung che tung – đổi dấu; cao che cao)
Ứng dụng:

  
  
  
  
 a , b , c đồng phẳng  [a , b ].c  0.
 a , b , c khơng đồng phẳng  [a , b ].c  0.
  
  


 A, B, C , D đồng phẳng  AB, AC , AD đồng phẳng  AB, AC  .AD  0.


  
  


 A, B, C , D là các đỉnh tứ diện  AB, AC , AD khơng đồng phẳng  AB, AC  .AD  0.


1    

 Diện tích ABC là S ABC   AB, AC  

2 
 


 Diện tích của hình bình hành ABCD là S ABCD  AB, AD  







1
 Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD   [AB, AC ].AD .
6
  


 Thể tích khối hộp ABCD.A B C D  là V  AB, AD  .AA .










1. Biết ba véctơ u  (2; 1;1), v  (1;2;1) và 2. Biết ba véctơ u  (1;2;1), v  (1;1;2) và


w  (m; 3; 1) đồng phẳng. Tìm m .


w  (m; 3m; m  2) đồng phẳng. Tìm m .

A. m  3/8.

B. m  3/8.

A. m  2.

B. m  1.

C. m  8/3.

D. m  8/3.

C. m  2.

D. m  1.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

D. m  4.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biªn so¹n & gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn – 0933.755.607

Trang - 19 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

5. Cho hai im A(1;2; 1), B(0; 2;3). Tớnh 6. Tớnh din tớch tam giỏc ABC vi A(1;0;0),
B(0; 0;1) v C (2;1;1).

din tớch tam giỏc OAB vi O l gc ta .
A.

29

6

B.

29

2

C.

78
7
D.
2
2

OA (1;2; 1)

Cú
OA,OB (4; 3; 2).
OB (0; 2; 3)

1
1 2
S OA,OB
4 (3)2 (2)2

2
2

B.

42.

C. 2 42. D.

B.

6

3

C.

6

2

D.

1

2

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

...................................................................................

7. Tớnh din tớch tam giỏc ABC vi A(1;1;1),
B(4;3;2) v C (5;2;1).

42

4

6.

...................................................................................

29

Chn ỏp ỏn B.
2

A.

A.

8. Tớnh din tớch tam giỏc ABC vi A(7; 3;4),
B(1; 0;6), C (4;5; 2).

42

2

A.

49

2

B.

51

2

C.

53

2

D.

47

2

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

9. Cho A(1;2; 1), B(0; 2;3). Tớnh ng cao 10. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 0;3), B(2; 2; 0)
v C (3;2;1). Tớnh chiu cao AH .
AH h t nh A ca tam giỏc OAB.

29
377
D.

3
13

OA,OB

1
AH .BO

S OA,OB
AH
2

2
OB

OA (1;2; 1)

Cú
OA,OB (4; 3; 2).

OB (0; 2; 3)

Suy ra Suy ra: OA,OB 29 v OB 13.

OA,OB
29 377
Do ú AH
OB
13
13
A.

13

2

B.

Chn ỏp ỏn D.

29

13

C.

A.

65
B.
2

651
C.
3

651
2 651
D.

21
21

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 20 -

Tài liệu luyện thi thpt Quốc Gia

Chuyên đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

11. Cho tam giỏc ABC cú A(1; 0;1), B(0;2; 3) v 12. Tớnh din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD vi
C (2;1;0). Tớnh chiu cao CH .
A(2;1; 3), B(0; 2;5), C (1;1;3).
A.

26.

B.

26

2

C.

26
D. 26.
3

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

A. 2 87.

B.

349.

C.

87.

D.

AB
(2; 3; 8)

Ta cú:
.

AC (1; 0; 6)

Suy ra AB , AC (18; 4; 3).

349

2

...................................................................................

Din tớch hỡnh bỡnh hnh S ABCD AB , AC

...................................................................................

(18)2 42 (3)2 349. Chn B.

13. Tớnh din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD vi 14. Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD : A(2; 4; 0),
A(1;1;1), B(2; 3;4), C (6;5;2).
B(4;0;0), C (1; 4; 7), D(3;8; 7).
A. 3 83.

B.

83.

C. 83.

D. 2 83.

A.

281.

B.

181.

C. 2 281. D. 2 181.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

AD (3;1; 1).

[AB, AC ].AD 1.(3) 1.1 1.(1) 3.

VABCD

1
1
1
[AB, AC ].AD 3
6
6
2

17. Tớnh th tớch t din ABCD vi A(1;2;1),
B(0;0; 2), C (1;0;1), D(2;1; 1).
A. 1/3.

B. 2/3.

C. 4/3.

A. 8/3.

B. 2.

C. 14/3. D. 7/3.

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
18. Tớnh th tớch t din ABCD vi A(1; 0;1),
B(2; 0; 1), C (0;1; 3), D(3;1;1).

D. 8/3.

A. 2/3.

B. 4.

C. 2.

D. 4/3.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

9 2

14

C.

9

14

D.

9 2

2

AB (2; 5;2)

Cú
AB, AC (2; 8;18).
AC (2; 4;2)

[AB, AC ] 22 (8)2 182 14 2.

Li cú: AD (2; 5;1) [AB, AC ].AD 18.

h

3VABCD
S ABC

[AB, AC ].AD
9 2

14
[AB, AC ]

A.

11.

B. 1.

C.

11

D.
11

11

2

...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................

Chn ỏp ỏn B.

...................................................................................

21. Cho A(1; 2; 4), B(4; 2; 0),C (3; 2;1),

22. Cho A(a; 1;6), B(3; 1; 4), C (5; 1;0)

D(1;1;1) l bn nh ca t din ABCD.

v D(1;2;1). Hóy tỡm a th tớch ca t

Tỡnh ng cao DH ca t din ABCD.

din ABCD bng 30.

A. DH 3.

B. DH 2.

A. a {1; 32}.

B. a {1; 2}.

C. DH 5/3.

D. DH 9/2.

C. a {2; 32}.

D. a {32}.

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

Biên soạn & giảng dạy: Ths. Lê Văn Đoàn 0933.755.607

Trang - 22 -

Tµi liƯu lun thi thpt Qc Gia

Chuyªn ®Ị 7. Ph¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian Oxyz

Dạng toán 8: Xác đònh các yếu tố cơ bản của mặt cầu
 Phương trình mặt cầu (S) dạng 1:
Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b; c) và bán kính R. Khi đó:

 Tâm: I (a;b; c)

(S ) : 
 (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R 2 .
 Bán kính: R

 Phương trình mặt cầu (S) dạng 2:

(S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . Với a 2  b 2  c 2  d  0 là phương trình mặt
cầu dạng 2 có tâm I (a;b;c ), bán kính: R  a 2  b 2  c 2  d .
 Lưu ý: Để f (x ; y ; z )  0 là một phương trình mặt cầu thì phải thỏa mãn hai điều kiện:

 Hệ số trước x 2 , y 2 , z 2 phải bằng nhau.
1.

 R2  a 2  b 2  c 2  d  0.

(Đề thi minh họa – Bộ GD & ĐT 2017) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

(S ) : (x  1)2  (y  2)2  (z  1)2  9. Tìm I và bán kính R của mặt cầu (S ).
A. I (1;2;1), R  3.

B. I (1; 2; 1), R  3.

C. I (1;2;1), R  9.

D. I (1; 2; 1), R  9.

2.

Giải. Theo dạng 1, tọa độ tâm lấy đổi dấu,
nghĩa là I (1;2;1) và R  9  3.

Chọn đáp án A.

(Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã 103 Câu 13) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
cầu (S ) : (x  3)2  (y  1)2  (z  1)2  2. Tâm của (S ) có tọa độ là

A. (3;1; 1).

B. (3; 1;1).

..................................................................................

C. (3; 1;1).

D. (3;1; 1).

..................................................................................

3.

(Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã 104 Câu 11) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , hỏi mặt
cầu (S ) : (x  5)2  (y  1)2  (z  2)2  3 có bán kính bằng

A.

3.

C. 3.
4.

B. 2 3.

..................................................................................

D. 9.

..................................................................................

Tìm tâm I và bán kính của mặt cầu (S ) : x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  10  0.

A. I (1; 2;3), R  2.

B. I (1;2; 3), R  2.

C. I (1;2; 3), R  4. D. I (1; 2;3), R  4.
5.

R  12  22  32  10  2. Chọn A.

Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) : x 2  y 2  z 2  4x  2y  4z  16  0.

A. I (2; 1;2), R  5. B. I (2; 1;2), R  5.
C. I (2;1; 2), R  5.
6.

Giải. Theo dạng 2, lấy hệ số của x, y, z chia
cho 2 được I (1; 2; 3) và bán kính:

D. I (4;2; 4), R  13.

..................................................................................

Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian ôn thi THPTQG môn Toán

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về