Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8a1 trường THCS thiện ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHÃ VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Tân Biên, ngày 14 tháng 05 năm 2020

BÁO CÁO
TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN
- Tên sang kiến: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCS
Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Tên cá nhân thực hiện: Ngô Đức Đồng
- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày 07/ 9/2019 đến ngày 14/ 5/2020
1. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
Trong chương trình toán của cấp THCS, bắt đầu từ lớp 8 học sinh được học vê
phương trình, bắt đầu là phương trình bậc nhất một ẩn. Cùng với đó học sinh được học các
quy tắc biến đổi tương đương một phương trình là “Quy tắc cộng”; “Quy tắc chuyển vế”;
“Quy tắc nhân”. Trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học vê phương trình
một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ơ mẫu;
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu căn,
phương trình quy vê phương trình bậc hai. Thông qua việc học các dạng phương trình trên
học sinh được trang bị những kiến thức và phương pháp giải các phương trình đại số.
Do đó để nắm chắc cách giải các dạng phương trình trên một các đầy đủ và áp dụng linh
hoạt vào mỗi loại phương trình là một điêu khó khăn với nhiêu em học sinh. Mỗi dạng
phương trình có cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của từng phương trình. Hơn nữa,
việc học Toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do
thầy (cô) đưa ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đê, tổng quát vấn đê và
rút ra được những điêu gì bổ ích. Dạng Toán giải phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng
Toán rất quan trọng của môn Đại số 8 đáp ứng yêu cầu này là nên tảng, làm cơ sở để học
sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học vê giải bất phương trình bậc nhất một ẩn,

giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phục vụ cho việc học đại số trong chương
trình lớp 9 cũng như chương trình toán THPT đồng thời nó là nên tảng để giúp học sinh tiếp
cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậc
học này. Xuất phát từ thực tế đó cùng với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy và
kỹ năng giải phương trình cho học sinh khối 8 trường THCS Thiện Ngôn, tôi quyết định
viết sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCS
Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.

Trang 1


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

2. Mô tả sáng kiến:
 Để thực hiện sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1
trường THCS Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”. Là người
trực tiếp giảng dạy tôi đưa ra giải pháp:
 Trước hết giáo viên ôn tập cho học sinh cách ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ.
 Dạy tự chọn với chủ đê “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
 Dạy tự chọn với chủ đê “Phương trình”
 Giải một số bài tập cơ bản vê phương trình bậc nhất một ẩn.
 Hệ thống một số phương pháp giải các dạng phương trình .
 Giải phương trình bậc cao nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Với mỗi dạng bài tập yêu cầu các em làm nháp trước khi làm vào tập. Giáo viên hãy
phân tích cho các em hiểu rằng, tập nháp còn giá trị hơn cả tập ghi, vì trong tập nháp thể
hiện cả quá trình tư duy, tìm tòi lời giải bài toán còn trong tập ghi chỉ thể hiện kết quả của
cả quá trình đó.
 Xử lí thông tin: thông qua một hệ thống câu hỏi, giáo viên hướng dẫn học sinh căn cứ vào

thông tin đã thu thập để rút ra những kết luận cần thiết.
Vận dụng: Dựa vào kết luận đã rút ra từ bài học, học sinh vận dụng vào thực hành giải toán.
Tuy nhiên tùy thuộc vào từng dạng bài cụ thể, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh trong quá
trình phân tích tìm lời giải, khuyến khích, biểu dương, có thể làm mẫu trước lớp những bài
làm có lối trình bày hay, có phong cách riêng.
3. Phạm vi triển khai thực hiện:
Trường THCS Thiện Ngôn.
Lớp 8A1: 43 học sinh.

4. Tính mới của sáng kiến:
- Trong sách giáo khoa củng như các tài liệu khác, nội dung kiến thức vê phân tích đa thức
thành nhân tử và kiến thức vê giải phương trình chủ yếu chỉ đê cập tới các phương pháp cơ
bản thông qua các ví dụ minh họa, chưa xoáy sâu vào những sai lầm mà học sinh thường
mắc phải củng như khả năng phân tích, kỹ năng trình bày và đặc biệt là việc khai thác bài
toán gốc. Trong sang kiến này bản thân xoáy sâu vào các điểm:
+ Cung cấp cho học sinh nhiêu hướng giải một bài toán.
+ Chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải
+ Rèn luyện kỹ năng phân tích, kỹ năng trình bày.
+ Học sinh biết khai thác bài toán gốc để tự mình đưa ra được bài toán mới.

- Bên cạnh đó, đây là sáng kiến hoàn toán mới mà bản thân đã nghiên cứu và thực hiện
dựa vào thực tế giảng dạy ở đơn vị Trường THCS Thiện Ngôn. Trong đơn vị, sáng kiến này
chưa có giáo viên bộ môn nào nghiên cứu thực hiện. Vì thế, sáng kiến này có thể được áp
Trang 2


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

dụng cho các giáo viên dạy Toán 8, 9 tiếp tục nghiên cứu và thực hiện ở các năm học tiếp
theo.

5. Kết quả, hiệu quả mang lại:
Qua việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi nhận thấy chất lượng môn Toán của học
sinh có nhiêu tiến bộ, học sinh tích cực hơn trong học tập, các em ngày càng yêu thích
học toán.
KT khảo sát trước khi KT sau khi thực hiện sáng
thực hiện sáng kiến
kiến
Giỏi
2 (4,65%)
4 (9,76%)
Khá
5 (11,63%)
7 (17,07%)
Trung bình
19 (44,19%)
19 (46,34%)
Yếu
10 (23,25%)
6 (14,63%)
Kém
7 (16,28%)
5 (12,2%)
(KT sau khi thực hiện sáng kiến, có 2 học sinh vắng mặt)
Xếp loại

6. Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến:
Sáng kiến này có thể áp dụng cho các học sinh ở khối 8; 9 ở THCS Thiện Ngôn và ở

các trường THCS trong huyện Tân Biên, tỉnh Tây Ninh.
7. Kiến nghị, đề xuất:
Mặc dù bản thân đã cố gắng hoàn thiện sáng kiến, nhưng do giới hạn vê thời gian
cùng với kinh nghiệm của bản thân chưa nhiêu nên trong quá trình viết sáng kiến không
thể tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong được sự đóng góp ý kiến từ các bạn đồng
nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn.
Tôi cam đoan những điêu khai trên là đúng sự thật và không vi phạm pháp luật.
Ý kiến xác nhận của

Tân Biên, ngày 14 tháng 5 năm 2020

thủ trưởng đơn vị

Tác giả

Ngô Đức Đồng

A. MỞ ĐẦU:
Trang 3


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

1. Tên sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường
THCS Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.

2. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán 8 với chương trình mới, qua quá trình giảng dạy và kết

quả của học sinh, tôi nhận thấy kỹ năng vê giải phương trình bậc nhất một ẩn và các dạng
phương trình đưa được vê phương trình bậc nhất (phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình
tích, phương trình bậc cao, . . .) của học sinh còn yếu. Đặc biệt học sinh rất lúng túng khi gặp
dạng toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và giải các phương trình bậc cao, trong khi đó
kiến thức này lại rất quan trọng và được ứng dụng rất nhiêu trong quá trình học Toán của học
sinh
sau
này.
Vì sao học sinh thường ngại, lúng túng và mắc sai lầm khi gặp dạng toán liên quan đến
phương trình bậc nhất một ẩn? Sở dĩ như vậy bởi đây là phần tương đối khó, chứa đựng
nhiêu kiến thức: các hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân (phép cộng), kiến thức vê giải phương trình bậc
nhất một ẩn, vê giá trị tuyệt đối...
Hơn nữa, việc học Toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những
bài tập do thầy (cô) đưa ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đê, tổng quát
vấn đê và rút ra được những kinh nghiệm bổ ích khi giải toán. Dạng Toán giải phương trình
bậc nhất một ẩn là một dạng Toán rất quan trọng của môn Đại số 8, nội dung này là nên tảng,
là cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học vê giải bất phương trình bậc
nhất một ẩn, giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phục vụ cho việc học đại số trong
chương
trình
lớp
9
cũng
như
chương
trình
toán cấp
III.
Vậy làm thế nào để học sinh dễ hơn trong việc nắm được kiến thức, phương pháp

giải phương trình bậc nhất một ẩn cũng như vận dựng kiến thức này vào giải các dạng toán
liên quan? Qua thực tế giảng dạy, trao đổi, tìm hiểu, bản thân tôi đưa ra một hệ thống các
kiến thức, dạng toán cơ bản và phương pháp giải toán vê phương trình bậc nhất một ẩn với hi
vọng có thể giúp học sinh lớp 8A1 đạt kết quả tốt trong năm học này thông qua sang kiến
“Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn bằng
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu:
+ Các phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử.
+ Phương pháp giúp học sinh rèn kỹ năng giải phương trình.
- Khách thể nghiên cứu:
+ Giáo viên: Ngô Đức Đồng – Giáo viên giảng dạy môn Toán tại trường THCS Thiện
Ngôn trực tiếp thực hiện việc nghiên cứu.
+ Học sinh: Học sinh lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn

4. Phạm vi nghiên cứu:
Trang 4


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

Do giới hạn vê thời gian, năng lực và điêu kiện nên sáng kiến này được nghiên cứu và
thực hiện ở lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn năm học 2019 – 2020.

5. Phương pháp nghiên cứu:
a. Phương pháp đọc tài liệu:
- Tài liệu phương pháp dạy học Toán.
- Tập san Giáo Dục.

- Báo Toán học và tuổi trẻ.
- Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 8, tập 1, 2.
- Nâng cao và phát triển toán 8 (tập 1, 2).
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đê Toán 8
- Tài liệu chuyên toán THCS Toán 8 - Tập 1.
b. Phương pháp điều tra.
- Khảo sát học sinh: kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì.
- Thực tế, dự giờ.
c. Phương pháp thống kê, so sánh, đối chiếu:
- Thống kê chất lượng bộ môn qua các năm học.
- Đối chiếu kết quả thống kê chất lượng bộ môn, có biện pháp xử lí.

B. NỘI DUNG:
1.
Cơ sở lý luận:
- Trước sự phát triển mạnh mẽ của nên kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kì đổi mới
Trang 5


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

như nước ta đã và đang đặt nên giáo dục và đào tạo nước nhà trước những thời cơ và thách
thức mới. Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì nên giáo dục và đào tạo luôn phải đảm
nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng
nhân
tài
mà

Đảng,
Nhà
nước
ta
đã
đê
ra…
- Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông.
Là giáo viên, ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ
dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn Toán là môn học đáp ứng
đầy
đủ
những
yêu
cầu
đó.
- Hơn nữa, trong Nghi quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 vê “đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điêu
kiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” đã nêu rõ:
+ Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của
toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương
trình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội.
+ Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đê lớn, cốt lõi,
cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính
sách, điêu kiện bảo đảm thực hiện; đổi mới từ sự lãnh đạo của Đảng, sự quản lý của Nhà
nước đến hoạt động quản trị của các cơ sở giáo dục - đào tạo và việc tham gia của gia đình,
cộng đồng, xã hội và bản thân người học; đổi mới ở tất cả các bậc học, ngành học.
+ Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân
tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện

năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục
nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.
- Căn cứ Nghị định số 13/2012/NĐ-CP ngày 02 tháng 03 năm 2012 của Chính phủ ban hành
điêu lệ Sáng kiến. Căn cứ Thông tư số 18/2013/TT-BKHCN ngày 01 tháng 8 năm 2013 của
bộ Khoa học và Công nghệ hướng dẫn thi hành một số quy định của Điêu lệ Sáng kiến được
ban hành theo Nghị định số 13/2012/NĐ-CP ngày 02 tháng 3 năm 2012 của Chính phủ và
Nghị quyết 29-NQ/TW (4/11/2013) vê đđổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu
rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính
tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối
truyên thụ áp đặt một chiêu, ghi nhớ máy móc”
Tiếp tục triển khai thực hiện Công văn số 4612/BGDĐT-GDTrH ngày 03/10/2017 hướng
dẫn thực hiện chương trình giáo dục phổ thông hiện hành theo định hướng phát triển năng
lực và phẩm chất học sinh từ năm học 2017 – 2018.
Thực hiện Chỉ thị số 2268/CT-BGDĐT ngày 08/8/2019 vê nhiệm vụ và giải pháp năm
học 2019 - 2020 của ngành Giáo dục; Quyết định số 2071/QĐ-BGDĐT ngày 16/6/2017 vê
việc Ban hành Khung kế hoạch thời gian năm học đối với giáo dục mầm non, giáo dục phổ
thông và giáo dục thường xuyên áp dụng từ năm học 2017– 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo
Trang 6


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

dục và Đào tạo (GDĐT), giáo dục trung học tiếp tục triển khai thực hiện 09 nhóm nhiệm vụ
chủ yếu và 05 giải pháp cơ bản của toàn ngành, trong đó tôi đặc biệt quan tâm đến nhiện vụ
“Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện”
- Nhằm trang bị tốt cho các kì thi học kỳ, đặc biệt là kì thi tuyển chọn học sinh giỏi
vòng huyện năm học 2020 – 2021 của các em cũng như trang bị cho các em học sinh vốn
kiến thức vững chắc để tiếp tục học năm cuối cấp. Thế nên việc rèn luyện kỹ năng giải

giải phương cho học sinh lớp 8 là vấn đê hết sức cấp thiết, việc này phải được tiến hành
ngay từ đầu năm học. Chính vì thế, ngay từ chương đầu tiên của Đại số 8 tôi đã chọn viết
sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCS Thiện
Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.
2. Cơ sở thực tiễn:
- Năm học 2019 – 2020 tôi được phân công giảng dạy Toán 8 (gồm 2 lớp với trên 80 học
sinh), qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán vê phương
như sau:
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử chưa tốt
+ Chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau.
+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, giải thiếu (hoặc thừa) nghiệm.
- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ
năng giải phương trình.
Đối với giáo viên: Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiêu phương pháp đễ dẫn
dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiêu không đảm bảo được thời
lượng 45 phút ở trên lớp nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đối
tượng học sinh.
Đối với phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo
dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của học sinh. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà
trường, không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp.
Đối với học sinh:
+ Đa số học sinh chưa có ý thức tự học (tự tham khảo tài liệu hay tự học trên mạng).
+ Đa số học sinh yếu vê kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải
toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủ
động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến tâm lý sợ toán.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi
gặp bài toán khó.
+ Không có thói quen tự học ở nhà: không làm bài, học bài, soạn bài trước khi đến lớp.
Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giải
phương trình và các dạng toán liên quan, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ môn.

Để giải quyết các vấn đê trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đê ra những phương pháp cơ
bản, phương pháp đặt biệt thông qua những bài tập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng
các phương pháp này khi giải phương trình nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh.
Trang 7


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

3. Nội dung vấn đề:
3.1. Vấn đê đặt ra:
- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các môn
học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong
chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế được
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết
ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ
năng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học
sinh.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa
dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương trình
toán 8, nhưng thật ra các em đã được đê cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng
tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số. Với lượng thời gian
phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các
chương sau của chương trình Đại số 8 và các lớp học tiếp theo, đặc biệt là vận dụng vào giải
phương trình.
- Bài toán giải phương trình có quan hệ trực tiếp đến bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử. Vì vậy, vấn đê đặt ra là làm thế nào để học sinh giải phương trình một cách chính xác,
nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điêu này đòi hỏi người giáo viên phải xây
dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ

năng phân tích một đa thức thành nhân tử. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên
xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng
thêm các cách giải khác nhằm phát triển tư duy cho học sinh cũng như nâng cao chất lượng
học tập bộ môn của học sinh.
Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh khá đầy
đủ kiến thức vê phương trình đại số cùng các phương pháp giải. Trong khi đó, việc hệ thống
toàn bộ các dạng phương trình và trang bị các phương pháp giải phương trình từ đơn giản
đến nâng cao hầu như không được đê cập tới trong sách giáo khoa. Việc giải được các
phương trình từ đơn giản đến phức tạp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến
thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng phương trình đã cho, điêu này
đánh giá được trình độ kiến thức của học sinh. Chính vì vậy, trong nội dung các đê thi học
sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh môn toán 9, đê thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên nhiêu
năm gần đây của Sơ Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học
sinh phải giải các phương trình. Với mục đích phân loại đối tượng học sinh. Chính vì những
lí do thực tế trên mà tôi chọn viết sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học
sinh lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”.
3.2. Giải pháp, chứng minh vấn đê được giải quyết:
PHẦN 1: Các giải pháp của sang kiến.
 Trước hết giáo viên ôn tập cho học sinh cách ghi nhớ các hằng đẳng thức.
Trang 8


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

 Dạy tự chọn với chủ đê “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
 Dạy tự chọn với chủ đê “Phương trình”
 Giải một số bài tập cơ bản vê phương trình bậc nhất một ẩn.
 Hệ thống một số phương pháp giải các dạng phương trình .

 Giải phương trình bậc cao nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi
PHẦN 2: Chứng minh vấn đề được đặt ra
I. CÁCH GHI NHỚ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC.
* Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
3. A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4. (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5. (A - B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
7. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
* Hướng dẫn học sinh cách ghi nhớ trong khai triển nhị thức Niu tơn:
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = 1a + 1b
(a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a+b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 3ab3 + 1b4
......................................
- Mỗi dòng đêu bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1.
- Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đêu bằng số liên trên cộng với số bên trái của số
liên trên.
Như vậy, nếu viết riêng các hệ số ở vế phải ta được bảng sau (gọi là tam giác Pa – xcan)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……………………………….

II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT QUAN TRONG.

1)
Định lí Bơ – zu
a)
Định lí: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho x – a đúng bằng f(a).
(f(a) là giá trị của đa thức f(x) tại x = a)
b)
Hệ quả:
Nếu f(x) chia hết cho x – a thì
Nếu f(a) = 0 thì f(x) chia hết cho x – a.
Trang 9


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

Đặc biệt:
Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức f(x) và f(x)
chia hết cho x – a.
Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì – 1 là nghiệm và
f(x) chia hết cho x + 1.
c)
Cách nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) với hệ số nguyên.
Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do.
p
Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó có dạng q ; (p, q) = 1 trong đó p là ước của

hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
2)
Sơ đồ Horner: Dùng sơ đồ Horner để tính hệ số của đa thức thương và dư trong

phép chia đa thức f(x) cho x -  như sau:
Giả sử: f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + . . . + a1x + a0; đa thức thương
q(x) = bnxn – 1 + bn – 1 xn – 2 + . . . + b2x + b1 và dư r
Các hệ số bi được tính như sau:


an
bn = an

an – 1
bn – 1 =
 b n + an – 1

an – 2
bn – 2 =
 b n – 1 + an – 2

...
...

a1
b1 =
 b 2 + a1

a0
r=
 b 1 + a0

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
2.1. Các phương pháp cơ bản:

2.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử
chung.
A.B + A.C = A(B + C).
VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 14x2y – 21 xy2 + 35 x2y2
b) 10x(x – y) – 8y(y – x)
c) 9x(x – y) – 10(y – x) 2
Hướng dẫn: GV đặt câu hỏi dẫn dắt học sinh
a) Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 35 trong các hạng tử trên?
Tìm nhân tử chung của x2y, xy2, x2y2 ?
Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?
Ta có: 14x2y – 21 xy2 + 35x2y2 = 7xy. 2x – 7xy. 3y + 7xy. 5xy
= 7xy. (2x – 3y + 5xy).
b) Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8?
Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?
Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử chung
(x – y) hoặc (y – x)?
Ta có:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).
Hoặc
10x(x – y) – 8y(y – x) = -10x(y – x) - 8y(y – x)
Trang 10


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

c)

Cách giải sai:

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

= -2(y – x).5x - 2( y – x).4y
= -2( y – x)( 5x + 4y).
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x - y)2
= (x – y) [9x + 10(x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).

Sai lầm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x - y)2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và (y – x) 2 của tích – 10(y – x)2
Vì – 10( y – x)2 = - 10(y – x)(y –x).
Cách giải đúng: 9x(x – y) – 10( y – x)2 = 9x(x – y) - 10(x - y)2
= (x – y) [9x - 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x).
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
2.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng
đẳng thức.
VD2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a)
(x + y)2 – (x – y)2
b) 100x2 – (x2 + 25)2
Hướng dẫn :
a)
Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
Cách giải sai: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y + x – y) – (x + y – x – y)

= 2x.0 = 0.
Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.
Cách giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) + (x – y)].[(x + y) - (x – y)]
= (x + y + x – y).(x + y – x + y)
= 2x.2y = 4xy.
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức
tạp hơn.
+ Phân tích đa thức (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử.
+ Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.
b)
100x2 – (x2 + 25)2 = (10x)2 – (x2 + 25)2
= [10x – (x2 + 25)][10x + (x2 + 25)]
= - ( x – 5) 2(x + 5)2
GV: Chỉ ra một số sai lầm mà HS thường mắc phải trong câu này:
Thiếu ngoặc
Không viết 100x2 thành (10x)2
2.1.3. Phương pháp nhóm hạng tử:

Trang 11


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

Kết hợp nhiêu hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa
áp dụng được hằng đẳng thức.
VD3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 – xy + x – y
b) x2 – 2x + 1 – 4y2

c) x2 – 2x – 4y2 – 4y
Hướng dẫn :
a)
Cách 1: (x2 – xy) + (x – y)
Cách 2: (x2 + x ) - (xy + y)
Cách giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0)
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
Cách giải đúng: x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + 1.( x – y )
= ( x – y )( x + 1)
2
2
2
b) x – 2x + 1 – 4y = (x – 2x + 1) – ( 2y )2
= ( x – 1 ) 2 – ( 2y )2
= ( x – 1 + 2y )( x – 1 – 2y )
2
c) Cách giải sai: x – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )
Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.
Cách giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức.
2.2. Phối hợp các phương pháp cơ bản: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp

cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiêu hạng tử
VD4: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
Với bài này học sinh thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như sau:
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
= x 3( x – 9 ) + x( x – 9 )
= ( x – 9 )( x 3 + x )
Cách giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
Trang 12


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

= x[(x 3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]
= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]
= x( x – 9 )(x2 + 1)
VD5: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
Gợi ý: Aùp dụng hằng đẳng thức:
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = A3+ B3 + 3AB( A + B)
� A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)
Giải: A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3
= [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3
= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
= [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z 2 )

= 3( x + y )( xy + xz + yz + z 2 )
= 3( x + y )( y + z )( x + z )
2.3. Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy
2.3.1. Phương pháp tách hạng tử: Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được
ba phương pháp cơ bản đã học để giải.
VD6: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý: Có nhiêu cách phân tích.
Cách 1: Tách hạng tử: 3x2 = 4x2 – x2
f(x) = 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
= ( 2x – 2 ) 2 – x2
= ( 2x – 2 + x )( 2x – 2 – x )
= ( 3x – 2 )( x – 2 )
Cách 2: Tách hạng tử: - 8x = -6x – 2x
f(x) = 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)
Cách 3: Tách hạng tử: 4 = -12 + 16
f(x) = 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x 2 – 22) – 8(x – 2)
= 3(x + 2)(x – 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x – 2)
* Nhận xét:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương.
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau từ đó xuất
hiện nhân tử chung ( x – 2 ).
- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung.

Trang 13

TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiêu hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các phương
pháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiêu hạng tử là khâu quan
trọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
Tổng quát: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử ta thực hiện các bước sau:
+ Tìm tích ac.
+ Phân tích ac thành tích hai số nguyên.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
VD7: Phân tích đa thức f(x) = - 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử.
Đặt a = -6, b = 7, c = -2
+ a.c = (-6).(-2) = 12;
+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;
+b=7=3+4
Giải:
Ta có: f(x) = - 6x2 + 7x – 2 = (- 6x2 + 4x ) + ( 3x – 2 )
= -2x( 3x – 2 ) + ( 3x – 2 )
= ( 3x – 2 )( -2x + 1 )
* Lưu ý: Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm
của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được các phương
pháp phân tích cơ bản đã học.
VD8: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
Gợi ý: Tách hạng tử 31x = x + 30x
Giải:
f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)
= x(x + 1)(x 2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)
= (x 2 – x + 1)(x2 + x – 30)

= (x 2 – x + 1)(x – 5)(x + 6).
2.3.2. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Sử dụng cho các bài tập không thể áp
dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đã học để giải.
VD9: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 + 2x) (x2 + 2 – 2x).
Khai thác bài toán:
- Thay “4” thành “64y4”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64y4
Hướng dẫn: f(x) = x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2
= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2
= (x2 + 8y2 + 4xy)(x2 + 8y2 – 4xy).
Trang 14


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

- Thay “4” thành “64”, ta có bài toán mới: f(x) = x 4 + 64
VD10: Phân tích đa thức f(x) = x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Giải:
Ta có :
f(x) = x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= ( x 4 – x ) + ( x2 + x + 1 )
= x( x 3 – 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= x( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= ( x 2 + x + 1 ) ( x2 – x + 1 ).
2.3.3. Phương pháp xét giá trị riêng (vận dụng định lí Bơ – zu và sơ đồ Horner)

a) Phương pháp:
- Nếu đa thức f(x) có nghiệm là x = a thì khi phân tích f(x) thành nhân tử, tích sẽ chứa
nhân tử x – a.
Khi đó: f(x) = (x – a).q(x).
- Tìm đa thức q(x) bằng cách:
+ Thực hiện phép chia f(x) cho x – a
+ Dùng lược đồ Horner.
b) Ví dụ minh họa:
VD 11: Phân tích đa thức: f(x) = 3x4 – 4x3 + 1 thành nhân tử
Hướng dẫn:
Ta có x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) vì f(1) = 0 (dựa vào định lí Bơ – zu để nhẩm
nghiệm). Nên f(x) chia hết cho x – 1
Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho x – 1 ta được thương q(x) = 3x 3 – x2 – x – 1 hoặc
dùng lược đồ Horner như sau:
1

3
3

–4
–1

0
–1

0
–1

1
0

Ta lại có q(1) = 0 với q(x) = 3x3 – x2 – x – 1 nên q(x) = (x – 1)(3x2 + 2x + 1)
1

3
3

–1
2

–1
1

–1
0

Vậy, f(x) = 3x4 – 4x3 + 1 = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1)
VD12: Phân tích đa thức: a3 + b3 + c3 – 3abc thành nhân tử.
Hướng dẫn:
Xem f(a) = a3 – 3abc + b3 + c3 là đa thức bậc ba đối với a.
Ta có: f(–b – c) = –(b + c)3 + 3bc(b + c) + b3 + c3 = 0
Do đó, f(a) chia hết cho a + b + c
Dùng lược đồ Horner tìm thương:
–b – c

1
1

0
–b – c

Trang 15

–3bc
2
b + c2 – bc

b 3 + c3
0


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

Đa thức thương q(a) = a2 – (b + c)a + b2 + c2 – bc
Suy ra, f(a) = (a + b+ c)[ a2 – (b + c)a + b2 + c2 – bc]
Vậy: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b+ c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
VD13: Phân tích đa thức thành nhân tử
M = xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) + 2xyz
Hướng dẫn:
Thay x bởi –y thì M = –y y(–y + y) + yz(y + z) – zy(z –y) – 2yyz = 0
Do đó, M chia hết cho x – (–y) = x + y
Suy ra, M chứa thừa số (x + y)
Do vai trò của x, y, z trong đa thức M là như nhau, nên M có dạng
k(x + y)(y + z)(z + x)
Lại có, M là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z và (x + y)(y + z)(z + x) cũng có
bậc 3 nên k phải là hằng số.
Đẳng thức: xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) + 2xyz = k(x + y)(y + z)(z + x) đúng với mọi
x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn x = y = z = 1 ta được k = 1.
Vậy : M = (x + y)(y + z)(z + x)

III. PHƯƠNG TRÌNH:
1.
Giải một số bài tập cơ bản vê phương trình bậc nhất một ẩn:
1.1. Định nghĩa.
* Phương trình bậc nhất một ẩn x là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là hai số
tùy ý và a ≠ 0.
* Phương pháp giải:
- Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:
+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta
được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) luôn có một nghiệm duy nhất
x=
1.2.



b
a

Ví dụ minh họa:

 Dạng 1: Phương trình với hệ số nguyên:
VD1: (BT3/sgk.3) Tìm x, biết:
a)
3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30
b)
x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15
c)

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 – 6x) = 81
Hướng dẫn: đối với bài tập này học sinh chỉ việc thực hiện phép nhân sau đó rút gọn vế trái
VD2: (BT-11c/sgk.13) Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
Trang 16


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải:

5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
� 5 – x + 6 = 12 – 8x
� – x + 8x = 12 – 11

� 7x = 1
�

1
x= 7

1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 7

VD3: (BT-17f/SGK.14)
Lời giải sai:

Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

(x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
� x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)

� x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
� –2x = 7 (sai từ trên)

�

x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)

Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng:

(x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
� x – 1 – 2x + 1 = 9 – x
� x – 2x + x = 9

� 0x = 7

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý vê
cách tìm nghiệm của phương trình.
 Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung:
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1.

- Thực hiện cách giải như dạng 1.
x 1 x 1 x 1


2
3
6
Giải phương trình: 2

VD4: (ví dụ 4/ Sgk.12 )
(5)
Gợi ý: Quy đồng - khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Trang 17


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

x 1 x  1 x 1


2
3
6
Lời giải sai: 2
3( x  1)  2( x  1)  x  1 12

�
6

6 (sai ở hạng tử thứ ba)

� 3( x  1)  2( x  1)  x  1  12

(sai từ trên)

� 4 x  18 (sai từ trên)
� x  4,5 (sai từ trên)

Sai lầm của học ở đây là:
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
x 1 x 1 x 1


2
3
6
Lời giải đúng: 2
3( x  1)  2( x  1)  ( x  1) 12

�
6
6
� 3 x  3  2 x  2  x  1  12

� 4 x  16 � x  4

Vậy: S =  
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ
của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.

4

 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Đặt t = x -1

�1 1 1 �
( x  1) �   � 2
�2 3 6 �
Cách 1: (5) �

t t t
  2
(5) trở thành: 2 3 6

4
2
�
6
� x 1  3
� x=4
( x  1)

� 3t  2t  t  2.6
� t 3

4
Vậy: S =  

� x 1  3 � x = 4

4
Vậy: S =  

2 x
1  2x
 0,5 x 
 0, 25
4
VD5: (BT-18/SGK.14) Giải phương trình: 5
(6)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
0,5 x  5(1  2 x)  20 �
0, 25
Cách giải 1: (4) � 4(2  x)  20 �

� 8  4 x  10 x  5  10 x  5
� 4x = 2
� x = 0,5
0,5 
Vậy: S = 

Trang 18


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:

Cách 2: Chuyển phương trình vê phân số
2  x x 1  2x 1
2  x x 1 x
2 x 1
 

 

2
4
4� 5
2
2 � 5
2
(6) � 5

Cách 3: Chuyển các hệ số của phương trình vê số thập phân
(2  x)  0,5 x  0, 25 �
(1  2 x)  0, 25
(6) � 0, 2 �
� 0, 4  0, 2 x  0,5 x  0,5  0,5 x

� 0, 2 x  0,1

2.
Hệ thống một số phương pháp cơ bản về các dạng phương trình:
2.1. Phương trình tích.
2.1.1. Phương pháp chung:
Dạng tổng quát: A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0 � A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0

 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích.
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
2.1.2. Các ví dụ:
VD1: (BT- 21a/Sgk.17)

Giải phương trình: (3x – 2)(4x + 5) = 0

Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0
� 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0
� 3x = 2 hoặc 4x = – 5
2
5

� x = 3 hoặc x = 4
5 �
�2
� ;  �
4
Vậy S = �3

 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
3x  2  0
�
�
( ky�
hie�
u �thay cho ch�

�
hoa�
c)
�
4
x

5

0
�
�
�
(3x – 2)(4x + 5) = 0

* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi
để đưa phương trình đã cho vê phương trình tích.
VD2: : (BT-23b/Sgk.17)

Giải phương trình:

x2 – x = –2x + 2 (2)

Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:
Trang 19


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

(6) � x2 – x + 2x – 2 = 0 � x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển vê phương
trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học
sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
2
�
Cách 1: (2)
x – x + 2x – 2 = 0
Cách 2: (2) � x(x – 1) = – 2(x – 1)
� x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
� x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
� (x – 1)(x + 2) = 0
� (x – 1)(x + 2) = 0
x 1  0
x 1
�
�
��
�
x20
x  2
� �
�

x 1  0
x 1
�
�

��
�
x20
x  2
� �
�

1 ; 2 
Vậy S = 

1 ; 2 
Vậy S = 

VD3: (BT-28f/Sgk.17) Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (3)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các
hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
(3) � –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0
� –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển vê phương trình tích. Giáo
viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (3) � (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2
� (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0
� (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0
x  2
�
x20
�
�
�
1
�

�
5 x  1  0
x
�
� 5
�
1 �
�
� 2 ;
�
5
Vậy S = �

Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng
tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và
đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử
dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn
rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
2.1.3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm x, biết: (SBT Toán 8 – Tập 1 – trang 6,7)
a) 5x(x – 1) = x – 1
c) x 3 – 0,25x = 0
b) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
d) x2 – 10x = –25
Bài 2: Giải các phương trình sau: (SBT Toán 8 – Tập 2 – trang 7)
a) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)
b) (2x – 3)(x + 11) = (3x – 2) (2x – 5)

2.2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Trang 20


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

2.2.1. Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điêu kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trì tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác
định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
2.2.2. Các ví dụ:
x2 1
2
 
x  2 x x ( x  2)

VD1: (BT 52b/Sgk.33) Giải phương trình:
(1)
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x � 2 ; x � 0
x( x  2)  1( x  2)
2

x( x  2)
x ( x  2)
(1) �

� x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu � là không chính xác)
� x2 + 2x – x + 2 = 2
� x2 + x = 0
� x(x + 1) = 0
x0
�
x0
(kho�
ng kie�
m ch�
�
ng v�
�
i�
ie�
u kie�
n)
�
��
�
x 1  0
x  1
�
� �
 0 ; 1 

Vậy S =

(kết luận dư nghiệm)

Sai lầm của học sinh là:
Dùng ký hiệu “ � ”không chính xác
Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điêu kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x � 2 ; x � 0
x( x  2)  1( x  2)
2

x( x  2)
x ( x  2)
(1) �
� x(x + 2) – 1(x – 2) = 2

�

(phương trình hệ quả)

2

x + 2x – x + 2 = 2
� x2 + x = 0
� x(x + 1) = 0
x0
x0
(kho�
ng tho�
a �ie�
u kie�
n)
�
�

��
�
x 1  0
x  1 (tho�
a �ie�
u kie�
n)
�
� �
 1 

Vậy S =
Giáo viên cần củng cố ở học:
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta
dùng ký hiệu “ � ” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập
nghiệm của phương trình (8).
Kiểm tra các nghiệm tìm được với điêu kiện rồi mới kết luận.
Trang 21


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

VD2: (BT 30a/Sgk.23) Giải phương trình:

1
x 3
3
x2

2 x

(2)

- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung của
phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải:

ĐKXĐ: x � 2

1  3( x  2) 3  x

x2
x2
(2) �
� 1 + 3(x – 2) = 3 – x
� 1 + 3x – 6 = 3 – x
� 4x = 8
� x = 2 (không thỏa mãn điêu kiện)

Vậy phương trình vô nghiệm
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn kỹ năng sau: “nhận dạng
các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x 2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… hoặc là bình
phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp
phải các mẫu thức có dạng này ta không cần phải đặt điêu kiện cho mẫu thức đó khác 0”.
1
2 x2  5
4
 3

 2
VD3: (BT 41c/SBT.10) Giải phương trình: x  1 x  1 x  x  1 (3)

Lời giải: ĐKXĐ: x � 1 (vì x2 + x + 1 > 0, với mọi x)
x2  x  1  2 x2  5
4( x  1)

2
2
(3) � ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)
� 3x2 + x – 4 = 4x – 4
� 3x2 – 3x = 0
� 3x(x – 1) = 0
3x  0
x0
(tho�
a�
ie�
u kie�
n)
�
�
��
�
x 1  0
x  1 (không tho�
a�
ie�
u kie�
n)

�
� �
0
Vậy S =  

x 1 x  2 x  3 x  4



8
7
6
VD4: (BT 53/Sgk.34) Giải phương trình: 9

- Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:
Cách 1: (4) � 56.( x  1)  63.( x  2)  72.( x  3)  84.( x  4)
� 56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336
� 37x = –370
�
x = –10
 10 
Vậy S = 

Trang 22

(4)


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

- Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài
toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên cần
định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát cho các
bài tập có dạng tương tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x + 10
Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đêu
x + 2 + 8 = x + 10
x + 3 + 7 = x + 10
cùng bằng một phân thức
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau: thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
9
8
7
6
�
�
�
�
�
�

�
�
�
Cách 2: (12)
x  10 x  10 x  10 x  10



�
9
8
7
6
�1 1 1 1 �
( x  10) �    � 0
�9 8 7 6 �
�
� x + 10 = 0
� x = –10


Vậy S = 
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó giáo
viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đê xuất các
bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
- Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
 10

x 1 x  2 x  3 x  4




1) 2009 2008 2007 2006

* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:

x 1 x  2 x  3 x  4



 x  2006
2) 2011 2012 2013 2014
x 1 x  2 x  3
x  2009 x  2010


 ... 

 2010
2
1
3) 2010 2009 2008

VD5: (BT31/SBT.23)
3
2
1



( x  1)( x  2) ( x  3)( x  1) ( x  2)( x  3) (5)

Giải phương trình:
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x � 1; x � 2; x � 3
(5) � 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đê ở đây
không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác thì
việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
Trang 23


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

-Khai thác bài toán:
* Bài toán (5) trên chính là bài toán phức tạp sau:
3
2
1
 2
 2
1) Ta có: (14) � x  3x  2 x  4 x  3 x  6 x  5
2

* Ta có bài toán tương tự như sau:
4
3
2
1




0
2) ( x  1)( x  2)( x  3) ( x  1)( x  2)( x  4) ( x  1)( x  3)( x  4) ( x  2)( x  3)( x  4)
1
1
1
1
1
1





3) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) 10 (*)
3 1
x 2  3x  4   2  0
x x
VD6 : Giải phương trình :
(6)

- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương trình
là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh có cách
nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x � 0
(6) c

x2 

1
1
1
1
 3( x  )  4  0
x  y
x2  2  y 2  2
2
�
x
x
x
x
Đặt

Phương trình trở thành : y2 – 3y + 2 = 0 � (y – 1)(y – 2) = 0 � y = 1 hoặc y = 2
1
1
� x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm)
x
Với y = 1 �
1
x 2
� x2 – 2x + 1 = 0 � (x – 1)2 � x = 1 (nhận)
x
Với y = 2 �
 1
x

Vậy S =
3.
Giải phương trình bậc cao nhằm phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi.
Do hạn chế vê mặt thời gian nên ở nội dung này tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh họa và
bài tập tương tự nhằm phát triển tư duy, rèn luyện kỹ năng giải toán, tạo sự hứng thú học tập,
khơi dậy niêm đam mê toán học cho học sinh. Qua đó, giáo viên tìm ra những học sinh có
năng lực tốt để bồi dưỡng học sinh giỏi.
3.1. Phương trình bậc ba:
VD1: Giải phương trình:
a) x3 + 2x2 + x + 2 = 0 (Nâng cao và phát triển Toán 8 – tập 2)
b) (x – 1)3 – (x – 3)3 = 98 (Tài liệu chuyên Toán THCS – Toán 8 – Tập 1)
Giải:
a)
x3 + 2x2 + x + 2 = 0
(GV hướng dẫn HS phân tích vế trái thành nhân tử)
� x2(x + 2) + (x + 2) = 0

� (x + 2)(x2 + 1) = 0
� x + 2 = 0 (Vì x2 + 1 > 0 với mọi x)

Trang 24


TRƯỜNG: THCS THIỆN NGÔN

GV: NGÔ ĐỨC ĐỒNG

� x = -2 Vậy S = {-2}
b) (x – 1)3 – (x – 3)3 = 98 (GV hướng dẫn HS giải phương trình bằng phương pháp đặt
ẩn phụ)

Đặt y = x – 2 (y là trung bình cộng của x – 1 và x – 3 )
Phương trình đã cho trở thành : (y + 1)3 - (y – 1)3 = 98
� y2 = 16
� y = -4 hoặc y = 4
Với y = -4 => x = -2
Với y = 4 => x = 6
Vây tập nghiệm của phương trình đã cho S = {-2 ; 6}
VD2: Giải các phương trình sau (Nâng cao và phát triển Toán 8 – Tập 2)
a) (x + 1)3 + (x – 2)3 = (2x – 1)3
b) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8
Hướng dẫn giải :
a) (x + 1)3 + (x – 2)3 = (2x – 1)3
Đặt a = (x + 1)3, b = (x – 2)3, c = (2x – 1)3 . Khi đó, ta có a + b + c = 0
Do đó, a3 + b3 + c3 = 3abc
(BT38/SBT Toán 8 – tập 1)
Vậy, abc = 0
1
Từ đó, suy ra x = -1, x = 2, x = 2
b)

(x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8
� 6x3 – 11x2 –19x – 6 = 0
� (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) = 0

2
1

� x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = 3
Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
a) x3 – x2 – 21x – 24 = 0

c) x3 + x2 + 4 = 0
b) (x + 3)3 + (x – 3)3 = 0
d) (x – 2018)3 + (x – 2020)3 = (2x – 4038)3
3.2. Phương trình bậc bốn:
VD1: (sách Nâng cao và phát triển Toán 8 – Tập 1) Giải các phương trình sau:
a) x4 + x2 + 6x – 8 = 0
b) (x – 6)4 + (x – 8)4 = 0
Giải:
a) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (GV hướng dẫn HS phân tích vế trái thành nhân tử)
� x4 – x2 + 2x2 + 2x + 8x – 8 = 0



� (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8) = 0
� (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0

� x = 1 hoặc x = - 2 (vì x2 – x + 4 > 0 với mọi x)
b) (x – 6)4 + (x – 8)4 = 0
Đặt y = x – 7, phương trình đã cho trở thành
Trang 25