NGHIÊN cứu một số TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG của hố ĐEN REISSNER NORDSTRÖM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN PHƯƠNG THANH

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA HỐ ĐEN REISSNER-NORDSTRÖM
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 8.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: 1. TS Đinh Thanh Tâm
2. PGS.TS Lê Viết Hòa

HÀ NỘI – 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự giúp đỡ
của giáo viên hướng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình
nghiên cứu của người khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo.
Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới
bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự
cam đoan này.
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2020

Học viên

Nguyễn Phương Thanh

2


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và làm việc tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội, dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Thanh Tâm và PGS.TS. Lê Viết Hòa, tôi
đã học hỏi được rất nhiều kiến thức Vật lý, Toán học để hoàn thành được
Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở thành một người có khả năng độc lập
nghiên cứu Khoa học. Tôi xin gửi đến các thầy hướng dẫn trực tiếp của tôi lời
cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý cũng như lòng kính trọng của
mình. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý, Trường ĐHSP Hà
Nội và đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận văn Thạc sĩ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội đã tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Trường, phòng sau đại
học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của
mình dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng
bước chân tôi.
Hà Nội, ngày tháng

năm 2020
Học viên

Nguyễn Phương Thanh

3

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU....................................................................................9
1. Lý do chọn đề tài...............................................................9
2. Mục đích đề tài..................................................................9
3. Đối tượng nghiên cứu......................................................10
4. Nhiệm vụ của đề tài........................................................10
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài................................10
6. Cấu trúc của luận văn.....................................................11
CHƯƠNG I..............................................................................12
TỔNG QUAN VỀ HỐ ĐEN.........................................................12
I.1. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ HỐ ĐEN........................12
I.1.1 Tác dụng cho một hạt.............................................12
I.1.2 Phương trình Einstein và hố đen Schwarzschild......15
I.1.3 Vật lý của hố đen Schwarzschild..............................16
I.2 HỐ ĐEN VÀ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC................................21
I.2.1 Các nhận xét chung.................................................21
I.2.2 Định luật zero...........................................................23
I.2.3 Sức hút bề mặt........................................................24
I.2.4 Định luật I................................................................25
I 2.5 Bức xạ Hawkin.........................................................26
I.2.6 Nguồn gốc entropy của hố đen................................29
I.3 CÁC HỐ ĐEN KHÁC.........................................................30
I.3.1 Hố đen Schwarzschild với số chiều lớn hơn............30
I.3.2 Black Branes............................................................31
I.3.3 Hố đen mang điện....................................................32
I.4 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG I..............................................34
CHƯƠNG II.............................................................................36
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CỦA HỐ ĐEN REISSNERNORDSTRÖM TRONG KHÔNG THỜI GIAN ANTI DE SITTER.....36

II.1 CÁC ĐẠI LƯỢNG NHIỆT ĐỘNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH
CHUYỂN ĐỘNG CỦA TRƯỜNG.............................................36
II.2 PHƯƠNG PHÁP LÀM KHỚP (MATCHING METHOD).........40
CHƯƠNG III............................................................................45
CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỐ ĐEN REISSNERNORDSTRÖM..........................................................................45
III.1 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI.......................................45
III.2 CẤU TRÚC PHA CỦA HỐ ĐEN........................................49
III.3 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG III..........................................53
KẾT LUẬN................................................................................55

4


DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................56

5


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
STT
1
2
4
5

Kí hiệu viết tắt
BH
RN
AdS
AdS4

Chú thích
Hố đen (black hole)
Reissner-Nordström
Anti de Sitter
Anti de Sitter bốn chiều

6


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1 Hố đen và nhiệt động lực học….....................................................22

7


DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang

8


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sau khi hoàn thành việc xây dựng thuyết tương đối hẹp (1905), trong khoảng
từ năm 1907 đến 1915 Einstein bắt tay xây dựng thuyết tương đối rộng mà nội
dung chủ yếu của nó là thiết lập mối quan hệ giữa tính chất hình học của
không-thời gian và vật chất. Mặc dù cho đến nay, thuyết tương đối rộng vẫn
chưa hoàn chỉnh, nhưng ngay từ khi ra đời nó đã cho những tiên đoán có tính
cách mạng trong nhận thức của chúng ta về thế giới. Một trong những tiên

đoán như vậy là sự tồn tại của hố đen (black hole) được mệnh danh là “quái
vật” của vũ trụ. Nói một cách đại khái thì hố đen là miền không gian mà
trường hấp dẫn mạnh tới mức ánh sáng cũng không thể thoát ra được. Người ta
nói hố đen là một trong những bí ẩn lớn nhất của vũ trụ vì cho đến nay chúng
ta mới chỉ biết rất ít về các đặc tính của nó. Việc lần đầu tiên trong lịch sử chụp
được ảnh của hố đen vào tháng 4 năm 2019 đã làm gia tăng mạnh mẽ những
nghiên cứu về hố đen. Các nghiên cứu gần đây đã cho thấy hố đen có các tính
chất giống như hệ nhiệt động thông thường và điều này cho phép mô tả các
tính chất của nó chỉ bằng một vài biến số vĩ mô như áp suất, nhiệt độ, entropy.
Tuy nhiên người ta cũng nhận thấy rằng các quá trình nhiệt động và các hiện
tượng tới hạn trong hố đen phong phú hơn nhiều so với các hệ nhiệt động
thông thường [1]. Có hàng loạt vấn đề cần phải làm sáng tỏ liên quan đến hố
đen như cấu trúc nội tại, các hiện tượng tới hạn ở gần chân trời, các quá trình
nhiệt động trong trường hấp dẫn cực mạnh của hố đen…
2. Mục đích đề tài
Luận văn này được thực hiện với mục đích sau:

9


1. Tìm hiểu các đặc tính cơ bản về hố đen và các phương pháp lý thuyết đang
được áp dụng để nghiên cứu về hố đen.
2. Nghiên cứu một số tính chất nhiệt động quan trọng của hố đen tích điện
Reissner-Nordström (RN) như áp suất, nhiệt dung riêng, năng lượng tự do….
3. Đối tượng nghiên cứu
Là hố đen được mô tả bằng mật độ Lagrangian L có dạng
16πG N L = R −

2
6 1 2

2
−
F
−
∂
ψ
−
iQA
ψ
− m2 ψ ,
µν
µ
µ
2
L 4

trong đó GN là hằng số hấp dẫn trong lý thuyết Newton; R là vô hướng Ricci;
Aμ và ψ tương ứng là trường Gauge và trường vật chất; m là khối lượng của
trường ψ; Fµν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ là tenxơ cường độ trường điện từ; L là bán kính
không-thời gian Anti de Sitter bốn chiều (AdS4) liên hệ với hằng số vũ trụ Λ
theo biểu thức: Λ = − 3 / L2 .
4. Nhiệm vụ của đề tài
* Tìm hiểu lý thuyết chung về hố đen và những đặc trưng cơ bản của nó . Từ
đó viết tổng quan.
* Thiết lập các công thức giải tích cho các đại lượng nhiệt động và phương
trình chuyển động của trường. Trên cơ sở đó sẽ tiến hành tính số để khảo sát
các tính chất nhiệt động quan trọng của hố đen tích điện RN.
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
Sử dụng các phương pháp đang được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết
trường: phương pháp biến phân để thu được phương trình Lagrang từ nguyên

lý tác dụng tối thiểu, phương pháp giải phương trình vi phân đạo hàm riêng với
điều kiện biên, phương pháp tính số bằng máy tính điện tử…

10


6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau. Ngoài các phần cam đoan, mở đầu, danh mục
viết tắt và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Tổng quan về hố đen.
Chương này giới thiệu vắn tắt về thuyết tương đối rộng với phương trình cơ
bản là phương trình Einstein mà nghiệm đơn giản nhất của nó là hố đen
Schwarzschild. Các đặc tính cơ bản của hố đen với tư cách là một hệ thống kê
cũng được giới thiệu. Một số vật đen khác, là hệ quả của thuyết tương đối
rộng, cũng được giới thiệu ở cuối chương.
Chương II: Phương trình trạng thái của hố đen RN trong không thời
gian Anti de Sitter .
Các tính toán để thu được các biểu thức giải tích cho các đại lượng cơ bản
như bán kính chân trời, thể tích, áp suất, entropy... của hố đen tích điện RN
được trình bày trong phần đầu của chương. Sau đó việc giải phương trình
chuyển động của trường vật chất và trường điện từ của hố đen bằng phương
pháp làm khớp (matching method) cũng được giới thiệu. Các tính toán này sẽ
được sử dụng để tính số trong chương 3.
Chương III: Các tính chất nhiệt động của hố đen RN .
Phần đầu của chương được giành cho việc giới thiệu các tính toán bằng số để
khảo sát phương trình trạng thái P(V,T). Các kết quả khảo sát nhiệt dung đẳng
áp và năng lượng tự do để cho phép khẳng định bản chất chuyển pha cũng
được thực hiện trong chương này.

11

CHƯƠNG I
TỔNG QUAN VỀ HỐ ĐEN
Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu những vấn đề cơ bản liên quan đến hố
đen. Trước hết là tóm tắt về lý thuyết tương đối tổng quát mà một trong các hệ
quả quan trọng của nó là sự tồn tại của hố đen. Chúng ta cũng sẽ xem xét
những tính chất cơ bản của hố đen đơn giản nhất là hố đen Schwarzschild. Tiếp
theo, các tính chất cơ bản của hố đen theo quan niệm của nhiệt động lực học sẽ
được trình bày. Cuối cùng là giới thiệu về một số hố đen điển hình, thường gặp.
I.1. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ HỐ ĐEN
I.1.1 Tác dụng cho một hạt

Theo thuyết tương đối hẹp, khoảng được định nghĩa (chúng ta sẽ dùng đơn
vị tự nhiên c = h =1)

ds 2 = − dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2

(1.1)

Khoảng được gọi là loại thời gian khi ds 2 < 0, loại không gian khi ds 2 > 0 và
loại không khi ds2 = 0. Đối với một hạt thì ds 2 < 0 nên người ta sử dụng thời
gian riêng (proper time) τ xác định bởi

ds 2 = − dτ 2

(1.2)

Thời gian riêng là đại lượng bất biến tương đối tính cho một hạt, nên một cách
tự nhiên ta sử dụng nó cho tác dụng

S = − m ∫ dτ
Sử dụng vận tốc vi = dxi/dt có thể viết dτ = dt(1 – v2)1/2, do đó

12

(1.3)


S = − m ∫ dt ( 1 − v

2

)

1/2

1/2

 v2

; − m ∫ dt 1 − + ... ÷ , v = 1
2



(1.4)

Trong biểu thức cuối cùng của công thức trên số hạng đầu biểu diễn năng
lượng của hạt đứng yên, số hạng thứ hai biểu diễn động năng phi tương đối

tính.
Khi chuyển động, hạt vẽ nên một đường thế giới (world-line) trong không
thời gian (hình 1.1). Bằng cách đưa vào một thông số tùy ý λ dọc theo đường
thế giới thì các tọa độ hạt được xác định bởi xμ = xμ(λ) và

dτ = − ηµν dx dx ; − ηµν x&µ x&νdλ 2 , x&µ =
2

µ

ν

dx µ
dλ

(1.5)

Như vậy

S = − m ∫ dλ − ηµν x&µ x&ν = ∫ dλ L

(1.6)

Do λ là biến phụ nên tác dụng phải không phụ
thuộc vào λ. Trong thực tế hàm tác dụng là bất
biến đối với phép biến đổi

λ ' = λ ' (λ ).

(1.7)

Xung lượng chính tắc của hạt được xác định bởi

pµ =

Hình1.
1

mx&µ
dx µ
dL
=
=
m
, x&2 = ηµν x&µ x&ν
µ
dx&
dτ
− x&2

(1.8)

Nhận xét rằng, xung lượng chính tắc thỏa mãn

x&2
p =m
= − m2
2
− x&
2

2

(1.9)

Như thế các thành phần của nó không độc lập. Vì Lagrangian không chứa
tường minh x µ mà chỉ chứa x&µ nên pµ là đại lượng bảo toàn.

13


Chuyển sang lý thuyết tương đối tổng quát, khoảng bất biến sẽ có được bằng
cách thay metric phẳng ηµν [ ηµν = diat( −1,1,1,1) ] bằng metric cong g µν :

ds 2 = g µν dx µ dx ν

(1.10)

Cũng bằng cách đó sẽ thu được hàm tác dụng

S = − m ∫ dτ = − m ∫ dλ −g µν (x)dx µdx ν

(1.11)

Cũng giống trong không thời gian phẳng, xung lượng chính tắc bây giờ xác
định bởi

pµ = m

g µν x&ν

− x&
2

, x&2 = g µν x&µ x&ν

(1.12)

Điều đó cũng đưa tới p 2 = − m 2 . Ngoài ra nếu metric không phụ thuộc x µ thì
xung lượng liên hợp pμ là đại lượng bảo toàn.
Nguyên lý tác dụng cực tiểu δS = 0 sẽ xác định đường thế giới mà theo đó
hàm tác dụng cực trị. Đối với không thời gian phẳng, hạt chuyển động tự do và
có đường thế giới là “thẳng”. Còn trong không thời gian cong đường thế giới
làm cho hàm tác dụng cực trị được gọi là đường trắc địa (geodesic). Biến phân
của hàm tác dụng theo xμ cho ta phương trình chuyển động của hạt (gọi là
phương trình đường trắc địa)
ρ
σ
d2xµ
µ dx dx
+ Γ ρσ
.
dτ 2
dτ dτ

(1.13)

µ
Ở đây Γ ρσ là kí hiệu Christoffel

1

Γ µρσ = g αβ (∂ ν gβµ + ∂ µ gβν + ∂ β gµν ) .
2

(1.14)

Giải phương trình đường trắc địa ta sẽ xác định được chuyển động của hạt.
Tuy nhiên hố đen được xét ở đây có đủ số lượng các đại lượng bảo toàn, nên ta
sẽ không phải giải các phương trình đó.
14


I.1.2 Phương trình Einstein và hố đen Schwarzschild

Chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến metric xác định bởi phương trình Einstein:

R µν −

1
g µν R = 8πGTµν .
2

(1.14)

Trong đó G là hằng số hấp dẫn, T μν là ten xơ năng-xung lượng của trường vật
chất. Xét trường hợp đáng quan tâm khi

Tµν =

Λ
g µν .

8πG

(1.15)

Trong đó Λ là hằng số vũ trụ. Trường hợp này (1.14) có dạng

R µν −

1
g µν R + Λ g µν = 0.
2

(1.16)

Từ (1.15) chúng ta thấy hằng số vũ trụ đóng vai trò của mật độ năng lượng
không đổi và Λ > 0 được coi là ứng viên cho năng lượng tối.
Chúng ta hãy xét trường hợp không có hằng số vũ trụ và trường vật chất

R µν −

1
g µν R = 0.
2

(1.17)

Phương trình này cho nghiệm là hố đen đơn giản nhất gọi là hố đen
Schwarzschild:

dr 2

 2GM  2
ds = −  1 −
+ r 2d Ω 22 .
÷dt +
2GM
r 

1−
r
2

(1.18)

Ở đây d Ω 22 = dθ 2 + sin 2 θdϕ2 .
Từ (1.18) chúng ta thấy hố đen này có một số tính chất đáng chú ý sau đây:
1. Metric sẽ chuyển về không thời gian phẳng

ds 2 → − dt 2 + dr 2 + r 2d Ω 22 khi r → ∞

15


2. Như sau này sẽ thấy, M là khối lượng hố đen và tính chất của GM/r xác
định bởi thế Newton bốn chiều.
3. Chân trời ở tại r = 2GM mà tại đó g00 = 0.
4. Đại lượng bất biến

R

µνρσ

R µνρσ

48G 2 M 2
=
.
r6

(1.19)

phân kỳ tại r = 0. Vị trí này được gọi là kì dị không thời gian là nơi mà hấp dẫn
trở nên mạnh vô hạn.
I.1.3 Vật lý của hố đen Schwarzschild

a) Sự dịch chuyển đỏ do hấp dẫn
Sự dịch chuyển đỏ do hấp dẫn là một trong 3 vấn đề được sử dụng để kiểm
tra thuyết tương đối rộng. Để thấy rõ hiệu ứng này, ta hãy xét hai quan sát viên
đứng yên A và B (Hình vẽ 1.2). Kí hiệu A là người gửi đi một tín hiệu sáng còn
B là người nhận. Ánh sáng truyền theo đường trắc địa không ds2 = 0, nên

ds 2 = g 00 dt 2 + g rr dr 2 = 0
B

(1.20)

B

g rr dr 2
g rr (r)
dt = −

→ ∫ dt = ∫
dr
g 00
−
g
(r)
00
A
A
2

(1.21)

Vế phải của (1.20) không phụ thuộc việc
ánh sáng được gửi đi khi nào nên tọa độ thời
gian ánh sáng truyền từ A đến B là như
nhau. Như thế nếu A phát ánh sáng trong
khoảng thời gian dt thì B cũng nhận được
ánh sáng trong khoảng đó. Tuy nhiên thời
gian riêng đối với các quan sát viên là khác
nhau vì dτ 2 = | g 00 | dt 2 nên:
16

Hình 1.2


dτ 2A = | g 00 (A) | dt 2

(1.22)

dτ 2B = | g 00 (B) | dt 2

(1.23)

Cả hai quan sát viên phải nhận được số dao động sáng toàn phần như nhau, nên
(1.24)

ω A dτ A = ω Bdτ B

Nhưng năng lượng của photon là E = hω nên E A dτ A = BBdτ B hay là:
EB
=
EA

g 00 (A)
g 00 (B)

(1.25)

Để đơn giản ta xét hố đen Schwarzschild và đặt rB = ∞ , rA >> GM , khi đó
E∞ =
Ở đây chúng ta đã sử dụng

g 00 (A) E A ; E A −

GM
< EA
rA

| g 00 (A) | E A ; ( 1 − 2GM / rA )

(1.26)
1/2

; 1 − GM / rA . Như

thế năng lượng của photon bị giảm do nó cần phải vượt qua thế hấp dẫn. Hơn
nữa số hạng thứ hai ở vế phải của (1.26) có dạng của thế hấp dẫn Newton và do
đó M là khối lượng của hố đen. Ngoài ra, nếu A ở tại chân trời thì do g 00(A) = 0
nên E∞ → 0 , tức là ánh sáng sẽ có dịch chuyển đỏ bằng vô hạn.
b) Sự chuyển động của hạt
* Chuyển động ra xa (motion far away)
Có thể xác định được chuyển động của hạt nhờ giải phương trình đường trắc
địa (1.13). Tuy nhiên đối với nghiệm đối xứng cầu kiểu như hố đen
Schwarzschild ta có số các đại lượng bảo toàn đủ để xác định chuyển động của
hạt mà không phải giải phương trình đó.
Trước hết, do sự đối xứng cầu, chuyển động của hạt chỉ diễn ra trong một
mặt phẳng và do đó không làm mất tính tổng quát, ta có thể chọn mặt phẳng
xích đạo (θ = п/2) làm mặt phẳng đó. Hơn nữa, như đã nói ở trên, khi metric
17


không phụ thuộc tọa độ xμ thì xung lượng pμ liên hợp (conjugate) bảo toàn. Đối
với nghiệm tĩnh đối xứng cầu metric không phụ thuộc t và φ nên năng lượng p 0
và momen xung lượng pφ là các đại lượng bảo toàn.
Tiếp theo, xung lượng bốn chiều của hạt được cho bởi
p0 = : − mE; pϕ = : − mL; p r = m

dr θ
; p = 0

dτ

(1.27)

(E và L là năng lượng và mô men xung lượng của một đơn vị khối lượng nghỉ).
Vì xung lượng bốn chiều thỏa mãn p2 = - m2, nên
2

 dr 
g (p0 ) + mg rr  ÷ + g ϕϕ (p ϕ ) 2 = − m 2
 dτ 
00

2

(1.28)

Khi mô men xung lượng L = 0, ta có
2

2GM
 dr 
2
.
 ÷ = (E − 1) +
r
 dτ 

(1.29)

Từ đó thấy (dr / dτ ) 2 → E 2 − 1 khi r → ∞ , E = 1 biểu thị hạt đứng yên ở vô cực.
Bằng cách lấy đạo hàm phương trình trên theo τ và sử dụng τ = t tại giới hạn
phi tương đối tính, chúng ta có

d2r
GM
=− 2 .
2
dt
r

(1.30)

Đó chính là phương trình Newton của lực hấp dẫn. Như vậy M trong hố đen
Schwarzschild (1.18) chính là khối lượng của hố đen.
Một cách tương tự, khi L ≠ 0 ta có
2

2
2GM L2 2GML2
 dr 
 2GM   L 
2
2
− 2+
.
 ÷ = E − 1 −
÷ 1 + ÷ = (E − 1) +
r   r2 
r

r
r3
 dτ 


(1.31)

Số hạng thứ 3 (trong (1.31) biểu diễn lực xuyên tâm, còn số hạng thứ tư là đặc
trưng mới của thuyết tương đối rộng. Ngoài sự dịch chuyển đỏ do hấp dẫn trên

18


đây có hai hiệu ứng rút ra từ số hạng này được dùng để kiểm tra về thuyết
tương đối rộng là
* Sự dịch chuyển điểm cận nhật (gần mặt trời nhất) của sao thủy.
* Sự uốn cong của ánh sáng (sử dụng (1.28) cho hạt không khối lượng nghỉ).
Số hạng thứ tư so sánh được với số hạng thứ 3 chỉ khi hạt tiến tới khoảng cách
r ; 2GM . Khoảng cách này tương ứng với bán kính chân trời của hố đen và có
giá trị cỡ 3km đối với hố đen có khối lượng bằng mặt trời, do đó, thông thường
hiệu ứng gây bởi số hạng này là rất nhỏ.
* Chuyển động lại gần đường chân trời
Chúng ta xét hạt chuyển động ở gần chân trời. Sau bao lâu thì hạt đạt tới
chân trời? Để đơn giản, ta giả thiết hạt đứng yên ở vô cực (E =1) và rơi xuyên
tâm (L = 0). Từ (1.29) chuyển động của hạt lúc này xác định bởi:
2

r0
 dr 
 ÷ = , r0 = 2GM

r
 dτ 

(1.32)

dr
; − 1.
dτ

(1.33)

ở gần chân trời

Chúng ta chọn dấu trừ do r giảm theo thời gian.
Như vậy thời gian riêng để đi từ r = r0 + R đến r = r0 + ε là
r+ε

τ; −

∫

dr = R − ε

(1.34)

r+R

Nghĩa là hạt đến được chân trời trong khoảng thời gian riêng hữu hạn. Tuy
nhiên khi xét theo thời gian t thì kết quả sẽ khác. Bằng cách định nghĩa
p0 = mdt/dτ và sử dụng định luật bảo toàn p0 = g00p0 = m(1 – r0/r)-1 ta viết được

dτ r − r0
;
.
dt
r

19

(1.35)


Như vậy,
2

2

2

2
 dr   dr   dτ  r0 (r − r0 )
.
 ÷ = ÷  ÷ =
r3
 dt   dτ   dt 

(1.36)

Hay
dr
(r − r0 )

=−
dt
r0

(1.37)

ở gần chân trời, và
t ; − r0

r0 + ε

dr
∫r + R (r − r0 ) = r0 (ln R − ln ε )
0

(1.38)

Vậy t → ∞ khi ε → 0 . Nghĩa là hạt phải mất thời gian vô hạn để đi đến chân
trời. Tiện thể, chúng ta nhận xét rằng, ở gần chân trời phương trình (1.37) có
dạng trùng với phương trình cho hạt không khối lượng như dưới đây. Tức là
hạt chuyển động với vận tốc ánh sáng.
Ta hãy xét hạt không khối lượng (khối lượng nghỉ!), khi đó p 2 = 0 hay ds2 = 0,
nên
(1.39)

ds 2 = g 00dt 2 + g rr dr 2 = 0
2

2

g
 dr 
 r 
⇒  ÷ = − 00 =  1 − 0 ÷
g rr 
r
 dt 

(1.40)

r − r0
 r0 
.
1 − ÷ ; −
r
r0


(1.41)

⇒

dr
=−
dt

Kết quả này giống với (1.37) đối với hạt có khối lượng. Đó mới là xét khi
photon đi lại gần chân trời. Trong trường hợp photon đi ra xa thì t → ∞ để
photon từ chân trời tới vị trí r hữu hạn.

20


I.2 HỐ ĐEN VÀ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
Xét theo quan điểm của nhiệt động lực học thì hố đen có tính chất giống như
một hệ thống kê thông thường. Khi đó để mô tả các tính chất vĩ mô của HĐ
chúng ta không cần phải quan tâm đến vị trí và xung lượng của từng phân tử
mà chỉ cần một vài thông số vĩ mô như nhiệt độ, áp suất.. Trong phần này ta sẽ
phân tích chi tiết sự tương tự giữa hố đen và một hệ nhiệt động thông thường
để từ đó đưa ra các biểu thức diễn tả các định luật cơ bản của nhiệt động lực
học cho hố đen.[1]
I.2.1 Các nhận xét chung

Đối với hố đen Schwarzschild, bán kính chân trời là r 0 = 2GM/c2 cho nên
diện tích chân trời là
16πG 2M 2
A = 4π r =
c4
2
0

(1.42)

Như thế khi có vật chất rơi vào hố đen thì diện tích của chân trời sẽ tăng.
Nhưng theo cách hiểu cổ điển thì không có gì đi ra khỏi hố đen, nên diện tích
chân trời là đại lượng không giảm và điều này làm ta liên tưởng tới entropy
nhiệt động. Như thế, có thể cho rằng hố đen có entropy S:
S: A

(1.43)

Từ đây ta sẽ gọi S là entropy hố đen.
Thực ra, hố đen không chỉ tuân theo định luật hai mà mọi định luật của nhiệt
động lực học (xem bảng 3.1). Trước hết, hố đen ở trạng thái dừng chỉ có vài
thông số như khối lượng, mô men xung lượng, điện tích. Điều này được gọi là
định lý không có tóc (no-hair theorem). Cụ thể là, hố đen không phụ thuộc vào
các tính chất của ngôi sao xuất phát như hình dạng, cấu trúc. Trái lại hố đen chỉ
bị chi phối bởi vài điều kiện đầu, do đó có nhiều cách để hố đen được tạo
thành. Ví dụ, nếu hố đen được tạo bởi sự suy sụp hấp dẫn ban đầu bất đối xứng
21


thì nó cũng trở thành hố đen Schwarzschild đối xứng cầu (khi mô men xung
lượng và điện tích triệt tiêu). Đặc điểm này làm cho hố đen giống một hệ nhiệt
động lực học là hệ gồm một số lớn phân tử (nguyên tử) mà các tính chất vĩ mô
của nó không phụ thuộc vào tọa độ và xung lượng của từng phân tử và do đó
được đặc trưng chỉ bằng một vài thông số vĩ mô như nhiệt độ, áp suất.

22


Bảng 1.1 Hố đen và nhiệt động lực học

Định luật I

Nhiệt động lực học
Nhiệt độ T không đổi

Hố đen
Hấp dẫn bề mặt k không

Định luật I

khi cân bằng
dE = TdS

Định luật II
Định luật III

dS ≥ 0
S → 0 khi T → 0

đổi đối với nghiệm dừng
k
dM =
dA
8π G
dA ≥ 0
S → 0 khi T → 0

I.2.2 Định luật zero

Ta hãy so sánh các định luật về hố đen với các định luật của nhiệt động lực
học. Theo định luật zero của nhiệt động lực học thì một hệ nhiệt động cuối
cùng sẽ về trạng thái cân bằng nhiệt và nhiệt độ ở mọi nơi sẽ là như nhau.
Chúng ta nhớ lại rằng hố đen cuối cùng cũng trở thành đối xứng cầu nếu ban
đầu là bất đối xứng. Mà đối xứng cầu cũng có nghĩa là sự hấp dẫn sẽ như nhau
tại mặt giới hạn chân trời. Điều này tương tự như định luật zero và sự hấp dẫn
tại chân trời có vai trò như nhiệt độ. Cả nhiệt độ và sự hấp dẫn đều không âm.
Đối với hố đen ở trạng thái dừng thì sự hấp dẫn ở chân trời trở nên không đổi

và điều này tương ứng với hệ nhiệt động ở trạng thái cân bằng.
Lực hấp dẫn (trên một đơn vị khối lượng) hoặc gia tốc hấp dẫn ở chân trời
được gọi là sức hút bề mặt. Trong thuyết hấp dẫn Newton gia tốc hấp dẫn được
cho bởi

GM
r2

(1.44)

c4
k = a (r = r0 ) =
4GM

(1.45)

a=
Do đó ở chân trời r = r0 sẽ có

23


Chúng ta đã sử dụng thuyết hấp dẫn Newton để rút ra sức hút bề mặt. Tuy
nhiên, thực ra điều này rất không chính xác vì những lí do đã nêu như khi rút ra
bán kính chân trời. Vấn đề này phải xét trong khuôn khổ thuyết tương đối rộng
như dưới đây.
I.2.3 Sức hút bề mặt

Chúng ta hãy xét metric tĩnh dạng
dr 2

ds = − f (r)dt +
+ ...
f (r)
2

2

(1.46)

Ở đây hệ các dấu chấm (…) biểu diễn phần tử đường chân trời mà nó không
liên quan đến các thảo luận ở đây. Như trên đã biết (mục I.1.3) phương trình
chuyển động của hạt có dạng
2

d 2r
1
 dr 
2
=
E
−
f
→
=
−
f ' (':= ∂ r )
 ÷
dτ 2
2
 dτ 

(1.47)

Đối với hố đen Schwarzschild f = 1 – 2GM/r nên d 2 r / dτ 2 = −GM / r 2 Biểu
thức vừa nhận được có dạng của định luật hấp dẫn Newton. Theo nghĩa này,
chúng ta đã dùng định luật hấp dẫn Newton để thu được gia tốc của hạt. Nhưng
gia tốc này không phải là gia tốc hiệp biến a μ mà chỉ là thành phần a r. Phù hợp
hơn là phải dùng gia tốc riêng là độ lớn của gia tốc hiệp biến
a 2 = g µν a µ a ν =

f '2
f'
→ a = 1/2
4f
2f

(1.48)

Chúng ta thấy gia tốc riêng phân kỳ tại chân trời do f(r 0) = 0. Điều này không
có gì lạ vì hạt không thể thoát khỏi chân trời.
Sức hấp dẫn bề mặt là lực (tác dụng lên một đơn vị khối lượng) a ∞(r0) để
giữ hạt tại chân trời bởi một quan sát viên tiệm cận (asymptotic observer). Để
thu được lực này chúng ta giả sử rằng quan sát viên tiệm cận kéo hạt ở r bằng

24


dây

∞

r

một “dây” không khốiδslượng như hình vẽ 1.3. Nếu quan sát viên kéo dây một
W

∞
khoảng riêng δs thì công người
đó thực hiện là

hạt

||

E∞
Hình 1.3

W∞ = a ∞ δ s

(vô hạn tiệm cận)

(1.49)

Wr = a δ s

(định xứ tại r)

(1.50)

Bây giờ chuyển công Wr thành bức xạ với năng lượng Er = Wr tại r và sau đó

thu nhận bức xạ tại vô cực. Năng lượng ở vô cực E ∞ sẽ nhận được dịch chuyển
đỏ do hấp dẫn theo công thức:

EB
g (A)
= 00
EA
g 00 (B)

(1.51)

Như vậy E∞ cho bởi

E∞ =

f (r)
E r = f (r) a δ s
f (∞ )

(1.52)

Ở đây ta đã sử dụng f(∞) = 1. Sự bảo toàn năng lượng đòi hỏi W ∞ = E∞, do đó

a ∞ = f a = f '/ 2 . Hay là
k := a ∞ (r0 ) =

f '(r0 )
2

(1.53)

Kết quả này trùng với (1.47).
I.2.4 Định luật I

Nếu khối lượng hố đen tăng một lượng dM thì diện tích chân trời sẽ tăng
một lượng tương ứng dA. Như thế chúng ta có mối liên hệ
dM µ dA

25

(1.54)