Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ TUẤN VŨ

DẠY HỌC CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG
QUA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ TUẤN VŨ

DẠY HỌC CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG
QUA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Anh Vinh

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin chân thành cảm ơn
toàn thể các thầy cô giáo cùng toàn thể cán bộ công nhân viên chức trƣờng Đại học
Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo mọi điều
kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS. Lê Anh Vinh,
ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình, chu đáo cho em trong suốt quá
trình nghiên cứu thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp cơ quan, gia đình, bạn bè đã
quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành nhiệm vụ học tập và
giảng dạy của mình.
Trong quá trình hoàn thiện luận văn, mặc dù đã rất cố gắng nhƣng không thể
tránh khỏi có những thiếu sót và hạn chế nhất định trong luận văn. Kính mong sự
góp ý, chỉ bảo của các thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn của em đƣợc
hoàn chỉnh và có nhiều đóng góp cho nền giáo dục nƣớc nhà.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019
Tác giả

Vũ Tuấn Vũ

i


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i
MỤC LỤC .................................................................................................................. ii
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................2
4. Câu hỏi nghiên cứu .................................................................................................3
5. Khách thể nghiên cứu ..............................................................................................3
6. Đối tƣợng nghiên cứu..............................................................................................3
7. Giả thuyết nghiên cứu .............................................................................................3
8. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu .............................................................................3
9. Phƣơng pháp nghiên cứu .........................................................................................4
10. Cấu trúc của luận văn ............................................................................................4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................5
1.1. Một số quan niệm về tƣ duy .................................................................................5
1.1.1. Khái niệm tƣ duy ...............................................................................................5
1.1.2. Các giai đoạn của tƣ duy ...................................................................................7
1.1.3. Các thao tác của tƣ duy .....................................................................................8
1.1.4. Phân loại tƣ duy ..............................................................................................11
1.2. Tƣ duy sáng tạo ..................................................................................................12
1.2.1. Tƣ duy sáng tạo ...............................................................................................12
1.2.2. Các đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo ..................................................................14
1.2.3. Tƣ duy sáng tạo trong môn toán .....................................................................17
1.3. Yêu cầu nội dung của phƣơng pháp dạy học chủ đề tổ hợp ..............................18
1.3.1. Yêu cầu về kiến thức .......................................................................................18
1.3.2. Yêu cầu về kĩ năng ..........................................................................................18
1.3.3. Yêu cầu về tƣ duy sáng tạo cần hình thành trong bài học ..............................19
1.4. Mục tiêu, nội dung chƣơng trình của chủ đề tổ hợp dành cho học sinh
chuyên toán ...............................................................................................................19
1.4.1. Mục tiêu chƣơng trình .....................................................................................19

ii

1.4.2. Nội dung chƣơng trình ....................................................................................19
1.5. Tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán ở
Trƣờng trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên ..................................................19
Kết luận chƣơng 1 .....................................................................................................20
CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG CHỦ ĐỀ TỔ
HỢP DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN ...................................................22
2.1. Một số kiến thức về chủ đề tổ hợp rời rạc học sinh cần nắm vững ...................22
2.1.1. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và công thức nhị thức Niuton ..............................22
2.1.2. Các định lý số học cơ bản ...............................................................................24
2.2. Các dạng toán tổ hợp thƣờng gặp ......................................................................25
2.2.1. Các bài toán rời rạc và đại số tổ hợp ...............................................................25
2.2.2. Các bài toán về hình học tổ hợp ......................................................................49
2.2.3. Các bài toán về đồ thị và tô màu .....................................................................68
Kết luận chƣơng 2 .....................................................................................................83
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................84
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm .........................................................................84
3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm .........................................................................84
3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................................84
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm ...................................................................................84
3.3.2. Thời gian thực nghiệm ....................................................................................85
3.3.3. Hình thức thực nghiệm ....................................................................................85
3.3.4. Tiến trình thực nghiệm ....................................................................................85
3.4. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm..........................................................................125
Kết luận chƣơng 3 ...................................................................................................126
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .........................................................................127
1. Kết luận ...............................................................................................................127
2. Khuyến nghị ........................................................................................................128

iii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, chúng ta đang sống trong thời kì bùng nổ về công nghệ, khoa học
- kĩ thuật. Gần đây, cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 đã bùng nổ và có tác động đến
nhiều quốc gia trên toàn thế giới. Với môi trƣờng nhƣ hiện nay, mỗi ngƣời có thể
thỏa sức tìm tòi, nghiên cứu và sáng tạo để đạt những những thành tựu nhất định,
góp phần làm giàu cho xã hội về vật chất và tinh thần. Cùng với sự phát triển toàn
diện về kinh tế, xã hội và trí tuệ của nhiều nƣớc trên thế giới. Đất nƣớc chúng ta cần
có sự thay đổi và bƣớc tiến mới để có thể rút ngắn khoảng cách và bắt kịp với các
nƣớc trên thế giới. Để làm đƣợc điều đó, chúng ta phải hiểu rõ gốc rễ của vấn đề,
một đất nƣớc có phát triển đƣợc bền vững và lâu dài phụ thuộc rất nhiều vào nền
giáo dục của nƣớc đó. Chính vì vậy, nền giáo dục của nƣớc ta cần có sự thay đổi về
nội dung và phƣơng pháp để tạo ra những con ngƣời tài đức vẹn toàn, năng động,
sáng tạo, có tƣ duy khoa học, trở thành nguồn nhân lực chất lƣợng cao phục vụ cho
đất nƣớc.
Khoa học cơ bản là nền tảng của sự phát triển trên thế giới, trong đó toán học
đóng một vai trò rất to lớn. Toán học đi sâu vào đời sống xã hội, vào mọi khoa học,
là công cụ giúp giải quyết nhiều vấn đề, vƣớng mắc trong cuộc sống hàng ngày nói
chung và trong các ngành khoa học nói riêng, trong đó có cả khoa học xã hội. Do
đó, toán học rất gần gũi với cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Tuy vậy, cách dạy
và học hiện nay đang sa đà, quá nặng về lý thuyết và thƣờng dập khuôn máy móc
mà không chú trọng vào thực hành, thực tế cho học sinh để phát triển khả năng tƣ
duy sáng tạo khiến cho học sinh cảm thấy nhàm chán và mất hứng thú trong việc
học môn toán, nhất là đối với những học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán các
cấp. Các thầy cô luôn cố gắng cho học sinh của mình làm thật nhiều dạng bài, đi
học bồi dƣỡng các nơi để mong rằng khi bƣớc vào cuộc thi các em có thể gặp đƣợc
những dạng bài đã đƣợc học. Nhƣng nhiều thầy cô lại quên rằng, đối với học sinh
giỏi thì phát triển tƣ duy sáng tạo lại rất cần thiết. Khi mà các em đã đƣợc trang bị

một nền tảng kiến thức vững vàng và khả năng tƣ duy sáng tạo tốt thì các em luôn

1


tự tin bƣớc vào mỗi cuộc thi để đột phá bản thân và dành đƣợc những kết quả tốt.
Khả năng tƣ duy sáng tạo không những giúp ích cho các em học sinh trong môn
toán mà còn giúp các em có thể giải quyết đƣợc nhiều vấn đề trong cuộc sống, trở
thành những ngƣời có ích cho gia đình nói riêng và cho xã hội nói chung.
Chính vì vậy dạy học theo định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo đang là xu
hƣớng của giáo dục Việt Nam và thế giới, đòi hỏi giáo viên cần phải thay đổi cách
dạy học phù hợp với xu thế đó.
Trong chƣơng trình toán phổ thông dành cho học sinh chuyên, chủ đề tổ hợp
là một phần rất quan trọng mà ở đó, học sinh có thể tự do suy nghĩ, tự do sáng tạo
và tìm hƣớng đi riêng cho mỗi bài toán. Do đây là một phần rất khó trong toán học,
đòi hỏi học sinh phải có tƣ duy rất tốt, nên nhiều thầy cô ở các trƣờng chuyên
thƣờng bỏ qua hoặc dạy cho học sinh rất ít, không đủ để các em trang bị cho mình
một nền tảng kiến thức tốt ở phần này. Nhƣng nếu chúng ta có thể xây dựng đƣợc
hệ thống các dạng toán tổ hợp lý thuyết và bài tập từ cơ bản đến nâng cao và gắn
liền với thực tế thì sẽ giúp cho các em học sinh lĩnh hội đƣợc kiến thức, từ đó sẽ dần
dần hình thành khả năng tƣ duy sáng tạo của bản thân.
Từ những lý do trên mà tác giả đã chọn đề tài nghiên cứu luận văn:
“Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ
đề tổ hợp”
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế bài giảng với chủ đề tổ hợp, xây dựng hệ thống lý thuyết và bài tập
từ cơ bản đến nâng cao, gắn liền với các bài toán thực tế nhằm phát triển tƣ duy
sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học nội dung này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo, dạy học phát huy tính

sáng tạo của học sinh.
 Khảo sát thực trạng giảng dạy chủ đề tổ hợp trong khối chuyên toán của
trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên.
 Thiết kế một số kế hoạch dạy học theo chủ đề tổ hợp.
 Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2


4. Câu hỏi nghiên cứu
- Thế nào là tƣ duy, tƣ duy sáng tạo và dạy học theo định hƣớng phát triển tƣ
duy sáng tạo?
- Vận dụng phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo trong chủ đề tổ
hợp nhƣ thế nào để đạt đƣợc hiệu quả tối ƣu đồng thời phát huy hết đƣợc tính chủ
động, sáng tạo của học sinh?
- Thiết kế một kế hoạch dạy học chủ đề tổ hợp nhƣ thế nào để phát triển tƣ
duy sáng tạo cho học sinh?
5. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán.
6. Đối tƣợng nghiên cứu
Dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo đƣợc áp dụng trong quá trình dạy học chủ
đề tổ hợp cho học sinh chuyên toán nhằm phát triển tích tích cực, chủ động và sáng
tạo của học sinh.
7. Giả thuyết nghiên cứu
Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh chuyên toán qua các bài toán tổ hợp
hình thành cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ đó học sinh sẽ
nắm vững và hiểu sâu về các dạng toán tổ hợp, tự tin bƣớc vào kì thi học sinh giỏi
các cấp. Đồng thời góp phần đổi mới phƣơng pháp dạy học trong các trƣờng Trung
học phổ thông nói chung và các trƣờng chuyên nói riêng.
8. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
8.1. Giới hạn về phạm vi và nội dung

Đề tài này nghiên cứu về dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh
chuyên toán Trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp.
8.2. Giới hạn và phạm vi về thời gian
Các nghiên cứu và số liệu của đề tài đƣợc tiến hành trong học kì I năm học
2019 - 2020.
8.3. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Học sinh đội tuyển toán trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên.

3


9. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận : Tổng hợp, nghiên cứu và phân tích các
tài liệu về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo, các dạng toán tổ hợp dành cho học sinh chuyên
toán và phƣơng pháp giải.
 Phƣơng pháp điều tra, quan sát, khảo sát thực tiễn: tiến hành dự giờ, trao
đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi của môn toán và các môn khác
có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề tổ hợp, tham khảo một số bài
giảng trực tuyến trên mạng internet.
 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: thực nghiệm giảng dạy một số kế
hoạch dạy học soạn theo hƣớng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn dự
kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Phát triển tƣ duy sáng tạo trong chủ đề tổ hợp dành cho học sinh
chuyên toán
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số quan niệm về tƣ duy
1.1.1. Khái niệm tư duy
1.1.1.1. Định nghĩa
Thế giới xung quanh ta rất rộng lớn, còn rất nhiều điều mà con ngƣời chƣa
khám phá ra đƣợc. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn đòi hỏi mỗi
chúng ta không ngừng tìm tòi để hiểu về những thứ chƣa biết một cách triệt để, sâu
sắc và chính xác hơn, phải tìm ra những cái thuộc về bản chất và những quy luật tác
động của chúng. Quá trình nhận thức đó đƣợc gọi là tƣ duy.
Theo tác giả Nguyễn Quang Uẩn thì “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật
của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.” [19].
Còn theo tác giả Sacđacov M.N: “ Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan
chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh
một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư
duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới
hạn của nó” [17].
Tƣ duy đƣợc thể hiện ở trình độ cao và phức tạp của sự phản ánh, trong đó
tạo ra sản phẩm tinh thần một cách gián tiếp bằng những phƣơng thức trừu tƣợng
hóa, khái quát hóa trong tổng hợp, phân tích và so sánh… Đó là quá trình vận dụng
các khái niệm, tri thức theo quy luật lôgic, và đôi khi bằng cả trực giác để đạt đƣợc
chân lý. Đó là quá trình không ngừng bổ sung, tìm tòi, “cải biến” thế giới hiện thực
của tƣ duy trong óc con ngƣời và sử dụng những kết quả đó làm cơ sở để giải quyết
những vấn đề thực tiễn đặt ra.
Tƣ duy toán học đƣợc hiểu:
- Thứ nhất là hình thức biểu lộ của tƣ duy trong quá trình con ngƣời nhận

thức khoa học, toán học hay trong quá trình áp dụng các kiến thức của toán học vào
các khoa học khác nhƣ: vật lý, hóa học, sinh học, tin học, kỹ thuật, thiên văn, vũ
trụ…
5


- Thứ hai tƣ duy toán học có các tính chất đặc trƣng riêng đƣợc quy định
bởi bản chất, tính chất của toán học, bởi sự áp dụng các phƣơng pháp, đƣờng lối
trong toán học để nhận thức các sự vật, hiện tƣợng của thế giới cũng nhƣ chính
các phƣơng thức, phƣơng pháp chung của tƣ duy mà nó sử dụng.
Trong học tập và phát triển tƣ duy, năng lực toán học thƣờng có các loại hình
tƣ duy sau: Tƣ duy thuật toán, tƣ duy biện chứng, tƣ duy lôgic, tƣ duy hàm, tƣ duy
trừu tƣợng và tƣ duy sáng tạo.
1.1.1.2. Đặc điểm
 Tính có vấn đề của tƣ duy
Tình huống có vấn đề là tình huống luôn đƣa ra một nội dung cần xác định,
một câu hỏi cần có câu trả lời cho nó, một nhiệm vụ, yêu cầu cần đƣợc giải quyết,
một thắc mắc cần gỡ bỏ mà chủ thể con ngƣời bằng vốn tri thức hiện tại của mình
không thể giải quyết đƣợc. Để nhận thức, tìm hiểu những sự vật, hiện tƣợng mới
con ngƣời cần vƣợt qua khỏi phạm vi những tri thức cũ đã biết và đi tìm hiểu cái
mới, đạt mục đích mới đã đề ra.
Từ đó, ta rút ra đƣợc các điều kiện cần thiết để quá trình tƣ duy sinh ra và
hoạt động:
- Phải xuất phát từ một tình huống, giả thiết hay câu hỏi có vấn đề.
- Cá nhân mỗi ngƣời cần phải có nhu cầu giải quyết, tìm ra câu trả lời cho
vấn đề đó.
- Cá nhân phải có những tri thức, hiểu biết cần thiết liên quan tới vấn đề để
có thể tìm ra cách giải quyết vấn đề đó.
 Tính gián tiếp của tƣ duy
Tƣ duy luôn phản ánh gián tiếp sự vật, hiện tƣợng trong thế giới khách quan.

Quá trình tƣ duy diễn ra thông qua ngôn ngữ, các phƣơng tiện, công cụ, kinh nghiệm.
 Tính trừu tƣợng và tính khái quát của tƣ duy
Tính trừu tượng
Tƣ duy có khả năng trừu xuất những cái cụ thể, cá biệt. Chỉ giữ lại những

6


đặc điểm và thuộc tính chung của sự vật, hiện tƣợng.
Tính khái quát
Tƣ duy có khả năng đi sâu vào nhiều sự vật, hiện tƣợng nhằm vạch ra những
thuộc tính chung, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật chung giữa chúng.
 Mối liên hệ giữa tƣ duy và ngôn ngữ
 Mối liên hệ giữa tƣ duy và nhận thức cảm tính
1.1.1.3. Vai trò của tư duy
 Mở rộng phạm vi nhận thức của con ngƣời.
 Có khả năng giải quyết trƣớc những vấn đề của tƣơng lai.
 Cải tạo lại thông tin của nhận thức chủ thể, làm cho chúng có ý nghĩa hơn
đối với đời sống con ngƣời.
1.1.2. Các giai đoạn của tư duy
Quá trình tƣ duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau:
 Giai đoạn xác định đƣợc vấn đề, diễn đạt, thể hiện vấn đề đó thành nhiệm
vụ của tƣ duy cần đƣợc giải quyết.
Khi gặp một tình huống có vấn đề, chủ thể tƣ duy phải có ý thức đƣợc đó là
tình huống có vấn đề đối với bản thân mình, tức là đặt ra vấn đề cần giải quyết;
phát hiện ra mâu thuẫn chứa đựng trong tình huống có vấn đề - mâu thuẫn giữa cái
đã biết và cái phải tìm, phải tạo ra nhu cầu giải quyết và tìm thấy những tri thức đã
có trong vốn kinh nghiệm cá nhân có liên quan tới vấn đề và sử dụng các tri thức
đó vào giải quyết vấn đề, trên cơ sở đó đề ra nhiệm vụ tƣ duy.
 Tập trung, tổng hợp các tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan tới vấn

đề cần đƣợc giải quyết, làm xuất hiện trong đầu chủ thể mỗi ngƣời tƣ duy những mối
liên hệ xung quanh vấn đề cần đƣợc giải quyết.
 So sánh, chắt lọc các liên hệ, loại bỏ những liên hệ không cần thiết, từ đó
hình thành giả thuyết về các cách giải quyết vấn đề có thể có đối với nhiệm vụ
đang cần giải quyết.
 Kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết về cách giải quyết vấn đề, để từ đó ta
khẳng định giả thuyết hoặc phủ định nó. Nếu giả thuyết đúng thì tiến hành giải

7


quyết vấn đề. Nếu giả thuyết sai thì ta loại bỏ nó rồi tiếp tục hình thành giả thuyết
mới về cách giải quyết vấn đề.
 Giải quyết vấn đề để đi đến kết quả, đƣa ra đƣợc câu trả lời chính xác cho
vấn đề tƣ duy, và cuối cùng là kiểm tra lại kết quả.
1.1.3. Các thao tác của tư duy
1.1.3.1. Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là quá trình dùng trí tuệ để để phân tách, phân chia đối tƣợng thành các
thành phần, bộ phận khác nhau, mỗi thành phần có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Tổng hợp là quá trình dùng bộ óc để giải quyết vấn đề của từng thành phần,
bộ phận rồi kết hợp các thành phần, bộ phận đó lại với nhau theo thứ tự một cách
hợp lý để thành một chỉnh thể hoàn chỉnh, đầy đủ.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ chặt chẽ, khăng khít, mật thiết với
nhau và không thể tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập của của một quá trình
thống nhất: Sự phân tích đƣợc tiến hành theo hƣớng tổng hợp, còn sự tổng hợp
đƣợc hình thành theo kết quả của phân tích trƣớc đó (quá trình phân tích diễn ra
trƣớc quá trình tổng hợp).
Trong học tập và rèn luyện tƣ duy môn toán thì khả năng phân tích và tổng
hợp rất quan trọng, nó đƣợc tiến hành trong mọi hoạt động trí tuệ và cũng là thao
tác tƣ duy quan trọng nhất để giải quyết các bài toán hay các vấn đề đƣợc đặt ra.

Ví dụ 1.1: Trong một cái bánh hình vuông cạnh 8cm có 32 hạt vừng.
Chứng minh tồn tại hai hạt vừng có khoảng cách tới nhau nhỏ hơn 2cm.
Đây là một dạng toán mà đòi hỏi học sinh cần biết phân tích và tổng hợp để
tìm ra hƣớng đi và lời giải cho bài toán.
Khi phân tích dạng bài này, các em học sinh chuyên toán thƣờng nghĩ đến
phƣơng pháp Dirichlet. Ta có một kết quả quen thuộc sau: Với hai đƣờng tròn có
bán kính bằng 1cm giao nhau thì khoảng cách giữa hai tâm sẽ nhỏ hơn 2cm .
Với phân tích trên các em học sinh đã có thể đƣa ra đƣợc hƣớng đi cho bài
toán nhƣ sau: Xét 32 đƣờng tròn có tâm là 32 hạt vừng có bán kính bằng 1cm . Sau
đó ta đi chứng minh tồn tại hai hình tròn giao nhau (tức có phần diện tích chung).
Vậy làm thế nào để chứng minh có hai hình tròn có phần diện tích chung. Ta
lại đi phân tích tiếp. Ta có một kết quả khá đơn giản sau: Nếu một hình chứa toàn
8


bộ 32 hình tròn này có diện tích nhỏ hơn tổng diện tích của 32 hình tròn bị chứa thì
chắc chắn phải có ít nhất hai hình tròn giao nhau hay có phần diện tích chung.
Vấn đề bây giờ đặt ra cho học sinh là tìm đƣợc hình chứa toàn bộ 32 hình
tròn đã dựng (rõ ràng hình vuông cạnh 8cm ban đầu chỉ chứa 32 hạt vừng chứ
không chứa cả 32 hình tròn bên trong). Bây giờ về mỗi phía của hình vuông cạnh

8cm ta kéo dài ra thêm 1cm nữa thành hình vuông có cạnh 10cm . Khi đó toàn bộ
32 hình tròn bán kính 1cm nằm hoàn toàn trong hình vuông đó.
Đến đây bài toán đã đƣợc giải quyết, học sinh chỉ cần chỉ ra tổng diện tích 32
hình tròn bán kính 1cm hớn hơn diện tích hình vuông 10cm  64  100 .
1.1.3.2 So sánh và tương tự
So sánh là quá trình con ngƣời dùng đến trí tuệ và trí tƣởng tƣợng để so sánh
sự giống và khác nhau, đồng nhất hay không đồng nhất, bằng nhau hay không bằng
nhau giữa các đối tƣợng nhận thức. So sánh có mối liên hệ mật thiết với phân tích
và tổng hợp.

Tƣơng tự là một dạng so sánh từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số điểm
chung hay dấu hiệu. Từ dấu hiệu của đối tƣợng này ta rút ra đƣợc dấu hiệu tƣơng
ứng của đối tƣợng kia.
Ví dụ 1.2: Xét đa thức Pn ( x)  Cn2  Cn5 x  Cn8 x2  ...  Cn3k 2 xk với n  2 là

n  2
một số tự nhiên và k  
. Chứng minh rằng:
 3 
Pn3 ( x)  3Pn2 ( x)  3Pn1 ( x)  ( x  1) Pn ( x)
Quan sát hai vế của đẳng thức cần chứng minh, học sinh có thể thấy đƣợc hai
vế bản chất là hai đa thức với các hệ số nguyên dƣơng. Từ đó, các em học sinh có
thể đƣa ra nhận xét sau: Để chứng minh hai đa thức bằng nhau, ta cần chỉ ra các hệ
số của lũy thừa tƣơng ứng (các lũy thừa có cùng số mũ) bằng nhau.
Đến đây, một câu hỏi nữa dành cho các em học sinh đƣợc đặt ra: Liệu chúng
ta có phải chỉ ra từng lũy thừa tƣơng ứng có hệ số bằng nhau hay không? Hay hệ số
của từng lũy thừa có cách tính tƣơng tự giống nhau nên ta chỉ cần tính hệ số của
một lũy thừa đại diện tƣơng ứng bằng nhau rồi từ đó suy ra đƣợc hệ số của các lũy
thừa tƣơng ứng khác cũng bằng nhau.

9


 n  1
Từ đó, học sinh sẽ đƣa ra so sánh hệ số của x k với 0  k  
. Khi đó ta
 3 
cần chứng minh hệ số của x k trong hai vế bằng nhau tức:

Cn3k32  3Cn3k22  3Cn3k12  Cn3k 2  Cn3k 1

  Cn3k32  Cn3k22   2  Cn3k22  Cn3k12    Cn3k12  Cn3k 2   Cn3k 1
 Cn3k21  2Cn3k11  Cn3k 1  Cn3k 1  Cn3k1  Cn3k  Cn3k 1  0

Vậy ta có đƣợc hệ số của x k trong hai vế bằng nhau, tƣơng tự khi k thay đổi
từ 1, 2, 3… thì hệ số của các lũy thừa tƣơng ứng vẫn bằng nhau. Từ đó, học sinh đã
hoàn toàn chứng minh xong bài toán trên.
1.1.3.3. Khái quát hóa và đặc biệt hóa
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối
tượng này sang một tập hợp đối tượng khác lớn hơn chứa đối tượng ban đầu bằng
cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [8].
Từ đó ta thấy rằng khái quát hóa là quá trình tƣ duy đi từ nhiều cái riêng, cái
nhỏ hơn đến cái chung, cái lớn hơn một cách tổng quát hơn.
Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại với khái quát hóa
Ví dụ 1.3: Trong mặt phẳng cho 5 điểm bất kì trong đó không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tứ giác lồi đƣợc tạo bởi 4 trong 5
điểm đã cho.
Với bài toán này, điều đầu tiên học sinh sẽ nghĩ đến là sử dụng bao lồi của 5
điểm A, B, C, D, E đã cho. Do đó, ta sẽ tạo ra một bao lồi từ 5 điểm đã cho.
- Nếu bao lồi là một tứ giác thì hiển nhiên có ít nhất 1 tứ giác lồi đƣợc tạo thành từ
5 điểm đã cho
- Nếu bao lồi là một tam giác, giả sử là tam giác ABC thì hai điểm D, E nằm trong
tam giác. Khi đó, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai trong số ba điểm A, B, C
nằm cùng 1 phía với bờ là đƣờng thẳng DE và hai điểm đó cùng D, E sẽ tạo thành
một tứ giác lồi.

10


Nhận xét: Từ bài toán này, một câu hỏi tổng quát sẽ đƣợc đƣa ra là: Vậy với

n điểm bất kì trong mặt phẳng ( n  4 ) trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì
số tứ giác lồi tạo thành ít nhất sẽ là bao nhiêu?
Từ nhận xét trên, giáo viên đƣa ra cho học sinh bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát (IMO 1969): Chứng minh rằng trong mặt phẳng cho n
điểm (n  4) và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, có ít nhất

 n  3 n  4
2

tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số n đỉnh đã cho.
1.1.4. Phân loại tư duy
Xét theo phương diện chủng loại và cá thể
 Tƣ duy trực quan - hành động
 Tƣ duy trực quan - hình ảnh
 Tƣ duy trừu tƣợng (Tƣ duy ngôn ngữ - lôgic)
Xét theo mức độ sáng tạo
 Tƣ duy An-gô-rít: Là loại tƣ duy diễn ra theo một chƣơng trình, một cấu
trúc lôgic có sẵn theo khuôn mẫu nhất định.
 Tƣ duy Orrixtic: Là loại tƣ duy sáng tạo, có tính chất cơ động, linh hoạt,
không theo một khuôn mẫu cứng nhắc nào và có liên quan tới trực giác và khả năng
sáng tạo của con ngƣời.

11


1.2. Tƣ duy sáng tạo
1.2.1. Tư duy sáng tạo
Theo từ điển Tiếng Việt: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất
hoặc tinh thần, hay tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc

vào cái đã có” [13].
Từ điều đó, chúng ta nhận thấy rằng nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính
đó là có tính mới và có lợi ích, hiệu quả, giá trị hơn cái cũ, cái đã biết. Do đó, sự
sáng tạo là rất cần thiết cho xã hội nhân loại. Sự sáng tạo thƣờng đƣợc nghiên cứu
trên nhiều phƣơng diện nhƣ một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng, cấu trúc,
bộ khung của những cái cũ, những thứ đã biết. Sáng tạo là một hình thức của tƣ
duy, là một năng lực của con ngƣời.
Các nhà nghiên cứu, các học giả, hay các nhà khoa học đã đƣa ra nhiều khái
niệm, định nghĩa, quan điểm khác nhau về tƣ duy sáng tạo. Theo tác giả G. Polya
cho rằng: “ Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài
toán cụ thể. Ta có thể coi nó là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương
hướng, phương pháp giải các bài toán khác từ bài toán đã cho. Các bài toán vận
dụng những tư liệu, phương pháp này càng nhiều, số lượng càng lớn, có tính đa
dạng, muôn hình, muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao” [16].
Trong cuốn “Phương pháp dạy học bộ môn toán” tác giả Nguyễn Bá Kim có
nói: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của
tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới,
tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi
nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là cách nhìn
cái cũ như thế nào” [8].
Từ đó ta rút ra đƣợc đặc điểm của quá trình sáng tạo:
 Là tiền đề, điều kiện kiên quyết để đƣa tri thức, vốn hiểu biết và kĩ năng
vào hoàn cảnh mới.
 Nhận ra vấn đề mới, cần đƣợc giải quyết trong những hoàn cảnh quen
thuộc.
 Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất, ngắn gọn và đẹp mắt nhất trong từng
hoàn cảnh nhờ khả năng tìm đƣợc nhiều phƣơng pháp, phƣơng hƣớng trên nhiều

12

góc độ, khía cạnh và hoàn cảnh khác nhau.
 Khả năng tìm hiểu, tìm tòi và quyết định phƣơng pháp, đƣờng lối để giải
quyết vấn đề một cách độc đáo, mới lạ trong khi đã biết đƣợc nhiều phƣơng pháp
giải quyết truyền thống.
Còn theo tác giả Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ
mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý
nghĩa, giá trị” [14].
Nhƣ vậy, từ các quan điểm nêu trên, ta có thể rút ra nhận xét tƣ duy sáng tạo
là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với trí thông minh. Cái mới là tiêu chí rõ
nhất của tƣ duy sáng tạo. Không chỉ sản phẩm là mới mà quá trình tƣ duy cũng mới,
thay đổi quan điểm chƣa hoàn thiện, khắc phục những thứ chƣa phù hợp trong
phƣơng thức tƣ duy.
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa tƣ duy sáng tạo với ngƣời học toán
nhƣ sau: “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ
đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa
từng biết” [18].
Do đó, một bài toán cụ thể nào đó cũng đƣợc xem nhƣ là một yếu tố mang
tính sáng tạo nếu các thao tác để giải quyết bài toán không bị mệnh lệnh hay ràng
buộc nào chi phối, điều khiển. Tức là nếu ngƣời giải chƣa biết trƣớc thuật toán để
giải bài toán và phải tiến hành phân tính, đánh giá và đi tìm những bƣớc đi chƣa
biết. Các trƣờng học phổ thông có thể chuẩn bị cho các em học sinh sẵn sang tìm
hiểu các hoạt động sáng tạo theo nội dung đã trình bày ở trên.
Theo định nghĩa thông thƣờng và phổ biến nhất của tƣ duy sáng tạo đó là tƣ
duy tìm ra cái mới trong quá trình đi tới chân lý và khắc phục những sai sót. Đó là
quá trình tìm ra tính chất mới, hình thức mới, phƣơng pháp mới và kiến thức mới
nhƣng không vì thế coi nhẹ cái cũ mà nó bổ sung những thiếu sót cho cái cũ. Sáng
tạo là phẩm chất cao nhất của năng lực tƣ duy có tính bẩm sinh. Tƣ duy sáng tạo có
vai trò then chốt đối với ngƣời học toán nói riêng và các môn học khác nói chung.

13


1.2.2. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo Rubinstein tƣ duy sáng tạo bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề. Tƣ
duy sáng tạo đƣợc thể hiện khi học sinh tự tìm tòi, khám phá và sáng tạo ra những
chứng minh hay cách giải quyết một bài toán hay, độc đáo mà học sinh đó chƣa biết
đến hay khác biệt với lời giải, hƣớng dẫn có sẵn. Bắt đầu từ tình huống gợi mở vấn
đề, tƣ duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả
cao nhất, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và đôi khi là cả về đẹp của
giải pháp đó. Nói chung tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng,
phƣơng pháp mới độc đáo, mới lạ và có tính hiệu quả, khả thi cao.
Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý vào giáo dục học, thì cấu trúc của tƣ
duy sáng tạo có 5 thành phần đặc trƣng cơ bản sau.
1.2.2.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng con ngƣời biến đổi thông tin, kiến thức
và tri thức đã tiếp thu đƣợc trong quá trình học tập, học hỏi một cách dễ dàng,
nhanh chóng từ góc độ quan điểm này sang góc độ quan điểm khác, chuyển đổi sơ
đồ tƣ duy có sẵn trong trí óc sang hệ thống tƣ duy mới, thay đổi từ hành động đã
thành thói quen sang hành động mới, gạt bỏ sự bảo thủ, cứng nhắc mà con ngƣời đã
có thể thay đổi nhận thức dƣới một góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cũ,
không còn phù hợp trong hoạt động tinh thần, trí tuệ. Tính mềm dẻo của tƣ duy
sáng tạo có các đặc trƣng nổi bật sau:
 Có thể chuyển đổi dễ dàng, linh hoạt từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt
động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và các phƣơng pháp suy luận nhƣ quy nạp, diễn giải,
suy diễn, tƣơng tự, dễ dàng chuyển từ phƣơng pháp này sang phƣơng pháp khác,
điều chỉnh kịp thời, phù hợp hƣớng suy nghĩ, tƣ duy khi gặp khó khăn, trở ngại…
 Suy nghĩ không máy móc, dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc,
áp đặt những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện

mới trong khi đã có những yếu tố thay đổi, có thể đã thoát khỏi sự ảnh hƣởng của
những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng và những phƣơng pháp đã có từ trƣớc

14


 Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của các đối tƣợng đã biết
Vậy nên, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tƣ duy sáng
tạo. Do đó, để rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh, ta có thể hƣớng dẫn cho các
em làm và giải các bài toán với hƣớng suy nghĩ đơn giản, không nên phức tạp hóa
những vấn đề mà bản thân nó đã đơn giản, rõ ràng và dễ hiểu, linh hoạt trong lối tƣ
duy, suy nghĩ và thành thạo trong các bƣớc biến đổi, chuyển đổi để rèn luyện đƣợc
tính mềm dẻo của tƣ duy.
1.2.2.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện ở khả năng tạo ra một cách nhanh
chóng, bài bản và có hệ thống sự kết hợp giữa các yếu tố mang tính riêng lẻ của các
tình huống có vấn đề, hoàn cảnh đƣa ra giả thiết mới. Các nhà khoa học, nhà tâm lý
học rất coi trọng yếu tố chất lƣợng của ý tƣởng mới đƣợc tạo ra, lấy đó làm tiêu chí
để đánh giá sự sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số
lƣợng nhất định các ý tƣởng, giải pháp. Số ý tƣởng, giải pháp nghĩ ra càng nhiều thì
khả năng xuất hiện ý tƣởng, giải pháp độc đáo mới lạ càng lớn. Trong trƣờng hợp
này thì số lƣợng làm nảy sinh ra chất lƣợng. Tính nhuần nhuyễn thể hiện cụ thể ở
hai đặc trƣng sau:
 Sự đa dạng của các cách xử lý tình huống khi giải một bài toán, khả năng
tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và giả thiết khác nhau. Đứng trƣớc một
vấn đề phải giải quyết, ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề
xuất đƣợc nhiều giải pháp khác nhau và từ đó có thể dễ dàng tìm đƣợc phƣơng án
tối ƣu trong đó một cách nhanh chóng, hiệu quả nhất.

 Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau và có cái nhìn
khách quan, sinh động từ nhiều phía đối với sự vật, hiện tƣợng chứ không phải cái
nhìn bất biến, cứng nhắc, chủ quan.
1.2.2.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng sau đây:
 Khả năng tìm ra những liên tƣởng phong phú và có những sự kết hợp mới
15


sáng tạo, có tính khả thi cao.
 Khả năng nhìn ra những mối liên hệ với những sự kiện, hiện tƣợng bên
ngoài tƣởng chừng nhƣ không có liên quan với nhau.
 Khả năng tìm ra giải pháp mới lạ, độc đáo và có sự thú vị mặc dù đã có
những giải pháp có sẵn.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời, độc lập với nhau mà chúng còn có
mối liên hệ mật thiết, gắn bó với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều
kiện cho việc tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều tình huống khác nhau (tính nhuần
nhuyễn) và nhờ đó ta đề ra đƣợc nhiều giải pháp, phƣơng án khác nhau và trong số đó,
ta tìm đƣợc giải pháp độc đáo, đẹp mắt và thú vị, có tính ứng dụng cao (tính độc đáo).
Các yếu tố này có quan hệ gắn bó chặt chẽ với các yếu tố khác nhƣ: Tính chính xác,
tính hoàn thiện, tính nhạy cảm…Tất cả các yếu tố đặc trƣng nói trên góp phần tạo nên
tƣ duy sáng tạo, là tƣ duy cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngƣời.
1.2.2.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra và kiểm chứng tính đúng đắn của các ý tƣởng.
1.2.2.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trƣng sau:
 Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.
 Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, hƣớng đi sai lầm, thiếu tính lôgic, chƣa

tối ƣu từ đó tạo ra nhu cầu cấu trúc lại ý tƣởng, tạo ra cái mới khác.
Trong học tập bộ môn toán, các yếu tố cơ bản của tƣ duy sáng tạo thƣờng
đƣợc biểu hiện rõ nét nhất ở các học sinh khá và giỏi môn toán, nhất là các em học
sinh chuyên toán thì nội lực sáng tạo của các em rất lớn, đôi khi khiến các giáo viên
cũng phải ngạc nhiên. Các em đã biết cách phối hợp ăn ý, nhịp nhàng và trình tự
các hoạt động trí tuệ. Sử dụng vốn kiến thức chuyên toán đã đƣợc trang bị từ cấp 2
cho đến cấp 3 để phân tích, so sánh và tổng hợp, kết hợp nhiều kiến thức khác nhau
có liên quan đến bài toán để tìm ra hƣớng đi đúng đắn, lời giải thông minh, đẹp mắt.
Bên cạnh đó, các em thƣờng chịu khó đi tìm nhiều lời giải khác nhau cho mỗi bài

16


toán để đánh giá, nhận xét cái hay, cái đẹp và cái thiếu sót chƣa hoàn hảo trong từng
lời giải, từ đó tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm, vốn tri thức của mình để áp dụng
cho các bài toán hay những vấn đề mới đặt ra sau này. Do vậy, để phát triển tƣ duy
sáng tạo của học sinh, nhất là học sinh chuyên toán, ngƣời giáo viên cần phải khơi
dậy niềm đam mê của các em, hƣớng dẫn các em đến với mỗi bài toán một cách tự
nhiên, thoải mái, không bị gò bó hay ép buộc để từ đó các em có thể bộc lộ hết thế
mạnh và khả năng tƣ duy sáng tạo của bản thân.
1.2.3. Tư duy sáng tạo trong môn toán
Để phát triển và rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh, nhất là với các học
sinh chuyên toán Trung học phổ thông, giáo viên có thể thực hiện, định hƣớng theo
các cách sau:
 Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh dựa vào 5 thành phần cấu tạo.
 Tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán, tổng quát hóa để đƣa ra các
bài toán mới…
 Nhìn nhận một bài toán theo hƣớng nhìn mới, góc độ mới để có thể tìm ra
những lời giải đặc sắc.
 Biết đƣa ra các ý tƣởng khác nhau cho một bài toán, một vấn đề nào đó.

Thông thƣờng, với những học sinh giỏi toán nói chung và các học sinh
chuyên toán nói riêng hầu hết các em chƣa thỏa mãn với lời giải của một bài toán
nào đó nếu nhƣ các em vẫn còn ý tƣởng mới để có thể giải quyết bài toán đó một
cách ngắn gọn, thậm chí đẹp mắt hơn lời giải có sẵn. Các em thông thƣờng không
tƣ duy theo một lối mòn mà vận dụng các kiến thức chuyên đã học và tích lũy để
phân tích, tìm tòi hƣớng nhiều hƣớng đi có thể để dẫn đến kết quả cần đạt. Bằng
kinh nghiệm đã đƣợc rèn luyện trong môi trƣờng chuyên, các em có thể dễ dàng
nắm bắt đƣợc hƣớng đi nào có tính khả thi, hƣớng đi nào không đem lại kết quả thì
lập tức dừng lại. Qua đó, các em càng tích lũy thêm cho mình vốn kiến thức,
phƣơng pháp giải toán mới lạ, độc đáo, làm tăng thêm kho tàng tri thức, hiểu biết
của mình.
Vì vậy để học sinh tích cực, chủ động sáng tạo trong việc học và giải toán,
giáo viên cần tạo cho học sinh sự hứng thú trong học tập bằng nhiều cách khác nhau
nhƣ tạo không khí học tập thoải mái, vui vẻ, hòa đồng giữa giáo viên và học sinh.
17


Khi giao bài cho học sinh giáo viên cũng cần chú ý đến mức độ của các bài toán để
học sinh có thể bắt đầu tƣ duy từ dễ đến khó, tạo cho các em động lực và sự hứng
thú mỗi khi bƣớc vào giải một bài toán. Bên cạnh đó, khi gặp phải những bài toán
toán khó, giáo viên cần đƣa ra hệ thống các câu hỏi và gợi ý phù hợp để tạo động
lực cho học sinh tìm tòi, khám phá ra hƣớng đi cho những bài toán đó để dẫn đến
cái đích cuối cùng đồng thời cũng gợi mở, mở rộng các bài toán dựa trên những lời
giải đã có, đó cũng là một cách để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh.
1.3. Yêu cầu nội dung của phƣơng pháp dạy học chủ đề tổ hợp
1.3.1. Yêu cầu về kiến thức
Vì tổ hợp là một phần rất khó trong giảng dạy cho học sinh chuyên toán và
trong các đề thi tổ hợp cũng là câu rất khó có rất ít thí sinh có thể làm trọn vẹn đƣợc.
Hơn nữa, kiến thức về giải toán tổ hợp rất rộng lớn, liên quan đến cả đại số, số học,
hình học…. Do đó, học sinh cần nắm vững các kiến thức về cả đại số và số học.

 Về đại số: Các em cần nhớ và biến đổi nhuần nhuyễn công thức nhị thức
Niutơn, cách nhận biết hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, biến đổi đa thức, đồng nhất đa
thức, cách giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình bậc cao, các bất đẳng thức quen thuộc
nhƣ bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức Bunhiacopski….
 Về số học: Các em cần nắm vững các định lý cơ bản về số ƣớc chung lớn
nhất, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố, hợp số, định lý Fecma, định lý Ơ-le…
 Về hình học: Nắm vững các tiên đề, định lý, hệ quả cơ bản, thông dụng của
phần hình học.
1.3.2. Yêu cầu về kĩ năng
Vì toán tổ hợp dành cho học sinh chuyên là một học phần khó, trừu tƣợng
nên đòi hỏi học sinh phải có các khả năng cần thiết sau:
 Biết tổng hợp, phân tích bài toán, chia nhỏ bài toán ra thành từng phần rồi
đi giải quyết từng phần đó.
 Khả năng tính toán, biến đổi chính xác, ngắn gọn.
 Lời giải cho một bài toán phải hoàn chỉnh, đầy đủ các ý, các bƣớc, dễ hiểu.
 Do đây là một phần học liên quan đến nhiều kiến số học và đại số nên
lƣợng kiến thức cần ghi nhớ tƣơng đối nhiều. Vì vậy, học sinh cần nhớ chính xác

18


các công thức, các định lý, hệ quả, bổ đề…tránh ngộ nhận hay nhớ sai.
1.3.3. Yêu cầu về tư duy sáng tạo cần hình thành trong bài học
 Học sinh cần có tƣ duy nhạy bén, trí tƣởng tƣợng phong phú và có óc sáng tạo.
 Biết quy lạ về các kiến thức quen thuộc, dễ hiểu
 Suy nghĩ các bài toán một cách trực quan, không nên làm phức tạp hóa vấn
đề mà nên suy nghĩ mạch lạc, đơn giản.
1.4. Mục tiêu, nội dung chƣơng trình của chủ đề tổ hợp dành cho học sinh
chuyên toán
1.4.1. Mục tiêu chương trình

 Rèn luyện cho học sinh tính tƣ duy sáng tạo, độc lập và chủ động khi gặp
các dạng toán tổ hợp.
 Giúp cho các em học sinh chuyên toán nói chung và học sinh chuyên toán
của trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên nói riêng làm quen với các
dạng toán tổ hợp, từ đó trang bị cho mình lƣợng kiến thức và bài tập đủ lớn để tự tin
bƣớc vào các kì thi học sinh giỏi.
 Có một nguồn tài liệu phong phú, đa dạng để giúp cho bản thân tác giả và
các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và học tập.
1.4.2. Nội dung chương trình
Nội dung của luận văn chủ yếu xoay quanh các dạng toán tổ hợp rời rạc và
đƣợc chia làm 3 dạng bài chính sau:
 Các bài toán rời rạc và đại số tổ hợp
 Các bài toán về hình học tổ hợp
 Các bài toán về đồ thị và tô màu
1.5. Tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán ở
trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên
Trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên là ngôi trƣờng trọng
điểm của tỉnh Thái Nguyên nói riêng và của khu vực Trung Du Miền Núi phía Bắc

19


nói chung, có bề dày lịch sử hơn 30 năm. Từ khi thành lập và phát triển, trƣờng
Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên luôn có thành tích cao trong các kì thi
học sinh giỏi Quốc Gia và khu vực. Những năm gần đây, số lƣợng học sinh đạt giải
học sinh giỏi Quốc Gia của trƣờng luôn giữ vững trong khoảng trên dƣới 50 em và
nằm trong nhóm trên của cả nƣớc. Nhƣng với bộ môn toán nói riêng thì thành tích
vài năm trở lại đây lại không cao. Từ năm 2015 đến nay, trƣờng mới chỉ có 1 giải
Khuyến Khích môn toán. Một trong những lý do đó là các em học sinh chƣa có
đƣợc sự chuẩn bị tốt về cả tâm lý và kiến thức cho các kì thi học sinh giỏi khu vực

hay Quốc Gia, thời gian đƣợc học tập, trao đổi bị hạn chế. Nhất là với những
chuyên đề khó nhƣ toán tổ hợp rời rạc thì thời gian đƣợc làm quen, tiếp xúc với các
dạng bài không đƣợc nhiều, hầu nhƣ học bài nào các em chỉ biết đến bài đó mà
không biết cách tƣ duy, phát triển kiến thức, bài toán đó thành kiến thức của mình
để vận dụng vào các bài tập khác một cách nhuần nhuyễn, sáng tạo. Hơn thế nữa,
lực lƣợng giáo viên dạy chuyên còn mỏng nên không đáp ứng đƣợc nhu cầu giảng
dạy, đối với giáo viên dạy tổ hợp chỉ có hai ngƣời thay nhau dạy cho cả ba khối
chuyên. Muốn đạt đƣợc thành tích cao trong các kì thi học sinh giỏi nói chung và kì
thi học sinh giỏi Quốc Gia nói riêng, học sinh cần đƣợc trang bị một nền tảng kiến
thức thật tốt, vững vàng, nhất là với các phần khó nhƣ tổ hợp, số học, hình học. Vì
vậy, trong đề tài này, tác giả muốn hệ thống lại kiến thức nền cần thiết và các dạng
bài tập điển hình, có tính hệ thống để giúp các em học sinh có đƣợc một nền tảng
vững chắc, tự tin để phát triển hết tƣ duy sáng tạo, khả năng của bản thân và qua đó
có thể đạt đƣợc những thành tích cao trong học tập.
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng 1, đề tài luận văn đã làm rõ ràng, tƣờng minh và sâu sắc về
khái niệm tƣ duy và nhất là tƣ duy sáng tạo. Làm nổi bật đƣợc 5 yếu tố đặc trƣng
của tƣ duy sáng tạo đó là: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn
thiện và tính nhạy cảm vấn đề. Đó chính là điểm tựa để giáo viên có thể hƣớng dẫn
cho học sinh, nhất là với các em học sinh chuyên toán con đƣờng phát triển tƣ duy
sáng tạo, phát triển năng lực bản thân qua bài dạy toán tổ hợp.

20