CHUYÊN ĐỀ VỀ HÀM SỐ HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI FULL

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

MỤC LỤC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN...................................................................................................3
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:........................................................................................................................3
1. Hàm số y = ax2 (a �0)...........................................................................................................................3
2. Phương trình bậc hai một ẩn:.................................................................................................................3
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:.....................................................................................................................4
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN........................................................................................................5
Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0).......................................................5
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai một ẩn cơ bản...................................................................................7
Dạng 3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai.........................................................................9
Dạng 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng................................................................................10
2
Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ax  bx  c  0 có nghiệm, có nghiệm kép, vô
nghiệm.........................................................................................................................................11
Dạng 6. Tìm tham số m khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương hoặc
cùng âm, hai nghiệm đối nhau, hai nghiệm nghịch đảo nhau)...............................................13
Dạng 7. Vận dụng định lý Viet để tính giá trị của biểu thức đối xứng...................................................14
Dạng 8. Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện (T) cho trước:........................................16
Dạng 9. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.. .18
Dạng 10.Tìm giao điểm và xác định số giao điểm của hai đồ thị (P):y = ax2 (a �0) và (D): y = ax + b
.....................................................................................................................................................19
Dạng 11. Giải bài toán bằng cách lập phương trình..............................................................................20
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG........................................................................................................................22
1. BÀI TẬP TỰ LUẬN...............................................................................................................................22
2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.....................................................................................................................24
3. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN.........................................................................................................25
D. ĐỀ MINH HỌA THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT...............................................................32

1


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI



Danh sách các kí hiệu sử dụng

Ký hiệu

�

�

�

Đọc là
Khác
Thuộc
Tương đương
 Danh sách các tài liệu tham khảo
+ Sách giáo khoa Toán 9 tập 2
+ Nâng cao và phát triển Toán 9
+ Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm Toán 9
+ Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 9



Max

Min

Suy ra

Giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất

-

2

NXB GD
Vũ Hữu Bình
Phan Lưu Biên
PGS – TS Đặng Đức Trọng


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

HÀM SỐ y = ax2 (a �0)
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.
Hàm số y = ax2 (a �0)
a) Tính chất
 Hàm số y = ax2 (a �0) được xác định vói mọi giá trị của x ��
 a > 0. Hàm số đồng biến khi x > 0; nghịch biến khi x < 0

y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x = 0
 a < 0. Hàm số đồng biến khi x < 0; nghịch biến khi x > 0
y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x = 0
b) Đồ thị
 Đồ thị hàm số y = ax2 (a �0) là một parapol có đỉnh là góc tọa độ O(0 ; 0) và nhận trục
tung làm tục đối xứng.

 Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
 Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a �0):
+ Lập bảng các giá trị tương ứng của (P)
x
y = ax2 (a �0

x 2
y2

 x1
y1

0
0

x1
y1

x2
y2

+ Dựa và bảng giá trị � vẽ (P).
2.
Phương trình bậc hai một ẩn:
2
a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax + bx + c = 0 trong đó
x là ẩn số ; a , b , c là các số cho trước gọi là các hệ số ( a �0) .

3


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
b) Cách giải:
2
( a �0) .
 Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0

D = b 2 - 4ac

 D > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 D = 0 : Phương trình có nghiệm kép:
 D < 0 : Phương trình vô nghiệm.

x1 =

x1 = x2 =

- b+ D
- b- D
x2 =
2a

2a
,
.

-b
2a .

2
( a �0) .
 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0

D = b 2 - 4ac

> 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 D�
x1 =

- b�
+ D�
- b�
- D�
x2 =
2a
2a
.

= 0 : Phương trình có nghiệm kép:
 D�
< 0 : Phương trình vô nghiệm.
 D�

x1 = x2 =

- b�
2a .

3.

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:
2
1. Hệ thức Vi-ét: Nếu phương trình ax  bx  c  0 có hai nghiệm x1 và x2 thì:
b
�
S

x

x

1
2
�
�
a
�
c
�P  x .x 
1 2
�
a

Hệ thức Vi-ét thường được áp dụng để tính nhẩm nghiệm, xét dấu nghiệm hay tìm hai số khi
biết tổng và tích của chúng dựa vào các kết quả sau đây:
2
a. Kết quả 1: Cho phương trình ax  bx  c  0 ( a �0)

c
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = a
Nếu a  b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 =  1, x2 =
2
b. Kết quả 2: Cho phương trình ax  bx  c  0 (a �0)
b
c
S   và P 
2
a
a
có   b  4ac �0 với



c
a

Điều kiện

Dấu các nghiệm

P < 0 hay a.c < 0

x1 < 0 < x2

Phương trình có hai nghiệm trái dấu

P > 0, S > 0

0 < x1 �x2

Phương trình có hai nghiệm dương

P > 0, S < 0

x1 �x2 < 0

Phương trình có hai nghiệm âm

4

Mô tả


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
c. Kết quả 3: Nếu hai số a và b có a + b = S và a.b = P thì a và b là nghiệm của phương trình:
2
x 2  Sx  P  0 (Điều kiện để có a và b : S  4P �0 )
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
1. Phương pháp chung:
Thực hiện theo các bước sau:
a) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định x  R.
Tính biến thiên: phụ thuộc vào a > 0 (hoặc a < 0)

c) Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm, trong đó có tọa độ của điểm thấp nhất (a > 0) hoặc
điểm cao nhất (a < 0).
d) Vẽ đồ thị và nhận xét: đồ thị của hàm số y = ax 2(a ≠ 0) là một đường cong parabol (như phần
II).
b)

2. Các ví dụ:
2
2
Ví dụ 1: Xác định m để đồ thị hàm số (P) y  (m  2)x
a) Đồng biến khi x > 0 và nghich biến khi x < 0
b) Đi qua điểm A(1;2) . Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.

Lời giải:
a) Đề hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 thì







m2  2  0 � m 2 m 2  0 � m 2

hoặc m  2

2
2
b) Đồ thị hàm số y  (m  2)x đi qua điểm A(1;2) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình

2  (m2  2).12 � m2  2  2 � m2  4 � m �2

 00Với m = 2 ta được: (P) y = 2x2
 Hàm số y = 2x2 xác định x  R.
 Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = 2 >0 nên hàm số:
+ Đồng biến khi x > 0.
+ Nghịch biến khi x < 0.
 Bảng giá trị:
x

…

-1

0

1

2

…

y = 2x
…
8
2
 Vẽ đồ thị: (như hình trên)
 Nhận xét:

0

2

8

…

2

-2

Đồ thị hàm số y = 2x2 là một đường cong parabol (P):
+ Đi qua gốc tọa độ.
+ Nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Nằm phía trên trục hoành.
+ Có đỉnh O là điểm thấp nhất.
5


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

 Với m = -2 ta được: (P) y = -2x2
 Hàm số y = -2x2 xác định x  R.
 Tính biến thiên: Hàm số y = 2x2 có a = -2 <0 nên hàm số:
+ Đồng biến khi x < 0.
+ Nghịch biến khi x > 0.
 Bảng giá trị:
x

…

-2

-1

0

1

2

…

y = -2x2 …
-8
-2
 Vẽ đồ thị: (như hình trên)
 Nhận xét:

0

-2

-8

…

Đồ thị hàm số y = -2x2 là một đường cong parabol (P):
+ Đi qua gốc tọa độ.
+ Nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Nằm phía dưới trục hoành.
+ Có đỉnh O là điểm cao nhất
Ví dụ 2:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ax2, biết đồ thị của nó đi qua điểm A(2; 1).
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8 ; –16) và N(–6 ; 9)
c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là  2 , điểm Q
có tung độ bằng 3.
Lời giải
a) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2.
1
1  a.2 2 � K � a 
2
y

a.x
4
A
 A(2; 1)  (P): y = ax  A
1
y  x2
4 .
Vậy (P) là đồ thị của hàm số:
1
y  x2
4
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ (P):
1
y  x2
4
 Hàm số

xác định x  R.
1
1
y  x2
a  0
4
4
 Tính biến thiên: Hàm số
có
nên hàm số:
2

- Đồng biến khi x > 0.
- Nghịch biến khi x < 0.
 Bảng giá trị:
x

… –4

–3

–2

0

2

3

4 …

6


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
y

1 2
x
4

…

4

9
4

1

0

1

9
4

4 …

 Vẽ đồ thị: (như hình trên)
y

 Nhận xét: Đồ thị hàm số

1 2
x
4
là một đường cong parabol (P):

- Đi qua gốc tọa độ.
- Nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Nằm phía trên trục hoành.
- Có đỉnh O là điểm thấp nhất.
b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)
 Với điểm M(–8; –16):
y

Giả sử M(–8; –16)  (P):

1 2
1
x
yM  xM2
4
4


1
16  ( 8 )2 � 16  16
4


(sai)

Vậy M(–8; –16)  (P).
 Với điểm N(–6;9):
Giả sử N(–6;9)  (P):

y

1 2
1
x
y N  xN2
4
4


1
9  ( 6 )2 � 36  36
4

(đúng)

Vậy N(–6;9)  (P).
c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hoành độ là  2 , điểm Q có
tung độ bằng 3:



R(  2; y R ) �( P ) � y R 

1 2
1
1
xR � YR  (  2 )2 � y R 
4
4
2

1
R(  2; )
2
Vậy



Q( xQ ;3 ) �( P ) � yQ 
� xQ  2 3

hoặc

1 2
1
xQ � 3  xQ2 � x 2  12
Q
4
4

xQ   2 3

Vậy có 2 điểm Q thỏa đề bài:

Q1 ( 2 3;3 ), Q2 ( 2 3;3 )

� 1�
�m  2 �
�x2 đồng biến khi x > 0 nếu:
Ví dụ 3: Hàm số y = �

1
A. m < 2

1
B. m > 2

C. m >



1
2

D. m = 0
Đáp án: B

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng xOy, đồ thị hàm số nào nhận trục Oy làm trục đối xứng?
2
A. y = 2x + 1
B. y = x
C. y = 3 x
D. x = y2

7


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Đáp án: C
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai một ẩn cơ bản
1) Phương pháp chung
2
( a �0) .
 Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0

D = b 2 - 4ac

 D > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 D = 0 : Phương trình có nghiệm kép:
 D < 0 : Phương trình vô nghiệm.

x1 =

x1 = x2 =

- b+ D
- b- D
x2 =
2a
2a
,
.

-b

2a .

2
( a �0) .
 Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0

D = b 2 - 4ac

> 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 D�
x1 =

- b�
+ D�
- b�
- D�
x2 =
2a
2a
.

= 0 : Phương trình có nghiệm kép:
 D�
< 0 : Phương trình vô nghiệm.
 D�

x1 = x2 =

2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 4x2 – 8x + 3 = 0
b) x2 – 6x + 14 = 0
c) x2 – 4x + 4 = 0
Lời giải
a) 4x2 – 8x + 3 = 0
2
Ta có:  '  (4)  4.3  4 �   2 > 0

x1 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
b) x2 – 6x + 14 = 0
2
Ta có:  '  (3)  14.1  5  0
Phương trình vô nghiệm
c) x2 – 4x + 4 = 0
2
Ta có:  '  (2)  4  0

3
1
; x1 
2
2

x x 2
Phương trình có nghiệm kép: 1 1
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm
a) 7x2 – 9x + 2 = 0
.

8

- b�
2a .


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
b) 23x2 – 9x – 32 = 0

c) ( 2  3 )x2 + 2 3 x – (2 +

3) = 0

Lời giải
a) 7x2 – 9x + 2 = 0
Ta có: a + b + c = 7 + (– 9) + 2 = 0  phương trình có hai nghiệm:
2
x 1 = 1 ; x2 = 7
b) 23x2 – 9x – 32 = 0
Ta có: a – b + c = 23 – (–9) + (–32) = 23 + 9 – 32 = 0
32
 phương trình có hai nghiệm: x1 = phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 = 23
c) ( 2  3 )x2 + 2 3 x – (2 + 3 ) = 0
Ta có: a + b + c = 2  3 + 2 3 – (2 + 3 ) = 2  3 + 2 3 – 2 – 3 = 0
(2  3)
 (7  4 3)
 phương trình có hai nghiệm: x1 = –1 ; x2 = 2  3
2
Ví dụ 3: Giá tị x nào sau đây là nghiệm của phương trình: x  7 x  3  0
7  43

7  43
7  37
7  37
x1 
; x2 
x1 
; x2 
2
2
2
2
A.
B.
B.

x1 

7  52
7  52
; x2 
2
2

D.

x1 

7  46
7  46
; x2 

2
2

Đáp án: B
Ví dụ 3: x = 3 là nghiệm của phương trình nào say đây:
2
2
2
A. x  5 x  6  0
B. x  14 x  9  0
C. x  7 x  3  0

2
D. x  14 x  3  0
Đáp án: A

Dạng 3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
1) Phương pháp chung:
4
2
a) Phương trình trùng phương : ax  bx  c  0 (a �0)
2
 Đặt t = x2( t �0 ) đưa về dạng : at  bt  c  0
 Thay gí tri t �0 vừa tìm được rồi suy ra x

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu :
 Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
 Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác

định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
c) Phương trình tích.
 Đưa phương trình về dạng tích rồi áp dụng tính chất: A.B = 0  A = 0 hoặc B = 0
9


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

 Giải hai phương trình A = 0 và B = 0 rồi suy ra nghiệm
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2
Lời giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1)  (x2 – 2)(x + 3) = 0  (x + 2 )(x – 2 )(x + 3) = 0

x=– 2;x=

2 ; x = –3

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = – 2 ; x = 2 ; x = – 3
b) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3)  5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t  0) thì (3)  5t2 – 3t – 26 = 0
Xét  = (–3)2 – 4.5.( –26) = 529.> 0   = 23
 (  3)  23 13

2.5
5 (thoả mãn t  0) ;

Nên: t1 =
 (  3)  23
 2
2.5
t2 =
(loại)
13
13
13

5
Với t = 5  x2 = 5  x =
13

5 ; x2 =
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 =

13
5

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
2x
x2  x  8

a) x  1 ( x  1)( x  4)

b) (x2+ x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0

Lời giải

2x
x2  x  8

a) Giải phương trình x  1 ( x  1)( x  4) (2)
Với ĐK: x ≠ – 1; x ≠ 4 thì
(2)  2x(x –`4) = x2 – x + 8  x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1– (–7) + (–8) = 0  phương trình (*) có nghiệm x1 = –1(không thoả mãn ĐK)
; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
b) Giải phương trình 3(x2 + x) – 2 (x2+ x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2 + x = t . Khi đó (4)  3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (– 2) + (– 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 =
t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
10



1
3


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
 1 5
 1 5
2
2
1 = 12 – 4.1.( –1) = 5 > 0. Nên x1 =
; x2 =
1
1



2
t2 = 3  x +x = 3  3x2 + 3x + 1 = 0 (*)

2 = 32 – 4.3.1 = –3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
 1 5
 1 5
2
2
x1 =
; x2 =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình: (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0.
A. 2
B. 3
C. 4
D. Vô nghiệm

Đáp án: A
1
1
2 
x 1
Ví dụ 3: Phương trình x

A. có 1 nghiệm

B. vô nghiệm

C. có hai nghiệm hữu tỉ

D. có hai nghiệm vô tỉ
Đáp án: B

Dạng 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
1) Phương pháp chung:
 Nếu hai số a và b có a + b = S và a.b = P thì a và b là nghiệm của phương trình:
x 2  Sx  P  0 (Điều kiện để có a và b : S2  4P �0 )



2
Giải phương trình x  Sx  P  0 để tìm nghiệm

2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
a) x + y = 7 và xy = 72
b) x + y =  12 và xy =  35
Lời giải
2
2
a) Ta có: S  4 P  7  4.72  239  0
Vậy không có giá trị x và y nào thỏa mãn x + y = 7 và xy = 72
2
2
b) Ta có: S  4 P  (12)  4.( 35)  284  0
 x và y là hai nghiệm của phương trình: X2 + 12X – 35 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta được X1 = 6  71 ; X2 = 6  71
Vậy x = 6  71 ; y = 6  71 hoặc x = 6  71 ; y = 6  71

Ví dụ 2: Tìm hai số x, y trong các trường hợp sau:
a) x2 + y2 = 80 và xy =  32
b) x  y = 10 và xy = 21
Lời giải

x y 4
�
( x  y ) 2  2 xy  80 � ( x  y ) 2  2( 32)  80 � �
x  y  4
�
a) Ta có: x2 + y2 = 80 
11


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
2
2
- Ứng với trường hợp x + y = – 4 và xy =  32. Ta có: S  4 P  (4)  4.(32)  144  0
2
 x; y là nghiệm của phương trình X  4 X  32  0 (*)

Giải phương trình (*) ta được X1 = 4 ; X2 = – 8
Vậy x = 4 ; y = – 8 hoặc x = – 8 ; y = 4
2
2
- Ứng với trường hợp x + y = 4 và xy =  32. Ta có: S  4 P  4  4.(32)  144  0
2
 x; y là nghiệm của phương trình X  4 X  32  0 (*)

Giải phương trình (*) ta được X1 = – 4 ; X2 = 8

Vậy x = – 4 ; y = 8 hoặc x = 8 ; y = – 4
Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3 ?
A. x2 – 3x + 10 = 0 B. 2x2 – 6x + 1 = 0 C. –x2 + 3x – 5 = 0

D. x2 + 2x + 1 = 0
Đáp án: A, B, C
2
Ví dụ 4: Cho phương trình 0,1x – 0,6x – 0,8 = 0. Khi đó x1 + x2 ; và x1x2 là :
A. x1 + x2 = 0,6; x1.x2 = 8
B. x1 + x2 = 6; x1.x2 = – 8
C. x1 + x2 = 6; x1.x2 = 8
D. Kết quả khác
Đáp án: B
2
Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình ax  bx  c  0 có nghiệm, có nghiệm kép,
vô nghiệm.
1) Phương pháp chung:







2
Xét trường hợp a = 0, phương trình ax  bx  c  0 trở thành bx  c  0 � bx  c (*)
 Nếu b = 0 và c = 0  Phương trình (*) có vô số nghiệm
 Nếu b = 0 và c �0  Phương trình (*) có vô nghiệm
 Nếu b �0  Phương trình (*) có một nghiệm nghiệm
Xét trường hợp a �0, lập biệt thức  hoặc ’

 Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm )    0 hoặc ’  0  m
 Vô nghiệm   < 0 hoặc ’ < 0  m
 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0 hoặc ’ = 0  m
 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0 hoặc ’ > 0  m
Kết luận.

2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải phương trình (giải và biện luận): x2 – 2x + k = 0 (tham số k)
Lời giải
Ta có: ’ = (–1)2 – 1.k = 1 – k
Nếu ’< 0  1 – k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm
Nếu ’= 0  1 – k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0  1 – k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1– 1  k ; x2 = 1+ 1  k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
12


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 – 1  k ; x2 = 1+ 1  k
Ví dụ 2: Cho phương trình (m – 1)x2 + 2x – 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có)?
Lời giải
3
a) + Nếu m – 1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0  x = 2 (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12– (–3)(m – 1) = 3m – 2

2
’
(1) có nghiệm   = 3m – 2  0  m  3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m  3 thì phương trình có nghiệm
3
b) + Nếu m – 1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0  x = 2 (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1– (– 3)(m – 1) = 3m – 2
2
(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m – 2 = 0  m = 3 (thoả mãn m ≠ 1)
1
1


3
2
m 1
1
3
Khi đó x =
3
+ Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
2
với m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

3
(m – 1)2 + 2.2 – 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 4
3
1


Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m – 1 = 4 – 1= 4 ≠ 0)
3
3

12  x 2 6
1
m 1

4
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =
3
Vậy m = 4 và nghiệm còn lại là x2 = 6
2

x 4  2  m  2 x 2  m2  8  0
Ví dụ 3: Cho phương trình
(1)
Tìm giá trị của m để phương trình có:
a) bốn nghiệm phân biệt
13


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
b)
c)
d)
e)

hai nghiệm phân biệt

ba nghiệm phân biệt
một nghiệm
vô nghiệm

Giải:

t 2  2  m  2  t  m 2  8  0 (2)
Đặt x2 = t ≥ 0, khi đó (1) �
2
 '   m  2   m 2  8  4  m  3  ; S  2  2  m  ; P  m 2  8
Ta có
a) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt � phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
4  m  3  0
�
m3
�
'  0
�
�2
�
�
��
P0 ��
m 8  0
��
m  2 2 �m  2 2 � m  2 2
�
�
�
S0

m2
2  2  m  0
�
�
�
b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt � phương trình (2) có một nghiệm dương và một
nghiệm bằng 0
4  m  3  0
�
m3
�
'  0
�
�
�
�
��
P0 ��
m2  8  0
��
m  2 2 �m  2 2 � m  2 2
�
�
�
S0
m2
2  2  m  0
�
�
�

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt � phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc hai





nghiệm trái dấu.
m3
� '  0
�
��
��
S  0 hoặc P < 0
m  2 hoặc  2 2  m  2 2 �  2 2  m  2 2
�
�
d) Phương trình (1) có một nghiệm � phương trình (2) có nghiệm kép bằng 0 hoặc hai nghiệm
gồm một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm
m  �2 2
P0
m3
�
� '  0
�
�
��
��
�
�
m2

S  0 hoặc �
S0
m  2 hoặc �
�
�
� m= 2 2
e) Phương trình (1) có vô nghiệm � phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều âm
 ' �0
�
�
P0
m3
�
�
�
�
S0 � m3
m  2 hoặc 2 2  m  3 � m  2 2
�  '  0 hoặc �
hoặc �
Ví dụ 4: Phương trình mx2 – 4x – 5 = 0 ( m ≠ 0) có nghiệm khi và chỉ khi
5
4
5
4
m �
D. m �
A. m �
C. m �
5 và m �0

5 và m �0
4 và m �0
4 và m �0
B.
Đáp án: C
2
Ví dụ 5: Giá trị của m để phương trình : mx – (2m – 1)x + m +2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là :
1
1
1
1
A. m < 12
B. m > 12
C. m �12
D. m �12 và m �0
Đáp án: D
14


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Dạng 6. Tìm tham số m khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương hoặc
cùng âm, hai nghiệm đối nhau, hai nghiệm nghịch đảo nhau)
1) Phương pháp chung:
 Lập biệt thức  hoặc ’
b
c
 Dựa vào định lý Vi-et tính tổng và tích của hai nghiệm (S = x1+ x2 = a ; P = x1.x2 = a )



Từ ĐK đã cho và hệ thức Vi-ét tìm ra tham số m
 Phương trình có hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0  m
 Phương trình hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0  m
 Phương trình hai nghiệm dương (lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0  m
 Phương trình hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0  m
 Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
 Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1  m

2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Lời giải
2

1  15

m   
2
4
a) Ta có:  ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) = (m – 1)2 + 3 + m = 
2

1

15
 m   0
0
2

Do 
với mọi m; 4
  > 0 với mọi m
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > – 3
Vậy m > – 3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1) và P = x1.x2 = – (m + 3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0
 2(m  1)  0
m 1


 m3
  (m  3)  0
m   3
Vậy m < – 3
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 2x + m – 1= 0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Lời giải
15


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
a) Ta có  ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
 ' 0
 2  m 0

 m 2



 m 2
 m  1 1
 m 2
 P 1
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  m – 1 < 0  m < 1
Vậy m < 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
A. m > 1
B. m < 1
C. m > –1 hoặc m < 1

D. m �1
Đáp án: C
2
Ví dụ 3: Giá trị của m để phương trình x + 3x + m = 0 có hai nghiệm cùng âm là:
9
9
m�
m�
4
4
A.
B. m > 0
C. m > 0 và
D. m < 0

Đáp án: C
Dạng 7. Vận dụng định lý Viet để tính giá trị của biểu thức đối xứng
1) Phương pháp chung:
�S  x1  x2  a
(I )
�
P  x1 x2  b
�
Bước 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính được :
x +x
x .x
Bước 2: Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức có chứa 1 2 và 1 2 từ đó thay các giá
trị a, b và tính giá trị biểu thức vừa tìm được.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 3 x – 5 = 0 có hai nghiệm x1 và x2
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1

A = x2 x2 ;

1
1

2
2
x
x2 ;
C= 2

B = x12 + x22 ;

Lời giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Vi-et ta có:
x1 + x2 =  3 ;
x1.x2 =  5
x  x2
1
1

 1
x1 .x2 ;
Ta có: A = x2 x2

B = x12 + x22 = (x1+x2)2 – 2x1x2
C

1
1 x12  x22

 2 2
x2 x2
x1 .x2 ;

D = x13 + x23 = 

x1  x2   3 x1 x2 ( x1  x2 )

Lần lượt thay x1 + x2 = 
A

3

3;

x1.x2 = 

5 ta được

 3 1

15
 5 5
16

D = x13 + x23


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
B = (  3 )  2(  5 ) 3  2 5
2

C

3 2 5 1
 (3  2 5)
( 5) 2 5

  3
D=

3







 3  5  3  3



3  15



Ví dụ 2: Không giải phương trình 3x2 + 5x  6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
x1 x22  1  x2 x12  1
B  1  x12  x2 2
A=
Lời giải
Phương trình 3x2 + 5x  6 = 0 có a.c = 3.(  6) < 0  có hai nghiệm.









5
Theo Vi-et ta có: x1 + x2 = 3 ;

x1.x2 =  2

Ta có: A = x1 ( x  1)  x2 ( x  1)
x x ( x  x )  x1  x2
= 1 2 1 2
2
2

2
1

5
Thay x1 + x2 = 3 ;
x1.x2 =  2 vào (*) ta được:
�5 �
16

� �
A = (  2). �3 �+ (  2) = 3
2
2
2
2
Ta có: B  1  x1  x2  1  x1  x 2
 1   x12  x 2 2 

 1   x1  x 2   2x1.x 2
2

2

�5 �
B  1  � � 2(2)
�3 �
x1.x2 =  2 vào (*) ta được:
Ví dụ 3: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 + x – 1 = 0. Khi đó biểu thức x12 + x22 có giá trị là:
A. 1
B. 3
C.  1
D.  3
Đáp án: B
1 1

Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – 3x – 4 = 0 có hai nghiệm x ; x . Tính x1 x2 được kết quả nào sau đây:
5
Thay x1 + x2 = 3 ;

1

3

A. 8

4


B. 3

2

C.  3

3
D. 4


Đáp án: D
Dạng 8. Tìm m để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện (T) cho trước:
1) Phương pháp chung:

a �0
�
� '
 ( ) �0
Bước 1- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1;x2 : �
Bước 2 - Áp dụng định lý Vi-ét ta được:

�S  x1  x2  f (m)
(I )
�
�P  x1 x2  g (m)

17

(*)

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Bước 3 - Từ ĐK (T) đã cho và hệ thức Vi-ét tìm ra tham số m. Đối chiếu m với điều kiện (*) và
kết luận.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2x + m – 1= 0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
1
1
y1  x1 
y2  x2 
x2 ;
x1 với x ; x là nghiệm của phương
b) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
1

2

trình ở trên
Lời giải
a) Ta có  ’ = 12 – (m – 1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = – 2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1 + 2x2 = 1 (3)
 x1  x 2  2
 2 x1  2 x 2  4
 x1 5





3
x

2
x

1
3
x

2
x

1
x

x


2
2
 1
2
 1
2
Từ (1) và (3) ta có:  1

 x1 5


 x 2  7

Thế vào (2) ta có: 5(– 7) = m – 1  m = – 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = – 34 là giá trị cần tìm
b) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = – 2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
x  x2
1
1
 2
2m
y1  y 2  x1  x 2  
 x1  x 2  1
 2 

x1 x 2
x1 x 2
m  1 1  m (m ≠ 1)
Khi đó:
1
1
1
1
m2
y1 y 2 ( x1  )( x 2  )  x1 x 2 
 2 m  1 
2 
x2
x1
x1 x 2

m 1
m  1 (m ≠ 1 )

2m
m2
 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 – 1  m .y + m  1 = 0 (m ≠ 1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m – 1)y2 + 2my + m2 = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình: (m là tham số) (1)
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Lời giải
Phương trình: .
Có = (2m+1)2  4 = 4m  1
Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi > 0 � 4m  1 > 0 � m >
1
2
x
.x

m

1
2
x1  x 2  2m  1
2
Theo hệ thức Viét ta có
và
1
1
1

2
m 2  2m    m  1  �
M   x1  1  x 2  1  x1x 2   x1  x 2   1
2
2
2
Ta có:
=
18


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Vậy m đạt giá trị nhỏ nhất là khi m  1 = 0 � m = 1 ( thỏa mãn điều kiện m >)
2 x3  2mx 2   m  1 x   m  1  m  3  0 (1)
Ví dụ 3: Cho phương trình
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
c) Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A | 3x1x 2 x 3  2  x1x 2  x 2 x 3  x1x 3  |
2

Lời giải:
a) Thay m = 0 và phương trình (1) ta được:
2x 3  x  3  0 � 2x 3  2x  3x  3  0

� 2x  x 2  1  3  x  1  0

�  x  1  2x 2  2x  3  0 � x  1
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 1
2

2
b) Thay x = 1 vào vế trái của phương trình (1) ta được: 2  2m  m  2m  1  m  4m  3  0
nên (1) có nghiệm x = 1
2x 2  2  m  1 x  m 2  4m  3�
 x  1 �
�
� 0
Do đó (1) 
2x 2  2  m  1 x  m 2  4m  3  0
 x = 1 hoặc
(2)

Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
 '   m  1  2 m 2  4m  3  0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 
� 2m 2  8m  6  m 2  2m  1  0 � m 2  6m  5  0





�  m  3  4 � 2  m  3  2 � 5  m  1
2

x = 1 không là nghiệm của (2) � 2 + 2m + 2 + m2 + 4m + 3 �0
� m2 + 6m + 7 �0 � m �3 � 2
Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi 5 < m < 1 và m �3 � 2
c) Do phương trình (1) có một nghiệm là 1 và vai trò của x 1, x2, x3 trong biểu thức A là như nhau,
nên giả sử x1 = 1 và x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (2). Theo hệ thức Viét ta có:

m 2  4m  3
x 2  x 3    m  1 ; x 2 .x 3 
2
A | 3x 2 x 3  2  x 2  x 2 x 3  x 3  |  | x 2 x 3  2  x 2  x 3  |
Thay vào
ta được:
2
m  4m  3
1
1
A |
 2  m  1 |  | m 2  8m  7 |  |  m  1  m  7  |
2
2
2
Với 5 < m < 1 thì m + 1 < 0 và m + 7 > 0
1
1
9 9
2
A    m 2  8m  7     m  4   �
2
2
2 2 . Dấu “=” xảy ra khi m =  4 (thỏa mãn đk)
Do đó

Vậy GTLN của A là 4,5 khi m =  4

19

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai: x  2mx  m  7  0 (1)
2

(với m là tham số). Giá trị m để

1 1
  16
x
;
x
x
x2
1
2
1
phương trình (1) có hai nghiệm
thoả mãn hệ thức:
là:
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Đáp án: D
Ví dụ 4: Cho phương trình: x2  2(n  1)x + 2n  3 = 0 (1) n là tham số. Biểu thức P = x12 + x22 đạt giá

tri nhỏ nhất khi n bằng:
3
2
3
2


A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
Đáp án: A
Dạng 9. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
1) Phương pháp chung:

�
�
a �0
�
�
�
� ,
�
�

(

�
0)
�

�
Bước 1: §iều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2: �
�x1  x2  f (m)
(I )
�
�x1 x2  g (m)

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính được :
Bước 3: Khử m từ bước 2 bằng phương phép thế (Rút m theo x thế vào S hoặc P) hoặc cộng đại
số ta sẽ được biểu thức cần tìm.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giả sử x1;x2 là nghiệm của phương trình: x2 – 2 (m – 1 ) x + m 2 – 1= 0
Tìm hệ thức giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m
Lời giải:
,
2
2
Phương trình có nghiệm    (m  1)  (m  1)  2m  2 ≥ 0 m �1
�S  2(m  1) (1)
�
2
(2)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được: �P  m  1
S 2
Từ (1)suy ra m= 2 Thay vào (2) ta được:
2

�S  2 �
�
� 1

P = � 2 �  4P = S2 +4S
Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 + 4(x1+x2 =) 4 x1x2
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
b) Hãy biểu thị x1 qua x2
Lời giải
20


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
2

1  15

m   
2
4
a) Ta có:  ’ = (m – 1)2 – (– 3 – m ) = 
2

1

15
 m   0
0
2
Do 
với mọi m; 4
  > 0 với mọi m
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí Viet ta có:

�x1  x2  2(m  1)
�x  x  2m  2 (1)
� . �1 2
�
2 x1 .x2  2m  6 (2)
�x1.x2  (m  3)
�

x1  x2  2
2
Tư (1)  m =
thay vào (2) ta được x1 + x2+2x1x2 = – 8

Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8  x2
x1 
1  2 x2
b) Từ ý a) ta có: x1 + x2 + 2x1x2 = – 8  x1(1+2x2) = – ( 8 + x2) 
8  x2
1
x1 
x2 
1

2
x
2
2)

Vậy
(
2
Ví dụ 3: Cho phương trình x  mx  m  1  0 có hai nghiệm x1 và x2. Hệ thức liên hệ giữa x1 và x2
không phụ thuộc vào m là:
x x  x  x 1  0
x x  x  x 1  0
A. 1 2 1 2
B. 1 2 1 2
x x  x  x 1  0
x x  x  x 1  0
B. 1 2 1 2
D. 1 2 1 2
Đáp án: A
2
Ví dụ 4: Cho phương trình x  ( m  2) x  m  0 . Công thức biểu thị x theo x là:

x 2
x1  2
1  x2
A.

1  x2
x1 
1  x2
B.

2  x2
x1 
1  x2

C.

1

2

D.

x1 

1  x2
2  x2

Đáp án: C
Dạng 10. Tìm giao điểm và xác định số giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2 (a �0) và (D): y = ax + b
1) Phương pháp chung:
a)
Tìm giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2 (a �0) và (D): y = ax + b

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm
số bằng nhau � đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu  > 0 � pt có 2 nghiệm phân biệt � (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu  = 0 � pt có nghiệm kép � (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu  < 0 � pt vô nghiệm � (D) và (P) không giao nhau.
b)
Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a �0) và (Dm) theo tham số m:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng
nhau � đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.



 Lập  (hoặc  ' ) của pt hoành độ giao điểm.
21


CHUYấN HM S BC HAI
Biờn luõn:
+ (Dm) ct (P) ti 2 im phõn biờt khi > 0 gii bt pt tim m.
+ (Dm) tip xỳc (P) ti 1 im = 0 gii pt tim m.
+ (Dm) v (P) khụng giao nhau khi < 0 gii bt pt tim m.
2) Cỏc vớ d
Vớ d 1: Cho parabol (P) : y = x2 v ng thng (d) : y = mx 1
a) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m thi ng thng (d) luụn ct parabol (P) ti hai im
phõn biờt.
b) Gi x1, x2 ln lt l honh ụ cỏc giao im ca ng thng (d) v parabol (P). Tim giỏ tr
2
2
ca m : x1 x 2 x 2 x1 x1x 2 3
Li gii
a) Phng trinh honh ụ giao im ca (P) v (d) l:
x2 = mx 1 x2 + mx 1 = 0 (1), phng trinh (1) cú a.c = 1 < 0 vi mi m
(1) cú 2 nghiờm phõn biờt trỏi du vi mi m (d) luụn ct (P) ti 2 im phõn biờt.
b) Ta cú x1, x2 l nghiờm ca (1) nờn theo hờ thc Viet ta cú: x1 + x2 = m v x1. x2 = 1
2
2
Theo gi thit: x1 x2 x2 x1 x1 x2 3 x1 x2 ( x1 x2 1) 3

1( m 1) 3 m + 1 = 3 m = 2

Võy vi m = 2 thi honh ụ giao im ca (d) v (P) tha món ng thc trờn.
Vớ d 2: Cho hm s y = x2 v y = x + m ( m l tham s ).
a) Tim m sao cho th (P) ca y = x2 v th (D) ct y = x + m cú hai giao im phõn biờt A
v B.
b) Tim phng trinh ca ng thng (d) vuụng gúc vi (D) v (d) tip xỳc vi (P).
Li gii:
a) Phng trinh honh ụ giao im ca (P) v (D) l : x2 = m + x x2 x + m = 0 (*)
(P) v (D) ct nhau ti hai im phõn biờt: (*) cú hai nghiờm phõn biờt
1
= 1 + 4m > 0 m > 4
b) Phng trinh ca ng thng (d) vuụng gúc vi (D) v (d) tip xỳc vi (P) cú dng :
(d) (D) nờn a.1 = 1 a = 1 . Ta cú (d) : y = x + b
Phng trinh honh ụ giao im ca (d) v (P) l : x2 = x + b x2 x + b = 0
(d) tip xỳc vi (P) x2 x + b = 0 cú nghiờm kep.
1
= 1 + 4b = 0 b = 4 .
1
Phng trinh ng thng (d) cn tim l : y = x 4
Vớ d 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị các hàm số y = x 2 và y = 4x + m cắt
nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
A. m > 1.
B. m < 4.
C. m < 1.
D. m > 4
22


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Đáp án: D
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3 và (P): y = x2. Khi đó số điểm chung của (d) và (P) là:

A. 1
B. 2
C. không có điểm chung nào?
Đáp án: B
Dạng 11. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
1) Phương pháp chung
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với
vài toán và kết luận
2) Các ví dụ
Ví dụ 1: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy
khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Phân tích đề bài
x (km/h) là vận tốc thực của tàu thủy (Điều kiện: x  4)
25
8h20'  h
3
Đổi đơn vị:

Vận tốc
Đi xuôi dòng

x 4

Đi ngược dòng

x 4

Thời gian
80
x 4
80
x 4

80
80 25


Phương trình : x  4 x  4 3
Lời giải.
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của tàu thủy (Điều kiện: x  4)
Vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng: x 4 (km/h)
Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng: x  4 (km/h)
80
Thời gian của tàu thủy khi xuôi dòng: x 4 (km/h)
80
Thời gian của tàu thủy khi ngược dòng: x 4 (km/h)

23

Quãng đường
80
80


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI

25
80
80 25
8h20'  h


3 nên ta có phương trình: x  4 x  4 3 (1)
Vì thời gian cả đi lẫn về là
(1) � 3.80(x  4)  3.80(x  4)  25(x  4)(x  4)
� 5x2  96x  80  0 (*)

x1  20; x2 

4
5 (loại)

Giải phương trình (*) ta được
x  20 km/ h
Vậy vận tốc của tàu thủy là:
Ví dụ 2: Một ca nô đi xuôi dòng nước từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ đi từ bến A dọc
theo bờ sông về hướng B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay trở lại và gặp người đi bộ tại địa điểm
C cách bến A 18km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc
dòng nước đều bằng 4km/h.
Phân tích đề bài
x (km/h) là vận tốc thực của cano (Điều kiện: x  4)
Vận tốc
Đi xuôi

x 4

Đi ngược

x 4

Cano

Người đi bộ

4

24
6
18


PT: x  4 x  4 4
Lời giải.
Gọi x (km/h) là vận tốc thực của cano (Điều kiện: x  4)
Vận tốc của cano khi xuôi dòng: x 4 (km/h)
Vận tốc của cano khi ngược dòng: x  4 (km/h)
24
Thời gian của cano khi xuôi dòng: x  4 (km/h)
6
Thời gian của cano khi ngược dòng: x  4 (km/h)
24
6
18


Theo đề ta có phương trình: x  4 x  4 4 (1)

(1) � 4.24(x  4)  4.6(x  4)  18(x  4)(x  4)
� 18x2  120x  0 (*)

20
; x 0
3
Giải phương trình (*) ta được
(loại)
20
x
(km/ h)
3
Vậy vận tốc của tàu thủy là:
x

24

Thời gian
24
x 4
6
x 4
18
 h
4

Quãng đường
24
24  18  6

18


CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI
Ví dụ 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, được bao bọc bằng x mét hàng
rào. Diện tích khu vườn tính theo x là:
3x 2
3x 2
3x 2
3x 2
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
Đáp án: D
Ví dụ 4: Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc một xe máy đi từ A và một ôtô đi từ B. Xe
máy và ôtô cặp nhau tại điểm C cách A 120km. Nếu xe máy khởi hành sau ôtô 1h thì sẽ gặp nhau ở
điểm D cách C 24km. Khi đó vận tốc của xe máy và ô tô lần lượt là:
A. 40 km/h và 60 km/h
B. 60 km/h và 40 km/h
C. 50 km/h và 60km/h
D. 50 km/h và 40 km/h
Đáp án: B
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. BÀI TẬP TỰ LUẬN
TL 1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = x2 có đồ thị (P).
a) Vẽ (P).
b) Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là  1 và 2. Chứng minh rằng tam
giác OAB vuông .
2

TL 1.2 Cho hàm số y  ax (a �0) .

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) .
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4.
d) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ.

TL 2.1 Giải các phương trình
a) x2  49x  50 = 0
b) (2  3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
TL 2.2 Giái các phương trình sau:
4
2
a) x  3x  4  0
1 � � 1�
�
4 �x 2  2 � 16 �
x �
+23  0
b) � x � � x �
TL 3.1 Cho phương trình bậc hai: x2  2(m +2)x + 2m + 3 = 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
x,x
b) Gọi 1 2 là các nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:
x1  2  x 2   x 2  2  x 1   2
.
TL 3.2 Cho phương trình bậc hai: x  2mx  m  7  0 (1)
2

(với m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m  1 .
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

25