Rèn luyện kỹ năng giải 1 số dạng bài tập trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số

1. MỞ ĐẦU
Giải phương trình lượng giác là một nội dung trọng tâm trong Đại số và
Giải tích 11 cũng như chương trình toán học phổ thông nói chung. Trong một
vài năm lại đây, đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán chuyển sang
hình thức thi trắc nghiệm, dạng toán giải phương trình lượng giác ít xuất hiện,
thay vào đó là các phương trình lượng giác chứa tham số.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, phương trình lượng giác chứa
tham số chưa được đề cập nhiều, bài tập còn hạn chế. Khi học sinh gặp bài tập
dạng này thường tỏ ra lúng túng, chưa linh hoạt. Việc hệ thống các dạng bài tập
nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chứa tham số là cần thiết.
Vì vậy, tôi viết sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập trắc
nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số”.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Giải phương trình lượng giác chứa tham số giúp học sinh hiểu rõ bản chất,
có cái nhìn sâu sắc, tổng hợp, linh hoạt về phương pháp giải phương trình
lượng giác thường gặp. Qua đó cũng hạn chế tư duy máy móc, sự phụ thuộc
vào máy tính cá nhân hiện nay của học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài có đối tượng nghiên cứu là:
- Phương pháp dạy học môn Toán.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp khảo sát, thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu.
1.5 Những điểm mới của SKKN
-Hướng dẫn học sinh thành thạo giải bài toán về phương trình lượng giác cơ
bản chứa tham số; một số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham
số,thông qua hệ thống bài tập đa dạng.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận để đề xuất sáng kiến

Khi giảng dạy người giáo viên phải phát hiện ra những khó khăn mà học sinh
thường gặp trong giải phương trình lượng giác chứa tham số. Từ đó đưa ra giải
pháp giúp học sinh giải quyết những khó khăn đó.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
1


Phương trình lượng giác chứa tham số nhìn chung là một nội dung khó và phức
tạp. Nội dung phương trình lượng giác chứa tham số ít được đề cập đến trong
sách giáo khoa cũng như sách bài tập. Tài liệu, sách tham khảo về phương trình
lượng giác chứa tham số còn hạn chế. Các bài tập được đưa ra còn rời rạc và
chưa có tính hệ thống. Đồng thời, các dạng bài tập phần này khá đa dạng khiến
cho học sinh khó nắm bắt, lúng túng và khó khăn trong việc tìm hướng đi giải
quyết bài toán.
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống lý thuyết về hàm số lượng giác,
phương trình lượng giác cơ bản, một số phương trình lượng giác thường
gặp.
A. Các hàm số lượng giác: y = sinx; y = cosx;y = tanx; y = cotx
B. Các phương trình lượng giác cơ bản: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a
C. Một số phương trình lượng giác thường gặp
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
c. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
2.3.2 Giải pháp 2: . Rèn luyện kỹ năng giải một số phương trình lượng giác
thường gặp chứa tham số thông qua hệ thống ví dụ và các dạng bài tập.
Dạng 1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác chứa tham số
 Bài toán 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình lượng giác cơ
bản: f(x) = m với f(x) là một trong các hàm số lượng giác.
2

2
Ví dụ 1: Tìm tham số m để phương trình: ( m − 3m + 2 ) cos x = m ( m − 1) ( 1)

có nghiệm.
2
2
2
Giải: ( m − 3m + 2 ) cos x = m ( m − 1) ⇔ ( m − 1) ( m − 2 ) cos x = m ( m − 1) ;

+) Khi m = 1, phương trình có dạng: 0 = 0 luôn đúng ∀x ∈ ¡ , hay phương
trình có nghiệm ∀x ∈ ¡ .
+) Khi m = 2: phương trình có dạng: 0 = 2 (vô lý), suy ra phương trình vô
nghiệm.
2


+) Khi m ≠ 1, m ≠ 2: ( 1) ⇔ ( m − 2 ) cos 2 x = m ⇔ cos 2 x =
Khi đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤

m
( 2) .
m−2

m
≤ 1 ⇔ m ≤ 0 . Vậy phương trình
m−2

(1) có nghiệm khi m ≤ 0,m = 1 .
Ví dụ 2: Tìm m sao cho phương trình

2sin x − 1
= m có đúng hai nghiệm thỏa
sin x + 3

mãn 0 ≤ x ≤ π .
Giải:

Điều

kiện

sinx + 3 ≠ 0 luôn

đúng,

do

đó

ta

có:

pt ⇔ 2sin x − 1 = msin x + 3 ⇔ ( 2 − m ) sinx = 4 (1).
+) Với m = 2, phương trình có dạng: 0 = 4 (vô lý), vậy m = 2 không thỏa mãn.
+) Với m ≠ 2 , khi đó

( 1) ⇔ sin x =

4

.
2−m

Số nghiệm của phương

trình (1) chính là

số giao điểm của đồ thị

hàm số y = sinx

và đường thẳng y =

4
trên [ 0;π] . Dựa vào đồ thị, phương trình (1) có 2
2−m

nghiệm trên [ 0;π] khi và chỉ khi: 0 <

4
< 1 ⇔ m < −2 . Vậy với m < −2 thì
2−m

phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thỏa mãn 0 ≤ x ≤ π .
π

Ví dụ 3: Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình sin  2x − ÷ = m + 5 có
3

 π 3π 

nghiệm thuộc khoảng  ; ÷. Tìm tổng số các phần tử nguyên của S.
6 4 

3


π

Giải: Xét phương trình: sin  2x − ÷ = m + 5 ( 1) ; Số nghiệm của phương trình
3

π
 π 3π 

(1) trên khoảng  ; ÷ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin  2x − ÷ và
3
6 4 

 π 3π 
đường thẳng y = m + 5 trên khoảng  ; ÷. y = m + 5 là đường thẳng song
6 4 
song hoặc trùng với trục Ox.

Dựa

vào

đồ

thị

hàm

số,

phương

trình

(1)

có

nghiệm

khi

−1 ≤ m + 5 ≤ 1 ⇔ −6 ≤ m ≤ −4 , các giá trị nguyên của m thỏa mãn là – 6; – 5; –
4. Ta có tổng các phần tử nguyên của m thỏa mãn là – 15.
 Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx – m = 1
có nghiệm?
A. −2 ≤ m ≤ 0

B. m ≤ 0

C. m ≥ 1

Bài 2: Với giá trị nào của m để phương trình:

D. 0 ≤ m ≤ 1 .
π

3 cos  3x − ÷+ m − 1 = 0 có
4


nghiệm?
A. m < 1 − 3

B. m > 1 + 3

C. m ∈  − 3; 3 

D. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3 .

4


π

2
Bài 3: Phương trình sin  2x + ÷ = m − 3m + 3 vô nghiệm khi:
7

A. −1 < m < 0

B. −3 < m < −1

m < 1

C. 
m > 2

 m < −2
D. 
.
m > 0

Bài 4: Tìm m để phương trình 2cos x − m + 3 = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt
 3π 3π 
thuộc  − ;  ?
 2 2
A.3 < m < 5

B. 0 < m < 1

C. m = 1

m = 1
D. 
.
3
<
m
<
5


π
π 2



Bài 5: Để phương trình 4sin  x + ÷cos  x − ÷ = a + 3 sin 2x − cos 2x có
3
6


nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
A. −1 ≤ a ≤ 1

B. −2 ≤ a ≤ 2

1
1
C. − ≤ a ≤
2
2

D. −3 ≤ a ≤ 3 .

 Bài toán 2: Giải phương trình tích đưa về phương trình bậc nhất với
một hàm số lượng giác chứa tham số
Ví dụ 1: Cho phương trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( 1) . Tìm tham số
 π 3π 
m để phương trình có nghiệm trên khoảng  ; ÷.
2 2 
2
Giải: cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ⇔ 2cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0

1


cos
x
=
⇔ ( 2cosx − 1) ( cos x − m ) = 0 ⇔ 
2.

 cos x = m

5


Dựa vào đồ thị hàm số
y = cos x trên  π ; 3π ÷, ta thấy trên  π ; 3π ÷ phương trình cos x = 1 vô
2
2 2 
2 2 
 π 3π 
nghiệm. Do đó để phương trình (1) có nghiệm trên  ; ÷ thì phương trình
2 2 
 π 3π 
cos x = m có nghiệm trên  ; ÷. Từ đồ thị ta có: −1 ≤ m < 0 .
2 2 
2
Ví dụ 2: Cho phương trình: ( 1 − m ) tan x −

a) Giải phương trình khi m =

2
+ 1 + 3m = 0 ( 1) .

cos x

1
.
2

 π
b) Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên  0; ÷.
 2
Giải: Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ kπ . Ta có:
2

( 1) ⇔ ( 1 − m ) sin 2 x − 2cos x + ( 1 + 3m ) cos 2 x = 0
⇔ ( 1 − m ) ( 1 − cos 2 x ) − 2cos x + ( 1 + 3m ) cos 2 x = 0

⇔ 4m cos 2 x − 2cos x + 1 − m = 0 ⇔ m ( 4cos 2 x − 1) − ( 2cosx − 1) = 0
⇔ ( 2cos x − 1) ( 2m cos x + m − 1) = 0 ;

a) Khi m =

1
thì (1) trở thành:
2

( 2cos x − 1)  cos x −


1
1
π
=
0
⇔
cos
x
=
⇔
x
=
±
+ k2π ( k ∈ ¢ ) ( tm ) .
÷
2
2
3
6


 π
b) Nhận xét: Trên  0; ÷, phương trình thỏa mãn điều kiện xác định.
 2

1

cos
x
=

( *)
2
pt ⇔ 

 2mcos x = 1 − m ( **)
Ta có:
1
 π
Từ đồ thị ta có trên  0; ÷ phương trình cos x = có duy nhất một nghiệm.
2
 2
 π
Vậy để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên  0; ÷ thì phương trình
 2

( **) phải có ít nhất một nghiệm trên  0;


π
1
÷ với nghiệm thỏa mãn cos x ≠ .
2
2

+) Xét m = 0, pt có dạng 0 = 1 suy ra phương trình vô nghiệm.
+) Khi m khác 0 thì cos x =

1− m
 π
, vậy dựa vào đồ thị hàm số trên  0; ÷ thì

2m
 2

 π
2m cos x = 1 − m phải có ít nhất một nghiệm trên  0; ÷ với nghiệm thỏa mãn
 2

1
 1− m
< m <1
0
<
<
1

 3
1
2m
⇔
cos x ≠ khi: 
. Vậy
1
−
m
1
1
2

m ≠
≠

 2m

2
2

1
 3 < m < 1
.

1
m ≠

2

2
Ví dụ 3: Cho phương trình ( cos x + 1) ( cos 2x − m cos x ) = msin x . Phương

 2π 
trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn  0;  khi:
 3
7


A. m > −1

B. m ≥ −1

C. −1 ≤ m ≤ 1

D. −1 < m ≤

−1
.
2

Giải: pt ⇔ ( cos x + 1) cos 2x − m cos x + m ( cos x − 1)  = 0 ;
cos 2x = m ( 1)
⇔ ( cos x + 1) [ cos 2x − m ] = 0 ⇔ 
;
cos
x
=
−
1
2
(
)

 2π 
Phương trình (2) ⇔ x = π + k2π,k ∈ ¢ . Vì x ∈ 0;  nên không tồn tại k thỏa
 3
 2π 
mãn. Vậy phương trình (2) vô nghiệm trên  0;  . Do đó, để phương trình có
 3
 2π 
đúng hai nghiệm thuộc đoạn  0;  thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm
 3
 2π 
thuộc đoạn  0;  . Xét phương trình (1): cos 2x = m , đặt 2x = t với
 3

 2π 
 4π 
 4π 
x ∈ 0;  ⇒ t = 2x ∈ 0;  . Ta có đồ thị hàm số y = cos t trên  0;  :
 3
 3
 3

 4π 
Từ đồ thị ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt trên  0;  khi và chỉ khi
 3
−1 < m ≤

−1
. Vậy đáp án là D.
2

 Bài tập tương tự

8


Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
sin 2x + 3m = 2cos x + 3msin x ( *) có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng

( 0;π ) .
B. −1 < m ≤ 0 ;

A. −1 < m < 1

C.

−2 3
2 3
3
3

 −2 3

3
D. 
.

2 3
0 < m <
3


Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
 3π 
sin 2x + m = sinx + 2m cos x (*) có hai nghiệm thuộc đoạn  0;  .
 4
A. 0 ≤ m ≤

2
2

B. 0 ≤ m ≤

C. m = 1

D. m =

2
3
;m =
;m = 1 ;
2
2

3
.
2

2
Bài 3. Cho phương trình ( sin x + 1) ( sin 2x − msin x ) = m cos x . Tìm tập S tất

cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng
 π
 0; ÷.
 6

3
A. S =  0;
÷
2



B. S = ( 0;1)

 1
C. S =  0; ÷
 2


3
D. S =  −1;
÷.
2



Bài 4. Cho phương trình sin 2x + 2msin x = 4sin x . Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của m để phương trình trên có 11 nghiệm trên đoạn [ 0;5π] .
A. 1

B. 2

C.3

D. vô số.

9


Bài

5

Biết

rằng

m = m0

khi

2sin 2 x − ( 5m + 1) sin x + 2m 2 + 2m = 0

thì

phương

trình

có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc

 π

khoảng  − ;3π ÷. Mệnh đề nào sau đây là đúng:
 2

A. m 0 = −3

B. m 0 =

−1

2

3 7 
C. m 0 ∈  ; ÷
 5 10 

 3 −2 
D. m 0 ∈  − ; ÷.
 5 5 

Bài 6. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình

( sinx − 1) ( 2cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m ) = 0

[ 0;2π]

có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn

là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số.

Dạng 3: Phương trình bậc nhất với sinx và cosx chứa tham số
Ví dụ 1 : Với những giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm:

( m + 2 ) sinx + mcosx = 2 .
Giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a 2 + b 2 ≥ c2 nên ta có:

( m + 2)

2

 m ≤ −1
+ m 2 ≥ 4 ⇔ 2m 2 + 4m ≥ 0 ⇔ 
.
m
≥
0


Ví dụ 2: Cho phương trình ( 2k − 1) cos 2x + k sin 2 x = k − 1 . Tìm giá trị của k để
phương trình vô nghiệm.
Giải:

Phương

trình

đã

cho

vô

nghiệm

khi

và

chỉ

khi:

k ≤ 0
( 2k − 1) + k ≥ ( k − 1) ⇔  1 .
k≥

2
2

2

2

Ví dụ 3: Cho phương trình: a =

cosx + 2sin x + 3
với a là tham số. Gọi m, n lần
2cosx − sin x + 4

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a sao cho phương trình trên có nghiệm.
Tính giá trị của S = m 2 − 11n .
10

Giải:

( 2)
a=

2

Điều

2cos x − sin x + 4 ≠ 0

kiện:

luôn

đúng

với

mọi

x

do

+ ( −1) < ( −4 ) .
2

2

cosx + 2sin x + 3
⇔ (a + 2)sin x + (1 − 2a)cosx = 4a − 3 . Phương trình có
2cosx − sin x + 4
⇔ ( a + 2 ) + ( 1 − 2a ) ≥ ( 4a − 3) ⇔
2

nghiệm
S = 22 − 11.

2

2

2
≤a ≤2.
11

Do

đó

2
=2.
11

Ví dụ 4: Tìm giá trị m để phương trình: 2sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x = m có
nghiệm.
Giải:

 1 − cos 2x 
 1 + cos 2x 
2sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x = m ⇔ 2 
−
sin
x.cos
x
−
÷

÷= m
2
2




 1 + cos 2x 
⇔ 1 − cos 2x − sin x cos x − 
÷ = m ⇔ sin 2x + 3cos 2x = 1 − 2m .
2


Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
10 ≥ ( 1 − 2m ) ⇔ 2m 2 − 4m − 9 ≤ 0 ⇔
2

⇔

2 − 40

2 + 40
≤m≤
4
4

1 − 10
1 + 10
.
≤m≤
2
2

Ví dụ 5: Cho phương trình 2a sin x + ( a + 1) cos x =

a
, tìm a để phương
cos x

trình có nghiệm.
Giải: Điều kiện: cos x ≠ 0 . Ta có:
Pt ⇔ 2a sin x cos x + ( a + 1) cos 2 x = a,
⇔ a sin 2x +

( a + 1) ( cos 2x + 1)

=a ;
2
⇔ 2a sin 2x + ( a + 1) cos 2x = a − 1( 1)
11

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm
a ≤ −1
2
2
2
cosx ≠ 0. Trước hết, (1) có nghiệm khi ( 2a ) + ( a + 1) ≥ ( a − 1) ⇔ 
.
a ≥ 0
sin 2 x = 2sinxcosx = 0
Xét cos x = 0 thì 
được ( 1) ⇔ −a − 1 = a − 1 ⇔ a = 0 .
2
cos
2x
=
2cos
x
−
1
=
−
1

2
Thử lại, với a = 0 thì ( 1) ⇔ cos 2x = −1 ⇔ 2cos x = 0 ⇔ cos x = 0 , hay phương

tình có nghiệm duy nhất là cosx = 0. Do đó, giá trị a = 0 không thỏa mãn yêu
 a ≤ −1
 a ≤ −1


cầu đề bài. Như vậy, phương trình có nghiệm khi a ≥ 0 ⇔ 
.
a>0

a ≠ 0
Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình
sin 2 x + 2sinx − cosx − cos 2 x = msin 2 x có nhiều hơn một nghiệm trên đoạn

[ 0;2π] .
Giải:
sin 2 x + 2sinx − cosx − cos 2 x = msin 2 x

⇔ 2sin x cos x + 2sin x − cos x − cos 2 x − m ( 1 − cos 2 x ) = 0
⇔ ( cos x + 1)  2sin x + ( m − 1) cos x − m  = 0

;

cos x + 1 = 0 ( 1)
⇔
 2sin x + ( m − 1) cos x − m = 0 ( 2 )

Giải (1): cos x + 1 = 0 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, ( k ∈ ¢ ) . Trên đoạn [ 0;2π]
thì (1) có một nghiệm là x = π .
Giải (2): 2sin x + ( m − 1) cos x − m = 0 .

12


Để phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm trên đoạn [ 0;2π] thì:

2sin x + ( m − 1) cos x − m = 0 có nghiệm ⇔ 22 + ( m − 1) ≥ m 2 ⇔ m ≤
2

5
. Vậy
2

có hai giá trị nguyên dương m = 1, m = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
 Bài tập tương tự
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
cos x + sin x = 2 ( m 2 + 1) vô nghiệm.
A. m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

B. m ∈ [ −1;1]

C. m ∈ ( −∞; +∞ )

D. m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 0; +∞ ) .

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2018;2018] để
2
phương trình ( m + 1) sin x − sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm.

A. 4037

B. 4036

C. 2019

D. 2020.

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [– 10; 10] để
π
π


phương trình sin  x − ÷− 3 cos  x − ÷ = 2m vô nghiệm?
3
3


A. 21

B. 20

C. 18

D. 9

Bài 4. Tìm m để phương trình 2sin 2 x + msin 2x = 2m vô nghiệm?
A. m < 0,m ≥
C. 0 ≤ m ≤

4
3

4
3

B. m ≤ 0,m ≥

4
3

D. m < 0;m >

4
.
3

Bài 5. Tìm điều kiện để phương trình a sin 2 x + a sin x cos x + bcos 2 x = 0 với a
≠ 0 có nghiệm:
A. a ≥ 4b

B. a ≤ −4b

C.

4b
≤1
a

D.

4b
≤ 1.
a

13

Bài

6.

Tìm

tất

cả

các

giá

trị

của

m

để

bất

phương

trình

3sin 2x + cos 2x

≤ m + 1 đúng với mọi x ∈ ¡
sin 2x + 4cos 2 x + 1
A. m ≥

3 5
4

B. a ≥

3 5 +9
4

C. m ≥

65 − 9
2

D.

65 − 9
.
4

Dạng 4: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác hoặc một biểu
thức lượng giác chứa tham số
 Bài toán 1: Phương trình đưa về phương trình bậc hai với một hàm số
lượng giác
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị m nguyên dương để phương trình
4sin 2 2x + 8cos 2 x − 5 + 3m = 0 có nghiệm.
Giải: Ta có: 4sin 2 2x + 8cos 2 x − 5 + 3m = 0 ;

1 + cos 2x
− 5 + 3m = 0
2
;
⇔ −4cos 2 2x + 4cos 2 x + 3 + 3m = 0
⇔ 4 ( 1 − cos 2 2x ) + 8

⇔ 4cos 2 2x − 4cos 2x − 3 = 3m
Đặt t = cos 2x ( t ≤ 1) , khi đó phương trình có dạng: 4t 2 − 4t − 3 = 3m . Xét bảng
biến thiên của hàm số y = 4t 2 − 4t − 3 trên [ −1;1] :
t

–∞

−1

1
2

5
f(t)

1

+∞

–3
−4

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm

m = −1
+ 
−4
5 m∈¢ 
⇔ −4 ≤ 3m ≤ 5 ⇔
≤ 3m ≤ ⇔ m − 0 ;

3
3
 m = 1
Vậy m = ±1;m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

14


Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
 π
cos 4 x + 6sinxcosx = m ( 1) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn  0;  .
 4
Giải: Ta có:

( 1) ⇔ 1 − 2sin 2 2x + 3sin 2x = m ( 1' ) .

Với

 π
x ∈ 0;  , đặt
 4

t = sin 2x, t ∈ [ 0;1] . Khi đó ( 1') ⇔ −2t 2 + 3t + 1 = m ( 1") . (1) có hai nghiệm phân

 π
biệt trên đoạn  0;  khi và chỉ khi (1”) có hai nghiệm phân biệt trên [ 0;1] . Xét
 4
bảng biến thiên của hàm số y = −2t 2 + 3t + 1 trên đoạn [ 0;1] :
t

0

–∞

f(t)

3
4
17
8

1

1

+∞

2

Từ bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương 2 ≤ m ≤

17
.
8

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
tan x + m cot x = 8 có nghiệm.
Giải:
cos x ≠ 0
kπ
⇔x≠
( k ∈¢) ;
Điều kiện xác định: 
sin
x
≠
0
2

Pt ⇔ tan x +

m
= 8 ⇔ tan 2 x − 8tan x + m = 0 ⇔ tan 2 x − 8tan x = −m ;
tan x

Đặt t = tanx , phương trình có dạng: t 2 − 8t = −m , xét bảng biến thiên của hàm
số y = t 2 − 8t :
t

–∞

4

+∞

15


y

+∞

+∞
– 16

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi −m ≥ −16 ⇔ m ≤ 16 .
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 2sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm
 π π
x ∈ − ;  .
 2 2
A. −3 ≤ m ≤ 1

B. −2 ≤ m ≤ 6

C. 1 ≤ m ≤ 3

D. −1 ≤ m ≤ 3 .

x
 π π
Giải: Đặt t = tan , để x ∈  − ;  thì t ∈ [ −1;1] . Khi đó PT có dạng:
2
 2 2
2

2t
1 − t2
+
m
= 1 − m ⇔ 4t + m − mt 2 = 1 − m + ( 1 − m ) t 2 ⇔ t 2 − 4t + 2 = 2m
2
2
1+ t
1+ t
.
−1

t

1

6
y
–2
 π π
Vậy để phương trình 2sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm x ∈  − ;  thì
 2 2
−2 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .
4
4
Ví dụ 5: Cho phương trình 2 ( sin x + cos x ) + cos 4x + 2sin 2 x + m = 0 . Tìm

 π
m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  0;  .

 2
Giải: Ta có:
 1

pt ⇔ 2 1 − sin 2 2x ÷+ ( 1 − 2sin 2 2 ) + 2sin 2 x + m = 0
 2

;
2
⇔ 2 − sin 2x + 1 − 2sin 2 2x + 2sin 2x + m = 0
⇔ m = 3sin 2 2x − 2sin 2x − 3
Đặt sin 2x = t với: 0 ≤ x ≤

π
⇔ 0 ≤ 2x ≤ 2π ⇒ 0 ≤ sin 2x ≤ 1 hay t ∈ [ 0;1] ;
2
16


2
Xét hàm số f ( t ) = 3t − 2t − 3 trên [0; 1]:

t

1
3

0

–∞

–3

1

+∞

–2
−10
3

f(t)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi −

10
≤ m ≤ −2 .
3

Ví dụ 6: Cho phương trình cos 4x = cos 2 3x + msin 2 x , tìm các giá trị của tham
 π
số m để phương trình có nghiệm trên khoảng  0; ÷.
 12 
Giải: Ta có:
1
m
( 1 + cos6x ) + ( 1 − cos 2x )
2
2
2

3
⇔ 2 ( 2cos 2x − 1) = 1 + 4cos 2x − 3cos 2x + m ( 1 − cos 2x )
Pt ⇔ cos 4x =

⇔ 4cos 2x − 4cos 2x − ( 3 + m ) cos 2x + m + 3 = 0
3

;

2

⇔ ( cos 2x − 1) ( 4cos 2 2x − m − 3) = 0

 3 
 π
 π
;1÷. Khi đó:
Đặt cos2x = t. Ta có: x ∈  0; ÷ ⇔ 2x ∈  0; ÷⇒ cos 2x = t ∈ 
 12 
 6
 2 
pt ⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − m − 3) = 0
⇔ 4t 2 − m − 3 = 0 ( do t ≠ 1)
⇔ 4t 2 − 3 = m
t

f(t)

–∞

0

3
2

1

+∞

1

0

Vậy với 0 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 Bài toán 2: Phương trình đối xứng với sinx và cosx
17


Ví

dụ

1:

Tìm

giá

trị

của

tham

số

m

để

phương

π

sin 2x + 2 sin  x + ÷− 2 = 0 có đúng một nghiệm thực thuộc khoảng
4


trình

 3π 
 0; ÷
 4 

.
Giải
π
π
π
 3π  π



x ∈  0; ÷⇒ < x + < π ⇒ 0 < sin  x + ÷≤ 1 ⇒ 0 < 2 sin  x + ÷≤ 2 ;
4
4
4
 4  4


Mặt khác:

π

2 sin  x + ÷ = sinx + cosx .
4


Đặt

(

sinx + cosx = t, t ∈ 0; 2  ⇒ sin 2 x + cos 2 x + 2sin x.cos x = t 2 ⇒ sin 2x = t 2 − 1 .
2
2
Phương trình đã cho trở thành t − 1 + t − 2 = m ⇔ t + t − 3 = m ( *) . Xét

(

f ( t ) = t 2 + t − 3, t ∈ 0; 2  . Ta có bảng biến thiên:
0

2

t
2 −1
f(t)

–3

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm t.
π

Mặt khác xét t = 2 sin  x + ÷ thì để pt đã cho có đúng một nghiệm thực x
4

t = 2
 3π 
thuộc khoảng  0; ÷ thì: 
.
 4 
0 < t ≤ 1

18


Dựa vào đồ thị ta suy ra điều cần chứng minh)
Với t = 2 thay vào phương trình (*): m = 2 + 2 − 2 ⇔ m = 2 − 1∉ ¢ .
Với 0 < t ≤ 1 , ta có bảng biến thiên:
0

1

t
f(t)

−1
–3

Vậy −3 < m ≤ −1 suy ra có 2 giá trị nguyên của m là – 2 và – 1.
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
π
π
π



4sin 3x sin x + 4cos  3x − ÷cos  x + ÷− cos 2  2x + ÷+ m = 0 .
4
4
4



π
π
π


2
Giải: 4sin 3x sin x + 4cos  3x − ÷cos  x + ÷− cos  2x + ÷+ m = 0 ;

4
4
4




π
 1
π 


⇔ 2 ( cos 2x − cos 4x ) + 4  cos  2x − ÷+ cos 4x ÷− 1 + cos  4x + ÷÷+ m = 0
2
2 



 2
1
1
⇔ 2 ( cos 2x + sin 2x ) + sin 4x + m − = 0
2
2
1
⇔ 2 ( cos 2x + sin 2x ) + sin 2x cos 2x + m − = 0 ( 2 )
2
π

Đặt t = cos 2x + sin 2 x = 2 cos  2x − ÷ − 2 ≤ t ≤ 2 . Khi đó:

4


(

)

t2 −1
.
t = 1 + 2sin 2x cos 2x ⇒ sin 2 xcos 2 x =
2
2

19


Phương trình (1) trở thành t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 ⇔ t 2 + 4t = 2 − 2m . Xét bảng
biến thiên hàm số y = t 2 + 4t với − 2 ≤ t ≤ 2 .
t

–∞

−2

− 2

2

+∞

2+4 2

y(t)

2−4 2

Từ bảng biến thiên, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi :
2 − 4 2 ≤ 2 − 2m ≤ 2 + 4 2 ⇔ −2 2 ≤ m ≤ 2 2 .
Ví dụ 3: Cho phương trình
2cos 2x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = m ( sin x + cos x ) ,
 π
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc  0;  .
 2
2
2
Giải: PT ⇔ 2 ( cos x − sin x ) + sin x cos x ( sin x + cos x ) = m ( sin x + cos x )

π

sin
x
+
cos
x
=
0
⇔
x
=
−

+ kπ,k ∈ ¢
⇔
4
;

 2 ( cos x − sin x ) + sin x cos x = m ( 1)
1 − t2
Đặt cos x − sin x = t, t ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
;
2

( 1) ⇔ 2t +

1 − t2
= m ⇔ − t 2 + 4t + 1 = 2m .
2

Với điều kiện 0 ≤ x ≤

π
−π
+ kπ,k ∈ ¢ không thỏa mãn. Do đó
thì nghiệm x =
2
4

 π
ta cần phương trình (1) có nghiệm trong khoảng  0;  .
 2

20


( 1) ⇔ 2m = f ( t ) = − t 2 + 4t + 1 .
Với 0 ≤ x ≤

π

Trong đó, t = cos x − sin x = 2 cos  x + ÷.
4


π
π 3π
1
π 1
π

⇒ ≤x+ ≤
⇒−
≤ cos  x + ÷≤
⇒ −1 ≤ t ≤ 1 . Xét
4
4 4
4
2
2
4


2
hàm số f ( t ) = − t + 4t + 1 với −1 ≤ t ≤ 1 , ta có bảng biến thiên:

t

–1

1
4

f(t)
–4
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi −2 ≤ m ≤ 2 .
2.4 Hiệu quả của sáng kiến.
Việc hệ thống hóa các kiến thức của chương, giúp học sinh có cái nhìn tổng
quan, thấy được sự liên hệ giữa các kiến thức. Khi sử dụng lý thuyết trong bài
tập học sinh đã có sự linh hoạt trong tư duy.
Nhờ sự phân dạng các bài tập một cách có hệ thống, có sự liên kết với những
kiến thức học sinh đã học, các ví dụ với hình thức hỏi đa dạng tạo được sự
hứng thú, sôi nổi trong học tập của học sinh.
Kết quả bài kiểm tra viết ở hai lớp 11B2,11B3 năm học 2018-2019
Kết quả thực nghiệm
Loại
nhóm

Thực
nghiệm
Đối

Số

Lớp

11B2

HS

24

Trung

Yếu, kém

Giỏi
Số
%

Khá
Số
%

bình
Số
%

Số

HS

HS

HS

HS

8

33,3

8

33,3

6

25

2

%

8,4

11B3 43
1
2,3
2
4,7
13 30,2 12 28
chứng
3. KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT

3.1 Kết luận:
Sáng kiến này có thể làm tài liệu tham khảo tốt để giảng dạy phụ đạo bổ sung
kiến thức cho học sinh, trong ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia.
3.2 Đề xuất:
21


+Về phía học sinh: Học sinh phải tự giác, nhiệt tình và có khả năng phát huy
tính tích cực, chủ động trong học tập. Tăng cường việc tự học và tìm ra phương
pháp học tập phù hợp cho bản thân.
+Về phía giáo viên: Giáo viên phải có lòng nhiệt tình, sự chuẩn bị công phu
trước khi lên lớp, có phương pháp truyền đạt dễ hiểu và vai trò tổ chức, điều
khiển học sinh học tập. Bên cạnh đó, giáo viên cần phải trau dồi thêm kiến thức
về Internet, áp dụng các thủ pháp dạy học hiện đại để giúp học sinh tiếp cận với
kiến thức mới một cách tích cực, chủ động đồng thời giúp các em học Toán với
sự vui vẻ, tích cực và hiệu quả.
+ Về phía nhà trường:Đổi mới công tác quản lý, chú trọng đến công tác bồi
dưỡng mũi nhọn,khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa ngày 10 tháng5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Phan Thị Yến

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11. NXB Giáo dục 2007.
2. Vũ Tuấn (Chủ biên): Bài tập đại số và giải tích 11. NXB Giáo dục 2007.
3. Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí: Phương pháp giải toán lượng
giác. NXB Hà Nội 2008.
4. Trần Bá Hà: Phân dạng và phưng pháp giải các dạng bài tập trắc nghiệm.
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2017.
5. Đặng Việt Đông: Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác.
6. Toanmath.com: 232 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác có đáp án.
23


24


25