Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 khắc phục một số sai một số sai lầm khi giải bài tập tổ hợp – xác suất

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Tổ hợp – Xác suất chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán
THPT. Nội dung về tổ hợp, xác suất được trình bày trong chương trình giải tích
11. Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song tổ hợp xác suất là nội dung luôn
xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT
Quốc gia.
Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần tổ hợp, xác suất tôi đã phát
hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào,
phương pháp nào, không có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm trong việc giải
dẫn đến kết quả sai. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thyết, chưa
phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải. Do đó, hướng dẫn hoc sinh khắc
phục một số sai lầm khi giải một số bài tập chương II Đại số và Giải tích 11 là
một yêu cầu cần thiết. Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng
như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa
chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 3 khắc
phục một số sai lầm khi giải bài tập Tổ hợp – Xác suất” với mong muốn trang
bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó đưa ra một số kỹ
năng giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn, chặt chẽ hơn bằng kiến thức cơ bản
đã học góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh
trong các kỳ thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán, hạn chế sai lầm trong
bài làm. Từ đó cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi
THPT Quốc gia;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Sáng kiến được nghiên cứu đối với các bài tập về đại số tổ hợp trong
chương trình đại số và giải tích lớp 11 và được áp dụng đối với học sinh lớp
11A6, 11A7 năm học 2019 - 2020. Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một

số ví dụ điển hình cho một số dạng toán mà học sinh thường hay mắc sai lầm để
phân tích, chỉ ra các sai lầm.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11;
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
1


- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm.
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1. Quy tắc cộng: Một công việc được thực hiện bởi một trong hai hành
động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách
thực hiện và không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công
việc đó có m+n cách hoàn thành.
2.2.2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên
tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n
cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

( n ≥ 1)

2.1.3. Hoán vị: Cho tập A gồm n phần tử
. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ
tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu:

Pn = n ! = n ( n − 1) ( n − 2 ) ....3.2.1

. Quy ước 0!=1

( n ≥ 1)

2.1.4. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử
. Kết quả của việc lấy ra k
phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp theo một thứ tự nào đó
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Ank =

Kí hiệu:

n!
= n ( n − 1) ... ( n − k + 1)
( n − k)!

; Ann = Pn

( n ≥ 1)

2.1.5. Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử
.Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Cnk =

Kí hiệu:
Tính chất
1; Cnk = Cnn −k

n!
k !( n − k ) !

2; Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk

( 1 ≤ k ≤ n)

3; Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2 n

2.1.6. Nhị thức Niu-tơn
Công thức khai triển:

( a+b )

n

n

= ∑ Cnk a n − k b k = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ... + Cnk a n −k b k + ...Cnn −1ab n −1 + Cnnb n
k =0

Số hạng tổng quát:
2.1.7. Xác suất

Tk +1 = Cnk a n − k b k

2


- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó
mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.
- Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu
Ω

.
- Biến cố là tập con của không gian mẫu.
- Tập
- Tập

Ω
∅

\A là biến cố đối của biến cố A. kí hiệu
là biến cố không thể, tập

- Hợp của hai biến cố

A∪B

A∩ B = ∅

Ω

A

.

là biến cố chắc chắn.

, giao của hai biến cố

A∩ B

, hai biến cố xung khắc

- Các công thức về xác suất
P ( A) =

+ Định nghĩa:
không gian mẫu.
+
+
+

n ( Ω)

P( A ∪ B ) = P( A) + P( B)

P ( AB ) = P ( A).P ( B )

n ( A)

,

n ( A)

số phần tử của tập A,

n ( Ω)

số phần tử của

(công thức cộng): Nếu A, B xung khắc

(công thức nhân) : Nếu A, B độc lập

P ( A ) = 1 - P( A)

P ( ∅ ) = 0 , P ( Ω ) = 1 , 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, ∀A

+
2.2. Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia
chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán tổ hợp, xác suất
thường hay xuất hiện, với mục đích của nhà giáo dục dành cho những học sinh
có học lực khá, giỏi. Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần tổ hợp, xác
suất tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách
giải nào, phương pháp nào, không có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm trong
việc giải dẫn đến kết quả sai. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý
thyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải. Đặc biệt hiện nay thi
trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm. Do đó,
hướng dẫn hoc sinh khắc phục một số sai lầm khi giải một số bài tập chương II
Đại số và Giải tích là một yêu cầu cần thiết.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3


- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán tổ hợp,

xác suất.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
- Trong mỗi bài toán tổ hợp xác suất đều yêu cầu học sinh thực hiện phân
tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán.
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
* Cụ thể:
Trong quá trình làm bài tập học sinh thường nhớ cách làm các dạng bài
tập. Tuy nhiên, học sinh lại không hay chú ý đến điều kiện của bài toán nên
thường xét thiếu hoặc thừa các trường hợp, dẫn đến những sai lầm khi giải toán.
Ta xét 2 ví dụ tương tự sau:
A = { 1; 2;3; 4}

Ví dụ 1: Cho tập hợp
có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần.
Cách 1:
- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta chỉ cần viết số có 4 chữ số sau đó chèn thêm
số 1 vào bất cứ vị trí nào. Ta có 5 vị trí để chèn thêm số 1.
abcd

- Gọi số có 4 chữ số khác nhau là
.
- Chữ số a có 4 cách viết, chữ số b có 3 cách viết, chữ số c có 2 cách viết, chữ số
d có 1 cách viết nên có

4.3.2.1 = 24

số có 4 chữ số khác nhau.

5.24 = 120

Vậy có
số thỏa mãn yêu cầu.
Cách 2:
- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta coi tập hợp A có hai số 1 và mỗi chữ số chỉ
xuất hiện một lần. Vậy tập hợp A có 5 phần tử.
abcde

- Gọi số cần tìm là
.
- Chữ số a có 5 cách viết, chữ số b có 4 cách viết, chữ số c có 3 cách viết, chữ số
d có 2 cách viết, chữ số e có 1 cách viết.
Vậy có

5.24 = 120

số thỏa mãn yêu cầu.

A = { 0;1; 2;3}

Ví dụ 2: Cho tập hợp
có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần.
4


Cách 1:
- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta chỉ cần viết số có 4 chữ số sau đó chèn thêm
số 1 vào bất cứ vị trí nào. Ta có 5 vị trí để chèn thêm số 1.

abcd , a ≠ 0

- Gọi số có 4 chữ số khác nhau là
.
- Chữ số a ≠ 0 nên có 3 cách viết, chữ số b có 3 cách viết, chữ số c có 2 cách
viết, chữ số d có 1 cách viết nên có

3.3.2.1 = 18

số có 4 chữ số khác nhau.

5.18 = 90

Vậy có
số thỏa mãn yêu cầu.
Cách 2:
- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta coi tập hợp A có hai số 1 và mỗi chữ số chỉ
xuất hiện một lần. Vậy tập hợp A có 5 phần tử.
abcde

- Gọi số cần tìm là
.
- Chữ số a ≠ 0 nên có 4 cách viết, chữ số b có 4 cách viết, chữ số c có 3 cách
4.4.3.2.1 = 96

viết, chữ số d có 2 cách viết, chữ số e có 1 cách viết nên có
số thỏa
mãn yêu cầu.
Bình luận: Hai ví dụ trên tương tự nhau, nhưng cách giải 1 lại cho hai kết quả
khác nhau. Nguyên nhân là vì học sinh đã xét thiếu trường hợp a = 0 như 0123

và chèn số 1 đứng đầu thành 10123 vẫn tthỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua đó giáo
viên định hướng cho học sinh lựa chọn cách giải phù hợp. Và rèn cho học sinh
cách khai thác giả thiết của bài bằng những câu hỏi gợi ý giúp học sinh định
hướng cách giải như: Nếu như coi hai chữ số 1 là khác nhau thì tập hợp số ban
đầu sẽ thay đổi như thế nào? Khi đó a sẽ có bao nhiêu cách chọn?.
Trong nhiều trường hợp học sinh chưa phân biệt rõ khái niệm quy tắc
cộng và quy tắc nhân, tổ hợp và chỉnh hợp nên áp dụng sai công thức hoặc thực
hiện sai cách giải. Ta xét ba ví dụ sau:
Ví dụ 3: Một lớp có 15 học sinh nam, 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn
một đội văn nghệ gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ.
Sai lầm thường gặp:
2
C10
= 45

- Chọn 2 nữ trong số 10 học sinh nữ có:
cách chọn.
- Vì chọn có ít nhất 2 nữ nên chỉ cần chọn 3 học sinh bất kỳ trong số 23 học sinh
3
C23
= 1771
còn lại có
cách chọn.
- Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là
Lời giải đúng:

2
3
C10
C23

.

= 79695 cách.

5


Vì chọn đội có 5 học sinh trong đó có ít nhất 2 học sinh nữ nên ta có các
khả năng sau:
- Trường hợp 1: Chọn 2 nữ, 3 nam có
- Trường hợp 2: Chọn 3 nữ, 2 nam có
- Trường hợp 3: Chọn 4 nữ, 1 nam có
- Trường hợp 4: Chọn 5 nữ có

2
3
C10
.C15
= 20475
3
2
C10
.C15
= 12600
4
1
C10
.C15
= 3150

5
C10
= 252

cách.
cách.

cách.

cách.

2
3
C10
.C15

3
2
C10
.C15

4
1
C10
.C15

5
C10

- Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là
+
+
+
= 30477
cách.
Bình luận: Trong bài toán này, học sinh học sinh đã thực hiện chọn liên tiếp
theo thứ tự nên có những trường hợp chọn được các học sinh trùng nhau như:
Cách chọn thứ nhất chọn 2 học sinh nữ A, B và chọn 3 học sinh còn lại là C, D,
E thì ta chọn được 5 học sinh là A, B, C, D, E thỏa mãn yêu cầu. Cách chọn thứ
hai chọn được hai học sinh nữ B, C và chọn được 3 học sinh còn lại là A, D, E
thì ta chọn được 5 học sinh là A, B, C, D, E thỏa mãn yêu cầu. Như vậy hai cách
chọn này trùng có các học sinh như nhau. Vì vậy giáo viên cần giải thích rõ cho
học sinh sự khác nhau giữa việc thực hiện liên tiếp và thực hiện đồng thời là
khác nhau. Đồng thời có những định hướng cụ thể để học sinh nắm rõ được cách
giải quyết bài toán.
Ví dụ 4: Lớp 11A có 15 học sinh nữ, 17 học sinh nam. Nhà trường tổ chức thi
khiêu vũ giữa các lớp. Giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 3 cặp tham
gia thi khiêu vũ, mỗi cặp có 1 nam, 1 nữ.
Sai lầm thường gặp:
Cách 1:
- Mỗi cách chọn 3 học sinh nam trong 17 học sinh nam để ghép cặp với 3 học
3
A17
= 4080
sinh nữ là một chỉnh hợp chập 3 của 17, nên số cách chọn 3 nam là
cách.
- Mỗi cách chọn 3 học sinh nữ trong 15 học sinh nữ để ghép cặp với 3 học sinh
3
A15

= 2730
nam là một chỉnh hợp chập 3 của 15, nên số cách chọn 3 nữ là
cách.
- Theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia thi là:
cách.
Cách 2:

3
3
A17
. A15

= 11138400

6


- Chọn cặp thứ nhất là chọn 1 nam trong số 17 nam và chọn 1 nữ trong số 15 nữ
1
1
C17
. C15
nên có
= 255 cách chọn.
- Chọn cặp thứ hai có
- Chọn cặp thứ ba có

1
1
C16

. C14
1
1
C15
. C13

- Theo quy tắc nhân có
Lời giải đúng:

= 224 cách chọn.
= 195 cách chọn.

1
1
1
1
C17
. C15
C16
. C14

.

+

1
1
C15
. C13

= 11138400 cách.

- Số cách chọn 3 học sinh nam bất kỳ trong 17 học sinh nam là:

3
C17
= 680

cách.

3
C15
= 455

- Số cách chọn 3 học sinh nữ bất kỳ trong 15 học sinh nữ là:
cách.
- Sáu học sinh được chọn trên xếp thành 3 cặp thỏa mãn yêu cầu có 3! cách xếp.
3
3
C17
. C15

- Theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia thi là:
= 309400
cách.
Bình luận: Trong bài toán này cả hai cách có kết quả trùng nhau nhưng chưa
phải là kết quả đúng. Vì ở cách giải 1 học sinh đã hiểu sai về việc chọn học sinh
sau đó ghép thành các cặp đôi là việc sắp thứ tự nên đã sử dụng chỉnh hợp. Ở
cách giải hai học sinh đã thực hiện liên tiếp các hành động nhưng hành động sau
phụ thuộc vào hành động trước nên có những trường hợp bị trùng lặp nhau như:

cách chọn thứ nhất chọn được ba cặp theo thứ tự là (1, a), (2, b), (3, c), cách
chọn thứ hai lại chọn được ba cặp theo thứ tự là (3, c), (2, b), (1, a) thì hai cách
chọn này bị trùng lặp.
A = { 0;1; 2;3; 4;5}

Ví dụ 5: Cho tập hợp
, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Sai lầm thường gặp:
- Vì số cần lập có 3 chữ số và phải có mặt chữ số 5 nên chữ số 5 có 3 vị trí để
A52 = 20
{ 0;1; 2;3; 4;5}
xếp. Hai vị trí còn lại được chọn trong 5 chữ số là
nên có
cách.
5.20 = 100

- Theo quy tắc nhân có
số thỏa mãn.
Trong bài toán này học sinh đã mắc sai lầm khi chữ số 5 không đứng đầu
thì chữ số a có thể là chữ số 0 nên tạo được số không thỏa mãn như 054 chẳng
hạn.

7


Lời giải đúng:
- Gọi số cần tìm là
- Trường hợp 1:
đó có

5.4 = 20

abc

a = { 5}

, a ≠0.
thì chữ số b có 5 cách chọn, chữ số c có 4 cách chọn. Do

số thỏa mãn.
a ≠ { 5}

- Trường hợp 2:
thì chữ số a có 4 cách chọn. Chữ số c có 4 cách chọn. Vì
chữ số 5 phải có mặt nên chữ số 5 phải được gán cho a hoặc c nên có 2! Cách
gán. Vậy số các chọn khi

a ≠ { 5}

là:

4.4.2! = 32

số.

20 + 32 = 52

- Theo quy tắc cộng có
số thỏa mãn yêu cầu.

Bình luận: Trong các bài toán xác suất học sinh cũng có những sai lầm tương tự
nên giáo viên vẫn phải có những lưu ý cho học sinh khi làm bài. Không những
thế học sinh còn tính sai về không gian mẫu, không nắm vững về xác suất của
biến cố đối, không xét hết các trường hợp xảy ra. Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 6 (Bài 5 trang 76 ĐS> 11): Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ
ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Lời giải:
a) Gọi A là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo
hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”
Sai lầm thường gặp:
Cách 1:
n(Ω) = 6! = 720

- Ta có
- Các bạn nam ngồi 3 vị trí ghế chẵn có 3 cách xếp.
- Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế lẻ có 3 cách xếp hoặc ngược lại nên có 2.3.3 = 18
cách xếp.
P ( A) =

- Xác xuất cần tìm là:
Cách 2:

18
1
=
720 40

.

8


- Các bạn nam ngồi 3 vị trí ghế chẵn có 3! cách xếp. Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế
lẻ có 3! cách xếp nên có 3!.3! = 36 cách xếp. Xác xuất cần tìm là:
P( A) =

36
1
=
720 20

Lời giải đúng:
Các bạn nam ngồi 3 vị trí ghế chẵn có 3! cách xếp. Các bạn nữ ngồi 3 vị trí
ghế lẻ có 3! cách xếp hoặc ngược lại nên có 2.3!.3! = 72 cách xếp. Xác xuất cần
P( A) =

72
1
=
720 10

tìm là:
Bình luận: Trong trường hợp này học sinh có sai lầm là không hoán vị chỗ ngồi
của các học sinh nam và các học sinh nữ.
b) Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”
Sai lầm thường gặp:
- Các bạn nam ngồi 3 ghế liền nhau nên có 3! cách xếp.

- Các bạn nữ ngồi 3 ghế còn lại nên có 3! cách xếp ⇒ có 3!x3! = 36 cách xếp.
P ( A) =

36
1
=
720 20

- Xác xuất cần tìm là:
.
Lời giải đúng:
Cách 1:
- Mỗi cách xếp 3 bạn nam ngồi 3 ghế liền nhau có 3! cách xếp. Có 4 vị trí để có
thể xếp 3 nam liền nhau ⇒ Số cách xếp bạn nam là 4,3!.
- Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế còn lại có 3! cách xếp.
Vậy có 4.3!.3! = 144 cách xếp thỏa mãn yêu cầu.
P( B ) =

144 1
=
720 5

- Xác xuất cần tìm là:
.
Cách 2:
- Mỗi cách xếp 3 bạn nam ngồi 3 ghế liền nhau có 3! cách xếp. Coi mỗi cách
xếp 3 nam vào 3 vị trí là một khối.
- Ta có 3 vị trí để sắp xếp chỗ ngồi cho 3 nữ và 1 vị trí để sắp xếp chỗ ngồi cho 1
khối nam nên có 4! cách xếp.
Do đó, có 3! . 4! = 144 cách xếp thỏa mãn yêu cầu.

P( B ) =

- Xác xuất cần tìm là:

144 1
=
720 5

.

9


Bình luận: Sai lầm là học sinh chỉ xếp nam cố định ở 1 vị trí nào đó không thực
hiện hoán vị gia các vị trí đề 3 nam xếp liền nhau. Vì vậy trong trường hợp này
giáo viên có thể vẽ sơ đồ chỗ ngồi để học sinh dễ hình dung và xác định số cách
sắp xếp dễ dàng hơn.
Ví dụ 7 (Bài 6 trang 74 ĐS>11): Từ cỗ bài tú lơ khơ có 52 con, rút ngẫu
nhiên cúng lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:
b) Được ít nhất một con át.
Sai lầm thường gặp: Học sinh hiểu sai đề bài chỉ lấy một con át hoặc không sử
dụng biến cố đối nên bài giải rất dài và dễ bỏ xót các trường hợp. Dạng bài này
giáo viên nên luyện tập nhiều để học sinh hình thành kỹ năng xét biến cố đối.
Lời giải đúng:
4

- Ta có

n(Ω) = C 52

- Gọi A là biến cố “rút 4 con được ít nhất một con át” ⇒

A

là biến cố “rút 4 con

4

P( A) = C 48
≈ 0, 72
4

4

không được con át” ⇒

n( A) = C 48

C

⇒

P( A) = 1 − n( A) ≈ 0, 28

- Xác xuất cần tìm là:
c) Được hai con át, hai con K.
Sai lầm thường gặp:
Cách 1:

52

.

4

- Ta có

n(Ω) = C 52

- Khả năng rút được 2 con át trong 4 con át là:
- Khả năng rút được 2 con K trong 4 con K là:

C

2

C

2

4

4

⇒ Khả năng rút được 2 con K và 2 con át là:
2

C +C
C
4

4

- Xác suất cần tìm là:
Cách 2:

52

2
4

=

C

2
4

+

C

2
4

12
270725

- Xác suất rút được một con át trong 4 con át của bộ bài 52 con là:

4
52

10


- Xác suất rút được một con át trong 3 con át còn lại của bộ bài là:

3
51

- Xác suất rút được một con K trong 4 con K của bộ bài còn lại 50 con là:
- Xác suất rút được một con K trong 3 con K còn lại của bộ bài là:
- Vậy xác suất cần tìm là
Lời giải đúng:

4 3 4 3
52 51 50 49

.

.

.

=

4
50

3
49

6
270725

4

- Ta có

n(Ω) = C 52

- Khả năng rút được 2 con át trong 4 con át là:
- Khả năng rút được 2 con K trong 4 con K là:

C

2

C

2

4

4

⇒ Khả năng rút được 2 con K và 2 con át là:
2

C .C
C
4

4

52

2
4

=

2

2

4

4

C .C

= 36

36
270725

- Xác suất cần tìm là:
Bình luận: Trong cách giải 1 học sinh nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc

nhân, ở cách giải 2 học sinh nhầm lẫn khi sử dụng công thức nhân xác suất.
Ví dụ 8 (Bài 9 trang 77 ĐS>11): Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác
suất sao cho hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
Sai lầm thường gặp:
n(Ω) = 36

- Ta có
- Kí hiệu một kết quả gieo là (ai, aj). Vì hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn
i, j = {2; 4;6}

nên
. Như vậy i có 3 khả năng xuất hiện, j có 3 khả năng xuất hiện.
Do đó có 3.3 = 9 khả năng cả 2 con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
- Xác suất cần tìm là:
Lời giải đúng:

9 1
=
36 4

11


n(Ω) = 21

- Ta có
- Vì gieo đồng thời nên không có thứ tự. Vì hai con súc sắc đều xuất hiện mặt
chẵn nên mỗi con có 3 khả năng xảy ra. Như vậy có 6 khả năng cả 2 con súc sắc
đều xuất hiện mặt chẵn.
6 2

=
21 7

- Xác suất cần tìm là:
Bình luận: Mặc dù ví dụ này không dạy trong chương trình nhưng giáo viên
cũng nên giới thiệu để những học sinh đọc các tài liệu tham khảo khác có thể
hiểu và vận dụng làm các bài tập trong chương trình tốt hơn. Trong ví dụ này
học sinh đã nhầm lẫn giữa việc gieo một con súc sắc hai lần với việc gieo đồng
thời hai con súc sắc nên đã tính sai không gian mẫu. Ở đây việc gieo một con
súc sắc hai lần là có thứ tự như lần 1 mặt 2 chấm, lần 2 mặt 4 chấm với lần một
mặt 4 chấm, lần hai mặt 2 chấm thì kết quả (2, 4) và (4, 2) là khác nhau. Việc
gieo đồng thời hai con súc sắc là không có thứ tự như một con có mặt 2 chấm,
một con có mặt 4 chấm thì kết quả (2, 4) và (4, 2) là như nhau. Do đó học sinh
đã tính sai khả năng xảy ra của biến cố.
Trên đây, tôi đã đưa ra một số ví dụ về những sai lầm mà học sinh thường
mắc phải khi làm bài tập về Tổ hợp – Xác suất. Vì vậy trong quá trình giảng
dạy, đối với mỗi bài toán, ta nên chọn cách giải tổng quát mà có thể sự dụng cho
nhiều bài. Hạn chế cách giải vắn tắt mà bài toán này áp dụng, bài toán kia cũng
áp dụng trong khi điều kiện bài toán có thay đổi mà học sinh không chú ý. Đồng
thời tạo cho học sinh thói quen phân tích đề, giải xong thì kiểm tra lại xem còn
những khả năng nào xảy ra nữa mà chưa nói đến hoặc có thừa dữ kiện gì của bài
toán không.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn
thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy
nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã
hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học
lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị
động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Từ đó nâng cao được

chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh
cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà
trường.
Trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công dạy 3 lớp 11A6, 11A7,
11A8, tôi đã áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy lớp 11A6, 11A7 và nhận thấy
đa số học sinh đều yêu thích dạng toán này, rất tích cực trong tìm tòi lời giải và
giải toán. Khi tôi thực hiện tiết dạy này đa số học sinh rất hiểu bài và không còn

12


sự lúng túng trong việc chọn cách giải cho một bài toán. Kết quả kiểm tra cuối
chương, cuối kỳ 1 đã được nâng cao hơn. Cụ thể như sau:
Lớp áp dụng:
Lớp

Kết quả kiểm tra
Cuối chương: 90% điểm trên TB
11A7

Cuối kỳ 1: 81% HS làm được BT phần
Tổ hợp – Xác suất
Cuối chương: 86% điểm trên TB

11A6

Cuối kỳ 1: 79% HS làm được BT phần
Tổ hợp – Xác suất

Lớp 11A8 dạy không áp dụng:

Lớp

Kết quả kiểm tra
Cuối chương: 52% điểm trên TB
11A8

Cuối kỳ 1: 36% HS làm được BT phần
Tổ hợp – Xác suất

Căn cứ kết quả nêu trên, bước đầu đã được như mong muốn góp phần
nâng cao tỉ lệ của bộ môn và kết quả học tập, rèn luyện của học sinh. Ðiều đó
khẳng định sáng kiến của tôi đã có hiệu quả trong việc dạy học. Trong năm học
sau tôi tiếp tục áp dụng cho một số lớp khối 11, đồng thời tìm tòi, thu thập thêm
những ví dụ, những dạng toán khác và bổ sung để sáng kiến ngày hoàn thiện
hơn.

13


3. Kết luận – Kiến nghị.
3.1 Kết luận
Đại số tổ hợp là một nội dung khó nên học sinh dễ buông xuôi, không
chịu đầu tư, học hỏi. Qua quá trình giảng dạy, tôi đã nắm bắt được một số dạng
toán ở nội dung này mà học sinh thường hay mắc phải các sai lầm khi thực hiện
làm các bài tập. Từ đó phân tích và khắc sâu cho học sinh trong quá trình giảng
dạy, giúp các em nhanh chóng tìm ra các phương án giải quyết các bài tập được
giao.
Với các kết quả đối chiếu ở trên cho thấy những kinh nghiệm nêu ra cũng
đã bước đầu có hiệu quả. Do đó, tôi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn đẩy
mạnh phong trào thi đua học tập sôi nổi, góp phần nâng cao hơn nữa kết quả học

tập bộ môn và kết quả học tập, rèn luyện của học sinh.
Trong năm học này tôi tiếp tục tìm tòi, thu thập thêm những ví dụ, những
dạng toán khác và bổ sung để sáng kiến ngày hoàn thiện hơn.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một
phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai
thác tốt các bài toán tổ hợp – xác suất. Đồng thời hình thành khả năng tư duy,
sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm, từ đó tạo hứng thú cho các em
khi học toán. Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ bản thân
còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học
các cấp và của các bạn đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị
- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học ;
Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn.
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các
buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinh
nghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến
rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, không sao chép nội dung của
người khác.

Mạc Lương Thao

14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Châu Văn Điệp và nhóm tác giả, Công phá toán 2, Nxb ĐHQG Hà
Nội
[2]. Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học
2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam
[3]. Lê Hải Châu, 199 bài toán chọn lọc về toán học tổ hợp, Nxb Giáo dục
[4]. Lê Hoành Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội
[5]. Nguyễn Bá Tuấn, Tuyển tập đề thi và phương pháp giải nhanh toán
trắc nghiệm, ĐHQG Hà Nội.
[6]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 11, Nxb ĐH sư phạm.
[7]. Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 1, Nxb ĐH
Quốc Gia Hà Nội.

15