SKKN một số phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA
HÀM HỢP, HÀM ẨN

Người thực hiện: Trần Thanh Minh
Chức vụ: TTCM
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2020
1


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU

Trang
3

1.1. Lý do chọn đề tài

3

1.2. Mục đích nghiên cứu

3

1.3. Đối tượng nghiên cứu

3

1.4. Phương pháp nghiên cứu

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

4

2.1. Cơ sở lý luận

4

2.2. Thực trạng của đề tài

5

2.3. Các giải pháp tổ chức thực hiện

5

2.3.1. Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

5

2.3.2. Phương pháp đổi biến số.

11

2.3.3. Phương pháp tính tích phân từng phần

15

2.3.4. Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân

20

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

26

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

27

3.1. Kết luận

27

3.2. Kiến nghị

27

2


TÊN ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA
HÀM HỢP, HÀM ẨN
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán học phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí
hết sức quan trọng và nó được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế như: Tính diện
tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, giải các bài toán về cơ học,…
Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi THPT- QG. Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đã
đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần tích phân
đã được yêu cầu rộng hơn khó hơn trước đặc biết là các bài toán tích phân về hàm
hợp, hàm ẩn, đòi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về tích phân vững chắc và
tư duy linh hoạt hơn mới giải được các bài toán dạng này.
Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiến
thức vững chắc về tính tích phân đặc biệt là tích phân của hàm hợp,hàm ẩn và tháo
gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu
đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương
pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn”.
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và
thành thạo trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm hợp, hàm
ẩn nói riêng.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí là
không có định hướng về lời giải trong việc tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn.
- Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân của hàm hợp, hàm ẩn cho học
sinh, giúp các em có thể giải được một trong các phần được coi là khó của đề thi,
đòi hỏi phải có tư duy cao .
- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then
chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần

nâng cao chất lượng dạy học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là phương pháp tính tích phân
của một số hàm hợp, hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm
và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ
thống theo từng mức độ từ dễ đến khó.
3


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
Các kiến thức cơ bản
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và
tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học
2.1.1. Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a , b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là một nguyên hàm
của f trên K thì hiệu số F (b ) F ( a ) được gọi là tích phân của f từ a
đến b và kí hiệu là b f ( x ) dx . Trong trường hợp a b , ta gọi b f ( x ) dx

là tích phân

a

a

của f trên đoạn a; b .
Người ta dùng kí hiệu F ( x ) ba để chỉ hiệu số F (b ) F ( a ) . Như vậy Nếu F là
một nguyên hàm của f trên K thì b f ( x ) dx F ( x ) ba F (b ) F ( a ) .

a

2.1.2. Tính chất

Giả sử f , g liên tục trên K và a , b , c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có
1) f (x ) dx 0 ; 2) b f (x ) dxa
f (x ) dx ; 3) b f (x ) dx c f (x ) dx c f (x ) dx
a

4)

a

a

b

b

f (x ) g ( x ) dx

a

b

f (x ) dx
a

b

a

a

b

a

a

g ( x ) dx ; 5) kf (x ) dx k f (x ) dx với k R .
a

Chú ý là nếu

b

b

F (x) f (x) với mọi x K thì F ( x )f (x ) dx

2.1.3. Phương pháp đổi biến số
Tính tích phân I b g ( x ) dx .Giả sử g ( x) được viết dưới dạng f

u ( x ) .u (x)

a

,trong đó hàm số u ( x) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm
hợp f u ( x) xác định trên K và a , b là hai số thuộc K . Khi đó

b

f

u ( b)

u ( x ) .u (x ) dx

f (u ) du
u( a)

a

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số
thay cho x . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là
b

f (x ) dx

a

b

f (u ) du

a

b

f (t ) dt ...

a

2.1.4. Phương pháp tính tích phân từng phần
b

Công thức u ( x ) v (x ) dx u ( x ) v ( x )
a

b

b

a v ( x )u (x ) dx (trong đó u ( x ), v ( x) có đạo hàm liên
a

tục trên K và a , b là hai số thuộc K ).
4


2.2. Thực trạng của đề tài
Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia
của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp
dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử
của các trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tính tích
phân của hàm hợp, hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ
vận dụng để lấy điểm cao. Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được
cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và
nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi.

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học
sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2018-2019 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về
các bài toán tính tích phân của hàm hơp, hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:

Lớp

Sĩ Giỏi
số SL %
12B1 45 0
0%

Khá
TB
Yếu
Kém
SL %
SL
%
SL
%
SL
%
6
13,3 26
57,7
10
22,4 3
6,6%
%
%

%
12B2 46 1
1,8
8
17,3 22
47,8
11
24,3 4
8,8%
%
%
%
%
Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em
chưa định hướng được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
Thực hiện đề tài này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tính tích phân đã
được học để áp dụng tính cho hàm ẩn thông qua các phương pháp cụ thể và ví dụ
tương ứng cho mỗi phương pháp đó. Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận
dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết. Do khuôn khổ đề tài có hạn nên
tôi chỉ đưa ra bốn phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn đó là: Phương
pháp biến đổi để đưa về nguyên hàm cơ bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp
tính tích phân từng phần và tạo bình phương cho biểu thức dưới dấu tích phân.
2.3. Các giải pháp tổ chức thực hiện
Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành bốn phần
Phần 1. Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
Phần 2. Phương pháp đổi biến số
Phần 3. Phương pháp tính tích phân từng phần
Phần 4. Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân
Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

- Nêu các ví dụ áp dụng
- Nêu các nhận xét trước khi đưa ra lời giải cho các bài tập mới và khó.
Nội dung cụ thể:
2.3.1. Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
5


a . Kiến thức sử dụng
* Nếu

thì F ( x ) f ( x ) dx

F (x) f (x)

với mọi x

K

* Các công thức về đạo hàm:
Với u u ( x ), v v ( x ) là các hàm có đạo hàm trên K .
1) uv

;

u .v u.v

u

2)

v

v

u

,v 0;

u v uv

2

3)

u

;

,u 0

2 u

4) u nnu n 1u , n*
b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số f x liên tục trên \ 0
x 2 f 2 x 2x 1 f x

và thỏa mãn f 1 2 ,

xf ' x 1 , x\ 0 . Tính tích phân I

Lời giải: 1

2

Ta có x 2 f 2 x 2xf

1 xf ' x f

x

'

xf x

Do đó

1

xf x

1

x

x
f

1

1

1

Vậy I

1
x

1

1
xf x

1 c 0 xf
1 c
2
1
ln x
|
x 1

2

2

x

dx

x
f

dx 1dx

x 1

Mặt khác f 1 2 nên 2 1
Vậy f x dx

xf x 1

2

1

2

x

1'
x

'

2

x
f

f x dx.

2

1

1

x 1

ln 2

x c xf x 1

x c

1f
xx

x

1
2

1
x

1
.
2

1 .

ln 2

2

Ví dụ 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;
x 2x 3 3x2

, f x xf

, x 0 . Tính tích phân I

2

thỏa mãn f 1 4

f (x ) dx.

1

Lời giải:
Ta có:
3 xf x f x

f x xf x 2x 3 3x 2 2x 3 3x 2 xf x f xx 2 2x
2x 3

xf x f x

x2

fx

f x

2x 3 dx

x

f x

2x 3 dx

fx

x

x

x 2 3x C , ta có f 1 4 4 4 C C 0 . x

Do đó:

x
f x

.
x

2

3x

f

x x 3 3x2
6


2

Vậy I f (x ) dx I

2

dx

2

3

x4

x 3x

1

Vậy I

3

2

43

x

4

4

1

1

43 .

4

Ví dụ 3. Cho hàm số f x có đạo hàm
đồng thời f x

2

1 f x

f x

2

liên tục trên đoạn 1;3 , f
2

x 1

và f 1 1

x 0 , x 1;3 ,
3

.Tính tích phân I

f x dx .

1

Lời giải:
2

2

1; 3

Với

x

f

ta có:

1
f

x

4

1
f x

3

1

3f

x
Vì hàm số g t

x x 1

1
2

f x

f x

f

1 f x
x

2

2
.

4

x 1

x x 2x 1
x3 x

2

x C

(lấy nguyên hàm hai vế).

3

1 11C C0.
3
1
1 x
f x

1t 3 t 2 t

f x

2

2f

1 1 1
3
1 2

3

f

1

f x3 f x

Ta lại có f 1 1
Do đó: 1

x

2

1
3 f x

Suy ra:

x 1 f

2

3

x 2x * .

3

nghịch biến trên

nên *

3

1 x
f x x

f x

1 .

Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
3

3

Do đó I f
1

x dx

1

Vậy I ln 3.

1
x

dx

ln 3.

không âm trên đoạn 0;1 , có đạo hàm liên tục trên đoạn

Ví dụ 4.Cho hàm số f x
0;1

và thỏa mãn f 1 1

2f x 1 x

2

f

x 2x 1 f x

, x 0;1

.

,

Tính tích phân I

1

f x dx .

0

Lời giải:

7


Xét trên đoạn 0;1
2f x.f x 2x x

2f x 1 x2

, theo đề bài:

2

fx 2 x 1 f
2

1 . f x 2 x. f x

2

f

f

2

x x

2

x

2

x
x

2

x

x

1.f x

1.f x C 1.

Thay x 1 vào 1

f

2

11CC0

(vì f 1 1 ).

ta được:

trở thành: f 2 x x 2

Do đó, 1
f

x

1. f

(vì f x

Ta có 1 f x dx

x2 1 . f

x 1

0 f x
1

x2 1.f x

f2 x

x 1f x 1 x2 1

1 0 x 0;1 ) f x
x

0

0

2

dx x3

1

x2 .

1.
3

0

3

1 x2 1 x2 1.f x

1.

Vậy I
3

Ví dụ 5. Cho hàm số f x
2

1
f (1) 3

2

x . f (x ) 1 2x

1

0 , có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn
2 2

(x) , x 1;2 . Tính tích phân If (x )dx .

.f

Lời giải:
2

Ta có

2

x . f (x ) 1 2x

1

1

2

f (x ) x

2

Khi đó I f (x )dx
Vậy I 1 1

f

. f (x)
1

2 .dx

1

f (x )

Nên ta có

2

f (x )

1 2x

2

1

1

(x )

2

f (x )

x

2

x

f (x )
1 2x c , do f (1)

x

1

2

2

c 0
3

x
2x 2 1 f (x)
2
x
2x 1
2
x
1 2 d (1 2x 2 )
dx
2
2
41
12x
1 1 2x

1
4

2 2

ln 1 2x

1

1 2ln 3 ln 3

1

4

4

ln 3

ln 3.

4

Ví dụ 6. Cho hàm số f (x) không âm trên , có đạo hàm trên
đồng thời thỏa
2
mãn f (x ). f (x ) 2x. f (x) 1 0 với x
và f (0) 0 . Tính tích phân I 1 f (x )dx .
Lời giải: 0

2x
2

Ta có f (x ). f

(x ) 2x.

f (x )

1 0

f (x ). f
2

(x)

f (x) 1

(x ) 1
f

2

2x
8


f 2 ( x ) 1 2 xdx f 2 ( x ) 1 x 2

c . Do f (0) 0 c 1 nên ta có
2 2

2
f2(x) 1 x2 1 f2 (x) 1 x2 1 f (x) x

(vì f ( x ) không âm trên R ). Khi đó I 1 f ( x )dx
0

1

1

2

2

2

2

1 2

x 2d ( x 2)

2

2 .3 x 2

x

2

x x2 2
1
x x 2 2dx

0

3322

3
0

. Biết

f (0) 2021.Tính tích phân I

1

thỏa mãn f (x ) x 1 . f (x) 2020 ,
f (x )dx .

0

Lời giải:
Ta có f (x ) x 1 . f ( x ) 2020
x 1

x

1

Ví dụ 7. Cho f (x) có đạo hàm liên tục trên 0;1
x 0;1

1

f(x)
x 2 2 dx

0
1

0

x2 2

x 1 f (x ) x 1

.f

1

1

If (x )dx
0

2020x 2021
x 1

0

2020x 221

. Khi đó x 1

1

.dx 2020
0

f (x)2020

f (0) 2021 c 2021

f (x ) 2020dxx 1 f (x ) 2020x c , vì
x 1 f (x ) 2020x 2021 f (x)

(x ) 2020x 1

1

1 .dx 2020x ln

x 1

x 1

2020 ln 2
0

Nhận xét: Nếu u ( x) là biểu thức cho trước thì ta có u ( x ). f ( x )
(x)

u(x).f

u ( x ). f ( x )

Đặt v ( x ) u (x) ta được u ( x ). f (x ) v ( x ). f (x ) u ( x ). f (x) (*). Như vậy nếu biểu thức
có dạng v ( x ). f (x ) u ( x ). f (x) ta có thể biến đổi đưa về dạng u ( x ). f ( x ) .Khi đó ta có
bài toán tổng quát cho ví dụ 7 như sau:
Cho A( x ); B ( x) ; g ( x) là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số f (x) thỏa mãn
A(x) f (x) B(x) f (x) g(x) (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**)u ( x ). f (x ) g ( x)
u (x ) A( x)
Trong đó u ( x) được chọn sao cho : u ( x ) B ( x)

A( x )
u(x)
B(x)
A( x)

u ( x ) G ( x ) c (với G ( x) là một nguyên hàm của
được biểu thức u ( x) .
ln

1

2020 f (x ) x.
f

(x )

2

x

, x 0;1

.Tính tích phân

u

A( x)
B ( x) .dx

) từ đây ta sẽ chọn

B ( x)

Ví dụ 8. Cho f (x) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f (1)
2020

(x )
u ( x ) .dx

u (x )

I

1
2020

và

f (x )dx
0

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u ( x) . Ta có
2020
ln u ( x )
ln u ( x ) ln x 2020 c
x dx ln u ( x ) 2020ln x c
9


nên ta chọn u ( x ) x2020 , khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
Ta có
2020

2020 x 2019 f ( x )x

x

2020

2019

f

2020 f ( x ) xf

.f(x)
(x) x

4039
2020
2020
dx x
f ( x ) x4040 c , do f (1)
Khi đó x
f(x) 2x
2020
2020
c 0
x
f(x)
x 4040 f ( x )
x2020
2020
1
x 2020

1

khi đó I f ( x )dx
0

0

2020

2020

2

x

(x) x
1

.2x
1

1

2020

2020

2020

4039

c

1

2020
x 2021

dx

2019

1

2020.2021

2020.2021

0

.
1
2020.2021 có đạo hàm trên 1; 2
Ví dụ 9. Cho f ( x )

.

Vậy I

x 1; 2 . Biết

f (1) e .Tính tích phân I

thỏa mãn ( x 1) f ( x ) x. f ( x ) 2ex ,
x. f ( x )dx

2
1

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u ( x ) . Ta có
x

ln u ( x ) x

1

dx

ln u ( x ) ln xe x

ln u ( x )

x

ln u ( x ) ln e

x

ln x c

c nên ta chọn u ( x ) xex , khi đó ta có lời giải như sau:

Lời giải:
Ta có xe x . f ( x )
e

x ln x c

xe x f ( x ) xe x . f ( x )
x

x 1 f ( x ) xf
(x )

xe

e x xe x f ( x ) xe x . f ( x )
x

.f(x)
e

. 2

e

x

xe x . f ( x ) 2e 2 x dx

xe x . f ( x ) e 2 x c


do f (1) e e.e e 2 c c 0 xe x . f ( x ) e 2 x
Khi đó I

2

x. f ( x )dx
1

2

e x dx e x

1

2

f(x)

ex .
x

e2 e

1

Bài tập tương tự f ( x ) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thoản mãn
Bài 1. Cho hàm số
3 . Tính tích phân I 4 f (x )dx .
x 2 x. f ( x ) f ( x ) 2 , x 1; 4 . Biết f (1)
2

1

Bài 2. Cho hàm số f (x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn 0;2 và thỏa
mãn 2 f (x ) 2 f (x ). f ( x ) f (x) 2

0,

x

0;2 . Biết f (0)

1, f (2) e6 , tính tích

I 0 (2x 1). f (x )dx .
2

10


3

f (x) x

2

2x

1

Bài 3. Cho f ( x ) có đạo hàm trên R và thỏa mãn 3 f (x ).e
Biết f (0) 1, tính tích phân I 7 x. f (x )dx .

0, x

f 2 (x)

.

0

Bài 4. Cho f (x) liên tục và có đạo hàm trên \ 1;0

thỏa mãn

x(x

. Tính

1) f (x) f (x) x

x,

và

2

x\

1;0

.

2

f (1) 2ln 2

I

xf (x )

dx
1

Bài 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;
2xf

x f

1

x 2x x 0;, f

thỏa mãn

2 . Tính tích phân I
3

1

1

2x f x
x 0

f (x ) dx.

x đạt cực trị tại x 1 và x 2 . Biết

Bài 6. Cho đa thức bậc bốn y f
lim

2

2 . Tính tích phânf x
2x

Bài 7. Cho hàm số f

x nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên
2

mãn
f x

dx .

0

2x 1 f x , x

thỏa

1

và f

0 1

I

b

. Tính tích phân 0

f x dx.

2.3.2. Phương pháp đổi biến số
a. Kiến thức sử dụng:Tính tích phân

g ( x ) dx

.Giả sử g ( x) được viết dưới dạng

a

f u ( x ) .u (x) ,trong đó hàm số u ( x) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao
cho hàm hợp f u ( x) xác định trên K và a , b là hai số thuộc K .
b
Khi đó f u ( x ) .u (x ) dx
a

u ( b)

f (u ) du
u ( a)

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x .
Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là b f (x ) dx b f (u ) du b f (t ) dt ...
a

b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số f x

a

liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1 . Biết
1

f x . f 1 x 1 , x 0;1

. Tính tích phân
Lời giải:
Ta có: f x . f 1 x f x

a

I
0

dx
1 f x

.

fx
1 f x

1
f 1 x 1

1 fx

11


1

dx

I

Xét 0 1 f x
Đặt t 1 x x 1 t d x
0

1

dt

I

. Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 0 .

dt

1

dt

1

dx

f x dx

0
1 f 1 t 0 1 f 1 t
1 f 1 x0 1 f x
Khi đó
1
Mặt khác 1 dx 1 f x dx 1 1 f x dx 1 dx 1 hay 2 I 1. Vậy I

1 f x

0

0

1 f x

Ví dụ 2. Cho hàm số f
f 4 x

0

1 f(t)

0

2

x liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn

và 3

f x , x 1;3

2 . Tính tích phân I

xf x dx

1

Lời giải:
Ta có f 4 x f x và 3 xf x dx

3

2

2.

xf 4 x dx

1

Xét I

f x dx.

3

1

3

1 .

1

xf 4 x dx 2 :Đặt t 4 x

ta được x 4 t d x

dt

.

1

Khi

x 1 thì t 3 , khi x 3 thì t 1.

Suy ra I
3

3

3

xf 4 x dx 2

4 t

1

1

4 f t dt 2 2

3

f t dt

1

3

3

f t dt 24 f t

dt tf

1

3

1

1

1

f x dx 1 .Vậy I 1.
1

2020. f (x ) f ( x ) ex

Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) liên tục trên và thỏa mãn
x. Tính tích phân I

1

t dt 2

với

f (x )dx
1

Lời giải:

x 1 t 1

Đặt x t dx dt , đổi cận :

Khi đó I

1

nên 2021I

1

f ( t )dt
1

1

f ( t )dt I

1

2020 f (x ) f ( x ) dx
1

1

x 1 t 1
f ( x )dx .Vì 2020I I 2020 1 f (x )dx
1

2021I

1

1

x

e dx e
1

x 1

1

e 1I
e

1

f ( x )dx

1

2

e 1
2021e

12


f ( x ) liên tục trên đoạn 2 ;1 và thỏa mãn 2 f (x ) 3 f ( 2) 5x ,

Ví dụ 4. Cho hàm số
2

x

;1 . Tính tích phân

3

3

f (x)

1

I

x

2
3

3x

dx

Lời giải:
x

Đặt x

2 dx
3

t

3
t

Khi đó I

2I 3I 21
2

2

3

3

1

2 dt , đổi cận :

1 t
x

1

3

2
1

f ( 3 ). t 2 dt
t
2

2
1

f ( 3 )dt
t
t

2

f ( 3x )
.dx . Ta có

3

3

1

2

1

5 dx
x

x

2

3
3
t
f (x ) dx 31 f ( 2 ) .dx 5I
3x
2
x
x

3

2

2

2

2

2t 1
3

2 f (x ) 3 f ( 2 ).dx
3x
x

3

x

1

5dx
2

5I

1

3

3

3
2
3

Ví dụ 5. Cho hàm số y f (x) liên tục trên
thỏa mãn
3 f (x ) f (2 x ) 2(x 1)e x 2 2 x 1 4, x. Tính tích phân I 02

f (x )dx .

Lời giải:
3 f (x ) f(2 x ) 2(x 1) ex 2
3 02 f (x )dx

2

0

4, x.

2x1

f (2 x )dx

2

(2x 2)e x 2

2x1

dx 4 2 dx (1) .

0

Đặt t 2 x

0

2

0

0

f (2 x )d(x )2 f (t )dt

Đặt u x 2 2x 1 du (2x 2)dx

0

2

2

f (t )dt

0

2

(2x 2)e x 2

f (x )dx (2)
2x1

dx

0

Thay (2) và (3) vào (1) I

2
0

1

.

e u du 0 (3) .

1

f (x )dx 2 .

Ví dụ 6. Cho hàm số f (x) liên tục trên và thỏa mãn
I
f (x )dx .
Tính tích phân 1
0
Lời giải:

f (x ) 4xf (x 2 ) 2x 1, x.

x 0 t 0

Đặt x t 2

Khi đó I

dx 2tdt , đổi cận :

x 1 t 1
f (t ).2tdt I 2 xf (x 2 )dx . Ta có I 2I

1

2

0

1
0

f (x ) dx 41 xf (x 2 )dx

1
0

0


13


1

1

4 xf ( x 2

f(x)

) dx2 x 1 dx

0

x

x2

1

2I2I2

0

0

Ví dụ 7. Cho hàm số f x liên tục trên

và thoả mãn

3

f x f x

2

2 2 cos 2x , x. Tính tích phân I

f x dx.

3

2

Lời giải:
0

Đặt x t . Khi đó f

0

x dxf

td t

3
2

f

2

2

f x d x

2

3

dx

f x

2

3 0

2
3

f x dx
0

3

xd x

3

2

3

0

2

3

f t dt

3

3

Ta có: I

0

3

f x dx

2

0

f x dx
0

2
3
2

Hay I

f x

f x

dx

0

3
2

2 2 cos 2 xdx

0

3

I

3

2

2

cos
x

4 cos xdx 2
0

2(1 cos 2 x ) dx

0

3
2

2

0

2

2

dx 2 cos xd x

2 cos xdx

0
2

Vậy I 2 sin x | 2 sin x |
0

3

6.

2

2

2

2
0
2
0

Ví dụ 8. Cho Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

và thỏa mãn

f ( x ) dx 2 .

0
2
0
2
0

1

Tính tích phân I

e

x

0

2

x . f ln( x 2 1) .dx .

1
x 0 t 0

Lời giải:
2

Đặt t ln

x

1

Ta có

0

2

2
x

x

1

dx x 2 1
dx 2 dt , đổi cận :
x
1

1 2020
0
f (t )dt
f ( x )dx
.2 1
2
2
x2 1

1 2020

I

dt

e

2020

1 t 2020


14


Ví dụ 9. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và thỏa mãn f (x 3 2x 2) 3x 1 với
10

x. Tính tích phân I

f (x )dx
1

Lời giải:
Đặt x t

3

2t 2 dx 3t

Ta có I

2

9t4 t

3

f (t 3

2

2t dt , đổi cận :

2t 2). 3t 2 2t dt

1

t

2

t

x 1

x 10 t 3

3t 1 3t 2 2t dt
1

2

2

4

1

2

3

2t 3 t 1

2t 12 t 2

9t 3

3t 2

2t dt

1

151
4

Bài tập tương tự
liên tục trên đoạn 0;1
Bài 1. Cho hàm số f (x)
và thỏa mãn
4xf (x 2 ) 3 f (1 x ) 1 x2
, x 0;1 . Tính tích phân I 1
f (x )dx .
Bài 2. Cho hàm số f (x)
3 f (x ) 4 f (2 x )

x2

0

liên tục trên đoạn 0;2

và thỏa mãn
f (x )
12x 16 , x 0;2 . Tính tích phân I 2
dx

0

Bài 3. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0;3 và thỏa mãn f (x ). f (3 x)

4,
9

3

x 0;3 . Tính tích phân I
0

1
dx
2 3 f (x)

Bài 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x ) f ( x ) cos4 x , x
Tính tích phân I

2

.

f (x )dx .

2

Bài 6. Cho hàm số f
x liên tục trên , thỏa mãn 04 tan x. f cos2 x d x 2
2
f 2x d x .

e f ln x d x 2 . Tính tích phân I
2

e

và

2
1

x ln x

x

4

Bài 7. Cho hàm số f

x liên tục trên

xf x 3

2x , x. Tính tích phân I

f 1 x 2x10

x6

thảo mãn
0

f x dx .
1

Bài 8. Cho hàm số f x liên tục trên

0;1

thỏa mãn

f 1 x 6x 2 f

x3

6
3x 1

.
15


Tính tích phân

I

f x dx .

1
0

2.3.3. Phương pháp tích phân từng phần
a. Kiến thức sử dụng
b

b

b

Công thức u ( x ) v ( x ) dx u ( x )v ( x )

a v ( x )u ( x ) dx (trong đó u ( x ), v ( x ) có đạo hàm liên
a

a

tục trên K và a , b là hai số thuộc K )
b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên và thỏa mãn 5

f ( x ) dx
1

44 , f (5) 15 .
5

5

Tính tích phân

( x ) dx .

1

Lời giải:
u x 1

Đặt

Ix 1 f

du dx

dv f ( x ) dx
Vậy I 344 .

. Khi đó I x 1

f (x )

v f(x)

5

5

f (x ) dx 4 f (5)

1
1

44

344

5

5

.

5

và thỏa mãn f 0

Ví dụ 2. Cho hàm số f x có đạo hàm trên
1

f 1

1. Tính tích

f x f ' x dx.

phân I

ex
0

Lời giải:
1

Ta có: I

1

e x f x f ' x dx

0

Xét

2

e x . f ' x dx ;

Đặt

0

I2

1

1

dx

0

1

I

ex.f x

e x . f ' x dx e x . f (x ) 10

0

e

ex

.f'x

2

0
x

x

u
du e
dv f '(x ) dx
v f (x)
1

1

dx I I

ex.fx

dx khi đó

dx e. f (1) f (0) I1

e 1 I1 .

0
1

Vậy I

f x f x dx I
ex

1

I

2

I

1

e 1 I

1

e 1

.

0

Vậy I e 1.
Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên
2

1 2x

và thỏa mãn
1

f (x ) dx 3 f (2) f (0) 2020 . Tính tích phân If (2x )dx .

0

0

Lời giải:
16


2

Ta có 1 2 x

u 1 2x

f ( x ) dx 2020 , đặt

0

du

2dx

v f(x)
f (x ) dx 20203 f (2) f (0) 2 2 f (x ) dx

dv f ( x ) dx

Khi đó 2020 (1 2x ) f (x )

0

2

2

2

0

2020 2020 2

2

2

f (x ) dx

0

f (x ) dx 2020

0
1

0

x 0 t 0

Xét If (2x )dx , đặt t 2 x dt 2dx . Đổi cận:

x 1 t 2

0

1

2

1

I

0
2 f (t ) I
dt
Vậy I 1010.

Khi đó

2

Ví dụ 4.Cho hàm số f x
và f 1 x x 2 . f x

2020

2
0

f (x )dx

1010.

2

có đạo hàm cấp hai trên

2x , x. Tính tích phân I

thỏa mãn f 1 f 1 1

1

xf x dx .

0

Lời giải:
du f x dx
u f

x

Đặt dv xdx

2
v x

.

2
1

Suy ra I

xf x dx

x2

0

f x 1

1

0

0

2
.
f

Do f 1 x x
1
Vậy

1

I

x

20

Đặt t 1 x

x

x 2x
1

2

suy ra

u f x
Đặt dv dx

f 1 x dx

I

2
1

3

x x

2

2

2f 1 x .

11

f 1 x dx .

20

1
1

0

2

f t dt

1

2

0

1

f t dt

1

2

0

f x dx .

x dx

v x

1

Vậy I

10

x2 f x dx .

1

2.f

du f
1
xf

Suy ra I

2

2

2

11

f x dx

x2

x 0

1

0

1

1

xf x dx I

1 II
2

.
3

.

17


Ví dụ 5. Cho hàm số f x có đạo trên , thỏa mãn 2 f x f x 2 x 1, x và f 0 1. Tính tích
phân I 1 f x dx.

0

Lời giai:
Ta có 2 f x

e

2x

f

.2 f x e

2x

x

.

2 x 1, x

. x e
f

2x

2x

2 x 1e

2x

e

.f x

2x 1

e 2 x . f x dx e 2 x 2 x 1 dx .

Ta đi tính I1

v

e 2 x 2 x 1 dx . Đặt u 2 x 1 du 2dx ; dv e 2 x dx chọn

e 2 x 2 x 1 dx 1 2 x 1 e 2 x
e 2 x dx 1
.2x C .
2x
e
2
2
2x
2x
2x
.f
dx e 2 x 1 dx
e . x
1e x2 .2x C f
f
e
x
2
1 .

mà f 0 1 C 1 f x x
I1

1

e2 x

1

Ta có f

2

x dxx e

0

2x

dx

1

1

2

0

2

e

1
1

x

2x
0

2
e

2

x

.

1 e2 x .
2

1 e 2 x .2 x C . 1
2e2 x

3,

Ví dụ 6. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên và thỏa mãn f (0)
f (x ) f (2 x ) x 2

2x 2, x.Tính tích phân I

2

xf '(x ) dx .
0

Lời giải:

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 2 xf '(x ) dx xf (x ) |02 2
0

2

f (x ) dx .
0

(1)

Từ f (x ) f (2 x ) x
2x 2, x
Thay x 0 vào (1) ta được f (0) f (2) 2 f (2) 2 f (0) 1 .
Xét I 2 f (x ) dx
0

x 0 t 2
2 t 0
x
f (2 t ) dt 2 f (2 x ) dx

Đặt x 2 t dx dt
I10

f (2 t ) dt
2

Do đó ta có

đổi cận:

2
0

2
0

f (x ) f (2 x ) dx

Khi đó

0

2
0

x2

2x 2 dx

22

f (x ) dx 8
0

3

2f
0

(x ) dx 4
3
18


Ta có 2 xf '( x ) dx xf ( x ) |02

2

0

f ( x ) dx 2 f (2) 4
3

0

2

10 . Vậy I

xf '(x ) dx

30

10 .
3

Ví dụ 7. Cho hàm số
3

f (x) có đạo hàm trên , thỏa mãn 2 f (3) f (0) 18 và
x 1dx 302
I 3 f (x) dx.

f (x ) 1

15 0

0

. Tính tích phân

Lời giải:
x 1

du

dx
2 x 1

u

Đặt

f (x) 1

dv

Khi đó

x 1

1

v f (x ) x 1
(x ) x 1

302
150

f

x 1

I
2 f (3) f (0) 7

2

2

x 1

2 x 1
302

x 1dx

0

f (x )

3

0

3

1

Ví dụ 8. Cho

3

dx

2
I 14

25

15

2

6

76
I

15

f (x) là hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm trên , thỏa mãn f

1
2

4

0

1

I

2

và f (x ) dx 3 . Tính tích phân

sin 2xf

0

(sin x )dx.

6
0

Lời giải:
Ta có I

2 sin x cos x. f

(sin x )dx

, đặt t s inx dt cos xdx

6
0

1

Đổi cận :

x

6

t

2

0

khi đó I 2 tf (t ) dt I 2 xf (x ) dx

1

1
2

2

x 0 t 0
u x

du dx

0
I 2 xf (x) 0

f (x)dx 4 2 f (x ) dx

1

0

Đặt:

1

ta có
dv f

(x ) dx

v f (x)

2

1

2

2

Do

1

f (x) là hàm số chẵn nên 0

f (x ) dx

1

2

1

f (x ) dx . Khi đó I 4 2

0

2

f (x ) dx 4 6 2

0

2

Vậy I 2.

f (x) có đạo hàm trên đoạn 1;3 và thỏa mãn f (3) f (1) 3 ,

Ví dụ 9. Cho hàm số
3
1

3

xf
x 1

dx

0 .Tính tích phân

I
1

f (x ) ln x
x 12

dx .

Lời giải:

19


f ( x ) lnx .dx

u f ( x ) ln x

3

Xét I

, đặt

2
1

x 1
x

Khi đó I

4

1
x 1 2d
x

dv

f(x)

f

v

3

1

0 ln x 1

x 1

1

3 3

3

x

x 1

x 1

1
dx
x 1

xf ( x )

ln x

dx

x

(x)

1 1

3

x 1
f (3) ln 3 1 f (1)
2

3

1
du

ln 3 ln 2 .

4 4

1

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên , thỏa mãn f ( 3)

3 và

3

f (x ) dx 1 .
2

0

Tính tích phân I

3

f (x )ln x

1 x

1 x 2 dx .

0

Bài 2. Cho hàm số f x
f x

2

4f

có đạo hàm liên tục trên 0;2

x 8x 2 32x 28 , x 0;2

và thỏa f 1 0 ,

. Tính tích phân

I

1

f x dx.

0

Bài 3. Cho hàm số f x

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1

sao cho f 1 1 và f x . f 1 x
I

1

2x 3 3x 2

0

f x

f x

e

x

2

x

,x

0;1 . Tính tích phân

dx .

Bài 4. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 1 f (x )dx 1 ,
0

f 1 cot1 .Tính tích phân I

f x tan2 x f x tan x

1

dx .

0

Bài 5. Cho hàm số f x
f x

2

4f

x 8x 2

có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn
và f 1 2

4, x 0;1

. Tính tích phân I 1 f x dx .
0

Bài 6. Cho hàm số f x

có đạo hàm liên tục trên , f 0 0, f 0

hệ thức f x . f x 18x 2

3x 2

Tính tích phân I

1

x

f x

6x 1

0 và thỏa mãn

f x , x.

x 1 e f x dx.
0

20


Bài 7. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và thỏa
mãn: 3 (x 4)2 4xf (x ) f (x) 2 và f (0)

1

5

. Tính tích phân

I

f (x )dx .

2
0

20

Bài 8. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai trên , thỏa mãn
f2 1 x

x2

3 . f x 1 , x. Biết f x 0, x

. Tính I

0

2

2x 1 f " x .dx

2.3.4. Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân
a. Kiến thức sử dụng
thì b
Nếu f (x) 0 với x a ; b
f (x ) dx 0 , dấu "=" xảy raf (x ) 0, x a; b

a

Hệ quả:

b

2

với x a ; b .

f (x ) dx 0f (x) 0

a

b. Ví dụ áp dụng
f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 1;2 . Biết
Ví dụ 1. Cho hàm số
2
f (x ) dx 2 và 2 f (x ) 2 dx 4 . Tính tích phân I 2 f (x ) 3 dx
1

1

1
2

Nhận xét : Giả thiết chứa f (x)

và f (x)

Ta chọn a sao cho 2 f ( x ) a 2 dx 0

2

2

f ( x ) dx 2a
1

2

f (x )dx a

22

dx 0 4 4a a 2 0 a 2 .Từ đó ta có lời giải

1

Lời giải:
Ta có 2 f ( x ) 2 2 dx 0

2

f(x)2

1

4 f (x ) 4 dx

1

2

Khi đó I

2af (x ) a 2 dx 0

1

1

4 8 4 0 f (x) 2

2

nên ta tạo bình phương dạng f (x ) a

f(x)2

1

2

f (0) 1,

f (x ) dx
1

2

f ( x ) 2dx 4 2
1

f (x ) 2x c , mà
3

2

f (0) 1 c 1 nên

3

2

2x 1 dx
1

8x 3 12x 2

6x 1 dx 2x 4

f (x )dx 4 2 dx
1

1

f (x ) 2x 1
4x 3

3x 2

x

1

2

68

1

Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 . Biết 1

xf (x ) dx 1 và
0

1

f (x ) dx 3 . Tính tích phân I
2

1

0

f (x )

2020

dx .

0

Nhận xét : Giả thiết chứa f (x)

2

Ta chọn a sao cho 1 f (x ) ax 2 dx 0
0

và xf (x) nên ta tạo bình phương dạng f (x ) ax 2
1

f (x ) 2 2axf (x ) a 2 x 2 dx 0
0

21


1

f ( x ) 2dx 2 a 1 xf ( x )dx a 2 1 x 2 dx 0 3 2a

0

0

a2 0 a 3 .Từ đó ta có lời giải

0

Lời giải:
Ta có 1 f (x ) 3x 2 dx 0

1

0

3
1

f (x ) 2 6xf (x ) 9x 2 dx
0

0

3 0 f (x ) 3x . Khi đó I

3 6

f (x ) 2dx 61 xf (x )dx 91 x 2 dx
0

f (x )

2020

1
dx 32020 x 2020dx

0

0

32020

1
0

2021 .

Ví dụ 3. Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;1 . Biết 1 f (x ) 2 dx 1
5

0

và

1

x . f ( x ) dx 2

. Tính tích phân

I

f (x ) dx

1

50

0

Nhận xét : Giả thiết chứa f (x) 2 v f ( x ) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó
à
1 f ( x ) dx
x dx 2tdx
trước hết ta biến đổi
để khử căn bằng cách đặt t
0

x 0 t 0

Đổi cận

ta có

1 t

x

21

1

11 2
x f (x ) dt
50

2 t 2 f (t ) dtt 2 f (t ) dt

1 5

0

0

1
5

. Đến đây

ta được hai biểu thức f (x) 2 và x 2 f (x) nên ta tạo bình phương dạng f (x ) ax2 2 ,
1

1
ta chọn a sao cho

22

(x ) ax

f

dx

2

0f (x )

0

2ax

2

0

1

2

f (x ) dx 2a

1

0

2

x f (x )dx a

21

0

4

x dx 0

0

Lời giải:
Xét 1 x . f ( x ) dx 2 , đặt t

1 2a. 1

a2

55

5

Đổi cận

x 0 t 0
1 t

x
1

2

Vì

f

(x ) x

1

21
, khi đó 2 t
1
50

2 1

2

1

1

2

0

5

0

f (t ) dtt f (t ) dt

2 1

f (x )

dx 0

0

1 1 0

5

5 5

2x

4

f (x ) x dx

nên f (x ) x2 . Do đó I

f (x ) dx
0

1

1

f (x ) dx 2 x
0

1

1

1
5

2

0

4

f (x )dx x dx
0

2

x dx 1

0

3
f
(x)
Ví dụ 4. Cho hàm số
liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;

. Biết

f(

) 0 ,
2

2
2 2
0

Từ đó ta có lời giải

x 2 f (x ) dt
2

2

0

1 2.

0 a 1

x dx 2tdx

5

0

f

dx 0

f (x ) a 2 x 4

(x )

dx

và

2

cos x. f (x ) dx
0

. Tính tích phân
20

2

If (x ) dx

Nhận xét : Giả thiết chứa f (x) 2 và f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó
22