SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán thực tế bằng phương pháp sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

MỤC LỤC
Trang
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………… 2
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………...2
1.3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………..2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………….2
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài………………………………………………3
2.2. Thực trạng của đề tài………………………………………………...4
2.3. Giải pháp thực hiện đề tài……………………………………………5
2.3.1. Cách giải bài toán lãi đơn………………………………………….5
2.3.2 Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền một lần…………………..6
2.3.3. Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền định kỳ…………………..7
2.3.3.1. Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền định kỳ đầu tháng……...7
2.3.3.2. Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền định kỳ cuối tháng……..9
2.3.4. Cách giải bài toán dạng trả góp……………………………………10
2.3.5. Cách giải bài toán gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng………….12
2.3.6. Cách giải các bài toán thực tế liên môn……………………………13
2.3.7. Một số dạng toán liên quan………………………………………..15
2.4. Kết quả thực nghiệm…………………………………………………19
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận………………………………………………………………21
3.2. Kiến nghị …….………………………………………………………21

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………...22

1


1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học là nền tảng của mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khóa vạn năng
để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho các ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế,
quân sự và trong cuộc sống.
Những năm gần đây, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hình
thức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Vì vậy người
giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong
mỗi tiết dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ không phải giáo viên
dạy được gì. Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, phần đầu chương II:
Chương hàm số mũ- hàm số logarit chỉ nêu phần lí thuyết mà có rất ít ví dụ thực
tế. Trong khi cấu trúc đề thi THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các
sở giáo dục thường xuyên có câu hỏi về dạng toán thực tế, trong đó có rất nhiều
dạng toán lãi xuất ngân hàng. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng
túng và gặp khó khăn khi gặp các bài toán dạng này.
Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có được cơ sở để
giải các bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến
“Hướng dẫn học sinh giải các bài toán thực tế bằng phương pháp sử dụng
hàm số mũ và hàm số lôgarit”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về lãi suất
ngân hàng nhằm phát huy năng lực của học sinh góp phần phát triển năng lực tư
duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học
2019-2020. Cụ thể là lớp 12E, 12H.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPT
2

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11,12 (phần Cấp
số nhân, Hàm số mũ, hàm số lôgarit).
1.4.2. Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin
- Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng
dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá.
1.4.3. Phương pháp thống kê, xử lý số liệu
- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được
sau khi tiến hành nghiên cứu.
1.4.4. Phương pháp chuyên gia
- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.
Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng.
Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy của
thầy và hoạt động học của trò.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được
trong đời sống con người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh. Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là
bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự
nhiên của con người. Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn
luyện phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách
tốt đẹp cho người lao động trong thời đại mới.
Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện, có sức khỏe dẻo dai,
rất hiếu động và thích thể hiện mình. Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng

3


sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo
ra hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện. Người dạy cần phải
chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung
vào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các
kiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại
những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng
thú chú ý hơn vào nội dung bài học. Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin
bùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm cần
thiết.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán
thực tế về lãi suất ngân hàng và một số dạng tương tự.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Những năm gần đây bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia
của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp
dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT,
học sinh thường gặp một câu về lãi suất ngân hàng như: Người A muốn gửi vào
ngân hàng một khoản tiền a, sau một thời gian với lãi suất r%/tháng thì người A
có bao nhiêu tiền. Hay hàng tháng người A muốn rút ra một khoản x để tiêu
hàng tháng thì sau n tháng người A còn lại bao nhiêu tiền….
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Thiệu Hóa nói riêng, tư duy hệ thống, logic và khái quát của các em còn
hạn chế, rất lúng túng khi gặp các bài toán thực tế. Vì vậy khi dạy học, giáo viên
cần phải liên hệ nhiều đến những kiến thức thực tế để tăng tính tập trung và các
em vận dụng kiến thức tốt hơn.

Đặc biệt, hiện nay có rất nhiều gia đình các em học sinh vay tiền ngân hàng để
đầu tư sản suất, và muốn trả góp hàng tháng, vậy nên trả trong thời gian bao lâu để
4


phù hợp với sinh hoạt của gia đình. Học sinh trường THPT Thiệu Hóa có
khoảng 15% là phụ huynh đi làm ăn xa, hàng tháng gửi tiền về cho con làm chủ
tài khoản, vậy học sinh cần phải biết nên rút tiền hàng tháng là bao nhiêu, nên
gửi lại theo gói lãi suất nào để được nhiều lãi nhất.
Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thường có một câu về lãi suất ngân
hàng, dạng này được các sở GD-ĐT, các trường THPT liên tục ra trong đề thi
thử. Vì vậy cần phải rèn luyện thành kỹ năng dạng toán này cho các em học
sinh.
2.3. Giải pháp thực hiện.
Để hiểu và vận dụng được bài toán lãi suất ngân hàng vào làm đề thi THPT
quốc gia, vào thực tế, trước hết giáo viên cần xây dựng các dạng bài thường gặp.
2.3.1. Bài toán lãi đơn.
Bài toán 1: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng theo phương thức lãi
đơn, với lãi suất hàng tháng là r%. Tính tiền Tn cả vốn lẫn lãi sau n tháng.
Bài giải:
Ta có: Tháng 1 (n = 1) số tiền là T1 a a.r a (1 r)
Tháng 2 (n = 2) số tiền là T2 a (1 r ) a.r a (1 nr)
………………………………………………………..
Tháng n (n = n) số tiến là

n

T a1

Vậy số tiền thu được sau n tháng là: Tn

n 1 r ar a (1 nr)
a (1 nr)

(1)

Từ công thức (1) ta suy ra các đại lượng khác là:
T
n T a .
r T a
a
n

n

ar

n

an

(1 nr)

Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chị Hà gửi ngân hàng
với lãi suất 0, 4 trên nửa năm. Hỏi ít
4 020 000 đồng?

3350 000

đồng, theo phương thức lãi đơn,

nhất bao lâu chị rút được cả vốn lẫn lãi là
Bài giải:

5


Gọi n là số chu kỳ gửi ngân hàng, áp dụng công thức lãi đơn ta có:
4 020 000 3350 000(1 n.0, 04

n 5 (chu kỳ).

Vậy thời gian là 30 tháng.
Ví dụ 2: Bạn Lan gửi 1500 USD với lãi suất đơn cố định theo quý. Sau 3
năm, số tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là 2320 USD. Hỏi lãi suất tiết kiệm
là bao nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn).
Bài giải:
Đây là bài toán lãi đơn, chu kỳ là một quý.
Áp dụng công thức (1), ta có lãi suất trên một quý là:
2320 1500(1 12 r )

r

4,56%

2.3.2. Bài toán lãi kép gửi một lần.
Bài toán 2: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng theo phương thức lãi
kép, với lãi suất hàng tháng là r%. Tính tiền Tn cả vốn lẫn lãi sau n tháng.
Bài giải:

Ta có: Tháng 1 (n=1) số tiền là T1 a a.r a (1 r)
Tháng 2 (n=2) số tiền là T2 a (1 r ) a (1 r ).r a (1 r)2
………………………………………………………..
Tháng n (n=n) số tiến là Tn a (1 r ) n 1 a (1 r ) n 1.r a (1 r)n
Vậy số tiền thu được sau n tháng là: Tn a (1 r)n

(2)

Từ công thức (2) ta suy ra các đại lượng khác là:
ln T
r n T
a
n

n

a

ln(1 r)

.

Chú ý: r Gửi vào ngân hàng số tiền a
%/tháng kỳ
n

Tn a (1 mr)m

hạn m tháng. Tính tiền Tn

n

a

Tn
n

(1 r)

đồng, với lãi suất hàng tháng là
cả vốn lẫn lãi sau n tháng là:

(*)

Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 3: Chị Mai có một số tiền là 3000000 đồng đã đem gửi ngân hàng

6


với lãi suất là 0,71%/tháng theo hình thức lãi kép không kỳ hạn. Hỏi sau hai
năm rưỡi chị rút hết vốn và lãi về thì số tiền nhận được là bao nhiêu?
Bài giải:
Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là a Sau
tháng thứ nhất số tiền là: T1 a a.r a (1 r)
Sau tháng thứ 2 số tiền là: T2 a (1 r ) a (1 r ).r a (1 r)2
…………………………………………………………
Sau hai năm rưỡi (30 tháng) số tiền chị Mai có là:
T30 a (1 r) 30 3000000(1 0, 71%) 30 3709361, 275 đồng

Ví dụ 4: Bác Tâm muốn dành dụm một số tiền là 10 triệu đồng để mua một
gói bảo hiểm. Hiện tại bác Tâm có 4 triệu đồng, nếu bác Tâm đem số tiền này
gửi ngân hàng theo hình thức lãi kép không kỳ hạn với lãi suất 0,75%/tháng thì
sau bao lâu bác Tâm có đủ tiền như mong muốn.
Bài giải:
Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là a Sau
tháng thứ nhất số tiền là: T1 a a.r a (1 r)
Sau tháng thứ 2 số tiền là: T2 a (1 r ) a (1 r ).r a (1 r)2
…………………………………………………………
Sau tháng thứ n bác Tâm có số tiền là:
Tn a (1 r ) n

n

T

log 1 r an log1 0,75%

10000000

4000000

122, 6 tháng

Vậy 123 tháng bác Tâm mới đủ số tiền như mong muốn.
2.3.3. Bài toán lãi kép gửi định kỳ
2.3.3.1. Bài toán lãi kép gửi định kỳ đầu tháng
Bài toán 3: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r
% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao

nhiêu?
Bài giải:
Ta xây dựng bảng sau:
7


Tháng

Đầu tháng

Cuối tháng

1

m

m1 r

2

m1 r m

m1 r2 m1 r

3

m1 r2 m1 r m

…

…

N

…

m1 r3

m1 r2 m1 r

…
m 1 r n ... m 1 r

Vậy sau tháng n ta được số tiền:
Tn m 1 r n ... m 1 r m

1 rn

... 1 r

1 rn 1

m1 r

(3)

r

Từ công thức (3) ta suy ra các đại lượng khác là:
m

Tn r
1r 1 r

Tn r
n

(3.1)

n log1 r

1

1

(3.2)

m1 r

Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 5: Bốn năm nữa con trai anh Quang vào đại học, anh muốn tiết kiệm
cho con một khoản tiền để đi học bằng cách, vào đầu mỗi tháng anh đem gửi
ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. Vậy sau 4 năm anh có bao
nhiêu tiền?
Bài giải:
Gọi số tiền hàng tháng anh Quang gửi vào ngân hàng là m
Lãi suất hàng tháng của ngân hàng là r%
Cuối tháng thứ 1 anh Quang có số tiền là: T1 m m.r m (1 r)
Đầu tháng thứ 2 anh có số tiền là: m (1 r )

m
2
r ((1r ) 1)

m
r ((1 r )

m m ((1 r ) 1)

2

1) r

m
r ((1 r )

2

m

((1 r) 2 1)

r

1)(1 r)

Cuối tháng thứ 48 (hết 4 năm) số tiền anh Quang có là:

8

m

T48

r ((1 r )

48

1)(1 r)

3000000

0,75% (1 0,75%)

48

1 (1 0,75%) 173856349 đồng.

Ví dụ 6: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng
với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính
lãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?
Bài giải:
Áp dụng công thức (3.2) ta có:
n log

100.0,006

1 30,31174423

1,006

3.1,006

Vậy anh Thắng phải gửi ít nhất là 31 tháng mới được số tiền cả gốc lẫn lãi
từ 100 triệu trở lên.
2.3.3.2. Bài toán lãi kép gửi định kỳ cuối tháng
Bài toán 4: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r
% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao

nhiêu?
Bài giải:
Ta xây dựng bảng sau:
Tháng

Đầu tháng

Cuối tháng

1

Chưa gửi

m

2

m

m1 r m

3

m1 r m

m1 r2 m1 r m

…

…

…

n

m 1 r n 1 ... m 1 r m

Vậy sau tháng n ta được số tiền:
Tn m 1 r n 1 ... m 1 r m m 1 r n 1 ...

1 r

1,

9


Ta thấy trong ngoặc là tổng n
u 1, u n 1 r n 1 , q 1 r

số hạng của cấp

số nhân có

1

Ta biết rằng: S n u1 ... u n u1. qn 1 nên Tn

m 1 rn 1

q 1

(4)

r

Từ công thức (4) ta suy ra các đại lượng khác là:
m

Tr

Tn r
n

1 r

(4.1)

1

n log1 r

n

m

1 (4.2)

Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 7: Môt ngươi gưi tiêt kiêm ngân hang, cuối môi thang gưi 1 triêu
đông, vơi lai suât kep 1% trên thang. Gưi đươc hai năm 3 thang ngươi đo co
công viêc nên đa rut toan bô gôc va lai vê. Sô tiên ngươi đo đươc rut la bao
nhiêu?
Bài giải:
Áp dụng công thức (4) ta có số tiền rút được là:
1000000
m
n

T

1 r
nr0, 01

1=

1, 0127 1 30820888 đông.

Ví dụ 8: Anh Tuấn muốn có 2 tỉ để mua nhà sau 6 năm bằng cách cuối môi
năm gửi vào ngân hàng số tiền bằng nhau vơi lãi suất ngân hàng là 8% môt năm

và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sanh Tuấn phải gửi vào ngân hàng sô
tiên hang năm la bao nhiêu (vơi gia thiết lai suât không thay đôi), sô tiên đươc
lam tron đên đơn vi nghin đông?
Bài giải:
Áp dụng công thức (4.1) ta có số tiền gửi hàng năm là:
m

Ar
1r

n

1

2.109.0,08 272631000
1 0.08 6 1

đồng

2.3.4. Bài toán vay vốn trả góp
Bài toán 5: Vay ngân hàng A đồng. Cứ mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m
đồng, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền còn
nợ là bao nhiêu?
10


Bài giải:
Số tiền gốc cuối tháng 1 là: A A.r m A(1 r ) m
Cuối tháng thứ 2 số tiền còn là:
A(1 r ) m A(1 r ) m .r m A(1 r ) 2

m (1 r) 1

…………………………………………………………………
Cuối tháng thứ n số tiền còn là:
Tn

N(1

Tn

A1

r ) n A (1

n

r ) n 1 (1

r)n

2

... (1
r) 1

n
m1r 1r

(5)

Để trả hết nợ sau n tháng thì số tiền còn lại sẽ bằng 0. Khi đó
A1 r n m 1 rn 1
0
Suy ra m
(5.1)
A 1 r n .r
1 rn 1

r

Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 9: Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp
(chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5

/ tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu

00

từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam
trả hết nợ?
Bài giải:
Gọi A là số tiền vay, r là lãi suất, m là số tiền hàng tháng trả.
Theo công thức (5) cuối tháng thứ n số tiền còn là:
Tn

A1 rn

m

1

r
r

1

n

Để trả hết nợ sau n tháng thì số tiền còn lại sẽ bằng 0. Khi đó

A1

rn

m

1 r

n

1

0

r
A 1 0,005 n 30

1 0,005 n 1

0 n 36,55 0,005

Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.

11


Ví dụ 10: Ông Lâm cần 220 triêu đông cho con đi xuất khẩu lao động nên
đã vay ngân hàng va tra gop trong vong 1 năm vơi lai suât 1,15% môi thang. Sau
đung 1 thang kê tư ngay vay, ông se hoan nơ cho ngân hang vơi sô tiên hoan nơ
môi thang la như nhau, hoi môi thang ông Lâm se phai tra bao nhiêu tiên cho
ngân hang, biêt lai suât ngân hang không thay đôi trong thơi gian ông A hoan nơ.
Bài giải:
Theo công thức (5.1) , ta có:
Mỗi tháng ông Lâm sẽ phải trả cho ngân hàng số tiền là:
m

A 1 r n .r

2201 1,15% 12 .1,15%

220.1,0115 12 .0,0115

1 1,15% 12 1

1, 0115 12 1

1 rn 1

=19,7325 (Triệu)

2.3.5. Bài toán gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Bài toán 6: Gửi ngân hàng A đồng. Cứ mỗi tháng (năm) vào ngày ngân
hàng tính lãi, rút ra số tiền m đồng, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm). Hỏi sau n
(tháng hoặc năm) số tiền còn lại là bao nhiêu?
Bài giải:
Số tiền gốc cuối tháng 1 là: A A.r m A(1 r ) m
Cuối tháng thứ 2 số tiền còn là:
A(1 r ) m A(1 r ) m .r m A(1 r ) 2

m (1 r) 1

…………………………………………………………………
Cuối tháng thứ n số tiền còn là:
Tn

N(1

Tn

A1

r ) n A (1

n

r ) n 1 (1

r)n

2

... (1
r) 1

n
m1r 1r

(6)

Từ công thức (6) ta có thể tính được:
n

m

A1 r

Tn

r

1 rn

1

(6.1)

12


Để rút hết tiền sau n tháng thì số tiền còn lại sẽ bằng 0. Khi đó

A1 r

n

1 rn 1 0

m

A 1 r n .r (6.2)

Suy ra m

1 rn 1

r

Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 11: Khi bắt đầu vào đại học bạn Chi được gia đình cho gửi tiết kiệm
200 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất kép 0,35% tháng.
Nếu mỗi tháng bạn ấy rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi
hàng tháng. Hỏi Chi rút ra bao nhiêu tiền để sau 4 năm số tiền vừa hết.
Bài giải:
Áp dụng công thức (6.2) ta có:
Để sau 4 năm (48 tháng) Chi vừa hết tiền thì hàng tháng rút ra số tiền là:
m

A 1 r n .r
1 r

n

200(1 0,35%) 48.0,35% 4,534

1

(10,35%)

48

(triệu).

1

Ví dụ 12: Ngày 01 tháng 01 năm 2019, ông An đem 800 triệu đồng gửi vào
một ngân hàng với lãi suất 0,5% một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến
ngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 01 tháng 01 năm
2020 sau khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng
lãi suất trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi
Bài giải:
Từ ngày 01 / 01 /2019 đến ngày 01 / 01 /2020, ông An gửi được tròn 12 tháng.

Áp dụng công thức (6), số tiền còn lại của ông An là:
Tn

A1 rn m

1 r n 1 800. 1,005 12
r

6

1,00512 1 775,329 (triệu)
0,005

2.3.6. Bài toán thực tế liên môn.
Bài toán 7 (Lãi kép liên tục): Gửi vào ngân hàng với số vốn ban đầu là A
đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất r% /năm. Sau n năm số tiền nhận được cả
vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Bài giải:

13


Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /năm thì số tiền nhận được cả
vốn lẫn lãi sau n năm

*

n

là: S n

A 1 r n . Giả sử ta chia mỗi năm thành

r

m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là m % thì số tiền thu được sau n

năm là

r m.n
Sn

A1

m

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m , gọi là hình thức lãi
kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn
S Aen . r

lãi là:

(7)

Công thức (7) còn gọi là công thức tăng trưởng mũ.
Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 13: Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.eNr
(trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ
tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2015 dân số tỉnh B là 1.038.229 người tính đến
đầu năm 2020 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng
năm giữ nguyên thì đầu năm 2030 dân số của tỉnh là bao nhiêu người?
Bài giải:
Gọi S1 là dân số năm 2020, ta có S1 1.153.600, N 5, A 1.038.229
Ta có: S A.e N . r
1

e

ln S

S1
N . r

r
A

1

A
5

Gọi S2 là dân số đầu năm 2030, ta có

ln S1
15.r

S 2 A.e

15.

1.038.229.e

A
5

1.424.227

(người)
Ví dụ 14: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được

tính theo công thức S (t ) Aert , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S t là
số lượng vi khuẩn có sau t (phút), r là tỷ lệ tăng trưởng r 0 , t (tính theo phút) là
thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con
14


và sau 5 giờ có 1500 con. Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn
đạt 121500 con?

P0 760

672,71

Bài giải:
Ta có A 1500 , 5 giờ = 300 phút.
Sau 5 giờ, số vi khuẩn là S 300 500 e 300r 1500 r

ln 3
300

Gọi t0 (phút) là khoảng thời gian, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt
121500 con.

Ta có : 121500 500 ert

0

t0

ln 243

r

300 ln 243 1500 (phút) = 25 (giờ).
ln 3

Ví dụ 15: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg)
tại độ cao x (đo bằng mét) so với mực nước biển được tính theo công
thức P

P0exl , trong đó

mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển, l

là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 mét thì áp suất không khí là
mmHg. Hỏi áp suất ở đỉnh Fanxipan cao 3143m là bao nhiêu?
Bài giải:
Ở độ cao 1000 mét áp suất không khí là 672, 71 mmHg
Nên 672, 71 760e1000l

e1000l

672, 71 l
760

1 ln 672,71
1000

760

Áp suất ở đỉnh Fanxipan:
1

P760 e 3143l

3143.

760e
2.3.7. Một số dạng toán liên quan

1000 ln

672,71
760

517,94

Học sinh trường THPT Thiệu hóa nói chung gặp các bài toán thực tế các
em rất lúng túng nên khi các em nhớ được công thức rồi, tôi sẽ cho các em làm
các đề thi thử trắc ngiệm để các em phân dạng được bài toán và áp dụng công
thức thành thạo.
Bài 1: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2020).

15


Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.10 5 ( m3 ) , biết tốc độ sinh trưởng của các
r 4%

B.

cây ở khu rừng đó là

mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét

khối gỗ là bao nhiêu?
A. 4.10 5.(1, 4)5

C. 4.10 5.(0, 04)5

4.105

D. 4.10 5.(1, 04)5

Bài giải:
Bài toán này được hiểu và làm như dạng bài lãi suất ngân hàng (Bài toán 2)
Áp dụng công thức (2), sau 5 năm số gỗ của khu rừng đó là:
G5 4.10 5 (1 r) 5 4.10 5 (1 4%) 5 4.10 5 (1, 04)5 (chọn D).

Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa)
Bạn Xuân trong thời gian 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm 10
triệu đồng với lãi suất 3%năm.( Thử tục vay một năm một lần vào đầu năm học.
Khi ra trường Xuân thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng ngay, nhưng
phải chịu lãi suất 8%năm. Sau một năm Xuân tìm được việc làm và trả nợ dần.
Hỏi số tiền Xuân phải trả sau 4 năm đại học và một năm thất nghiệp là?
A. 46.538.667đồng

B. 43.091.385đồng

C. 48.621.980đồng

D. 45.183.171 đồng
Bài giải:

Áp dụng công thức (3), cuối năm thứ tư số tiền Xuân nợ ngân hàng là:

10000000

(1 3%) 4 1 (1 3%)

43091358 đồng

3%

Cuối năm thứ năm số tiền anh X nợ ngân hàng là:
43091358.8% 43091358

46538667 đồng (chọn A).

Bài 3: (Đề thi thử trường THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ)
Năm 2016, số tiền để đổ đầy một bình xăng cho một chiếc xe máy trung
bình là 70.000 đồng. Giả sử

tỷ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm tới

không đổi ở mức 5%. Tính số tiền để đổ đầy bình xăng vào năm 2022?
A. 70.000(0.05)6 đồng

B. 70.000(1.05)6 đồng

C. 70.000(0.05)7 đồng

D. 70.000(1.05)7 đồng

Bài giải:
16


Áp dụng công thức (2), Số tiền để đổ đầy bình xăng năm 2022 (6 năm) là:
T6 70.000(1 5%)6 (chọn B)

Bài 4: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2020)
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.10 5 ( m3 ) , biết tốc độ sinh trưởng của
các cây ở khu rừng đó là r 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số
mét khối gỗ là bao nhiêu?
A. 4.10 5.(1, 4)5

B. 4.105

C. 4.10 5.(0, 04)5

D. 4.10 5.(1, 04)5

Bài giải:
Bài toán này được hiểu và làm như dạng bài lãi suất ngân hàng (dạng 2)
Áp dụng công thức (2), Sau 5 năm số gỗ của khu rừng đó là:
G5 4.10 5 (1 r) 5 4.10 5 (1 4%) 5 4.10 5 (1, 04)5 (chọn D).

Để tăng kỹ năng tính toán nhanh, chính xác, tôi cho học sinh một số bài tự
luyện

Bài 5: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2020)
Người ta thả một số lá bèo vào một hồ nước, sau 10 giờ số lá bèo sinh sôi
kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ số lượng lá bèo tăng gấp 10 lần số lượng lá
bèo trước đó, và tốc độ tăng trưởng không đổi. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu
số lượng lá bèo phủ kín 1 mặt hồ.
4

A. 10 log 4 (giờ)

B. 10 log 4 (giờ)

C. 1 10log 4 (giờ)

D. 10 10log 4 (giờ)

Bài 6: (Đề thi thử trường THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa)
Thầy Đông gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo
phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một
quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất
0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân hàng
là 27 507 768,13 đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền Thầy Đông gửi lần lượt ở
ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
17


A. 140 triệu và 180 triệu.
C. 200 triệu và 120 triệu.

B. 120 triệu và 200 triệu.
D. 180 triệu và 140 triệu.

Bài 7: (Đề thi thử trường THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa)
Theo số liêu từ tổng cục thống kê, dân số việt nam năm 2015 là 91,7 triệu
người. Giả sử tỷ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 20152030 ở mức không đổi là 1,1%.Hỏi đến năm nào dân số Việt Nam đạt mức
111,65 triệu người?
A. Năm 2032

B. Năm 2033

C. Năm 2031

D. Năm 2030

Bài 8: (Đề thi thử trường THPT chuyên Biên Hòa – Hà Nam)
Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức, viên chức
hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015- 2021 (6 năm) là
10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức “ra 2 vào 1” (tức là
khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2 người thì được tuyển
mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước
đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01%).
A. 1,13% .
B. 1,72% .
C. 2,02% .
Bài 9: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2020)

D. 1,85% .

Bác Minh mua một máy quay phim P anason ic AG- AC 160 nhưng vì ngân
sách mua một lần không đủ Bác Minh đã chọn phương thức mua trả góp với lãi
xuất tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng. Biết giá của một chiếc máy quay Panasoni

c AG- AC160 là 60 triệu đồng vậy nếu cuối mỗi tháng bác Minh chi trả 2,034
triệu đồng cho hợp đồng thì hỏi sau thời gian bao lâu Bác Minh hoàn thành hợp
đồng?
A. 32 tháng

B. 30 tháng

C. 33 tháng

D. 31 tháng

Bài 10: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2020)
Để đầu tư dự án trồng rau sạch theo công nghệ mới, ông An đã làm hợp
đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền 800 triệu đồng với lãi suất x% / năm ,
điều kiện kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính làm vốn
để sinh lãi cho tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình,
18


ông An đã thanh toán hợp đồng ngân hàng số tiền là 1.058 triệu đồng. Hỏi lãi
suất trong hợp đồng giữa ông An và ngân hàng là bao nhiêu?
A. 13% / năm .

B. 14% / năm .

Đáp án bài tập tự luyện là:

5A;

C. 12% / năm .

6A; 7A; 8D;

D. 15% / năm .

9A;

10D

Như vậy muốn dạy học tốt toán trắc nghiệm, giáo viên phải dạy học sinh
cách xây dựng công thức, nêu ví dụ vận dụng, rèn luyện thành kỹ năng để làm
bài đúng và nhanh nhất.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
2.4.1. Đối với học sinh:
- Năm học 2019- 2020 tôi được phân công giảng dạy lớp 12E, 12H. Ban
đầu học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải những dạng toán thực tế như
trên. Bởi vậy, tôi đã đưa đề tài nghiên cứu này vào trải nghiệm thực tế. Tôi đã
hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách giải từng dạng bài toán lãi suất ngân hàng để khi
gặp các em có công cụ áp dụng thật nhanh và chính xác.
- Sau khi hướng dẫn và yêu cầu học sinh giải một số bài tập trong sách giáo
khoa Giải tích lớp 12 và một số bài tập trong các đề thi thử THPT Quốc Gia thì
thấy các em đã thận trọng trong khi trình bày lời giải và đã giải tốt một lượng
lớn bài tập đó.
- Tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Thiệu Hóa, huyện Thiệu Hóa.
- Gồm: Lớp thực nghiệm 12E; Lớp đối chứng 12H
- Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 12E có 41 học sinh, lớp 12H có 34
học sinh, thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 10/2019 đến tháng 5/2020.

- Và đây là kết qủa bài kiểm tra của 2 lớp
TT Lớp
1 12E

TT Lớp
1 12H

Sĩ số
41

Giỏi
SL
25

SL
10

Giỏi

Sĩ số
34

%
61,0

Khá

SL
5

%
14,7

%

24,4
Khá

SL
10

%
29,4

Trung bình
SL
%
6
14,6

Yếu, kém
SL
%
0
0,0

Trung bình
SL
%
14 41,2

Yếu, kém
SL
%
5

14,7

19


Qua quá trình phân tích bài kiểm tra ở các lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng và theo dõi trong suốt quá trình giảng dạy, tôi có những nhận xét sau:
- Ở lớp đối chứng:
+ Phần lớn học sinh chỉ dừng lại ở mức độ nhớ và tái hiện kiến thức. Tính
độc lập nhận thức không thể hiện rõ, cách trình bày dập khuôn trong SGK hoặc
vở ghi của giáo viên.
+ Việc vận dụng kiến thức đối với đa số các em còn khó khăn, khả năng
khái quát hóa và hệ thống hóa bài học chưa cao.
- Ở lớp thực nghiệm:
+ Phần lớn học sinh hiểu bài tương đối chính xác và đầy đủ.
+ Đa số các em có khả năng vận dụng những kiến thức đã học và kiến thức
thực tế.
2.4.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
- Với kết quả thực nghiệm này, tôi có thêm cơ sở thực tiễn để tin tưởng vào
khả năng ứng dụng phương pháp dạy học gắn liền với thực tiễn.
- Giáo viên tạo cho học sinh có hứng thú học tập cao hơn, hoạt động thảo
luận sôi nổi hơn và hiệu quả cao hơn, HS tập trung để quan sát và phân tích,
phát biểu xây dựng bài tốt hơn. Do đó giáo viên cảm nhận được trong mỗi tiết
dạy của mình có ý nghĩa hơn.
- Giáo viên tăng cường thêm một số kỹ năng hoạt động học tập cho HS như
quan sát, phân tích, tổng hợp, so sánh, kỹ năng làm việc độc lập.Do đó hoạt
động của giáo viên nhẹ nhàng, thuận lợi hơn để có thể tập trung vào việc đưa
HS vào trung tâm của hoạt động dạy học.
Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực
hiện thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực

nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất.
Mặc dù vậy, qua thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, việc sử dụng
phương pháp dạy học trắc nghiệm kết hợp với ứng dụng công nghệ thông tin
trong các trường THPT là điều rất cần thiết, góp phần nâng cao hiệu quả giảng
20


dạy, phát huy năng lực của học sinh, đáp ứng được yêu cầu đổi mới về nội dung
và phương pháp trong dạy học hiện nay.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ những kết quả nghiên cứu tôi rút ra những kết luận chính sau:
- Bước đầu hệ thống hóa được cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng
phương pháp dạy học trắc nghiệm gắn với thực tiễn. Nhằm phát huy tính tích
cực, chủ động sáng tạo của học sinh.
- Xây dựng được quy trình dạy học trắc nghiệm: xây dựng lý thuyết, bài tập
vận dụng dạng tự luận để ghi nhớ công thức, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự
luận.
- Giúp học sinh có cơ hội vừa được tiếp thu kiến thức mới vừa có điều kiện
để thể hiện năng lực của bản thân trong gia đình.
3.2. Kiến nghị
Qua nghiên cứu đề tài này, tôi rút ra một số kiến nghị sau:
- Giáo viên cần có biện pháp cụ thể để rèn luyện kỹ năng làm bài tập dạng
trắc nghiệm đối với từng đối tượng học sinh (trình độ trung bình hay khá, giỏi).
- Để góp phần nâng cao hiệu quả sử dụng phương pháp dạy học trắc
nghiệm gắn liền với thực tiễn đòi hỏi giáo viên phải có sự đầu tư thiết kế để tạo
cho học sinh hứng thú và học tập tốt hơn.
Do khả năng và thời gian có hạn nên kết quả nghiên cứu mới chỉ dừng lại ở
những kết luận ban đầu và nhiều vấn đề chưa đi sâu. Vì vậy không thể tránh
khỏi những thiếu sót, do đó kính mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô

đồng nghiệp để đề tài dần hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 20 tháng 6 năm 2020
ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan SKKN này không

copy của người khác.
Tác giả

21


Phạm Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12 nâng cao- Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- NXB Giáo dục.
2. Phương pháp giải toán mũ, lôgarit- Lê Hồng Đức (Chủ biên)- NXB
ĐHSP.
3. Giải toán Giải tích 12 tập 1- Lê Hồng Đức (Chủ biên)- NXB Hà Nội.
4. Bài tập trọng tâm theo 19 chủ đề ôn thi đại học môn Toán- Nguyễn Thế
Chinh- NXB Giáo dục.
5. Chuẩn kiến thức kĩ năng môn Toán THPT, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
6. Một số tài liệu, chuyên đề ôn thi đại học.
7. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục năm
2003.
8. Tuyển tập 5 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục năm
2007.
9. Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2019, Nhà xuất bản giáo dục.

22

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phạm Thị Hằng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thiệu Hóa
Cấp đánh giá
TT

1.

Tên đề tài SKKN

Một số sai lầm thường gặp khi
tính nguyên hàm, tích phân của

xếp loại

Sở GD&ĐT

Kết quả
đánh giá

Năm học
đánh giá

xếp loại

xếp loại

C

2016

các hàm số hữu tỉ và vô tỉ

23